Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlisfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 1
โUntuk jadi maju memang banyak tantangan dan hambatan. Kecewa
semenit dua menit boleh, tetapi setelah itu harus bangkit lagi.โ
Joko Widodo
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlisfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 2
Olimpiade Mingguan
Minggu ke-1 Periode 7-14 Maret 2018
Sebelum memulai jangan lupa berdoa dulu ya menurut agama dan keyakinannya
masing-masing , bagi yang muslim baca doa mau belajar ya
ุจ ุณ ุงูุฑ ุงููู ู ู ุญ ู
ุงูุฑ ุญ ู ู
ู ุณู ุฑ ุงู ู ุจ
ุฏู ู
ุจ ู ุญ
ุงู ู ู ุฏ ู
ู ุณ
ุจ ุงู
ุงู ุจ ุฑ ุงุงููู ุจ
ุช
ู ุถ
ุฑ ุฑ ุฒ ุจ
ูุน ู ุฏ
ุงู ู
ุฑ ู ุฒ ู ู
ูู ุงู ู
โDengan menyebut nama Allah yang maha pengasih lagi maha penyayang, kami ridho
Allah SWT sebagai tuhanku, islam sebagai Agamaku, dan Nabi Muhammad sebagai Nabi
dan Rasul, Ya Allah, tambahkanlah kepadaku ilmu dan berikanlah aku pengertian yang
baik โ
Number 1
Suatu objek berbentuk persegi bermassa ๐ bergerak lurus dengan kecepatan konstan ๐ฃ0
di atas sebuah meja licin. Dua buah batang bermassa ๐ dan panjang ๐ฟ pada awalnya diam
di atas meja licin tersebut dan membentuk sudut ๐ dengan garis sejajar arah gerak
persegi ๐. Jika kemudian persegi ๐ menumbuk kedua batang secara elastis sempurna
dan ๐ = 5๐, tentukanlah kecepatan akhir tiap benda dan kecepatan sudut batang!
Pembahasan :
Untuk sistem ini, karena semua benda berada di atas meja licin sehingga tidak ada gaya
gesek, maka momentum linear arah horizontal sistem kekal. Hal ini dikarenakan tidak
adanya gaya luar yang bekerja pada arah horizontal. Namun agar lebih mudah, kita tinjau
dari impuls yang bekerja pada sistem. Kemudian energi sistem juga kekal karena tidak
ada gaya luar nonkonservatif yang bekerja pada sistem. Berikut kondisi sistem setelah
tumbukan
๐
๐
๐
๐
๐
๐ฟ
๐ฟ
๐ฃ0
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlisfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 3
Impuls linear/angular total yang bekerja pada suatu benda sama dengan perubahan
momentum linear/angularnya nya
Untuk persegi ๐ (arah positif searah dengan arah gerak persegi)
โ2ฮ๐ = ๐ฮ๐ฃ
โ2ฮ๐ = 5๐(๐ฃ โ ๐ฃ0) โน ฮ๐ =5
2๐(๐ฃ0 โ ๐ฃ)โฆ (1)
Untuk batang : impuls linear โ perubahan momentum linear (kita tinjau salah satu saja
karena gerkan kedua batang sama, dalam hal ini saya pilih batang atas)
ฮ๐ = ๐๐ขโฆ(2)
Untuk batang : impuls angular โ perubahan momentum angular
Di sini, kita bisa tinjau terhadap terhadap titik mana saja, namun agar memudahkan, kita
tinjau terhadap pusat massa batang agar kecepatan pusat massa batang tidak perlu kita
ikut sertakan. Momen inersia batang terhadap pusat massanya adalah
๐ผ =1
12๐๐ฟ2
maka
ฮ๐๐ฟ
2sin ๐ = ๐ผ๐
ฮ๐๐ฟ
2sin ๐ =
1
12๐๐ฟ2๐ โน ฮ๐ =
๐๐ฟ๐
6 sin ๐โฆ (3)
Dari persamaan (1) dan (2) kita dapatkan 5
2๐(๐ฃ0 โ ๐ฃ) = ๐๐ข โน ๐ฃ0 โ ๐ฃ =
2
5๐ขโฆ (4) dan ๐ข =
5
2(๐ฃ0 โ ๐ฃ)โฆ (5)
Dari persamaan (2) dan (3)
ฮ๐
ฮ๐ ๐
ฮ๐
ฮ๐
๐
๐
๐
๐ข
๐
๐
๐
๐
๐ฃ
๐ข
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlisfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 4
๐๐ข =๐๐ฟ๐
6 sin ๐โน ๐ฟ๐ = 6๐ข sin ๐ โฆ (6)
Dari kekekalan energi sistem kita dapatkan 1
2๐๐ฃ0
2 =1
2๐๐ฃ2 + 2
1
2๐๐ข2 + 2
1
2๐ผ๐2
5๐๐ฃ02 = 5๐๐ฃ2 + 2๐๐ข2 +
1
6๐๐ฟ2๐2
5(๐ฃ02 โ ๐ฃ2) = 2๐ข2 +
1
6๐ฟ2๐2
5(๐ฃ0 + ๐ฃ)(๐ฃ0 โ ๐ฃ) = 2๐ข2 +
1
6(๐ฟ๐)2
Subtitusi persmaan (4) dan (6)
5(๐ฃ0 + ๐ฃ)2
5๐ข = 2๐ข2 +
1
6(6๐ข sin ๐)2
2๐ฃ0 + 2๐ฃ = 2๐ข + 6๐ข sin2 ๐
๐ฃ0 + ๐ฃ = ๐ข(1 + 3 sin2 ๐)
Subtitusi persamaan (5)
๐ฃ0 + ๐ฃ =5
2(๐ฃ0 โ ๐ฃ)(1 + 3 sin
2 ๐)
1
2๐ฃ0(3 + 15 sin
2 ๐) =1
2๐ฃ(7 + 15 sin2 ๐) โน ๐ฃ =
3 + 15 sin2 ๐
7 + 15 sin2 ๐๐ฃ0
Subtitusi ๐ฃ ke persamaan (5)
๐ข =5
2(๐ฃ0 โ
3 + 15 sin2 ๐
7 + 15 sin2 ๐๐ฃ0)
๐ข = 5(7 + 15 sin2 ๐
7 + 15 sin2 ๐๐ฃ0 โ
3 + 15 sin2 ๐
7 + 15 sin2 ๐๐ฃ0) โน ๐ข =
4
7 + 15 sin2 ๐๐ฃ0
Subtitusi ๐ข ke persamaan (6)
๐ฟ๐ = 64
7 + 15 sin2 ๐๐ฃ0 sin ๐ โน ๐ =
24๐ฃ0 sin ๐
(7 + 15 sin2 ๐)๐ฟ
Number 2
Di atas suatu meja licin, diletakkan susunan ๐ kotak berbentuk kubus bermassa
๐1, ๐2, ๐3, โฆ ,๐๐. Panjang rusuk kubus tersebut adalah ๐ฟ. Suatu ketika, si kubus yang
pertama yang pada awalnya diam di beri impuls sehingga dia bergerak dengan kecepatan
konstan ๐ฃ0 kemudian menumbuk kubus kedua, ketiga, dan seterusnya. Di ujung meja
terdapat sebuah pojokan. Massa kubus pertama adalah ๐, massa kubus kedua adalah
setengah kubus pertama, massa kubus ketiga adalah setengah kubus kedua dan pola ini
berlangsung seterusnya sampai kubus terakhir yaitu kubus ke ๐. Setelah menumbuk
kotak di depannya, kotak tidak bertumbukan lagi, khusus untuk kotak pertama dan ke ๐,
dia hanya bertumbukan satu kali.
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlisfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 5
Untuk kondisi yang pertama, semua tumbukan berlangsung secara elastis sempurna,
tentukanlah :
a. Kecepatan kubus ke ๐ setelah di tumbuk kubus ke ke ๐ โ 1 dimana 1 < ๐ < ๐!
b. Kecepatan kubus ke ๐ sebelum menumbuk pojokan meja!
c. Impuls minimum yang diberikan pada kubus pertama agar kubus terakhir dapat jatuh
dari meja!
Untuk kondisi yang kedua, semua tumbukan berlangsung secara elastis sebagian dengan
koefisien restitusi ๐, tentukanlah :
d. Kecepatan kubus ke ๐ dimana 1 < ๐ < ๐!
e. Kecepatan kubus ke ๐ sebelum menumbuk pojokan meja!
f. Impuls minimum yang diberikan pada kubus pertama agar kubus terakhir dapat jatuh
dari meja!
g. Besar energi yang hilang setelah semua tumbukan terjadi!
Untuk kondisi ketiga, tumbukan yang terjadi tidak elastik sama sekali, tentukanlah :
h. Kecepatan akhir semua kubus setelah semuanya bergerak bersama!
Pembahasan :
a. Supaya kita tidak perlu meninjau semua tumbukan, kita tinjau tumbukan dua buah
kotak dimana kubus pertama bermassa ๐ bergerak menumbuk kubus kedua
bermassa ๐/2 dengan kecepatan ๐ฃ1. Karena tumbukan elastis sempurna dan meja
licin kita bisa menggunakan hukum kekekalan momentum linear dan kekekalan
energi kinetik.
Kekekalan momentum linear
๐๐ฃ1 = ๐๐ฃ1โฒ +
๐
2๐ฃ2 โน 2(๐ฃ1 โ ๐ฃ1
โฒ) = ๐ฃ2โฆ(1)
Kekekalan energi mekanik 1
2๐๐ฃ1
2 =1
2๐๐ฃ1
โฒ2 +1
2
๐
2๐ฃ22
2(๐ฃ12 โ ๐ฃ1
โฒ2) = ๐ฃ22
2(๐ฃ1 โ ๐ฃ1โฒ)(๐ฃ1 + ๐ฃ1
โฒ) = ๐ฃ22
Subtitusi persamaan (1)
๐ฃ2(๐ฃ1 + ๐ฃ1โฒ) = ๐ฃ2
2 โน ๐ฃ1 + ๐ฃ1โฒ = ๐ฃ2โฆ(2)
Subtitusi persamaan (2) ke (1)
๐1 ๐2 ๐3 ๐๐
๐ฟ
๐ฟ
๐ฃ0
โฆ
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlisfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 6
2(๐ฃ1 โ ๐ฃ1โฒ) = ๐ฃ1 + ๐ฃ1
โฒ โน ๐ฃ1โฒ =
1
3๐ฃ1
Subtitusi ๐ฃ1โฒ ke persamaan (2)
๐ฃ1 +1
3๐ฃ1 = ๐ฃ2 โน ๐ฃ2 =
4
3๐ฃ1
Kita kembali ke soal. Perhatikan bahwa semua tumbukan yang terjadi pada soal ini
adalah tumbukan kubus yang bermassa dua kali dari kubus yang ditumbukanya,
maka pola ini akan berlanjut terus.
๐ฃ1 = ๐ฃ0
๐ฃ1โฒ =
1
3๐ฃ1 =
1
3๐ฃ0
๐ฃ2 =4
3๐ฃ1 =
4
3๐ฃ0
๐ฃ2โฒ =
1
3๐ฃ2 =
4
9๐ฃ0
๐ฃ3 =4
3๐ฃ2 =
16
9๐ฃ0
๐ฃ3โฒ =
1
3๐ฃ3 =
16
27๐ฃ0
๐ฃ4 =4
3๐ฃ3 =
64
27๐ฃ0
โฆ
๐ฃ๐ = (4
3)๐โ1
๐ฃ0
๐ฃ๐โฒ =
4๐โ1
3๐๐ฃ0
Maka kecepatan kubus ke ๐ setelah ditumbuk kubus ke ๐ โ 1 adalah
๐ฃ๐ = (4
3)๐โ1
๐ฃ0
b. Menggunakan hasil yang kita dapat dari bagian a akan kita peroleh kecepatan kubus
ke ๐ sebelum menumbuk pojokan meja yaitu
๐ฃ๐ = (4
3)๐โ1
๐ฃ0
c. Berikut adalah kondisi kotak ke ๐ ketika menumbuk pojokan meja
๐๐ ๐ฃ๐
๐
๐ฟ
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlisfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 7
Gaya luar yang bekerja pada kubus terjadi pada titik sentuh antara kubus dan pojokan
meja. Jadi, jika kita tinjau terhadap titik ini, tidak ada torsi eksternal yang bekerja pada
kubus sehingga berlaku hukum kekekalan momentum sudut terhadap titik ini.
๐๐๐ฃ๐๐ฟ
2= ๐ผ๐
Momen inersia persegi terhadap pusat massanya yang adalah
๐ผpm =1
6๐๐๐ฟ
2
Dengan teorema sumbu sejajar, momen inersia persegi terhadap titik sudutnya
adalah
๐ผ = ๐ผpm +๐๐ (โ2
2๐ฟ)
2
๐ผ =1
6๐๐๐ฟ
2 +๐๐ (โ2
2๐ฟ)
2
โน ๐ผ =2
3๐๐๐ฟ
2
maka
๐๐๐ฃ๐๐ฟ
2=2
3๐๐๐ฟ
2๐ โน ๐ฟ๐ =3
4๐ฃ๐
Dengan hukum kekeaklan energi mekanik sistem dengan acuan energi potensial sama
dengan nol adalah permukaan meja licin akan kita dapatkan
1
2๐๐๐ฃ๐
2 +๐๐๐๐ฟ
2=1
2(2
3๐๐๐ฟ
2)๐2 +๐๐๐โ2
2๐ฟ
๐ฃ๐2 + ๐๐ฟ =
2
3(3
4๐ฃ๐)
2
+ ๐๐ฟโ2
๐ฃ๐2 โ
3
8๐ฃ๐
2 = ๐๐ฟ(โ2 โ 1)
5
8๐ฃ๐
2 = ๐๐ฟ(โ2 โ 1) โน ๐ฃ๐ = โ8
5 ๐๐ฟ(โ2 โ 1)โฆ(3)
(4
3)๐โ1
๐ฃ0 = โ8
5 ๐๐ฟ(โ2 โ 1)
๐ฃ0 = (3
4)๐โ1
โ8
5 ๐๐ฟ(โ2 โ 1)
Impuls minimum yang harus diberikan pada kubus pertama adalah
ฮ๐ = ๐๐ฃ0 โน ฮ๐ = ๐(3
4)๐โ1
โ8
5 ๐๐ฟ(โ2 โ 1)
d. Sekarang tumbukan elastis sebagian, kita tinjau lagi kasus umum seperti pada bagian
a.
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlisfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 8
Kekekalan momentum linear
๐๐ฃ1 = ๐๐ฃ1โฒ +
๐
2๐ฃ2 โน 2(๐ฃ1 โ ๐ฃ1
โฒ) = ๐ฃ2โฆ(4)
Dengan rumus koefisien restitusi akan kita dapatkan
๐ = โ๐ฃ2 โ ๐ฃ1โฒ
0 โ ๐ฃ1โน ๐ฃ2 = ๐๐ฃ1 + ๐ฃ1
โฒ โฆ(5)
Subtitusi persamaan (5) ke (4)
2(๐ฃ1 โ ๐ฃ1โฒ) = ๐๐ฃ1 + ๐ฃ1
โฒ
(2 โ ๐)๐ฃ1 = 3๐ฃ1โฒ โน ๐ฃ1
โฒ =(2 โ ๐)๐ฃ1
3
Subtitusi ๐ฃ1โฒ ke persamaan (4)
2(๐ฃ1 โ(2 โ ๐)๐ฃ1
3) = ๐ฃ2 โน ๐ฃ2 =
2(1 + ๐)๐ฃ13
Dari sini, kita lihat polanya yaitu
๐ฃ1 = ๐ฃ0
๐ฃ1โฒ =
(2 โ ๐)๐ฃ13
=(2 โ ๐)๐ฃ0
3
๐ฃ2 =2(1 + ๐)๐ฃ1
3=2(1 + ๐)๐ฃ0
3
๐ฃ2โฒ =
(2 โ ๐)๐ฃ23
=2(1 + ๐)(2 โ ๐)๐ฃ0
9
๐ฃ3 =2(1 + ๐)๐ฃ2
3=4(1 + ๐)2๐ฃ0
9
๐ฃ3โฒ =
(2 โ ๐)๐ฃ33
=4(1 + ๐)2(2 โ ๐)๐ฃ3
27
๐ฃ4 =2(1 + ๐)๐ฃ3
3=8(1 + ๐)3๐ฃ0
27
โฆ
๐ฃ๐ = [2(1 + ๐)
3]
๐โ1
๐ฃ0
๐ฃ๐โฒ =
[2(1 + ๐)]๐โ1(2 โ ๐)
3๐๐ฃ0
Maka kecepatan kubus ke ๐ setelah ditumbuk kubus ke ๐ โ 1 adalah
๐ฃ๐ = [2(1 + ๐)
3]
๐โ1
๐ฃ0
e. Menggunakan hasil yang kita dapat dari bagian d akan kita peroleh kecepatan kubus
ke ๐ sebelum menumbuk pojokan meja yaitu
๐ฃ๐ = [2(1 + ๐)
3]
๐โ1
๐ฃ0
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlisfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 9
f. Kasus ini sama seperti pada bagian c sehingga akan kita dapat pula hasil seperti pada
persamaan (3) yaitu
๐ฃ๐ = โ8
5 ๐๐ฟ(โ2 โ 1)
Maka
[2(1 + ๐)
3]
๐โ1
๐ฃ0 = โ8
5 ๐๐ฟ(โ2 โ 1)
๐ฃ0 = [3
2(1 + ๐)]๐โ1
โ8
5 ๐๐ฟ(โ2 โ 1)
Impuls minimum yang harus diberikan pada kubus pertama adalah
ฮ๐ = ๐๐ฃ0 โน ฮ๐ = ๐ [3
2(1 + ๐)]๐โ1
โ8
5 ๐๐ฟ(โ2 โ 1)
g. Massa kotak ke ๐ adalah
๐๐ = (1
2)๐โ1
๐
Energi awal sistem adalah
๐ธ0 =1
2๐๐ฃ0
2
Energi akhir sistem setelah semua tumbukan terjadi adalah
๐ธ =1
2๐๐ฃ1
โฒ 2 +1
2
๐
2๐ฃ2โฒ 2 +
1
2
๐
4๐ฃ3โฒ 2 +
1
2
๐
8๐ฃ4โฒ2 +โฏ+
1
2(1
2)๐โ1
๐๐ฃ๐2
๐ธ =1
2๐(๐ฃ1
โฒ 2 +1
2๐ฃ2โฒ 2 +
1
4๐ฃ3โฒ 2 +
1
8๐ฃ4โฒ2 +โฏ+ (
1
2)๐โ1
๐ฃ๐2)
๐ธ =1
2๐๐ฃ0
2 (โ1
2๐โ1[[2(1 + ๐)]๐โ1(2 โ ๐)
3๐]
2๐โ1
๐=1
+ [2(1 + ๐)
3]
2๐โ2
)
๐ธ =1
2๐๐ฃ0
2 (โ2๐โ1(1 + ๐)2๐โ2(2 โ ๐)2
32๐
๐โ1
๐=1
+ [2(1 + ๐)
3]
2๐โ2
)
Untuk menghitung nilai sigma di atas kita modifikasi terlebih dahulu menjadi
2๐โ1(1 + ๐)2๐โ2(2 โ ๐)2
32๐=โ2
2๐โ2
โ2(1 + ๐)2๐(1 + ๐)โ2(2 โ ๐)2
32๐
2๐โ1(1 + ๐)2๐โ2(2 โ ๐)2
32๐=(2 โ ๐)2
2(1 + ๐)2([โ2(1 + ๐)
3]
2
)
๐
Sehingga
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlisfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 10
โ2๐โ1(1 + ๐)2๐โ2(2 โ ๐)2
32๐
๐โ1
๐=1
=(2 โ ๐)2
2(1 + ๐)2โ([
โ2(1 + ๐)
3]
2
)
๐๐โ1
๐=1โ deret geometri
Sigma terkahir adalah suatu deret geometri dengan suku pertama dan rasio memiliki
nilai yang sama yaitu
๐ = [โ2(1 + ๐)
3]
2
= ๐
Maka jumlah deret tersebut adalah (ingat bahwa ๐ < 1)
๐ =๐(1 โ ๐๐โ1)
1 โ ๐
๐ =
[โ2(1 + ๐)
3 ]
2
(1 โ ([โ2(1 + ๐)
3 ]
2
)
๐โ1
)
1 โ [โ2(1 + ๐)
3 ]
2
๐ =2(1 + ๐)2
9 โ 2(1 + ๐)2[1 โ (
2(1 + ๐)2
9)
๐โ1
]
Maka
โ2๐โ1(1 + ๐)2๐โ2(2 โ ๐)2
32๐
๐โ1
๐=1
=(2 โ ๐)2
2(1 + ๐)22(1 + ๐)2
9 โ 2(1 + ๐)2[1 โ (
2(1 + ๐)2
9)
๐โ1
]
โ2๐โ1(1 + ๐)2๐โ2(2 โ ๐)2
32๐
๐โ1
๐=1
=(2 โ ๐)2
9 โ 2(1 + ๐)2[1 โ (
2(1 + ๐)2
9)
๐โ1
]
Sehingga energi akhir sistem adalah
๐ธ =1
2๐๐ฃ0
2 ((2 โ ๐)2
9 โ 2(1 + ๐)2[1 โ (
2(1 + ๐)2
9)
๐โ1
] + [2(1 + ๐)
3]
2๐โ2
)
Maka energi yang hilang adalah
ฮ๐ธ = ๐ธ โ ๐ธ0
ฮ๐ธ = โ1
2๐๐ฃ0
2 (1 โ(2 โ ๐)2
9 โ 2(1 + ๐)2[1 โ (
2(1 + ๐)2
9)
๐โ1
] + [2(1 + ๐)
3]
2๐โ2
)
h. Soal ini cukup mudah karena momentum total sistem bernilai tetap. Misalkan
kecepatan akhir semua kubus setelah semuanya menyatu adalah ๐, maka dari
kekekalan momentum linear akan kita dapatkan
๐๐ฃ0 = (๐ +๐
2+๐
4+๐
8+โฏ+
๐
2๐โ1)๐
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlisfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 11
๐ฃ0 = (1 +1
2+1
4+1
8+โฏ+
1
2๐โ1)
โ deret geometri
๐
Dengan ๐ = 1 dan ๐ = 1/2 dan ๐ = ๐ maka
๐ =๐(1 โ ๐๐)
1 โ ๐
๐ =1 โ (
12)
๐
1 โ12
โน ๐ = 2 โ (1
2)๐โ1
Maka
๐ฃ0 = [2 โ (1
2)๐โ1
] ๐ โน ๐ = [2 โ (1
2)๐โ1
]
โ1
๐ฃ0
Number 3
Sebuah bola bermassa ๐ dan jari-jari ๐ berada di atas lintasan horizontal dalam keadaan
diam. Sebuah kotak bermassa 2๐ dengan tinggi โ memiliki suatu tongkat yang terikat di
atasnya seperti gambar di bawah. kotak ini berada di permukaan bidang miring dimana
ketinggian pusat massa kotak dari permukaan horizontal adalah ๐ป dan pada awalnya
berada dalam keadaaan diam. Kotak kemudian dijatuhkan begitu saja tanpa diberi
kecepatan awal. Abaikan efek perubahan lintasan kotak dari bidang miring ke bidang
horizontal. Kotak ini kemudian menumbuk bola secara elastis sempurna sehingga bola
bergerak translasi sekaligus rotasi. Asumsikan ๐ป โซ โ.
Tentukanlah :
a. Energi potensial awal kotak dengan acuan permukaan horizontal!
b. Kecepatan kotak ketika sampai di permukaan horizontal!
c. Kecepatan translasi kotak dan bola serta kecepatan sudut bola setelah tumbukan!
d. Nilai โ yang dapat membuat bola menggelinding tanpa slip di atas bidang horizontal
jika tidak ada lintasan kasar!
Pembahasan :
a. Energi potensial awal kotak adalah
๐
2๐
โ ๐ป
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlisfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 12
๐ธ๐ = 2๐๐๐ป
b. Karena permukaan bidang miring licin, energi mekanik sistem kekal. Misalkan
kecepatan kotak ketika sampai di bidang horizontal adalah ๐ฃ0 maka
2๐๐๐ป = 2๐๐โ
2+1
22๐๐ฃ0
2
๐ (๐ป โโ
2) =
1
2๐ฃ02
๐ฃ02 = ๐(2๐ป โ โ)
Karena ๐ป โซ โ maka 2๐ป โ โ โ 2๐ป sehingga
๐ฃ0 = โ2๐๐ป
c. Sekarang kita tinjau perubahan momentum kotak dan bola. Misalkan besar impuls
yang diberikan kotak dan bola satau sama lain adalah ฮ๐. Perhatikan kondisi kotak
dan bola ketika bertumbukan
Untuk kotak : Impuls luar โ Perubahan momentum linear
โฮ๐ = 2๐(๐ฃ1 โ ๐ฃ0) โน ฮ๐ = 2๐(๐ฃ0 โ ๐ฃ1)โฆ (1)
Untuk bola : Impuls luar โ Perubahan momentum linear
ฮ๐ = ๐๐ฃ2โฆ(2)
Untuk bola : Impuls angular โ Perubahan momentum angular
ฮ๐(โ โ ๐ ) =2
5๐๐ 2๐โฆ(3)
Dari persamaan (1) dan (2)
2๐(๐ฃ0 โ ๐ฃ1) = ๐๐ฃ2 โน 2(๐ฃ0 โ ๐ฃ1) = ๐ฃ2โฆ(4)
Dari persamaan (2) dan (3)
๐๐ฃ2(โ โ ๐ ) =2
5๐๐ 2๐ โน ๐ ๐ =
5
2(โ โ ๐
๐ ) ๐ฃ2โฆ(5)
Karena tumbukan elastis maka energi kinetik sistem kekal 1
22๐๐ฃ0
2 =1
22๐๐ฃ1
2 +1
2๐๐ฃ2
2 +1
2(2
5๐๐ 2)๐2
๐ 2๐
ฮ๐ ฮ๐
๐ฃ0 โ
๐ 2๐
๐
๐ฃ2 ๐ฃ1
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlisfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 13
2(๐ฃ02 โ ๐ฃ1
2) = ๐ฃ22 +
2
5(๐ ๐)2
2(๐ฃ0 โ ๐ฃ1)(๐ฃ0 + ๐ฃ1) = ๐ฃ22 +
2
5(๐ ๐)2
Subtitusi persamaan (4) dan (5)
๐ฃ2(๐ฃ0 + ๐ฃ1) = ๐ฃ22 +
2
5
25
4(โ โ ๐
๐ )2
๐ฃ22
๐ฃ0 + ๐ฃ1 = [1 +5
2(โ โ ๐
๐ )2
] ๐ฃ2
Subtitusi persamaan (4)
๐ฃ0 + ๐ฃ1 = [1 +5
2(โ โ ๐
๐ )2
] 2(๐ฃ0 โ ๐ฃ1)
๐ฃ1 [3 + 5 (โ โ ๐
๐ )2
] = ๐ฃ0 [1 + 5 (โ โ ๐
๐ )2
]
๐ฃ1[3๐ 2 + 5(โ โ ๐ )2] = ๐ฃ0[๐
2 + 5(โ โ ๐ )2] โน ๐ฃ1 =๐ 2 + 5(โ โ ๐ )2
3๐ 2 + 5(โ โ ๐ )2โ2๐๐ป
Subtitusi ๐ฃ1 ke persamaan (4)
๐ฃ2 = 2(๐ฃ0 โ๐ 2 + 5(โ โ ๐ )2
3๐ 2 + 5(โ โ ๐ )2๐ฃ0) โน ๐ฃ2 =
4๐ 2
3๐ 2 + 5(โ โ ๐ )2โ2๐๐ป
Subtitusi ๐ฃ2 ke persamaan (5)
๐ ๐ =5
2(โ โ ๐
๐ )
4๐ 2
3๐ 2 + 5(โ โ ๐ )2๐ฃ0 โน ๐ =
10(โ โ ๐ )
3๐ 2 + 5(โ โ ๐ )2โ2๐๐ป
d. Agar setelah ditumbuk kotak bola langsung menggelinding tanpa slip, maka ๐ฃ2 = ๐ ๐
4๐ 2
3๐ 2 + 5(โ โ ๐ )2๐ฃ0 =
10(โ โ ๐ )๐
3๐ 2 + 5(โ โ ๐ )2๐ฃ0
4๐ 2 = 10โ๐ โ 10๐ 2
10โ = 14๐ โน โ =7
5๐
Kalau udah selesai jangan lupa doa lagi ya, bagi yang muslim baca
ุง ู ู ุญ
ู ุฏ
ู ู
ุฑ ุจ
ุน ุงู
ูู ุงู
ู
โSegal puji bagi Allah SWT, Tuhan alam semestaโ