IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

€

sen2a + cos2 a = 1

tg x = sen xcos x

cotg x =cos xsen x

€

sec x =1

cos x

cosec x =1

sen x

€

sen2a + cos2 a = 11 + tg2x = sec2x1 + cotg2x = cosec2xsen2x = 1/2(1- cos 2x)cos2x = 1/2(1 + cos 2x)

€

sen 2x = 2sen x cos xsen x cos y =1/2[sen(x − y) + sen(x + y)]sen x sen y =1/2[cos(x − y) − cos(x + y)]cos x cos y =1/2[cos(x − y) + cos(x + y)]

FUNÇÕES HIPERBÓLICAS

€

senh x =ex − e− x

2

cosh x =ex + e− x

2

€

tgh x =ex − e− x

ex + e− x

cotgh x =ex + e− x

ex − e− x

€

sech x =2

ex + e− x

cosech x =2

ex − e− x

TABELA DE DERIVADAS. 1.

€

y = c⇒ y'= 0 2.

€

y = sen u⇒ y'= cos u.u' 3.

€

y = senh u⇒ y'= cosh u.u' 4.

€

y = ax⇒ y'= a 5.

€

y = cos u⇒ y'= −sen u.u' 6.

€

y = cosh u⇒ y'= senh u.u' 7.

€

y = c.u⇒ y'= c.u' 8.

€

y = tg u⇒ y'= sec2 u.u' 9.

€

y = tgh u⇒ y'= sech2u.u' 10.

€

y = u + v⇒ y'= u'+v' 11.

€

y = cotg u⇒ y'= −cosec2u.u' 12.

€

y = cotgh u⇒ y'= −cosech2u.u' 13.

€

y = u.v⇒ y'= (u.v' ) + (v.u' ) 14.

€

y = secu⇒ y'= sec u.tg u.u' 15.

€

y = sech u⇒ y'= −(sech u).(tgh u.u' )

16.

€

y =uv⇒ y'=

v.u'( ) − u.v'( )v 2

17.

€

y = cosec u⇒ y'= −cosec u.cotg u.u' 18.

€

y = cosech u⇒ y'= −(cosech u).(cotgh u.u' )

19.

€

y = un , (n ≠ 0)⇒ y'= n.(un−1).u' 20.

€

y = arc sen u⇒ y'= u'1− u 2

21.

€

y = arg senh u⇒ y'= u'u 2 +1

22.

€

y = au , a ≥ 0,a ≠ 1( ) ⇒ y'= au . lna.u' 23.

€

y = arc cos u⇒ y'= −u'1− u 2

24.

€

y = arg cosh u⇒ y'= −u'u 2 −1

,u > 1

25.

€

y = eu ⇒ y'= eu .u' 26.

€

y = arc tg u⇒ y'= u'1+ u 2( )

27.

€

y = arg tgh u⇒ y'= −u'1− u 2 , u < 1

28.

€

y = loga u⇒ y'= u'uloga e 29.

€

y = arc cotg u⇒ y'= −u'1+ u 2( )

30.

€

y = arg cotgh u⇒ y'= u'1− u 2 , u > 1

31.

€

y = lnu⇒ y'= u'u

32.

€

y = arc sec u, u ≥ 1⇒ y'= u'u u 2 −1

, u > 1 33.

€

y = arg sech u⇒ y'= −u'u 1− u 2

,0 < u < 1

34.

€

y = uv ⇒ y'= (v.uv−1.u' ) + (uv . lnu.v' ) 35.

€

y = arc cosec u, u ≥ 1⇒ y'= −u'u u 2 −1

, u > 1 36.

€

y = arg cosech u⇒ y'= −u'u 1+ u 2

, u ≠ 0

INTEGRAIS

1.

€

du∫ = u+C 2.

€

adu∫ = au+C 3.

€

undu∫ =un+1

n + 1+ C, n ≠ -1

4.

€

duu∫ = ln | u |+C 5.

€

audu∫ =au

lna+ C, a > 0 e a ≠ 1 6.

€

eudu = eu +C∫

7.

€

cu du∫ = c u du∫ 8.

€

sen u du = − cos u +C∫ 9.

€

cos u du = sen u +C∫

10.

€

tg u du = lnsec u +C∫ 11.

€

cotg u du = ln sen u +C∫ 12.

€

secu du = lnsecu + tg u +C∫

13.

€

cosec u du = ln cosec u − cotg u +C∫ 14.

€

sec u tg u du = sec u + C∫ 15.

€

cosec u cotg u du = −cosec u + C∫

16.

€

sec2 u du = tg u +C∫ 17.

€

cosec2u du = −cotg u +C∫ 18.

€

duu 2 + a 2∫ =

1aarc tg u

a+C

19.

€

dua2 − u2∫ =

12a

ln u + au − a

+C, u2 > a2 20.

€

duu 2 ± a 2

∫ = lnu + u 2 ± a 2 +C 21.

€

duu a 2 ± u 2∫ = −

1aln a + a 2 ± u 2

u+C

22.

€

du

a2 − u2∫ = arc sen ua

+C, u2 < a2 23.

€

duu u 2 − a 2∫ =

1a

arc sec ua

+C 24.

€

senh u du = cosh u +C∫

25.

€

coshu du = senh u +C∫ 26.

€

sech2u du = tgh u +C∫ 27.

€

cosech2u du = −cotgh u +C∫

28.

€

sech u tgh u du = −sech u +C∫ 29.

€

cosech u cotgh u du = −cosech u +C∫

€

udv = uv − vdu∫∫

Fórmulas de Recorrências

1.

€

sennu du∫ = −1n

senn−1u cos u + n -1n

senn−2u du∫

2.

€

cosnu du∫ =1n

cosn−1u sen u + n -1n

cosn−2u du∫

3.

€

tgnu du∫ =1

n −1tgn−1u − tgn−2u du∫

4.

€

cotgnu du∫ = −1n −1

cotgn−1u − cotgn−2u du∫

5.

€

secnu du∫ =1

n −1secn−2u tg u + n - 2

n -1secn−2u du∫

6.

€

cosecnu du∫ = −1n −1

cosecn−2u cotg u + n -2n -1

cosecn−2u du∫

7.

€

du(u2 + a2)n∫ =

u(u2 + a2)1−n

2a2 (n −1)+

2n − 32a2 (n −1)

du(u2 + a2)n−1∫

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

€

a2 − u2 = a cosθu = asen θdu = a cos θdθ

€

u2 + a2 = a secθu = atg θdu = a sec2θ dθ

€

u2 − a2 = a(tg θ )u = asec θdu = a(sec θ )(tg θ )dθ

€

senmx cosn x dx∫ Procedimento Identidades Relevantes

n ímpar Separe um fator de cos x Aplique a identidade Faça a substituição u = sen x

xx 22 sen1cos −=

m ímpar Separe um fator de sen x Aplique a identidade Faça a substituição u = cos x

xx 22 cos1sen −=

n par m par

Utilize a identidade relevante para reduzir as potências de sen x e cos x.

)2cos1(21cos

)2cos1(21sen

2

2

xx

xx

+=

−=

€

tgmx secn x dx∫ Procedimento Identidades Relevantes

n par Separe um fator de sec2 x Aplique a identidade Faça a substituição u = tg x

€

sec2 x = tg2x +1

m ímpar Separe um fator de sec x tg x Aplique a identidade Faça a substituição u = sec x

€

tg2x = sec2 x −1

n ímpar m par

Utilize a identidade relevante para reduzir o integrando somente às potências de sec x. Utilize as fórmulas de redução para potências de sec x.

€

tg2x = sec2 x −1

COMPRIMENTO DE ARCO INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

€

L = 1 + [ f ' (x)]2dxa

b

∫

OU

€

L = 1 + [g' (y)]2dyc

d

∫

Se f é contínua para

€

x ≥ a⇒ f (x)dxa

+∞

∫ = limb→+∞

f (x)dxa

b

∫ , se existir

Se f é contínua para

€

x ≤ b⇒ f (x)dx−∞

b

∫ = lima→−∞

f (x)dxa

b

∫ , se existir

Se f é contínua para todo x

€

⇒ f (x)dx−∞

+∞

∫ = lima→−∞

f (x)dxa

0

∫ + limb→+∞

f (x)dx0

b

∫ se existirem