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LQES - Laboratrio de Qumica do Estado Slido Instituto de Qumica UNICAMP http://lqes.iqm.unicamp.br

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Consideraes Gerais

As celas unitrias dos sete sistemas cristalinos so descritas na Tabela 1 deste LQES

Index. So empregadas as notaes habituais (e recomendadas), ou seja: a, b e c para designar

os parmetros da cela unitria; ,

e

para designar os ngulos, respectivamente, entre os

eixos b e c, c e a e a e b.

Quando a cela unitria possui unicamente ns nos vrtices, chamada primitiva, sendo

denotada pela letra P (exceo feita ao sistema rombodrico, em que empregada a letra R). Aos

retculos P, juntam-se os sete sistemas no-primitivos, que possuem a mesma simetria, mas

que comportam diversos ns na cela unitria: so os retculos de corpo centrado, denominados I,

os retculos de faces centradas, F, e os retculos de bases centradas A, B ou C, estes ltimos,

segundo a natureza das faces que tm um n em seu centro. Todo este conjunto constitui o que

conhecido como 14 Retculos de Bravais , apresentados na Figura 1 (pgina 4).

Os cristais podem ser classificados segundo os grupos pontuais de operaes de simetria

que une suas faces. Estes grupos so em nmero de 32, e esto reunidos nas colunas 2 e 3, da

Tabela 2 (pgina 3 em diante). Dois tipos de smbolos so utilizados para designar tais grupos: os

smbolos internacionais (chamados tambm de notao de Hermann-Mauguin), em notao

reduzida, e os smbolos de Schoenflies (notao de Schoenflies).

Observe-se que no apenas os smbolos utilizados em cristalografia so diferentes

daqueles da teoria de grupos. Tambm para o caso do eixo de rotao imprprio, a operao no

a mesma. Para a cristalografia, esta operao definida como um eixo imprprio, de ordem n

(n, diz-se n barra), ou seja: uma rotao ao redor deste eixo, seguida de uma inverso em

relao a um centro situado sobre o mesmo. No caso da espectroscopia, esta operao definida

como sendo um eixo de ordem n (Sn, diz-se S ndice n), no qual a rotao seguida de uma

reflexo atravs de um plano perpendicular a este eixo.

Uma vez que as operaes de simetria de cada um dos 32 grupos pontuais cristalogrficos

so aplicadas aos 14 Retculos de Bravais, resultam em 230 grupos espaciais que descrevem,

LQES

LQES INDEX

RReettccuullooss CCrriissttaalliinnooss ee GGrruuppooss EEssppaacciiaaiiss CCrriissttaallooggrrffiiccooss

EEddiittoorriiaa ddoo LLQQEESS WWeebbssiittee


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de maneira unvoca, todo arranjo de objetos idnticos, dispostos num retculo peridico infinito.

Pode-se considerar que os 230 grupos espaciais so gerados pela adio de dois novos tipos de

operaes de simetria, quelas encontradas nos grupos pontuais. Os elementos de simetria

complementares so os eixos helicoidais ( eixos parafuso ) e os planos de deslizamento.

A operao de simetria correspondente a um eixo helicoidal de ordem n, consiste numa

rotao de 2 /n, ao redor de um eixo de ordem n, seguida de uma translao de 1/n vezes a cela

unitria, paralelamente a este eixo. A notao desta operao n1/n.

A operao correspondente a um plano de deslizamento consiste numa reflexo neste

plano, seguida de translao executada paralelamente ao plano. Tal translao pode ser feita

somente ao longo dos eixos (plano de deslizamento a, b ou c; valor da translao a/2, b/2 ou

c/2). Caso seja ao longo das diagonais das faces (plano de deslizamento n), o valor da translao

ser de (a+b)/2, (b+a)/2 ou (c+a)/2.

Os 230 grupos espaciais so apresentados na ltima coluna da Tabela 2 (pgina 3 em

diante). Uma descrio completa dos grupos espaciais cristalogrficos feita na International

Tables for X-Ray Cristallography [1].

Para cada um dos 32 grupos pontuais, o difratograma de raios X caracterstico de um

grupo de simetria denominado Grupo de Laue, obtido ao se adicionar a este grupo pontual

(mesmo que ele no seja centrosimtrico) um centro de simetria. Os 11 grupos de Laue assim

definidos esto separados, por uma linha horizontal, na Tabela 2 (pgina 4 em diante).


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Tabela 1. Celas unitrias dos sete sistemas cristalinos.

Sistema Cristalino

Caractersticas das

Celas Unitrias

Nmero de

Retculos

Celas de Bravais

Tipos de Retculos

Celas de Bravais

Triclnico a

b

c

1 P

Monoclnico a

b

c

=

= 90o;

90o 2 P

C

Ortorrmbico a

b

c

=

=

= 90o 4

P

C

I

F

Tetragonal a = b

c

=

=

= 90o 2 P

I

Rombodrico a = b = c

=

=

120o e

90o 1 R

Hexagonal a = b

c

=

= 90o e

= 120o 1 P

Cbico a = b = c

=

=

= 90o 3 P

I

F


4

Cbico (P, F, I)

Tetragonal (P, I) Hexagonal (P)

Ortorrmbico (P, I, C, F)

Rombodrico (R) Monoclnico (P, C) Triclnico (P)

Cbico (P, F, I)

Tetragonal (P, I) Hexagonal (P)

Ortorrmbico (P, I, C, F)

Rombodrico (R) Monoclnico (P, C) Triclnico (P)

Figura 2. Retculos de Bravais.

Tabelas 2. Sistema cristalino, grupos pontuais, grupos espaciais e Grupos de Laue.

Grupos Pontuais Sistema Smbolo

Internacional

Smbolo de

Schoenflies

Grupos Espaciais

Hexagonal


5


Internacional

Smbolo de

Schoenflies

Grupos Espaciais


Internacional

Smbolo de

Schoenflies

Grupos Espaciais


Internacional

Smbolo de

Schoenflies

Grupos Espaciais


Internacional

Smbolo de

Schoenflies

Grupos Espaciais

Tetragonal

Trigonal

Triclnico

Cbico


6


Internacional

Smbolo de

Schoenflies

Grupos Espaciais


Internacional

Smbolo de

Schoenflies

Grupos Espaciais

[1] International Tables for X-Ray Cristallography: The Kynoch Press (1969) e edies mais

recentes.

Mono-clnico

Orto-rmbico

BIBLIOGRAFIA

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