Escuela de Economía – UTPL
Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca
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igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
UNIDAD II: DERIVADA
Continuando con el estudio de la segunda unidad lo iniciaremos con el estudio del
cálculo diferencial que se ocupa de cómo varía una cantidad en relación con otra (LA
DERIVADA). En el texto guía se encuentra desarrollada esta unidad con gran amplitud,
sírvase colocarse en el segundo capítulo y conjuntamente con la guía iremos
aprendiendo sobre el tema.
La derivada se la utiliza en casos donde es necesario medir la rapidez con que se
produce el cambio de una magnitud o situación.
La definición tenemos en el texto base 1, la misma que viene dada por:
h
xfhxfxf
x
)()(lim)´(
0
−+=→
Supuesto que exista ese límite.
Estimado estudiante tenga presente las diversas formas de representar una derivada
que le presentamos a continuación:
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Calculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”.
Elaborado: Abad Ana, (2009): “Guía Didáctica”
1 Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, Pág.99
NOTACIÓN SE LEE
)´(xf f prima de x
dx
dy
Derivada de y con respecto a x
'y y prima
( )[ ]dx
xfd
Derivada de f(x)
[ ]yDx d sub x de y
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Razón de Cambio y Pendiente
En lo que respecta a la derivada con razón de cambio, es una aplicación de la derivada
que se ocupa de hallar la Razón (o ritmo) de cambio de una magnitud respecto a la
otra, es decir , la razón de cambio de una variable respecto de otra, que estén
relacionadas por una función y=f(x) derivable.
Es una cuestión que aparece en una multitud de problemas prácticos, por ejemplo:
• Crecimiento de poblaciones
• Ritmo de producción,
• Flujos de agua,
• Cantidad de dinero, etc.
En este punto le recomiendo que en primer lugar analice los ejercicios propuestos, en
el capítulo dos, relacionados con la razón de cambio porcentual, para que se
familiarice con la teoría y el proceso de variación de una variable respecto a otra.
Ejemplo 32
Razón de cambio del precio respecto a la cantidad 2
Sea p= 100-q2 (en dólares) la función de demanda del producto de una fábrica.
Encuentre la razón de cambio del precio p por unidad con respecto a la cantidad q.
¿Qué tan rápido está cambiando el precio con respecto a q cuando q= 5? 2 Ernest F, Haeussler. (2006): “Matemáticas para Administración, Economía y Ciencias Sociales y de la
vida” , Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.583-584.
Este tema lo ilustraremos con algunos ejemplos.
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La razón de cambio de p con respecto a q es dp/dq
Solución
2100 qp −=
qdq
dp2−=
Cuando q=5, entonces
10)5(2 −=−=dq
dp
Esto significa que cuando se demanda 5 unidades, un incremento de una unidad extra
demandada corresponde a un decremento de aproximadamente 10 dólares en el
precio por unidad que los consumidores están dispuestos a pagar.
Analicemos un ejemplo de razón de cambio de la matricula.
Ejemplo 33
Razón de cambio de la matrícula 3
Un sociólogo está estudiando varios programas que pueden ayudar en la educación de
niños de edad preescolar en cierta ciudad. El sociólogo cree que x años después de
iniciado un programa particular, f(x) miles de niños estarán matriculados, donde
)12(9
10)( 2xxxf −= 0≤ x ≥12. ¿A qué razón cambiará la matrícula. a) Después de tres
años de iniciado el programa y b) después de 9 años?
Solución
La razón de cambio de f(x) es f’’(x):
)12(9
10)( 2xxxf −=
3 Ernest F, Haeussler. (2006): Matemáticas para Administración, Economía y Ciencias Sociales y de la
vida, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.583-584.
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)212(9
10)´( xxf −=
a) Después de 3 años la razón de cambio es:
3
20
9
)6(10))3(212(
9
10)3(' ==−=f
Por lo tanto, la matricula estará creciendo a razón de 20/3 miles de niños por
año
b) Después de 9 años la razón de cambio es:
3
20
9
)6(10))9(212(
9
10)9(' −=−=−=f
Por lo tanto, la matricula estará decreciendo a razón de 20/3 miles de niños por
año.
Recta Tangente con Pendiente
Si f está definida en un intervalo abierto que contiene a c y además existe el límite
entonces, la recta que pasa por (c, f(c)) con pendiente m se llama RECTA TANGENTE a
la grafica de f en el punto (c, f(c)).
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Si en la definición descrita anteriormente, sustituimos Dx por h, y c por x asumiendo
una recta que va desde un punto P(x,f(x)) a un punto Q(x+h, f(x+h)), tal como se ilustra
en el texto base tenemos que la ecuación de la pendiente, también la pudiéramos
escribir así:
Para recordar:
La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (c,f(c)) se llama
PENDIENTE A LA GRAFICA DE F EN C
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h
xfhxfm
h
)()(lim
0
−+=→
Ejemplo 34
Calcular la derivada de la función dada y hallar la pendiente de la recta tangente a la
grafica para el valor especifico de la variable independiente, dado4 2;1)( 3 =−= xxxf
Solución
Se puede usar la definición expresada de cualquier de las dos maneras, que es
exactamente lo mismo nosotros usaremos la primera. En el texto base en capitulo
dos, existe un ejercicio resuelto con la segunda forma, puede analizarlo.
1)()(33)( 3223 −+++=+ DxDxxDxxxDxxf
x
xfxxfm
x ∆−∆+=
→∆
)()(lim
0
x
xxxxxxxm
x ∆+−−∆+∆+∆−=
→∆
)1()1)()(33(lim
33223
0
x
xxxxxm
x ∆∆+∆−∆=
→∆
22
0
)())(33(lim
222
03)()(33lim xxxxxm
x=∆+∆−=
→∆
Como queremos calcular m, en x=2, tenemos
12)2(3 2 ==m
4 Ernest F, Haeussler. (2006): “Matemáticas para Administración, Economía y Ciencias Sociales y de la
vida”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.583-584.
Ahora con los conocimientos adquiridos a través de estos temas es el momento para desarrollar el siguiente ejercicio
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Le sugiero analizar el tema “Técnicas De Derivación” confrontarlo en su texto básico
en el capitulo dos, sección dos.
Para encontrar la derivada hemos usado la definición mediante límites, ahora vamos a
aprender varias reglas de derivación que permiten calcular las derivadas de una
manera más sencilla y rápida y sin el uso directo de la definición de límite. Estas reglas
se denominan Teoremas., Técnicas o Propiedades de la Derivación.
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Reglas de Derivación
Regla Función Derivada Ejemplo
Regla de la constante K 0 y = 5 y` = 0
Regla de la Identidad x 1 y = x y` = 1
Regla de la potencia nx 1−nnx
5xy = 45' xy =
Regla del factor
constante
)(xkf )(' xkf 53xy =
415' xy =
Regla de la suma )()( xgxf +
)(')(' xgxf + xy 2 +=
12' += xy
Regla del producto )(*)( xgxf
)(*)(')('*)( xgxfxgxf + Más adelante lo
explicaremos con
ejercicios estas reglas Regla del cociente
)(
)(
xg
xf 0)(
)(
)('*)()('*)(2
≠−xsig
xg
xgxfxfxg
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Calculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”.
Elaborado: Abad Ana, (2009): “Guía Didáctica”
Para Memorizar:
Tenemos las reglas de la constante, regla de la potencia, regla del múltiplo
constante y la regla de la suma. Todas estas son fundamentales para el estudio del
cálculo, por lo que usted debe DOMINARLAS. La manera más practica de
familiarizarse con las mismas es primero leerlas, entenderlas y memorizarlas, para
posteriormente realizar ejercicios; le sugiero primero los resueltos y luego los
propuestos
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Ejemplo 35
Derivar la función 3
25
42
12 23
2
2
++++++−= xx
xx
xy
Solución
3
2
3
15
4
1
2
12 22
13
22 ++++++−= −− xxxxxy
3
1)2(
4
1)
2
1(
2
1
3
2)2(2' 2
33
13 ++−++−−= −−− xxxxy
3
1
2)
2
1(
4
1
3
24' 2
3
333++−−+= − x
xxxx
y
Ejemplo 36
La demanda de los consumidores de ciertos artículos es 12000200)( +−= ppD
unidades por mes cuando el precio del mercado es p dólares por unidad.
a) Expresar el gasto total mensual de los consumidores del artículo como un función de p
dibujar la gráfica.
b) Utilice el cálculo para determinar el precio del mercado para la cual el gasto de
consumo es máximo.
Solución
a) E(p) = gasto total mensual = (demanda mensual)(precio por unidad)
E(p)= (D(p))(p)
E(p) = (-200p + 12000)(p)
E(p) = -200p(p-60)
E(p) =-200p2 + 1200p
Continuemos resolviendo algunos ejercicios de
aplicación a estas reglas
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b) El precio del mercado para el cual el gasto de consumo es mayor es el punto
donde la recta tangente es horizontal o:
E’(p) = 400p + 12000 = 0
Cuando p = 30 entonces E(30)= 180000 dólares
La Regla del Producto y la Regla del Cociente
Estimado estudiante confróntese al texto base capitulo dos sección tres, y lea
detenidamente las reglas del producto y cociente para que luego se las memorice. Le
recomiendo que no trate de aprendérselas como fórmula sino como un teorema
teórico.
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Para Memorizar:
La regla del producto: “La derivada de un producto de dos funciones es igual a la primera
función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la
primera.”
La regla del cociente: “La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador
por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador, todo
ello dividido por el cuadrado del denominador.”
Luego de haber revisado todos estos contenidos, es oportuno resolver algunos
ejercicios de aplicación a estas reglas
Para Reforzar
Como tarea realice la gráfica para que compruebe estos valores.
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Ejemplo 37
Hallar la derivada de la función dada )21)(5()( 2 uuuf −−=
Solución
)21)(2()2)(5()(' 2 uuuuf −+−−=
102642102)(' 222 ++−=−++= uuuuuuf
Ejemplo 38
Hallar la derivada de la siguiente función utilizando las reglas adecuadas 2
2
1
1
t
ty
−+=
Solución
2222
22
22
22
)1(
4
)1(
)11)(2(
)1(
)2)(1()2)(1('
t
t
t
ttt
t
tttty
−=
−++−=
−−+−−=
Ejemplo 39
Hallar la ecuación de la recta tangente a la grafica de la función dada en el punto
(x,f(x)) para el valor de x=0 )24)(132()( 2523 +−−++= xxxxxxf
Solución
)343)(24()85)(132()(' 225423 +−+−+−−++= xxxxxxxxxxf
Como m= f’(x)
f’(0)=6y f(0)=-2(ecuación punto pendiente)
entonces la ecuación de la recta tangente es:
)0(6)2( −=−− xy
xy 62 =+
26 −= xy
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Ejemplo 40
Hallar la derivada de la siguiente función
x
xxg
34)(
2 +−=
Solución
21
21
21
21 19))(19(
316)( xxxx
x
xxg −=−=+−=
−−
212
3
2
1
2
19)('
−−
−−= xx
xg
Ejemplo 40
Hallar la derivada de la siguiente función 15
52)(
−+=
x
xxf
Solución
Aplicamos la regla del cociente
222 )15(
2510210
)15(
)2510()210(
)15(
)5)(52()2)(15()('
−−−−=
−+−−=
−+−−=
x
xx
x
xx
x
xxxf
2)15(
27)('
−−=x
xf
Señor estudiante al tratar de solucionar y analizar estos ejercicios, le permitirá
encontrar la aplicabilidad del Cálculo con ejemplos prácticos.
La segunda derivada
Ahora que ya poseemos el conocimiento de cómo resolver la primera derivada
podemos resolver la segunda derivada de una función que no es más que la derivada
de la primera derivada.
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La segunda derivada expresa la razón de cambio de la razón de cambio de una función.
Para calcular la segunda derivada se utiliza las mismas reglas que para la primera,
simplemente cuando ya tenemos la primera derivada la volvemos a derivar y
obtenemos la segunda.
La segunda derivada se denota como sigue:
'';);('' 2
2
ydx
ydxf
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Para Recordar:
Antes de encontrar la segunda derivada simplifique al máximo la primera derivada para
que el cálculo de la segunda sea más sencillo. Le recomiendo comenzar con funciones no
muy complicadas y luego analice las funciones que se utilizan la regla de la cadena.
Con los conocimientos adquiridos a través de su lectura comprensiva, es momento de analizar el
siguiente ejemplo.
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Ejemplo 41
Halle la segunda derivada de la función dada. Utilice la notación apropiada y
simplifique la respuesta dado.
43)21( xy −=
Solución
En primer lugar calculamos la primera derivada. Como la función que vamos a derivar es una
potencia utilizamos la regla de la cadena para derivar, de la siguiente manera:
332233 )21(24)6()21(4' xxxxy −−=−−=
Ahora, para obtener la segunda derivada vamos a derivar la primera, para lo cual aplicamos la
regla del producto y luego de la cadena.
[ ]332 )21(24' xxy −−=
[ ])6()21)(3()21()2(24'' 223233 xxxxxy −−+−−=
[ ]2333 )21(9)21(48'' xxxxy −+−−=
[ ]3323 9)21()21(48'' xxxxy +−−−=
[ ]3323 921)21(48'' xxxxy +−−−=
[ ]323 71)21(48'' xxxy +−−=
Derivadas de Orden superior
Como usted domina las reglas de derivación podemos avanzar con la derivación de
orden superior. Cuando se calcula la derivada de f(x) se obtienen f `(x), si derivamos
otra vez f`(x) se obtiene f’’(x)(segunda derivada), si derivamos otra vez f’’(x) se obtiene
f’’’(x)(tercera derivada) y así sucesivamente.
Regla de la Cadena
Estimado estudiante otro de los teoremas importantes dentro del calculo diferencial,
es el denominado “regla de la cadena” teorema que nos ayuda a derivar cualquier
función. Analice en primer lugar la teoría correspondiente que se encuentra en el
capitulo dos sección tres y luego analice los ejemplos.
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Ejemplo 42
5 En una cierta fabrica, si C dólares es el costo total de producción de s unidades,
entonces 10002
4
1 2 ++= ssC. Además, si se producen s unidades durante t horas
desde que se inició la producción, entonces tts 503 2 += . Determinar la intensidad de
cambio del costo total con respecto a un tiempo de 2 horas después de iniciarse la
producción.
Solución
Se requiere obtener dC/dt cuando t=2. De la regla de la cadena, se tiene
dt
ds
ds
dC
dt
dC.=
Derivando separadamente:
22
1 += sds
dC
506 += tdt
ds
Sustituyendo estas derivadas en la primera ecuación:
( )506221 +
+= tsds
dC
Cuando t=2 entonces s = 3(4) + 50(2) = 112
5 Louis Leithold. (2006):”Cálculo para ciencias Administrativas, Biológicas y Sociales”, Colombia,
Edit. Mc Graw-Hill, pag.143.
Señor estudiante es
momento oportuno de
realizar algunas aplicaciones
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Por lo tanto cuando t=2, tenemos
( ) 3596)62)(58(50)2(62)112(21 ==+
+=ds
dC
En consecuencia, 2 horas después de iniciarse la producción el costo total se
incrementa a razón de $3596 dólares por hora.
Es momento oportuno de ampliar los conocimientos es por ello le
sugiero referirse al texto básico y realizar una lectura compresiva de:
Análisis marginal y aproximaciones por incrementos:
Análisis Marginal.
El cálculo se ha convertido en un instrumento importante para resolver algunos
problemas que surgen en la Economía. Si para describir una cierta cantidad económica
se usa una función f, entonces, se emplea el adjetivo marginal para hacer referencia a
la derivada f. En el texto base está claramente desarrollado el marco teórico del
análisis marginal y tiene algunos problemas resueltos, le ruego que los analice en
forma detenida. Le recuerdo que todos estos conceptos los ha estudiado en la
asignatura de Teoría Económica.
Las derivadas C, A', R' y P' se llaman función de costo marginal, función de costo medio
marginal, función de ingreso marginal y función de utilidad marginal, respectivamente.
El número C'(x) es el costo marginal asociado a la producción de x unidades. Si se
interpreta la derivada como la tasa de variación o de cambio, se dice entonces que el
costo varía con respecto a la cantidad de unidades producidas x a razón de C'(x)
unidades monetarias por unidad de producción. Pueden hacerse afirmaciones
semejantes para A'(x), R'(x) y P'(x).
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Si C es la función de costo y n es un entero positivo, entonces, por la definición de
derivada, tenemos:
h
nChnC
h
nChnCnC
h
)()()()(lim)('
0
−+≡−+=→ (si h es pequeño)
Cuando la cantidad de n unidades producidas es grande, los economistas suelen tomar
h = 1 en la fórmula anterior y estimar el costo marginal por:
C’(n) C(n + l) -C(n)
En este contexto, el COSTO MARGINAL ASOCIADO A LA PRODUCCIÓN DE N UNIDADES
ES (APROXIMADAMENTE) IGUAL AL COSTO DE PRODUCIR UNA UNIDAD MAS.
Algunas empresas consideran que el costo C(x) de producir x unidades de un bien de
consumo está dado por una fórmula como esta: C(x) = a + bx + dx2 + kx3.
En donde:
La constante a representa un costo fijo por conceptos como alquiler, electricidad y
calefacción, que son independientes del número de unidades producidas. Si el costo de
producir una unidad fuera by no hubieran otros factores implícitos, entonces el
segundo término bx en la fórmula representaría el costo de producción de x unidades.
Cuando x es muy grande, entonces los términos dx2 y kx3 pueden afectan
significativamente los costos de producción.
Derivaciones de funciones en forma implícita.
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Para Recordar:
Una función esta escrita en forma implícita, cuando su variable dependiente (y) no está despejada
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La Derivación Implícita es una técnica muy sencilla basada en la regla de la cadena que
permite calcular la derivada sin necesidad de resolver la ecuación explícitamente para
x o para y. En el texto guía en el capitulo dos de la sección seis en los ejercicios
resueltos se detalla la manera como resolver este tipo de ejercicios.
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Ejemplo 43
Hallar dx
dy si 0325 =+− xyyx
Solución
0)3()()( 25 =+−dx
dxy
dx
dyx
dx
d
Para Memorizar:
a) Si queremos obtener dy/dx, derivamos término a término con respecto a x, considerando a y como una función de x.
b) En cambio, si queremos obtener dx/dy, derivamos término a término con respecto a y, considerando a x como una función de y
Para comprender mejor sobre el cálculo de derivaciones de funciones en forma
implícita realizaremos algunos ejercicios
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00)()()( 2
255 =+
+−
+
dx
xdy
dx
dyx
dx
xdy
dx
ydx
0)1()2()(
5)( 245 =
+−
+ ydx
dyyx
dx
xdxy
dx
ydx
0)2)1(5)( 245 =
+−
+ ydx
dyxyyx
dx
ydx
0)2)1(5)( 245 =
+−
+ ydx
dyxyyx
dx
ydx
Destruyendo los corchetes y agrupando los términos que contienen dy/dx en un
miembro y los independientes en el otro, tenemos que:
yxyxyxdx
dy 425 5)2( +=−
xyx
yxy
dx
dy
2
55
42
−+=
Ejemplo 44
Hallar dy
dx
si 0325 =+− xyyx
Solución
0)3()()( 25 =+−dy
dxy
dy
dyx
dy
d
00)()()( 2
255 =+
+−
+
dy
xdy
dy
dyx
dy
xdy
dy
ydx
0)(
2)(
5 245 =
−−+
dx
xdyxy
dy
xdyxx
xyxyyxdy
dx2)5( 524 +−=−
yxy
xyx
yxy
xyx
dy
dx42
5
42
5
5
2
)5(
)2(
−+=
−−−+−−=
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Cambiamos de signo a la derivada dx/dy, solamente para expresarla igual que a la
derivada dy/dx, para poder sacar la siguiente conclusión al comparar estas dos
derivadas.
dx
dydx
dy 1=
Es decir que encontrando la una derivada podemos usar esta relación para encontrar
la otra.
Ejemplo 45
6 Hallar dx
dy si yxyxy 495 37 +=−
Solución
Aplicamos el operador derivada en ambos miembros de la igualdad
)49()5( 37 yxdx
dyxy
dx
d +=−
ydx
dx
dx
dy
dx
dxy
dx
d495 37 +=−
Utilizando las reglas de la derivada anteriormente descrita (producto, potencia y regla
de la cadena)
dx
dyy
dx
dyx
dx
dyy
dx
dx 49355 277 +=−
−
dx
dy
dx
dyyy
dx
dyyx 493)5(75 276 +=−+
dx
dy
dx
dyyy
dx
dyxy 493535 276 +=−+
Escribimos en el lado izquierdo todos los términos que contengan a la derivada y del
lado derecho los que no lo contengan:
6 Castro L.(2009) “D erivadas de funciones Implícitas” [en línea] .Disponible en:
http://www.fic.umich.mx/~lcastro/10%20derivadas%20de%20funciones%20implicitas.pdf
[consulta 11-10-2009].
Escuela de Economía – UTPL
Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca
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igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
726 594335 ydx
dy
dx
dyy
dx
dyxy −=−−
Factorizando dx
dy es decir sacando factor común
( ) 726 594335 yyxydx
dy −=−−
Despejando tenemos ( )4335
5926
7
−−−=
yxy
y
dx
dy
En economía se utiliza la derivada implícita tanto en la práctica como en la teoría. La
principal aplicación es para resolver problemas de TASAS RELACIONADAS O RAPIDEZ
DE VARIACION RELACIONADAS, como se las denomina a las derivadas dx/dt y dy/dt, ya
que están vinculadas o relacionadas efectivamente por medio de una ecuación. Tal
ecuación puede usarse para evaluar una de la derivada cuando se conoce la otra; esto
tiene muchas aplicaciones prácticas.
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Para Recordar:
A continuación se dan algunas recomendaciones que le pueden servir de guía para resolver
problemas de variación relacionadas, como una manera de complemento al procedimiento que
se tiene en el texto base.
1. Leer cuidadosamente el problema varias veces y pensar en los datos y en las
cantidades que se desea calcular.
2. Hacer un croquis o esquema apropiado y dar nombre a las variables y a las cantidades
desconocidas.
3. Escribir los hechos conocidos expresando las rapideces de variación dadas (datos) y las
desconocidas (incógnitas) como derivadas de las variables.
4. Encontrar una ecuación general que relacione las variables
5. Derivar con respecto a t ambos lados de la ecuación del punto 4 para obtener una
relación general entre las razones de cambio respecto al tiempo.
6. Sustituir los valores y las derivadas conocidas y despejar la rapidez de cambio
desconocida.
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Un error que se comete frecuentemente es usar los valores específicos de las
derivadas y las variables demasiado pronto en la resolución. Recuérdese siempre
obtener una formula general que correlacione las rapideces de variación para todo
tiempo t. Los valores específicos de las variables deben sustituirse solamente en los
últimos pasos de la resolución.
Ejemplo 46 7
La producción de cierta planta es 22 05.014.006.0 yxyxQ ++= unidades por día,
donde x es el número de horas-trabajador calificado utilizado y y es el número de
horas –trabajador no calificado utilizado. Actualmente, se emplean 60 horas-
trabajador calificado y 300 horas-trabajador no calificado cada día. Utilice el cálculo
para estimar el cambio que debe hacerse en el número de horas de trabajo no
calificado para compensar un incremento de 1 hora en el trabajo calificado, de manera
que la producción se mantenga en su nivel actual
Solución
El nivel actual de producción es el valor de Q cuando x = 60 y y=300. Es decir
22 )300(05.0)300)(60(14.0)60(06.0 ++=Q
7 Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y
Ciencias Sociales”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.167 (#36)
Vamos a resolver algunos
ejercicios de aplicaciones en
la economía
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723645002520216 =++=Q unidades
Si la producción se debe mantener en este nivel, la relación entre trabajo calificado x y
trabajo no calificado y está dado por la ecuación
22 05.014.006.07236 yxyx ++=
Que define y implícitamente como una función de x.
El objetivo es calcular el cambio en y que corresponda a un incremento de 1 unidad en
x, cuando x y y estén relacionadas por esta ecuación.
El cambio provocado en y por un incremento de 1 unidad en x se puede aproximar
mediante la derivada dx
dy. Para determinar esta derivada, se utiliza la derivación
implícita.
dx
dyyx
dx
dy
dx
dyxx )3(05.0)(14.014.0)2(06.00 +++=
xydx
dyy
dx
dyx )2(06.014.0)3(05.014.0 +=−−
xyyxdx
dy12.014.0)15.014.0( +=−−
)15.014.0(
12.014.0
yx
xy
dx
dy
−−+=
Ahora se asigna esta derivada cuando x=60 y y=300
))300(15.0)60(14.0(
)60(12.0)300(14.0
30060 −−
+===
yxdx
dy
9,0)454,8(
2,742
30060
−=−−
+===
yxdx
dy
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Es decir para mantener el nivel actual de producción, el trabajo no calificado se deberá
disminuir en aproximadamente 0.9 horas para compensar el incremento de 1 hora de
trabajo calificado.