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Probabilidad y Estadística Ing. Víctor SaquicelaUniversidad de Cuenca
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AGENDA
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Variables Aleatorias y Distribuciones Discretas de Probabilidad • Variables Aleatorias
• Variables Aleatorias Discretas
• Función de Probabilidad y de Distribución
• Esperanza Matemática, Varianza y Función Generatriz de Momentos
• Distribución Binomial
• Distribución Geométrica
Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas
Bibliografía
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OBJETIVOS
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• Aplicar conceptos matemáticos asociados a los estudios de variables
aleatorias discretas, mejorando en rigor y precisión la capacidad de
análisis.
• Interpretar diferentes fenómenos aleatorios mediante variables
aleatorias y determinar probabilidades de ocurrencia.
• Explicar los conceptos de variables aleatorias discretas como modelosde variables estadísticas.
Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas
Bibliografía
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VARIABLES ALEATORIAS
4Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas
Bibliografía
VariablesAleatorias
Discretas
Continuas
Enteros
Reales
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Variables Aleatorias
5Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas
Bibliografía
• Normalmente, los resultados posibles (espacio muestral E) de un experimento
no son valores numéricos
• Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar de un modo ordenado tres
monedas al aire, para observar el numero de caras (C) y cruces (R) que se
obtienen, el espacio muestral es :
E={CCC, CCR, CRC, CRR, RCC, RCR, RRC, RRR}
• Resulta más fácil utilizar valores numéricos en lugar de trabajar directamente
con los elementos de un espacio muestral.
• Para {CRR,RCR,RRC} es preferible representar con un valor numérico 1, que
representa el numero de caras obtenidas al realizar el experimento.
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Definición Formal de Variable Aleatoria
6Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas
Bibliografía
Variable Aleatoria • Se define como el de toda función matemática : → ℝ ↦ que atribuye un único número real a cada suceso elemental delespacio muestral
ℝ e
E
X
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Definición de Variable Aleatoria
7Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
Ejemplificando una Variable Aleatoria • Siguiendo con el ejemplo anterior, se define la variable aleatoria ≡ "ú " del siguiente modo: : →ℝ 3
2 1 0 • En función de lo que tome la variable puede ser discreta o continua.
E={ CCC CCR CRC CRR RCC RCR RRC RRR }
3 2 2 1 2 1 1 0
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Variable Aleatoria Discreta
8Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
V.A.D • Una variable aleatoria es discreta cuando asume un conjunto finito o
infinito contable de valores posibles.
: → ℕ • Por ejemplo: número de artículos defectuosos, numero de accidentes
de carretera por año en una provincia, etc……..
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Función de Probabilidad
9Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
Definiciones • Las variables aleatorias transforman eventos del espacio muestral en
eventos numéricos, los cuales tienen asociado una probabilidad de
ocurrencia.
• Función definida sobre una variable aleatoria a los reales en el intervalo
[0,1] que cumplen con los axiomas de la teoría de la probabilidad.
• Probabilidad ( ) asociada a cada posible valor de
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Función de Probabilidad
10Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
Definición Formal • Dada una variable aleatoria discreta : → ℕ su función deprobabilidad , se define de modo que () es la probabilidad de que tome su valor: : ℕ → , -
↦ , . . - • Si no es uno de los valores que puede tomar , entonces 0
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Función de Probabilidad
11Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
Retomando el ejemplo anterior de las monedas
•
3 3 ∙ ∙ • 2 2 , , + + • 1 1 , , + + •
0 0 ∙
∙
Otra forma de interpretar • 0 ocurre solamente una vez, su probabilidad=1/8, X(RRR)=0
• 1 ocurre 3 veces, su probabilidad=3/8, X(RRC)=X(RCR)=X(CRR)=1
• 2 ocurre 3 veces, su probabilidad=3/8, X(CCR)=X(CRC)=X(RCC)=2
• 3 ocurre una vez, su probabilidad=1/8, X(CCC)=3
X p0 1/8
1 3/8
2 3/8
3 1/8
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Función de Distribución
12Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
Función de Distribución «Acumulada» • Función de distribución de una variable aleatoria discreta , que sedefine de modo que si ∈ℝ,() es igual a la probabilidad de que
tome un valor inferior o igual a : : ℕ→ , - ↦ ≤ , . . ≤ -
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Función de Distribución
13Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
Retomando el ejemplo de las tres monedas
• 0 ≤ 0 0 ( 0 ) • ( 1 ) ≤ 1 0 + ( 1 ) + • 2 ≤ 2 0 + 1 + 2 + + •
3 ≤ 3 0 + 1 + 2 + 3 + + + 1
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Función de Probabilidad y Distribución: representación gráficas
14Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
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Propiedades de la Distribución de Probabilidad Discreta
15Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
La probabilidad de un resultado siempre debe estar entere 0 y 1
0 ≤ ( ) ≤ 1 La suma de todos los resultados mutuamente excluyentes
siempre es 1
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Variable Aleatoria Discreta
16Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
• Si una variable discreta toma valores
,,
,……..
, la probabilidad
de que al hacer un experimento tome uno de esos valores es 1, demodo que cada posible valor de contribuye con una cantidad () al total:
= 1
=
∞
= 1∞
=
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Función de Probabilidad y Distribución: ejemplo
17Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
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Esperanza Matemática
18Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
Definición • También conocido como valor esperado o media de una variable
aleatoria es el numero - que formaliza la idea de valor medio deun fenómeno aleatorio.
• Este concepto se puede interpretar como una media ponderada.
∙ ( ) - • Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la sumade la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el
valor de dicho suceso
∙ + ∙ + ⋯ . . ∙ =
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Esperanza Matemática: ejemplo
19Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
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Varianza
20Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
Definición • La varianza de una variable aleatoria se define como:
()
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Esperanza Matemática y Varianza
21Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
Ejemplo • Sea X: número de hijos por familia de una cierta ciudad.
• a) Hallar la media o esperanza de X. ¿Qué significa?
0 ∙ 0 . 4 7 + 1 ∙ 0 . 3 0 + 2 ∙ 0 . 1 0 + 3 ∙ 0 . 0 6 + 4 ∙ 0 . 0 4 + 5 ∙ 0 . 0 2 + 6
∙ 0 . 0 1 1
• Si se toma al azar una familia de la población, el número medio o
esperado de hijos es 1.
0 1 2 3 4 5 6- 0.47 0.30 0.10 0.06 0.04 0.02 0.01
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Esperanza Matemática y Varianza
22Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Actividad
Continuación del ejemplo
• b) Varianza y desviación típica de X 1.74 1.32
• c) El municipio concede una ayuda anual de 2000 dolares por hijo. Hallar la
media, varianza y desviación típica de la variable aleatoria Y: ayuda (en
dolares) que recibe anualmente cada familia.
• Y viene dada por Y=2000X
2 0 0 0 ∙ 2 0 0 0 ∙ 2 0 0 0 ∙ 1 2 0 0 0 2000 ∙ (2000)∙ 6.69 ∙ 10 2000 ∙ 2000 ∙ 1.32 2638
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Momentos
23Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
Definición • La media de una variable aleatoria discreta describe su tendencia
central y la varianza mide su dispersión, pero ambas medidas no son
suficientes para describir completamente la forma de la distribución de
probabilidad.
• Los o ntos de una variable aleatoria son los valores esperados
de algunas funciones de la variable aleatoria.• Constituyen una colección de medidas descriptivas con las que se
puede caracterizar de manera única a su distribución de
probabilidad.
• Usualmente estas definiciones se las hace usando como referencia el
origen, o la media de la variable aleatoria.• Los momentos son las medidas descripticas de la variable aleatoria,
con los cuales se puede caracterizar su función de probabilidad.
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Momentos
24Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
Definición • Se define el n-ésimo momento de una variable aleatoria X , cuando
existe, como el numero (), para cualquier valor natural de n.• El n-ésimo momento central de X, cuando existe, es el número -, en donde . • El primer momento (no centrado) de X es simplemente la media y el
segundo momento central es la varianza. El e-nésimo momento secalcula como sigue:
() • El e-nésimo momento central de X se calcula como sigue:
()- ( ) () • El tercer momento central, mide la asimetría o sesgo.
• El cuarto momento central, mide la curtosis o puntiagudez.
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Función Generatriz de Momentos
25Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
Definición • Es una función especial que puede usarse para obtener todos los
momentos de una variable aleatoria discreta.
• Sea una variable aleatoria discreta. () función de probabilidad de . Entonces la funcion generadora de momentos de es: ()
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Distribución de Bernoulli
26Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
Experimento
Dicotómico
Exito
Fracaso
• Lanzamiento de una moneda: cara o cruz
• Lanzamiento de dado: número específico
• Preguntas “si” o “no”
}Experimentos de
Bernoulli
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Distribución de Bernoulli
27Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
Definición (
( )− * , )
• Consiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez y observar sicierto suceso ocurre o no, siendo la probabilidad de que esto sea así(éxito) y el que no lo sea (fracaso).
• Variable aleatoria discreta que toma los valores 0 si el suceso noocurre, y
1 en caso contrario. Se denota
⤳
⤳ ⇔ → - → • Los principales momentos de son:
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Distribución de Bernoulli
28Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
Ejemplo • Lanzamiento de una moneda al aire.• Posibles resultados: 2
• : probabilidad cara 0.5 • : probabilidad cruz 1 0 . 5
( 1 )− *0,1
1 → 1 0.5(0.5)−0.5 0 → 0 0.5(0.5)−0.5 • La función de probabilidad es:
0 10
• La de distribución es: 0 < 0 0 ≤ ≤ 11 ≥ 1
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Distribución Binomial
29Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
Definición• Se dice que una variable aleatoria sigue una ley binomial de parámetros y , ⤳ , si la suma de variables aleatorias independientes
de Bernoulli con el mismo parámetro .•
Se interpreta de la siguiente manera: Supongamos que realizamos pruebas de Bernoulli , donde en todas ellas la probabilidad de éxitoes la misma (), y se quiere calcular el número de exitos obtenidosen el total de las pruebas.
• La función de probabilidad de una variable binomial es:
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Distribución Binomial
30Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
Definición• La función de distribución de una variable binomial es:
• El valor esperado de esta variable es: • La varianza de esta variable es:
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Distribución Binomial
31Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
Ejemplo• La probabilidad de que cierta clase de componente sobreviva a una
prueba de choque es . Calcular la probabilidad de que sobrevivanexactamente dos de los 4 componentes que se prueban.
• Supongamos que las pruebas realizadas son independientes y con
probabilidad de éxito
para cada una de las cuatro pruebas, por
tanto la variable ⤳ , , tenemos que calcular 2 42 34
14 4!2!2! ∙ 34 ∙ 27128 0.2109
• La esperanza es:
3 • La varianza es: 34
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Distribución Geométrica (o de fracasos)
32Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
Definición• Consideramos una sucesión de variables aleatorias independientes de
Bernoulli,
•
posee una distribución geométrica,
⤳ , si esta es la suma
del numero de fracasos obtenidos hasta la aparición del primer éxito enla sucesión por ejemplo
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Distribución Geométrica (o de fracasos)
33Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
Definición• La función de probabilidad es:
• La media es:
• La varianza es:
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Distribución Geométrica
34Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
Ejemplo• En un proceso de fabricación se puede suponer por estudios previos
que la probabilidad de que un artículo sea defectuoso es 0 . 0 1.Inspeccionamos artículos secuencialmente hasta encontrar uno
defectuoso. Calcular la probabilidad de que el quinto artículo
seleccionado sea el primer defectuoso.
•Definimos ≡"ú í «,⤳.
í 4 0 . 9 9 ∙0.010.0096
• La media es: .. 99 • La varianza es : .(.) 9900
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Distribución Geométrica
35Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
Aplicaciones• Como área de aplicación de este tipo de distribución, podemos citar
situaciones donde los ingenieros intentan determinar la eficacia de un
sistemas de conmutación telefónica durante periodos ocupados. En
este caso, el éxito representa la conexión al sistema de conmutación. La
variable sería el número de intentos fracasados antes de una conexión
al sistema (éxito).
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Conclusiones
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• Durante esta clase aprendimos y reforzamos los conocimientos devariables aleatorias discretas. Aprendimos los principales conceptos
que definen una variable aleatoria discreta, función de probabilidad y
función de distribución. Para esto, se utilizó ejemplos significativos que
muestran el proceso de formalización. Además, se estudió las
distribuciones de Bernoulli, Binomial y geométrica. Para estasdistribuciones se definieron ejemplos ilustrativos.
Presentación Objetivos Contenido Conclusiones Preguntas Bibliografía
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PREGUNTAS
37Presentación Objetivos Contenido Conclusiones Preguntas Bibliografía
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Bibliografía
38Presentación Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía
• Introduction to the Practice of Statistics. Authors: W.H. Freman. 2002
• Applied Statistics and Probability for Engineers. Authors: D. Mongomery and G.
Runger. 2011
• Bioestadística: Métodos y Aplicaciones. Autores: Francisca Ríus Díaz, Francisco
Javier Barón Lopez, Elisa Sánchez Font y Luis Parras Guijosa