TransformasiLinier
Adri Priadana
http://ilkomadri. com
Pengertian
Jika F : V → W adalah sebuah fungsi dari
ruang vektor V ke dalam ruang vektor W,
maka F disebut transformasi linier jika:
1. F(u+v) = F(u) + F(v), untuk semua vektor
u dan v di V
2. F(ku) = kF(u), untuk semua vektor u di
dalam V dan semua skalar k
Contoh
Misal F: R2 → R2 adalah sebuah fungsi yg
didefinisikan oleh:
F(x,y) = (2x – y, x)
Buktikan bahwa F adalah transformasi
linier.
Contoh (cont)
Jawab:
Misalkan u = (x1 , y1) dan v = (x2 , y2) anggotaR2 dan k sebarang skalar.
Jadi F adalah transformasi linear
F(u + v) = F1((x1 + x2 , y1 + y2))= (2(x1 + x2) – (y1 + y2), x1 + x2) = (2x1 + 2x2 – y1 – y2, x1 + x2) = ((2x1 – y1) + (2x2 – y2), x1 + x2)= (2x1 – y1, x1) + (2x2 – y2, x2)= F(x1, y1) + F(x2, y2)= F(u) + F(v).
F(ku) = F1((kx1, ky1))= (2kx1 – ky1, kx1)= k(2x1 – y1, x1)= kF(x1, y1)= kF(u).
Matriks Penyajian
Transformasi Linier
Misalkan T: Rn → Rm adalah transformasi
linier dari ruang vektor real V ke ruang
vektor real W, bila V dan W berdimensi
berhingga, maka transformasi linier
tersebut dapat dinyatakan dengan suatu
matriks, yang disebut matriks penyajian(representasi matriks)
Matriks Penyajian
Transformasi Linier
Misalkan e1, e2, ...., en adalah basis baku
untuk Rn dan misalkan A adalah sebuah
matriks m x n yang dibentuk oleh T(e1),
T(e2), ..., T(en) sebagai vektor-vektor
kolomnya, maka A disebut sebagaimatriks penyajian atau matriks baku.
Misalkan jika T: R2 → R2 diberikan oleh:
Maka
T(e1) = T dan T(e2) = T
Jadi A = adalah matriks penyajian
untuk T di atas
Contoh
21
21
2
1
223xxxx
xx
T
13
01
2
210
21
23
Misalkan jika T: R3 → R2 diberikan oleh:
Maka
T(e1) = T ; T(e2) = T
T (e3) = T
Contoh
23
31
3
2
1
223xxxx
xxx
T
03
001
20
010
12
100
Jadi A = adalah matriks
penyajian untuk T di atas
Contoh (cont)
120
203
Vektor Koordinat Dan Perubahan Basis
Andai (ei) basis natural dari Rn, maka
sembarang u Rn dapat dinyatakan sebagaikombinasi linier dari basis (ei), katakanlah:
u = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 + ... + an en
Pasangan skalar (a1, a2, a3 ,..., an) disebutkoordinat relatif dari u terhadap basis (ei),
ditulis ue = (a1, a2, a3 ,..., an)
u R2 dengan u = , terhadap basis
natural (ei) dengan e1 = dan e2 = ,
maka u = 5 e1 + 8 e2. Jadi koordinat relatif
u terhadap basis natural (ei) adalah
ue = (5, 8)
Contoh
85
01
10
Andaiakan basis lain dari R2 adalah basis
(fi) dengan f1 = dan f2 = ,
dan u = adalah u = 3 f1 - 2 f2 .
Jadi koordinat relatif u terhadap basis (f)
adalah uf = (3, -2).
Perubahan Basis
21
11
85
Contoh
u R3 dengan u =
Basis lain dari ruang R3 adalah (gi) dengan
g1 = , g2 = , dan g3 =
koordinat relatif u terhadap basis (gi)
solusi ?
650
111
101
112
Solusi
u = x g1 + y g2 + z g3
Diperoleh persamaan :
- x + y + 2z = 0
x + z = 5
- x + y - z = -6
Diperoleh nilai-nilai x = 3, y = -1 dan z = 2
Jadi koordinat relatif u terhadap basis (gi)adalah ug = (3, -1, 2)
Contoh (cont)
Contoh
Apabila telah diketahui koordinat relatif u
terhadap basis natural (ei) dengan e1 =
dan e2 = adalah ue = (8, 5)
Maka tentukan koordinat relatif u terhadap
basis dengan E1 = dan E2 = ?
01
10
30
22
Contoh (cont)
dapat kita gambarkan sebagai
8 + 5 = x1 + x2
Maka x1 dan x2 memenuhi sistem
persamaan linier
=
dapat diperoleh =
01
10
30
22
58
2320
2
1
xx
2
1
xx
41
Matur Nuwun