ml 1010
md 1510510
d
lvyhovuje predstava hm. b.
Všetky zákony pre sústavu hm. b. budú platiť aj pre tuhé teleso.
Dokonale tuhé teleso nemení svoj tvar – je nedeformovateľné
Dokonale tuhé teleso je také teleso, ktorého ktorákoľvek dvojica bodov zachováva počas pohybu telesa svoju vzájomnú vzdialenosť
Tuhé teleso
Skladanie síl v tuhom telese
Skladanie rôznorodých síl:
A
B
1F
2F
1F
2F
F
F
A
B
1F
2F
F
F
1F
2F
F
• Posunieme vektory sily po vektorovým priamkam do spoločného bodu
• Určíme (graficky) výslednicu síl• Posunieme výslednicu síl po jej
vektorovej priamke do ľubovoľného bodu telesa
posunutie pôsobiska sily v priamke sily
A F
BF
F
Účinok sily na telesosa nemení, keď
vektorsily posúvame po jejvektorovej priamke
*amF
alebo
dt
HdF
1. Veta impulzová
(translačný pohyb)
dt
LdM
2. Veta impulzová (rotačný pohyb)
a
Pohybové rovnice tuhého telesa
Plná analógia vzťahov pre SHB a TT:
iiFF
je výslednica síl, pôsobiacich na teleso
*a
je zrýchlenie ťažiska
dvojica síl – 2 rovnako veľké a opačne orientované sily, ležiace mimo priamky sily
A1F
B
2F
r1r
2r
Odvodenie momentu dvojice síl:
21 MMM 2211 FrFrM
222 FrM
2111 FrrFrM
2211 FrFFrM
0
2FrM 111 FrM
rrr 12
Moment dvojice síl
dm
dmrr *
dmr
mr * 1
mdm
Polohový vektor ťažiska tuhého telesa (TT)
dVρdm ρdVrm
r * 1
dSσdm dSrm
r 1*
dlλdm dlrm
r 1*
V
mρ
Trojrozmerné teleso
(Objemová hustota)
S
mσ Dvojrozmerné teleso
(Plošná hustota)
L
mλ
Jednorozmerné teleso(lineárna hustota)
irim
x
y
z
ii
iii
*
m
mrr
SHB TT
ii
iii
*
m
mr
rΔ
Δ
xdmm
x* 1 ydm
my* 1
zdmm
z* 1
dmm
m
i
i
Δ
0Δ
*amF
alebo
dt
HdF
1. Veta impulzová
(translačný pohyb)
dt
LdM
2. Veta impulzová (rotačný pohyb)
a
Pohybové rovnice tuhého telesa
Plná analógia vzťahov pre SHB a TT:
iiFF
je výslednica síl, pôsobiacich na teleso
*a
je zrýchlenie ťažiska
Príklady na vetu o ťažisku
Príklady na vetu o ťažisku
Podmienky rovnovahy pre tuhé teleso
Keď 0vF
konstH
dt
HdFFv
1. V.I.
dt
LdM
2. V.I.
0M
Keď konstL
Rovnovážna poloha – platia podmienky rovnováhy
Stabilná – pri vychýlení z RP vzniká sila (resp. moment sily) navracajúca teleso do RP
Labilná Indiferentná
0keď H
0Keď L
Rovnováha rebríka
FN2
Ft2
0 F 021 tN FF:x
021 gNt FFF:y
0M
r
=gM
gFr
×
=×= 11 tt FrM
r
022 tN MM
sinmgl
2sin 1tFl 01 cosNFl
O
Vzhľadom k bodu O
111 Nt FμF 222 Nt FμF
Fg
Ft1
FN1
( )1=sin
2=-sin
2= d.mgα.
lmgαπ.mg
l
d1
2111 =sin=sin.. d.Fα.l.FαFl ttt
d2
31111 =cos=×= dFαF.lFrM NNNN
d3
Otáčanie tuhého telesa okolo pevnej osiotáčanie = rotácia
Element telesa dm má kinetickú energiu:
2
2
1vdmdEk
Celé teleso má kinetickú energiu:
2
)( 2
1vdm
m
k
m
k EdE )(
22
)( 2
1rdm
m
v
rdm
Pevná os je os, ktorá sa nepohybuje
rv
1
[kg.m2]
kk
k mrJ 2
SHB
2
2
1ωJEk
dmrEm
k )(
22
2
1w je pre všetky body telesa rovnaká
3. Steinerova veta- vyjadruje vzťah medzi momentmi zotrvačnosti vzhľadom na rovnobežné osi, z ktorých jedna prechádza ťažiskom:
dmrJ)m( 2 dmar
m
o )(
2)(
o oo
dmr ro
T
arr o
a
dmadmardmrJ)m()m(
o
)m(
o 22 2
8
oJ ma 2
ma2dmrm
ma
)m(
o2
Tox je súradnica ťažiska vzhľadom na os prechádzajúcu ťažiskom
Tox
2amJJ o Steinerova veta
Momenty zotrvačnosti vzhľadom na rovnobežné osi, z ktorých jedna prechádza ťažiskom sa líšia o m.a2, kde a je
vzdialenosť týchto osí.
0Tox
Vlastnosti momentu zotrvačnosti
1. Moment zotrvačnosti je aditívna funkcia
3I 321 IIII
2I1I
2. Hlavné osi rotácie – osi, ktoré nemenia orientáciu v priestore pri rotacii telesa
7
• Pre ľubovoľné teleso sa dá nájsť 3 navzájom koľme osi, prechádzajúce cez ťažisko, ktoré sú hlavnými osami
• Pre symetrické teleso hlavne osi sú osi symetrie
T y
z
x
obdĺžniková doska, alebo tyč:
2
12
1mLJ
L
L
obruč: 2mrJ
plný valec, alebo doska tvaru kruhu:2
2
1mrJ
doska tvaru rovnoramenného trojuholníka:
2
6
1maJ aa
vrdmvdmrLd
Určíme L
pre tyč, ktorá sa otáča okolo zvislej osi, prechádzajúcej ťažiskom pod uhlom ku tyči
rrdmrrdmrrdmLd
rrdmrdmLd cos2
LdL
zložka po osi
z
Ld
L
v
dmr
Dokážeme, že len pre hlavné osi
L
Zložka v smere tyče
dmωrrrωL
2
JL
L
(hlavná os a osi im rovnobežné)2
πθ Len pre
Ld
dm
v
L
t
z
L
JωLdmrωL
2
Jε
dt
Jωd
dt
Ld
t
LM
Δ
Δ ωM
Moment hybnosti tuhého telesaL
Analógia vzťahov pre postupný a otáčavý pohyb
m J
amF
JM
vmH
JL
dt
HdF
dt
LdM
2
2
1vmEk
2
2
1 JEk
r
v
a
Precesia
Gyroskop je zariadenie na meranie, alebo udržiavanie rovnakej orientácie, resp. rovnakého smeru.
Fg
FN
M
t
LM
Kardanov záves
z
L
tω Δ
L
ΔtLL
2
sin
dmωrrrωL
2Keď os nie je hlavná ( /2) ωL
Nech , to znamená že veľkosť vektora sa nemení ( )konstω
konstL
L
Za čas tΔ sa vektor L
pootočil o uhol ,
tω Δ
LL
,ωL
Δ
Δpritom
tLωL ΔΔ
Lωt
LM
Δ
Δ
ωJLz
JεM z
Pre zložky vektorov na os otáčania platí
LM,ωM
to znamená, že v každý okamih čo privádza k rotácie vektora L tak že jeho koniec pohybuje po kružnice. Teleso koná precesný pohyb.
zyx ,, z,y,xr
dmωzωyωxxzyxωL zyxxx222
zyx ωzωyωxωr
222 zyxrr dmωrrrωL
2
dmxzωdmxyωdmzyωL zyxx 22
dmyzωdmyxωdmzxωL zxyy 22
dmzyωdmzxωdmyxωL yxzz 22
Podobne
Označenie:
dmzyJ xx22
dmzxJ yy22
dmyxJ zz22
dmxyJJ yxxy
dmyzJJ zyyz
dmzxJJ xzzx
zzzzyyzxxz
yzzyyyyxxy
xzzyxyxxxx
JJJL
JJJL
JJJL
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
zxyxxx
z
y
x
ω
ω
ω
JJJ
JJJ
JJJ
L
L
L
Rotácia okolo ľubovolnej osi
zzzzyyzxxz
yzzyyyyxxy
xzzyxyxxxx
JJJL
JJJL
JJJL
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
zxyxxx
z
y
x
JJJ
JJJ
JJJ
L
L
L
Jje tenzor momentu zotrvačnosti (mení smer vektora)
Hlavné osi:
,||L
33
22
11
00
00
00
J
J
J
J
JL
εJdt
LdM
Pohybová rovnica rotujúceho telesa
Tenzor momentu zotrvačnosti
.JL
,0,0 z,y,xr
dmbωFd
2=z
L
v
dm
r
b
( )0≡ ,y,xb
( )dmbrωdmbωrMd
×=×= 22
dmjyixkzjyixM
2
0
0
0
kk
jj
ii
jik
ikj
kji
jik
ikj
kij
dmxzjdmyziM 22
xzzyzz JjJiM 22
yzx JM 2 xzy JM 2 0zM
Vplyv odstredivých síl
Momenty Mx a My vyvíjajú rotáciu okolo osi kolmej na os z
Valenie
Valenie ako kombinacia posuvného a otáčavého pohybu
Valenie ako otáčavý pohyb
Ak sa pohybuje aj os otáčania, pohyb je zložený:
z posuvného (translačného) a otáčavého (rotačného) pohybu.
22
2
1
2
1TT vmI
Potom kinetická energia je zložená z kinetických energií oboch pohybov:
kpkrk EEE
3
Valenie
Kinetická energia
22
2
1
2
1ωRmωIT
2Tv
P
2
2
1ωIP 22
2
1ωmRIT
PI
Príklad:
Z definície vypočítajte moment zotrvačnosti dutého valca (r1,r2,h) vzhľadom na jeho geometrickú os.
hrrV )( 21
22
dVdm dmrJ)m( 2
r – vzdialenosť dm od osi otáčania
Riešenie:
dhdsdrdV drds
dmrJ)m( 2 dVr
V )(
2 drdsdhrV)(
2
dhαdrdrrρJ)h,α,r(
2
h πr
r
αddhdrrρJ0
2
0
32
1
2
14
4 r
r
rρ
hh 0 πα 2
0
r1
r2
dh
ds dr
drh
πhrr
ρJ 244
41
42
2
41
42 rr
h
2
41
42
21
22
rrπh
hrrπ
mJ
222
12
1rrmJ
V
m
Príklad:
Z definície vypočítajte moment zotrvačnosti dutého valca (r1,r2,h) vzhľadom na jeho geometrickú os.
hrrV )( 21
22
dVdm dmrJ)m( 2
r – vzdialenosť dm od osi otáčania
Riešenie:
rdrπhdV 2=
dmrJ)m( 2 dVr
V )(
2 rdrhrV
2∫)(
2
drrhJr
r∫2
1
32
r1
r2
dr
h
πhrr
ρJ 244
41
42
2
41
42 rr
h
2
41
42
21
22
rrπh
hrrπ
mJ
222
12
1rrmJ
V
m
r