1Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Unidade VI - Estabilidade de Sistemas de Controle com Retroação
Conceito de Estabilidade;Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz;A Estabilidade Relativa de Sistemas de Controle com Retroação;A Estabilidade de Sistemas com Variáveis de Estado;Estabilidade de Sistema usando MATLAB.
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Caso 2Caso 2 .. Zeros na 1a. Coluna enquanto alguns dos outros elementos da linZeros na 1a. Coluna enquanto alguns dos outros elementos da linha ha são nãosão não--nulos.nulos.
Exemplo de um polinômio característico � 5 4 3 2( ) 2 2 4 11 10q s s s s s s= + + + + +
5
4
3
21
11
0
1 2 11
2 4 10
6
10
10
s
s
s
cs
ds
s
ε
1
4 12 12c
εε ε− −= =
O arranjo de Routh será
onde
Há duas mudanças de sinal, portanto o sistema é InstávelInstável .
11
1
6 106
cd
c
ε−= →
-
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Exemplo de um polinômio característico � 4 3 2( )q s s s s s K= + + + +4
3
2
11
0
1 1
1 1
Ks
s
Ks
cs
Ks
ε1
K Kc
εε ε− −= =
O arranjo de Routh será
onde
O sistema é InstávelInstável para qualquer valor de K.
Caso 3Caso 3 .. Zeros na 1Zeros na 1aa. Coluna enquanto todos os outros elementos da linha . Coluna enquanto todos os outros elementos da linha são nulos.são nulos.
Esta condição ocorre quando o polinômio contem singularidades que são localizadas simetricamente em torno da origem do plano s. Assim, quando ocorre fatores como (s+�)(s- �) ou (s+j�)(s-j�).
Este problema é contornado usando-se um polinômio auxiliar, U(s), que precede imediatamente a linha de elementos zeros do arranjo de Routh. A ordem do polinômio auxiliar é sempre par.
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Exemplo, considere um sistema de 3a. ordem com um polinômio característico:3 2( ) 2 4q s s s s K= + + +3
2
1
0
1 4
2
8
2
s
s K
s K
Ks
−0 8K< <
O arranjo de Routh será
O sistema será EstávelEstável quando:
Se as raízes sobre o eixo imaginário j� forem simples, o sistema é marginalmente estável, uma vez que possui um modo senoidal não-amortecido. Se as raízes forem repetidas, a resposta do sistema será instável, com a forma t[sen(�t+�)].
Quando K=8, os fatores do polinômio característico são:
( ) ( 2)( 2)( 2)q s s s j s j= + + −A resposta do caso marginal é uma oscilação não aceitável.
Caso 4Caso 4 .. Equação característica com raízes repetidas sobre o eixo Equação característica com raízes repetidas sobre o eixo jj��..
Os critérios de Os critérios de RouthRouth --HurwitzHurwitz não revelam esta forma de instabilidade.não revelam esta forma de instabilidade.
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Exemplo: Controle de Solda
Nas fabricas de automóveis de hoje são usados grandes robôs de solda. O cabeçote de solda é deslocado para diferentes pontos do corpo do automóvel e se requer uma rápida resposta e precisa resposta. Assim, deseja-se determinar a faixa de valores de K e de a para o qual o sistema é estável. A EC é
( )1 ( ) 1
( 1)( 2)( 3)
K s aG s
s s s s
++ = ++ + +
4 3 2( ) 6 11 ( 6) 0q s s s s K s Ka= + + + + + =Portanto,
4
3
23
13
0
1 11
6 ( 6)
Kas
Ks
b Kas
cs
Kas
+3
600
6
Kb
−= ≥
33
3
( 6) 60
b K Kac
b
+ −= ≥
0Ka ≥
ESTÁVEL
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,quando a for positivo.A relação requerida entre K e a é(60 )( 6)
36
K Ka
K
− +≤
Assim, se K=40, será necessário que a� 0,639.
1 21 2 1 0n n n n
n n ns a s a s a s ω− −− −+ + + + + =L
A forma Geral da EC de um sistema de ordem n é
Obtém-se a forma normalizada da equação 1 2 1 0n n ns bs cs− −+ + + + =L/ nonde s s ω=
Exemplo, normaliza-se 3 25 2 8 0s s s+ + + =3 2
3 2
5 21 0
2 4n n n
s s s
ω ω ω+ + + =
3 22,5 0,5 1 0s s s+ + + =ou
(bcd+bf-d2-b2e)e+b2c-bd-bc2f-f2+bfe+cdf>0s6+bs5+cs4+ds3+es2+fs+1=06
bcd+b-d2-b2e>0s5+bs4+cs3+ds2+es+1=05
bcd-d2-b2>0s4+bs3+cs2+ds+1=04
bc-1>0s3+bs2+cs+1=03
b>0s2+bs+1=02
CritérioEquação Característican
O Critério de Estabilidade de Routh-HurwitzÉ ESTÁVELESTÁVEL , pois bc=1,25.
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Estabilidade Relativa de Sistemas de Controle com Retroação
Se o sistema satisfaz Routh-Hurwitz e for absolutamente estável é desejável determinar a estabilidade relativa, estabilidade relativa, i.é, é necessário investigar o amortecimento relativo de cada uma das raízes da EC.A estabilidade relativa de um sistema pode ser definida como uma propriedade que é medida pela parte real relativa de cada raiz ou par de raízes.
Como a estabilidade relativa é ditada pela localização das raízes da EC, a primeira abordagem usando uma formulação no plano s é estender o Critério de Routh-Hurwitz para assegurar a estabilidade relativa. Isto pode ser feito usando-se uma substituição de variáveis, que desloca os eixos do plano s de modo a utilizar o critério de Routh-Hurwitz.
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Exemplo: Descolamento de EixosConsidere-se a EC simples de 3a. ordem 3 2( ) 4 6 4q s s s s= + + +
Como 1a. Tentativa, seja sn=s+2 e observe-se que se obtém um arranjo de Routhsem ocorrência de zero na 1a. Coluna. Contudo, ao se definira variável deslocada sn igual a s+1, obtém-se 3 2 3 2( 1) 4( 1) 6( 1) 4 1n n n n n ns s s s s s− + − + − + = + + +
3
2
1
0
1 1
1 1
0 0
1 0
n
n
n
n
s
s
s
s
O arranjo é
Há raízes sobre o eixo imaginário deslocado que pode ser obtidas a partir do polinômio auxiliar
2( ) 1 ( ) ) [ ](1 )(n n n nU s s s j s j js= + = + + ±+ − →
O deslocamento de eixo do plano s para assegurar a estabilidade relativa de um sistema é uma abordagem muito útil, particularmente para sistemas de ordem elevada com diversos pares de raízes a malha fechada complexas conjugadas.
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Estabilidade de Sistemas com Variáveis de Estado
Se o sistema que se investiga for representado por um diagrama de fluxo de sinal com variáveis de estado, a partir de um conjunto de equações diferenciais de estado. Obtém-se a EC calculando o determinante �(s) do diagrama de fluxo.
Exemplo: Estabilidade de um sistema de 2a. OrdemSendo o sistema descrito por 2 equações diferenciais de 1a. ordem
1 1 2
2 2 1
3x x x
x x Kx Ku
= − += − +
&
&
Usando a formula de Mason:
11
12
23
3
L s
L s
L Ks
−
−
−
=
= −
= −
3 malhas que não se tocam
1 2 3 1 2
1 1 2 2
2
1 ( )
1 ( 3 ) ( )
2 ( 0
3
3)
L L L L L
s s Ks
s
s
s K
− − − −
∆ = − + + +
= −∆ = + + −
− + −=
−
Como todos os coeficientes devem ser positivospositivos , é necessário que K>3.Para que o Sistema seja ESTÁVELESTÁVEL.
O determinante é
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Um método de obtenção da EC diretamente da equação diferencial vetorial se baseia no fato de que a solução do sistema livre é uma função exponencial.A equação diferencial vetorial sem sinais de entrada é
x = Ax&A solução é de forma exponencial e se pode definir uma constante � tal que xi(t)=kie
�it. Os �i são chamados de raízes características ou de autovalores do
sistema e são simplesmente as raízes da EC. Assim,λt λt
λke = Akeλx = Ax
ou
Que pode ser reescrita como (λI - A)x = 0
A solução deste sistema de equações simultâneas possui uma solução não-trivial se e somente se o determinante se anular, i.é somente se
det(λI - A)x = 0
A equação de ordem n em � resultante do calculo do determinante é a EC, assim a estabilidade do sistema pode ser prontamente determinada.
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Exemplo de Projeto: Controle de manobre de veículo sobre lagartas
As 2 lagartas são operadas com velocidades diferentes a fim de manobrar o veículo.Selecionar K e a de modo que o sistema seja estável e que o erro estacionário a um comando em rampa seja menor ou igual a 24% da magnitude do comando.A EC do sistema com retroação é 1 ( ) 0
( )1 0
( 1)( 2)( 5)
cG G s
K s a
s s s s
+ =++ =
+ + +Por conseguinte,4 3 2( 1)( 2)( 5) ( ) 0 8 17 ( 10) 0s s s s K s a s s s K s Ka→+ + + + + = + + + + + =
4
3
23
13
0
1 17
8 ( 10)
Kas
Ks
b Kas
cs
Kas
+3
1260
8
Kb
−= ≥
33
3
( 10) 80
b K Kac
b
+ −= ≥
0Ka ≥
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/ss ve A K=
126
(126 )( 10) 64 0
0
K
K K Ka
Ka
≥− + − ≥
≥
Portanto, é necessário que
O erro estacionário para uma entrada em rampa r(t)=At, t>0 é
0lim /10v cs
K sG G Ka→
= =
10ss
Ae
Ka=
Para ess ser igual a 23,8% de A, será requerido ka=42 �K=70 e a=0,6.Um outro projeto aceitável seria � K=50 e a=0,84.Varias outras combinações podem satisfazer Ka=42, mantendo na região estável.
Assim,
onde
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Estabilidade de Sistemas usando o MATLAB
Estabilidade de Routh-Hurwitz:Dada a EC com coeficientes fixos, considere a equação
3 2( ) 2 24q s s s s= + + +Sistema de controle a Malha Fechada
Arranjo de Routh-Hurwitz:
Pode-se usar também a função rootsroots ((dengdeng )) para calcular os pólos do sistema (raízes do polinômio).
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Toda as vezes em que a EC for um único parâmetro, pode-se utilizar o método de Routh_Hurwitz para determinar a faixa de valores que o parâmetro pode assumirmantendo a estabilidade. Seja a EC
3 2( ) 2 4q s s s s K= + + +
0 8K≤ ≤
O sistema será EstávelEstável quando:
Gráfico da localização da raízes para 0<K<20
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A função for...for... endend define um laço de calculo repetitivo
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A estabilidade de Sistema com varáveis de estado:A estabilidade de Sistema com varáveis de estado:Um sistema descrito na forma de espaço de estado. A estabilidade pode ser calculada com a equação característica associada com a matriz de sistema. Assim,
det s( I - A) = 0Se todas as raízes da EC possuírem parte real negativa (Re(si)<0), então o sistema será estável.A função poly pode ser usada para calcular a EC associada a matriz A. A função poly é usada para formar um polinômio a partir de um vetor de raízes.
Sendo a Matriz A 8 16 6
1 0 0
0 1 0
− − − =
A
Polinômio característico associado é3 28 16 6s s s+ + +
Se A for uma matriz nxn, poly(A ) é o polinômio característico representado pelo vetor linha n+1elementos cujos elementos são os coeficientes do polinômio característico.
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Método do Lugar das Raízes
Próxima AulaPróxima Aula �������� Unidade VIIUnidade VIIConceito de Lugar das Raízes;O Procedimento do Lugar das Raízes;Projeto de Parâmetros pelo Método do Lugar das Raízes;Sensibiliade e Lugar das Raízes;Controaldor de Três Termos (PID);Exemplo de Projeto;Lugar das Raízes usando MATLAB.