TAMBAHAN TURUNAN

Turunan-turunan alami fungsi eksponensial ex

Fungsi eksponensial didefinisikan oleh persamaan dari y = f(x) = bx (b ≠ 1,b > 0), dimana b

adalah dasar dari fungsi eksponensial. Alam fungsi eksponensial adalah fungsi eksponensial

yang dasar dari irasional nomor e.

Nomor e adalah limit sebagai n pendekatan yang tak terhingga dari 1 +1

𝑛 n

, yang sekitar

2.718281828 (sampai Sembilan tempat decimal).

Alam fungsi eksponensial itu sendiri adalah turunan, yaitu,𝑑

𝑑𝑥(e

x) = e

x .

selanjutnya, oleh aturan rantai,jika anda adalah fungsi terdiferensiasi dari x,maka

𝑑

𝑑𝑥(e

u) = e

u.𝑑𝑢

𝑑𝑥

Jika f(x) = 6ex , kemudian f’(x) = 6.

𝑑

𝑑𝑥(e

x) = 6e

x

Jika y = e2x

, kemudian y’= e2x

.𝑑

𝑑𝑥(2x) = e

2x(2) = 2e

2x

𝑑

𝑑𝑥(𝑒−3𝑥2

) =𝑒−3𝑥2.𝑑

𝑑𝑥(-3x

2) =𝑒−3𝑥2

(-6x) = -6x𝑒−3𝑥2

Temukan turunan dari fungsi yang diberikan

1. f(x) = 20ex 1. f(x) = 15x

2 +10e

x

2. y = e3x

2. g(x) = 𝒆𝟕𝒙−𝟐𝒙𝟑

3. g(x) = 𝒆𝟓𝒙𝟑 3. f(t) =

𝟏𝟎𝟎

𝒆−𝟎.𝟓𝒕

4. y = -4𝒆𝟓𝒙𝟑 4. g(t) = 2500e

2t+1

5. h(x) = 𝒆−𝟏𝟎𝒙𝟑 f(x) =

𝟏

𝟐𝝅𝒆

𝒙𝟐

𝟐

solusi dan cara penyelesaiannya

1. f(x) = 20ex

fꞌ(x) = 20.𝑑

𝑑𝑥(e

x)

= 20ex

2. y = e3x

yꞌ(x) = e3x

.𝑑

𝑑𝑥(5x

3)

= 𝑒5𝑥3(15x

2)

= 15x2𝑒5𝑥3

3. g(x) = 𝑒5𝑥3

gꞌ(x) = 𝑒5𝑥3(.

𝑑

𝑑𝑥(5x

3)

= 𝑒5𝑥3( (15x

2)

= 15x2𝑒5𝑥3

4. y = -4𝑒5𝑥3

yꞌ= -4.𝑑

𝑑𝑥(𝑒5𝑥3

)

= -4. 𝑒5𝑥3.𝑑

𝑑𝑥(5x

3)

= -4.𝑒5𝑥3 (15x

2)

= -60x2𝑒5𝑥3

5. h(x) = 𝑒−10𝑥3

hꞌ(x) = 𝑒−10𝑥3.𝑑

𝑑𝑥(-10x

3)

= 𝑒−10𝑥3(-30x

2)

= -30x2𝑒−10𝑥3

6. f(x) = 15x2 + 10e

x

fꞌ(x) = 15x2 + 10.

𝑑

𝑑𝑥

(e

x)

= 30x + 10ex

7. g(x) = 𝑒7𝑥−2𝑥3

gꞌ(x) = 𝑒7𝑥−2𝑥3.𝑑

𝑑𝑥(7x-2x

3)

= 𝑒7𝑥−2𝑥3 (7-6x)

= 7-6x𝑒7𝑥−2𝑥3

8. f(t) = 100

e−0.5𝑡

fꞌ(t) = 100.e0.5t

= 100. e

0.5t.𝑑

𝑑𝑥(0.5

t)

= 100. e0.5t

(0.5)

= 50e0.5t

9. g(t) = 2500e2t+1

gꞌ(t) = 2500e2t+1

.𝑑

𝑑𝑥(2t+1)

= 2500e2t+1

.(2)

= 5000e2t+1

10. f(x) = 1

2𝜋e𝑥2

2

fꞌ(x) = 1

2𝜋.e

1

2 x2

.𝑑

𝑑𝑥(

1

2 x2

)

= 1

2𝜋.e

1

2 x2.

(x)

= 𝑥

2𝜋.e

1

2 x2

Turunan alami fungsi logaritmik ln x

Fungsi logaritmik didefinisikan oleh persamaan dari y = f(x) = logbx dan jika hanya by = x (x >

0), dimana b adalah dasar dari fungsi logaritmik, (b ≠ 1,b > 0). Untuk diberikan dasar, fungsi

logaritmik adalah fungsi invers yang sesuai dan saling dengan fungsi eksponensial. Fungsi

logaritmatik didefinisikan berdasarkan y =loge x, biasanya dilambangkan dengan ln x , adalah

alam fungsi logaritmatik.itu adalah fungsi invers dari alam fungsi eksponensial y = ex.

Turunan dari alam fungsi logaritmatik adalah sebagai berikut:

𝑑

𝑑𝑥(ln x) =

1

𝑥

Selanjutnya, oleh aturan rantai, jika anda adalah fungsi terdiferensiasi dari x,maka

𝑑

𝑑𝑥(ln u) =

1

𝑢 .

𝑑𝑢

𝑑𝑥

jika f(x) = 6 ln x, kemudian f’(x) = 6.𝑑

𝑑𝑥(ln x) =6.

1

𝑥 =

6

𝑥

jika y = ln(2x3),kemudian y’=

1

2𝑥3 . 𝑑

𝑑𝑥(2x

3) =

1

2𝑥3 . (6x2) =

3

𝑥

𝑑

𝑑𝑥(ln 2x) =

1

2𝑥 .

𝑑

𝑑𝑥(2x) =

1

2𝑥 . (2) =

1

𝑥

Contoh diatas menggambarkan bahwa untuk setiap nol konstan k,

𝑑

𝑑𝑥(ln kx) = 1

𝑘𝑥 .

𝑑

𝑑𝑥(kx) =

1

𝑘𝑥 . (k) =

1

𝑥

Temukan turunan dari fungsi yang diberikan

1. f(x) = 20 ln x 6. f(x) = 15x2 + 10ln x

2. y = ln 3x 7. g(x) = ln(7x-2x3)

3. g(x) = ln(5x3) 8. f(t) = ln(3t

2 + 5t – 20)

4. y = -4 ln (5x3) 9. g(t) = ln(e

t)

5. h(x) = ln(-10x3) 10. f(x) = ln(ln x)

solusi dan cara penyelesaiannya :

1. f(x) = 20 ln x

fꞌ(x) = 20 . 𝑑

𝑑𝑥 (ln x)

= 20.1

𝑥

= 20

𝑥

2. y = ln 3x

yꞌ = 1

3𝑥 .

𝑑

𝑑𝑥(3x)

= 1

3𝑥 . (3x)

= 1

𝑥

3. g(x) = ln(5x3)

gꞌ(x) = 1

5𝑥3 . 𝑑

𝑑𝑥(5x

3)

= 1

5𝑥3.(15x2)

= 3

𝑥

4. y = -4 ln (5x3)

yꞌ = -4.1

5𝑥3.𝑑

𝑑𝑥(5x

3)

= -4. 1

5𝑥3.(15x2)

= -4.3

𝑥

= -12

𝑥

5. h(x) = ln(-10x3)

hꞌ(x) = 1

−10𝑥3 . 𝑑

𝑑𝑥(-10x

3)

= 1

−10𝑥3(-30x

2)

= 3

𝑥

6. f(x) = 15x2 + 10ln x

fꞌ(x) = 15x2 + 10.

𝑑

𝑑𝑥(ln x)

= 30x + 10.1

𝑥

= 30x + 10

𝑥

7. g(x) = ln(7x-2x3)

gꞌ(x) = 1

7𝑥−2𝑥3.𝑑

𝑑𝑥(7x-2x

3)

= 1

7𝑥−2𝑥3. (7x-2x

3)

= 7−6𝑥2

7𝑥−2𝑥3

8. f(t) = ln(3t2 + 5t – 20)

fꞌ(t) = 1

3𝑡2+5𝑡−20.𝑑

𝑑𝑥(3𝑡2 + 5𝑡 − 20)

= 1

3𝑡2+5𝑡−20. 6𝑡 + 5

= 6𝑡+5

3𝑡2+5𝑡−20

9. g(t) = ln(et)

gꞌ(t) = 1

𝑒 𝑡 . 𝑑

𝑑𝑥(e

t)

= 1

𝑒 𝑡(e)

= 𝑒

𝑒 𝑡

10. f(x) = ln(ln x)

fꞌ(x) = 1

ln 𝑥 .

𝑑

𝑑𝑥 (ln x)

= 1

ln 𝑥 . (

1

𝑥 )

= 1

ln 𝑥 .𝑥

Turunan-turunan dari fungsi eksponensial untuk basis selain e

Mengira b adalah bilangan asli positif (b ≠ 1), kemudian

𝑑

𝑑𝑥(b

x) = (ln b)b

x

Selanjutnya, oleh aturan rantai, jika anda adalah fungsi terdiferensiasi dari x,maka

𝑑

𝑑𝑥(b

u) = (ln b)b

u .

𝑑

𝑑𝑥

Jika f(x) = (6)2x, kemudian fꞌ(x) = 6.

𝑑

𝑑𝑥(2

x) = 6(ln2)2

x

Jika y =52x

, kemudian yꞌ = (ln 5)52x

.𝑑

𝑑𝑥(2x) = (ln 5)5

2x.(2) = 2(ln 5)5

2x

𝑑

𝑑𝑥.(10−3𝑥2

) = (ln 10)10−3𝑥2.

𝑑

𝑑𝑥(-3x

2) = (ln 10)10−3𝑥2

(-6x) = -6x(ln 10)10−3𝑥2

Temukan turunan dari fungsi yang diberikan

1. f(x) = 20 (3x) 6. f(x) = 15x

2 + 10(5x

3)

2. y = 53x

7. g(x) = 𝟑𝟕𝒙−𝟐𝒙𝟑

3. g(x) = 𝟐𝟓𝒙𝟑 8. f(t) =

𝟏𝟎𝟎

𝟏𝟎−𝟎.𝟓𝒕

4. y = -4( 𝟐𝟓𝒙𝟑) 9. g(t) = 2500(5

2t+1)

5. h(x) = 𝟒−𝟏𝟎𝒙𝟑 10. f(x) = 8

𝒙𝟐

𝟐

Solusi dan cara penyelesaiaannya

1. f(x) = 20 (3x)

fꞌ(x) = 20.𝑑

𝑑𝑥(3x)

= 20(ln3)3x

2. y = 53x

yꞌ = (ln 5)53x

.𝑑

𝑑𝑥(3x)

= (ln 5)53x

.(3)

= 3(ln 5)53x

3. g(x) = 25x3

gꞌ(x) = (ln 2)25x3.𝑑

𝑑𝑥(5x

3)

= (ln 2)25x3 (15x

2)

= 15x2(ln 2) 25x3

4. y = -4(25x3)

yꞌ = -4.𝑑

𝑑𝑥(25x3

)

= -4(ln 2)25x3.(15x

2)

= -60x2(ln 2)25x3

5. h(x) = 4−10x3

hꞌ(x) = (ln 4)4−10x3.𝑑

𝑑𝑥(-30x

2)

= (ln 4)4−10x3. (-30x

2)

= -30x2(ln 4)4−10x3

6. f(x) = 15x2 + 10(5x

3)

fꞌ(x) = 15x2 + 10.

𝑑

𝑑𝑥(5

3x)

= 30x + 10(ln 5)53.3

= 30x + 30(ln 5)53

7. g(x) = 37x−2x3

gꞌ(x) = (ln 3)37x−2x3.

𝑑

𝑑𝑥(7x-2x

3)

= (ln 3)37x−2x3.(7-6x

2)

= 7-6x2(ln 3)37x−2x3

8. f(t) = 100

10−0.5𝑡

fꞌ(t) = 100. 100.5t

= 100.(ln 10)10

0.5t.𝑑

𝑑𝑥(0.5

t)

= 100.(ln 10)100.5t

. 0.5

= 50(ln 10)10

0.5t

9. g(t) = 2500(52t+1

)

gꞌ(t) = 2500.𝑑

𝑑𝑥(5

2t+1)

= 2500(ln 5)52t+1

.𝑑

𝑑𝑥(2t+1)

= 2500(ln 5)52t+1

.2

= 5000(ln 5)52t+1

10. f(x) = 8𝑥2

2

= 8−1

2x

2

fꞌ(x) = (ln 8)8−1

2x

2.𝑑

𝑑𝑥(−

1

2x

2)

= (ln 8)8−1

2x

2.(-x)

= (-x).(ln 8)8−1

2x

2

Turunan-turunan dari fungsi logaritmik untuk basis selain e

Mengira b adalah bilangan asli positif (b ≠ 1), kemudian

𝑑

𝑑𝑥(logb x) =

1

(ln 𝑏) 𝑥

Selanjutnya, oleh aturan rantai, jika anda adalah fungsi terdiferensiasi dari x,maka

𝑑

𝑑𝑥(logb u) =

1

(ln 𝑏) 𝑢.𝑑𝑢

𝑑𝑥

jika f(x) = 6log2 x,kemudian fꞌ(x) = 6.𝑑

𝑑𝑥(log2 x) = 6.

1

(ln 2)𝑥 =

6

𝑥 ln 2

jika y = log5(2x3),kemudian yꞌ(x) =

1

(ln 5)2𝑥3.𝑑

𝑑𝑥(2x

3) =

1

(ln 5)2𝑥3.(6x2) =

3

𝑥 ln 5

𝑑

𝑑𝑥.(log3 2x) =

1

(ln 3)2𝑥.𝑑

𝑑𝑥(2x) =

1

(ln 3)2𝑥 .(2x) =

1

𝑥 ln 3

Contoh diatas menggambarkan bahwa untuk setiap nol konstan k,

𝑑

𝑑𝑥(logb kx) =

1

(ln 𝑏) 𝑘𝑥 .

𝑑

𝑑𝑥(kx) =

1

(ln 𝑏) 𝑘𝑥 (k) =

1

𝑥 ln 𝑏

Temukan turunan dari fungsi yang diberikan

5. f(x) = 20log4 6. f(x) = 15x2 + 10log2 x

6. y = log10 3x 7. g(x) = log6(7x-2x3)

7. g(x) = log8(5x3) 8. f(t) = log16(3t

2+5t – 20)

8. y = -4log8(5x3) 9. g(t) = log2(e

t)

9. h(x) = log5(-10x3) 10. f(x) = log10(log10x)

Solusi dan cara penyelesaiaannya

1. f(x) = 20log4

fꞌ(x) = 20.𝑑

𝑑𝑥(log4x)

= 20.1

(ln 4)𝑥

= 20

𝑥 ln 4

2. y = log10 3x

yꞌ = 1

(ln 10) 3𝑥.

𝑑

𝑑𝑥(3x)

= 1

(ln 10) 3𝑥 (3)

= 3

𝑥 ln 10

3. g(x) = log8(5x3)

gꞌ(x) = 1

(ln 8)5𝑥3.𝑑

𝑑𝑥(5x

3)

= 1

(ln 8)5𝑥3. (15𝑥2)

= 3

𝑥 ln 8

4. y = -4log8 (5x3)

yꞌ = 4

(ln 8)5𝑥3.

𝑑

𝑑𝑥(5x

3)

= 4

(ln 8)5𝑥3.(15x

2)

= −60 𝑥2

(ln 8)5𝑥3

= −12

𝑥 ln 8

5. h(x) = log5(-10x3)

hꞌ(x) = 1

(ln 5)−10𝑥3.𝑑

𝑑𝑥(-10x

3)

= 1

(ln 5)−10𝑥3.(-30x2)

= 3

𝑥 ln 5

6. f(x) = 15x2 + 10log2 x

fꞌ(x) = 15x2 + 10.

𝑑

𝑑𝑥.(log2 x)

= 30x + 10.1

(ln 2)𝑥

= 30x + 10

𝑥 𝑙𝑛2

7. g(x) = log6(7x-2x3)

gꞌ(x) = 1

(ln 6)7𝑥−2𝑥3.𝑑

𝑑𝑥(7x-2x)

= 7−6𝑥2

(ln 6)7𝑥−2𝑥3

= 7−6𝑥2

7𝑥−2𝑥3(ln 6)

8. f(t) = log16(3t2+5t – 20)

fꞌ(t) = 𝑑

𝑑𝑥(log16(3t

2+5t-20)

= 1

(ln 16)3t2+5t−20.𝑑

𝑑𝑥(3t

2+5t-20)

= 1

(ln 16)3t2+5t−20.(6t + 5)

= 6𝑡+5

3t2+5t−20(ln 6)

9. g(t) = log2(et)

gꞌ(t) = 𝑑

𝑑𝑥.( log2(e

t))

= 1

(ln 2) 𝑒 𝑡.𝑑

𝑑𝑥(e

t)

= 1

(ln 2) 𝑒 𝑡. (et)

= 1

(ln 2)

10. f(x) = log10(log10x)

fꞌ(x) = 𝑑

𝑑𝑥(log10(log10x))

= 1

(ln 10).(log 10 𝑥).𝑑

𝑑𝑥(log10 x)

= 1

(ln 10).(log 10 𝑥).

1

(ln 10).(log 10 𝑥).𝑑

𝑑𝑥(x)

= 1

(ln 10)2 .(log 2 10 𝑥)

Turunan-turunan yang berkenaan dengan fungsi trigonometri

Turunan dari alam fungsi trigonometri adalah sebagai berikut:

𝑑

𝑑𝑥(sin x) = cos x

𝑑

𝑑𝑥(cos x) = -sin x

𝑑

𝑑𝑥(tan 𝑥) = sec

2 x

𝑑

𝑑𝑥(cot x) = -csc

2 x

𝑑

𝑑𝑥(sec x) = sec x tan x

𝑑

𝑑𝑥(csc x) = - csc x cot x

Selanjutnya, oleh aturan rantai, jika anda adalah fungsi terdiferensiasi dari x,maka:

𝑑

𝑑𝑥(sin u) = cos u.

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥(cos u) = -sin u.

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥(tan u) = sec

2 u.

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥(cot u) = -csc

2 u.

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥(sec u) = (sec u tan u).

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥(csc u) = (- csc x cot u).

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Jika h(x) = sin 3x,kemudian hꞌ(x) = (cos3x) 𝑑

𝑑𝑥(3x) = (cos3x)(3) = 3cos3x

Jika y = 3cos 𝑥

3 ,kemudian yꞌ = -3sin

𝑥

3

𝑑

𝑑𝑥

𝑥

3 = -3 𝑠𝑖𝑛

𝑥

3

1

3 = -sin

𝑥

3

𝑑

𝑑𝑥(tan2x + cot2x) =

𝑑

𝑑𝑥(tan2x)+

𝑑

𝑑𝑥(𝑐𝑜𝑡2𝑥) = sec

2(2x)

𝑑

𝑑𝑥(2x)-csc

2(2x)

𝑑

𝑑𝑥(2x)

= 𝑠𝑒𝑐2(2𝑥) (2)- 𝑐𝑠𝑐2(2𝑥) (2) = 2sec2(2x) – 2csc

2(2x)

Temukan turunan dari fungsi yang diberikan

1. f(x) = 5 sin 3x 6. s(t) = 4 cot5t

2. y = 𝟏

𝟒cos(2x

2) 7. g(x) = 6tan

3 𝟐𝒙

𝟑 -20 𝒙

3. g(x) = 5tan 𝟑𝒙

𝟓 8. f(x) = 2xsinx+cos2x

4. f(x) = 10sec2x 9. h(x) = 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙

𝟏+𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙

5. y = 𝟐

𝟑sec(2x

3) 10. f(x) = e

4xsin2x

Solusi dan cara penyelesaiaanya

1. f(x) = 5sin3x

fꞌ(x) = 5 cos3x 𝑑

𝑑𝑥(3x)

= 15 cos 3x

2. f(x) = 1

4cos(2x

2)

fꞌ(x) = 1

4 -sin 2x

2 𝑑

𝑑𝑥(2x

2)

= 1

4 -sin 2x

2.4x

= −4𝑥

4 sin2x

2

= -xsin2x2

3. g(x) = 5tan 3𝑥

5

gꞌ(x) = 5 sec2

3𝑥

5

𝑑

𝑑𝑥

3𝑥

5

= 5 sec2

3𝑥

5 .

3

5

= 3 sec2

3𝑥

5

4. f(x) = 10 sec 2x

fꞌ(x) = 10 sec 2x tan 2x𝑑

𝑑𝑥(2x)

= 20 sec 2x tan 2x

5. y = 2

3sec(2x

3)

yꞌ = 2

3 sec 2x

3 tan 2x

3 𝑑

𝑑𝑥(2x

3)

= 2

3 sec 2x

3 tan 2x

3.6x

2

= 4x2sec 2x

3 tan 2x

3

6. s(t) = 4 cot 5t

sꞌ(t) = -4 csc2 5t

𝑑

𝑑𝑡(5t)

= -20 csc2 5t

7. g(x) = 6tan3

2𝑥

3 -20 𝑥

gꞌ(x) = 6 sec6

2𝑥

3

𝑑

𝑑𝑥

2𝑥

3 -10𝑥

−12

= 6 sec6

2𝑥

3 .

2𝑥

3 − 10𝑥

−12

= 4 sec6

2𝑥

3

- 10

𝑥

8. f(x) = 2x sinx + cos 2x

fꞌ(x) = 2 cos x 𝑑

𝑑𝑥(x) + (-sin 2x)

𝑑

𝑑𝑥(2x)

= 2 cos x – 2 sin 2x

9. h(x) = 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙

𝟏+𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙

hꞌ(x) = 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙

𝒅

𝒅𝒙(𝟑𝒙)

𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙𝒅

𝒅𝒙(𝟑𝒙)

= 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙

𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙

= 1.

10. f(x) = e4x

sin2x

fꞌ(x) = e4x

𝑑

𝑑𝑥(4x). cos 2x

𝑑

𝑑𝑥(2x)

= 4e4x

.2cos 2x

Turunan-turunan dari trigonometri invers fungsi

Turunan dari alam fungsi trigonometri adalah sebagai berikut:

𝑑

𝑑𝑥(sin

-1 x) =

1

1−𝑥2

𝑑

𝑑𝑥(cos

-1 x) =

−1

1−𝑥2

𝑑

𝑑𝑥(tan

-1 x) =

1

1+𝑥2

𝑑

𝑑𝑥(cot

-1 x) =

−1

1+𝑥2

𝑑

𝑑𝑥(sec

-1 x) =

1

𝑥 𝑥2−1

𝑑

𝑑𝑥(csc

-1 x) =

−1

𝑥 𝑥2−1

Selanjutnya, oleh aturan rantai, jika anda adalah fungsi terdiferensiasi dari x,maka:

𝑑

𝑑𝑥(sin

-1 u) =

1

1−𝑢2.𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥(cos

-1 u) =

−1

1−𝑢2.𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥(tan

-1 u) =

1

1+𝑢2. 𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥(cot

-1 u) =

−1

1+𝑢2. 𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥(sec

-1 u) =

1

𝑢 𝑢2−1.

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥(csc

-1 u) =

−1

𝑢 𝑢2−1.

𝑑𝑢

𝑑𝑥

If h(x) = sin-1

(2x),kemudian hꞌ(x) = 1

1−(2𝑥)2.𝑑

𝑑𝑥(2x) =

1

1−4𝑥2.(2) =

2

1−4𝑥2

If y = cos-1

𝑥

3 ,

kemudian yꞌ = −1

1− 𝑥

3

2.𝑑

𝑑𝑥

𝑥

3 =

−1

1−𝑥

9

2 .

1

3 = -

1

3 9−𝑥

9

2

𝑑

𝑑𝑥(tan

-1 x + cot

-1 x) =

𝑑

𝑑𝑥(tan

-1 x) +

𝑑

𝑑𝑥(cot

-1 x) =

1

1+𝑥2 + −1

1+𝑥2 = 0

Temukan turunan dari fungsi yang diberikan

1. f(x) = sin-1

( -x3) 6. f(x) = cos

-1(x

2)

2. h(x) = cos -1

(ex) 7. h(x) = csc

-1(2x)

3. g(x) = tan-1

(x2) 8. g(x) = 4 sec

-1 𝒙

𝟐

4. f(x) = cot-1

(7x-5) 9. f(x) = x sin-1

(7x2)

5. y = 𝟏

𝟓sin

-1(5x

3) 10. y = arcsin 𝟏 − 𝒙𝟐

Solusi dan cara penyelesaiaannya

1. f(x) = 𝑆𝑖𝑛−1(−𝑥3)

fꞌ(x) = −1

1−(−𝑥3)2 .

𝑑

𝑑𝑥 .(−𝑥3)

= −3𝑥2

1−𝑥9

2. h(x) = cos -1

(ex)

hꞌ(x) = −1

1−(𝑒𝑥 )2.𝑑

𝑑𝑥(e

x)

= −𝑒𝑥

1−(𝑒𝑥 )2

3. g(x) = tan-1

(x2)

gꞌ(x) = 1

1+ (𝑥2)2. 𝑑

𝑑𝑥(x

2)

= 2𝑥

1+ 𝑥4

4. f(x) = cot-1

(7x-5)

fꞌ(x) = −1

1+(7𝑋−5)2.𝑑

𝑑𝑥(7x-5)

= −7

49𝑋2− 70𝑋+25

5. y = 1

5sin

-1(5x

3)

yꞌ = 1

1+ (5𝑥3)2.𝑑

𝑑𝑥(5𝑥3).

1

15

= 1

1+25𝑥6.15x

2.

1

15 =

15𝑥2

1+25𝑥6 .15

6. f(x) = cos-1

(x2)

fꞌ(x) = 1

1− (𝑥2)2.𝑑

𝑑𝑥(x

2)

=−2𝑥

1+𝑥4

7. h(x) = csc-1

(2x)

hꞌ(x) = −1

2𝑥 (2𝑥)2− 1.

𝑑

𝑑𝑥. (2x)

= - 2

2𝑥 4𝑥2− 1

8. g(x) = 4 sec-1

𝑥

2

gꞌ(x) = 4.−1

𝑥

2

𝑥

2

2.𝑑

𝑑𝑥.

𝑥

2

= −4

𝑥

2

𝑥2

4 − 1

. 1

4

= −4

𝑥

2

𝑥2

4 – 1 .4

9. f(x) = x sin-1

(7x2)

fꞌ(x) = 1.1

1− (7𝑥2)2.𝑑

𝑑𝑥.7x

2

= 14𝑥

1−49𝑥4

10. y = arcsin 1 − 𝑥2

yꞌ = 1

1− 1− 𝑥2 2.𝑑

𝑑𝑥. 1 − 𝑥2

= 1

1− 1−𝑥2 . 1 2 (1 – x

2)

= 1−𝑥2

2 𝑥2

Exercise 6.7

Temukan turunan dari fungsi yang diberikan

1. f(x) = x7 + 2x

10 , Temukan

fꞌꞌꞌ(x)

6. s(t) = 16t2-𝟐𝒕

𝟑+10 ,

Temukan sꞌꞌ(t)

2. h(x) = 𝒙𝟑

, Temukan

hꞌꞌ(x)

7. g(x) = ln3x , Temukan

𝑫𝒙𝟑 𝒈(𝒙)

3. g(x) = 2x , Temukan

g(5)

(x)

8. f(t) = 𝟏𝟎

𝒙𝟓+𝒙𝟑

𝟓 , Temukan

f(4)

(x)

4. f(x) = 5ex , Temukan

f(4)

(x)

9. f(x) = 32x

, Temukan

fꞌꞌꞌ(x)

5. y(x) = sin3x , Temukan

𝒅𝟑𝒚

𝒅𝟑𝒙

10. y = 𝒍𝒐𝒈𝟐5x , Temukan

𝒅𝟒𝒚

𝒅𝟒𝒙

Solusi dan penyelesaiaannya

1. f(x) = x7 + 2x

10

solusi :

fꞌ(x) = 7x6 + 20x

9

fꞌꞌ(x) = 42x5 + 180x

8

fꞌꞌꞌ(x) = 210x4 + 1440x

7

2. h(x) = 𝑥3

= 𝑥1

3

solusi :

hꞌ(x) = 1 3 𝑥2

3

hꞌꞌ(x) = −2

9𝑥

−53

3. g(x) = 2x

solusi :

gꞌ(x) = 2

gꞌꞌ(x) = 0

gꞌꞌꞌ(x) = 0

g4(x) = 0

4. f(x) = 5ex

solusi :

fꞌ(x) = 5ex.1

fꞌꞌ(x) = 5ex.1 = 5e

x

fꞌꞌꞌ(x) = 5ex.1

= 𝑑3𝑔

𝑑3𝑥 = 5e

x

5. y = sin 3x

solusi :

𝑑1𝑦

𝑑1𝑥 = 3 cos 3x

𝑑2𝑦

𝑑2𝑥 = -9 sin 3x

𝑑3𝑦

𝑑3𝑥 = - 27 cos 3x

6. s(t) = 16t2 -

2𝑡

3 + 10

solusi :

sꞌ(t) = 32t - 2

3

sꞌꞌ(t) = 32

7. g(x) = ln 3x

solusi :

D1(x) 𝑔(𝑥) =

3

3𝑥 =

1

𝑥 = 𝑥−1

D2(x) 𝑔(𝑥) = −𝑥−2

D3(x) 𝑔(𝑥) = 2𝑥−3

8. f(x) = 10

𝑥5 + 𝑥3

5 = 10𝑥−5 +

1

5 𝑥3

solusi :

fꞌ(x) = -50 𝑥−6 + 3

5 𝑥2

fꞌꞌ(x) = 300 x-7

+ 6

5 x

fꞌꞌꞌ(x) = -2100 x-8

+ 6

5

f4(x) = 16800 x

-9

9. f(x) = 32x

fꞌ(x) = 32x

ln 3 . 2

fꞌꞌ(x) = 32x

ln 3 . 2

3

fꞌꞌꞌ(x) = 32x

ln 3 . 2 . 1

3 = 3

2x ln 3 .

2

9

10. g = log2 5x

𝑑ꞌ𝑦

𝑑ꞌ𝑥 =

1

5𝑥 ln 2 . 5 =

5

5𝑥 ln 2

𝑑ꞌꞌ𝑦

𝑑ꞌꞌ𝑥 =

5

5 .

1

2 .1

𝑑ꞌꞌꞌ𝑦

𝑑ꞌꞌꞌ𝑥 = 0 =

𝑑4𝑦

𝑑4𝑥 = 0