TUGAS BESAR
METODE NUMERIK
DOSEN : HERU DIBYO LAKSONO. MT
OLEH:
FAKHRI HAKIM
1310951020
JURUSAN TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS ANDALAS
PADANG
2015
BAB 2
AKAR-AKAR PERSAMAAN
A. Metode Tertutup
1 . Metode grafik
SOAL
1. Tentukan akar-akar nyata dari :
Dengan batas atas = 1,5, batas bawah = 0,5, selang 0,5
Penyelesaian:
2. Tentukan akar-akar nyata dari :
Dengan batas atas = 1,5, batas bawah = 0,5, selang 0,25
Penyelesaian:
2. Metode Bagi Dua
SOAL
Tentukan akar-akar nyata dari persamaan:
menggunakan metode bagi dua untuk
mendapatkan akar terendah, lakukan tebakan awal dengan Xu = 4 dan Xi = 3,5
dengan nilai
Penyelesaian :
Iterasi 1
Xu = 4
Xi = 3,5
Iterasi 2
f(Xi) = 19(3,5)4 + 26(3,5)3+5(3,5)2+ 21(3,5) + 52 = 4152,68
f(Xr) = 19(3,75)4 + 26(3,75)3+ 5(3,75)2 + 21(3,75) + 52 = 5329,48
f(Xi) .f(Xr) 0
Xi = Xr = 3,75
Xu = Xu = 4
Iterasi 3
f(Xi) = 19(3,75)4 + 26(3,75)3+ 5(3,75)2 + 21(3,75) + 52 = 5329,48
f(Xr) = 19(3,875)4 + 26(3,875)3+ 5(3,875)2 + 21(3,875) + 52 = 6005,18
f(Xi) .f(Xr) 0
Xi = Xr = 3,875
Xu = Xu = 4
Iterasi 4
f(Xi) = 19(3,875)4 + 26(3,875)3+ 5(3,875)2 + 21(3,875) + 52 = 6005,18
f(Xr) = 19(3,9375)4 + 26(3,9375)3+ 5(3,9375)2 + 21(3,9375) + 52 = 6366,47
f(Xi) .f(Xr) 0
Xi = Xr = 3,9375
Xu = Xu = 4
Iterasi 5
f(Xi) = 19(3,9375)4 + 26(3,9375)3+ 5(3,9375)2 + 21(3,9375) + 52 = 6366,47
f(Xr) = 19(3,96875)4 + 26(3,96875)3+ 5(3,96875)2 + 21(3,968375) + 52 =
6553,17
f(Xi) .f(Xr) 0
Xi = Xr = 3,96875
Xu = Xu = 4
Iterasi 6
f(Xi) = 19(3,96875)4 + 26(3,96875)3+ 5(3,96875)2 + 21(3,968375) + 52 =
6553,17
f(Xr) = 19( )4 + 26( )3+ 5( )2 + 21( ) + 52 = 6647,61
f(Xi) .f(Xr) 0
Xi = Xr =
Xu = Xu = 4
Iterasi 7
f(Xi) = 19( )4 + 26( )3+ 5( )2 + 21( ) + 52 = 6647,61
f(Xr) = 19( )4 + 26( )3+ 5( )2 + 21( ) + 52 = 6694,75
f(Xi) .f(Xr) 0
Xi = Xr = 3,992
Xu = Xu = 4
Akar dari persamaan tersebut adalah : Xr = 3,996
3.Metode Posisi Palsu
SOAL
Tentukan akar-akar nyata dari persamaan f(x) = ex – 2 – x2,dengan metode posisi palsu dimana xi = 0,5; xu = 1,5; s = 1%
Penyelesaian :
Iterasi 1
maka
Iterasi 2
maka xi baru = 1,3054; f(xi) = 0,014905
maka
A. Metode Terbuka
1. Metode Satu Titik Sederhana
SOAL
Tentukan akar-akar persamaan dari dengan menggunakan
metode iterasi satu titik sederhana. Dimana diketahui x0 = 0 dan ε = 0,5 %
Penyelesaian :
Iterasi ke 8 : x = 0,217
2. Newton Raphson
SOAL
Tentukan akar-akar nyata dari persamaan berikut, f(x) = -0.9x2 + 1.7x + 2.5 !
Penyelesaian:
Dimana Tebakan awal x0 = 3.1 dan ε = 0.01
xr+1=xr−f ( x )f '( x )
ε=|xr+1−xr
xr+1
|×100 %
Iterasi 1
f ' ( x )=−1 . 8x+1 .7
f (3. 1 )=(−0 . 9⋅3 .12)+(1. 7⋅3 . 1)+2 .5=−0 .879
f ' (3 .1 )=(−1 .8⋅3. 1 )+1 . 7=−3 .88
xr+1=3 .1−(−0 .879−3 .88 ) ε 1=|2 .8735−3 .1
2 . 8735|=0 .0788
=3 .1−0 .2265
=2 .8735
Iterasi 2
f (2. 8735 )=(−0 . 9⋅2 . 87352 )+(1 .7⋅2. 8735 )+2. 5=−0 .0464
f ' (2.8735 )=(−1 .8⋅2 .8735 )+1.7=−3 . 4723
xr+1=2.8735−(−0 .0464−3 .4723 ) ε 2=|2 . 8601−2 .8735
2.8601|=0 .00469
=2 .8735−0.0134
=2 .8601
3.MetodeSecant
SOAL
Tentukan akar-akar dari dengan menggunakan
metode secant dimana, tebakan awal , , dan
Penyelesaian :
dan
Iterasi 1
iterasi
1 2.9 3.1 3.04 0.06
2 3.1 3.04 3.049 0.009027
3 3.04 3.049 3.049094 0.0000941
Dari table dapat dilihat bahwa nilai kesalahan ( ) telah kecil dari yang
ditentukan, maka didapat akar dari persamaan adalah 3.049049
BAB 3
SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINEAR
A. Metode Eliminasi Gauss
SOAL
Tentukanlah nilai dari persamaan berikut ini dengan menggunakan
metode gauss
x+ y+2 z=9 x
2 x+4 y−3 z=1
3 x+6 y−5 z=0
Penyelesaian :
[1 1 22 4 −33 6 −5
910] …(i)
… (ii)…(iii )
[1 1 20 2 −73 6 −5
9−17
0 ] kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii)
[1 1 20 2 −70 3 −11
9−17−27 ] kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)
[1 1 2
0 1−72
0 3 −11
9−17
2−27
] kalikan baris (ii) dengan (1/2)
[1 1 2
0 1−72
0 0−12
9−17
2−32
] kalikan baris (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)
[1 1 2
0 1−72
0 0 1
9−17
23
] kalikan baris (iii) dengan (-2)
Solusi system diperoleh dengan teknik penyulihan mundur sebagai berikut:
x3=3
x2−72
x3
=−172
⇒ x2=2
x1+ x2+2 x3=9⇒ x1=1
Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.
B. Gauss Jordan
SOAL
Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode Gauss-Jordan:
3x + y – z = 54
x + 7y – 3z = 20
2x – 2y + 5z = 10
Penyelesaian
Sistem persamaan diatas ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:
Baris pertama dari persamaan (c2) dibagi dengan elemen pertama dari
persamaan (c1.a) yaitu 3, sehingga persamaan menjadi:
Pertama membuat nilai dari kolom dan baris satu bernilai 1. Sehingga,
Lalu, kedua dari kolom kedua bernilai 0 menjadi,
Lalu baris ke tiga kolom pertama dijadikan 0,
Lalu baris kedua dan pertama kolom ke dua. Sehingga,
Selanjudnya menjadikan baris ketiga kolom ketiga bernilai 1,
Dan yang terakhir untuk kolom tiga baris satu dan dua,
Dari sistem persamaan diatas, didapat nilai x, y dan z berikut ini:
x = 1,5061; y = 3,1324 dan z = 2,6505
C. Gauss Seidel
SOAL
Selesaikanlah persamaan berikut dengan menggunaan metode gauss seidel,
dimana nilai adalah 2%
Penyelesaian :
Bentuk matrik :
Asumsikan :
Iterasi 1
Persentasi errornya :
Belum berada di bawah 2%.
Iterasi 6
Persentasi errornya :
Karena harga telah telah berada di bawah 2 % maka,
C.Metoda Inversi
SOAL
Tentukanlah x1,x2,x3 dari persamaan di bawah ini dengan menggunakan metode
inverse.
Penyelesaian :
Dibagi 2 baris pertama
Dikali 1
Dikali -3
Dibagi baris ke-2
Dikali
Dibagi -4 baris ke-3
Dikali 2/11
Dikali -4
Dikali
Sehingga untuk mencari nilai x maka digunakan rumus :
Jadi diperolehlah nilai dari akar- akar x ;
D. Dekomposisi LU
1. Metode crout
SOAL
Selesaikan :
x1+ x2−x3=1
2 x1+2 x2+ x3=5
−x1+ x2+2 x3=5
dengan metode dekomposisi LU, dimana L dan U dihitung dengan metode
reduksi Crout.
Penyelesaian :
A=[ 1 1 −12 2 1
−1 1 1 ] b=[151]Diperoleh :
u11=a11=1
u12=a12=1
u13=a13 = - 1
l21=a21
a11
=21=2
l31=a31
a11
=−11
=−1
u22=a22−l21u12=2−2 (1 )=0
Karena uqq tidak boleh nol, maka lakukanlah pertukaran baris, baik untuk
matriks A maupun untuk vektor b :
Matriks A Vektor b
R2 ↔ R3 [ 1 1 −1−1 1 12 2 1 ] R2 ↔ R3 [115]
Hitung kembali nilai l21 , l31dan u22 ¿ u12 ,u13 tidak berubah )
l21=a21
a11
=−11
=−1
l31=a31
a11
=21=2
u22=a22−l21u12=1 — 1 (1 )=1+1=2
u23=a23−l21u13=1 —1 (−1)=1−1=0
l32=a32−l31u12
u22
=2−2(1)
2=0
Diperoleh L dan U sebagai berikut :
U=[1 1 −10 2 00 0 3 ] L=[ 1 0 0
−1 1 02 0 1]dan b=[115]
Berturut-turut dihitung y dan x sebagai berikut :
Ly=b →[ 1 0 0−1 1 02 0 1] [ y1
y2
y3]=[115]
y1,y2 ,dan y3 , dihitung dengan teknik penyulihan maju :
y1=1
− y1+ y2=1→ y2=1+ y1=1+1=2
2 y1+0 y2+ y3=5→ y3=5−2 y1=3
Ux= y→ [1 1 −10 2 00 0 3 ][ x1
x2
x3]=[123]
x1,x2 ,dan x3 , dihitung dengan teknik penyulihan mundur :
3 x3=3 → x3 = 1
2 x2+0 x3=2 → x2 = 1
x1+ x2+x3=1 → x1 = 1
Jadi, solusi sistem persamaan lanjar di atas adalah x = (1, 1, 1)T.
2. Metode Doo-little
SOAL
Untuk menentuka nilai x nya maka :
Sehingga diperoleh lah :
Sedangkan untuk mencari nilai dari akar – akar x :
Sehingga diperolehlah nilai akar-akar x sebagai berikut :
3.Metode Cholensky
SOAL
Gunakan metode Cholesky untuk menentukan solusi dari system persamaan
linear
X = Y
Jadi, nilai yaitu :
BAB 4
PENCOCOKAN KURVA
A.Regresi Kuadrat Terkecil
1. Regresi Linier
SOAL
Diketahui data penjualan iklan adalah sebagai berikut :
Biaya periklanan (x) Tingkat penjualan (y)
50 40
51 46
52 44
53 55
54 49
Tentukan persamaan regresinya !
Penyelesaian :
Persamaaan Regresi :
Dimana
No X Y x.y
1 50 40 2000 2500 1600
2 51 46 2346 2601 2116
3 52 44 2288 2704 1936
4 53 55 2915 2809 3025
5 54 49 2646 2916 2401
260 234 12195 13530 11078
Maka dari persamaan didapatkan persamaan regresi yaitu:
2. Regresi Polinomial
SOAL
Lakukan pencocokan data hasil pengukuran seperti terlihat pada tabel kepada
polynomial kuadratik.
Tabel
1. 0.1400 4.09642. 0.4300 4.72843. 0.5800 5.22314. 0.9100 5.99845. 1.3000 6.89896. 2.0000 7.23077. 2.2000 7.33068. 2.5000 7.87569. 2.7000 7.990810. 3.2000 8.130311. 3.5000 8.430212. 4.1000 8.544413. 4.4000 8.893114. 4.9000 9.043215. 6.3000 9.3240
Penyelesaian
Persamaan simultan untuk menemukan harga koefisien-koefisien
kuadratik dalam masalah ini secara umum mengambil bentuk
Untuk masing-masing elemen matriks persamaan simultan di atas dapat dilihat pada tabel
Tabel
1. 0.1400
0.0196 0.0027 0.000 4.0964 0.5735 0.0803
2. 0.4300
0.1849 0.0795 0.034 4.7284 2.0332 0.8743
3. 0.5800
0.3364 0.1951 0.113 5.2231 3.0294 1.7571
4. 0.9100
0.8281 0.7536 0.685 5.9984 5.4585 4.9673
5. 1.3000
1.6900 2.1970 2.900 6.8989 8.9686 11.6591
6. 2.0000
4.0000 8.0000 16.400 7.2307 14.4614
28.9228
7. 2.2000
4.8400 10.6480
23.400 7.3306 16.1273
35.4801
8. 2.5000
6.2500 15.6250
39.100 7.8756 19.6890
49.2225
9. 2.7000
7.2900 19.6830
53.100 7.9908 21.5752
58.2529
10. 3.2000
10.2400
32.7680
104.900
8.1303 26.0170
83.2543
11. 3.5000
12.2500
42.8750
150.100
8.4302 29.5057
103.2699
12. 4.1000
16.8100
68.9210
282.600
8.5444 35.0320
143.6314
13. 4.4000
19.3600
85.1840
374.800
8.8931 39.1296
172.1704
14. 4.9000
24.0100
117.6490
576.500
9.0432 44.3117
217.1272
15. 6.3000
39.6900
250.0470
1575.300
9.3240 58.7412
370.0696
Jmlh
39.1600
147.7990
654.6279
3199.000
109.7381
324.6533
1280.007
Secara eksplisit, persamaan linier simultan untuk menemukan
selanjutnya dapat ditampilkan dalam bentuk matriks yaitu
Dengan menyelesaikannya menggunakan metode eliminasi Gauss atau Gauss-
Jordan, maka diperoleh harga-harga
Polinomial kuadratik hasil pencocokan selanjutnya dapat dinyatakan sebagai
B. Interpolasi
1. Interpolasi Linier
SOAL
Diketahui kecepatam suatu kelereng terhadap waktu sebagai berikut ;
Tentukan interpolasi linier dari persamaan di atas ketika x bernilai 75
Penyelesaian :
Jadi interpolasi linier pada saat x = 75 adalah 0
2. Interpolasi Kuadratik
SOAL
Akan dicari nilai ln 2 (dengan nilai exact ln 2 = 0.69314718), jika diketahui data :x 0 =1 ,f ( x0)=0
Penyelesaian
:x1 =4 ,f ( x1 )=1 . 3862944
:x2 =6 ,f ( x2)=1. 7917595
maka : f 2( x2 )=b0+b1( x0−x0)+b2( x0−x0 )( x0−x1 )
b0= f ( x0 )=0
b1=1.3862944−0
4−1= 0. 46209813
b2=
1 . 7917595−1 .38629446−4
−0 . 46209813
6−1=−0 . 051873116
f 2(2 )=0+0 . 46209813 (x1−1)−0 .051873116 ( x−1 )(x−4 )=0. 56584436
dengan, Et =
0 .69314718−0 .565844360 . 69314718
x100 % = 18 . 4 %
3. Interpolasi Polinom
SOAL
Diberikan empat buah titik data yaitu ln(1.5)= 0.4054, ln(2)= 0.6931, ln(4)=
1.3862, ln(5)= 1.6094. Tentukan nilai ln(5.5) menggunakan metode interpolasi
kubik.
Penyelesaian:
Selesaikan persamaan diatas dengan metode Eliminasi gauss;
Didapat nilai a0 = -0.9052, a1= 1.1407, a2 = -0.1996, a3 = 0.0144 Polinom
kubiknya adalah
BAB 5
INTEGRASI NUMERIK
A.Formulasi Integrasi Newton Cotes
1. Aturan Trapesium
SOAL
Diberikan tabel data berikut:
x 0 1 2 3 4
f (x) 1 3 9 19 33
Hitung luasan di bawah fungsi f (x) dan di antara x = 0 dan x = 4, dengan menggunakan metode trapesium dan trapesium dengan koreksi ujung.
Penyelesaian:
Integral numerik dihitung dengan persamaan (7.6):
I= Δx2 [ f ( a)+ f (b )+2 ∑
i = 1
n− 1
f ( xi )]=12
[1 +33 + 2(3+9+19) ] =48 .
Apabila digunakan metode trapesium dengan koreksi ujung, integral dihitung dengan persamaan (7.10):
I= Δx2 [ f ( a)+ f (b )+2 ∑
i = 1
n − 1
f ( x i )]− Δx2
12[ f ' (b )−f ' ( a) ]
Turunan pertama pada ujung-ujung dihitung dengan diferensial beda hingga:
f ' ( x1=a=0 )=f ( x2)−f ( x1 )
x2−x1
=f (1 )−f (0)
1−0= 3−1
1= 2 .
f ' ( xn= b = 4 ) =f ( xn)−f ( xn −1)
xn−xn − 1
=f (4 )−f (3 )
4−3= 33−19
1=14 .
I= 12
[1+33+2(3+9+19 )] − 112
(14−2 )= 48−1 =47 .
SOAL
Gunakan metode trapesium satu pias untuk menghitung, I=∫
0
4
e x dx .
Penyelesaian:
Bentuk integral diatas dapat diselesaikan secara analitis:
I =∫0
4
ex dx=[ex ]04=[e4−e0 ]=53 , 598150 .
Hitungan integral numerik dilakukan dengan menggunakan persamaan (7.2):
I≈(b−a )f ( a)+ f (b )
2= (4−0 ) e0+e4
2=111 , 1963 .
Untuk mengetahui tingkat ketelitian dari integral numerik, hasil hitungan numerik dibandingkan dengan hitungan analitis.
Kesalahan relatif terhadap nilai eksak adalah:
ε t=53 ,598150−111 ,196353 ,598150
×100 %=−107 , 46 %.
Terlihat bahwa penggunaan metode trapesium satu pias memberikan kesalahan sangat besar (lebih dari 100 %).
2. Aturan Simpson
SOAL
Hitunglah volume sebuah benda putar, pada contoh 4.3 menggunakan
perluasanaturan Simpson 1/3 dengan N=2,4,8,16,32,64. Nilai benar adalah
I=11,7286.
Penyelesaian
Kalkulasi untuk N=2 dan 4 ditunjukkan sebagai berikut:
Integrasi dengan N yang lain memberikan hasil sebagai berikut:
B.Integrasi Romberg dan Kuadratur Gauss
1.Integrasi Romberg
SOAL
Hitung integral ∫0
11
1+xdx dengan metode Romberg (n = 8). Gunakan 5 angka di
belakang koma.
Penyelesaian :
Jarak antar titik : h = (1-0)/ 8 = 0,125
Table titik – titik didalam selang [ 0,1 ] dengan h = 0,125:
Tabel Romberg:
K O(h2) O(h4) O(h6) O(h8)
0 0.75000
1 0.70833 0.69445
2 0.69702 0.69325 0.69317
3 0.69412 0.69315 0.69314 0.69314
Jadi
2.Kuadratur Gauss
SOAL
- Diketahui Carilah integrasinya dengan batas bawah =
0, batas atas =1½, menggunakan metode :
a. Kuadrat Gauss 2 titik
b. Kuadrat Gauss 3 titik
Penyelesaian :
ditransformasikan dengan
Menjadi :
Sehingga
Jadi,
-Kuadratur Gauss 2 titik menghasilkan nilai 0,8907.
-Kuadratur Gauss 3 titik menghasilkan nilai 0,8906
Daftar Pustaka
Kawula, P. (2012, May 6). Metode Numerik. Retrieved from Academia.edu: https://www.academia.edu/3185302/Metode_Numerik
Razaq, S. (2012, 12 7). soal metode numerik. Retrieved from razaqshideqi: http://razaqshideki.files.wordpress.com/2012/12/soal-metode-numerik.pdf
Bela, A. (2010, 6 19). Sistem Persamaan Aljabar Linear Metode Gauss Jordan. Retrieved from belasblog: http://belasblog.files.wordpress.com/2010/06/sistem-persamaan-aljabar-linear-metode-gauss-jordan.pdf