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MODELADO2.1PALABRAS CLAVE Y TEMAS
OBJETIVOS
Aprender a representar matemáticamente la realidad Aplicar leyes físico-químicas en la formulación de modelos
Modelado de Sistemas
1
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¿Qué es el modelado?
2
• Conjunto de técnicas que nos permiten obtener una
representación del sistema, planta o proceso a controlar
• Representaciones abstractas
TIPOS DE MODELOS
MODELOSMENTALES
MODELOSLINGÜÍSTICOS
MODELOSGRÁFICOS
MODELOSSOFTWARE
MODELOSMATEMÁTICOS
Representaciones
presentes en
nuestro cerebro;
por ejemplo, una
representación
mental de nuestrocuerpo que
permite controlarlo
para caminar,
saltar, …
Representaciones
con palabras; este
párrafo, por
ejemplo intenta
explicar con
palabras qué es elsistema
denominado
modelo lingüístico
Tablas y/o gráficas
como modelos; los
catálogos de
productos de
ingeniería suelen
contener muchosejemplos de este
tipo de modelo.
Programas de
computador que
representen a
sistemas
complejos, como
por ejemplomediante el uso
de redes
neuronales
Ampliamenteusados en física,ingeniería,economía, etc..Se trata de
ecuaciones quemuestran lasrelacionesexistentes entrelas variables queafectan un
sistema
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¿Qué es un Modelo Matemático?
3
• Conjunto de ecuaciones que relacionan las
variables de interés del sistema y representanadecuadamente su comportamiento
• Un mismo sistema puede
estar representado por
diferentes modelos
• Distintos modelos para
distintos objetivos y tipos
de sistemas
Necesario compromiso entre
exactitud y facilidad de uso.
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4
• Son una representación aproximada de la realidad.
• Cuanto más exactos (complejos) mejor representarán a la
realidad.• Si son demasiado complejos será muy difícil de trabajar con
ellos.
• Si es demasiado sencillo no representará todos los aspectos
interesantes
UN MODELO DEBE: Ser lo suficientemente sencillo como para representar
los aspectos que nos interesan del sistema en estudio.
Tener asociadas herramientas que permitan trabajar con
él en tareas de análisis, simulación, diseño…
Modelos Matemáticos
4
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Modelos matemáticos
0)(2)(3)()(5 21 t ut ut ydt
t dy
• Un ejemplo de modelo matemático de un sistema dinámico con dos
entradas u1 y u2 y una salida y puede ser el siguiente:
donde hay que distinguir:
1. La estructura del modelo:
2. Los parámetros del modelo:
3. Las condiciones iniciales del modelo: 0
321
23121
)0(
;2k ;3 ;5
0)()()()(
y y
k k
t uk t uk t ydt
t dyk
A los modelos matemáticos se les conoce también como modelos
paramétricos, ya que pueden definirse mediante una estructura y unnúmero finito de parámetros.
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¿Por qué los Modelos Matemáticos
en Control de Sistemas?
• Dados un Sistema y un objetivo deseado de operación, ¿con qué
controlador puede alcanzarlo? ¿Se puede alcanzar el objetivo
propuesto con algún Controlador?
• Dados un Controlador y un Sistema ¿cómo funcionarán ambos
conjuntamente en lazo cerrado?
• ¿Por qué un lazo dado opera de la forma que lo hace? ¿Puedemejorarse? ¿Con qué controlador?
• ¿Cómo cambiaría la operación si se cambiaran los parámetros del
sistema, o si las perturbaciones fueran mayores, o si fallara algún
sensor?
Para responder a estas cuestiones necesitamosmodelos matemáticos
6
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Importancia de los Modelos
Matemáticos
La importancia de los modelos matemáticos radica en quepueden ser empleados para:
Simular situaciones hipotéticas, Probar situaciones en las que sería peligroso trabajar
con el sistema real,
Ser empleado como base para calcular los
controladores.
7
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Tipos de Modelos
Modelos Estáticos Modelos en los que el t iempo NO es una variable.
Representan situaciones de equilibrio.
Descritos mediante ecuaciones algebraicas.
Modelos Dinámicos
Modelos que representan la evolución del sistema a lolargo del tiempo.
Descritos mediante ecuaciones diferenciales.
8
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Tipos de Sistemas / modelos
• Sistemas Continuos
– Las variables pueden tomar valoresen todo tiempo t
– Descritos principalmente por
ecuaciones diferenciales.
– Interés fundamental: la evolución
de algunas variables.
• Sistemas de eventos discretos
– Descritos fundamentalmente por secuencias de actividades
– Interés fundamental: el
comportamiento estadístico de
algunas variables9
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Tipos de Sistemas / modelos
• Sistemas Muestreados – Las variables toman valores en determinados instantes de
tiempo fijo o variable (muestreo, secuencias de datos),
– Descritos por ecuaciones en diferencias finitas.
• Sistemas Digitales – Sistemas en los que las variables pueden tomar un conjunto
determinado de valores (cuantificación).
• Sistemas Controlados por Computador
– Sistemas muestreados digitales.
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¿Cómo Obtener Modelos
Matemáticos?
1. Mediante
razonamientos,usando leyes ,
acordes a su
naturaleza asociadas.
2. Mediante
experimentación
y análisis de datos
Modelo de conocimiento
Validez general
Modelo experimental
Rango de validez limitado11
Modelado: un conjunto de técnicas que nos permite
obtener una representación del sistema.
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Modelos de Conocimiento Conjuntos de ecuaciones diferenciales y algebraicas,
normalmente no lineales, que se obtienen a partir de un
estudio analítico del Sistema basado en:
Tienen validez general
Requieren conocimiento profundo del Sistema y de las
leyes por las que se rige.
El uso de leyes de comportamiento físico-
químicas (leyes de conservación de masa,
energía, momento, etc. y otras leyes propias del
dominio de aplicación).
Hipótesis simplificadoras sobre dicho sistema.
12
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Modelos Experimentales:
Identificación
El modelo del Sistema se obtiene a partir de datos
tomados en ensayos entrada-salida y métodos numéricosde cálculo.
Es necesario disponer de un modelo (real o prototipo).
tt
YUU Y
Sistema
Modelo
13
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Metodología Sugerida para ModelarSistemas Basados en el Conocimiento
1. Entender el funcionamiento del Sistema,
2. Descomponer el sistema en subsistemas interactuando, llegando hasta
modelos básicos ideales,
3. Aplicar a cada subsistema:
1. Seleccionar las variables, la entrada, la salida, las perturbaciones,2. Establecer los límites y objetivos del modelo
3. Establecer las hipótesis básicas,
4. Escribir las ecuaciones usando leyes de conservación y del
domino de aplicación (físicas, químicas, etc).5. Estimar el valor de los parámetros
6. Seleccionar las herramientas para resolución de las ecuaciones,
7. Resolver las ecuaciones modelo aproximado,
8. Validarlo: establecer la bondad del modelo14
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Sistemas mecánicos
2
2
i td
)t(xd
mtd
vd
mma)t(F Sólidos en traslación
Sólidos en rotación2
2
i
td
θ(t)dJ
td
ωdJ(t)T
La suma de todos los pares que actúan
alrededor de un eje dado del sólido es igual
al momento de inercia del cuerpo alrededor
del eje multiplicado por la aceleraciónangular del sólido
x
m
Leyes de Newton
La suma de todas las fuerzas que actúan
sobre una masa en una dirección dada es
igual a la masa por la aceleración del
sólido
J
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Sistemas mecánicosModelos básicos ideales
Resorte (Muelle)
F
Cambio x dela longitud
k
Resorte ideal:
• Lineal
• Sin masa
• Sin amortiguamiento
(fricción interna)
)( 0 x xk xk F
k=constante del resorte
Movimiento traslación
(desplazamientos
pequeños)
kxF Con x0=0
x0=0
El resorte ejerce una fuerzaopuesta al desplazamiento
Fluido
ResistenciaF
Cambio x dela posición
dt
t dxbt F )()(
b=coeficiente de fricción
viscosa (damping)
Amortiguador La fuerza es proporcional
a la velocidad
Amortiguador ideal:
• Lineal
• Sin masa y resorte• Disipa toda la energía
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Ejemplo 1: Masa Suspendida
mg
m
kx
x
0
F
Ecuación diferencialde segundo orden
1717
ma F mgkx
t d
xd m
F t d
xd
m i
2
2
2
2
F m
g xm
k
t d
vd
vt d
xd
1
Ecuaciones
diferenciales deprimer orden
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Sistemas mecánicos
Ejemplo Modelado
b
k
Resistencia
de torsión
Resistencia
de torsión
Torque
T
Momento de inercia
I
)()()(2
t k
dt
t d bT
dt
t d I
I T
)(t k
dt
t d b
)(
Dirección
)(t
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Sistemas eléctricos
Leyes de Kirchhoff
( ) 0k
k
i t
Nudos: Suma de todas la
intensidades con su signo en
un nudo es igual a cero.
Mallas: Suma de todas las caídas de
tensión en una malla es igual a cero.
l
l t u 0)(
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Sistemas eléctricos
Resistor:
Resistencia )(
1)( t v
Rt i
Condensador:
Capacidad:C dt
t dvC t i )(
)(
Modelos básicos
Bobina:
autoinducción: L
t
d v L
t i0
)(1
)(
Relaciones entre
voltaje y corriente
)()( t Rit v
t
d iC
t v0
)(1
)(
dt
t di Lt v )(
)(
Relación entre corriente y carga: dt
t dqt i
)()(
Ri
v(t)
i
v(t)
v(t)
i
C
L
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Sistemas eléctricos
)()(1
)()(
0
t vd iC
t Ridt
t di L
t
)()(1)()(
2
2
t vt qC dt
t dq R
dt
t qd L
)()( t Cvt q C )(
)()(2
2
t vvdt
t dv
RC dt
t vd
LC C
C C
Ecuación
diferencial de
segundo orden
Ejemplo: Circuito RLC
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22
Caso de Sistemas Térmicos
Ley fundamental Primera ley de laTermodinámica principio de conservación de la
energía: flujo de las energías entrantes (Qi)
menos flujo de energías salientes más la energíagenerada menos las pérdidas es igual a la
variación de las energías del sistema.
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23
Caso de Procesos Químicos
Ley fundamental Balance de Masa: el flujo demasa entrante (Wi) menos el flujo de masa
saliente mas el flujo de masa que se genera
menos el que se consume es igual a la variaciónde masa en el sistema.
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Sistemas hidráulicos
21
2 p gh v cte
• Describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una
línea de corriente
• Resultado de la conservación de energía aplicado a un fluido ideal (no
viscoso, incompresible)
Principio de Bernoulli
La ecuación de Bernoulli establece que si
un fluido se desplaza por una cañería
sellada entre dos puntos cualquiera sedebe cumplir:
La presión, la velocidad y la altura de un fluido
ideal que circula varían siempre manteniendo
una cierta cantidad constante
2
222
2
111
2
1
2
1vgh pvgh p
Ej l
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Ejemplo
Depósito
Conservación de masa:
Acumulación = flujo entrada q - flujo salida F
)t(hk )t(qtd
)t(hdA
Ecuación diferencial no-lineal
Ecuación
algebraica
)t(Ah)t(V
Hipótesis:
Se considera densidad constante
m: masa en el depósito
A: sección del depósito
S: sección del orificio de salida
: densidad fluidok: una constante
)t(hk )t(q
td
)t(hdA
)t(hk )t(F)t(gh)t( p)t( p
)t( p)t( pSk )t(Sv)t(F
)t(hA)t(m
)t(F)t(qtd
)t(md
01
011
q(t)
F(t)
p0(t)
p1(t)
El valor de las variablescambia de forma gradual
Modelo dinámico
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Repasemos….
26
¿Qué es un modelo?
Modelos matemáticos: que son, por qué utilizarlos?.
Tipos de modelos
Tipos de modelado
Conocimiento
Experimentación / Identificación
Modelos para distintos sistemas:
Mecánicos, eléctricos, térmicos, procesos químicos, etc.
Ejemplos
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Cosas en que pensar (1)
Sistema electromecánico
Un control de posición en lazo abierto de una masa a partir de la tensión
de alimentación u(t). La fuerza F(t) generada por el solenoide esproporcional a la intensidad que circula por la bobina.
Se pide obtener el modelo matemático del sistema.
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28
Cosas en que pensar (2)
28
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Depósito con control de temperatura:
El sistema de la figura tiene por objeto mantener la temperatura T del agua
contenida (y que sale) en el depósito, usando para ello un sistema de
calefacción eléctrica (se manipula la tensión de alimentación V). Al depósitole llega un caudal de líquido variable, q, a una temperatura constante Ti.
Encuentre el modelo matemático que relaciona el caudal q(t) y el voltaje V(t)
con la temperatura en el depósito T(t).
q
V R T
T i,T - temperaturaV - voltaje
ce - calor específico
A - sección del depósito
- densidad
R - resistencia
Modelo matemático.Entradas: V(t) y q(t)
Salida: T(t)
Cosas en que pensar (3)
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Obtener el modelo matemático del motor de cc
LR
V
Excitación
independiente
I
T par externo
k 2 f.c.e.m
T
V voltaje aplicado
I corriente del rotor
J momento de inercia
ω velocidad de giro
ángulo girado
Cosas en que pensar (4)
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Cosas en que pensar (5)
Hallar el modelo matemático del sistema de la figura considerando como salida
la posición del eje de la mesa giratoria y entrada la tensión de alimentación
Motor corriente continua controlado
en el inducido (rotor)
Mesa giratoria
R
e d u c t o r a
( )c t
( )ie t
31
Nota.- considerar Td posible par perturbador sobre la mesa
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