TEMA 6: Ecuaciones
6.1 Ecuaciones . Solución de una ecuaciónEjemplo1. Determina si las siguientes expresiones son ecuaciones:
a. 3x � 15 � 0
Ecuación con la x en el denominadorb. a2 � 5 � 8a � 3
Ecuación polinómicac. 3 � 3
No es una ecuación, es una verdad matemáticad. 3x � 1 � 7
Ecuación polinómicae. 5 x2 � 2x � 1 � 67x � 9
Ecuación con radicalesf. 2x3�3x2�3x�3 � 56
Ecuación con la x en el exponente2. Determina si �2 es solución de alguna de estas ecuaciones:
a. 4x � 8 � 3Sustituimos x por el valor �24 � ��2� � 8 � 3�8 � 8 � 3 FALSOEntonces no es solución
b. �x � 1�2 � x2 � 2x � 1Sustituimos x por el valor �2��2 � 1�2 � ��2�2 � 2 � ��2� � 112 � 4 � 4 � 1 CIERTOEntonces es solución
Tareas 08-01-16: todos los ejercicios de la página 1043 Tanteando, halla la solución de las siguientes ecuaciones:
a. 4x � 8 � 3� Hacemos x � 1
4 � 1 � 8 � 34 � 8 � 3�4 � 3 no vale
� Hacemos x � 24 � 2 � 8 � 38 � 8 � 30 � 3 no vale
� Hacemos x � 34 � 3 � 8 � 312 � 8 � 34 � 3 no vale
� Hacemos x � 114
4 � 114
� 8 � 3
11 � 8 � 33 � 3 si vale
4 Encuentra la solución, aproximando hasta las décimas, de las siguientes ecuaciones. Hazlo portanteo ayudándote de la calculadora.
1
a. x4 � 3 � 20500� Hacemos x � 300
3004 � 3 � 8100 000 003� Hacemos x � 11
114 � 3 � 14 644� Hacemos x � 12
124 � 3 � 20 739Entonces estará entre 11 y 12� Hacemos x � 11. 4
11. 44 � 3 � 16893� Hacemos x � 11. 8
11. 84 � 3 � 19391.� Hacemos x � 11. 9
11. 94 � 3 � 20056.La aproximación hasta las décimas es 12.0
Tareas 08-01-16: todos los ejercicios de la página 105
6.2 Ecuaciones de primer gradoEjemplo1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado aplicando las transformaciones propias de
esta situación:a. 3x � 6 � 5x � 17
3x � 6 � 6 � 5x � 17 � 63x � 5x � 17 � 63x � 5x � 5x � 5x � 17 � 63x � 5x � 17 � 6�2x � 23�2x�2
� 23�2
x � 23�2
b. 3x � 6 � 5x � 173�x � 2� � 5x � 173�x � 2�
3� 5x � 17
3x � 2 � 5x
3� 17
32. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
a. 4x � 6 � 84x � 8 � 64x � 14
x � 144
� 72
b. 6 � 3�x � 5� � 9 � 2�7x � 8�, Solution is: 2817
6 � 3x � 15 � 9 � 14x � 1621 � 9 � 16 � 14x � 3x28 � 17x
x � 2817
c. 3x � 54
� 7 � x3
� 1 � 6x � 86
, Solution is: 3925
�3x � 5�312
��7 � x�4
12� 12
12�
2�6x � 8�12
�3x � 5�3 � �7 � x�4 � 12 � 2�6x � 8�9x � 15 � 28 � 4x � 12 � 12x � 16
2
13x � 12x � �4 � 15 � 2825x � 39
x � 3925
Tareas 13-01-16: todos los ejercicios de la página 107
6.3 Ecuaciones de segundo gradoEjemplo1. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado calculando por separado el discriminante:
a. x2 � 174
x � 154
� 0
4 x2 � 174
x � 154
� 0
4x2 � 17x � 15 � 0
Ecuación de 2º grado completa con
a � 4
b � 17
c � �15
x ��b � b2 � 4ac
2a�
�17 � 172 � 4 � 4 � ��15�2 � 4
��17 � 529
8� �17 � 23
8�
�
�17 � 238
� 34
�17 � 238
� � 5
� � 172 � 4 � 4 � ��15� � 529 � 0 �tenemos dos soluciones distintas529 � 23
b. 0 � x2 � 28x � 196
Ecuación de 2º grado completa con
a � 1
b � 28
c � 196
x ��b � b2 � 4ac
2a�
�28 � 282 � 4 � 1 � 1962 � 1
��28 � 0
2� �28
2� � 14
� � 282 � 4 � 1 � 196 � 0 � 0 �entonces tenemos una solución única doblec. 0 � x2 � 4x � 13
Ecuación de 2º grado completa con
a � 1
b � �4
c � 13
x ��b � b2 � 4ac
2a�
���4� � ��4�2 � 4 � 1 � 13
2 � 1�
4 � �362
no tiene solución pues no podemos calcular raíces de números negativos� � ��4�2 � 4 � 1 � 13 � � 36 � 0 �entonces no tiene solución
Tareas 14-01-16: todos los ejercicios de la página 1082 Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado incompletas, y calcula su discriminante:
a. 45x2 � 5 � 045x2 � 5
x2 � 545
x2 � 19
x � � 19
� � 13
3
Ecuación de 2º grado incompleta con
a � 45
b � 0
c � �5
� � b2 � 4ac � 02 � 4 � 45 � ��5� � 900 � 0 �tienes dos soluciones distintasb. 6x � 27x2 � 0
x�6 � 27x� � 0"El producto de dos números es cero si uno de ellos es cero "
x � 0
6 � 27x � 0 � 6 � 27x � x � 627
� 29
Ecuación de 2º grado incompleta con
a � �27
b � 6
c � 0
� � b2 � 4ac � 62 � 4 � ��27� � 0 � 36 � 0 � tienes dos soluciones distintasTareas 14-01-16: todos los ejercicios de la página 1093 Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado:
a. x � 14
x � 14
� �x � 1�2 � 1516
� �x � 1�2 � 4x
x2 � 14
2� x2 � 2 � x � 1 � 12 � 15
16� x2 � 2 � x � 1 � 12 � 4x
x2 � 116
� x2 � 2x � 1 � 1516
� x2 � 2x � 1 � 4x
x2 � 116
� 2x � 1516
� 2x
x2 � 116
� 2x � 1516
� 2x � 0
x2 � 1616
� 0
x2 � 1 � 0x2 � 1x � � 1 � �1
Tareas 15-01-16: todos los ejercicios de las páginas 110 y 111.
6.4 Resolución de problemas con ecuacionesTareas 18-01-16: todos los ejercicios de las páginas 112 y 113.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS1.
f x � 7 � 2x � 11 pues al restarle 7 nos da 4 cuya raíz es 2
Tareas 20-01-16: todos los ejercicios que faltan del 12
4
d x3 � x2 � x � 15Vamos dando valores a la x hasta acertar:� x � 2 23 � 22 � 2 � 2� x � 5 53 � 52 � 5 � 95� x � 3 33 � 32 � 3 � 15
La solución es x � 3Tareas 20-01-16: todos los ejercicios que faltan del 23
f x0.75 � 17Vamos dando valores a la x hasta quedarnos muy próximos a la solución:� x � 4 40.75 � 2. 828 4� x � 10 100.75 � 5. 623 4� x � 20 200.75 � 9. 457 4� x � 40 400.75 � 15. 905� x � 45 450.75 � 17. 374� x � 43 430.75 � 16. 792� x � 44 440.75 � 17. 084
Tareas 20-01-16: todos los ejercicios que faltan del 34
d 4�2x � 7� � 3�3x � 1� � 2 � �7 � x�8x � 28 � 9x � 3 � 2 � 7 � x�x � 31 � �5 � x5 � 31 � x � x�26 � 2x
x � �262
� � 13
Comprobación:� 4�2��13� � 7� � 3�3��13� � 1� � 4��26 � 7� � 3��39 � 1� � 4 � ��33� � 3��38� �
� �132 � 114 � � 18� 2 � �7 � ��13�� � 2 � �7 � 13� � 2 � 20 � �18
Tareas 20-01-16: todos los ejercicios que faltan del 45
e 2x � 43
� 3 � 4 � x2
m. c. m. �3, 2� � 6
5
�6 � 3� � �2x � 4�6
��6 � 1� � 3
6�
�6 � 2� � �4 � x�6
Como tenemos una igualdad entre fracciones que tienen todas el mismodenominador se pueden suprimir los denominadores:2�2x � 4� � 6 � 3 � 3�x � 4�4x � 8 � 18 � 3x � 124x � 3x � 6 � 87x � 14
x � 147
� 2
Tareas 20-01-16: todos los ejercicios que faltan del 56
d 2x � 12�1 � 3x� � 3
5�x � 2� � 1
4�3 � x� m. c. m. �2, 5, 4� � 20
20 � 2x � 10 � 1 � �1 � 3x� � 4 � 3 � �x � 2� � 5 � 1 � �3 � x�40x � 10 � 30x � 12x � 24 � 15 � 5x�2x � 14 � 15 � 5x�2x � 5x � 15 � 143x � 1
x � 13
Comprobación:
� 2 � 13
� 12�1 � 3 � 1
3� � 3
5� 1
3� 2� � 2
3� 1
2�1 � 1� � 3
5� 1 � 6
3� �
� 23
� 1 � 35
� �53
� 23
� 1 � 1 � 23
�14�3 � 1
3� � 1
4� 9 � 1
3� � 1
4� 8
3� 8
12� 2
3Tareas 20-01-16: todos los ejercicios que faltan del 67
cx�x � 1�
2�
�2x � 1�2
8� 3x � 1
4� 1
8m. c. m. �2, 8, 4� � 8
4x�x � 1� � ��2x�2 � 2 � 2x � 1 � 12� � 2�3x � 1� � 14x2 � 4x � 4x2 � 4x � 1 � 6x � 2 � 18x � 6x � 28x � 6x � 22x � 2
x � 22
� 1
Advertencia: los deberes se entregarán a las 12:50 de la clase del día22-01-16Tareas 21-01-16: todos los ejercicios que faltan del 78
6
d x � 2x � 74
� 2x � x � 12
m. c. m. �4, 2� � 4
4x � 2x � 7 � 8x � 2x � 24x � 7 � 8x � 2�7 � 2 � 8x � 4x�5 � 4x
x � �54
Comprobación:
��54
�2 � �5
4� 7
4� �5
4�
�104
� 7
4�
�20 � 10 � 2844
�
�5844
� 2 � �54
�
�54
� 1
2� �10
4�
�5 � 442
� �104
�
�942
� �104
�2 � �9
44
�
�
�4044
�
�1844
�
�5844
Tareas 21-02-16: todos los ejercicios que faltan del 89
d�x � 1�2
16� 1 � x
2�
�x � 1�2
16� 2 � x
4m. c. m. �16, 2, 4� � 16
�x � 1�2 � 8�1 � x� � �x � 1�2 � 4�2 � x�x2 � 2x � 1 � 8 � 8x � x2 � 2x � 1 � 8 � 4x�6x � �6x0 � 0Como la igualdad es cierta para cualquier valor de la x, la ecuación tiene infinitassoluciónes (cualquier valor que le des a la x la cumple)
Tareas 21-02-16: todos los ejercicios que faltan del 910
d x�8x � 1� � �3x � 4�2 � x�7 � x� � 2�x � 4�8x2 � x � ��3x�2 � 2 � 3x � 4 � 42� � 7x � x2 � 2x � 88x2 � x � 9x2 � 24x � 16 � 5x � x2 � 88x2 � x � 9x2 � 24x � 5x � x2 � 16 � 818x � 24
x � 2418
� 43
Tareas 21-02-16: todos los ejercicios que faltan del 10
7
11
a. 3x2 � 12x � 0Ecuación de 2º grado incompleta pues c � 03x�x � 4� � 0Un producto es igual a cero si uno de los multiplicandos es cero.� x � 0
Ó� x � 4 � 0
x � 4Tenemos dos soluciones distintas
h 3x2 � 6 � 0Ecuación de 2º grado incompleta pues b � 03x2 � 6
x2 � 63
� 2
x � � 2Tareas 21-01-16: todos los ejercicios que faltan del 11Tareas 22-01-16: 12, 1314
d 5�x � 2�2 � �7x � 3��x � 2� � 05�x2 � 4x � 4� � �7x2 � 14x � 3x � 6� � 05x2 � 20x � 20 � 7x2 � 17x � 6 � 0�2x2 � 3x � 14 � 0
Ecuación de 2º grado completa con
a � �2
b � 3
c � 14
x ��b � b2 � 4ac
2a�
�3 � 32 � 4 � ��2� � 14
2 � ��2��
�3 � 121�4
� �3 � 11�4
�
�
�3 � 11�4
� 8�4
� �2
�3 � 11�4
� �14�4
� 72
Tareas 26-01-16: todos los ejercicios que faltan del 1415
d �x � 4�2 � �2x � 1�2 � 8x
8
x2 � 8x � 16 � �4x2 � 4x � 1� � 8xx2 � 16 � 4x2 � 4x � 1 � 0�3x2 � 4x � 15 � 0
Ecuación de 2º grado completa con
a � �3
b � 4
c � 15
x ��b � b2 � 4ac
2a�
�4 � 42 � 4 � ��3� � 15
2 � ��3��
�4 � 196�6
� �4 � 14�6
�
�
�4 � 14�6
� 10�6
� � 53
�4 � 14�6
� �18�6
� 3
Tareas 26-01-16: todos los ejercicios que faltan del 1516
e x � 12
��x � 1�2
4� x � 2
3�
�x � 2�2
6� 1
6m. c. m. �2, 4, 3, 6� � 12
6�x � 1� � 3�x2 � 2x � 1� � 4�x � 2� � 2�x2 � 4x � 4� � 26x � 6 � 3x2 � 6x � 3 � 4x � 8 � 2x2 � 8x � 8 � 2�x2 � 3 � 2 � 0�x2 � 1 � 0Ecuación de 2º grado incompleta pues b � 01 � x2
x � � 1 � �1Tareas 26-01-16: todos los ejercicios que faltan del 1617
d x2 � 43
��2x � 2�2
8� 7x2 � 10
12m. c. m. �3, 8, 12� � 24
8�x2 � 4� � 3�4x2 � 8x � 4� � 2�7x2 � 10�8x2 � 32 � 12x2 � 24x � 12 � 14x2 � 2020x2 � 14x2 � 24x � 20 � 20 � 06x2 � 24x � 0Ecuación de 2º grado incompleta pues c � 06x�x � 4� � 0El producto de dos números es cero si uno de ellos es cero.� x � 0
Ó� x � 4 � 0
9
x � 4Tareas 26-01-16: todos los ejercicios que faltan del 1718
d 15x � 72 � 6x
2x2 � 2 m. c. m�x, 2x2� � 2x2
�2x2 � x� � 152x2 �
�2x2 � 2x2� � �72 � 6x�2x2 �
�2x2 � 1� � 22x2
30x � 72 � 6x � 4x2
0 � 72 � 6x � 30x � 4x2
0 � 72 � 36x � 4x2
0 � �18 � 9x � x2�40 � 18 � 9x � x2
Ecuación de 2º grado completa con
a � 1
b � �9
c � 18
x ��b � b2 � 4ac
2a�
���9� � ��9�2 � 4 � 1 � 18
2 � 1�
9 � 92
� 9 � 32
�
�
9 � 32
� 122
� 6
9 � 32
� 62
� 3
Tareas 26-01-16: todos los ejercicios que faltan del 18Tareas 27-01-16: 19, 2021
El primer número impar es 2x � 1, el siguiente número impar es 2x � 3 y el tercer número impares 2x � 5"tres números impares consecutivos cuya suma es 117" 2x � 1 � 2x � 3 � 2x � 5 � 117Hay que resolver la ecuación planteada:6x � 117 � 9
x � 1086
� 18
Entonces los números impares son
2 � 18 � 1 � 37
39
41
Comprobación: 37 � 39 � 41 � 117Tareas 27-01-16: 22, 2324
Llamamos x al precio inicial.
10
Los datos que nos dan son:� el precio ha subido un 15% en diciembre:
¿Cuánto costaban los zapatos en diciembre?
x � 15x100
� x � 0. 15x � 1. 15x
� el precio ha bajado un 20% en enero:¿Cuánto costaban los zapatos en enero?
1. 15x � 20 � 1. 15x100
� 1. 15x � 23. 0x100
� 1. 15x � 0. 23x � 0. 92x
� el precio inicial ha disminuido en 6. 96 euros:0. 92x � x � 6. 96
Resolver la ecuación:�x � 0. 92x � �6. 96�0. 08x � �6. 96
x � �6. 96�0. 08
� 87. 0
El precio inicial era 87 eurosTareas 27-01-16: 25, 2627
El primer entero es x, su siguiente es x � 1Tenemos que:� "la suma de sus cuadrados es 145" x2 � �x � 1�2 � 145
Resolver la ecuación:x2 � x2 � 2x � 1 � 1452x2 � 2x � 144 � 02�x2 � x � 72� � 0"El producto de números es cero si uno de ellos es cero"x2 � x � 72 � 0
Ecuación de 2º grado completa con
a � 1
b � 1
c � �72
x ��b � b2 � 4ac
2a�
�1 � 12 � 4 � 1 � ��72�2 � 1
� �1 � 172
�
�
�1 � 172
� 162
� 8
�1 � 172
� �182
� �9
Las soluciones son : �8, 9�,��9,�8�Comprobación:� 82 � 92 � 145� ��9�2 � ��8�2 � 145
Tareas 27-01-16: 28, 29
30
Llamamos x a los años que tienen que transcurrir:Tenemos la tabla siguiente:
11
edad actual edad después de x años
padre 43 43 � x
hijo mayor 11 11 � x
hijo menor 9 9 � x
Los datos son:"entre los dos hijos igualen la edad del padre" 43 � x � 11 � x � 9 � xResolver la ecuación:43 � 20 � xx � 23Tienen que pasar 23 años
Tareas 27-01-16: 31,3233
Consideramos la tabla siguiente:
aceite de orujo aceite de oliva mezcla
cantidad (l) x 60 60 � x
precio (euros/l) 1. 60 2. 80 2. 50
coste x � 1. 6 60 � 2. 80 � 168. 0 2. 5�60 � x�
El coste de la mezcla tiene que ser igual al coste de los ingredientes:1. 6x � 168 � 2. 5�60 � x�, Solution is: 20. 01. 6x � 168 � 150 � 2. 5x168 � 150 � 2. 5x � 1. 6x18 � 0. 9x
x � 180. 9
� 20. 0
Se necesitan 20 l de aceite de orujoTareas 28-01-16: 34,3536
x son las plazas del autobusLos datos que te dan son:� con todas las plazas ocupadas el precio del billete es 12 euros 12 � x cuesta utilizar el
autobus� 4 plazas libres el viaje cuesta 13.5 euros �x � 4� � 13. 5 cuesta utilizar el autobus
En ambos casos el coste es el mismo:12x � �x � 4�13. 5, Solution is: 36. 012x � 13. 5x � 5454 � 13. 5x � 12x
x � 541. 5
� 36. 0
El autobus tiene 36 plazasTareas 28-01-16: 37,3839
12
Llamamos x a la cantidad ingresada en el banco primero.Tenemos los siguientes datos:
� x va a la cuenta que le dan un 4% 4% de x � 4x100
me dan anualmente
� 28000-x va a la cuenta que le dan 3.5% 3. 5% de �28000 � x� �3. 5�28000 � x�
100me dan
anualmente� la primera parte produce anualmente 220 euros más que la
segunda 4x100
� 220 �3. 5�28000 � x�
100Resolvemos la ecuación:
4x100
� 220 �3. 5�28000 � x�
100, Solution is: 16000. 0
4x � 22000 � 98000 � 3. 5x4x � 3. 5x � 120000
x � 1200007. 5
� 16000. 0
28000 � 16000 � 12 000Colocamos en un banco 16000 euros y 12000 euros en el otro.
Tareas 28-01-16: 37,3842
El tiempo que conduce a 80 km/h es xLos datos que tenemos es que:� se para 15 min
� conduce un buen rato a 100 km/hrecorre una distancia de 100�2 � 34
� x�
� recorre 250 km 250 � x � 80 � 100�2 � 34
� x�
� tarda 3 horas contando la paradaestá en movimiento 2 horas y 45 minutos (se para 15minutos)
� e � v � tResolvemos la ecuación:
250 � x � 80 � 100�2 � 34
� x�
250 � x � 80 � 100�2. 75 � x�, Solution is: 1. 25Esta conduciendo a 80 km/h una hora y quince minutos.
Tareas 28-01-16: 40,41Tareas 29-01-16: 43,4445
Realizamos un dibujo de la situación:
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Sabemos que el área de un rectángulo es base por la altura:60 � �x � 5��x � 2�, Solution is: 7,�1060 � x � x � x � 2 � 5 � x � 5 � 2Los lados del rectángulo son 7 y 7 � 5 � 12 en cm
Tareas 29-01-16: 46,4748
El resto es 101 en vez de 475.Se cumple que: D � d � c � rLlamamos x al número menorLos datos que tenemos son:� dos números naturales que suma 85el número mayor será 85 � x� al dividir el cuadrado del mayor entre el cuadrado del menor se obtiene 5 de cociente y
101 de resto �85 � x�2 � x2 � 5 � 101Resolvemos la ecuación:
�85 � x�2 � x2 � 5 � 101, Solution is: 26,� 1372
852 � 2 � 85 � x � x2 � x2 � 5 � 101Sòlo nos vale el 26.Los números naturales pedidos son 26 y 85 � 26 � 59
Tareas 29-01-16: 49,50,5251
El grifo uno (rápido) tarda x horas en llenar el depósito.El grifo dos (lento) tarda 2x horas en llenar el depósito.Los datos adicionales son:
� abriendo los dos a la vez, tardan ocho horas en una hora 18
del depósito se
llenará 18
� 1x � 1
2x� en una hora el grifo uno llena 1
xdel depósito.
� en una hora el grifo dos llena 12x
del depósito.
Resolvemos la ecuación:18
� 1x � 1
2x, Solution is: 12
18
� 1x � 1
2xm. c. m. �8, x, 2x� � 8x
�8x � 8� � 18x
��8x � x� � 1
8x�
�8x � 2x� � 18x
Como a ambos lados de la igualdad tenemos el mismo denominador, los puedo suprimir.x � 8 � 4x � 12
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