Tugas telmat ii eksponen & logaritma

TELAAH MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH II

“EksponEn dan logaritma”

Oleh

` Dia Marsella (06101408004)

Nurjannah Komariah (06101408019)

R.A. Muslimah (06101408020)

Marhamah Fajriyah N (06101408033)

TAHUN AJARAN 2012-2013UNIVERSITAS SRIWIJAYA

Kata Pengantar

Assalammu’alaikum wr.wb

1

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena berkat rahmat dan

karunia-Nya jua, penulis dapat menyelesaikan tugas Telaah Matematika Sekolah

Menengah II yang berjudul “EKSPONEN DAN LOGARITMA”.

Penulis menyadari bahwa dalam pembuatan makalah ini tidak lepas dari bantuan

berbagai pihak dan ridho Allah SWT, untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang

sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu dalam proses pembuatan

makalah ini.

Penulis juga menyadari bahwa dalam pembuatan makalah ini masih jauh dari

kesempurnaan baik dari isi materi maupun cara penulisannya. Namun demikian, penulis

telah berupaya dengan segala kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki sehingga

makalah ini dapat selesai dengan tepat waktu. Oleh karena itu, dengan kerendahan hati

penulis akan menerima kritik dan saran dari pembaca yang bermanfaat untuk

penyempurnaan makalah ini selanjutnya.

Akhirnya, penulis berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi seluruh

pembaca baik dalam proses pembelajaran maupun dalam pengaplikasiannya di kehidupan

sehari-sehari.

Palembang, 2 Mei 2012

Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR 1

2

DAFTAR ISI 2

Peta Konsep 3

Eksponen

A. Bentuk Pangkat 4

B. Sifat-sifat Bilangan Berpangkat 7

C. Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen 9

Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

A. Pendahuluan 11

B. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk akar 11

C. Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar

Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

A. Pendahuluan 17

B. 17

C. 18

D. 19

E. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Akar 21

Logaritma

A. Pengertian Logaritma 23

B. Menentukan Logaritma Suatu Bilangan 25

C. Sifat-Sifat Logaritma 34

D. Persamaan Logaritma 39

E. Pertidaksamaan Logaritma 42

Rangkuman 45

3

Daftar Pustaka 48

PETA KONSEP

4

EKSPONEN

A. Bentuk Pangkat

A.1 PANGKAT BULAT POSITIF

Definisi:

“Jika a adalah bilangan real dan n adalah bilanagn bulat posistif lebih dari 1 maka

(dibaca : a pangkat n) adalah hasil perkalian n buah faktor yang setiap

faktornya sama”

Sebanyak n faktor

Pada bentuk :

Keterangan : 2 disebut bilangan pokok

disebut bilangan berpangkat

4 disebut pangkat (eksponen)

Contoh:

5

(a) = 2

(b) = 3

(c) = (-5)

A.2 PANGKAT NOL DAN PANGKAT BULAT NEGATIF

a. Pangkat Nol

Ingat :

Contoh :

(1) (2)

Kesimpulan :

b. Pangkat Bulat Negatif

Contoh :

(1) (2)

Kesimpulan :

6

A.3 PANGKAT PECAHAN

Pengertian pecahan adalah bilangan yang dapat disajikan dalam bentuk ,

dengan m dan n bilangn bulat dan n 0. Jika a adalah suatu bilangan real bukan

nol, bilangan berpangkat pecahan dapat ditulis sebagai .

Contoh :

Misalkan, m anggota himpunan bilangan bulat, n anggota himpunan

bilangan asli lebih dari 1, dan anggota himpunan bilangan real. Berdasarkan

pengertian pangkat suatu bilangan berlaku :

Sebanyak n factor

= (

= =

Oleh karena . Jika kedua ruas persamaan diambil akar pangkat n,

diperoleh :

Kesimpulan :

7

Dengan : a > 0 ; m bilanagn bulat ; n bilangan asli dan n 2 untuk m = 1 dan n =

2 (akar pangkat dua atau akar kuadrat), angka 2 biasanya tidak ditulis sehingga

hanya ditulis .

Sifat-sifat yang berlaku pada pangkat bulat juga berlaku pada bilanagn

berpangkat pecahan.

Contoh :

Ubahlah bentuk berikut ke dalam bentuk pangkat pecahan !

(a)

(b)

(c)

(d)

Jawab:

(a)

(b)

(c)

(d)

B. SIFAT – SIFAT BILANGAN BERPANGKAT

B.1 Sifat Perkalian

8

Contoh :

(1) (2)

= (3 = (

= 3 =

= =

= =

Kesimpulan :

B.2 Sifat Pembagian

Contoh:

(1) (2)

= =

= =

= =

= =

= =

9

Kesimpulan :

B.3 Sifat Perpangkatan

Contoh:

(1) ( (2)

= = (

= ( =

= 2 =

= =

=

Kesimpulan :

B.3.1 Sifat Pangkat dari Perkalian

Contoh:

(1) (2)

= ( = (

= (2 = (

= =

10

Kesimpulan :

B.3.2 Sifat Pangkat dari Pembagian

Contoh:

(1) =

(2)

Kesimpulan :

C. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN

C.1 Cara menentukan penyelesaian persamaan eksponen

a.

bilangan genap

f(x) dan g(x)harus sama-sama genap atau

genap

f(x) > 0 dan g(x) > 0

c. h(x) dan f(x) 0

11

C.2 Cara menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen

a. Untuk > 1 maka

b. Untuk < 1 maka

Soal-soal :

1. Nilai x dari (2x)4 log 3 = 27 adalah

2. Nilai (x+1) dari x log 27 = adalah

3. Nilai x yang memenuhi persamaan 5x-1+52-x = 6 adalah

4. Batas-batas nilai x yang memenuhi 4x-2x+1>8 adalah

5. jika 22x + 2-2x = 23 maka 2x + 2-x =

6. Penyelesaian pertidaksamaan 9-x+1 + 8.3-x-1 > 0 adalah

12

Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

A. Pendahuluan

Sebelum melakukan operasi bentuk aljabar baik itu penjumlahan, pengurangan,

perkalian, dan pembagian, perlu dipahami mengenai akar senama dan akar sejenis.

A.1 Akar Senama

Bentuk-bentuk akar dikatakan senama jika pangkat dari bentuk-bentuk itu sama.

Contoh:

1. , , , dan merupakan bentuk-bentuk akar senama dengan pangkat

akarnya 2.

2. , , dan merupakan bentuk-bentuk akar senama dengan pangkat

akarnya 3

13

A.2 Akar Sejenis

Bentuk-bentuk akar dikatakan sejenis jika mereka memuat akar senama dan

bilangan yang terdapat di bawah tanda akar juga sama.

Contoh:

1. , 2 , dan 5 merupakan akar sejenis dengan pangkat akar 3

2. , 2 , dan 7 merupakan akar sejenis dengan pangkat akar 5

B. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk akar

Untuk menentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk akar ada beberapa

hal yang perlu diperhatikan

1. Bentuk-bentuk akar haruslah sejenis.

2. Dapat digunakan kebalikan sifat distributif.

Sifat-sifat distributif yang digunakan untuk menjumlahkan atau mengurangkan

bentuk akar adalah:

Jika bilangan yang berada di dalam tanda akarnya tidak sama atau akar-akarnya

tidak sejenis maka sebelum dijumlahkan atau dikurangkan, jika mungkin bilangan

tersebut harus disamakan terlebih dahulu. Selain itu jika pangkat akarnya tidak sama atau

tidak senama, maka sebelum dijumlahkan atau dikurangkan, jika mungkin pangkat-

pangkat akar tersebut harus disamakan terlebih dahulu.

14

= - =

= =

Contoh Soal:

Selesaikan operasi bentuk akar berikut!

1. 7 + 6

2. 6

3. +

Jawab:

1. 7 + 6 = (7+6) = 13

2. 6 = (6 – 3) = 4

3. + = = 5 + 4 = (5+4) = 9

C. Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar

Pada dua buah bilangan bentuk akar berlaku operasi perkalian atau pembagian.

Operasi perkalian dan pembagian bentuk akar memiliki beberapa aturan, yaitu sebagai

berikut:

1. Operasi perkalian atau pembagian dapat dilakukan jika bentuk akar tersebut senama.

Untuk menentukan hasil kali atau hasil bagi dari bentuk-bentuk akar yang senama,

digunakan sifat-sifat sebagai berikut:

Perkalian:

x =

x =

x = m x n

15

a x b = ab

Pembagian:

=

=

2. Apabila bentuk akar belum senama, ubahlah bentuk akar tersebut menjadi senama

terlebih dahulu

x = x =

=

Selain itu, ada beberapa sifat perkalian bilangan yang dapat digunakan untuk melakukan

pengerjaan operasi perkalian pada bentuk akar, antara lain:

a (b + c) = ab + ac

a (b – c) = ab – ac

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b) (a – b) = a2 – b2

Contoh Soal:

Selesaikan operasi bentuk akar berikut ini:

1. x

2.

16

3. x

4.

5. ( – )2

Jawab

1. x =

=

=

= 3

2. =

= 2

3. x = x

=

=

=

4. =

=

=

5. ( – )2 = ( 2 – 2 x x +( 2

17

= 3 – 2 + 7

= 10 – 2

Latihan Soal

1. Tentukanlah hasil operasi dari aljabar bentuk-bentuk berikut?

a. + 3 – 4

b. + –

c. 2 + - 3


a. x

b. x

c. x

d. x

e. x 4 x


a. ( )

b. ( –

18

c. ( )

d. ( )

e. ( )

4. Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut?

a. + 3 -

b. + 2 +

c. -- 4 +

d.

e.

5. Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut. Anggaplah bahwa a, b, x dan y adalah

bilangan real positif?

a. + 3 +

b. - +

c.

d. +

e. –

19

f. +

g. +

h.

i. +

6. Hitunglah kelilng suatu persegi panjang yang memiliki panjang (5 + ) cm dan

lebar (5 - ) cm

20

Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

A. Pendahuluan

Suatu pecahan dimana penyebutnya berbentuk akar dapat diselesaikan dengan

cara merasionalkan bentuk-bentuk penyebut yang berbentuk akar tersebut. Merasionalkan

penyebut suatu pecahan tergantung pda bentuk pecahan tersebut. Bentuk pecahan terdiri

dari Pecahan Berbentuk , . Maka dari itu untuk lebih jelas

akan kita bahas pada materi kali ini.

Pada saat kita menemui bentuk soal yang seperti ini maka kita biasanya menyelesaikan

dengan cara mencari nilai kemudian hasil nya kita bagi dengan 12 atau dengan kata lain

. Namun perhitungan tersebut dapat dipermudah dengan cara merasionalkan penyebut

pecahan yaitu dengan manipulasi aljabar.

Contoh:

=

Dalam merasionalkan penyebut pecahan mengalikan dengan , dengan

demikian nilai pecahan ekivalen dengan atau 4 . Berdasarkan uraian di atas dapat

kita simpulkan bahwa

21

Contoh Soal:

1. Rasionalkan pecahan kemudian hitunglah nilai dari pecahan tersebut.(dengan tiga

angaka dibelakang koma)

Jawab:

=

=2 = 2

2. Hitunglah nilai dari !

Jawab: =

=

22

Contoh Soal:

Hitunglah nilai dari

Jawab :

=

= -( 3 + 2

1. Hitunglah nilai dari

23

Jawab:

=

=

=

Contoh Soal:

1.

= = 5 - 2

2.

24

=

=

=

=

=

=

Menyederhanakan Pecahan Bentuk Akar

25

Penulisan bentuk akar dikatakan paling sederhana jika memenuhi beberapa syarat berikut yaitu:

1. Tidak memuat pangkat yang lebih dari pangkar angkarnya

Contoh :

Contoh Soal:

1. Sederhanakn bentuk-bentuk akar di bawah ini

= =

= 2

= =

= 6

26

= =

=

LATIHAN SOAL

1. Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut ini

a.

b.

c.

2. A

2 cm

B A

2 cm

27

Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, dengan AB = 2 cm. BC=2cm . Tentukanlah :

a. Tentukanlah panjang AC dalam bentuk akar yang paling sederhana.

b. Dengan memakai nilai pendekatan seperti pada soal nomor 7, hitunglah nilai-nilai

perbandigan trigonometri berikut ini

• Cos sudut CAB

• Tan sudut CAB

3. Rasionalkan penyebut tiap pecahan berikut ini :

a.

b.

4. Diketahui p =

a. Nyatakan dalam bentuk a + b

b. Nyatakan dalam bentuk paling sederhana.

LOGARITMA

A. Pengertian Logaritma

Sebelumnya kita telah memahami definisi perpangkatan. Bentuk umum dari suatu

bilangan berpangkat adalah an, a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat. Jika

bilangan pokok dan pangkat sudah ditetapkan, maka nilai dari bilangan berpangkat itu

dengan ssegera dapat ditentukan.

28

Sebagai contoh :

a. 23 = 8

b. 271/3 = (33)1/3 = 3

c. 102 = 100, dan seterusnya

Sekarang jika persoalannya dibalik, yaitu apabila bilangan pokok dan hasil

bilangan berpangkat sudah diketahui, maka pangkat dari bilangan pokok itu dapat pula

ditentukan.

Sebagai contoh :

a. 2 ... = 16, mencari pangkat dari bilangan 2 yang hasilnya 16.

Pangkat itu sama dengan 4.

b. 9 ... = 3, mencari pangkat dari bilangan 9 yang hasilnya 3.

Pangkat itu sama dengan ½ .

c. 10 ... = 1000, mencari pangkat dari bilangan 10 yang hasilnya 1000.

Pangkat itu sama dengan 3, demikian seterusnya.

Persoalan mencari pangkat dari suatu bilangan pokok jika hasil perpangkatannya

sudah diketahui seperti di atas dapat dilakukan dengan memakai notasi logaritma

( disingkat: log ) sebagai berikut :

a. 2 ... = 16, ditulis 2log 16 = ... dan nilai 2log 16 = 4.

b. 9 ... = 3, ditulis 9log 3 = ... dan nilai 9log 3 = ½ .

c. 10 ... = 1000, ditulis 10log 1000 = ... dan nilai 10log 1000 = 3.

Jelaslah bahwa logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat

dari suatu bilangan pokok sehingga hsilnya sesuai dengan yang telah diketahui.

Definisi Logaritma bilangan :

Misalkan a adalah bilangan positif ( a > 0 ) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama

dengan 1 ( 0<g<1 atau g>1 )glog a = x jika dan hanya jika gx = a

Keterangan :

29

• g disebut bilangan pokok atau baris logaritma, dengan ketentuan 0<g<1 atau

g>1(g>0 dan g ≠1)

Jika g = 10, bilangan pokok ini biasanya tidak dituliskan. Jadi, 10log 2 ditulis log 2.

Jika g = e (e=2,71828 ...) maka elog a ditulis sebagai ln a ( dibaca : logaritma

natural dari a ), yaitu logaritma dengan bilangan pokok e.

• A disebut numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya, dengan ketentuan

a>0.

• X disebut hasil logaritma, nilainya dapat positif, nol, atau negatif.

• Benttuk gx = a dan x = glog a merupakan dua pernyataan yang ekuivalen ( setara),

gx = a disebut bentuk eksponensial dan x = glog a disebut bentuk logaritmik dalam

hubungan itu.

Hubungan matematika ini menunjukkan bahwa bilangan dalambentuk pangkat

dapat diubah ke bentuk logaritma dan sebaliknya. Sebagai definisi logaritma tersebut,

maka dapat ditunjukkan berlakunya sifat-sifat pokok logaritma sebagai berikut :

a) glog gn = n

b) glog g = 1

c) glog 1 = 0

B. Menentukan Logaritma Suatu Bilangan

Kita telah menentukan logaritma suatu bilangan dengan menggunakan definisi g

log a = x, maka gx = a. Cara ini dapat dilakukan kalau bilangan a dapat diubah menjadi

bilangan berpangkat dengan bilangan pokok g. Akan tetapi, untuk mengubah bilangan a

menjadi bilangan berpangkat dengan bilangan pokok g kadang-kadang tidak mudah

dilakukan.

Sebagai contoh :

1) 2log 3 = x, maka 2x = 3, bilangan 3 tidak mudah diubah menjadi bilangan

berpangkat dengan bilangan pokok 2.

2) 3log 5 = x, maka 3x = 5, bilangan 5 tidak mudah diubah menjadi bilangan

berpangakt dengan bilangan pokok 3.

30

Untuk menentukan logaritma suatu bilangan pada contoh diatas diperlukan cara

lain. Ada cara untuk menentukan logaritma bilangan seperti di atas, yaitu dengan

menggunakan tabel logaritma.

B.1 Menentukan Logaritma Bilangan 1 – 10 dengan Menggunakan Tabel Logaritma

Untuk keperluan berbagai perhitungan, telah dibuat suatu dafta atau tabel

logaritma. Daftar atau tabel logaritma memuat hasil-hasil logaritma suatu bilangan

denagn bilangan pokok 10. Sebelum menggunakan tabel logaritma ada baiknya kita

pahami terlebih dahulu beberapa hal berikut :

1) Dalam tabel logaritma yang ditulis hanyalah bilangan desimal yang menyatakan

hasil logaritma dari suatu bilangan. Bilangan desimal ini disebut mantis ( dari kata

: mantisse ).

2) Lajur-lajur dalam tabel logaritma terdiri atas :

a) Lajur pertama ( disebut lajur N ), dari atas ke bawah memuat bilangan-

bilangan secara berurutan dari 0 sampai dengan 1000.

b) Baris judul pada lajur kedua sampai dengan lajur ke sebelas, dari kiri ke

kanan berturut-turut diisi dengan angka-angka 0,1,2, .........., 7,8,9.

Lajur yang memuat angka 0 disebut lajur 0, yang memuat angka 1

disebut lajur 1, ... demikian seterusnya, lajur yang memuat angka 9 disebut

lajur 9. Pada tiap lajut itu ( lajur 0 samapai lajur 9), dari atas ke bawah

memuat mantis, yaitu bilangan desimal yang menyatakan hasil logaritma

suatu bilangan dengan bilangan pokok 10.

31

32

Pada tabel tersebut telah diperliahtkan contoh dari sebagian tabel logaritma.

Perhatikan bagian-bagian lajur N, lajur 0, lajur 1, ......, samapi lajur 9, serta bagian

mantisnya. Tampak bahwa bagian mantis terdiri atas 4 angka. Tabel logaritma denagn

mantis terdiri atas 4 angak semacam itu disebut tabel logaritma 4 desimal.

Setelah kita memahami beberapa hal yang ada kaitannya dengan tabel

logaritma, sekarang kita akan menggunakan tabel itu untuk menentukan logaritma

bilangan pokok 10 dari bilangan-bialangan yang terletak di antara 1 dan 10.

Contoh Soal :

Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah nilai tiap logaritma berikut ini :

a) Log 4,6

b) Log 1,21

c) Log 3,69

d) Log 1,013

e) Log 1,238

f) Log 1,495

Penyelesaian :

a) Log 4,6 = ....?

Dengan mengingat bahwa logaritma tiap bilanagn di antara 1 dan 10

mempunyai nilai antara 0 dan 1, maka kita dapat menuliskan terlebih dulu

sebagai :

Log 4,6 = 0, ......

Angka didepan tanda koma ( dalam hal ini 0) disebut sebagai indeks atau

karakteristik, yaitu bagian bulat dari logaritma suatu bilangan. Angka-angka

di belakang koma adalah bagian desimal atau mantis dari logaritma bilangan

itu. Mantis ini dapat ditentukan dari tabel logaritma pada baris ke-4 lajur 6,

diperoleh 6628.

Jadi, log 4,6 = 0,6628.

33

b) Log 1,21 = 0, ....

Bagian desimalnya ditentukan dari tabel logaritma, yaitu pada baris ke

12 lajur 1, diperoleh 0828.

jadi, log 1,21 = 0,0828

c) Log 3,69 = 0, .....



jadi, log 3,69 = 0,5670

d) Log 1,013 = 0, .....



jadi, log 1,013 = 0,0056

e) Log 1,238 = 0, .....



jadi, log 1,238 = 0,0927

f) Log 1,495 = 0, .....



jadi, log 1,495 = 0,1746

34

35

36

B.2 Menentukan Anti Logaritma Suatu Bilangan

Jika nilai logaritma suatu bilangan diketahui, maka bilangan itu dapat ditentukan

denagn menggunakan tabel logaritma. Mencari bilangan dengan car seperti itu anti

logaritma. Jadi, suatu tabel logaritma sekaligus juga merupakan tabel anti logaritma.

Perlu kita ingat bahwa, jika nilai logaritma suatu bilangan antara 0 dan 1 maka bilangan

itu mempunyai nilai antara 1 dan 10.

Jadi,

Jika 0<log x<1, maka 1<x<10

Contoh Soal :

Tentukanlah bilangan yang logaritma-logaritmanya adalah :

a) 0,7672

b) 0,8681

Penyelesaian:

a) Misalkan bilangan yang akan ditentukan itu adalah x, maka log x =

0,7672. Oleh karena 0<log x = 0,7672<1 maka 1<x<10. Selanjutnya untuk

menentukan nilai x, terlebih dulu kita cari mantis pada tabelk logaritma

sehingga ditemui angka 7672. Kemudia dari angak 7672 ini ditarik garis

ke arah kiri sampai lajur N ( diperoleh angak 58) dan ditarik garis vertikal

ke atas pada lajur 0 sampai lajur 9 ( diperoleh angak 5).

Perhatikan bahwa :

• Pada lajut N diperoleh angak 58

• Pada lajur 0-9 diperoleh angak 5

Dengan demikian, mantis 7672 berkorespondensi dengan bilangan 585.

Oleh karena nilai bilangan x di antara 0 dan 10 maka x = 5,85.

Jadi, log x = 0,7672 maka x = 5,85. Bentuk demikian dapat ditulis

sebagai antilog 0,7672 = 5,85.

37

b) Mantis 8681 berkorespondensi dengan bilangan 738.

Jadi, log x = 0,8681 maka x = 7,38 atau ditulis antilog 0,8681 = 7,38.

38

C. Sifat-Sifat Logaritma

Setelah kita memahami definisi logaritma dan cara menentukan logaritma suatu

bilangan, sekarang kita akan mengkaji sifat-sifat yang berlaku pada logaritma yaitu :

• Sifat 1

Logaritma perkalian dua bilangan sama dengan jumlah logaritma dari masing-masing

bilangan tadi, ditulis :glog ( a × b ) = glog a + glog b

Pembuktian :

Misalkan,glog a = x maka a =gx ………………… (1)glog b = y maka b =gy ............................(2)

Kalikan persamaan (1) dan (2), diperoleh :

a × b = gx × gy

a × b = gx+y

glog ( a × b ) = glog gx+y

glog ( a × b ) = x + yglog ( a × b ) = glog a + glog b …………………( Terbukti )

Contoh Soal :

Sederhanakanlah logaritma di bawah ini :

a. 5log ½ + 5log 50

b. Log 8 + log 125

c. 3log 1/9 + 3log 27

Jawab :

a. 5log ½ + 5log 50 = 5log ( ½ × 50 )

= 5log 25 = 2

b. Log 8 + log 125 = log ( 8 × 125 )

= log 1000

= 3

c. 3log 1/9 + 3log 27 = 3log ( 1/9 × 27 )

= 3log 3

39

= 1

• Sifat 2

Logaritma pembagian dua bilangan sama dengan selisih logaritma dari masing-masing

bilangan itu, ditulis :glog ( a/b ) = glog a – glog b

Pembuktian :

Bagilah persamaan (1) dengan (2), diperoleh :

a/b = gx/gy

a/b = gx-y

glog ( a/b ) = glog gx-y

glog ( a/b ) = x – yglog ( a/b ) = glog a – glog b ………………….( Terbukti)

Contoh Soal :

Sederhanakanlah logaritma di bawah ini :

a. 7log 217 – 7log 31

b. 3log 26 – 3log 78

c. Log 0,04 – log 4

Jawab :

a. 7log 217 – 7log 31 = 7log ( 217/31 )

= 7log 7

= 1

b. 3log 26 – 3log 78 = 3log ( 26/78 )

= 3log ( 1/3 )

= -3

c. Log 0,04 – log 4 = log ( 0,04/4 )

= log 0,01

= -2

40

• Sifat 3

Logaritma suatu bilangan berpangkat sama dengan pangkat dikalikan dengan logaritma

bilangan ittu, ditulis :glog an = n × glog a

Pembuktian :glog an = glog ( a×a×a×........×a×a×a )glog an = glog a+ glog a + glog a +……..+ glog a + glog a + glog a )glog an = n × glog a ……………………………………………………..( Terbukti )

Contoh Soal :

Sederhanakan logaritma di bawah ini :

a. 2 log 25 – 3 log 5 + log 20

b. ½ 2log 81 – 3 2log 3 + 2log 48

Jawab :

a. 2 log 25 – 3 log 5 + log 20 = log 252 – log 53 + log 20

= log ( 252 /53 ) + log 20

= log ( 252/53 × 20 )

= log 100

= 2

b. ½ 2log 81 – 3 2log 3 + 2log 48 = 2log 81 ½ - 2log 33 + 2log 48

= 2log ( 81 ½ / 33 ) + 2log 48

= 2log ( 81 ½ / 33 × 48 )

= 2log 16

= 4

• Sifat 4

Mengubah bilangan pokok logaritma :glog a = plog a / plog g

Kalau p=a, maka menjadi :

41

glog a = 1/ alog g

Pembuktian :

Misalkan glog a = x, maka a = gx

plog a = plog gx

plog a = x plog g

x = plog a / plog g ………………..( Terbukti )

Substitusi p = a pada ruas kanan, maka diperoleh :glog a = alog a / alog gglog a = 1/ alog g ............................ ( Terbukti )

Contoh Soal :

Jika 2log 3 = a, nyatakan logaritma-logaritma di bawah ini dalam a :

a. 8log 3

b. 3log 2

c. 3log 4

Jawab :

a. 8log 3 = log 3/log8 = log 3/log 23 = 1/3 × log 3/ log 2 = 1/3 × 2log 3 = 1/3 a

b. 3log 2 =1/ 2log 3 = 1/a

c. 3log 4 = log 4 / log 3 = log 22 / log 3 = 2× ( log 2/ log 3 ) = 2 × (3log 2 )

= 2 × 1/ 2log 3 = 2 × 1/a = 2/a

• Sifat 5

Sifat 5 merupakan perluasan dari sifat-sifat terdahulu :

I. glog a × alog b = glog b

II. g^nlog am = m/n glog a

III. g^nlog an = glog a

Pembuktian :

I. glog a × alog b = (log a / log g) × (log b / log a)

= log b /log g

42

= glog b ................................ ( Terbukti )

II. g^nlog am = (log am / log gn)

= m/n × ( log a / log g )

= m/n × glog a ............................... ( Terbukti )

III. g^nlog an = n/n glog a

=glog a …………………………… ( Terbukti )

Contoh Soal :

a) Hitunglah 2log 5 × 5log 64

b) Jika 2log 3 = a, nyatakan logaritma-logaritma betikut ini dalam a.

(i) 4log 81

(ii) 8log 27

Jawab :

a) 2log 5 × 5log 64 = 2log 64 = 2log 26 = 6

b) (i) 4log 81 = 2^2log 34 = 4/2 × 2log 3 = 2a

(ii) 8log 27 = 2^3 log 33 = 2log 3 =a

• Sifat 6

Sifat 6 adalah perluasan dari definisi logaritma :

gglog a = a

Pembuktian :

Misalkan glog a = x, maka gx = a, ingat definisi logaritma

Oleh karena itu glog a = x, maka

gglog a = gx

gglog a = a …………………….. ( Terbukti )

Contoh Soal:

Sederhanakanlah logaritma dibawah ini:

a) 22log 5

b) 33log 4

c) 55log 10

43

d) 77log 25

Jawab :

a) 22log 5 = 5

b) 33log 4 = 4

c) 55log 10 = 10

d) 77log 25 = 25

D. Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma merupakan suatu persamaan dengan numerus atau basisnya

memuat variabel yang belum diketahui nilainya.

Contoh :

1) 2log ( 3x+5 ) = 16

2) xlog ( x-3 )+ xlog 5 = 0

Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma dapat ditentukan dengan sifat-sifat

persamaan logaritma berikut :

Untuk a>0, a ≠ 1, h(x) > 0, h(x) ≠ 1 berlaku :

• Jika p > 0 dan alog f(x) = alog p, maka f(x) = p asalkan f(x) >0

• Jika alog f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x) asalkan f(x) > 0, g(x) >0

• Jika h(x)log f(x) = h(x)log g(x), maka f(x) = g(x) asalkan f(x) > 0, g(x) > 0

• Jika A(alog f(x))2 + B(alog f(x)) + C = 0, maka penyelesaian dapat ditentukan

dengan mengubahnya menjadi persamaan kuadrat.

Contoh Soal :

1. Nilai x yang memenuhi x log 4 = - ½ adalah :

Penyelesaian :

Rumus dasar ax = b ⇔ x = alog b

44

x log 4 = -1/2 ⇔ x-1/2 = 4

1/ x1/2 = 4 ⇔ x1/2 = 4 ⇔ (x1/2)2 = (1/4)2

⇔ x = 16

2. ↨

45

46

47

E. Pertidaksamaan Logaritma

Sifat-sifat pertidaksamaan logaritma :

1) Untuk a > 1

• alog g(x) ≥ alog h(x) ↔ g(x) ≥ h(x), g(x) > 0, h(x) >0

• alog g(x) ≤ alog h(x) ↔ g(x) ≤ h(x), g(x) > 0, h(x) >0

2) Untuk 0 < a < 1

• alog g(x) ≥ alog h(x) ↔ g(x) ≤ h(x), g(x) > 0, h(x) >0

• alog g(x) ≤ alog h(x) ↔ g(x) ≥ h(x), g(x) > 0, h(x) >0

Contoh Soal :

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

3 log (2x-5) < 2 adalah :

Penyelesaian :

Lihat rumus pertidaksamaan :

3 log (2x-5) < 2

(i) 3log (2x-5) < 3 log 9 ( 2 = 2 3log 3 = 3log 32=3log 9 )

2x-5 < 9

2x < 14

x < 7 …(1)

(ii) agar terdefinisi maka f(x) > 0

Dalam hal ini : (2x-5) > 0

2x > 5

x >5/2 ……….(2)

HP= (1) ∩ (2) = x < 7 dan x > 5/2

Jadi jawabannya adalah 5/2 < x < 7

48

Soal-Soal !

1. Harga x yang memenuhi persamaan di bawah ini adalah ………..2log x – 2 / 2log x = 1

2. Jika 2log (a2 – b2) = 2log (a - b) dan a > b, maka (a + b) adalah ……..

3. alog ( 3x – 1 ) . 5log a = 3 , maka harga x adalah ……..

4. √2log x +√2log x +√2log x + .... = 2 , maka nilai x adalah ..................

5. log x – 3 log x + log 1/x = ...........

6. Harga dari alog b . dlog c . clog d ialah ............

7. Diketahui sistem persamaan 5log x4 – 5log y3 = -1 dan 5log x + 5log y = 5. Nilai x

dan y yang memenuhi persamaan tersebut mempunyai jumlah ............

8. Jika │3log x│ < 2 maka ............

9. 4 log 7 = k , maka 2log 49 adalah ............

10. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan log (x + 7x + 20) = 1 maka (x1 + x2)

– 4 x1x2 adalah .............

11. Jika blog 5 = a, blog (2,5) = c dan 5x = 2,5 maka x adalah ...............

12. 4log (4x . 4) = 2 – x maka nilai x adalah ...............

13. Himpunan penyelesaian persamaan 2 log 2x – 2log x2 – 3 = 0 adalah ................

49

14. Jika a = 0,111 dan b = 0,333 maka nilai alog b adalah ..................

15. 5log 3 = a dan 3log 4 = b, maka 4log 15 adalah ...................

16. 2log 5 + 3log 5 / 2log 5 . 3log 5 = ..................

17. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini 4log (x2 – 4x – 32) < 0

adalah ................

18. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 6 log (x2 – x – 6) < 1 adalah ...............

19. Persamaan 10 4log x + 3(10 2log x) – 10 = 0, adalah .................

20. Jika x1 dan x2 memenuhi (log x) (2log x – 3) = log 100 , maka x1x2 adalah .............

50

Rangkuman

Sifat-sifat Perkalian dan pembagian:

x =

x =

x = m x n

a x b = ab

51

=

=

x = x =

=

Selain itu, ada beberapa sifat perkalian bilangan yang dapat digunakan untuk melakukan

pengerjaan operasi perkalian pada bentuk akar, antara lain:

a (b + c) = ab + ac

a (b – c) = ab – ac

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b) (a – b) = a2 – b2

Merasional Penyebut Bentuk Akar

52

Sifat-sifat yang digunakan untuk menjumlahkan atau mengurangkan bentuk akar adalah:

= - = =

=

Logaritma :

glog a = x jika dan hanya jika gx = a

glog gn = n

glog g = 1

glog 1 = 0

sifat-sifat yang berlaku pada logaritma yaitu :

1. glog ( a × b ) = glog a + glog b

2. glog ( a/b ) = glog a – glog b

3. glog an = n × glog a

4. glog a = 1/ alog g

5. glog a × alog b = glog b

6. g^nlog am = m/n glog a

7. g^nlog an = glog a

8. gglog a = a

Untuk a>0, a ≠ 1, h(x) > 0, h(x) ≠ 1 berlaku :

• Jika p > 0 dan alog f(x) = alog p, maka f(x) = p asalkan f(x) >0

• Jika alog f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x) asalkan f(x) > 0, g(x) >0

53

• Jika h(x)log f(x) = h(x)log g(x), maka f(x) = g(x) asalkan f(x) > 0, g(x) > 0

• Jika A(alog f(x))2 + B(alog f(x)) + C = 0, maka penyelesaian dapat ditentukan

dengan mengubahnya menjadi persamaan kuadrat.

Sifat-sifat pertidaksamaan logaritma :

3) Untuk a > 1

• alog g(x) ≥ alog h(x) ↔ g(x) ≥ h(x), g(x) > 0, h(x) >0

• alog g(x) ≤ alog h(x) ↔ g(x) ≤ h(x), g(x) > 0, h(x) >0

4) Untuk 0 < a < 1

• alog g(x) ≥ alog h(x) ↔ g(x) ≤ h(x), g(x) > 0, h(x) >0

• alog g(x) ≤ alog h(x) ↔ g(x) ≥ h(x), g(x) > 0, h(x) >0

Daftar Pustaka

Narminingsih. 2009. Siap UN matematika. Sukaoharjo: Seti Aji

Primagama. 2010. Paket Sukses SNMPTN. Yogyakarta: Primagama

Sembiring,dkk.2011.Smp Billinguanl. Bandung:Yrama Widya

Wirodikromo,Sartono.2002.Matematika SMA kelas X. Jakarta: Erlangga

www.belajar-matematika.com/matematika-sma/Logaritma-SMA.pdf

54

http://www.belajar-matematika.com/matematika-sma/Logaritma-SMA.pdf

Education

Tugas telmat ii eksponen & logaritma