Tabel Distribusi Frekuensi
Tabel distribusi frekuensi adalah susunan data menurut kelas-kelas interval
tertentu atau menurut kategori tertentu dalam sebuah daftar.
Dari distribusi frekuensi, dapat diperoleh keterangan atau gambaran
sederhana dan sistematis dari data yang diperoleh.
1. Kelas-kelas (class)
2. Batas kelas (class limits)
3. Tepi kelas (class boundary/ real limits/ true class limits)
4. Titik tengah kelas atau tanda kelas (class mid point, class marks)
5. Interval kelas (class interval)
6. Panjang interval kelas atau luas kelas (interval size)
7. Frekuensi kelas (class frecuency)
Komponen Tabel Distribusi Frekuensi
Interval Kelas Frekuensi
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
3
4
4
8
12
23
6
Penyusunan Distribusi Frekuensi
1. Mengurutkan data dari yang terkecil ke yang terbesar.
2. Menentukan jangkauan (range) dari data.
3. Menentukan banyak kelas (k).
4. Menentukan panjang interval kelas.
5. Menentukan batas bawah kelas pertama
6. Menuliskan frekuensi kelas sesuai banyaknya data.
Sebagai catatan: tidak ada aturan baku menyusun tabel distribusi frekuensi
CARA MEMBUAT TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI
1. Urutkan data
2. Tentukan Range atau jangkauan data (r)
r = Nilai max – Nilai min
3. Tentukan banyak kelas (k)
Rumus Sturgess (Metode Sturges): k = 1 + 3,3 log n
4. Tentukan panjang interval kelas (c)
c = r/k
5. Tentukan limit bawah kelas pertama dan kemudian batas bawah kelasnya
6. Tambah batas bawah kelas pertama dengan lebar kelas untuk memperoleh batas atas kelas pertama dan tentukan limit atasnya
7. Tentukan limit bawah dan limit atas kelas-kelas selanjutnya
8. Tentukan nilai tengah masing-masing kelas
9. Tentukan frekuensi masing-masing kelas
CONTOH
Data hasil ujian akhir Mata Kuliah Statistika
dari 60 orang mahasiswa
23 60 79 32 57 74 52 70 82 36
80 77 81 95 41 65 92 85 55 76
52 10 64 75 78 25 80 98 81 67
41 71 83 54 64 72 88 62 74 43
60 78 89 76 84 48 84 90 15 79
34 67 17 82 69 74 63 80 85 61
Susunlah data di atas dalam bentuk tabel distribusi frekuensi
Solusi
10 43 62 72 79 84
15 48 63 74 79 84
17 52 64 74 80 85
23 52 64 74 80 85
25 54 65 75 80 88
32 55 67 76 81 89
34 57 67 76 81 90
36 60 69 77 82 92
41 60 70 78 82 95
41 61 71 78 83 98
1. Urutkan data
2. Hitung jangkauan
Data terkecil = 10 dan data terbesar = 98
r = 98 – 10 = 88
Jadi jangkauannya adalah sebesar 88
3. Hitung banyaknya kelas
Banyak kelas (k) = 1 + 3,3 log 60 = 6,8
Jadi banyak kelas adalah sebanyak 7 kelas
4. Hitung panjang interval
Panjang interval (c) = 88 / 7 = 12,5 mendekati 13
5. Limit bawah kelas pertama adalah 10, dibuat beberapa alternatif limit
bawah kelas yaitu 10, 9, dan 8. Maka batas bawah kelas-nya adalah 9,5
; 8,5 ; dan 7,5
6. Batas atas kelas pertama adalah batas bawah kelas ditambah lebar
kelas, yaitu sebesar
- 9,5 + 13 = 22,5
- 8,5 + 13 = 21,5
- 7,5 + 13 = 20,5
sehingga limit atas kelas pertama adalah sebesar:
- 22,5 - 0,5 = 22
- 21,5 - 0,5 = 21
- 20,5 – 0,5 = 20
7. Limit atas dan bawah kelas selanjutnya
8. Nilai tengah kelas adalah =
9. Frekuensi kelas pertama adalah 3
Alternatif 1 Alternatif 2 Alternatif 3
8-20
21-33
34-46
47-59
60-72
73-85
86-98
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
10-22
23-35
36-48
49-61
62-74
75-87
88-100
Misal dipilih Alternatif 2
2
kelas atas batas kelasbawah batas 15
2
21,5 8,5
Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Mata Kuliah Statistika
Interval Kelas Batas Kelas Nilai Tengah Frekuensi
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
8,5-21,5
21,5-34,5
34,5-47,5
47,5-60,5
60,5-73,5
73,5-86,5
86,5-99,5
15
28
41
54
67
80
93
3
4
4
8
12
23
6
Jumlah 60
STATISTIKA
1. Statistika deskriptif
Merupakan cabang ilmu statistik yang berkaitan
dengan penerapan metode‐metode statistik untuk
mengumpulkan, mengolah, menyajikan, dan
menganalisis data secara deskriptif sehingga
memberikan informasi yang berguna.
2. Statistika inferensi
Merupakan cabang ilmu statistik yang berkaitan
dengan penerapan metode‐metode statistik untuk
menaksir dan/atau menguji karakteristik populasi
yang dihipotesiskan berdasarkan data sampel.
Sebuah ilustrasi… Berikut adalah nilai ujian Mata Kuliah Statistika 30
mahasiswa di suatu kelas:
80 55 75 90 45 65 90 45 50 85
100 80 55 85 40 50 75 75 65 100
60 40 75 80 85 50 35 70 95 45
Berapa
rata-rata
nilai ujian?
Berapa orang
yang perlu
mengikuti
perbaikan?
Bagaimana
penyebaran
kemampuan
mahasiswa?
Apakah nilai
kelas ini lebih
baik jika
dibandingkan
tahun lalu?
Apakah terdapat
kenaikan rata-
rata nilai
dibandingkan
ujian
sebelumnya?
STATISTIK DESKRIPTIF
STATISTIK INFERENSI
Statistika deskriptif
A. UKURAN PEMUSATAN
Nilai tunggal yang mewakili semua data atau kumpulan
pengamatan dimana nilai tersebut menunjukkan pusat
data.
Yang termasuk ukuran pemusatan :
1. Mean
2. Median
3. Modus
4. Rata-rata ukur
5. Rata-rata harmonis
1. MEAN (rata-rata hitung)
Rumus umum :
1. Untuk data tidak berkelompok
2. Untuk data berkelompok (Tabel Distribusi)
Jumlah semua nilai dataRata-rata hitung =
Banyaknya nilai data
1 2 1...
n
i
n i
XX X X
Xn n
11 1 2 2 n n
1 2 n
1
f X f X ... f XX
f f ... f
n
i i
i
n
i
i
f X
f
1. MEAN (rata-rata hitung)
1. Data tidak berkelompok
Contoh : Data nilai ujian statistika 30
mahasiswa
80 55 75 90 45 65 90 45 50 85
100 80 55 85 40 50 75 75 65 100
60 40 75 80 85 50 35 70 95 45
1 2 1...
n
i
n i
XX X X
Xn n
80 55 ... 45 ...
30 ...?X
204068
30X
1. MEAN (rata-rata hitung)
2. Data dalam Tabel Distribusi
Frekuensi
Interval
Kelas
Frekuensi
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
3
4
4
8
12
23
6
Σfi = 60
1
1
3955X 65,92
60
n
i i
i
n
i
i
f X
f
Nilai
Tengah (X)
15
28
41
54
67
80
93
fiXi
45
112
164
432
804
1840
558
ΣfiXi = 3955
1. MEAN (rata-rata hitung)
3. Dengan Metode Kode (U)
Interval
Kelas
Frekuensi
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
3
4
4
8
12
23
6
Σfi = 60
1
0
1
f U
X X c
f
?
n
i i
i
n
i
i
Nilai
Tengah (X)
15
28
41
54
67
80
93
fiUi
-9
-8
-4
0
12
46
18
ΣfiUi = 55
Ui
-3
-2
-1
0
1
2
3
55X 54 13 65,92
60
c = panjang interval
Xo = rata-rata sementara (nilai tengah kode 0)
2. MEDIAN (nilai tengah)
1. Untuk data tidak berkelompok
– Urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar
– Cari nilai tengah data :
Contoh:
1Median data ke-
2
n
80 55 75 90 45 65 90 45 50 85
100 80 55 85 40 50 75 75 65 100
60 40 75 80 85 50 35 70 95 45
35 40 40 45 45 45 50 50 50 55
55 60 65 65 70 75 75 75 75 80
80 80 85 85 85 90 90 95 100 100
1 30 1Data ke- 15.5
2 2
n
70 7572.5
2Med
2. MEDIAN (nilai tengah)
2. Untuk data dalam Tabel Distribusi
0
n - F
2Med L c f
Keterangan notasi:
Lo = Batas bawah kelas median
F = Jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas yang mengandung median
f = Frekuensi kelas median
c = Panjang interval
n = Jumlah data
2. MEDIAN (nilai tengah)
Contoh :
Letak median ada pada
data ke 30, yaitu pada
interval 61-73, sehingga :
L0 = 60,5
c = 13
F = 19
f = 12
n = 60
Interval
Kelas
Frekuensi
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
3
4
4
8
12
23
6
Σf = 60 72,42
12
19 - 2
60
13 60,5 Med
0
n - F
2Med L c f
3. MODUS (nilai terbanyak)
1. Untuk data tidak berkelompok
– Cari nilai dengan frekuensi terbanyak
Contoh:
80 55 75 90 45 65 90 45 50 85
100 80 55 85 40 50 75 75 65 100
60 40 75 80 85 50 35 70 95 45
Nilai 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
Frek 1 2 3 3 2 1 2 1 4 3 3 2 1 2
Modus = 75
3. MODUS (nilai terbanyak)
2. Untuk data dalam Tabel Distribusi
1
0
1 2
0
1
2
bMod L c
b b
L batas bawah kelas modus
c = panjang interval
b selisih antara frekuensi kelas modus dengan
frekuensi tepat satu kelas sebelum kelas modus
b selisih a
ntara frekuensi kelas modus dengan
frekuensi tepat satu kelas sesudah kelas modus
3. MODUS (nilai terbanyak)
Contoh :
Data yang paling sering
muncul adalah pada interval
74-86, sehingga :
L0 = 73,5
b1 = 23-12 = 11
b2 = 23-6 =17
c = 13
Interval
Kelas
Frekuensi
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
3
4
4
8
12
23
6
Σf = 60 78,61
17 11
11 13 73,5 Mod
1
0
1 2
bMod L c
b b
HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA
NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS
Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva distribusi data :
1) Jika nilai ketiganya hampir sama maka kurva mendekati simetri.
2) Jika modus < median < mean, maka kurva miring ke kanan.
3) Jika mean < median < modus, maka kurva miring ke kiri.
Curve B :
Skewed Left
Curve A :
Skewed Right
4. UKURAN LETAK (FRAKTIL)
a. Kuartil
b. Desil
c. Persentil
a. KUARTIL
Kuartil Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi empat bagian yang sama besar.
Ada 3 jenis yaitu:
– kuartil pertama (Q1) atau kuartil bawah (25% data)
– kuartil kedua (Q2) atau kuartil tengah (50% data)
– kuartil ketiga (Q3) atau kuartil atas (75% data)
a. KUARTIL
• Untuk data tidak berkelompok
Contoh:
1,2,3 i ,
4
1ni-ke nilai Qi
80 55 75 90 45 65 90 45 50 85
100 80 55 85 40 50 75 75 65 100
60 40 75 80 85 50 35 70 95 45
35 40 40 45 45 45 50 50 50 55
55 60 65 65 70 75 75 75 75 80
80 80 85 85 85 90 90 95 100 100
1
2
3
1 31Q nilai ke- (30 1) 7.75 8
4 4
2 62Q nilai ke- (30 1) 15.5
4 4
3 93Q nilai ke- (30 1) 23.25 23
4 4
1
2
3
Q 50
70 75Q 72.5
2
Q 85
a. KUARTIL
• Untuk data dalam Tabel Distribusi
L0 = batas bawah kelas kuartil
F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil Qi
f = frekuensi kelas kuartil Qi
i 0
i n- F
4Q L c , i 1,2,3f
a. KUARTIL
Q1 terletak pada data ke-15.5 (interval
48-60)
Q2 terletak pada data ke-30.5 (interval
61-73)
Q3 terletak pada data ke-45.5 (74-86)
Interval
Kelas
Nilai
Tengah
(X)
Frekuensi
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
15
28
41
54
67
80
93
3
4
4
8
12
23
6
Σf = 60
54 8
11 -4
1.60
1347,5 Q1
72,42 12
19 -4
2.60
1360,5 Q2
81,41 23
31 -4
3.60
1373,5 Q3
i 0
i n- F
4Q L c , i 1,2,3f
b. DESIL
Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau
mengecil) dibagi sepuluh bagian yang sama besar.
• Untuk data tidak berkelompok
• Untuk data berkelompok L0 = batas bawah kelas desil
Di
F = jumlah frekuensi semua
kelas sebelum kelas
desil Di
f = frekuensi kelas desil Di
91,2,3,..., i ,
10
1ni-ke nilai Di
i 0
i n- F
10D L c , i 1,2,3,...,9f
b. DESIL
Contoh :
D3 membagi data 30%
D7 membagi data 70%
Sehingga :
D3 berada pada 48-60
D7 berada pada 74-86
Interval
Kelas
Nilai
Tengah
(X)
Frekuensi
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
15
28
41
54
67
80
93
3
4
4
8
12
23
6
Σf = 60
58,875 8
11 -10
3.60
1347,5 D3
79,72 23
31 -10
7.60
1373,5 D7
c. PERSENTIL
Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau
mengecil) dibagi seratus bagian yang sama besar.
• Untuk data tidak berkelompok
• Untuk data berkelompok L0 = batas bawah kelas
persentil Pi
F = jumlah frekuensi semua
kelas sebelum kelas
persentil Pi
f = frekuensi kelas persentil
Pi
991,2,3,..., i ,
100
1ni-ke nilai Pi
i 0
i n- F
100P L c , i 1,2,3,...,99f
Perhatikan daftar angka berikut ini:
I. 50,50,50,50,50
II. 30,40,50,60,70
III.20,30,50,70,80
50 X
Ketiga kelompok data mempunyai rata-rata
hitung yang sama, yaitu :
Bagaimana pendapatmu?
B. UKURAN PENYEBARAN
Ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data.
Jenisnya :
1. Jangkauan (Range)
2. Variansi (Variance)
3. Standar Deviasi (Standart Deviation)
B. UKURAN PENYEBARAN
1. JANGKAUAN
• Menyatakan selisih antara nilai
maksimum dan nilai minimum dalam
data
R = nilai maksimum – nilai minimum
Rata-rata kuadrat selisih dari semua nilai data terhadap nilai rata-rata hitung.
2
2 1
X - X
S n-1
n
i
i
2
2 1
1
f X - X
S
1
n
i i
i
n
i
i
f
Data tidak berkelompok :
Data berkelompok :
2. VARIANSI
Semakin besar variansi, maka sebaran data semakin luas
• Akar pangkat dua dari Variansi.
• Disebut juga Simpangan Baku.
2
1
X - X
n-1
n
i
iS
2
1
1
f X - X
S=
1
n
i i
i
n
i
i
f
Data tidak berkelompok :
Data berkelompok :
3. STANDAR DEVIASI
Menghitung variansi dan st.deviasi
80 55 75 90 45 65 90 45 50 85
100 80 55 85 40 50 75 75 65 100
60 40 75 80 85 50 35 70 95 45
2
2 1
2 2 22
X - X
S n-1
(80 68) (55 68) ... (45 68)S
30 1
n
i
i
2 10880S 375,175
29
2S
375,175
S
S
19.37S
68X
Menghitung variansi dan st.deviasi
Interval
Kelas f
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
3
4
4
8
12
23
6
Σf = 60
21,04 442,79 S
442,79 1-60
76,26124 S2
65.92X
2
2 1
1
f X - X
S
1
n
i i
i
n
i
i
f
2592,85
1437,93
621
142,09
1,17
198,25
733,33
X
15
28
41
54
67
80
93
7778,55
5751,72
2484
1136,72
14,04
4559,75
4399,98
26124,76
2( )X X 2( )f X X
Derajat atau ukuran dari ketidaksimetrian suatu distribusi
data.
Ada 3 rumus yang dapat digunakan untuk mengukur
kemiringan distribusi data yaitu formula:
1. Pearson
2. Momen
3. Bowley
C. KEMIRINGAN/SKEWNESS
DISTRIBUSI SIMETRIS
Distribusi simetris, yang berarti luas kurva disebelah kiri nilai rata-rata
sama dengan luas kurva disebelah kanan nilai rata-rata.
Curve B :
Skewed Left
Curve A :
Skewed Right
KEMENCENGAN/SKEWNESS
Distribusi menceng ke kanan (Curve A):
Nilai-nilai observasi berfrekuensi rendah kebanyakan berada disebelah
kanan dari nilai rata-rata (ekornya menjulur ke kanan).
Distribusi menceng ke kiri (Curve B):
Nilai-nilai observasi berfrekuensi rendah kebih banyak berada disebelah
kiri dari nilai rata-rata (ekornya menjulur ke kiri)
1. RUMUS PEARSON
3 X - MedianX - Modus atau
S S
derajat kemiringan Pearson
Bila :
1. 0, maka distribusi datanya simetri
2. 0, maka distribusi datanya miring ke kiri
3. 0, maka distribusi datanya miring
ke kanan
2. RUMUS MOMEN
3
1
3 3
X - X
nS
n
i
i
3
1
3
3
1
f X - X
S
n
i i
i
n
i
f
Data data tidak berkelompok
Data berkelompok
3
3
3
Jika 0, maka distribusi datanya simetri
Jika 0, maka distribusi datanya miring kiri
Jika 0, maka distribusi datanya miring kanan
3. RUMUS BOWLEY
13
213
Q - Q
Q - Q Q
3
3
3
Jika 0, maka distribusi datanya simetri
Jika 0, maka distribusi datanya miring kiri
Jika 0, maka distribusi datanya miring kanan
Derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu
distribusi data terhadap distribusi normalnya data.
Ada 3 jenis :
1. Leptokurtis, puncak relatif tinggi
2. Mesokurtis, puncaknya normal
3. Platikurtis, puncak rendah
D. KELANCIPAN/KURTOSIS
4
1
4 4
X - X
nS
n
i
i
4
4
4
3, Mesokurtis
3, Leptokurtis
3, Platikurtis
Data data tidak berkelompok
Data berkelompok
4
1
4 4
f X - X
nS
n
i i
i
D. KELANCIPAN/KURTOSIS