Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Untai Elektrik IWaveforms & Signals
Dr. Iwan Setyawan
Fakultas TeknikUniversitas Kristen Satya Wacana
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Pendahuluan
Secara umum, tegangan dan arus dalam sebuah untai elektrikdapat dikategorikan menjadi tiga jenis fungsi waktu:
• Fungsi periodik
• Fungsi non-periodik
• Fungsi acak
Dalam kuliah ini ranah waktu fungsi adalah −∞ < t <∞.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Periodik (1)
Definisi
Sebuah fungsi v(t) disebut periodik dengan periode T jika
v(t) = v(t + T ) untuk semua t (1)
Berikut disajikan 4 contoh bentuk fungsi periodik.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Periodik (2)
Gelombang sinus:
v1(t) = v(t + T ) untuk semua t (2)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Periodik (3)
Pulsa periodik:
v2(t) =
V1 0 < t < T1
−V2 T1 < t < T(3)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Periodik (4)
Periodic tone burst:
v3(t) =
V0 sin 2πt/Λ 0 < t < T1
0 T1 < t < T(4)
dengan T = kΛ dan k integer
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Periodik (5)
Rekaman yang diulang-ulang secara periodik:
v4(t) (5)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Periodik (6)
Suatu fungsi periodik bisa sangat kompleks. Tapi denganmenggunakan analisis Fourier fungsi-fungsi seperti ini dapatdirepresentasikan sebagai jumlahan fungsi-fungsi sinusoida.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Sinusoida (1)
Definisi
Sebuah tegangan berbentuk sinusoida, v(t) didefinisikansebagai
v(t) = V0 cos(ωt + θ) (6)
Pada persamaan ini V0 disebut amplitudo, ω disebutkecepatan/frekuensi sudut (angular velocity/frequency) dan θdisebut sudut fase.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Sinusoida (2)
Kecepatan sudut ω dapat dinyatakan dalam T (periode) ataudalam f (frekuensi).
Definisi
Hubungan T dan f didefinisikan sebagai berikut
f = 1/T (7)
Frekuensi memiliki satuan Hertz (Hz) atau siklus/detik.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Sinusoida (3)
Karenacosωt = cos(ωt + 2π) (8)
maka hubungan antara ω dan T adalah
ωT = 2π (9)
Fungsi v(t) membutuhkan waktu T detik untuk kembali kenilai awalnya. Dengan kata lain, tiap detik fungsi tersebutmenjalani 1/T periode.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Sinusoida (4)
Summary
Untuk fungsi sinusoida, kita peroleh
ω = 2π/T = 2πf f = 1/T = ω/2π T = 1/f = 2π/ω
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Sinusoida (5)
Contoh soal 1:
Diketahui fungsi v2(t) = sin t. Gambarkan fungsi tersebut,serta hitung periode dan frekuensinya!
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Sinusoida (6)
Jawab:
Gambar fungsi ini adalah sebagai berikut:
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Sinusoida (6)
Jawab (cont.):
Periode dan frekuensi diperoleh sebagai berikut. Dari soal,dapat diketahui bahwa ω = 1 rad/sec. Oleh karena itu,
T = 2π/ω s
= 2× 3.1416/1 s
= 6.2832 s (10)
dan
f = 1/T Hz
= 1/6.2832 Hz
= 0.159 Hz (11)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Sinusoida (7)
Contoh soal 2:
Diketahui fungsi v4(t) = 2 cos(πt/4− 45). Gambarkan fungsitersebut, serta hitung periode dan frekuensinya!
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Sinusoida (8)
Jawab:
Perhatikan bahwa
v4(t) = 2 cos(πt/4− π/4) = 2 cos[π(t − 1)/4] (12)
sehingga gambar fungsi ini adalah sebagai berikut:
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Sinusoida (9)
Jawab (cont.):
Periode dan frekuensi diperoleh sebagai berikut. Dari soal,dapat diketahui bahwa ω = π/4 rad/sec. Oleh karena itu,
T = 2π/ω s
= 2π/(π/4) s
= 8 s (13)
dan
f = 1/T Hz
= 1/8 Hz
= 0.125 Hz (14)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Pergeseran Waktu dan Fase (1)
Jika fungsi v(t) = cosωt mengalami delay sebesar τ detik,maka diperoleh
v(t − τ) = cosω(t − τ) = cos(ωt − θ), θ = ωτ (15)
• Plot fungsi yang mengalami delay sebesar τ detik akanbergeser ke kanan sejauh τ detik.
• Delay (pergeseran waktu ke kanan) setara dengan sebuahphase lag sebesar θ = ωτ = 2πf τ .
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Pergeseran Waktu dan Fase (2)
Fungsi v(t) = cosωt dapat juga maju sebesar τ detik,sehingga diperoleh
v(t + τ) = cosω(t + τ) = cos(ωt + θ), θ = ωτ (16)
• Plot fungsi ini akan bergeser ke kiri sejauh τ detik.
• Pergeseran waktu ke kiri ini setara dengan sebuah phaselead sebesar θ = ωτ = 2πf τ .
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Pergeseran Waktu dan Fase (3)
Dengan analisis yang sama, dapat disimpulkan:
• Fungsi yang mengalami pergeseran fase (baik lag/lead)sebesar θ juga akan mengalami pergeseran waktu sebesarτ .
• Untuk sebuah θ yang sama, semakin tinggi frekuensisemakin kecil pergeseran waktu yang diakibatkan.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Pergeseran Waktu dan Fase (4)
Contoh soal:
Diketahui sebuah untai yang memiliki pasangan input-output(yang berlaku untuk semua ω dan A) sebagai berikut:
vi (t) = A cosωt vo(t) = A cos(ωt − θ)
Jika diketahui vi (t) = cosω1t + cosω2t, carilah vo(t) jika:
• θ = 10−6ω (pergeseran fase sebanding dengan frekuensi)
• θ = 10−6 (pergeseran fase konstan)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Pergeseran Waktu dan Fase (5)
Jawab:
Dari soal dapat diperoleh bahwa jika vi (t) = cosω1t + cosω2tmaka
vo = cos(ω1t − θ1) + cos(ω2t − θ2) (17)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Pergeseran Waktu dan Fase (6)
Jawab (cont.):
Jika pergeseran fase proporsional, diperoleh
θ1 = 10−6ω1 θ2 = 10−6ω2
sehingga
vo = cos(ω1t − 10−6ω1) + cos(ω2t − 10−6ω2)
= cosω1(t − 10−6) + cosω2(t − 10−6)
= vi (t − 10−6)
= vi (t − τ), τ = 10−6 s (18)
Jadi, pergeseran fase proporsional ini mengakibatkan semuakomponen frekuensi input ter-delay sebesar 10−6 detik danoutput mengikuti bentuk input tanpa distorsi.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Pergeseran Waktu dan Fase (7)
Jawab (cont.):
Jika pergeseran fase konstan, diperoleh
θ1 = θ2 = 10−6
sehingga
vo = cos(ω1t − 10−6) + cos(ω2t − 10−6)
= cosω1(t − 10−6/ω1) + cosω2(t − 10−6/ω2) (19)
Jadi, pergeseran fase konstan ini mengakibatkan nilai delayyang berbeda untuk masing-masing komponen frekuensi input.Akibatnya, bentuk sinyal output tidak sama dengan bentuksinyal input (terjadi distorsi).
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Kombinasi Fungsi Periodik (1)
Teorema
Jumlahan 2 buah fungsi periodik dengan periodemasing-masing T1 dan T2 akan menghasilkan fungsi baru yangjuga periodik jika terdapat suatu periode T sedemikiansehingga T = n1T1 = n2T2 dengan n1 dan n2 adalah integer.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Kombinasi Fungsi Periodik (2)
Contoh soal:
Apakah v(t) = cos t + cos2πt periodik? Jelaskan!
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Kombinasi Fungsi Periodik (3)
Jawab:
Fungsi v(t) dapat dinyatakan sebagai jumlahan 2 buah fungsiperiodik, yaitu v1(t) = cos t dan v2(t) = cos 2πt yangmasing-masing memiliki periode T1 = 2π dan T2 = 1. Dari siniterlihat bahwa tidak ada bilangan integer yang memenuhin1T1 = n2T2. Jadi, v(t) tidak periodik.
Catatan:Dalam melakukan analisis untai, trigonometric identities sangatbermanfaat. Tabel 6.1 buku referensi merangkum beberapatrigonometric identities yang penting.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Kombinasi Fungsi Periodik (3)
Jawab:
Fungsi v(t) dapat dinyatakan sebagai jumlahan 2 buah fungsiperiodik, yaitu v1(t) = cos t dan v2(t) = cos 2πt yangmasing-masing memiliki periode T1 = 2π dan T2 = 1. Dari siniterlihat bahwa tidak ada bilangan integer yang memenuhin1T1 = n2T2. Jadi, v(t) tidak periodik.
Catatan:Dalam melakukan analisis untai, trigonometric identities sangatbermanfaat. Tabel 6.1 buku referensi merangkum beberapatrigonometric identities yang penting.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Kombinasi Fungsi Periodik (4)
Contoh soal:
Nyatakan fungsi v(t) = cos 5t sin(3t + 45) sebagai jumlahan 2buah fungsi cosinus. Cari juga periode fungsi ini!
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Kombinasi Fungsi Periodik (5)
Jawab:
Berdasarkan trigonometric identity, diperoleh
v(t) = cos 5t sin(3t + 45)
= [sin(8t + 45)− sin(2t − 45)]/2
= [cos(8t − 45) + cos(2t + 45)]/2 (20)
Periode v(t) adalah π (buktikan!).
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Nilai Rerata dan Efektif (1)
Sebuah fungsi periodik f (t) yang memiliki periode T , memilikinilai rerata (average value):
Favg = 〈f (t)〉 =1
T
∫ T
0f (t)dt =
1
T
∫ t0+T
t0
f (t)dt (21)
serta nilai efektif (RMS):
Feff = Frms =
[1
T
∫ t0+T
t0
f 2(t)dt
]1/2(22)
Dari kedua persamaan diatas, dapat disimpulkan bahwaF 2
eff = 〈f 2(t)〉. Nilai rerata dan RMS biasanya dihitung untuk 1periode.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Nilai Rerata dan Efektif (2)
Contoh soal:
Carilah nilai rerata dan RMS sebuah gelombang cosinusv(t) = Vm cos(ωt + θ)!
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Nilai Rerata dan Efektif (3)
Jawab:
Nilai rerata fungsi ini adalah:
Vavg =1
T
∫ T
0Vm cos(ωt + θ)dt
=Vm
ωT[sin(ωT + θ)]T0
= 0 (23)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Nilai Rerata dan Efektif (4)
Jawab (cont.):
Nilai RMS fungsi ini adalah:
V 2eff =
1
T
∫ T
0V 2
m cos2(ωt + θ)dt
=1
2T
∫ T
0V 2
m[1 + cos 2(ωt + θ)]dt
= V 2m/2 (24)
sehingga Veff = Vm/√
2 = 0.707Vm.
Dari jawaban soal ini, dapat disimpulkan bahwa Vavg maupunVeff tidak bergantung frekuensi dan fase. Dengan kata lain,semua gelombang cosinus selalu memiliki nilai rerata 0 dannilai RMS 0.707Vm.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Nilai Rerata dan Efektif (5)
Contoh soal:
Cari rata-rata disipasi daya (dalam satu periode T ) suaturesistor bernilai R ohm yang terhubung dengan tegangan v(t)yang berbentuk gelombang cosinus. Cari juga besar teganganDC Vdc yang akan memberikan disipasi daya sama dengan v(t)!
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Nilai Rerata dan Efektif (6)
Jawab:
Daya yang didisipasikan diberikan oleh:
P = vi = v2/R (25)
Karena v(t) berbentuk cosinus, maka
Pavg =1
RT
∫ T
0v2(t)dt
=1
RV 2
eff (26)
Jadi jika v(t) akan diganti dengan sebuah Vdc , makaVdc = Veff agar disipasi daya tetap.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (1)
Bentuk fungsi non periodik untuk sembarang t tidak dapatditentukan dengan hanya mengetahui sebagian dari fungsitersebut.Contoh fungsi nonperiodik misalnya:
v1(t) =
0 t < 0
1 t > 0(27)
v2(t) =
0 t < 0
1/T 0 < t < T
0 t > T
(28)
v3(t) =
0 t < 0
sinωt t > 0(29)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (2)
Contoh-contoh lain fungsi nonperiodik dapat dilihat padareferensi. Beberapa fungsi nonperiodik digunakan sebagai dasaruntuk membuat sinyal yang digunakan dalam analisis dandesain untai elektrik. Beberapa contoh fungsi seperti inidibahas pada bagian-bagian berikut.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (3): Unit Step
Definisi
Sebuah fungsi unit step tidak memiliki dimensi, dandidefinisikan sebagai berikut:
u(t) =
0 t < 0
1 t > 0(30)
Perhatikan bahwa fungsi ini tidak terdefinisi untuk t = 0.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (4): Unit Step
Gambar fungsi unit step adalah sebagai berikut:
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (5): Unit Step
Contoh penggunaan fungsi unit step adalah sebagai berikut.Misalkan pada untai berikut, switch ada pada posisi ‘1’ untukt < 0 dan dipindah ke posisi ‘2’ pada t = 0. Tegangan antaratitik A dan B dapat dinyatakan sebagai vAB = V0u(t).
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (6): Unit Step
Contoh soal:
Misalkan switch pada untai diatas dipindah ke posisi ‘2’ padawaktu t = t0. Nyatakan vAB menggunakan fungsi step!
Jawab:
Dalam kasus ini, kemunculan tegangan vAB tertunda sampait = t0. Jadi, kita ganti t dengan t − t0 untuk memperolehvAB = V0u(t − t0).
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (6): Unit Step
Contoh soal:
Misalkan switch pada untai diatas dipindah ke posisi ‘2’ padawaktu t = t0. Nyatakan vAB menggunakan fungsi step!
Jawab:
Dalam kasus ini, kemunculan tegangan vAB tertunda sampait = t0. Jadi, kita ganti t dengan t − t0 untuk memperolehvAB = V0u(t − t0).
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (7): Unit Step
Contoh soal:
Misalkan switch pada untai diatas dipindah ke posisi ‘2’ padawaktu t = 0 kemudian dipindah kembali ke posisi ‘1’ padawaktu t = 5 s. Nyatakan vAB menggunakan fungsi step!
Jawab:
Dalam kasus ini vAB dapat dinyatakan sebagai jumlahan fungsistep sebagai berikut: vAB = V0[u(t)− u(t − 5)].
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (7): Unit Step
Contoh soal:
Misalkan switch pada untai diatas dipindah ke posisi ‘2’ padawaktu t = 0 kemudian dipindah kembali ke posisi ‘1’ padawaktu t = 5 s. Nyatakan vAB menggunakan fungsi step!
Jawab:
Dalam kasus ini vAB dapat dinyatakan sebagai jumlahan fungsistep sebagai berikut: vAB = V0[u(t)− u(t − 5)].
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (8): Unit Impulse
Perhatikan gambar berikut. Gambar ini menunjukkan sebuahfungsi sT (t) yang bernilai 0 untuk t < 0 dan naik secaraseragam dari 0 ke 1 dalam T detik.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (9): Unit Impulse
Turunan fungsi diatas, dT (t) adalah sebuah pulsa selama Tdetik dengan amplitudo 1/T , seperti pada gambar berikut.
Fungsi diatas didefinisikan sebagai berikut:
dT (t) =
0 t < 0
1/T 0 < t < T
0 t > T
(31)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (10): Unit Impulse
Jika nilai T dikurangi, pulsa diatas akan makin kurus danmakin tinggi sedangkan luasan dibawah pulsa tersebut akantetap sebesar 1. Jika T dikurangi hingga mendekati 0, makalimit fungsi sT (t) akan menjadi fungsi unit step u(t) sedangkanturunannya, dT (t) akan menjadi fungsi unit impulse δ(t)dengan lebar 0 dan tinggi tak berhingga. Fungsi ini disebutjuga unit delta function dan didefinisikan sebagai berikut:
δ(t) = 0 untuk t 6= 0 dan
∫ ∞−∞
δ(t)dt = 1
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (11): Unit Impulse
Fungsi unit impulse digambarkan sebagai berikut:
Sebuah fungsi impulse yang merupakan limit dari sebuah pulsasempit dengan luasan A dinyatakan dengan Aδ(t). Nilaimagnitude A sering disebut strength impulse tersebut. Sebuahunit impulse yang muncul pada t = t0 dinyatakan denganδ(t − t0).
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (12): Unit Impulse
Contoh soal:
Tegangan diantara terminal kapasitor 100 nF naik secara lineardari 0 sampai 10 V dengan bentuk seperti sT (t). Carilah:
• Muatan kapasitor pada waktu t = T .
• Arus iC (t) pada kapasitor untuk T = 1 s, T = 1 ms danT = 1 µs.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (13): Unit Impulse
Jawab:
Pada waktu t = T , vC = 10 Volt. Jadi muatan dalamkapasitor adalah
Q = CvC
= 10−7 × 10
= 10−6 C
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (14): Unit Impulse
Jawab (cont.):
Per definisi,
iC (t) = CdvC
dt(32)
atau
iC (t) =
0 t < 0
I0 = 10−6/T 0 < t < T
0 t > T
(33)
Jadi untuk T = 1 s, I0 = 10−6 A. Untuk T = 1 ms, I0 = 10−3
A. Untuk T = 1 µs I0 = 1 A.Dalam semua kasus diatas, jumlah muatan tidak bergantungpada T yaitu selalu sebesar 10−6 C.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (15): Unit Impulse
Contoh soal:
Misalkan dT (t − t0) adalah sebuah pulsa dengan lebar T dantinggi 1/T yang mulai pada t = t0, atau
dT (t − t0) =
1/T t0 < t < t0 + T
0 otherwise(34)
Misalkan juga fungsi f (t) yang kontinu pada selang t0 dant0 + T seperti pada gambar berikut.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (16): Unit Impulse
Contoh soal (cont.):
Carilah limit integral berikut,
I =
∫ ∞−∞
dT (t − t0)f (t)dt (35)
untuk T → 0.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (17): Unit Impulse
Jawab:
Dengan mensubstitusikan Persamaan (34) ke Persamaan (35),kita peroleh
I =1
T
∫ t0+T
t0
f (t)dt =S
T(36)
dengan S adalah daerah yang ditunjukkan pada gambarberikut.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (18): Unit Impulse
Jawab (cont.):
Dengan asumsi nilai T kecil, fungsi f (t) dapat didekati dengansebuah garis lurus dari titik A ke titik B. Jadi luasan S adalahluasan sebuah trapezoid:
S = 12 [f (t0) + f (t0 + T )]T (37)
dan
I = 12 [f (t0) + f (t0 + T )] (38)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (19): Unit Impulse
Jawab (cont.):
Jika T → 0, dT (t − t0)→ δ(t − t0) dan f (t0 + T )→ f (t0)sehingga
limT→0
I = limT→0
12 [f (t0) + f (t0 + T )] (39)
= f (t0) (40)
Tapi karena
limT→0
I =
∫ ∞−∞
δ(t − t0)f (t)dt (41)
sehingga ∫ ∞−∞
δ(t − t0)f (t)dt = f (t0) (42)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (20): Unit Impulse
Jawab (cont.):
Persamaan terakhir disebut juga sifting property fungsiimpulse. Persamaan ini juga merupakan definisi lain untuk δ(t).
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (21): Eksponensial
• Fungsi f (t) = est dengan s sebuah konstanta kompleksdisebut dengan fungsi eksponensial.
• Fungsi ini meluruh (decay) bersama waktu jika komponenreal s negatif.
• Fungsi ini tumbuh bersama waktu jika komponen real spositif.
• Dalam pembahasan ini, digunakan fungsi f (t) = eat
dengan a sebuah konstanta real.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (22): Eksponensial
• Dimensi invers konstanta a adalah waktu dan disebutdengan time constant, τ = 1/a.
• Plot sebuah fungsi eksponensial meluruh, e−t/τ
ditunjukkan pada gambar berikut.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (23): Eksponensial
• Nilai fungsi ini turun dari nilai awal (1) pada t = 0 ke 0pada t =∞.
• Setelah τ detik, nilai fungsi turun ke e−1 = 0.368.
• Jika τ = 1, fungsi e−t disebut normalized exponential. Halini ekuivalen dengan fungsi e−t/τ yang di-plot terhadapt/τ .
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (24): Eksponensial
• Kita sering menjumpai fungsi dengan bentuk
f (t) = Ae−at + B (43)
• Fungsi ini ditentukan oleh 3 nilai A,B dan a yangmasing-masing didefinisikan sebagai berikut:
A = nilai awal− nilai akhir B = nilai akhir
a = invers konstanta waktu
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (25): Eksponensial
• Dalam bentuk lain, dapat dituliskan
nilai awal = f (0) = A + B nilai akhir = f (∞) = B
konstanta waktu = τ = 1/a
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (26): Eksponensial
Contoh soal:
Carilah fungsi v(t) yang meluruh secara eksponensial dari 5 Vpada t = 0 ke 1 V pada t =∞ dengan konstanta waktu 3detik. Gambarkan fungsi tersebut.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (27): Eksponensial
Jawab:
Dari penjelasan sebelumnya, kita peroleh v(t) = Ae−t/τ + B,dengan
v(0) = A + B = 5 v(∞) = B = 1 τ = 3
jadiA = 5− B = 4
makav(t) = 4e−t/3 + 1
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (28): Eksponensial
Jawab (cont.):
Gambar fungsi ini adalah sebagai berikut:
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (29): Eksponensial
Contoh soal:
Suatu tegangan v = V0e−|t|/τ , τ > 0, dihubungkan pada
sebuah kapasitor. Cari arus i dalam kapasitor. Gambarkan jugav dan i jika V0 = 10 V, C = 1 µF dan τ = 1 ms.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (30): Eksponensial
Jawab:
Menggunakan hubungan
i = Cdv
dt
kita peroleh:
v = V0et/τ dan i = I0e
t/τ , untuk t < 0
v = V0e−t/τ dan i = −I0e−t/τ , untuk t > 0
dengan I0 = CV0/τ . Dengan menggunakan data yang diketahuidalam soal, diperoleh I0 = 10 mA.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (31): Eksponensial
Jawab (cont.):
Gambar v adalah sebagai berikut:
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (32): Eksponensial
Jawab (cont.):
Gambar i adalah sebagai berikut:
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (33): Damped sinusoid
Damped sinusoid merupakan suatu gelombang sinus yangamplitudonya meluruh secara eksponensial. Fungsi ini memilikibentuk
v(t) = Ae−at cos(ωt + θ) (44)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (34): Damped sinusoid
Contoh soal:
Suatu arus i = I0e−at cosωt dilewatkan ke sebuah rangkaian
R-L seri.
• Cari persamaan untuk vRL
• Hitung nilai vRL jika I0 = 3 A, a = 2, ω = 40 rad/s, R = 5Ω dan L = 0.1 H.
• Gambar i sebagai fungsi waktu.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (35): Damped sinusoid
Jawab:
Karena
vR = Ri = RI0e−at cosωt (45)
vL = Ldi
dt= −LI0e−at(a cosωt + ω sinωt) (46)
maka
vRL = vR + vL
= I0e−at [(R − La) cosωt − Lω sinωt]
= V0e−at cos(ωt + θ) (47)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (36): Damped sinusoid
Jawab (cont.):
Pada Persamaan (47),
V0 = I0
√(R − La)2 + L2ω2
θ = tan−1[Lω/(R − La)]
Dengan memasukkan data dari soal ke persamaan diatas, kitaperoleh V0 = 18.75 V dan θ = 39.8. Dari sini dapat diperoleh
i = 3e−2t cos 40t danvRL = 18.75e−2t cos(40t + 39.8)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Fungsi Nonperiodik (37): Damped sinusoid
Jawab (cont.):
Gambar i sebagai fungsi waktu adalah sebagai berikut:
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Sinyal Acak (1)
• Semua sinyal yang sudah dibahas diatas dapatdideskripsikan dengan lengkap asalkanparameter-parameternya diketahui.
• Sinyal-sinyal seperti ini disebut deterministik.
• Terdapat sinyal-sinyal yang hanya bisa dideskripsikansecara sebagian berdasarkan besaran seperti nilai rerata,RMS atau frekuensinya.
• Sinyal seperti ini disebut sinyal acak (random signal).
• Sinyal acak dapat saja membawa informasi sehingga tidakboleh disamakan dengan derau.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Sinyal Acak (2)
• Contoh sinyal acak misalnya tegangan yang terukur padamikrofon karena ada suara yang ditangkap, intensitassuatu citra atau sinyal wicara atau musik yang memodulasigelombang pembawa pada radio AM.
• Nilai sinyal seperti ini untuk waktu yang akan datang tidakdapat ditentukan secara eksak.
• Nilai tersebut hanya bisa diprediksi secara rata-rata(“pada umumnya”).
• Meskipun demikian, sinyal-sinyal semacam ini masihmemiliki peran yang sangat penting dalam untai elektrik.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Sinyal Acak (3)
Contoh soal:
Sebuah sinyal biner, v(t) hanya memiliki 2 kemungkinan nilaiyaitu +0.5 V atau −0.5 V. Perubahan tanda hanya dapatberlangsung tiap 1 ms. Perubahan tanda ini tidak diketahuisecara a priori, tapi peluang polaritas positif sama denganpeluang polaritas negatif. Carilah nilai rerata dan efektif sinyalini selama jangka waktu 10 s.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Sinyal Acak (4)
Jawab:
Dalam jangka waktu 10 s, terdapat 10000 interval (masing-masing) 1 ms). Secara rata-rata, jumlah interval denganpolaritas negatif sama dengan jumlah interval dengan polaritaspositif. Oleh karena itu, nilai rerata sinyal ini dapat didekatidengan
vavg = (0.5× 5000− 0.5× 5000)/10000 = 0
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
FungsiPeriodik
FungsiSinusoida
PergeseranWaktu danFase
KombinasiFungsiPeriodik
Nilai Reratadan Efektif(RMS)
FungsiNonperiodik
Sinyal Acak
Sinyal Acak (5)
Jawab (cont.):
Nilai efektif sinyal dihitung sebagai berikut
V 2eff = [(0.5)2 × 5000 + (−0.5)2 × 5000]/10000
= (0.5)2
Veff = 0.5 V
Tidak seperti nilai rerata, nilai efektif sinyal ini eksak(mengapa?).