TELAAH MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH II
“EksponEn dan logaritma”
Oleh
` Dia Marsella (06101408004)
Nurjannah Komariah (06101408019)
R.A. Muslimah (06101408020)
Marhamah Fajriyah N (06101408033)
TAHUN AJARAN 2012-2013UNIVERSITAS SRIWIJAYA
Kata Pengantar
Assalammu’alaikum wr.wb
1
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena berkat rahmat dan
karunia-Nya jua, penulis dapat menyelesaikan tugas Telaah Matematika Sekolah
Menengah II yang berjudul “EKSPONEN DAN LOGARITMA”.
Penulis menyadari bahwa dalam pembuatan makalah ini tidak lepas dari bantuan
berbagai pihak dan ridho Allah SWT, untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang
sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu dalam proses pembuatan
makalah ini.
Penulis juga menyadari bahwa dalam pembuatan makalah ini masih jauh dari
kesempurnaan baik dari isi materi maupun cara penulisannya. Namun demikian, penulis
telah berupaya dengan segala kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki sehingga
makalah ini dapat selesai dengan tepat waktu. Oleh karena itu, dengan kerendahan hati
penulis akan menerima kritik dan saran dari pembaca yang bermanfaat untuk
penyempurnaan makalah ini selanjutnya.
Akhirnya, penulis berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi seluruh
pembaca baik dalam proses pembelajaran maupun dalam pengaplikasiannya di kehidupan
sehari-sehari.
Palembang, 2 Mei 2012
Penulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR 1
2
DAFTAR ISI 2
Peta Konsep 3
Eksponen
A. Bentuk Pangkat 4
B. Sifat-sifat Bilangan Berpangkat 7
C. Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen 9
Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
A. Pendahuluan 11
B. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk akar 11
C. Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar
Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar
A. Pendahuluan 17
B. 17
C. 18
D. 19
E. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Akar 21
Logaritma
A. Pengertian Logaritma 23
B. Menentukan Logaritma Suatu Bilangan 25
C. Sifat-Sifat Logaritma 34
D. Persamaan Logaritma 39
E. Pertidaksamaan Logaritma 42
Rangkuman 45
3
EKSPONEN
A. Bentuk Pangkat
A.1 PANGKAT BULAT POSITIF
Definisi:
“Jika a adalah bilangan real dan n adalah bilanagn bulat posistif lebih dari 1 maka
(dibaca : a pangkat n) adalah hasil perkalian n buah faktor yang setiap
faktornya sama”
Sebanyak n faktor
Pada bentuk :
Keterangan : 2 disebut bilangan pokok
disebut bilangan berpangkat
4 disebut pangkat (eksponen)
Contoh:
5
(a) = 2
(b) = 3
(c) = (-5)
A.2 PANGKAT NOL DAN PANGKAT BULAT NEGATIF
a. Pangkat Nol
Ingat :
Contoh :
(1) (2)
Kesimpulan :
b. Pangkat Bulat Negatif
Contoh :
(1) (2)
Kesimpulan :
6
A.3 PANGKAT PECAHAN
Pengertian pecahan adalah bilangan yang dapat disajikan dalam bentuk ,
dengan m dan n bilangn bulat dan n 0. Jika a adalah suatu bilangan real bukan
nol, bilangan berpangkat pecahan dapat ditulis sebagai .
Contoh :
Misalkan, m anggota himpunan bilangan bulat, n anggota himpunan
bilangan asli lebih dari 1, dan anggota himpunan bilangan real. Berdasarkan
pengertian pangkat suatu bilangan berlaku :
Sebanyak n factor
= (
= =
Oleh karena . Jika kedua ruas persamaan diambil akar pangkat n,
diperoleh :
Kesimpulan :
7
Dengan : a > 0 ; m bilanagn bulat ; n bilangan asli dan n 2 untuk m = 1 dan n =
2 (akar pangkat dua atau akar kuadrat), angka 2 biasanya tidak ditulis sehingga
hanya ditulis .
Sifat-sifat yang berlaku pada pangkat bulat juga berlaku pada bilanagn
berpangkat pecahan.
Contoh :
Ubahlah bentuk berikut ke dalam bentuk pangkat pecahan !
(a)
(b)
(c)
(d)
Jawab:
(a)
(b)
(c)
(d)
B. SIFAT – SIFAT BILANGAN BERPANGKAT
B.1 Sifat Perkalian
8
Contoh :
(1) (2)
= (3 = (
= 3 =
= =
= =
Kesimpulan :
B.2 Sifat Pembagian
Contoh:
(1) (2)
= =
= =
= =
= =
= =
9
Kesimpulan :
B.3 Sifat Perpangkatan
Contoh:
(1) ( (2)
= = (
= ( =
= 2 =
= =
=
Kesimpulan :
B.3.1 Sifat Pangkat dari Perkalian
Contoh:
(1) (2)
= ( = (
= (2 = (
= =
10
Kesimpulan :
B.3.2 Sifat Pangkat dari Pembagian
Contoh:
(1) =
(2)
Kesimpulan :
C. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN
C.1 Cara menentukan penyelesaian persamaan eksponen
a.
bilangan genap
f(x) dan g(x)harus sama-sama genap atau
genap
f(x) > 0 dan g(x) > 0
c. h(x) dan f(x) 0
11
C.2 Cara menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen
a. Untuk > 1 maka
b. Untuk < 1 maka
Soal-soal :
1. Nilai x dari (2x)4 log 3 = 27 adalah
2. Nilai (x+1) dari x log 27 = adalah
3. Nilai x yang memenuhi persamaan 5x-1+52-x = 6 adalah
4. Batas-batas nilai x yang memenuhi 4x-2x+1>8 adalah
5. jika 22x + 2-2x = 23 maka 2x + 2-x =
6. Penyelesaian pertidaksamaan 9-x+1 + 8.3-x-1 > 0 adalah
12
Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
A. Pendahuluan
Sebelum melakukan operasi bentuk aljabar baik itu penjumlahan, pengurangan,
perkalian, dan pembagian, perlu dipahami mengenai akar senama dan akar sejenis.
A.1 Akar Senama
Bentuk-bentuk akar dikatakan senama jika pangkat dari bentuk-bentuk itu sama.
Contoh:
1. , , , dan merupakan bentuk-bentuk akar senama dengan pangkat
akarnya 2.
2. , , dan merupakan bentuk-bentuk akar senama dengan pangkat
akarnya 3
13
A.2 Akar Sejenis
Bentuk-bentuk akar dikatakan sejenis jika mereka memuat akar senama dan
bilangan yang terdapat di bawah tanda akar juga sama.
Contoh:
1. , 2 , dan 5 merupakan akar sejenis dengan pangkat akar 3
2. , 2 , dan 7 merupakan akar sejenis dengan pangkat akar 5
B. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk akar
Untuk menentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk akar ada beberapa
hal yang perlu diperhatikan
1. Bentuk-bentuk akar haruslah sejenis.
2. Dapat digunakan kebalikan sifat distributif.
Sifat-sifat distributif yang digunakan untuk menjumlahkan atau mengurangkan
bentuk akar adalah:
Jika bilangan yang berada di dalam tanda akarnya tidak sama atau akar-akarnya
tidak sejenis maka sebelum dijumlahkan atau dikurangkan, jika mungkin bilangan
tersebut harus disamakan terlebih dahulu. Selain itu jika pangkat akarnya tidak sama atau
tidak senama, maka sebelum dijumlahkan atau dikurangkan, jika mungkin pangkat-
pangkat akar tersebut harus disamakan terlebih dahulu.
14
= - =
= =
Contoh Soal:
Selesaikan operasi bentuk akar berikut!
1. 7 + 6
2. 6
3. +
Jawab:
1. 7 + 6 = (7+6) = 13
2. 6 = (6 – 3) = 4
3. + = = 5 + 4 = (5+4) = 9
C. Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar
Pada dua buah bilangan bentuk akar berlaku operasi perkalian atau pembagian.
Operasi perkalian dan pembagian bentuk akar memiliki beberapa aturan, yaitu sebagai
berikut:
1. Operasi perkalian atau pembagian dapat dilakukan jika bentuk akar tersebut senama.
Untuk menentukan hasil kali atau hasil bagi dari bentuk-bentuk akar yang senama,
digunakan sifat-sifat sebagai berikut:
Perkalian:
x =
x =
x = m x n
15
a x b = ab
Pembagian:
=
=
2. Apabila bentuk akar belum senama, ubahlah bentuk akar tersebut menjadi senama
terlebih dahulu
x = x =
=
Selain itu, ada beberapa sifat perkalian bilangan yang dapat digunakan untuk melakukan
pengerjaan operasi perkalian pada bentuk akar, antara lain:
a (b + c) = ab + ac
a (b – c) = ab – ac
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b) (a – b) = a2 – b2
Contoh Soal:
Selesaikan operasi bentuk akar berikut ini:
1. x
2.
16
3. x
4.
5. ( – )2
Jawab
1. x =
=
=
= 3
2. =
= 2
3. x = x
=
=
=
4. =
=
=
5. ( – )2 = ( 2 – 2 x x +( 2
17
= 3 – 2 + 7
= 10 – 2
Latihan Soal
1. Tentukanlah hasil operasi dari aljabar bentuk-bentuk berikut?
a. + 3 – 4
b. + –
c. 2 + - 3
2. Tentukanlah hasil operasi dari aljabar bentuk-bentuk berikut?
a. x
b. x
c. x
d. x
e. x 4 x
3. Tentukanlah hasil operasi dari aljabar bentuk-bentuk berikut?
a. ( )
b. ( –
18
c. ( )
d. ( )
e. ( )
4. Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut?
a. + 3 -
b. + 2 +
c. -- 4 +
d.
e.
5. Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut. Anggaplah bahwa a, b, x dan y adalah
bilangan real positif?
a. + 3 +
b. - +
c.
d. +
e. –
19
f. +
g. +
h.
i. +
6. Hitunglah kelilng suatu persegi panjang yang memiliki panjang (5 + ) cm dan
lebar (5 - ) cm
20
Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar
A. Pendahuluan
Suatu pecahan dimana penyebutnya berbentuk akar dapat diselesaikan dengan
cara merasionalkan bentuk-bentuk penyebut yang berbentuk akar tersebut. Merasionalkan
penyebut suatu pecahan tergantung pda bentuk pecahan tersebut. Bentuk pecahan terdiri
dari Pecahan Berbentuk , . Maka dari itu untuk lebih jelas
akan kita bahas pada materi kali ini.
Pada saat kita menemui bentuk soal yang seperti ini maka kita biasanya menyelesaikan
dengan cara mencari nilai kemudian hasil nya kita bagi dengan 12 atau dengan kata lain
. Namun perhitungan tersebut dapat dipermudah dengan cara merasionalkan penyebut
pecahan yaitu dengan manipulasi aljabar.
Contoh:
=
Dalam merasionalkan penyebut pecahan mengalikan dengan , dengan
demikian nilai pecahan ekivalen dengan atau 4 . Berdasarkan uraian di atas dapat
kita simpulkan bahwa
21
Contoh Soal:
1. Rasionalkan pecahan kemudian hitunglah nilai dari pecahan tersebut.(dengan tiga
angaka dibelakang koma)
Jawab:
=
=2 = 2
2. Hitunglah nilai dari !
Jawab: =
=
22
Penulisan bentuk akar dikatakan paling sederhana jika memenuhi beberapa syarat berikut yaitu:
1. Tidak memuat pangkat yang lebih dari pangkar angkarnya
Contoh :
Contoh Soal:
1. Sederhanakn bentuk-bentuk akar di bawah ini
= =
= 2
= =
= 6
26
= =
=
LATIHAN SOAL
1. Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut ini
a.
b.
c.
2. A
2 cm
B A
2 cm
27
Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, dengan AB = 2 cm. BC=2cm . Tentukanlah :
a. Tentukanlah panjang AC dalam bentuk akar yang paling sederhana.
b. Dengan memakai nilai pendekatan seperti pada soal nomor 7, hitunglah nilai-nilai
perbandigan trigonometri berikut ini
• Cos sudut CAB
• Tan sudut CAB
3. Rasionalkan penyebut tiap pecahan berikut ini :
a.
b.
4. Diketahui p =
a. Nyatakan dalam bentuk a + b
b. Nyatakan dalam bentuk paling sederhana.
LOGARITMA
A. Pengertian Logaritma
Sebelumnya kita telah memahami definisi perpangkatan. Bentuk umum dari suatu
bilangan berpangkat adalah an, a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat. Jika
bilangan pokok dan pangkat sudah ditetapkan, maka nilai dari bilangan berpangkat itu
dengan ssegera dapat ditentukan.
28
Sebagai contoh :
a. 23 = 8
b. 271/3 = (33)1/3 = 3
c. 102 = 100, dan seterusnya
Sekarang jika persoalannya dibalik, yaitu apabila bilangan pokok dan hasil
bilangan berpangkat sudah diketahui, maka pangkat dari bilangan pokok itu dapat pula
ditentukan.
Sebagai contoh :
a. 2 ... = 16, mencari pangkat dari bilangan 2 yang hasilnya 16.
Pangkat itu sama dengan 4.
b. 9 ... = 3, mencari pangkat dari bilangan 9 yang hasilnya 3.
Pangkat itu sama dengan ½ .
c. 10 ... = 1000, mencari pangkat dari bilangan 10 yang hasilnya 1000.
Pangkat itu sama dengan 3, demikian seterusnya.
Persoalan mencari pangkat dari suatu bilangan pokok jika hasil perpangkatannya
sudah diketahui seperti di atas dapat dilakukan dengan memakai notasi logaritma
( disingkat: log ) sebagai berikut :
a. 2 ... = 16, ditulis 2log 16 = ... dan nilai 2log 16 = 4.
b. 9 ... = 3, ditulis 9log 3 = ... dan nilai 9log 3 = ½ .
c. 10 ... = 1000, ditulis 10log 1000 = ... dan nilai 10log 1000 = 3.
Jelaslah bahwa logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat
dari suatu bilangan pokok sehingga hsilnya sesuai dengan yang telah diketahui.
Definisi Logaritma bilangan :
Misalkan a adalah bilangan positif ( a > 0 ) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama
dengan 1 ( 0<g<1 atau g>1 )glog a = x jika dan hanya jika gx = a
Keterangan :
29
• g disebut bilangan pokok atau baris logaritma, dengan ketentuan 0<g<1 atau
g>1(g>0 dan g ≠1)
Jika g = 10, bilangan pokok ini biasanya tidak dituliskan. Jadi, 10log 2 ditulis log 2.
Jika g = e (e=2,71828 ...) maka elog a ditulis sebagai ln a ( dibaca : logaritma
natural dari a ), yaitu logaritma dengan bilangan pokok e.
• A disebut numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya, dengan ketentuan
a>0.
• X disebut hasil logaritma, nilainya dapat positif, nol, atau negatif.
• Benttuk gx = a dan x = glog a merupakan dua pernyataan yang ekuivalen ( setara),
gx = a disebut bentuk eksponensial dan x = glog a disebut bentuk logaritmik dalam
hubungan itu.
Hubungan matematika ini menunjukkan bahwa bilangan dalambentuk pangkat
dapat diubah ke bentuk logaritma dan sebaliknya. Sebagai definisi logaritma tersebut,
maka dapat ditunjukkan berlakunya sifat-sifat pokok logaritma sebagai berikut :
a) glog gn = n
b) glog g = 1
c) glog 1 = 0
B. Menentukan Logaritma Suatu Bilangan
Kita telah menentukan logaritma suatu bilangan dengan menggunakan definisi g
log a = x, maka gx = a. Cara ini dapat dilakukan kalau bilangan a dapat diubah menjadi
bilangan berpangkat dengan bilangan pokok g. Akan tetapi, untuk mengubah bilangan a
menjadi bilangan berpangkat dengan bilangan pokok g kadang-kadang tidak mudah
dilakukan.
Sebagai contoh :
1) 2log 3 = x, maka 2x = 3, bilangan 3 tidak mudah diubah menjadi bilangan
berpangkat dengan bilangan pokok 2.
2) 3log 5 = x, maka 3x = 5, bilangan 5 tidak mudah diubah menjadi bilangan
berpangakt dengan bilangan pokok 3.
30
Untuk menentukan logaritma suatu bilangan pada contoh diatas diperlukan cara
lain. Ada cara untuk menentukan logaritma bilangan seperti di atas, yaitu dengan
menggunakan tabel logaritma.
B.1 Menentukan Logaritma Bilangan 1 – 10 dengan Menggunakan Tabel Logaritma
Untuk keperluan berbagai perhitungan, telah dibuat suatu dafta atau tabel
logaritma. Daftar atau tabel logaritma memuat hasil-hasil logaritma suatu bilangan
denagn bilangan pokok 10. Sebelum menggunakan tabel logaritma ada baiknya kita
pahami terlebih dahulu beberapa hal berikut :
1) Dalam tabel logaritma yang ditulis hanyalah bilangan desimal yang menyatakan
hasil logaritma dari suatu bilangan. Bilangan desimal ini disebut mantis ( dari kata
: mantisse ).
2) Lajur-lajur dalam tabel logaritma terdiri atas :
a) Lajur pertama ( disebut lajur N ), dari atas ke bawah memuat bilangan-
bilangan secara berurutan dari 0 sampai dengan 1000.
b) Baris judul pada lajur kedua sampai dengan lajur ke sebelas, dari kiri ke
kanan berturut-turut diisi dengan angka-angka 0,1,2, .........., 7,8,9.
Lajur yang memuat angka 0 disebut lajur 0, yang memuat angka 1
disebut lajur 1, ... demikian seterusnya, lajur yang memuat angka 9 disebut
lajur 9. Pada tiap lajut itu ( lajur 0 samapai lajur 9), dari atas ke bawah
memuat mantis, yaitu bilangan desimal yang menyatakan hasil logaritma
suatu bilangan dengan bilangan pokok 10.
31
Pada tabel tersebut telah diperliahtkan contoh dari sebagian tabel logaritma.
Perhatikan bagian-bagian lajur N, lajur 0, lajur 1, ......, samapi lajur 9, serta bagian
mantisnya. Tampak bahwa bagian mantis terdiri atas 4 angka. Tabel logaritma denagn
mantis terdiri atas 4 angak semacam itu disebut tabel logaritma 4 desimal.
Setelah kita memahami beberapa hal yang ada kaitannya dengan tabel
logaritma, sekarang kita akan menggunakan tabel itu untuk menentukan logaritma
bilangan pokok 10 dari bilangan-bialangan yang terletak di antara 1 dan 10.
Contoh Soal :
Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah nilai tiap logaritma berikut ini :
a) Log 4,6
b) Log 1,21
c) Log 3,69
d) Log 1,013
e) Log 1,238
f) Log 1,495
Penyelesaian :
a) Log 4,6 = ....?
Dengan mengingat bahwa logaritma tiap bilanagn di antara 1 dan 10
mempunyai nilai antara 0 dan 1, maka kita dapat menuliskan terlebih dulu
sebagai :
Log 4,6 = 0, ......
Angka didepan tanda koma ( dalam hal ini 0) disebut sebagai indeks atau
karakteristik, yaitu bagian bulat dari logaritma suatu bilangan. Angka-angka
di belakang koma adalah bagian desimal atau mantis dari logaritma bilangan
itu. Mantis ini dapat ditentukan dari tabel logaritma pada baris ke-4 lajur 6,
diperoleh 6628.
Jadi, log 4,6 = 0,6628.
33
b) Log 1,21 = 0, ....
Bagian desimalnya ditentukan dari tabel logaritma, yaitu pada baris ke
12 lajur 1, diperoleh 0828.
jadi, log 1,21 = 0,0828
c) Log 3,69 = 0, .....
Bagian desimalnya ditentukan dari tabel logaritma, yaitu pada baris ke
36 lajur 9, diperoleh 5670.
jadi, log 3,69 = 0,5670
d) Log 1,013 = 0, .....
Bagian desimalnya ditentukan dari tabel logaritma, yaitu pada baris ke
101 lajur 3, diperoleh 0056.
jadi, log 1,013 = 0,0056
e) Log 1,238 = 0, .....
Bagian desimalnya ditentukan dari tabel logaritma, yaitu pada baris ke
123 lajur 8, diperoleh 0927.
jadi, log 1,238 = 0,0927
f) Log 1,495 = 0, .....
Bagian desimalnya ditentukan dari tabel logaritma, yaitu pada baris ke
149 lajur 5, diperoleh 1746.
jadi, log 1,495 = 0,1746
34
B.2 Menentukan Anti Logaritma Suatu Bilangan
Jika nilai logaritma suatu bilangan diketahui, maka bilangan itu dapat ditentukan
denagn menggunakan tabel logaritma. Mencari bilangan dengan car seperti itu anti
logaritma. Jadi, suatu tabel logaritma sekaligus juga merupakan tabel anti logaritma.
Perlu kita ingat bahwa, jika nilai logaritma suatu bilangan antara 0 dan 1 maka bilangan
itu mempunyai nilai antara 1 dan 10.
Jadi,
Jika 0<log x<1, maka 1<x<10
Contoh Soal :
Tentukanlah bilangan yang logaritma-logaritmanya adalah :
a) 0,7672
b) 0,8681
Penyelesaian:
a) Misalkan bilangan yang akan ditentukan itu adalah x, maka log x =
0,7672. Oleh karena 0<log x = 0,7672<1 maka 1<x<10. Selanjutnya untuk
menentukan nilai x, terlebih dulu kita cari mantis pada tabelk logaritma
sehingga ditemui angka 7672. Kemudia dari angak 7672 ini ditarik garis
ke arah kiri sampai lajur N ( diperoleh angak 58) dan ditarik garis vertikal
ke atas pada lajur 0 sampai lajur 9 ( diperoleh angak 5).
Perhatikan bahwa :
• Pada lajut N diperoleh angak 58
• Pada lajur 0-9 diperoleh angak 5
Dengan demikian, mantis 7672 berkorespondensi dengan bilangan 585.
Oleh karena nilai bilangan x di antara 0 dan 10 maka x = 5,85.
Jadi, log x = 0,7672 maka x = 5,85. Bentuk demikian dapat ditulis
sebagai antilog 0,7672 = 5,85.
37
b) Mantis 8681 berkorespondensi dengan bilangan 738.
Jadi, log x = 0,8681 maka x = 7,38 atau ditulis antilog 0,8681 = 7,38.
38
C. Sifat-Sifat Logaritma
Setelah kita memahami definisi logaritma dan cara menentukan logaritma suatu
bilangan, sekarang kita akan mengkaji sifat-sifat yang berlaku pada logaritma yaitu :
• Sifat 1
Logaritma perkalian dua bilangan sama dengan jumlah logaritma dari masing-masing
bilangan tadi, ditulis :glog ( a × b ) = glog a + glog b
Pembuktian :
Misalkan,glog a = x maka a =gx ………………… (1)glog b = y maka b =gy ............................(2)
Kalikan persamaan (1) dan (2), diperoleh :
a × b = gx × gy
a × b = gx+y
glog ( a × b ) = glog gx+y
glog ( a × b ) = x + yglog ( a × b ) = glog a + glog b …………………( Terbukti )
Contoh Soal :
Sederhanakanlah logaritma di bawah ini :
a. 5log ½ + 5log 50
b. Log 8 + log 125
c. 3log 1/9 + 3log 27
Jawab :
a. 5log ½ + 5log 50 = 5log ( ½ × 50 )
= 5log 25 = 2
b. Log 8 + log 125 = log ( 8 × 125 )
= log 1000
= 3
c. 3log 1/9 + 3log 27 = 3log ( 1/9 × 27 )
= 3log 3
39
= 1
• Sifat 2
Logaritma pembagian dua bilangan sama dengan selisih logaritma dari masing-masing
bilangan itu, ditulis :glog ( a/b ) = glog a – glog b
Pembuktian :
Bagilah persamaan (1) dengan (2), diperoleh :
a/b = gx/gy
a/b = gx-y
glog ( a/b ) = glog gx-y
glog ( a/b ) = x – yglog ( a/b ) = glog a – glog b ………………….( Terbukti)
Contoh Soal :
Sederhanakanlah logaritma di bawah ini :
a. 7log 217 – 7log 31
b. 3log 26 – 3log 78
c. Log 0,04 – log 4
Jawab :
a. 7log 217 – 7log 31 = 7log ( 217/31 )
= 7log 7
= 1
b. 3log 26 – 3log 78 = 3log ( 26/78 )
= 3log ( 1/3 )
= -3
c. Log 0,04 – log 4 = log ( 0,04/4 )
= log 0,01
= -2
40
• Sifat 3
Logaritma suatu bilangan berpangkat sama dengan pangkat dikalikan dengan logaritma
bilangan ittu, ditulis :glog an = n × glog a
Pembuktian :glog an = glog ( a×a×a×........×a×a×a )glog an = glog a+ glog a + glog a +……..+ glog a + glog a + glog a )glog an = n × glog a ……………………………………………………..( Terbukti )
Contoh Soal :
Sederhanakan logaritma di bawah ini :
a. 2 log 25 – 3 log 5 + log 20
b. ½ 2log 81 – 3 2log 3 + 2log 48
Jawab :
a. 2 log 25 – 3 log 5 + log 20 = log 252 – log 53 + log 20
= log ( 252 /53 ) + log 20
= log ( 252/53 × 20 )
= log 100
= 2
b. ½ 2log 81 – 3 2log 3 + 2log 48 = 2log 81 ½ - 2log 33 + 2log 48
= 2log ( 81 ½ / 33 ) + 2log 48
= 2log ( 81 ½ / 33 × 48 )
= 2log 16
= 4
• Sifat 4
Mengubah bilangan pokok logaritma :glog a = plog a / plog g
Kalau p=a, maka menjadi :
41
glog a = 1/ alog g
Pembuktian :
Misalkan glog a = x, maka a = gx
plog a = plog gx
plog a = x plog g
x = plog a / plog g ………………..( Terbukti )
Substitusi p = a pada ruas kanan, maka diperoleh :glog a = alog a / alog gglog a = 1/ alog g ............................ ( Terbukti )
Contoh Soal :
Jika 2log 3 = a, nyatakan logaritma-logaritma di bawah ini dalam a :
a. 8log 3
b. 3log 2
c. 3log 4
Jawab :
a. 8log 3 = log 3/log8 = log 3/log 23 = 1/3 × log 3/ log 2 = 1/3 × 2log 3 = 1/3 a
b. 3log 2 =1/ 2log 3 = 1/a
c. 3log 4 = log 4 / log 3 = log 22 / log 3 = 2× ( log 2/ log 3 ) = 2 × (3log 2 )
= 2 × 1/ 2log 3 = 2 × 1/a = 2/a
• Sifat 5
Sifat 5 merupakan perluasan dari sifat-sifat terdahulu :
I. glog a × alog b = glog b
II. g^nlog am = m/n glog a
III. g^nlog an = glog a
Pembuktian :
I. glog a × alog b = (log a / log g) × (log b / log a)
= log b /log g
42
= glog b ................................ ( Terbukti )
II. g^nlog am = (log am / log gn)
= m/n × ( log a / log g )
= m/n × glog a ............................... ( Terbukti )
III. g^nlog an = n/n glog a
=glog a …………………………… ( Terbukti )
Contoh Soal :
a) Hitunglah 2log 5 × 5log 64
b) Jika 2log 3 = a, nyatakan logaritma-logaritma betikut ini dalam a.
(i) 4log 81
(ii) 8log 27
Jawab :
a) 2log 5 × 5log 64 = 2log 64 = 2log 26 = 6
b) (i) 4log 81 = 2^2log 34 = 4/2 × 2log 3 = 2a
(ii) 8log 27 = 2^3 log 33 = 2log 3 =a
• Sifat 6
Sifat 6 adalah perluasan dari definisi logaritma :
gglog a = a
Pembuktian :
Misalkan glog a = x, maka gx = a, ingat definisi logaritma
Oleh karena itu glog a = x, maka
gglog a = gx
gglog a = a …………………….. ( Terbukti )
Contoh Soal:
Sederhanakanlah logaritma dibawah ini:
a) 22log 5
b) 33log 4
c) 55log 10
43
d) 77log 25
Jawab :
a) 22log 5 = 5
b) 33log 4 = 4
c) 55log 10 = 10
d) 77log 25 = 25
D. Persamaan Logaritma
Persamaan logaritma merupakan suatu persamaan dengan numerus atau basisnya
memuat variabel yang belum diketahui nilainya.
Contoh :
1) 2log ( 3x+5 ) = 16
2) xlog ( x-3 )+ xlog 5 = 0
Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma dapat ditentukan dengan sifat-sifat
persamaan logaritma berikut :
Untuk a>0, a ≠ 1, h(x) > 0, h(x) ≠ 1 berlaku :
• Jika p > 0 dan alog f(x) = alog p, maka f(x) = p asalkan f(x) >0
• Jika alog f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x) asalkan f(x) > 0, g(x) >0
• Jika h(x)log f(x) = h(x)log g(x), maka f(x) = g(x) asalkan f(x) > 0, g(x) > 0
• Jika A(alog f(x))2 + B(alog f(x)) + C = 0, maka penyelesaian dapat ditentukan
dengan mengubahnya menjadi persamaan kuadrat.
Contoh Soal :
1. Nilai x yang memenuhi x log 4 = - ½ adalah :
Penyelesaian :
Rumus dasar ax = b ⇔ x = alog b
44
E. Pertidaksamaan Logaritma
Sifat-sifat pertidaksamaan logaritma :
1) Untuk a > 1
• alog g(x) ≥ alog h(x) ↔ g(x) ≥ h(x), g(x) > 0, h(x) >0
• alog g(x) ≤ alog h(x) ↔ g(x) ≤ h(x), g(x) > 0, h(x) >0
2) Untuk 0 < a < 1
• alog g(x) ≥ alog h(x) ↔ g(x) ≤ h(x), g(x) > 0, h(x) >0
• alog g(x) ≤ alog h(x) ↔ g(x) ≥ h(x), g(x) > 0, h(x) >0
Contoh Soal :
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
3 log (2x-5) < 2 adalah :
Penyelesaian :
Lihat rumus pertidaksamaan :
3 log (2x-5) < 2
(i) 3log (2x-5) < 3 log 9 ( 2 = 2 3log 3 = 3log 32=3log 9 )
2x-5 < 9
2x < 14
x < 7 …(1)
(ii) agar terdefinisi maka f(x) > 0
Dalam hal ini : (2x-5) > 0
2x > 5
x >5/2 ……….(2)
HP= (1) ∩ (2) = x < 7 dan x > 5/2
Jadi jawabannya adalah 5/2 < x < 7
48
Soal-Soal !
1. Harga x yang memenuhi persamaan di bawah ini adalah ………..2log x – 2 / 2log x = 1
2. Jika 2log (a2 – b2) = 2log (a - b) dan a > b, maka (a + b) adalah ……..
3. alog ( 3x – 1 ) . 5log a = 3 , maka harga x adalah ……..
4. √2log x +√2log x +√2log x + .... = 2 , maka nilai x adalah ..................
5. log x – 3 log x + log 1/x = ...........
6. Harga dari alog b . dlog c . clog d ialah ............
7. Diketahui sistem persamaan 5log x4 – 5log y3 = -1 dan 5log x + 5log y = 5. Nilai x
dan y yang memenuhi persamaan tersebut mempunyai jumlah ............
8. Jika │3log x│ < 2 maka ............
9. 4 log 7 = k , maka 2log 49 adalah ............
10. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan log (x + 7x + 20) = 1 maka (x1 + x2)
– 4 x1x2 adalah .............
11. Jika blog 5 = a, blog (2,5) = c dan 5x = 2,5 maka x adalah ...............
12. 4log (4x . 4) = 2 – x maka nilai x adalah ...............
13. Himpunan penyelesaian persamaan 2 log 2x – 2log x2 – 3 = 0 adalah ................
49
14. Jika a = 0,111 dan b = 0,333 maka nilai alog b adalah ..................
15. 5log 3 = a dan 3log 4 = b, maka 4log 15 adalah ...................
16. 2log 5 + 3log 5 / 2log 5 . 3log 5 = ..................
17. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini 4log (x2 – 4x – 32) < 0
adalah ................
18. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 6 log (x2 – x – 6) < 1 adalah ...............
19. Persamaan 10 4log x + 3(10 2log x) – 10 = 0, adalah .................
20. Jika x1 dan x2 memenuhi (log x) (2log x – 3) = log 100 , maka x1x2 adalah .............
50
=
=
x = x =
=
Selain itu, ada beberapa sifat perkalian bilangan yang dapat digunakan untuk melakukan
pengerjaan operasi perkalian pada bentuk akar, antara lain:
a (b + c) = ab + ac
a (b – c) = ab – ac
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b) (a – b) = a2 – b2
Merasional Penyebut Bentuk Akar
52
Sifat-sifat yang digunakan untuk menjumlahkan atau mengurangkan bentuk akar adalah:
= - = =
=
Logaritma :
glog a = x jika dan hanya jika gx = a
glog gn = n
glog g = 1
glog 1 = 0
sifat-sifat yang berlaku pada logaritma yaitu :
1. glog ( a × b ) = glog a + glog b
2. glog ( a/b ) = glog a – glog b
3. glog an = n × glog a
4. glog a = 1/ alog g
5. glog a × alog b = glog b
6. g^nlog am = m/n glog a
7. g^nlog an = glog a
8. gglog a = a
Untuk a>0, a ≠ 1, h(x) > 0, h(x) ≠ 1 berlaku :
• Jika p > 0 dan alog f(x) = alog p, maka f(x) = p asalkan f(x) >0
• Jika alog f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x) asalkan f(x) > 0, g(x) >0
53
• Jika h(x)log f(x) = h(x)log g(x), maka f(x) = g(x) asalkan f(x) > 0, g(x) > 0
• Jika A(alog f(x))2 + B(alog f(x)) + C = 0, maka penyelesaian dapat ditentukan
dengan mengubahnya menjadi persamaan kuadrat.
Sifat-sifat pertidaksamaan logaritma :
3) Untuk a > 1
• alog g(x) ≥ alog h(x) ↔ g(x) ≥ h(x), g(x) > 0, h(x) >0
• alog g(x) ≤ alog h(x) ↔ g(x) ≤ h(x), g(x) > 0, h(x) >0
4) Untuk 0 < a < 1
• alog g(x) ≥ alog h(x) ↔ g(x) ≤ h(x), g(x) > 0, h(x) >0
• alog g(x) ≤ alog h(x) ↔ g(x) ≥ h(x), g(x) > 0, h(x) >0
Daftar Pustaka
Narminingsih. 2009. Siap UN matematika. Sukaoharjo: Seti Aji
Primagama. 2010. Paket Sukses SNMPTN. Yogyakarta: Primagama
Sembiring,dkk.2011.Smp Billinguanl. Bandung:Yrama Widya
Wirodikromo,Sartono.2002.Matematika SMA kelas X. Jakarta: Erlangga
www.belajar-matematika.com/matematika-sma/Logaritma-SMA.pdf
54