Tor Vergata
M. Salerno 1Kirchhoff
Reti elettricheUna rete elettrica consiste in una opportuna connessione di un insieme prefissato di componenti
A volte invece che rete elettrica si utilizza la locuzione circuito elettrico.Nel presente contesto le due locuzioni sono quasi sinonimi.Ciò non è vero in generale.
Esempi
In elettronica si dice circuito elettronico e circuito integrato, ecc.
In telecomunicazioni, si dice circuito telefonico, circuito a due o a quattro fili, circuito di giunzione, per indicare singole connessioni operative. Invece, rete telefonica indica l’insieme dei circuiti usati in un certo ambito (p. es., rete telefonica interurbana).
In impiantistica, si dice rete elettrica di trasmissione o di distribuzione.
Una rete elettrica è ottenuta assegnandoi componenti , i nodi della rete e la tabella di connessione
Esempio: rete di 7 componenti e 5 nodi
Componenti
+
Nodi1 2 3 4 5
R1 1 2Vg 1 4L 4 5R2 3 5
C 2 3Ig 3 5T1 2 5T2 3 4
Tabella di connessione
La tabella di connessione descrive completamente la rete e viene impiegata, p.es., nei sistemi di analisi automatica.
Le reti elettriche possono essere estremamente complesse.P.es., nei circuiti integrati si possono avere reti con milioni di componenti e centinaia di migliaia di nodi
Ogni riga della tabella di connessione è detta ramo della rete
Si ha un ramo per ogni componente bipolare
Si hanno 2 rami per ogni componente 2-porte
Esempi:Il ramo L 4 5 corrisponde all’induttore
I rami T1 2 5T2 3 4 corrispondono al trasformatore
L’insieme dei fili di connessione è spesso detto schema di cablaggio. Tale schema è spesso utile per l’effettivo montaggio del circuito.Tuttavia lo schema di cablaggio è spesso di difficile lettura.
Si possono ottenere schemi elettrici semplificati disponendo opportunamente i nodi nel piano
1
2 34
5
+
Tor Vergata
M. Salerno 2Kirchhoff
Il grafo di una rete elettrica è uno schema di connessione che prescinde dai componenti usati
Grafo di una rete elettrica
Ramo
Nel grafo non sono indicati i componenti, ma solo i relativi rami, rappresentati da segmenti
Esempio+
Rete elettrica
1
2 34
5Grafo
I rami del grafo sono identificati con lettere o con numeri
a b
cd
e
f
g
h
Per ogni ramo occorre considerare una tensione e una corrente. Per tutti rami è usata la convenzione delle potenze entranti:
Ramo k-esimo +vk , ik
Per semplicità il segno della tensione non viene indicato:
Ramo k-esimovk , ik
Scegliendo per ogni ramo un verso arbitrario si ottiene il grafo orientato o schema topologico della reteGrafo orientato
orientato
Matrice di connessione [C ] ,
di dimensioni R x N con R = numero dei rami N = numero dei nodi
Cij = -1 se il ramo i esce dal nodo
j = 1 se il ramo i entra nel nodo j = 0 altrimentiEsempio: R = 8 ; N = 5
rami 1 -1 0 0 0-1 0 0 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 1 0 -1 0 1 -1 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 1 -1 0 0 1 0 0 -1
[C ] =
1 2 3 4 5
abc
def
g
h
nodi
Tor Vergata
M. Salerno 3Kirchhoff
Leggi di KirchhoffDato il grafo orientato di una rete, è possibile scrivere le leggi Kirchhoff
Legge di Kirchhoff alle tensioni:La somma algebrica delle tensioni presenti su una maglia della rete è uguale a zero
Maglia: un insieme di rami che individua un percorso chiuso
Verso di maglia: l’ordine di percorrenza del percorso chiuso
Il segno della tensione è positivo (negativo) se il verso di ramo coincide (non coincide) con il verso di maglia
Esempi
Esempio
Grafo orientato
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
Maglia abge
Esempio
Maglia abge
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
hVerso di maglia: orario
Legge di Kirchhoff alle tensioni
Va + Vb + Vg + Ve = 0
Esempio
Maglia hed
Maglia hed
Verso di maglia: orario
Legge di Kirchhoff alle tensioni
Vh - Ve – Vd = 0
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
Il numero delle leggi di Kichhoff che si possono scrivere è molto elevato
Le equazioni che si ottengono non sono fra loro indipendenti
Esempio
Maglia abge
abge
Esempio : maglia
Va + Vb + Vg + Ve = 01
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
Esempio gcd - Vg + Vc + Vd = 0
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
; gcdMaglia abge
Il ramo g è percorso dalle due maglie con verso opposto. Sommando membro a membro, si ha
Va + Vb + Vc + Vd + Ve = 0
abcdeche è l’equazione alla maglia
Esempio
Maglia abge gcd+ = abcde
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
Tor Vergata
M. Salerno 4Kirchhoff
Leggi di KirchhoffDato il grafo orientato di una rete, è possibile scrivere le leggi Kirchhoff
Legge di Kirchhoff alle correnti:La somma algebrica delle correnti, che attraversano un taglio della rete, è uguale a zero
Taglio: un insieme di rami che divide la rete in due parti non connesse
Esempi
Esempio
Grafo orientato
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
Taglio hdfgb
Esempio
Taglio hdfgb
Se si tagliano i rami individuati dal taglio, le sottoreti relative ai nodi [3,2,1] e ai nodi [4, 5] risultano separate
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
Si può assegnare un verso convenzionale al taglio, p. es., dai nodi [4, 5] ai nodi [3,2,1]
In molti casi un taglio separa un solo nodo da tutti gli altri
EsempiEsempio
Taglio aeh
Taglio aeh
Verso del taglio: dal nodo [2] ai nodi [1, 3, 4, 5]
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
Taglio egfd
Verso del taglio: dai nodi [2,1,4,5] al nodo [3]
Esempio
Taglio egfd
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
Nella legge di Kirchhoff, il segno della corrente è positivo (negativo) se il verso di ramo è concorde (non concorde) con il verso del taglio
Esempi
Taglio egfdVerso del taglio: dai nodi [2,1,4,5] al nodo [3]
- Ie + Ig - If + Id = 0
Esempio
Taglio hdfc
Taglio hdfcVerso del taglio: dai nodi [2,3,1,4] al nodo [5]
- Ih – Id + If + Ic = 0
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
Taglio agcVerso del taglio: dai nodi [2,3,5] al nodo [1, 4]
Ia – Ig – Ic = 0
Esempio
Taglio agc
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
Il numero delle leggi di Kichhoff che si possono scrivere è molto elevato
Le equazioni che si ottengono non sono fra loro indipendenti
Esempio: taglio
agc Ia – Ig – Ic = 0Esempio
Taglio agc ; aeh
aeh - Ia + Ie + Ih = 01
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
Il ramo a appartiene ai due tagli con verso opposto. Sommando membro a membro, si ha
- Ig – Ic + Ie + Ih = 0
Esempio
Taglio agc aeh+ = gcehche è l’equazione del taglio gceh
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
Tor Vergata
M. Salerno 5Kirchhoff
Leggi di KirchhoffLe leggi di Kirchhoff dipendono dal grafo del circuito, ma non dipendono dai componenti presenti.Due circuiti diversi, aventi lo stesso grafo, soddisfano le stesse leggi di Kichhoff.
Le leggi di Kirchhoff si esprimono in generale nel modo seguente:
k k Vk = 0 ; k k Ik = 0 con k = 1, … R e k e k pari a +1, -1, 0
R: numero dei rami (si ha coefficiente zero quando una corrente o una tensione non appare in una certa legge di Kirchhoff)
Le leggi di Kirchhoff si esprimono con equazionilineari, algebriche (prive di operatori differenziali), omogenee (prive di termini noti)
Le leggi di Kirchhoff valgono nel dominio del tempo.Essendo equazioni lineari, algebriche, a coefficienti costanti, valgono anche in qualunque dominio trasformato, definito da operatori lineari.
Le leggi di Kirchhoff si esprimono, nei domini del tempo, dei fasori e di Laplace,nello stesso modo e con gli stessi coefficienti k e k :
k k vk(t) = 0 ; k k ik(t) = 0 (dominio del tempo)
k k V k = 0 ; k k I k = 0 (dominio dei fasori)
k k Vk(s) = 0 ; k k Ik(s) = 0 (dominio di Laplace)
I domini di interesse nella analisi delle reti sono:
dominio del tempo, grandezze elettriche vk(t) , ik(t) dominio dei fasori, grandezze elettriche V k , I k (per il regime permanente)
dominio di Laplace, grandezze elettriche Vk (s) , I k (s)
Tor Vergata
M. Salerno 6Kirchhoff
Albero, coalberoUn insieme indipendente
di Leggi di Kirchhoff è tale che:
nessuna Legge appartenente all’insieme è combinazione
delle altre
ogni ulteriore Legge è combinazione delle Leggi appartenenti all’insieme
Per individuare insiemiindipendenti di Leggi di Kirchhoff, il grafo orientato della rete viene suddiviso in due sottografi complementari,
detti AlberoAlbero e CoalberoCoalbero
Per l’analisi di una rete, occorre individuare :
Un insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle tensioni
Un insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle correnti
Determinazione dell’Albero e del CoalberoSi tolgano alcuni rami dal grafo, in modo che:
non sia più presente nessuna maglia
il grafo rimanga connesso
Insieme dei rami residui: albero Insieme dei rami tolti: coalbero
Esempio
Esempio
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
Si può togliere qualsiasi ramo
Rami residui: abcdefgh Rami tolti: nessuno
Si tolga il ramo a
Rami residui: bcdefghRami tolti: a
Esempio1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
Si può togliere qualsiasi ramo
eccetto il ramo b (altrimenti il nodo 1 non è più connesso al resto del grafo)
Si tolga il ramo e
Rami residui: bcdfghRami tolti: ae
Esempio
Si può togliere qualsiasi ramo ,
eccetto i rami bh
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
Si tolga il ramo f
Rami residui: bcdghRami tolti: aef
Esempio1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
Si tolga il ramo d
Rami residui: bcghRami tolti: aefd
Esempio1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
Non si può togliere più alcun ramo
Albero: bcghCoalbero: aefd
R : numero dei ramiN : numero dei nodi
RA : numero dei rami dell’alberoRC : numero dei rami del coalbero
Nel caso dell’esempioRA = N – 1 = 4 ; RC = R – N + 1 = 4
[ in generale non risulta RA = RC ]
RA = 4 ; RC = 4 Nel caso generale, risulta:
RRCC = R – N + 1 = R – N + 1
RRAA = N – 1 = N – 1
Un numero di rami pari a N-1 permette di connettere N nodi, senza dare luogo
ad alcuna maglia
Albero: bcghCoalbero: aefd
Alcune coppie albero / coalbero
Esempio RA = 4 ; RC = 4
Albero: bcdhCoalbero: aefg
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
Albero: bcdhCoalbero: aefg Esempio RA = 4 ; RC = 4
Albero: abefCoalbero: cdgh
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
Albero: abefCoalbero: cdgh
Esempio RA = 4 ; RC = 4
Albero: abcdCoalbero: efgh
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
Albero: abcdCoalbero: efgh
Ai fini della presente trattazione tutte le coppie albero / coalbero sono equivalenti
Tor Vergata
M. Salerno 7Kirchhoff
Leggi alle tensioniSe si aggiunge all’albero un ramo Se si aggiunge all’albero un ramo del coalbero, si ottiene una magliadel coalbero, si ottiene una maglia
Tale ramo è detto
ramo di chiusura
Esempio RA = 4 ; RC = 4
Albero: abcdCoalbero: efgh
Esempio
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
Si aggiunga il ramo e
Esempio RA = 4 ; RC = 4
Albero: abcdCoalbero: efgh
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
Si ottiene la maglia e abcd
Esempio1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
RA = 4 ; RC = 4
Albero: abcdCoalbero: efgh
Il ramo di chiusura fissa:il verso della maglia,il nome della maglia.
Legge di Kirchhoff alle tensioni
alla maglia (e)
Ve + Va + Vb + Vc + Vd = 0
Questa procedura può essere ripetuta per ogni ramo del
coalbero
magliaLegge di Kirchhoff
Ve + Va + Vb + Vc + Vd = 0(e )
EsempioVf + Vd = 0
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
RA = 4 ; RC = 4
Albero: abcdCoalbero: efgh
(f )Esempio Vg – Vc – Vd = 0
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
RA = 4 ; RC = 4
Albero: abcdCoalbero: efgh
(g )EsempioVh + Va + Vb + Vc = 0
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
RA = 4 ; RC = 4
Albero: abcdCoalbero: efgh
(h )
Insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle tensioni
Le equazioni sono indipendenti, perché ognuna di esse contiene un termine
(tensione del ramo di chiusura) non presente nelle altre
coalbero albero
Espressione generale dell’insieme Espressione generale dell’insieme indipendente di Leggi di indipendente di Leggi di Kirchhoff alle tensioni Kirchhoff alle tensioni
[[VVC C ]] + + [[ AA ]] [[ VVA A ] ] = = [[00 ]]
[[VVC C ]] vettore colonna delle
tensioni del coalbero
[[VVA A ]] vettore colonna delle
tensioni dell’albero
[[ AA ]] matrice di RC righe e
RA colonne con elementi pari a +1 , -1 , 0 Vh 1 1 1 0 Vd
Vg 0 0 -1 -1 Vc
Vf 0 0 0 1 Vb
Ve 1 1 1 1 Va + = [0 ]
Usando le notazioni matriciali
Vh Vd
Vg Vc
Vf Vb
Ve Va [VC ] = ; [VA ] =
1 1 1 0
0 0 -1 -1 0 0 0 1 1 1 1 1 [ A ] =
Tor Vergata
M. Salerno 8Kirchhoff
Leggi alle correntiSe si elimina un ramo dall’albero, Se si elimina un ramo dall’albero,
la rete si divide in due parti la rete si divide in due parti separate, separate,
che definiscono un taglioche definiscono un taglio
Esempio
Esempio
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
RA = 4 ; RC = 4
Albero: abcdCoalbero: efgh
Si elimini il ramo a
Esempio1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
RA = 4 ; RC = 4
Albero: abcdCoalbero: efgh
Si ottiene il taglio a eh
Esempio1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
RA = 4 ; RC = 4
Albero: abcdCoalbero: efgh
Il ramo dell’albero fissa:il verso del taglio,il nome del taglio.
Legge di Kirchhoff alle correnti
per il taglio (a)
Ia – Ie – Ih = 0
Questa procedura può essere ripetuta per ogni ramo
dell’albero
taglioLegge di Kirchhoff
Ia - Ie - Ih = 0(a )Ib – Ie – Ih = 0
Esempio1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
RA = 4 ; RC = 4
Albero: abcdCoalbero: efgh
(b )Ic – Ie + Ig – Ih = 0Esempio
1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
RA = 4 ; RC = 4
Albero: abcdCoalbero: efgh
(c )Id - Ie - If + Ig = 0
Esempio1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
RA = 4 ; RC = 4
Albero: abcdCoalbero: efgh
(d )Insieme indipendente di
Leggi di Kirchhoff alle correnti
Le equazioni sono indipendenti, perché ognuna di esse contiene un termine
(corrente del ramo dell’albero) non presente nelle altre
albero coalbero
Usando le notazioni matriciali
Id -1 -1 1 0 Ih
Ic -1 0 1 -1 Ig
Ib -1 0 0 -1 If
Ia -1 0 0 -1 Ie + = [0 ]
Espressione generale dell’insieme Espressione generale dell’insieme indipendente di Leggi di indipendente di Leggi di Kirchhoff alle correnti Kirchhoff alle correnti
[[IIA A ]] + + [[BB ]] [[ IIC C ] = [] = [0 0 ]]
[[IIA A ]] vettore colonna delle
correnti dell’albero
[[IIC C ]] vettore colonna delle
correnti del coalbero
[[BB ]] matrice di RA righe e
RC colonne con elementi pari a +1 , -1 , 0
Id Ih
Ic Ig
Ib If
Ia Ie [IA ] = ; [IC ] =
-1 -1 1 0
-1 0 1 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 [B ] =
Tor Vergata
M. Salerno 9Kirchhoff
Variabili indipendenti
[[VVC C ]] = - = - [[ AA ] [ ] [ VVA A ]]
Leggi di Kirchhoff alle tensioniassegnate le tensioni dell’albero,
si possono calcolare le tensioni del coalbero
Poiché i soli rami dell’albero non definiscono alcuna maglia, le tensioni dei rami dell’albero
possono essere fissate arbitrariamente
Tensioni dell’albero: variabili indipendenti Le tensioni dei rami del coalbero non sono variabili indipendenti e
non possono essere fissate arbitrariamente
Rete di Tensioni: - generatori di tensione sui rami
dell’albero; - rami del coalbero aperti.
Esempio1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
RA = 4 ; RC = 4
Albero: abcd Coalbero: efgh
+ Va + Vb + Vc
+ Vd
Rete di Tensioni
[VC ] = - [ A ] [ VA ]
Le tensioni dei rami del coalbero si calcolano con l’espressione
Nella rete non circola alcuna corrente
[[IIA A ]] = - = - [[ BB ] [ ] [ IIC C ]]
Leggi di Kirchhoff alle correntiassegnate le correnti del coalbero,
si possono calcolare le correnti dell’albero
Poiché i soli rami del coalbero non definiscono alcun taglio,
le correnti dei rami del coalbero possono essere fissate
arbitrariamente
Correnti del coalbero: variabili indipendenti Le correnti dei rami dell’albero non sono variabili indipendenti e
non possono essere fissate arbitrariamente
Rete di Correnti: - generatori di corrente sui rami
del coalbero; - rami dell’albero in corto .
Esempio1
2 34
5
a b
cd
e
f
g
h
RA = 4 ; RC = 4
Albero: abcd Coalbero: efgh
Ie +
If
+
+Ig
Ih +
Rete di Correnti
[IA ] = - [ B ] [ IC ]
Le correnti dei rami dell’albero si calcolano con l’espressione
Tutte le tensioni della rete sono nulle
[[IIA A ]] = - = - [[ BB ] [ ] [ IIC C ]]
Leggi di Kirchhoff
[[VVC C ]] = - = - [[ AA ] [ ] [ VVA A ]]assegnate
[VA ] e [IC ]
si possono calcolare [VC ] e [IA ]
Tensioni dei rami dell’albero + Correnti dei rami del coalbero :
insieme di variabili indipendenti , che possono essere fissate in modo
arbitrario
Rete di Kirchhoff : - generatori di tensione sui rami
dell’albero; - generatori di corrente sui rami
del coalbero.
La Rete di Kirchhoff è la sovrapposizione di una Rete di Tensionie una Rete di Correnti
Esempio RA = 4 ; RC = 4
Albero: abcd Coalbero: efgh Rete di Kirchhoff
Ie +
If
+
+Ig
Ih +
+ Va + Vb + Vc
1
2 34
5
+ Vd Una Rete di Kirchhoff è analizzabile
utilizzando esclusivamente le Leggi di Kirchhoff
Tor Vergata
M. Salerno 10Kirchhoff
Teorema di Tellegen
La Rete di Kirchhoff
è definita per ogni grafo, in corrispondenza a ogni coppia albero/coalbero
permette di analizzare molte proprietà topologhe delle reti, cioè proprietà che dipendono dalla connessione dei componenti, prescindendo dalla natura dei componenti stessi a) da una generica rete, note le tensioni dei rami dell’albero e le
correnti dei rami del coalbero La Rete di Kirchhoff può essere ottenuta: b) da due reti aventi lo stesso grafo, utilizzando
la Rete di Tensioni dalla prima rete e la Rete di Correnti dalla seconda rete
Per una Rete di Kirchhoff, si consideri la rete ottenuta disattivando tutti i generatori, eccetto il generatore di tensione i-esimo e il generatore di corrente j-esimo
Vi sonotre casi si veda
l’esempio
Esempio RA = 4 ; RC = 4
Albero: abcd Coalbero: efgh Rete di Kirchhoff
Ie +
If
+
+Ig
Ih +
+ Va + Vb + Vc
1
2 34
5
+ Vd
a) Coppia [ Va ; Ig ]Esempio RA = 4 ; RC = 4
Albero: abcd Coalbero: efgh
+Ig
+ Va 1
2 34
5
cd
e
fh
Il taglio aeh , definito dal generatore di tensione, non attraversa la maglia gcd , definita dal generatore di corrente
Vg = 0 Vg = - Aga Va
Aga = 0
[VC ] = - [ A ] [ VA ][IA ] = - [ B ] [ IC ]
Si ricordi che
Ia = 0 Ia = - Bag Ig
Bag = 0
a) Aji = Bi j = 0
b) Coppia [ Va ; Ie ]Esempio RA = 4 ; RC = 4
Albero: abcd Coalbero: efgh
+ Va 1
2 34
5
cd fh
Ie
+ g
Il taglio aeh attraversa la maglia eacd ;versi di Ve e Va discordi
Ve = - Va Ve = - Aea Va
Aea = 1Ia = Ie Ia = - Bae Ie
Bae = - 1
b) Aji = - Bi j = 1
c) Coppia [ Vc ; Ig ]Esempio RA = 4 ; RC = 4
Albero: abcd Coalbero: efgh
1
2 34
5
d fh
e
a+Ig
+Vc
Il taglio cegh attraversa la maglia gcd ;versi di Vc e Vg concordi
Vg = Vc Vg = - Agc Vc
Agc = - 1Ic = - Ig Ic = - Bcg Ig
Bcg = 1
c) Aji = - Bi j = -1 Aji = - Bij
in ogni caso[ A ]T = - [ B ]
[.] T indica trasposizione
Esempio RA = 4 ; RC = 4
Albero: abcd Coalbero: efgh Rete di Kirchhoff
Ie +
If
+
+Ig
Ih +
+ Va + Vb + Vc
1
2 34
5
+ Vd
1 1 1 0
0 0 -1 -1 0 0 0 1 1 1 1 1 [ A ] =
-1 -1 1 0
-1 0 1 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 [B ] =
Le colonne di [ A ] corrispondono alle righe di [ B ] cambiate di segno (e viceversa)
1 1 1 0
0 0 -1 -1 0 0 0 1 1 1 1 1 [ A ] =
-1 -1 1 0
-1 0 1 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 [B ] =
1 1 1 0
0 0 -1 -1 0 0 0 1 1 1 1 1 [ A ] =
-1 -1 1 0
-1 0 1 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 [B ] =
1 1 1 0
0 0 -1 -1 0 0 0 1 1 1 1 1 [ A ] =
-1 -1 1 0
-1 0 1 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 [B ] =
Tor Vergata
M. Salerno 11Kirchhoff
Teorema di TellegenPotenza assorbita da una rete di Kichhoff
[ A ]T = - [ B ]
R vk ik = 0
R pk = 0
In una rete di Kirchhoff:Somma prodotti tensione-corrente = 0
[somma su tutti i rami, stessa convenzione di segno]
Somma potenze assorbite = 0 [somma su tutti i rami]
Somma potenze assorbite = = somma potenze erogate
[somma sul sottoinsieme 1] [somma sul sottoinsieme 2]
Suddiviso l’insieme dei rami in due sottoinsiemi, 1 e 2, complementari
coalberoalbero
R = RA + RC numero rami
Rami dell’albero pi = vi ii
RA RA
pj = vj ij Rami del coalbero = [VC ]T [IC ]RC RC
vi ii + vj ij = 0
pi + pj = 0RA
RA RC
RC
= [VA ]T [IA ] = - [VA ]T [ B ] [IC ]
= - [VA ]T [ A ]T [IC ]
Si ricordi che[IA ] = - [ B ] [IC ]
[VC ] = - [ A ] [VA ]
[VC ]T = - [VA ]T [ A ]T
a) Rete di Kirchhoff ottenuta da una rete generica Conservazione della potenza :
R vk (t) ik (t) = 0 ; R pk (t) = 0
b) Rete di Kirchhoff ottenuta da due reti aventi lo stesso grafo
R vk ik = 0 Teorema di Tellegen : vk : tensioni della prima rete ik : correnti della seconda rete
Applicazioni: conservazione potenza complessa reciprocità delle reti calcolo della sensibilità rispetto ai valori dei componenti
Tor Vergata
M. Salerno 12Kirchhoff
Sistema di equilibrioAnalisi di una rete elettrica
Dati del problema Schema della rete:
R rami ; N nodi
Leggi alle tensioni R - N + 1 equazioni Leggi alle correnti
N – 1 equazioni
R equazioni
Leggi di Kirchhoff
Tipo e valore
dei componenti
Incognite
R tensioni
R correnti
Sistema diequilibrio
Equazioni di Kirchhoff
Algebriche lineari, omogenee, coeff. +1, -1
Equazioni dei componenti
Algebriche (circuiti senza memoria) e differenziali (circuiti con memoria) Lineari (circuiti lineari) e non lineari (circuiti non lineari)
Termini noti (generatori o condizioni iniziali)
2R equazioni
2R incognite
Esempio
1
2 34
5
+ Ra Fb +
Lc
+
Rd
+
Ce
+
Ff
+Tg
+
Th
+
Incognite , 16 funzioni del tempo:Va , Vb , Vc , Vd , Ve , Vf , Vg , Vh
Ia , Ib , Ic , Id , Ie , If , Ig , Ih
tensioni e correnti con pedici congruenti con quelli dei componenti
e secondo i versi indicati in figura
Quantità noteCostantiRa , Rd , Lc , Ce
Rapporto 1:n trasformatore Tg/Th
Funzioni del tempo:tensione impressagen. tensione Fb(t) ;corrente impressagen. corrente Ff (t) .
Leggi di Kirchhoff :
R = 8 equazioni
Albero abcd ; coalbero efgh
Vh 1 1 1 0 Vd
Vg 0 0 -1 -1 Vc
Vf 0 0 0 1 Vb
Ve 1 1 1 1 Va + = [0 ]
Id -1 -1 1 0 Ih
Ic -1 0 1 -1 Ig
Ib -1 0 0 -1 If
Ia -1 0 0 -1 Ie + = [0 ]
R = 8 equazioni
componentiVa = Ra Ia ; Vd = Rd Id resistori
Vb = Fb(t) ; If = Ff (t) generatori
dIc
d t
Vc= Lc induttore
dVe
d t
Ie= Ce condensatore
trasformatore Vh = n Vg Ih = - (1/n) Ig
Tor Vergata
M. Salerno 13Kirchhoff
Complessità
Vh 1 1 1 0 Vd
Vg 0 0 -1 -1 Vc
Vf 0 0 0 1 Vb
Ve 1 1 1 1 Va + = [0 ]
Id -1 -1 1 0 Ih
Ic -1 0 1 -1 Ig
Ib -1 0 0 -1 If
Ia -1 0 0 -1 Ie + = [0 ]
Va = Ra Ia ; Vd = Rd Id res.
Vb = Fb(t) ; If = Ff (t) gen.
dIc
d t
Vc= Lc induttore
dVe
d t
Ie= Ce condensatore
trasf. Vh = n Vg Ih = - (1/n) Ig
Complessità differenziale della rete : Or(ordine della rete)
Or = ordine dell’equazione differenziale risolvente:dopo opportuni passaggi algebrici, il sistema di equilibrio si può ridurre a un’unica equazione differenziale, il cui ordine è non superiore alla somma degli ordini delle equazioni del sistema
Si ha Or NC + NL + 2 NM
con NC = numero condensatoriNL = numero induttoriNM = numero induttori accoppiati
Nell’esempio: NC = 1; NL = 1; NM = 0
e pertanto Or 2
(da conciderazioni più approfondite si può vedere che in questo caso si ha esattamente Or = 2)
Complessità algebrica della rete: Ca
Ca = ordine algebrico del sistema di equilibrio: numero di equazioni = numero delle incognite
Si ha Ca 2 R ( R : numero dei rami )
Se Ca = 2 R il sistema risolvente è detto
…… sistema generale di equilibrio ….…( come nell’esempio, ove R = 8 e Ca = 16 )
Se Ca < 2 R il sistema risolvente è detto
…… sistema abbreviato di analisi…… p. es. analisi su base maglie…… …… analisi su base nodi…… ……(descritte nel seguito)
Tor Vergata
M. Salerno 14Kirchhoff
Equazioni alle maglie: Res., Gen. tensioneCaso elementare: rete di resistori e generatori di tensione
2. Scelta delle correnti del coalbero come incognite
3. Scrittura delle equazioni alle maglie utilizzando solo le incognite introdotte al punto 2
R : n. dei rami ; N : n. dei nodinumero incognite : R – N + 1
numero equazioni : R – N + 1
Metodo abbreviato di analisiComplessità del sistema:
R – N + 1 << 2R
Ra Vb
Rc Rd
Re
Vf
+Rg
+
Rh
Esempio
1. Scelta coppia albero / coalbero
a b
d
Albero: abcd ; Coalbero: efgh
ef
g
h
1. Scelta coppia albero / coalbero2. Scelta delle correnti di coalbero come incogniteIe ; If ; Ig ; Ih
a b
cd
Ie Ig
Ih
If
3. Scrittura delle equazioni alle maglie utilizzando le incognite Ie ; If ; Ig ; Ih
Maglia: e abcd
a b
d
Albero: abcd ; Coalbero: efgh
Ie Ig
Ih
If c
(Ra +Rc +Rd +Re ) Ie + Rd If - (Rc +Rd ) Ig + (Ra +Rc ) Ih = -Vb
resistenza totale di maglia = somma delle resistenze di maglia
Ra Vb
Rc Rd
Re
Vf
+Rg
+
Rh
Esempio
correnti Ie e If concordi sul ramo comune d
segno positivo resistenza in comune fra le maglie e / f
Ra Vb
Rc Rd
Re
Vf
+Rg
+
Rh
Esempio a b
cd
Albero: abcd ; Coalbero: efgh
Ie Ig
Ih
If
somma resistenze in comune fra le maglie e / g
Ra Vb
Rc Rd
Re
Vf
+Rg
+
Rh
Esempio
correnti Ie e Ig discordi sui rami comuni c e d
segno negativo somma resistenze in comune
fra le maglie e / h
correnti Ie e Ih concordi sui rami comuni a e c
segno positivo
Ra Vb
Rc Rd
Re
Vf
+Rg
+
Rh
Esempio a b
cd
Albero: abcd ; Coalbero: efgh
Ie Ig
Ih
If
a b
cd
Albero: abcd ; Coalbero: efgh
Ie Ig
Ih
If
Ra Vb
Rc Rd
Re
Vf
+Rg
+
Rh
Esempio
+
+
+
+
somma delle tensioni sui rami resistivi della maglia (verso: convenzione potenza entrante)
somma delle tensioni impresse dai generatori presenti sulla maglia (convenzione potenza uscente)
+ segno positivo + segno negativo
caso attuale
+ segno negativo
Maglia: f d Rd Ie + Rd If - Rd Ig = -Vf
a b
cd
Albero: abcd ; Coalbero: efgh
Ie Ig
Ih
If
Ra Vb
Rc Rd
Re
Vf
+Rg
+
Rh
Esempio
Maglia: g dc - (Rc +Rd ) Ie - Rd If + (Rc +Rd +Rg ) Ig - Rc Ih = 0
a b
cd
Albero: abcd ; Coalbero: efgh
Ie Ig
Ih
If
Maglia: h abc (Ra +Rc ) Ie - Rc Ig + (Ra +Rc +Rh ) Ih = -Vb
a b
cd
Albero: abcd ; Coalbero: efgh
Ie Ig
Ih
If
Equazioni alle maglie in forma matriciale
Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb
Rd Rd - Rd 0 If -Vf
- (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0
Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb
=
a b
cd
Albero: abcd ; Coalbero: efgh
Ie Ig
Ih
If
matrice dei coefficienti
Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb
Rd Rd - Rd 0 If -Vf
- (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0
Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb
=
vettore delle incognite
Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb
Rd Rd - Rd 0 If -Vf
- (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0
Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb
=
vettore dei termini noti
Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb
Rd Rd - Rd 0 If -Vf
- (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0
Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb
=
matrice dei coefficienti
diagonale principale
Ra+Rc+Rd+Re
resistenza totale
maglia e
Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb
Rd Rd - Rd 0 If -Vf
- (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0
Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb
=Rd
resistenza totale
maglia f
Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb
Rd Rd - Rd 0 If -Vf
- (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0
Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb
=Rc+Rd+Rg
resistenza totale
maglia g
Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb
Rd Rd - Rd 0 If -Vf
- (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0
Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb
=Ra+Rc+Rh
resistenza totale
maglia h
=
Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb
Rd Rd - Rd 0 If -Vf
- (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0
Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb
elementi fuori dalla diagonale principale
Rd
resistenza comune
maglie e / f verso concorde
Rc+Rd
resistenza comune
maglie e / g verso discorde
=
Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb
Rd Rd - Rd 0 If -Vf
- (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0
Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb
Ra +Rc
resistenza comune
maglie e / h verso concorde
=
Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb
Rd Rd - Rd 0 If -Vf
- (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0
Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb
Rd
resistenza comune
maglie f / g verso discorde
=
Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb
Rd Rd - Rd 0 If -Vf
- (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0
Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb
nessuna
resistenza comune
maglie f / h
=
Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb
Rd Rd - Rd 0 If -Vf
- (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0
Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb
Rc
resistenza comune
maglie f / hverso discorde
=
Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb
Rd Rd - Rd 0 If -Vf
- (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0
Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb
La matrice dei coefficienti è
sempre simmetrica
=
Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb
Rd Rd - Rd 0 If -Vf
- (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0
Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb
=
Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb
Rd Rd - Rd 0 If -Vf
- (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0
Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb
termini noti
tensione impressa
sulla maglia e verso discorde
-Vb
=
Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb
Rd Rd - Rd 0 If -Vf
- (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0
Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb
tensione impressa
sulla maglia f verso discorde
-Vf
=
Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb
Rd Rd - Rd 0 If -Vf
- (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0
Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb
tensione impressa
sulla maglia g
nessunatensione impressa
sulla maglia h verso discorde
=
Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb
Rd Rd - Rd 0 If -Vf
- (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0
Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb
-Vb
Tor Vergata
M. Salerno 15Kirchhoff
Equazioni alle maglie : gen. di corrente
Reti senza memoria: resistori, trasformatori ideali, generatori controllati, nullori generatori di tensione, generatori di corrente
assenti: componenti reattivi (induttori, condensatori, induttori accoppiati)
Analisi su base maglie
a) Identificazione di una rete di Resistori e generatori di Tensione (rete RT)
b) Scrittura del sistema di equazioni alle maglie per la rete RT
c) Scrittura delle equazioni di vincolo
Ra Vg1
Rc Rd
Re
Ig1
+
Rh
Es. n° 1
Ig2
a) Identificazione della rete RT
Sostituire i generatori di corrente con generatori di tensione fittizi
Vx
+Simbolo
Nome e verso arbitrari
Ra Vg1
Rc Rd
Re
+
Rh
Rete RT
Ai generatori di tensione fittizi, conviene dare dei nomi abbinati ai nomi dei generatori di corrente sostituiti e dei versi coordinati (p. es. secondo la convenzione delle potenze uscenti)
+
+
Vx1
Vx2
b) Scrittura delle equazioni alle maglie per la rete RT
Albero: adeg ; Coalbero: bcfh
c
a
d
ge
bb1) Scelta coppia albero / coalbero
fh
b2) Identificazione delle correnti dei rami del coalbero
Albero: adeg ; Coalbero: bcfh
Ic
a
d
g
Ih
e
Ib
I nomi e i versi delle correnti dei rami del coalbero sono arbitrari. Tuttavia nel caso della corrente Ig1 , già presente nel circuito iniziale, conviene conservare il nome e il verso precedentemente indicato
Ig1
b3) Equazioni alle maglie
(Ra+Re ) Ib - Re Ih = -Vg1 - Vx2 b(Rc+Rd ) Ic - Rd Ig1 - Rd Ih = - Vx2 c Rd Ic + Rd Ig1 + Rd Ih = Vx1 g1- Re Ib + Rd Ic + Rd Ig1 + (Rd+Re +Rh ) Ih = 0h
Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RT, nella quale le tensioni Vx1 e Vx2 sono termini noti, mentre tutte le correnti sono incognite.
Per la rete data invece le tensioni Vx1 e Vx2 sono incognite.
Vx2
+Vx1 +
Occorre scrivere ulteriori equazioni relative ai generatori di correnteAlbero: adeg ; Coalbero: bcfh
Ic
a
d
g
Ih
Ig1
e
Ibc) Scrittura delle equazioni di vincolo
Equazioni alle maglie
Per il generatore di corrente Ig1 non occorre alcuna equazione di vincolo. Infatti è sufficiente riconoscere che nel sistema di equazioni alle maglie il termine Ig1 é una quantità nota, mentre Vx1 è un’incognita.
Questa osservazione, che semplifica la soluzione del sistema, deriva dal fatto che
il generatore di corrente Ig1
é posto sul coalbero.
Il generatore di corrente Ig2 non compare nelle equazioni scritte. Occorre allora scrivere una equazione di vincolo.
Ig2
Ib
Ic
Risulta Ib + Ic = - Ig2
Equazioni di vincolo
Ib + Ic = - Ig2
Il sistema risolvente su base maglie del circuito è l’insieme delle equazioni alle maglie + le equazioni di vincoloI generatori di corrente sul coalbero semplificano il sistema, sull’albero complicano il sistema per l’aggiunta di equazioni di vincolo
Nella scelta della coppia albero / coalbero, è conveniente scegliere, se possibile, un albero che non passi per i generatori di corrente
Incognite n. 5:Ib ; Ic ; Ih ; Vx1 ; Vx2
Equazioni n. 5
La rete RT, introdotta a fini didattici, non viene di solito disegnata.
Infatti, introdotte le incognite ausiliarie Vx1 e Vx2 , le equazioni alle
maglie e le equazioni di vincolo possono essere scritte sulla base della
sola rete iniziale.
Tor Vergata
M. Salerno 16Kirchhoff
Equazioni alle maglie : trasformatori idealiAnalisi su base maglie
a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Tensione (rete RT)
b) Scrittura del sistema di equazioni alle maglie per la rete RT c) Scrittura delle equazioni di vincolo
Ra Vg1
Rc Rd
Re
Ig1
+Es. n° 2
Tg
Th
Th : Tg = 1 : n
a) Identificazione della rete RT
Sostituire il generatore di correntee i rami del trasformatorecon generatori di tensione fittizi
Vx
+Simbolo
Nome e verso arbitrari
Ra Vg1
Rc Rd
Re
+Rete RT
+
+
Vx1
+
Ai generatori di tensione fittizi, conviene dare nomi abbinati con il nome del generatore di corrente (con verso coordinato con la corrente impressa) e dei rami del trasformatore (con versi congrui con i segni di riferimento, p.es. il positivo dalla parte del segno ).
Vg
Vh
b) Scrittura delle equazioni alle maglie per la rete RT
Albero: acdh ; Coalbero: befg
c
a
d
ge
bb1) Scelta coppia albero / coalbero
fh
geb2) Identificazione delle correnti dei rami del coalbero
Albero: acdh ; Coalbero: befg
a
d
Ie
Ib
ch
Ig
Ig1I nomi e i versi delle correnti dei rami del coalbero sono arbitrari. Tuttavia, per la corrente Ig1 , già presente nel circuito iniziale, conviene conservare il nome e il verso indicato. Per la corrente Ig conviene utilizzare la convenzione della potenza entrante, come nella definizione del trasformatore ideale
b3) Equazioni alle maglie
(Ra+Rc ) Ib - Rc Ig = Vg1 - Vhb
(Re+Rd ) Ie - Rd Ig1 + Rd Ig = - Vh e - Rd Ie + Rd Ig1 - Rd Ig = Vx1 g1- Rc Ib + Rd Ie - Rd Ig1 + (Rc+Rd ) Ig = - Vgg
Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RT, nella quale le tensioni Vx1 , Vg e Vh sono termini noti.
Per la rete data le tensioni Vx1 , Vg e Vh sono invece incognite.
Occorre scrivere equazioni di vincolo per il generatore di corrente e per il trasformatore.
c) Scrittura delle equazioni di vincolo
Equazioni alle magliePer il generatore di corrente Ig1 non occorre alcuna equazione di vincolo, poiché si trova su un ramo del coalbero.
1:n
V1 V2
+ +
I1 I2
V2 = n V1
I2 = - ( 1 / n ) I1
Per il trasformatore, si ricordi la definizione del componente e le relative convenzioni di segno
+
Vg +
Vh
Ig
Ih Vg = n Vh
Ig = - (1 / n) Ih
La variabile Ig appartiene al coalbero e quindi è già utilizzata nelle equazioni alle maglie. Non così per la corrente Ih , che deve essere espressa in funzione delle correnti del coalbero
Albero: acdh ; Coalbero: befg
a
d
IgIe Ig1
Ib
ch
Ib Ie
Ih = Ib + Ie
Equazioni di vincolo
Vg = n Vh
Ig = - (1 / n) ( Ib + Ie )Il sistema risolvente su base maglie del circuito è l’insieme delle equazioni alle maglie + equazioni di vincolo
Nello scrivere le equazioni di vincolo occorre fare attenzione a non utilizzare correnti (o
tensioni) del circuito che non siano già state utilizzate nelle equazioni alle maglie. L’introduzione di ulteriori variabili
richiederebbe l’uso di ulteriori equazioni.
Incognite n. 6
Ib ; Ig ; Ie ; Vx1 ; Vg ; Vh
Equazioni n. 6
Tor Vergata
M. Salerno 17Kirchhoff
Equazioni alle maglie : gen. controllati
Analisi su base maglie
a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Tensione (rete RT)
b) Scrittura del sistema di equazioni alle maglie per la rete RT c) Scrittura delle equazioni di vincolo
Ra Ig1
Rc Rd
Ie
Vf
Es. n° 3
Rg
Rh
Ie = k Vh +
Ig
+Vh
Vf = h Ig
Ra
Rc Rd Rh
Rete RT
Rg
a) Identificazione della rete RT
Sostituire il generatore di corrente fisso e i rami controllati dei generatori controllati con generatori di tensione fittizi
Vx
+Simbolo
Nome e verso arbitrari
Vx1 +
Vf
+Ve
+
Al generatore di corrente fisso conviene abbinare un generatore di tensione fittizio con verso coordinato con la corrente impressa. Per il generatore controllato di tensione, conviene utilizzare lo stesso nome e lo stesso segno già presenti nella rete assegnata.
b) Scrittura delle equazioni alle maglie per la rete RT
Albero: aceh ; Coalbero: bdfg
c
a
d
ge
bb1) Scelta coppia albero / coalbero
fh
geb2) Identificazione delle correnti dei rami del coalbero
Albero: aceh ; Coalbero: bdfg
a
Id Ifc
h
e
I nomi e i versi delle correnti dei rami del coalbero sono arbitrari. Tuttavia, per le correnti Ig1 e Ig già indicate nel circuito iniziale, conviene conservare i nomi e i versi.
Ig1
Ig
b3) Equazioni alle maglie
(Ra+Rc+Rh ) Ig1 - Rh Id - Rh If + (Rc+Rh ) Ig = Vx1 g1-RhIg1 + (Rd+Rh ) Id + Rh If - Rh Ig = - Ve d-RhIg1 + RhId + Rh If - Rh Ig = - Ve + Vf f(Rc+Rh ) Ig1 - Rh Id - Rh If + (Rc+Rg +Rh ) Ih = Veg
Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RT, in cui le tensioni Vx1 , Ve e Vf sono termini noti.
Per la rete data invece le tensioni Vx1 , Ve e Vf sono incognite.
Occorre scrivere opportune equazioni di vincolo.Albero: aceh ; Coalbero: bdfg
a
IgId
Ig1
Ifc
h
e
Per il generatore di corrente Ig1 non occorre alcuna equazione di vincolo, poiché si trova su un ramo del coalbero.
c) Scrittura delle equazioni di vincolo
Equazioni alle maglie
Per il generatore controllato Ie : Ie = k Vh
Le grandezze Ie e Vh non sono utilizzate nelle equazioni alle maglie. Pertanto esse devono essere espresse in funzione delle variabili già utilizzate.
Ie
Id IfIg
Ie = - Id - If + Ig
Vh = Rh(Ig1 - Id - If + Ig )
Rh
Vh
+ Id Ig
IfIg1
Equazione di vincolo
- Id - If + Ig = k Rh(Ig1 - Id - If + Ig )
- Id - If + Ig = k Rh(Ig1 - Id - If + Ig )
Per il generatore controllato Vf : Vf = h Ig
Poiché le variabili Vf e Ig sono già utilizzate nelle equazioni alle maglie la seconda equazione di vincolo non deve essere modificata
Equazioni di vincolo
Vf = h Ig
-Id - If + Ig = = k Rh(Ig1 - Id - If + Ig )
Incognite n. 6
Id ; If ; Ig ; Vx1 ; Ve ; Vf
Equazioni n. 6
Tor Vergata
M. Salerno 18Kirchhoff
Equazioni alle maglie : nulloriAnalisi su base maglie
a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Tensione (rete RT)
b) Scrittura del sistema di equazioni alle maglie per la rete RT c) Scrittura delle equazioni di vincolo
Ra Vg1
Rc Rd
Es. n° 4
Rg
Rh
+
a) Identificazione della rete RT
Sostituire il nullatore con un corto circuito e il noratore con un generatore di tensione fittizio
Vx
+Simbolo
Nome e verso arbitrari
Ra
Rc Rd Rh
Rete RT
Rg
Vg1
+
Vf
+e
1 2
Il nome e il verso della tensione sul noratore sono arbitrari. È opportuno considerare
separati i nodi 1 e 2 , a cui è connesso il
ramo e , poiché sarà necessario considerare la corrente su tale ramo.
b) Scrittura delle equazioni alle maglie per la rete RT
b1) Scelta coppia albero / coalbero
Albero: acfh ; Coalbero: bdeg
c
a
d
ge
b
fh
geb2) Identificazione delle correnti dei rami del coalbero
I nomi e i versi delle correnti dei rami del coalbero sono arbitrari.
Albero: acfh ; Coalbero: bdeg
c
a
fh
Ig
Id
IbIe
b3) Equazioni alle maglie
(Ra+Rc+Rh ) Ib + Rh Ie + Rc Ig = Vg1 b Rd Id = - Vf d Rh Ib + RhIe = - Vf e Rc Ib + (Rc+Rg ) Ig = Vfg
Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RT, in cui Vf è considerato un termine noto.
Per la rete data invece la tensione Vf , è incognita.
Occorre scrivere una opportuna equazione di vincolo.
c) Scrittura delle equazioni di vincolo
Equazioni alle maglie Equazione di vincolo
L’unica equazione di vincolo deriva dal nullatore per il quale risulta
Ie = 0
L’equazione di vincolo permette di eliminare l’incognita Ie dalle equazioni alle maglie.
Incognite n. 4:Ib ; Id ; Ig ; Vf
Equazioni n. 4
Tor Vergata
M. Salerno 19Kirchhoff
Equazioni ai nodi: Res., Gen. di corrente
Caso elementare: rete di resistori e generatori di corrente1. Scelta di un nodo di riferimento
2. Scelta, come incognite, delle tensioni dei nodi (rispetto al nodo di riferimento)
3. Scrittura delle equazioni ai nodi, eccetto il nodo riferimento, utilizzando solo le incognite introdotte al punto 2
R : n. dei rami ; N : n. dei nodinumero incognite : N - 1
numero equazioni : N - 1
Metodo abbreviato di analisi
Complessità del sistema: N - 1 << 2R
Ra Ib
Rc Rd
Re
If
Rg
Rh
Esempio 3
2 14
5
1. Scelta di un nodo di riferimento
È stato scelto come riferimento il nodo 5
Tale nodo viene indicato con il simbolo di massa
2. Scelta delle tensioni dei nodi come incognite
E1 ; E2 ; E3 ; E4
E3
E2
E1 E4
E1 , E2 , E3 , E4 indicano le
tensioni dei nodi 1, 2, 3, 4 , rispetto al nodo di riferimento
3. Scrittura delle equazioni ai nodi utilizzando le incognite E1 ; E2 ; E3 ; E4
Nodo: 1 (Gd +Ge +Gg ) E1 - Ge E2 - Gg E4 = If
Attenzione!Le equazioni ai nodi esprimono equilibri di correnti, in funzioni di grandezze che sono tensioni.
Pertanto occorre utilizzare sempre le conduttanze dei resistori e cioè :
Ga = 1 / Ra ; Gc = 1 / Rc ; Gd = 1 / Rd
Ge = 1 / Re ; Gh = 1 / Rh
Ra Ib
Rc Rd
Re
If
Rg
Rh
Esempio E3
E2
E1 E4
somma delle conduttanze dei resistori connessi al nodo 1
Il segno dei termini relativi a resistori disposti
fra coppie di nodi è sempre negativo
[somma delle] conduttanze dei resistori connessi fra i nodi 1 e 2
Ra Ib
Rc Rd
Re
If
Rg
Rh
Esempio E3
E2
E1 E4
[somma delle] conduttanze dei resistori connessi fra i nodi 1 e 4
Ra Ib
Rc Rd
Re
If
Rg
Rh
Esempio E3
E2
E1 E4
somma delle correnti uscenti dal nodo 1 attraverso i rami resistivi
Ra Ib
Rc Rd
Re
If
Rg
Rh
Esempio E3
E2
E1 E4
somma delle correnti entanti nel nodo 1 e impresse dai generatori di corrente
segno positivo segno negativocaso
attualesegno positivo
Ra Ib
Rc Rd
Re
If
Rg
Rh
Esempio E3
E2
E1 E4
- Ge E1 + (Ga +Ge +Gh ) E2 - Ga E3 = 0 Nodo: 2
Ra Ib
Rc Rd
Re
If
Rg
Rh
Esempio E3
E2
E1 E4
- Ga E2 + Ga E3 = Ib Nodo: 3
Ra Ib
Rc Rd
Re
If
Rg
Rh
Esempio E3
E2
E1 E4
- Gg E1 + (Gc +Gg ) E4 = - Ib Nodo: 4
Equazioni ai nodi in forma matriciale
Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If
- Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0
0 - Ga Ga 0 E3 Ib
- Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib
=
Ra Ib
Rc Rd
Re
If
Rg
Rh
Esempio E3
E2
E1 E4
matrice dei coefficienti
Equazioni ai nodi in forma matriciale
Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If
- Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0
0 - Ga Ga 0 E3 Ib
- Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib
=
vettore delle incognite
Equazioni ai nodi in forma matriciale
Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If
- Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0
0 - Ga Ga 0 E3 Ib
- Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib
=
vettore dei termini noti
Equazioni ai nodi in forma matriciale
=
matrice dei coefficienti
diagonale principaleGd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If
- Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0
0 - Ga Ga 0 E3 Ib
- Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib
Gd+Ge+Gg
conduttanza totale
nodo 1
Equazioni ai nodi in forma matriciale
=
matrice dei coefficienti
diagonale principale
Ga+Ge+Gh
conduttanza totale
nodo 2
Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If
- Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0
0 - Ga Ga 0 E3 Ib
- Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib
Equazioni ai nodi in forma matriciale
=
matrice dei coefficienti
diagonale principale
Ga
conduttanza totale
nodo 3
Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If
- Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0
0 - Ga Ga 0 E3 Ib
- Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib
Equazioni ai nodi in forma matriciale
=
matrice dei coefficienti
diagonale principale
Gc+Gg
conduttanza totale
nodo 4
Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If
- Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0
0 - Ga Ga 0 E3 Ib
- Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib
Equazioni ai nodi in forma matriciale
=
Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If
- Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0
0 - Ga Ga 0 E3 Ib
- Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib
elementi fuori dalla diagonale principale
Equazioni ai nodi in forma matriciale
Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If
- Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0
0 - Ga Ga 0 E3 Ib
- Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib
=
segno sempre negativo
Ge
conduttanza presente
fra i nodi 1 e 2
elementi fuori dalla diagonale principale
Equazioni ai nodi in forma matriciale
Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If
- Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0
0 - Ga Ga 0 E3 Ib
- Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib
=nessuna
conduttanza presente
fra i nodi 1 e 3
elementi fuori dalla diagonale principale
Equazioni ai nodi in forma matriciale
Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If
- Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0
0 - Ga Ga 0 E3 Ib
- Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib
=
segno sempre negativo
Gg
conduttanza presente
fra i nodi 1 e 4
elementi fuori dalla diagonale principale
Equazioni ai nodi in forma matriciale
Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If
- Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0
0 - Ga Ga 0 E3 Ib
- Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib
=
segno sempre negativo
Ga
conduttanza presente
fra i nodi 2 e 3
elementi fuori dalla diagonale principale
Equazioni ai nodi in forma matriciale
Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If
- Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0
0 - Ga Ga 0 E3 Ib
- Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib
= conduttanza presente
fra i nodi 2 e 4
elementi fuori dalla diagonale principale
nessuna
Equazioni ai nodi in forma matriciale
Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If
- Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0
0 - Ga Ga 0 E3 Ib
- Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib
= conduttanza presente
fra i nodi 3 e 4
elementi fuori dalla diagonale principale
nessuna
Equazioni ai nodi in forma matriciale
Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If
- Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0
0 - Ga Ga 0 E3 Ib
- Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib
=La matrice dei coefficienti è
sempre simmetrica
Equazioni ai nodi in forma matriciale
=
Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If
- Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0
0 - Ga Ga 0 E3 Ib
- Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib
termini notiEquazioni ai nodi in forma matriciale
=
Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If
- Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0
0 - Ga Ga 0 E3 Ib
- Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib
termini noti
corrente impressa
nel nodo 1verso entrante
If
Equazioni ai nodi in forma matriciale
=
Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If
- Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0
0 - Ga Ga 0 E3 Ib
- Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib
termini noti
corrente impressa
nel nodo 2
nessuna
Equazioni ai nodi in forma matriciale
=
Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If
- Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0
0 - Ga Ga 0 E3 Ib
- Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib
termini noti
corrente impressa
nel nodo 3verso entrante
Ib
Equazioni ai nodi in forma matriciale
=
Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If
- Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0
0 - Ga Ga 0 E3 Ib
- Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib
termini noti
corrente impressa
nel nodo 4verso uscente
- Ib
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M. Salerno 20Kirchhoff
Equazioni ai nodi : gen. di tensioneReti senza memoria: resistori, trasformatori ideali, generatori controllati, nullori generatori di tensione, generatori di corrente
assenti: componenti reattivi (induttori, condensatori, induttori accoppiati)
Analisi su base nodi
a) Identificazione di una rete di Resistori e generatori di Corrente (rete RC)
b) Scrittura del sistema di equazioni ai nodi per la rete RC
c) Scrittura delle equazioni di vincolo
a) Identificazione della rete RC
Sostituire i generatori di tensione con generatori di corrente fittizi
Ra Vg2
Rc Rd
Re
Vg1 Rh
Es. n° 1 +
+ Ig1
412
3
5
Ra
Rc Rd
Re
Rh
Rete RC
Ix
Simbolo
Nome e verso arbitrari
Ig1
Ai generatori di corrente fittizi, conviene dare dei nomi abbinati ai nomi dei generatori di tensione sostituiti e dei versi coordinati (p. es. secondo la convenzione delle potenze uscenti)
Ix2
Ix1
b) Scrittura delle equazioni ai nodi per la rete RC
b1) Scelta nodo di riferimentob2) Identificazione delle tensioni di nodo
E3
E2 E4
I nomi delle tensioni di nodo sono arbitrari. Tuttavia nel caso della tensione Vg1 , già presente nel circuito iniziale, conviene conservare il nome indicato, invece di introdurre un nuovo nome
Vg1
b3) Equazioni ai nodi
(Gd+Ge ) Vg1 - Ge E2 = Ig1 + Ix1 1- Ge Vg1 + (Ga+Ge +Gh ) E2 - Ga E3 = 0 2 - Ga E2 + Ga E3 = Ix2 3Gc E4 = - Ig1 - Ix24
Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RC, nella quale le correnti Ix1 e Ix2 sono termini noti, mentre tutte le tensioni sono incognite.
Per le rete data invece le correnti Ix1 e Ix2 sono incognite.
Ix1
Ix2
Occorre scrivere ulteriori equazioni relative ai generatori di tensione
c) Scrittura delle equazioni di vincolo
Equazioni ai nodiPer il generatore di tensione Vg1 non occorre alcuna equazione di vincolo. Infatti basta riconoscere che nel sistema di equazioni ai nodi il termine Vg1 è una quantità nota, mentre Ix1 è un’incognita.
Questa osservazione deriva dal fatto che
il generatore di tensione Vg1 è connesso al nodo di riferimento.
Il generatore di tensione Vg2 non compare nelle equazioni scritte. Occorre allora scrivere una equazione di vincolo.
Vg2
E3 E4
+
Risulta E3 - E4 = Vg2
Equazioni di vincolo
E3 - E4 = Vg2
Il sistema risolvente su base nodi del circuito è l’insieme delle
equazioni ai nodi +le equazioni di vincolo
I generatori di tensione connessi al nodo di riferimento semplificano il sistema, quelli non connessi a tale nodo complicano il sistema per l’aggiunta di equazioni di vincolo
È opportuno scegliere il nodo di riferimento in che sia
connesso alla maggior parte dei generatori di tensione
Incognite n. 5:
E2 ; E3 ; E4 ; Ix1 ; Ix2
Equazioni n. 5
La rete RC, introdotta a fini didattici, non viene di solito disegnata.
Infatti, introdotte le incognite ausiliarie Ix1 e Ix2 , le equazioni ai
nodi e le equazioni di vincolo possono essere scritte sulla base
della sola rete iniziale.
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M. Salerno 21Kirchhoff
Equazioni ai nodi : trasformatori ideali
Analisi su base nodi
a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Corrente (rete RC)
b) Scrittura del sistema di equazioni ai nodi per la rete RC
c) Scrittura delle equazioni di vincolo
Ra Vg1
Rc Rd
Re
Ig1
+Es. n° 2
Tg
Th
Th : Tg = 1 : n
412
3
5
a) Identificazione della rete RC
Sostituire il generatore di tensionee i rami del trasformatorecon generatori di corrente fittizi
Ix Simbolo
Nome e verso arbitrari
Ra
Rc Rd
Re
Rete RC
Ig1
Ai generatori di corrente fittizi, conviene dare nomi abbinati con i nomi del generatore di tensione (con verso coordinato con la tensione impressa) e dei rami del trasformatore (con versi congrui con i segni di riferimento, p.es. corrente entrante dalla parte del segno ).
Ix1
Ig
Ih
b) Scrittura delle equazioni ai nodi per la rete RC
b1) Scelta del nodo di riferimento
E3
E2E1 E4
b2) Identificazione delle tensioni di nodob3) Equazioni ai nodi
(Gd+Ge ) E1 - Ge E2 = Ig1 - Ig1
- Ge E1 + (Ga+Ge ) E2 - Ga E3 = - Ih 2 - Ga E2 + Ga E3 = Ix1 3Gc E4 = - Ix1 + Ig4
Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RC, nella quale le correnti Ix1 , Ig e Ih sono termini noti.
Per la rete data invece le correnti Ix1 , Ig e Ih sono incognite.
Occorre scrivere equazioni di vincolo per il generatore di tensione e per il trasformatore.
c) Scrittura delle equazioni di vincolo
Equazioni ai nodiPer il trasformatore, si ricordi la definizione del componente e le relative convenzioni di segno
1:n
V1 V2
+ +
I1 I2
V2 = n V1
I2 = - ( 1 / n ) I1
Ig
Ih
E2E1 E4
E1 - E4 = n E2
Ig = - (1/ n) Ih
Per il generatore di tensione Vg1
E3 - E4 = Vg1
Vg1
E3 E4
+
l’equazione di vincolo è la seguente:
Equazioni di vincoloE1 - E4 = n E2
Ig = - (1 / n) Ih
E3 - E4 = Vg1
Ih
Ig
Ix1
Il sistema risolvente su base nodi del circuito è l’insieme delle equazioni ai nodi + equazioni di vincolo
Nello scrivere le equazioni di vincolo occorre fare attenzione a non utilizzare tensioni (o
correnti) del circuito che non siano già state utilizzate nelle equazioni ai nodi.
L’introduzione di ulteriori variabili richiederebbe l’uso di ulteriori equazioni.
Incognite n. 6 : E1 ; E2 ; E3 ; E4 ; Ig ; Ih ; Ix1 Equazioni n. 6 ;
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Equazioni ai nodi : gen. controllati
Analisi su base maglie
a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Corrente (rete RC)
b) Scrittura del sistema di equazioni ai nodi per la rete RC
c) Scrittura delle equazioni di vincolo
Es. n° 3
Ie = k Vh
Vf = h Ig
Ra Ig1
Rc Rd Ie
Vf
Rg Rh
+
Ig
+Vh
Rete RC
a) Identificazione della rete RC
Sostituire i rami controllati dei generatori controllati con generatori di corrente fittizi
Ix Simbolo
Nome e verso arbitrari
Ra Ig1
Rc Rd Rg
Rh
Ig
+
Vh
Per il generatore controllato di corrente, conviene utilizzare lo stesso nome e lo stesso segno già presenti nella rete assegnata.
Ie
If
b) Scrittura delle equazioni ai nodi per la rete RC
b1) Scelta del nodo di riferimento
412
3 E3
E2 E1 E4
b2) Identificazione delle tensioni di nodob3) Equazioni ai nodi
(Gd+Gg ) E1 - Gg E4 = Ie + If 1(Ga+Gh ) E2 - Ga E3 = - Ie 2- Ga E2 + Ga E3 = - Ig13- Gg E1 + (Gc+Gg ) E4 = Ig14
Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RC, in cui le correnti Ie e If sono termini noti.
Per la rete data invece le correnti Ie e If sono incognite.
Occorre scrivere opportune equazioni di vincolo.
c) Scrittura delle equazioni di vincolo
Equazioni ai nodiPer il generatore controllato Ie : Ie = k Vh
Le grandezza Vh non è utilizzata nelle equazioni ai nodi. Però risulta Vh = - E2
Pertanto l’equazione di vincolo è la
seguente Ie = - k E2
Per il generatore controllato Vf : Vf = h Ig
Ie = - k E2
Le grandezze Vf e Ig non sono utilizzate nelle equazioni ai nodi.
Si ha Vf = E1 e Ig = Gg (E4 - E1 )Pertanto l’equazione di vincolo è :
E1 = h Gg (E4 - E1 )
c) Scrittura delle equazioni di vincolo
Equazioni ai nodi Equazioni di vincolo
E1 = h Gg (E4 - E1 ) Ie = - k E2
Incognite n. 6
E1 ; E2 ; E3 ; E4 ; Ie ; If
Equazioni n. 6
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Equazioni ai nodi : nulloriAnalisi su base nodi
a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Corrente (rete RC)
b) Scrittura del sistema di equazioni ai nodi per la rete RC
c) Scrittura delle equazioni di vincolo
Es. n° 4 Ra
Rc Rd Rg
Rh
Vg1
+
a) Identificazione della rete RC
Sostituire il nullatore con un circuito aperto, il noratore e il generatore di tensione con generatori di corrente fittizi
Ix Simbolo
Nome e verso arbitrari
Rete RC Ra
Rc Rd Rg
Rh
Al generatore di corrente fittizio relativo al generatore di tensione conviene dare nome e verso coordinati con quelli relativi alla tensione impressa. Il nome e il verso della corrente sul noratore sono arbitrari.
Ix1
IN
b) Scrittura delle equazioni ai nodi per la rete RC
b1) Scelta del nodo di riferimentob2) Identificazione delle tensioni di nodo
412
3 E3
E2
E1 E4
b3) Equazioni ai nodi
(Gd+Gg ) E1 - Gg E4 = IN 1 (Ga+Gh ) E2 – Ga E3 = 0 2 - Ga E2 + Ga E3 = - Ix1 3 - Gg E1 + (Gc+Gg ) E4 = Ix14
Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RC , in cui Ix1 e IN sono considerate termini noti.
Per la rete data invece le correnti Ix1 e IN sono incognite.
Occorre scrivere due opportune equazioni di vincolo.
c) Scrittura delle equazioni di vincolo
Equazioni alle magliePer il generatore di tensione Vg1 si ha
E4 - E3 = Vg1 Vg1
E3 E4
+
E2 = E1
Per il nullatore si ha
E2 E1
c) Scrittura delle equazioni di vincolo
Equazioni ai nodi Equazioni di vincolo
E2 = E1 E4 - E3 = Vg1
Incognite n. 6
E1 ; E2 ; E3 ; E4 ; Ix1 ; IN
Equazioni n. 6
Tor Vergata
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Analisi nel dominio dei fasoriCircuiti senza Circuiti senza
memoria nel dominio memoria nel dominio del tempodel tempo
Circuiti privi di condensatori, induttori, induttori accoppiati
equazioni algebriche nel campo reale
Circuiti contenenti condensatori, induttori, induttori accoppiati
Circuiti con Circuiti con memoria nel memoria nel
dominio dei fasoridominio dei fasori
equazioni algebriche nel
campo complesso
L’analisi di circuiti con memoriaè differente dall’analisi di circuiti senza memoria
ed è molto complessa
L’analisi di circuiti con memoria nel dominio dei fasoriè simile all’analisi di circuiti senza memoria
ma implica calcoli nel campo dei numeri complessi
Metodo di analisi nel dominio dei fasoriMetodo di analisi nel dominio dei fasori
Circuito in regime permanente: tutte le grandezze elettriche (tensioni e correnti) del circuito sono di tipo sinusoidale
1. Determinare il circuito fittizio nel dominio dei fasori:sostituire tutte le grandezze impresse con i rispettivi fasori;determinare le impedenze (o le ammettenze) di tutti i
componenti reattivi
2. Analizzare il circuito nel dominio dei fasori
3. Determinare i fasori delle grandezze d’interesse (eventualmente determinare le rispettive funzioni nel tempo)
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Equazioni alle maglie : fasori
vg1(t)
Cb R
Ca
ig1(t)
+
L
Esempio
vg1(t) = Vg1 cos ( t + )
ig1(t) = Ig1 cos ( t + )
Fasori delle grandezze impresse
V g1 = Vg1 e j
I g1 = Ig1 e j
Impedenze
Induttore j L
Condensatori 1 / j Ca ; 1 / j Cb
V g1
R I g1
+
Dominio dei fasori
jCa 1
jCb 1
jL
Dominio del tempo
Equazioni alle maglie nel dominio dei fasori Viene omesso il disegno della rete RT : al posto del generatore di corrente si supponga la presenza di un generatore di tensione fittizio di tensione V x1
+
V x1
alberocoalbero
I ca I vg
I g1
Viene scelta una coppia albero / coalbero, in modo che il generatore di corrente si trovi sul coalbero. Le correnti di maglia sono I ca , I g1 , I vg
( jL + 1 / jCa + R ) I ca + R I g1 - R I vg = 0
R I ca + R I g1 - R I vg = V x1
- R I ca - R I g1 + ( 1 / jCb + R ) I vg = V g1
Non occorrono equazioni di vincolo, poiché I g1 si trova sul coalbero.
Le incognite sono : I ca , V x1 , I vg
Tor Vergata
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Equazioni ai nodi : fasori
vg1(t)
Cb R
Ca
ig1(t)
+
L
Esempio
vg1(t) = Vg1 cos ( t + )
ig1(t) = Ig1 cos ( t + )
Fasori delle grandezze impresse
V g1 = Vg1 e j
I g1 = Ig1 e j
Ammettenze
Induttore 1 / j L
Condensatori j Ca ; j Cb
V g1
G I g1
+
Dominio dei fasori
jL 1
jCb
jCa
Dominio del tempo
Attenzione: nello scrivere le equazioni ai nodi, è necessario considerare le conduttanze dei resistori e le
ammettenze dei componenti reattivi.
Equazioni ai nodi nel dominio dei fasori Viene omesso il disegno della rete RC : al posto del generatore di tensione si supponga la presenza di un generatore di corrente fittizio di tensione I x1
I x1 E 1
Viene scelto un nodo di riferimento, in modo che il generatore di tensione si trovi collegato a esso. Le tensioni di nodo sono E 1 , E 2 , V g1
E 2
V g1
nodo di riferimento
( jCa + 1 / jL ) E 1 - (1 / jL ) E 2 = 0
-(1 / jL ) E 1 + (1 / jL + G + jCb ) E 2 -
- jCb V g1 = - I g1- jCb E 2 + ( 1 / jCb ) V g1 = I x1
Non occorrono equazioni di vincolo.
Le incognite sono : E 1 , E 2 , I x1
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Conservazione della potenzaNel dominio del tempo
Conservazione della potenza istantanea : R vk (t) ik (t) = 0Somma potenze assorbite = 0 [somma su tutti i rami]
Somma potenze assorbite [da tutti i componenti esclusi i generatori] = = somma potenze erogate [dai generatori]
In regime permanente Conservazione della potenza complessa : R P c =½ R V k I k* =
0Dimostrazione
Scelta una coppia albero / coalbero, si definisca una rete di Kirchhoff prendendo sull’albero i fasori delle tensioni e sul coalbero i coniugati dei fasori delle correnti. Applicando il teorema di Tellegen, si ottiene R V k I k* = 0 e quindi R P c = 0
Essendo P c =P a + j Q , si ha :Conservazione della potenza attiva :
R P a =½ R Re [V k I k* ]= 0
Conservazione della potenza reattiva :
R Q =½ R Im [V k I k* ]= 0
Somma potenze attive assorbite = 0 [somma su tutti i rami]
Somma potenze reattive assorbite = 0 [somma su tutti i rami]
Reti RLC + generatori
R L C gen.
Pa
Q
> 0 0 0 >=<0 0 > 0 < 0 >=<0
Si ricordi che: Somma potenze attive assorbite dai resistori ( > 0 ) = = Somma potenze attive erogate dai generatori ( > 0 )
Somma potenze reattive assorbite dagli induttori ( > 0) + Somma potenze reattive assorbite dai condensatori (< 0) = = Somma potenze attive erogate dai generatori ( > = < 0)