Kalkulus Asas|126
UNIT PELAJARAN 5
PEMBEZAAN
HASIL PEMBELAJARAN
Di akhir unit ini, anda diharap dapat:
1. Menyatakan pembezaan sebagai perubahan suatu kuantiti terhadap kuantiti
yang lain.
2. Mencari pembezaan suatu fungsi dengan menggunakan Kaedah Prinsip
Pertama.
3. Mencari pembezaan suatu fungsi dengan menggunakan rumus pembezaan.
.
4. Menentukan terbitan pertama untuk fungsi polinomial mudah, trigonometri,
logaritma dan exponential.
Unit 5 Pembezaan |127
PENGENALAN
embezaan atau terbitan adalah satu ukuran bagi perubahan suatu fungsi terhadap
perubahan pembolehubah bebasnya. Dalam erti kata lain, pembezaan boleh takrifkan
sebagai kadar perubahan suatu kuantiti terhadap suatu kuantiti yang lain. Sebagai
contoh, kecerunan satu garis lurus dinyatakan sebagai perubahan nilai menegak, ,
terhadap perubahan nilai mengufuk, , seperti berikut
n n n p
n p
Proses menentukan perubahan berbanding ini adalah proses pembezaan dan ditulis sebagai
Pembezan atau terbitan pertama bagi fungsi bermakna pembezaan peringkat
pertama dan ditulis sebagai
atau . Terbitan bagi fungsi pada satu titik memberikan
kecerunan garis tangen kepada graf fungsi itu pada titik tersebut. Konsep pembezaan ini boleh
diaplikasikan dalam pelbagai bidang dan salah satunya ialah bidang fizik. Misalnya, perubahan
jarak suatu objek, , terhadap masa, , dikenali sebagai halaju, . Proses perubahan ini ditulis
sebagai
.
Di awal bab ini, pelajar akan diperkenalkan dengan konsep had bagi suatu fungsi. Seterusnya,
pelajar akan didedahkan dengan cara untuk mendapatkan terbitan atau pembezaan sesuatu fungsi
dengan menggunakan konsep had dan juga menggunakan rumus. Pengetahuan tentang terbitan
sesuatu fungsi amat penting bagi semua pelajar kerana ia banyak diaplikasikan dalam kehidupan
seharian.
P
Layari Laman Web untuk mengetahui sejarah mengenai Pembezaan:
http://www.math.wpi.edu/IQP/BVCalcHist/calc2.html
Kalkulus Asas|128
5.1 Pembezaan
Terbitan sesuatu fungsi boleh dijana dengan menggunakan kaedah Prinsip Pertama
(Konsep Had) atau Petua Pembezaan. Teknik pembezaan yang menggunakan kaedah
had ini akan dibincangkan di Seksyen 5.2 manakala rumus-rumus terbitan akan dihuraikan
dengan lebih lanjut di Seksyen 5.3.
Untuk membezakan suatu fungsi menggunakan kaedah Prinsip Pertama, pengetahuan
mengenai had perlu diperkukuhkan terlebih dahulu. Oleh itu, mari kita mengimbas kembali
apa yang telah anda pelajari di unit sebelum ini. Had bagi fungsi ketika
menghampiri nilai dari kiri dan kanan ialah suatu nilai . Penyataan ini boleh ditulis
dengan ringkas sebagai
Sebagai contoh, diberi fungsi . Perubahan nilai-nilai apabila
menghampiri 1 boleh dilihat dengan menggantikan beberapa nilai yang berhampiran
dengan 1 (tapi bukan sama dengan 1) ke dalam fungsi tersebut, seperti di dalam
Jadual 5.1.
Jadual 5.1
β’
0.9000 0.9900 0.9990 0.9999 1 1.0001 1.0010 1.0100 1.1000
2.52 2.9502 2.9950 2.9995 3 3.0005 3.0050 3.0502 3.52
Daripada jadual tersebut, dapat dilihat bahawa nilai semakin hampir dengan 3
apabila nilai semakin menghampiri 1 dari kiri dan kanan. Tatatanda untuk operasi ini
ialah
Maka, fungsi ini mempunyai had ketika menghampiri 1. Ini terbukti kerana had kiri
dan had kanan fungsi tersebut adalah sama ketika menghampiri nilai tersebut. Dengan
Unit 5 Pembezaan |129
itu, had fungsi apabila menghampiri 1 ialah 3. Pernyataan di atas
boleh ditulis sebagai
Contoh 5.1
Dapatkan
Penyelesaian:
Jadual 5.2
-0.100 -0.050 -0.010 -0.001 0 0.001 0.010 0.050 0.100
100 400 10,000 1,000,000 NaN 1,000,000 10,000 400 100
Rajah 5.1
INGAT! Had suatu fungsi π π₯ pada nilai π₯ menghampiri π
diperolehi dengan mengambil nilai-nilai π₯ yang sangat hampir dengan π
tetapi bukan π₯ π.
Kalkulus Asas|130
Daripada Jadual 5.2 dapat dilihat bahawa semakin menghampiri 0, nilai β menjadi semakin
besar. Ini diperkukuhkan lagi dengan graf fungsi β yang ditunjukkan dalam gambarajah
5.1. Dalam rajah tersebut, dapat dilihat bahawa ketika mendekati 0 dari kiri, nilai
menghampiri
dan ketika menghampiri 0 dari kanan, nilai semakin mendekati
Oleh yang demikian, fungsi ketika , iaitu
Perhatikan bahawa fungsi ini tidak ditakrif di !
Sebaliknya, terdapat juga keadaan di mana fungsi tidak mempunyai had ketika
menghampiri nilai tertentu. Ini adalah disebabkan had kiri dan kanan fungsi tersebut tidak
sama apabila menghampiri nilai tersebut. Lihat contoh 5.12 untuk lebih memahami
pernyataan di atas.
Contoh 5.2
Dapatkan
8
Penyelesaian:
Jadual 5.3
-2.100 -2.050 -2.010 -2.001 -2 -1.999 -1.990 -1.950 -1.900
-0.793 -1.626 -8.292 -83.292 NaN 83.403 8.375 1.709 0.876
Unit 5 Pembezaan |131
Rajah 5.2
Dari Jadual 5.3 dan Rajah 5.2, didapati ketika menghampiri -2 dari kiri, nilai
menjadi semakin kecil sehingga ke ,
Sedangkan ketika mendekati -2 dari kanan, nilai semakin bertambah menghampiri
,
Oleh itu, fungsi ini tidak mempunyai had ketika menghampiri -2 iaitu
Berikut adalah teorem yang boleh digunakan bagi memudahkan untuk mencari had
sesuatu fungsi.
i. ialah pemalar.
ii.
iii.
Kalkulus Asas|132
iv. [ ]
v. [ ] [ ] [ ]
vi.
vii. β β
Contoh 5.3
Dapatkan had bagi fungsi-fungsi berikut.
a) 7 b)
c) β
Penyelesaian:
a)
7
7
7
7
b)
9
6
c)
β
9 β
9
β
7
π₯
π₯ 9
π₯
9
Jika
Had ini adalah tidak tertakrif.
Kaedah ini SALAH!
Unit 5 Pembezaan |133
5.2 Pembezaan Menggunakan Kaedah Prinsip Pertama
Sekarang, perhatikan Rajah 5.3 di bawah. Jika dan adalah dua titik
berdekatan yang terletak pada lengkung , maka garis lurus yang
menyambungkan kedua-dua titik tersebut (dipanggil perentas) mempunyai kecerunan
manakala garis lurus yang hanya menyentuh titik dikenali sebagai tangen.
Rajah 5.3
Latihan Formatif 5.1
Dapatkan nilai-nilai had berikut.
a) π₯ 4
π₯ 5 π₯ e) π₯
π₯ 4
π₯
b) π₯
π₯ π₯
π₯
f) π₯
π₯ 5π₯
5π₯ 7π₯ 6
c) π₯ β
5π₯
5 π₯
g) π₯ β
5π₯ 4
4π₯
d) π₯
π₯ π₯
π₯
h) π₯
π₯
Perentas
Tangen
πΏπ₯
π₯ π₯
Kalkulus Asas|134
Oleh kerana dan , maka
Jika diambil , maka persamaan di atas boleh ditulis sebagai
Apabila titik semakin menghampiri sepanjang lengkung , maka akan
menghampiri dan menyebabkan nilai semakin mengecil sehingga
menghampiri sifar. Keadaan ini akan mengakibatkan garis perentas akan
menghampiri garis tangen pada titik . Oleh itu, kecerunan garis tangen pada ialah
Maka boleh disimpulkan bahawa kecerunan tangen kepada lengkung pada
suatu titik tertentu diwakili oleh
β .
Contoh 5.4
Dapatkan terbitan bagi setiap fungsi berikut dengan menggunakan idea had.
a) b) β
Penyelesaian:
a) n
Maka
Oleh itu,
Unit 5 Pembezaan |135
b)
5.3 Pembezaan Fungsi Piawai
5.3.1 Pembezaan Fungsi Malar
Latihan Formatif 5.2
Jika π¦ π π₯ π maka ππ¦
ππ₯ π π₯
Secara geometri, graf
bagi π¦ π merupakan
satu garis mengufuk.
Maka kecerunan garis
itu ialah sifar.
Dapatkan terbitan bagi fungsi-fungsi berikut menggunakan Prinsip Pertama.
a) π π₯ π₯ 5π₯ d) π π₯ π₯
b) π π₯ 8 e) π π₯
π₯
c) π π₯ π₯ f) π π₯ π₯ π₯
Kalkulus Asas|136
Contoh 5.5
Bezakan fungsi-fungsi berikut:
a) b)
c) 7
Penyelesaian:
a)
[ ] b)
*
+ c)
[7 ]
5.3.2 Pembezaan Fungsi Kuasa
Contoh 5.6
Dapatkan terbitan bagi:
a) 4 b)
c) 6
Latihan Formatif 5.3.1
Jika π¦ π π₯ ππ₯π maka ππ¦
ππ₯ π π₯ πππ₯π
Dapatkan terbitan bagi setiap fungsi berikut.
a) π π₯ 5
d) π π₯ 4
b) π π₯ 8 e) π π₯ π
c) π π₯ log 8 f) π π₯ 7
π p m ol i i
π p m ol n n
Pembezaan tidak semestinya ditulis dalam bentuk ππ¦
ππ₯ atau π π₯ . Ia juga boleh ditulis
dalam bentuk huruf-huruf lain seperti ππ
ππ‘. Umumnya, pembezaan diwakili oleh
.
Unit 5 Pembezaan |137
Penyelesaian:
a)
[ 4] 4 b)
*
+
5
c)
*6
+
6(
)
5.3.3 Pembezaan Fungsi Trigonometri
Contoh 5.7 Dapatkan terbitan bagi:
a) 7 o c)
in
Latihan Formatif 5.3.2
Jika π¦ π π₯ in π₯ maka ππ¦
ππ₯ π π₯ o π₯
Jika π¦ π π₯ o π₯ maka ππ¦
ππ₯ π π₯ in π₯
Jika π¦ π π₯ t n π₯ maka ππ¦
ππ₯ π π₯ π₯
Bezakan fungsi-fungsi berikut.
a) π π₯ π₯ d) π π₯ π₯
b) π π₯ 9π₯ 4 e) π π₯ π₯
c) π π₯ 5π₯ f) π π₯ ππ₯
Kalkulus Asas|138
b) t n
Penyelesaian:
a)
[7 o ] 7 in c)
*
in +
o
b)
5.3.4 Pembezaan Fungsi Logaritma
Sebelum kita pergi lebih lanjut dalam bahagian ini, marilah kita imbas semula beberapa sifat
logaritma khususnya fungsi logaritma asli. Logaritma asli ialah logaritma yang berasaskan e
dan sering ditulis sebagai log atau ln . Antara sifat-sifat logaritma asli ialah:
(i) ln
(ii) ln
(iii) ln ln ln
(iv) ln
ln ln
(v) ln ln
Latihan Formatif 5.3.3
Dapatkan ππ¦
ππ₯ bagi setiap fungsi berikut.
a) π¦ 5 8 π in π₯
b) π¦ 4 o π₯
c) π£ 5 t n π‘
Unit 5 Pembezaan |139
Selanjutnya,
Contoh 5.8
Dapatkan terbitan bagi:
a)
ln c) 7 ln
b) log
Penyelesaian:
a)
b)
log
c) 7 (
) ln
* 4
ln +
4
Latihan Formatif 5.3.4
Jika π¦ π π₯ ln π₯ maka ππ¦
ππ₯ π π₯
π₯
Jika π¦ π π₯ logπ π₯, maka ππ¦
ππ₯ π π₯
π₯logπ π
Dapatkan π π₯ jika
a) π π₯ ln π₯ c) π π₯ lnπ
π₯
b) π π₯ log π₯ d) π π₯ log β
π₯5
Kalkulus Asas|140
5.3.5 Pembezaan Fungsi Exponential
Contoh 5.9
Bezakan fungsi-fungsi berikut terhadap .
a) b)
Penyelesaian:
a) b)
RUMUSAN
1. Suatu fungsi mempunyai had pada titik tertentu sekiranya nilai had fungsi tersebut pada
titik itu adalah sama dari arah kiri dan kanan.
2. Terbitan suatu fungsi adalah diwakili oleh tatatanda
β atau
Latihan Formatif 5.3.5
Bezakan setiap persamaan berikut.
a) π¦ π 4π₯ c) π¦ π6π₯
b) π 8π π d) π¦
7π π₯
π5π₯
Jika π¦ π π₯ ππ₯ maka ππ¦
ππ₯ π π₯ ππ₯
Jika π¦ π π₯ π π₯ maka ππ¦
ππ₯ π π₯ π π₯
Unit 5 Pembezaan |141
3. Kecerunan garis tangen pada lengkung pada satu titik tertentu boleh diperolehi
dengan menggunakan kaedah prinsip pertama di mana
β
dengan ialah tokokan kecil dalam .
4. Terbitan suatu fungsi juga boleh didapati dengan menggunakan rumus terbitan. Sebagai
contoh, jika maka
β .
KATA KUNCI
Terbitan, Pembezaan, Prinsip pertama, Had, Fungsi malar, Fungsi exponential, Fungsi kuasa,
Fungsi trigonometri, Fungsi logaritma.
Latihan Sumatif
1. Cari nilai had bagi fungsi-fungsi berikut.
a) π₯ 4
π₯ π₯
π₯ π₯ d)
π₯
π₯
sinπ₯
b) π₯
π₯
cosπ₯ e)
π₯ π₯
π₯
c) π₯ β
7 π₯
π₯ f)
π₯
π₯
π₯
2. Bezakan fungsi-fungsi berikut dengan menggunakan kaedah prinsip pertama.
a) π π₯ 8π₯ e) π π₯
π₯
b) π π₯
π₯ 7 f) π π₯ π₯
c) π π₯ π₯ g) π π₯ π₯ 9π₯
d) π π₯ π₯ π₯ h) π π₯ π₯
π₯
Kalkulus Asas|142
RUJUKAN
Steward, J. (2003). Calculus (5th Ed.). Brooks/Cole: Belmont.
Md.Raji, A.W., Rahmat, H., Kamis, I., Mohamad, M.N. & Ong, C.T. (2000). Kalkulus. UTM.
Pek Wei, W., Sin Mong, W. (2005). Sukses Matematik Tambahan SPM. Penerbit Fajar Bakti Sdn.
Bhd.: Selangor.
Layari Laman Web http://mathworld.wolfram.com/Derivative.html
3. Dengan menggunakan rumus pembezaan, dapatkan terbitan pertama bagi
a) π¦ π₯ inπ e) π¦ o (π
)
b) π π₯ π₯ f) π¦ 4
ππ₯
c) π π₯ π g) π¦ π₯7
d) π
π‘5 h) π¦ π₯
4. Bezakan fungsi-fungsi berikut
a) π π₯
π₯ f) π π‘ π ln π‘
b) β π πt n π g) β π₯ ππ₯
c) π£ π‘ ln π‘ h) π π₯
π π₯
d) π π₯
π₯ i) π π₯ ππ₯
e) π π₯ 4 o π₯ j) π π‘ π π‘
Unit 5 Pembezaan |143
JAWAPAN LATIHAN FORMATIF
Latihan Formatif 5.1
a) 13.732 b) 1 c) 5/2 d) 3
e) 4 f) 3/13 g) 5/3 h) Tiada
Latihan Formatif 5.2
a) 5 b) 0 c) 9
d)
e)
f) 4
Latihan Formatif 5.3.1
a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 f) 0
Latihan Formatif 5.3.2
a) 4 b) 9 c)
d) 10 e)
f)
Latihan Formatif 5.3.3
a) 5 8 o b) 4 in c) 5
Latihan Formatif 5.3.4
a) b)
log c)
d)
log
Latihan Formatif 5.3.5
a) 4 4 b) 48 c) d) 4
Kalkulus Asas|144
JAWAPAN LATIHAN SUMATIF
1. a)
b) 0 c)
4
d) 1 e) -12 f) 1
2. a) 6 b)
c) d) 8 4
e)
f)
g) 9 h) 3
3. a) in b)
c) 0 d)
6
e)
in (
) f)
4
g) 6
h)
4. a) 15 b) t n c)
d)
e) 4 in f)
g) 6 h)
i) 6 j)