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5/27/2018 Tarea IV Jaqueline_rev1

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Foro

Estimado(a) alumno(a):

Resuelva el siguiente problema y luego responda y discuta con sus compaeros, las preguntas asociadas:

Problema:

Sea

Se pide:

1. Indique el valor de a (si es que existe) tal que la funcin sea uno a uno. Justifique su respuesta yhaga un grfico.

3 2

2( ) 1

1x a xf x

a

3 2

2

3 23 2

2

( ) 11

2 1 2( ) 1 ( ) 1

2 1 3 3

x a xf x

a

x xf x f x x x

Asumiendo que a=2

f es una funcin uno a uno Dom f : y Rec f :

3 2

2

2

2

( ) 11

1 0

1/

1

x a x

f x a

a

a

a

2Hay que evitar la indeterminacin analizando el denominador a -1

tiene que ser distinto de cero entonces :

Entonces a puede ser cualquier nmero real que no este

-1,1 1,1a

en el

intervalo

3 2 1 0 1 2 3

3

2

1

1

2

3

3

3

f x( )

33 x


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2. Determine el dominio de la expresin

c. Si a x La expresin resultante es una funcin? Argumente su respuesta

Se sugiere que cada una de las preguntas sea desarrollada en das distintos.

De esta forma cumplir con el requisito de participacin definido en el plan de asignatura.

El dominio de la funcin es :

Dom f :

Rec f :

3 23 2

2

2 1 2( ) 1 ( ) 1

2 1 3 3

x xf x f x x x

Asumiendo que a=-2

4 3 2 1 0 1 2

3

2

1

1

2

3

4

24 x

Dom f :

Rec f :

3 2 3 3

2 2 2

0( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1

1 1 1

( ) 1

x x x x xf x f x f x f x

x x x

f x

Luego es una funcin constante

1

El dominio de la funcin es :

Dom f :

Rec f :


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Control

Desarrolle y responda las siguientes preguntas, justificar matemticamente su desarrollo.

Demuestre que la funcin : 2,2 8,16f definida por 2( ) 3 2f x x x , es:a. Creciente. De no serlo, indique intervalo de crecimiento y de decrecimiento

2

2

2

12 2

2

( ) 3 2

: 2,2 8,16

(2) 3 2 2 2 12 4 160,2

(0) 3 0 2 0 0

2 4 4 3 8 2 10 41,33

2 3 6 38 3 2 3 2 8 0

2 100 2 102

6 6

f x x x

f

f

x

x x x x

x

Dom f Rec f :

luego f es creciente en el intervalo

Si y=8

4 ,23

4 4Si comparamos f =8 y f(2)=16 entonces f


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b. Uno a uno. De no serlo, acote el dominio de la funcin

c. Determine su inversa (1 punto)

2

2

1 1 1 1 13 2

3 3 3 3 3

1 1,

3 3

1 : , ( ) 3 23

verticex f

Si f f x x x

coordenadas del vrtice

Su grfica es la parbola siguiente:

La funcin f no es uno a uno si lo es

la secci

1 12, ,2

3 3

n decreciente y tambien la

seccin creciente considerando el

x del vertice como limitador de

intervalos del dominio de f y .

2 : 2,2 8,16 ( ) 3 2

1,2 .

3

1,

3

Si f f x x x

El Dominio de la funcin para que

sea uno a uno podriamos acotarlo

al intervalo

Entonces la funcin es uno a unoy creciente en este intervalo con

recorrido 8

2 2

2

2 2

2

1

( ) 3 2 3 2

12 2 43( )9 3 9

12 2 12 1 23( ) ( )

9 3 9 3 3

1 12 2( ) /

3 27 3

1 12 2 1 12 2( )

3 27 3 3 27 3

1 4 2( ) 3 9 3

f x x x y x x

y x x

y x y x

y x

y x y x

f x x


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1. Explique que significa que una funcin sea creciente en el intervalo [ a,b]R: Significa que f(a) < f(b) , esto nos asegura que la funcin es creciente en el intervalo

[a,b].

2. Explique a que se llama f o g y como se calculaR: Se llama composicin de funciones y se calcula aplicando:

3. La grafica es una funcin impar es simtrica con respecto al eje YR: Si una funcin f satisface ( ) ( )f x f x para todo nmero en su dominio, entonces

se llama una funcin par. La grfica de una funcin par es simtrica con respecto al eje

Y.

Verdadero o falso

4. El vrtice de una parbola siempre representa el mayor valor que puede alcanzar la funcin

Verdadero o falso

Verdadero o falso

2

22

2 2

2

( )

( )

( )

( )

:

( ) ( ) 3

3 3

3

3 3

3

x

x

x

x

f g f g x

Ejemplo

Sean f x x g x x

x x f g x

f g x

f

f g x x g f x

g f x

(x)

(x)

(x)

(x)

Determinamos f g

f g =f(g(x))=f

Si determinamos g tenemos:

g (f(x))= g

2( )f x x

2( )f x x

2( )f x a x R : Para la prabola

Si a > 0 existe un minimo la parbola se abre hacia arriba.

Si a < 0 existe un mximo la parbola

se abre hacia abajo.El vrtice puede ser un mayor valor

o un menor valor como en la grfica.


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5. El dominio de la suma de las funciones f(x) y g (x) es la suma del dominio de f con eldominio de g.

R:Si el dominio de f es A y el dominio de g es B, entonces el dominio de f + g ser ,

Verdadero o falso

6. La forma estndar de una funcin cuadrtica es:R:Una funcin cuadrtica 2( )f x a x b x c se puede expresar de la forma estndar:

Donde2

bh

a

y2

4

bk c

a

. La grfica de f es una parbola con vrtice en

,h k ; la parbola se abre hacia arriba si 0a o hacia abajo s 0a .

7.El dominio de f o g es el conjunto de todas las x en el dominio de g tal que g(x)pertenece aldominio de f.

A B

2( )f x a x h k

q x( ) 2 x 2( )2 1:

p x( ) 2 x 3( )2

1:


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1. Defina la forma de una funcin inversa e indique su dominio y rango.R:Definicin: sea f una funcin uno a uno con dominio A y rango B . Entonces

su funcin inversa1

f

tiene dominio B y rango A y est definida por:

2. Explique que significa que una funcin sea uno a uno.R: Funcin uno a uno: una funcin con dominio A se dice uno a uno si no hay

dos elementos de A , distintos, que tengan la misma imagen, es decir:

1 2( )f x f x siempre que 1 2x x

Una forma equivalente de escribir la condicin de una funcin uno a uno es esta:

Si 1 2( )f x f x , entonces 1 2x x

3.

Una funcin se dice decreciente en el intervalo [a,b] si f ( x2) < f ( x1) siempreque x2< x1.

R:La funcin fse dice decreciente en el intervalo ,a b si 2 1( ) ( )f x f x siempre

que 1 2x x en ,a b

Verdadero o falso

4. Si ( f o g) (x) = ( g o f) (x) = x, significa que f y g son funciones pares.R:Una composicin interesante es cuando yf g g f son iguales y, adems,

se cumple que para todo valor de x : f g g f x

En este caso se dir que f y gg son funciones inversas.

Verdadero o falso

1( ) ( )y f x x f y si y solo si


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5. Si una recta horizontal cruza la grafica de f en tan solo un punto, en cualquiera de suspartes, entonces f es uno a uno ( o inyectiva)

R:Si una recta horizontal cruza la grfica de fen ms de un punto, entonces se puede

observar que hay nmeros 1 2x x tales que 1 2( )f x f x .

Verdadero o falso

6. Una funcin f (x) es par si cumple con la propiedad que ( )f x f x para todo x Dom f entonces

7.La grafica de una funcin impar es simetra respecto al origen.

3( )f x x

3

3 3 3 31x x x f x

Si f(-x)=- f(x) para todo x en el dominio entonces f

se llama funcin impar. f(x)= x es impar porque:

f(-x)=