ml 1010

md 1510510

d

lvyhovuje predstava hm. b.

Všetky zákony pre sústavu hm. b. budú platiť aj pre tuhé teleso.

Dokonale tuhé teleso nemení svoj tvar – je nedeformovateľné

Dokonale tuhé teleso je také teleso, ktorého ktorákoľvek dvojica bodov zachováva počas pohybu telesa svoju vzájomnú vzdialenosť

Tuhé teleso

Skladanie síl v tuhom telese

Skladanie rôznorodých síl:

A

B

1F

2F

1F

2F

F

F

A

B

1F

2F

F

F

1F

2F

F

• Posunieme vektory sily po vektorovým priamkam do spoločného bodu

• Určíme (graficky) výslednicu síl• Posunieme výslednicu síl po jej

vektorovej priamke do ľubovoľného bodu telesa

posunutie pôsobiska sily v priamke sily

A F

BF

F

Účinok sily na telesosa nemení, keď

vektorsily posúvame po jejvektorovej priamke

*amF

alebo

dt

HdF

1. Veta impulzová

(translačný pohyb)

dt

LdM

2. Veta impulzová (rotačný pohyb)

a

Pohybové rovnice tuhého telesa

Plná analógia vzťahov pre SHB a TT:

iiFF

je výslednica síl, pôsobiacich na teleso

*a

je zrýchlenie ťažiska

dvojica síl – 2 rovnako veľké a opačne orientované sily, ležiace mimo priamky sily

A1F

B

2F

r1r

2r

Odvodenie momentu dvojice síl:

21 MMM 2211 FrFrM

222 FrM

2111 FrrFrM

2211 FrFFrM

0

2FrM 111 FrM

rrr 12

Moment dvojice síl

dm

dmrr *

dmr

mr * 1

mdm

Polohový vektor ťažiska tuhého telesa (TT)

dVρdm ρdVrm

r * 1

dSσdm dSrm

r 1*

dlλdm dlrm

r 1*

V

mρ

Trojrozmerné teleso

(Objemová hustota)

S

mσ Dvojrozmerné teleso

(Plošná hustota)

L

mλ

Jednorozmerné teleso(lineárna hustota)

irim

x

y

z

ii

iii

*

m

mrr

SHB TT

ii

iii

*

m

mr

rΔ

Δ

xdmm

x* 1 ydm

my* 1

zdmm

z* 1

dmm

m

i

i

Δ

0Δ

*amF

alebo

dt

HdF

1. Veta impulzová

(translačný pohyb)

dt

LdM

2. Veta impulzová (rotačný pohyb)

a

Pohybové rovnice tuhého telesa

Plná analógia vzťahov pre SHB a TT:

iiFF

je výslednica síl, pôsobiacich na teleso

*a

je zrýchlenie ťažiska

Príklady na vetu o ťažisku

Príklady na vetu o ťažisku

Podmienky rovnovahy pre tuhé teleso

Keď 0vF

konstH

dt

HdFFv

1. V.I.

dt

LdM

2. V.I.

0M

Keď konstL

Rovnovážna poloha – platia podmienky rovnováhy

Stabilná – pri vychýlení z RP vzniká sila (resp. moment sily) navracajúca teleso do RP

Labilná Indiferentná

0keď H

0Keď L

Rovnováha rebríka

FN2

Ft2

0 F 021 tN FF:x

021 gNt FFF:y

0M

r

=gM

gFr

×

=×= 11 tt FrM

r

022 tN MM

sinmgl

2sin 1tFl 01 cosNFl

O

Vzhľadom k bodu O

111 Nt FμF 222 Nt FμF

Fg

Ft1

FN1

( )1=sin

2=-sin

2= d.mgα.

lmgαπ.mg

l

d1

2111 =sin=sin.. d.Fα.l.FαFl ttt

d2

31111 =cos=×= dFαF.lFrM NNNN

d3

Otáčanie tuhého telesa okolo pevnej osiotáčanie = rotácia

Element telesa dm má kinetickú energiu:

2

2

1vdmdEk

Celé teleso má kinetickú energiu:

2

)( 2

1vdm

m

k

m

k EdE )(

22

)( 2

1rdm

m

v

rdm

Pevná os je os, ktorá sa nepohybuje

rv

1

[kg.m2]

kk

k mrJ 2

SHB

2

2

1ωJEk

dmrEm

k )(

22

2

1w je pre všetky body telesa rovnaká

3. Steinerova veta- vyjadruje vzťah medzi momentmi zotrvačnosti vzhľadom na rovnobežné osi, z ktorých jedna prechádza ťažiskom:

dmrJ)m( 2 dmar

m

o )(

2)(

o oo

dmr ro

T

arr o

a

dmadmardmrJ)m()m(

o

)m(

o 22 2

8

oJ ma 2

ma2dmrm

ma

)m(

o2

Tox je súradnica ťažiska vzhľadom na os prechádzajúcu ťažiskom

Tox

2amJJ o Steinerova veta

Momenty zotrvačnosti vzhľadom na rovnobežné osi, z ktorých jedna prechádza ťažiskom sa líšia o m.a2, kde a je

vzdialenosť týchto osí.

0Tox

Vlastnosti momentu zotrvačnosti

1. Moment zotrvačnosti je aditívna funkcia

3I 321 IIII

2I1I

2. Hlavné osi rotácie – osi, ktoré nemenia orientáciu v priestore pri rotacii telesa

7

• Pre ľubovoľné teleso sa dá nájsť 3 navzájom koľme osi, prechádzajúce cez ťažisko, ktoré sú hlavnými osami

• Pre symetrické teleso hlavne osi sú osi symetrie

T y

z

x

obdĺžniková doska, alebo tyč:

2

12

1mLJ

L

L

obruč: 2mrJ

plný valec, alebo doska tvaru kruhu:2

2

1mrJ

doska tvaru rovnoramenného trojuholníka:

2

6

1maJ aa

vrdmvdmrLd

Určíme L

pre tyč, ktorá sa otáča okolo zvislej osi, prechádzajúcej ťažiskom pod uhlom ku tyči

rrdmrrdmrrdmLd

rrdmrdmLd cos2

LdL

zložka po osi

z

Ld

L

v

dmr

Dokážeme, že len pre hlavné osi

L

Zložka v smere tyče

dmωrrrωL

2

JL

L

(hlavná os a osi im rovnobežné)2

πθ Len pre

Ld

dm

v

L

t

z

L

JωLdmrωL

2

Jε

dt

Jωd

dt

Ld

t

LM

Δ

Δ ωM

Moment hybnosti tuhého telesaL

Analógia vzťahov pre postupný a otáčavý pohyb

m J

amF

JM

vmH

JL

dt

HdF

dt

LdM

2

2

1vmEk

2

2

1 JEk

r

v

a

Precesia

Gyroskop je zariadenie na meranie, alebo udržiavanie rovnakej orientácie, resp. rovnakého smeru.

Fg

FN

M

t

LM

Kardanov záves

z

L

tω Δ

L

ΔtLL

2

sin

dmωrrrωL

2Keď os nie je hlavná ( /2) ωL

Nech , to znamená že veľkosť vektora sa nemení ( )konstω

konstL

L

Za čas tΔ sa vektor L

pootočil o uhol ,

tω Δ

LL

,ωL

Δ

Δpritom

tLωL ΔΔ

Lωt

LM

Δ

Δ

ωJLz

JεM z

Pre zložky vektorov na os otáčania platí

LM,ωM

to znamená, že v každý okamih čo privádza k rotácie vektora L tak že jeho koniec pohybuje po kružnice. Teleso koná precesný pohyb.

zyx ,, z,y,xr

dmωzωyωxxzyxωL zyxxx222

zyx ωzωyωxωr

222 zyxrr dmωrrrωL

2

dmxzωdmxyωdmzyωL zyxx 22

dmyzωdmyxωdmzxωL zxyy 22

dmzyωdmzxωdmyxωL yxzz 22

Podobne

Označenie:

dmzyJ xx22

dmzxJ yy22

dmyxJ zz22

dmxyJJ yxxy

dmyzJJ zyyz

dmzxJJ xzzx

zzzzyyzxxz

yzzyyyyxxy

xzzyxyxxxx

JJJL

JJJL

JJJL

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

zxyxxx

z

y

x

ω

ω

ω

JJJ

JJJ

JJJ

L

L

L

Rotácia okolo ľubovolnej osi

zzzzyyzxxz

yzzyyyyxxy

xzzyxyxxxx

JJJL

JJJL

JJJL

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

zxyxxx

z

y

x

JJJ

JJJ

JJJ

L

L

L

Jje tenzor momentu zotrvačnosti (mení smer vektora)

Hlavné osi:

,||L

33

22

11

00

00

00

J

J

J

J

JL

εJdt

LdM

Pohybová rovnica rotujúceho telesa

Tenzor momentu zotrvačnosti

.JL

,0,0 z,y,xr

dmbωFd

2=z

L

v

dm

r

b

( )0≡ ,y,xb

( )dmbrωdmbωrMd

×=×= 22

dmjyixkzjyixM

2

0

0

0

kk

jj

ii

jik

ikj

kji

jik

ikj

kij

dmxzjdmyziM 22

xzzyzz JjJiM 22

yzx JM 2 xzy JM 2 0zM

Vplyv odstredivých síl

Momenty Mx a My vyvíjajú rotáciu okolo osi kolmej na os z

Valenie

Valenie ako kombinacia posuvného a otáčavého pohybu

Valenie ako otáčavý pohyb

Ak sa pohybuje aj os otáčania, pohyb je zložený:

z posuvného (translačného) a otáčavého (rotačného) pohybu.

22

2

1

2

1TT vmI

Potom kinetická energia je zložená z kinetických energií oboch pohybov:

kpkrk EEE

3

Valenie

Kinetická energia

22

2

1

2

1ωRmωIT

2Tv

P

2

2

1ωIP 22

2

1ωmRIT

PI

Príklad:

Z definície vypočítajte moment zotrvačnosti dutého valca (r1,r2,h) vzhľadom na jeho geometrickú os.

hrrV )( 21

22

dVdm dmrJ)m( 2

r – vzdialenosť dm od osi otáčania

Riešenie:

dhdsdrdV drds

dmrJ)m( 2 dVr

V )(

2 drdsdhrV)(

2

dhαdrdrrρJ)h,α,r(

2

h πr

r

αddhdrrρJ0

2

0

32

1

2

14

4 r

r

rρ

hh 0 πα 2

0

r1

r2

dh

ds dr

drh

πhrr

ρJ 244

41

42

2

41

42 rr

h

2

41

42

21

22

rrπh

hrrπ

mJ

222

12

1rrmJ

V

m

Príklad:

Z definície vypočítajte moment zotrvačnosti dutého valca (r1,r2,h) vzhľadom na jeho geometrickú os.

hrrV )( 21

22

dVdm dmrJ)m( 2

r – vzdialenosť dm od osi otáčania

Riešenie:

rdrπhdV 2=

dmrJ)m( 2 dVr

V )(

2 rdrhrV

2∫)(

2

drrhJr

r∫2

1

32

r1

r2

dr

h

πhrr

ρJ 244

41

42

2

41

42 rr

h

2

41

42

21

22

rrπh

hrrπ

mJ

222

12

1rrmJ

V

m

r