7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 1/40
PRVI KOLOKVIJUM IZ DISKRETNE MATEMATIKE 19.04
1. U skupu
1,0,1 A definisana je relacija
2 2: , : x y A x y x yρ ρ .
Odrediti elemente relacije i prikazati je grafički. Ispitati osobine relacije.
2. Dati su iskazi : 0 1 p a , n n
k q V k , r A B B A , i
22231
21s
Odrediti njihovu tačnost i na osnovu toga odrediti istinitosnu vrednost sledećeg
izkaza:
p q r s .
3.Odrediti
2
f x
funkcije 12
x
f x
.
4. Dat je skup 0,1, 2, 9P . Odrediti skupove 3 A x x P x i
2 B x x P x P , a zatim izračunati \ A B A B .
5. Koliko u gradu ima telefona sa petocifrenim brojevima:
a) ako svaki broj čine različite cifre,
b) ako se cifre ponavljaju?( tel broj ne može da počne sa 0)
6. Kako glasi 104 permutacija vez ponavljanja elemenata od osnovne 1,2,3,4,5?
7. U razvoju binoma 2 1 n
x x
, zbir koeficijenta prvog, drugoh i trećeg člana je 46.
Naći član koji ne sadrži x.
8. Primenom matematičke indukcije dokazati da je izraz 15 2n n deljiv sa 3.
9. Proveriti da li je tačan sledeći zaključak:
Danas pada sneg i aerodrom je zatvoren. Aerodrom nije zatvoren.
Zaključak: Ne pada sneg.
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 2/40
Rešenje 1 kolokvijuma IZ DISKRETNE MATEMATIKE
1. U skupu
1,0,1 A definisana je relacija
2 2: , : x y A x y x yρ ρ .
Odrediti elemente relacije i prikazati je grafički. Ispitati osobine relacije.
Rešenje:
1,1 , 1, 1 , 1,1 , 1, 1
R,S,T
2. Dati su iskazi : 0 1 p a , n n
k q V k , r A B B A , i
22231
21s
Odrediti njihovu tačnost i na osnovu toga odrediti istinitosnu vrednost sledećeg
izkaza: p q r s
Rešenje:
, , , p T q r sτ τ τ τ
p q r s T τ
3. Odrediti 2 f x funkcije 12
x f x .
Rešenje:Prvo dokažemo da je preslikavanje 1-1 i na.
1
2 1 1 1 12 2
2 2 2 2 4 6 f x x f f f f f x x
4. Dat je skup 0,1, 2, 9P . Odrediti skupove 3 A x x P x i
2 B x x P x P , a zatim izračunati \ A B A B .
Rešenje:
3 0,1,2
2 0,1,2,3,4
A x x P x
B x x P x P
\ 3,4 A B A B
5. Koliko u gradu ima telefona sa petocifrenim brojevima:
a) ako svaki broj čine različite cifre,
b) ako se cifre ponavljaju?
( tel broj ne može da počne sa 0)
Rešenje:
a) 10 9
5 4V V
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 3/40
Rešenje 1 kolokvijuma IZ DISKRETNE MATEMATIKE
b)10 10
5 4V V
6.Kako glasi 104 permutacija vez ponavljanja elemenata od osnovne 1,2,3,4,5?
Rešenje:
52143
7. U razvoju binoma 2 1 n
x x
, zbir koeficijenta prvog, drugoh i trećeg člana je 46.
Naći član koji ne sadrži x.
Rešenje:
7 84T
8. Primenom matematičke indukcije dokazati da je izraz 15 2n n deljiv sa 3.
Rešenje:
1. Za 1n 1 25 2 9 , je deljiv sa 3.
2. Za n k 15 2k k pretpostavljamo da je deljivo sa 3.
3. Za 1n k 1 2 1 15 2 5 5 2 2 3 5 2 5 2k k k k k k k
4. Svaki sabirak je deljiv sa 3,čime smo dokazali da je pod pretpostavkom 2 ,
jdeljivost dokazana i za 1n k , odakle zaključujemo da je je formula tačna
za sve prirodne brojeve.
9. Proveriti da li je tačan sledeći zaključak:
Danas pada sneg i aerodrom je zatvoren. Aerodrom nije zatvoren.
Zaključak: Ne pada sneg.
Rešenje: p: Danas pada sneg
q: Aerodrom je zatvoren
, p q q
p
modus tolens
ili napraviti tablicu
p q p q q p
T T T T T T T T
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 4/40
Rešenje 1 kolokvijuma IZ DISKRETNE MATEMATIKE
T T T
ili dokazati da je formula p q q p tautologija
p q p q q p q q p F
T T T T
T T T
T T T T
T T T T T
Kolokvijum nosi 20 bodova
Svaki zadatak po 2 boda a, 7 i 8 po 3.
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 5/40
DRUGI KOLOKVIJU IZ DISKRETNE MATEMATIKE 7.06.2011
1. Znajući da je 10
n
i
!
,! !
n nn k
k k n k
, napisati neki od algoritama za
izračunavanje binomnog koeficijentan
k
.
2. a) Kako izgleda disjunktivna forma Bulove funkcije, ako je funkcija zadata
tablicom?
1 p 2 p 3 p f
1 1 1 1
1 1 0 1
1 0 1 0
1 0 0 10 1 1 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
b) minimizirati dobijeni izraz i nacrtati logičko kolo.
3. Napisati formulu i nacrtati prekidačko kolo koje odgovara datoj logičko digitalnojšemi
4. Nacrtati:
a) Ojlerov put
b) Ojlerov graf c) Hamiltonov graf
d) Hamiltoniv put
sa pet čvorova.
5. Ako povezan planarni graf deli ravan na 8 oblasti i ima 3 čvora, koliko on mora da
ima grana?
6. Koliko čvorova, listova i kog je nivoa potpuno binarno stablo koje ima 126 grana?
7. Za datu matricu susedstva, napisati matricu incidencije, listu susedstva i nacrtati
odgovarajući graf .
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 6/40
DRUGI KOLOKVIJU IZ DISKRETNE MATEMATIKE 7.06.2011
0 1 1 1 0
1 0 1 1 11 1 0 1 0
1 1 1 0 1
0 1 0 1 0
8. Formirati binarno stablo pretrage za imena Mia, Beka, Laza, Mira, Dušan, Ena, Ivan,
Sonja i Lena, ako se ime Mia uzima za koren stabla.
( abeceda - a,b,c,č,ć,d,đž,đ,e,f,g,h,i,j,k,l,lj,m,n,nj,o,p,r,s,š,t,u,v,z,ž )
9. Odredti minimalnu cenu puta između Atine i Glazgova, koristeći Dajkastrinalgoritam, i ako težine predstavljaju cene letova između gradova.
Atina Beograd
Cirih
Pariz Rim
Firenca Glazgov
66
12
2
15
45
5
5
10. Primenoma) Primovog algoritma, b) Kruskalovog algoritma
od zadatog grafa, načiniti minimalno razapeto stablo uzimajući čvor A za korena stabla.
A B
C
D E
F G
6
61
2
2
2 3
4
5
5
5
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 7/40
DRUGI KOLOKVIJU IZ DISKRETNE MATEMATIKE 7.06.2011
1. Znajući da je 10
n
i
!
,! !
n nn k
k k n k
, napisati neki od algoritama za
izračunavanje binomnog koeficijentan
k
.
Rešenje:rekurzivni algoritam
: ( 0)
0 0 1
1
procedura koef n k
if k then koef
else
koef k koef k
k n k
2. a) Kako izgleda disjunktivna forma Bulove funkcije ako je funkcija zadata
tablicom?
1 p
2 p
3 p f
1 1 1 1
1 1 0 1
1 0 1 0
1 0 0 1
0 1 1 00 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
b) minimizirati dobijeni izraz i nacrtati logočko kolo.
Rešenje:
a) p q r p q r p q r p q r
b) p q q r
3. Napisati formulu i nacrtati prekadačko kolo koje odgovara datoj logčkoj digitalnojšemi
Rešenje:
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 8/40
DRUGI KOLOKVIJU IZ DISKRETNE MATEMATIKE 7.06.2011
p q r p q
4. Nacrtati:
a) Ojlerov put
b) Ojlerov graf c) Hamiltonov graf
d) Hamiltoniv put
sa pet čvorova.
5. Ako povezan planarni graf deli ravan na 8 oblasti i ima 3 čvora, koliko on morada ima grana?
Rešenje:
2 2
8 3 2 9
f e v e f v
e
6. Koliko čvorova, listova i kog je nivoa potpuno binarno stablo koje ima 126
grana?
Rešenje:
1 1 1
1 126 1 127,
2 1 127 2 1 2 128 6,
2 64,
n n n
k
e v v v grane
v k novoi
l listovi
7. Za datu matricu susedstva, napisati matricu incidencije, listu susedstva i nacrtatiodgovarajući graf .
0 1 1 1 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
0 1 0 1 0
Rešenje:
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 9/40
DRUGI KOLOKVIJU IZ DISKRETNE MATEMATIKE 7.06.2011
8. Formirati binarno stablo pretrage za imena Mia, Beka, Laza, Mira, Dušan, Ena,
Ivan, Sonja i Lena, ako se ime Mia uzima za koren stabla.
( abeceda - a,b,c,č,ć,d,đž,đ,e,f,g,h,i,j,k,l,lj,m,n,nj,o,p,r,s,š,t,u,v,z,ž )
Rešenje:
Mia
Mira
Sonja
Beka
Laza
Lena Dusan
Ena Ivan
9. Odredti minimalnu cenu puta između Atine i Glazgova, koristeći Dajkastrin
algoritam, ako težine predstavljaju cene letova između gradova.
Atina Beograd
Cirih
Pariz Rim
Firenca Glazgov
66
12
2
15
4
5
5
5
Rešenje:
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 10/40
DRUGI KOLOKVIJU IZ DISKRETNE MATEMATIKE 7.06.2011
Atina ,2 Beograd A
,3Cirih B
,8Glazgov C
,7 Rim B
,7Firenca P
,6Pariz A
2
2
1
15
55
6 5 6
Najmanja cena je puta je GCBA dužine 8
10. Primenom
a) Primovog algoritma,
b) Kruskalovog algoritmaod zadatog grafa, načiniti minimalno razapeto stablo uzimajući čvor A za korena stabla.
A B
C
D E
F G
6
61
2
2
2 3
4
5
5
5
Rešenje:a) dužina 14
b)
A B
C
D E
F G
61
2
2
2 3
4
grane težine Sortirane grane
AB 2 BC 1AD 6 AB 2
BE 5 DE 2
DE 2 DF 2
BC 1 CG 3
EC 6 FG 4
CG 3 FE 5
EG 5 EG 5
FG 4 BE 5
FE 5 AD 6
DF 2 EC 6
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 11/40
DRUGI KOLOKVIJU IZ DISKRETNE MATEMATIKE 7.06.2011
A B
C D E
F G
61
2
2
2 3
4
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 12/40
ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE
1. U skupu
1,0,1 A definisana je relacija
2 2: , : x y A x y x yρ ρ .
Odrediti elemente relacije i prikazati je grafički. Ispitati osobine relacije.
2. Dati su iskazi : 0 1 p a , n n
k q V k , r A B B A , i
22231
21s
Odrediti njihovu tačnost i na osnovu toga odrediti istinitosnu vrednost sledećeg
izkaza:
p q r s
3.
Odrediti inverznu funkciju funkcije
1
1
x
f x x
i skicirati grafik.
4. Dat je skup 0,1, 2, 9P . Odrediti skupove 3 A x x P x i
2 B x x P x P , a zatim izračunati \ A B A B .
5. Koristeći tautologije dokazati skupovnu jednakost A B B A .
6. Koliko u gradu ima telefona sa petocifrenim brojevima:
a) ako svaki broj čine različite cifre, b) ako se cifre ponavljaju?
( tel broj ne može da počne sa 0)
7. Koliko se trouglova dobija konstrukcijom svih dijagonala konveksnogdvanaestougla ako im se temena poklapaju sa temenima dvanastougla?
8. U razvoju binoma 2 1 n
x x
, zbir koeficijenta prvog, drugoh i trećeg člana je 46.
Naći član koji ne sadrži x.
9. Primenom matematičke indukcije dokazati da je izraz 15 2n n deljiv sa 3.
10. Napisati algoritam, po izboru, za računanje faktorijela ! f n n za 0n N .
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 13/40
ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE
11. Kako izgleda disjunktivna forma Bulove funkcije ako je funkcija zadata tablicom?
1
p2
p3
p f
1 1 1 01 1 0 11 0 1 01 0 0 10 1 1 10 1 0 10 0 1 00 0 0 1
12. Uprostiti izraz i zatim nacrtati logičko digitalno kolo
p q p s p q p r s
13. Nacrtati regularne grafove stepena 2.
14. Koliko listova ima potpuno binarno stablo sa 7 čvorova?
15. Dat je graf, napisati njegovu matricu incidencije, matricu susedstva i listususedstva
a
b
c
d
16. Konstruisati binarno stablo koje sadrži imena data poređana u abecednom poretku: Ana, Vanja, Dušan, Mile, Žika, Mladen, Predrag
17. Odredti dužinu najkraćeg puta između čvorova P i Q koristeći Dajkastrinalgoritam
P
Q
D E
3
23
44 62
26
1C A B
F
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 14/40
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 15/40
ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE
6. Koliko u gradu ima telefona sa petocifrenim brojevima:
a) ako svaki broj čine različite cifre, b) ako se cifre ponavljaju?
( tel broj ne može da počne sa 0)
Rešenje:
a) 10 95 4V V
b)10 105 4V V
7. Koliko se trouglova dobija konstrukcijom svih dijagonala konveksnogdvanaestougla ako im se temena poklapaju sa temenima dvanastougla?
Rešenje:
123
12220
3C
8. U razvoju binoma 2 1 n
x x
, zbir koeficijenta prvog, drugoh i trećeg člana je 46.
Naći član koji ne sadrži x.Rešenje:
7 84T
9. Primenom matematičke indukcije dokazati da je izraz 15 2n n deljiv sa 3.
Rešenje:
1. Za 1n 1 25 2 9 , je deljiv sa 3.2. Za n k 15 2k k pretpostavljamo da je deljivo sa 3.
3. Za 1n k 1 2 1 15 2 5 5 2 2 3 5 2 5 2k k k k k k k
4. Svaki sabirak je deljiv sa 3,čime smo dokazali da je pod pretpostavkom 2 ,
jdeljivost dokazana i za 1n k
, odakle zaključujemo da je je formula tačnaza sve prirodne brojeve.
10. Napisati algoritam po izboru za računanje faktorijela ! f n n za 0n N .
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 16/40
ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE
11. Kako izgleda disjunktivna forma Bulove funkcije ako je funkcija zadata tablicom?
1
p2
p3
p f
1 1 1 01 1 0 11 0 1 01 0 0 10 1 1 10 1 0 10 0 1 00 0 0 1
12. Uprostiti izraz i zatim nacrtati logičko digitalno kolo
p q p s p q p r s
Rešenje:
p s
13. Nacrtati regularne grafove stepena 2.Rešenje:
14. Koliko listova ima potpuno binarno stablo sa 7 čvorova?Rešenje:
12 4
2k v
l
15. Dat je graf, napisati njegovu matricu incidencije, matricu susedstva i listususedstva
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 17/40
ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE
a
b
c
d
Rešenje:
, ,
,
,
, ,
lv
b c d a
a d b
a d c
a b cd
1 1 1 0 0
1 0 0 1 0
0 1 0 0 1
0 0 1 1 1
ab ac ad bd cd
a
b A
c
d
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 0 1
1 1 1 0
A
16. Konstruisati binarno stablo koje sadrži imena data poređana u abecednom poretku: Ana, Vanja, Dušan, Mile, Žika, Mladen, Predrag.
Rešenje:
17. Odredti dužinu najkraćeg puta između čvorova P i Q koristeći Dajkastrinalgoritam
P
Q
D E
3
23
446
2
26
1
C A B
F
Ana
Vanja
Z ika
D usan
M ile
M lade nPr edrag
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 18/40
ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE 20.06.2011
1. U skupu
2, 1,0,1,2 A definisana je relacija
2 2: , : x y A x y x yρ ρ .
Ispitati da li je to relacija ekvivalencije i ako jeste odrediti klase ekvivalencije.
2. Dati su iskazi : 2 2,4,6,......,2 ,... p A x x N x n , !q P n n ,
0r a a i 3 3 3s a a .
Odrediti njihovu tačnost i na osnovu toga odrediti istinitosnu vrednost sledećeg iskaza:
p q r s .
3. Ako je 3 1 f x x i 2g x x odrediti 2 1 f g .
4. Ako je , , A a b c , , B x y . Odrediti A B i B A .
5. Koliko se brojeva između 3000 i 6000 može napisati od cifara 0,1,2,3,4,5,6,7,
ako se cifre ne ponavljaju?
6. Koja je permutacija numerika, od osnovne a,e,i,k,m,n,r,u ?
7. Zbir koeficijenata drugog i trećeg člana binoma 31
n
a aa
jednaka je 28.
Odredi član koji sadrži 5a .
8. Primenom pravila modus tolens izvesti zaključak:(objasniti)
Ako danas ima snega, ići ćemo na skijanje.
Nećemo ići na skijanje.
9. Napisati algoritam, po izboru, za računanje faktorijela ! f n n za 0n N .
10. a) Kako izgleda disjunktivna forma Bulove funkcije ako je funkcija zadata tablicom?
p q r f
1 1 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
1 0 0 1
0 1 1 1
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 19/40
ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE 20.06.2011
b) Minimizirati dobijeni izraz i nacrtati logičko kolo.
Definisati i nacrtati jedan bipartitivni graf 3,3K i jedan kompletan bipartitivni graf
11. Definisati i nacrtati jedan bipartitivni graf 3,3K i jedan kompletan bipartitivni
graf.
12. Da li je graf sa slike planaran? ( objasniti )
13. Primenoma) Primovog algoritma,
b) Kruskalovog algoritma
od zadatog grafa, načiniti minimalno razapeto stablo uzimajući čvor a za korena
stabla.
a b d c
e
f gh
i j k
l
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
1
1
1
4
4
4
5
14. Odredti dužinu najkraćeg puta između čvorova a i l koristeći Dajkastrin algoritam.
a b d c
e
f g h
i j k
l
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
1
1
1
4
4
4
5
1 kolokvijum – zadaci 1,2,3,4,5,6,72 kolokvijum –zadaci 8,9,10,11,12,13,14
Ceo ispit – zadaci 1,3,5,7,9,11,13
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 20/40
ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE 20.06.2011
1. U skupu
2, 1,0,1,2 A definisana je relacija
2 2: , : x y A x y x yρ ρ .
Ispitati da li je to relacija ekvivalencije i ako jeste odrediti klase ekvivalencije.
Rešenje:
: 2, 2 , 2,2 , 1, 1 , 1,1 , 1, 1
1,1 , 0,0 , 2,2 , 2, 2
ρ
Osobine :
Relacija je refleksivna , jer 2 2 x x
Relacija je simetrična , jer 2 2 2 2 x y y x
Relacija je tranzitivna , jer 2 2 2 2 2 2 x y y z x z
Znači ova relacija je relacija ekvivalencije.
Razlikujemo 3 klase ekvivalencije 1 2 32,2 , 1,1 , 0C C C .
Količnički skup je 1 2 3/ , , A C C C ρ .
3boda
2. Dati su iskazi : 2 2,4,6,......,2 ,... p A x x N x n , !q P n n ,
0r a a i 3 3 3s a a .
Odrediti njihovu tačnost i na osnovu toga odrediti istinitosnu vrednost sledećeg
iskaza: p q r s .
Rešenje:
, , , p T q T r T s T τ τ τ τ
p q r s
T T T T
T T
T
3 boda
3. Ako je 3 1 f x x i 2g x x odrediti2 1
f g
.
Rešenje:Ako je
1 2 1 2 1 2, x x R x x f x f x , odnosno 1 2 1 2 f x f x x x
preslikavanje je 1-1.
Dakle1 2 1 22 2 x x x x , čime smo dokazali da je preslikavanje“1 1 ”.
Kako je ,2
y y R x R x
zaključujemo da je preslikavanje “na”.
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 21/40
ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE 20.06.2011
Prema tome postoji inverzno preslikavanje 1
2
xg x y .
2 3 3 1 1 9 4 f x x x , pa dobijamo
2 1 2 1 9 42
x f g f g x .
3boda
4. Ako je , , A a b c , , B x y . Odrediti A B i B A .
Rešenje:
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , ,
A B a x a y b x b y c x c y
B A x a y a x b y b x c y c
A B B A
2boda
5. Koliko se brojeva između 3000 i 6000 može napisati od cifara 0,1,2,3,4,5,6,7,
ako se cifre ne ponavljaju?
Rešenje:
Brojeva između 3000 i 4000 ima 7
3 7 6 5 210V . Znači ukupno ih
je 7
3
3 3 210 630V 630
3boda
6. Koja je permutacija numerika, od osnovne a,e,i,k,m,n,r,u ?
Rešenje:
Da bi slovo n izbilo na prvo mesto treba da prođe 5 7! 5 5040 25200 permutacija.
nu: još 6 6! 6 720 4320 num: još 4 5! 4 120 480 nume: još 1 4! 1 24 24 numer: još 3 3! 3 9 27
numeri: još 1 2! 1 2 2 numerik: još 1 1! 1 1 1 i naredna 30055 je tražena
3boda
7. Zbir koeficijenata drugog i trećeg člana binoma 31
n
a aa
jednaka je 28.
Odredi član koji sadrži 5a .
Rešenje:
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 22/40
ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE 20.06.2011
N=7, k=3, T4=35a5
3boda
8. Primenom pravila modus ponens izvesti zaključak:Ako danas ima snega, ići ćemo na skijanje.
Nećemo ići na skijanje.
Rešenje:Danas nema snega
q
p q
p
2boda
9. Napisati algoritam, po izboru, za računanje faktorijela ! f n n za 0n N .
2boda
10. a) Kako izgleda disjunktivna forma Bulove funkcije ako je funkcija zadatatablicom?
p q r f
1 1 1 01 1 0 1
1 0 1 0
1 0 0 1
0 1 1 1
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1
b) Minimizirati dobijeni izraz i nacrtati logičko kolo.
Rešenje:
pqr pqr pqr pqr pqr
Mimimalizovano
p q r
2+2 boda
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 23/40
ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE 20.06.2011
11. Definisati i nacrtati jedan bipartitivni graf 3,3K i jedan kompletan bipartitivni
graf.
Rešenje:
2boda
12. Da li je graf sa slike planaran? ( objasniti )
Rešenje:
Kada bi bio planaran važila bi Ojlerova teorema 10, 15, 7v e f . Morao bi da
ispunjava uslov da je 2 30 35 5e f , što nije tačno. Znači graf nije planaran.
3boda
13. Primenom
a) Primovog algoritma, b) Kruskalovog algoritma
od zadatog grafa, načiniti minimalno razapeto stablo uzimajući čvor a za korena
stabla.
a b d c
e f g h
i j k
l
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
1
1
1
4
4
4
5
Rešenje:a) dužina 24
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 24/40
ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE 20.06.2011
a b d c
e f g h
i j k
l
2
2
2
3
3
3
33
1
1
1
b)
Zadržane grane težine
cd 1
bf 1
kl 1
ab 2
cg 2
fj 2
bc 3
gh 3
ae 3
ij 3
jk 3
2+2boda
14. Odredti dužinu najkraćeg puta između čvorova a i l koristeći Dajkastrin algoritam
a b d c
e f g h
i j k l
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
1
1
1
4
4
4
5
Rešenje:
abfjke dužine 9
3boda
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 25/40
ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE 20.06.2011
0,0a 2,b a 6,d c 5,c b
3,e a 3, f b 6,g f 9,h g
7,i e 5, j f 8,k j 9,l k
2
2
2
3
3
33
3
3
3
1
1
14
44
5
1 kolokvijum – zadaci 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
2 kolokvijum –zadaci 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20
Ceo ispit – zadaci 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19.
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 26/40
PRVI KOLOKVIJUM IZ DISKRETNE MATEMATIKE 5.04
1.
U skupu 3 3 A x x Z x
definisana je relacija na sledeći način 2 2: , : 2 2 x y A x y x x y yρ ρ . Odrediti elemente relacije i prikazati
je grafički i tablično. Ispitati osobine relacije. Ako je relacija ekvivalencijeodrediti klase ekvivalencije.
2. Primenom tautologija dokazati skupovnu jednakost:
\ A B B
3. Dati su iskazi : 0 1 p a , n n
k
q V k , r A B B A , i22
23121
s
Odrediti njihovu tačnost i na osnovu toga odrediti istinitosnu vrednost sledećeg
izkaza:
p q r s .
4. Odrediti 1 f x g x ako su date funkcije 1
2
x f x i 2 2g x x
5. Dat je skup 0,1, 2, 9P . Odrediti skupove 3 A x x P x i
2 B x x P x P , a zatim izračunati \P A B A B .
6. Koliko u gradu ima petocifrenih brojeva telefona:
a) ako svaki broj čine različite cifre, b) ako se cifre ponavljaju?
( tel broj ne može da počne sa 0)
7. Koja po redu je permutacija 24153 od osnovne 1,2,3,4,5?
8. U razvoju binoma 2 1 n
x x
, zbir koeficijenta prvog, drugoh i trećeg člana je 46.
Naći član koji ne sadrži x.
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 27/40
Rešenje 1 kolokvijuma IZ DISKRETNE MATEMATIKE 05.04.2012
1.
U skupu 3 3 A x x Z x
definisana je relacija na sledeći način 2 2: , : 2 2 x y A x y x x y yρ ρ . Odrediti elemente relacije i prikazati
je grafički i tablično. Ispitati osobine relacije. Ako je relacija ekvivalencijeodrediti klase ekvivalencije.
Rešenje:
12
2
0
3
3
1
1 2 3 4 50, 2 , 3,1 , 1 , 3 , 2C C C C C
2. Primenom tautologija dokazati skupovnu jednakost:
\ A B B
Rešenje:
p q B , ovo je tautologija
3. Dati su iskazi : 0 1 p a , n n
k q V k , r A B B A , i
22231
21s
Odrediti njihovu tačnost i na osnovu toga odrediti istinitosnu vrednost sledećeg
izkaza:
p q r s
Rešenje:
, , , p T q r sτ τ τ τ
p q r s T τ
4. Odrediti 1 f x g x funkcije 1
2
x f x i 2 2g x x
Rešenje:Prvo dokažemo da je preslikavanje 1-1 i na.
1
1 1 1
2 2
2 2 2 2 4 6
f x x
f f g f g x x
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 28/40
Rešenje 1 kolokvijuma IZ DISKRETNE MATEMATIKE 05.04.2012
5. Dat je skup 0,1, 2, 9P . Odrediti skupove 3 A x x P x i
2 B x x P x P , a zatim izračunati \P A B A B .
Rešenje:
3 0,1,2
2 0,1,2,3,4
A x x P x
B x x P x P
\ 3,4
3,4 , 3 , 4 , 3, 4
A B A B
P
6. Koliko u gradu ima petocifrenih telefonskih brojeva:
a) ako svaki broj čine različite cifre, b) ako se cifre ponavljaju?( tel broj ne može da počne sa 0)
Rešenje:
a) 10 9
5 4V V
b)10 10
5 4V V
7. Koja je po redu 24153 permutacija bez ponavljanja elemenata od osnovne
1,2,3,4,5?
Rešenje:1 4! 2 3! 0 2! 1 37
8. U razvoju binoma 2 1 n
x x
, zbir koeficijenta prvog, drugog i trećeg člana je 46.
Naći član koji ne sadrži x.
Rešenje:
18 2
1
7
46 90 1 2
96
84
k k
k
n n nn
T x x k k
T
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 29/40
2 kolokvijum
1. Konstruisati dokaz koristeći pravila zaključivanja:
Ja ili sam veseo ili sam tužan.
Nisam veseo.
Ako sam tužan, sedim kod kuće.
Zaključak: Sedim kod kuće.
2. Primenom matematičke indukcije dokazati da je izraz 15 2n n deljiv sa 3.
3. Napisati algoritam za izračunavanje zbira brojeva od 1 do N, gde je N poznato.
4. Dato je logičko kolo
p
p
q
qr
r
a) Napisati algebarski izraz funkcije koje kolo predstavlja b) Napraviti tablicu ove funkcije
c) Na osnovu tablice napisati konjuktivnu formu funkcije
d) Primenom Bulove algebre minimizirati izraz i nacrtati jednostavnije kolo
5. a) Da li je moguće 6 gradova povezati putevima da iz tih gradova redom izlazi
5,4,3,2,2,2 puteva b) Ako je moguće, koliko graf koji predstavlja gradove i puteve ima grana?
c) Da li je ovaj graf Ojlerov?
d) Da li je Ojlerov put?
Za svaki odgovor potrebno je obrazloženje
6. Koliko najviše grana ima bipatritivni graf 2,3K , objasniti i nacrtati ga?
7. Koliko čvorova, listova i kog je nivoa potpuno binarno stablo koje ima 126
grana?
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 30/40
8. Napisati matricu incidencije, matricu susedstva i listu susedstva za graf
9. Formirati koreno binarno stablo pretrage ako elementi dolaze sledećim redom:
5,15,8,2,10,16,6,7,2.
10. Datom grafu pridruži minimalno stablo koriščenjem:
a) Primovog algoritma
b) Kruskalovog algoritma
G H
D E
2
3
44
7
5
22
6
1
C
A B
F 3
1
11. Primenom algoritama pretrage u širinu i dubinu nacrtati stabla od zadatog grafa,
uzimajući čvor a kao koren stabla.
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 31/40
ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE 10.04. 2013
1. U skupu 2 2 A x x Z x definisana je relacija na sledeći način
2 2: , : x y A x y x yρ ρ . Prikazati je grafički, tablično i napisati parove
koji su u relaciji. Ispitati osobine relacije. Ako je relacija ekvivalencije odrediti
klase ekvivalencije.
2. Ispitati da li je sledeća formula tautologija: p q p r q r
3. Odrediti 1 f x g x
ako su date funkcije 1
2
x f x i 2 2g x x
4. Dat je skup 1,2,3,4,5,6,7 A . Koliko ima sedmocifrenih brojeva kod kojih se
cifre ne ponavljaju, a koji počinju sa 123
a) u datom poretku,
b) u proizvoljnom poretku.
5. Ispitati da li je sledeće zaključivanje dobro. Detaljno obrazložiti odgovor.
Ako danas sija sunce onda neću nositi kišobran. Ako je novembar mesec onda se
uvek nosi kišobran. Novembar je.
Zaključak: Ne sija sunce.
6. a) Kako izgleda disjunktivna forma Bulove funkcije ako je funkcija zadata tablicom?
p q r f
1 1 1 1
1 1 0 0
1 0 1 1
1 0 0 0
0 1 1 1
0 1 0 1
0 0 1 00 0 0 1
b) Minimizirati dobijeni izraz i nacrtati logičko kolo.
7. Napisati algoritam, po izboru, za računanje faktorijela ! f n n za 0n N .
8. Koliko listova ima potpuno binarno stablo sa 8 čvorova?
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 32/40
ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE 10.04. 2013
9. Da li je graf sa slike planaran? ( objasniti )
10. Dat graf na slici:
a) Odredti dužinu najkraćeg puta između čvorova a i l koristeći Dajkastrin
algoritam.
b) Pomoću Primovog algoritma,c) Kruskalovog algoritma
od zadatog grafa, načiniti minimalno razapeto stablo uzimajući čvor a za korena
stabla.
a b d c
e f g h
i j k
l
2
2
2
3
3
3
4
2
2
3
1
1
1
4
4
4
5
Studenti koji rade:
prvi kolokvijum rade zadatke 1,2,3,4,5
drugi kolokvijum rade zadatke 6,7,8,9,10ceo ispit rade zadatke 1,3,4,6, 9
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 33/40
ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE 25.06
1 kolokvijum
1. U skupu 3 3 A x x Z x definisana je relacija na sledeći način
2 2: , : 2 2 x y A x y x x y yρ ρ . Odrediti elemente relacije i prikazati je
grafički i tablično. Ispitati osobine relacije.
2. Primenom tautologija dokazati skupovnu jednakost:
A B C A C B C
3. Dati su iskazi : p dx x C , n n
k q V k , r A B B A , i
22231
21s
Odrediti njihovu tačnost i na osnovu toga odrediti istinitosnu vrednost sledećeg
iskaza: p q r s .
4. Odrediti 1 f x g x
ako su date funkcije 12
x f x i 2 2g x x
5. Odrediti skupove 3 A x x N x i 2 B x x N x N , a zatim skup
\ A B A B .
6. Koliko se petocifrenih brojeva može napisati sa ciframa 0,1,2,3,4:a) ako su cifre različite,
b) ako se cifre ponavljaju?
7. Odrediti 88 permutaciju bez ponavljanja elemenata, od osnovne 1,2,3,4,5?
8. U razvoju binoma 2 1
n
x x
, zbir koeficijenta prvog, drugog i trećeg člana je46. Naći član koji ne sadrži x.
2 kolokvijum
9. Izvesti zaključak i konstruisati dokaz koristeći pravila zaključivanja:
Ako student na ispitu zna, položiće ispit.Ako student na ispitu nezna onda može ispit da položi i da ga ne položi.
Zaključak je:
10. Primenom matematičke indukcije dokazati
1 1 1
1 2 2 3 1 1
n
n n n
11. Napisati algoritam za izračunavanje proizvoda brojeva od 1 do N, za zadato N.
12. Dati su grafovi na slici. Koji od njih predstavljaju Ojlerove puteve ili grafove i
Hamiltonove puteve ili grafove? Odgovore obrazložiti.
ab
d c
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 34/40
ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE 25.06
13. Da li je moguće napraviti mrežu puteva koja spaja 10 gradova, tako da iz
svakog grada izlazi 6 puteva? Ako je moguće koliko puteva postoji?
14. Izračunati na koliko oblasti deli ravan planarni graf koji ima 6 čvorova i 4grane i nacrtati ga?
15. Napisati matricu incidencije, matricu susedstva i listu susedstva za graf
16. Ako potpuno binarno stablo ima 63 čvora, koliko ima listova i nivoa?
17.
a) Datom grafu pridruži minimalno stablo koriščenjem Primovog algoritma b) Datom grafu pridruži minimalno stablo koriščenjem Kruskalovog algoritma
c) Odrediti najkraći put od čvora C do čvora F primenom Dajkastrinog algoritma
G H
D
2
4
4
7
5
2
6
1
C
A B
F 3
1
18. Dato je logičko kolo
p
p
q
qr
r
q
r
a) Napisati algebarski izraz funkcije koje kolo predstavlja
b) Napraviti tablicu ove funkcije
c) Primenom Bulove algebre minimizirati izraz i nacrtati jednostavnije kolo
Studenti koji rade ceo ispit rade 1,3,6,8,11,12,17,18 zadatak
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 35/40
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 36/40
2 kolokvijum iz diskretne matematike
1. Za unapred unete vrednosti promenljivih a i b napisati algoritam tako da se promenljivoj c dodeljuje manja od vrednosti a ili b. Ukoliko se vrednosti jednake
ispisuje se tekst sa obaveštenjem da je došlo do greške.
2. Dato je logičko kolo
p
p
q
q
r
r
a) Napisati algebarski izraz funkcije koje kolo predstavlja b) Napraviti tablicu ove funkcije
c) Na osnovu tablice napisati disjunktivnu formu funkcije
d) Primenom Bulove algebre minimizirati dobijeni izraz i nacrtati jednostavnije kolo
3. Dat je graf na slici.
Da li je on Ojlerov graf, put, Hamiltonov graf, put?
U situacijama kada nije dopuni graf nedostajućim granama.
4. a) ) Da li je moguće 6 gradova povezati putevima da iz tih gradova redom izlazi5,4,4,3,2,2 puteva ?
b) Ako postoji ovaj graf , koliko ima grana?
Obrazložiti odgovor
5. Koliko najviše grana ima bipatritivni graf 3,3K i nacrtati ga?
6. Koliko čvorova, listova i kog je nivoa potpuno binarno stablo koje ima 126
grana?
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 37/40
2 kolokvijum iz diskretne matematike
7. Napisati matricu incidencije, matricu susedstva i listu susedstva za graf
8. Formirati binarno koreno stablo pretrage ako elementi dolaze spedećim redom:
5,13,6,8,2,10,16,7,2.
9. Datom grafu pridruži minimalno stablo koriščenjem:
a) Primovog algoritma
b) Kruskalovog algoritma
uzimajući čvor A kao koren stabla.
c) Odrediti najkraći put od A do H u polaznom grafu, primenom Dijkastrinog
algoritma
G
H
D
E
3
3
44
7
5
2 2
6
1
C A
B
F 5
1
10. Primenom algoritama pretrage u širinu i dubinu nactrati stabla od zadatog grafa,
uzimajući čvor a kao koren stabla.
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 38/40
2 kolokvijum iz diskretne matematike
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 39/40
ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE 19.06. 2013
1. Koja od sledeći rečenica je iskaz:
a) Zemlja je zvezda b) Zemlja je zvezda ili nebesko telo
c) Na kojoj si godini studija?
d) 14>7
e) 2 22 4 4 x x x
f) 2
2 1 x
Odgovore detaljno obrazložiti!
2. Ispitati da li su formule p q i p q ekvivalentne.
3. Dokazati skupovnu jednakost A A B A
4. U skupu 1,2,3,4 A data je relacija preko uređenih parova:
1,1 , 1,2 , 2,1 , 2, 2 , 3,3 , 4,4ρ .
Predstavi relaciju
a) Grafički
b) Tabelarnoc) Ispitaj osobine relacije
5. Odrediti 1 f x g x
ako su date funkcije 12
x f x i 2 2g x x
6. Student treba da pokaže 4 ispita u 8 dana. Na koliko načina to može da učini ako se
zna da poslednji ispit polaže 8 dana?
7. Ispitati da li je sledeće zaključivanje dobro. Detaljno obrazložiti odgovor.
Ako kamate rastu, onda će cene proizvoda pasti
Kamate ne rastu.Zaključak:
Cene proizvoda neće pasti
8. Napisati algoritam koji za unetih N brojeva izračunava njihov zbir.
9. Da li postoji graf sa 7 čvorova takav da su stepeni čvorova 2,2,4,4,6,3 i5?
7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci
http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 40/40
ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE 19.06. 2013
10. Dato je logičko
p
p
q
qr
r
a) Napisati algebarski izraz funkcije koje kolo predstavlja b) Napraviti tablicu ove funkcije
c) Na osnovu tablice napisati disjunktivnu formu funkcije
d) Primenom Bulove algebre minimizirati izraz i nacrtati jednostavnije kolo
11. Dato je stablo
A
B C
D
E
F
G
H I
Odrediti LKD, KDL I KLD obilaske stabla.
12. Dat graf na slici:
a) Odrediti dužinu najkraćeg puta između čvorova A i G koristeći Dajkastrin
algoritam.
od zadatog grafa, načiniti minimalno razapeto stablo uzimajući čvor A zakorena stabla.
b) Pomoću Primovog algoritma,
c) Kruskalovog algoritma
G
E
D
24
4
7
5
2
6
1
C
A
B
F
3
1
Studenti koji rade:
prvi kolokvijum rade zadatke 1,2,3,4,5,6,7
drugi kolokvijum rade zadatke 8,9,10,11,12
ceo ispit rade zadatke 2,4,8, 9, 10, 12