Distribuciones de Probabilidad - Statgraphics · Gamma (3 parámetros) Variable aleatoria gamma trasladada. Gamma generalizada Método de transformación inversa numérica. Gaussiana

STATGRAPHICS – Rev. 4/25/2007

© 2005 por StatPoint, Inc. Distribuciones de Probabilidad - 1

Distribuciones de Probabilidad Resumen El procedimiento Distribuciones de Probabilidad realiza diversas operaciones para cualquiera de 45 distribuciones de probabilidad. En particular, usted puede: 1. Graficar la función masa (de distribución) o de densidad de probabilidad, la distribución

acumulada, la función de supervivencia, la función log de supervivencia, o la función de riesgo.

2. Calcular la distribución acumulada o la distribución acumulada inversa. 3. Generar números aleatorios.

StatFolio de Ejemplo: probdist.sgp Datos de Ejemplo: Ninguno.

Ingreso de Datos La caja de ingreso de datos se usa para elegir la distribución a ser avaluada.

• Distribución: seleccione una de las 45 distribuciones listadas.



Resumen del Análisis El Resumen del Análisis muestra la distribución elegida y los valores de sus parámetros. Distribuciones de Probabilidad Distribución: Normal Parámetros: Media Desv. Est. Dist. 1 10 1 Dist. 2 10 2 Dist. 3 10 3 Dist. 4 Dist. 5

Opciones de Análisis Especifique hasta 5 grupos de parámetros para la distribución elegida.

Los parámetros solicitados dependen de la distribución elegida en la caja de diálogo del ingreso de datos. Al final de este documento se dan las definiciones de las diferentes distribuciones.



Distribución Acumulada Esta ventana muestra el valor de la función de distribución acumulada y de la función masa o de densidad de probabilidad en hasta 5 valores de X.

Distribución Acumulada Distribución: Normal Área Cola Inferior (<) Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 5 10.5 0.691464 0.598708 0.566186 11.5 0.933193 0.773374 0.691464 12.5 0.99379 0.894351 0.797673

Densidad de Probabilidad Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 5 10.5 0.352065 0.193334 0.131147 11.5 0.129518 0.150569 0.117355 12.5 0.0175283 0.0913245 0.0939706

Área Cola Superior (>) Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 5 10.5 0.308536 0.401292 0.433814 11.5 0.066807 0.226626 0.308536 12.5 0.00620966 0.105649 0.202327

En la tabla se incluyen: • Área Cola Inferior: la probabilidad de que una variable aleatoria de la distribución

especificada sea menor que el valor mostrado en la columna de más a la izquierda. • Densidad de Probabilidad (sólo distribuciones continuas): la altura de la función de

densidad de probabilidad f(X) en el valor mostrado en la columna de más a la izquierda. • Masa de Probabilidad (sólo distribuciones discretas): la probabilidad de que X sea igual al

valor mostrado en la columna de más a la izquierda. • Área Cola Superior: la probabilidad de que una variable aleatoria de la distribución

especificada sea mayor que el valor mostrado en la columna de más a la izquierda. Por ejemplo, F(X) = 0.691464 en X=10.5 para la primera distribución en la tabla anterior. Opciones de Ventana

• Variable Aleatoria: especifique hasta 5 valores en los cuales se calculará la distribución

acumulada.



FDA Inversa La FDA Inversa (Función de Distribución Acumulada) calcula el valor de una variable aleatoria X en o bajo el cual hay una probabilidad específica.

FDA Inversa Distribución: Normal FDA Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 5 0.01 7.67365 5.3473 3.02094 0.1 8.71845 7.43689 6.15534 0.5 10 10 10 0.9 11.2816 12.5631 13.8447 0.99 12.3264 14.6527 16.9791

En el caso de una variable continua, el valor de X es calculado tal que la función de distribución acumulada F(X) es igual a la probabilidad mostrada en la columna de más a la izquierda. En el caso de una distribución discreta, el valor desplegado es el valor más pequeño tal que F(X) es mayor o igual a la probabilidad mostrada en la columna de más a la izquierda. Por ejemplo, F(X) = 0.01 en X=7.67365 para la primera distribución en la tabla anterior. Opciones de Ventana

• FDA: especifique hasta 5 valores de la función de distribución acumulada a los cuales se

determinarán valores de X. Los valores deberán ser mayores que 0.0 y menores que 1.0.

Números Aleatorios Seleccione esta ventana para generar números aleatorios de las distribuciones elegidas. Los pasos para generar números aleatorios son: 1. Especifique el tipo de distribución de probabilidad en la caja de diálogo del ingreso de

datos. 2. Use la caja de diálogo de las Opciones de Análisis para especificar los parámetros de la

distribución.



3. Elija Números Aleatorios de la lista de opciones de la tabla y luego seleccione Opciones de Ventana.

4. En la caja de diálogo de las Opciones de Ventana, especifique cuántos números aleatorios se deberán generar.

5. Elija Salvar Resultados para colocar los números aleatorios en la hoja de datos. Cada vez que seleccione Salvar Resultados, se generará un conjunto diferente de números aleatorios. El método empleado para generar números aleatorios depende de la distribución elegida. Muchas de las distribuciones usan el método de la transformación inversa, en el cual un conjunto de n números aleatorios Ui se generan a partir de una distribución uniforme sobre el intervalo (0,1) y luego se convierten a la distribución deseada con

)(1ii UFX −= (1)

Los números aleatorios uniformes se generan usando tres generadores de congruencia lineal diseñados de manera que dan la misma secuencia aleatoria en cualquier computadora (dada la misma semilla). STATGRAPHICS establece la semilla con base en el tiempo en que es cargado, de manera que cada sesión generará una secuencia diferente de números aleatorios. Los métodos para generar números aleatorios se resumen a continuación:

Distribución Método Bernoulli Si U≤p, X=1. Si no X=0. Binomial Suma de n variables aleatorias Bernoulli Binomial negativa k + (suma de k variables aleatorias geométricas) Geométrica

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− )1ln(

)ln((int)

pU i

Hipergeométrica Generación de m éxitos de una población finita de tamaño n sin reemplazo

Poisson Usa la relación entre las variables aleatorias Poisson y exponencial (vea Law y Kelton).

Uniforme discreta (int)uniforme(a,b+1) Beta

21

1

YYY+

donde Y1~gamma(α1,1) y Y2~gamma(α2,1)

Beta (4 parámetros) Variable aleatoria beta. Birnbaum-Saunders ( )

44

222 θββ ZZ +

donde Z ~ normal(0,1) Cauchy

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

2

1

ZZ

βθ

donde Z1~normal(0,1) y Z2~normal(0,1)



Chi-cuadrada gamma(ν/2,0.5) Chi-cuadrada no central

Si ν es entero,

( )2

1

/∑=

+ν

νλi

iZ

donde Zi~normal(0,1). Si no método de transformación inversa numérica.

Erlang

αβ

α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−∏

=1

lni

iU

Exponencial Método de transformación inversa. Exponencial (2 parámetros)

Variable aleatoria exponencial trasladada.

Exponencial potencia Método de transformación inversa numérica. F

22

11

//vYvY

donde Y1~chicuadrada(v1) y Y2~chicuadrada(v2)

F no central

22

11

//vYvY

donde Y1~chicuadrada no central(v1,λ) y Y2~chicuadrada(v2)

Gamma Si α=1, exponencial(λ). Si no método de aceptación-rechazo (vea Law y Kelton).

Gamma (3 parámetros)

Variable aleatoria gamma trasladada.

Gamma generalizada Método de transformación inversa numérica. Gaussiana inversa Método Micael/Schucany/Hass (vea Gentle) Laplace Método de transformación inversa. Logística Método de transformación inversa. Logística generalizada Método de transformación inversa numérica. Loglogística Método de transformación inversa. Loglogística (3 parámetros)

Variable aleatoria loglogística trasladada.

Lognormal exp[normal(μ,σ)] Lognormal (3 parámetros)

Variable aleatoria lognormal trasladada.

Maxwell 23

22

21 XXXa +++

donde X1, X2, y X3 ~ normal(0,b) Mitad normal Genera X~normal(μ,σ).

Si X≥μ, devuelve X. Si no devuelve 2μ-X.

Normal Método polar (vea Law y Kelton). Normal plegada |X| donde X ~ normal(μ,σ) Pareto Método de transformación inversa. Pareto (2 parámetros) Variable aleatoria Pareto trasladada.



Rayleigh )log(Uba −+ t de Student

ν/1

1

YZ

donde Z1~normal(0,1) y Y1~chicuadrada(ν)

t no central νλ

/)(

1

1

YZ +

donde Z1~normal(0,1) y Y1~chicuadrada(ν)

Triangular Método de transformación inversa. Uniforme a+(b-a)U Valor extremo máximo

Método de transformación inversa.

Valor extremo mínimo Método de transformación inversa. Weibull Método de transformación inversa. Weibull (3 parámetros)

Variable aleatoria Weibull trasladada.

Opciones de Ventana

• Tamaño: elija el número n de números aleatorios a generarse. Después de elegir el tamaño,

haga clic en Salvar Resultados para salvar los números aleatorios en la hoja de datos.

Funciones Masa/de Densidad Esta ventana grafica la función de densidad de probabilidad f(X) para distribuciones continuas (p.d.f. probability density function) o la función masa de probabilidad p(x) para distribuciones discretas (p.m.f. probability mass function).



Media,Desv. Est.10,110,210,3

Normal

-5 0 5 10 15 20 25x

0

0.1

0.2

0.3

0.4de

nsid

ad

Para una distribución continua tal como la distribución normal, el área bajo la función de densidad sobre un intervalo de valores de X es igual a la probabilidad de que X caiga dentro de ese intervalo. Cuando se grafica la p.d.f. (función de densidad de probabilidad) para una sola distribución continua, se pueden usa las Opciones de Ventana para especificar áreas que se sombrearán en el gráfico:

• Sombreado: especifica una o más regiones a ser sombreadas. Las áreas especificadas se indicarán en el gráfico y se desplegará la probabilidad asociada con la suma de todas las áreas sombreadas:



Media,Desv. Est.10,1

Normal Probabilidad = 0.9545

5 7 9 11 13 15x

0

0.1

0.2

0.3

0.4de

nsid

ad

FDA Esta ventana grafica F(X) la función de distribución acumulada.


Normal

-5 0 5 10 15 20 25x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

prob

abili

dad

acum

ulad

a

F(X) es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual a X.

Función de Supervivencia Esta ventana grafica la función de supervivencia S(X), definida por S(X) = 1 – F(X) (2) donde F(X) es la función de distribución acumulada.




Normal

-5 0 5 10 15 20 25x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1pr

obab

ilida

d de

sup

ervi

venc

ia

S(X) es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria sea mayor que X. El nombre de la función deriva de situaciones donde X representa el tiempo de vida de un individuo o un producto. En ese caso, S(X) es la probabilidad de que un individuo sobreviva al menos X unidades de tiempo.

Función Log de Supervivencia Esta ventana grafica el logaritmo de la función de supervivencia S(X), la cual está definida por S(X) = 1 – F(X) (3)


Normal

-5 0 5 10 15 20 25x

-37

-27

-17

-7

3

prob

. de

log

supe

rviv

enci

a

Función de Riesgo La función de riesgo representa la distribución condicional de una variable aleatoria dado que es al menos X. Para distribuciones continuas, está definida por



H(X) = f(x) / S(X) (4) donde f(x) es la función de densidad de probabilidad y S(X) es la función de supervivencia. Para distribuciones discretas, está definida por H(X) = p(x+1) / S(X) (5) donde p(x) es la función masa de probabilidad.


Normal

-5 0 5 10 15 20 25x

0

2

4

6

8

10

12

riesg

o

En análisis de supervivencia, la función de riesgo representa la tasa de fallo condicional, i.e., la probabilidad de fallo en el siguiente incremento pequeño de tiempo dado que un individuo ha sobrevivido hasta el tiempo X.

Salvar Resultados Se pueden salvar en la hoja de datos los siguientes resultados: • Números aleatorios para la Dist. #: un conjunto de números aleatorios generados a partir de

la distribución especificada. El tamaño del conjunto se determina en la caja de diálogo de las Opciones de Ventana para la ventana Números Aleatorios.

Definiciones STATGRAPHICS genera resultados para 45 diferentes distribuciones de probabilidad, 7 para variables aleatorias discretas y las otras 38 para variables aleatorias continuas. Cada una de las distribuciones tiene 1 o más parámetros, que son o especificados por el usuario o estimados a partir de la muestra de datos.

Distribución Bernoulli Rango de X: 0 o 1 Uso común: representación de un evento con 2 posibles resultados. En las siguientes distribuciones, el resultado principal se clasificará como un “éxito”.

PMF: xx ppxp −−= 1)1()(



Parámetros: probabilidad del éxito 0 ≤ p ≤1 Media: p Varianza: p(1-p)

Distribución Binomial Rango de X: 0, 1, 2, …, n Uso común: distribución del número de éxitos en una muestra de n ensayos Bernoulli independientes. Comúnmente usada para número de defectos en una muestra de tamaño n.

PMF: xnx ppxn

xp −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= )1()(

Parámetros: probabilidad del éxito 0 ≤ p ≤1, número de ensayos n ≥ 1. Media: np Varianza: np(1-p) Distribución Binomial Negativa (Pascal) Rango de X: 0, 1, 2, … Uso común: tiempo de espera hasta que ocurran k éxitos en una secuencia de ensayos Bernoulli independientes. Número de artículos buenos inspeccionados antes de encontrar el k-ésimo defecto.

PMF: xk ppx

kxxp )1(

1)( −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

Parámetros: probabilidad del éxito p, número de éxitos k

Media: ( )

ppk −1

Varianza: 2

)1(p

pk −

NOTA: la definición de esta distribución ha cambiado a partir de versiones previas. Las versiones anteriores incluían a k como parte de la definición de la variable aleatoria, de manera que el Rango de X era k o mayor en vez de 0 o mayor. El cambio se hizo para permitir a la distribución binomial negativa ser usada con mayor facilidad como modelo para datos de conteos sobredispersos, i.e, datos enteros donde la varianza excede a la media. Distribución Geométrica Rango de X: 0, 1, 2, … Uso común: tiempo de espera hasta que ocurra el primer éxito en una secuencia de ensayos Bernoulli independientes. Número de artículos inspeccionados antes de encontrar el primer defecto.

PMF: xppxp )1()( −=

Parámetros: probabilidad del éxito 0 ≤ p ≤1

Media: p

p−1

Varianza: 2

1p

p−

Distribución Hipergeométrica Rango de X: max(0,n-m), 1, 2, …, min(m,n) Uso común: número de artículos de un tipo dado seleccionados de una población finita con dos tipos de artículos, tales como buenos y malos. Muestreo de aceptación a partir de lotes de tamaño fijo.



PMF:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

nN

xnmN

xm

xp )(

Parámetros: tamaño de la población N, número de artículos 0 ≤ m ≤ N, tamaño de la muestra n

Media: Nmn

Varianza:

( )( )( ))1(

1

−

−−

N

nNNm

Nmn

Distribución Poisson Rango de X: 0, 1, 2, … Uso común: número de eventos ocurridos en un intervalo de tamaño fijo cuando los eventos ocurren independientemente. Modelo común para número de defectos por unidad.

PMF: !

)(xexp

x λλ −

=

Parámetros: media λ > 0

Media: λ

Varianza: λ Distribución Uniforme Discreta Rango de X: a, a+1, a+2, …, b Uso común: distribución de una variable de valor entero con límites superior e inferior.

PMF: 1

1)(+−

=ab

xp

Parámetros: límite inferior a, límite superior b ≥ a.

Media: 2

ba +

Varianza: 12

1)1( 2 −+− ab

Distribución Beta

Rango de X: 0 ≤ X ≤ 1 Uso común: distribución de una proporción aleatoria.

PDF: ),(

)1()(21

11 21

αα

αα

Bxxxf

−− −=

Parámetros: forma α1 > 0, forma α2 > 0

Media: 21

1

ααα+

Varianza: ( ) ( )2

212

21

21

1+++ αααααα

Distribución Beta (4 parámetros)

Rango de X: a ≤ X ≤ b



Uso común: modelo para una variable con ambos límites inferior y superior. Frecuentemente usada como una distribución previa para análisis Bayesiano.

PDF: 121

11

21

21

))(,()()()( −+

−−

−−−

= αα

αα

αα abBxbaxxf

Parámetro: forma α1 > 0, forma α2 > 0, límite inferior a, límite superior b > a

Media: 21

1

ααα+

+ba

Varianza: ( )( ) ( )2

212

21

221

1+++−

αααααα ab

Distribución Birnbaum-Saunders Rango de X: X > 0 Uso común: modelo para el número de ciclos necesarios para que una fisura crezca a un tamaño para que ocurra una fractura.

PDF: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=

xx

xx

x

xf θθβ

φβ

θθ 1

2)( donde φ(z) es la pdf normal estándar

Parámetros: forma β > 0, escala θ > 0

Media: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

21

2βθ

Varianza: ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

451

22 βθβ

Distribución Cauchy Rango de X: todas las X reales Uso común: modelo para datos de mediciones con colas más largas y aplanadas que la distribución normal.

PDF: ( )[ ] 11

21)(

−+

−=

βθ

πβxxf

Parámetros: moda θ, escala β > 0 Media: no definida Varianza: no definida Distribución Chi-Cuadrada

Rango de X: X ≥ 0 Uso común: distribución de la varianza muestral s2 de una población normal.

PDF:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

=−−

22

)(2/

2/2/)2(

vexxf

v

xv

Parámetros: grados de libertad ν > 0

Media: ν

Varianza: 2ν Distribución Chi-Cuadrada No Central

Rango de X: X ≥ 0



Uso común: usada para calcular la potencia de una prueba chi-cuadrada.

PDF: ( )jexec

jxf j

xjc

j

j +Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= +

−−+−

∞

=∑ 2/22!

1)( 2/

2/12/2/

0 νν

ν

Parámetros: grados de libertad ν > 0, no centralidad c ≥ 0

Media: c+ν

Varianza: ( )c22 +ν

Distribución Erlang Rango de X: X ≥ 0

Uso común: longitud del tiempo antes de α llegadas en un proceso Poisson.

PDF: ( )α

λ λαα

Γ=

−− xexxf1

)(

Parámetros: entero forma α ≥ 1, escala λ > 0

Media: λα

Varianza: 2λα

Distribución Exponencial Rango de X: X > 0 Uso común: tiempo entre llegadas consecutivas en un proceso Poisson. Tiempo de falla de artículos con una tasa de riesgo constante.

PDF: xexf λλ −=)(

Parámetros: media λ > 0

Media: λ1

Varianza: 2

1λ

Distribución Exponencial (2 parámetros)

Rango de X: X > θ Uso común: modelo para tiempos de falla con un límite inferior.

PDF: ( )θλλ −−= xexf )(

Parámetros: umbral θ, escala λ > 0

Media: λ

θ 1+

Varianza: 2

1λ

Distribución Exponencial Potencia Rango de X: todas las X reales Uso común: distribución simétrica con parámetro que controla la curtosis. Casos especiales incluyen a las distribuciones normal y Laplace.



PDF: ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+Γ=

+

++

)1/(2

2/)1(1 21exp

22

11

1)(β

β φμ

φβxxf

Parámetros: media μ, forma β ≥ -1, escala φ > 0

Media: μ

Varianza:

( )

( )2)1(

121

123

2 φβ

ββ

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +Γ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +Γ

+

Distribución F

Rango de X: X ≥ 0 Uso común: distribución del cociente de dos varianzas independientes estimadas a partir de una población normal.

PDF:

( )( ) ( )( )

2/)(22

2/)2(2)(

2/2/

wvvxw

wv

vxwvwv

xf

wv

++ΓΓ

−+Γ

=

Parámetros: grados de libertad del numerador v > 0, grados de libertad del denominador w > 0

Media: 2−w

wsi w > 2

Varianza: )4(2)2(

)2(22

−−

−+

wwv

wvwsi w > 4

Distribución F No Central

Rango de X: X ≥ 0 Uso común: usada para calcular la potencia de una prueba F.

PDF: ( )

( ))2/)((2/

2/

01

2/,2//

2!1)(

jwvjvc

j

jx

wv

wjvBwvec

jxf

++−+−

∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

Parámetros: grados de libertad del numerador v > 0, grados de libertad del denominador w > 0, no centralidad c > 0

Media: ( )( )2−

+wv

cvw si w > 2

Varianza: ( ) ( )( )( ) ( )42

2222

22

−−

−+++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

wwwcvcv

vw si w > 4

Distribución Gamma

Rango de X: X ≥ 0 Uso común: modelo para medidas sesgadas positivamente. Tiempo para completar una tares, tal como una reparación.

PDF: ( )αλ λαα

Γ=

−− xexxf1

)(

Parámetros: forma α >0, escala λ > 0

Media: λα



Varianza: 2λα

Distribución Gamma (3 parámetros)

Rango de X: X ≥ θ Uso común: modelo para datos sesgados positivamente con un límite inferior fijo.

PDF: ( )

( )αλ θλαα

Γ=

−−− xexxf1

)(

Parámetros: forma α >0, escala λ > 0, umbral θ

Media: λαθ +

Varianza: 2λα

Distribución Gamma Generalizada Rango de X: X > 0 Uso común: distribución general que contiene a las distribuciones exponencial, gamma, Weibull, y lognormal como casos especiales.

PDF: ( )( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+

Γ= −

−

− ))ln(exp(lnexp1)( 22

2

2 λλλλ

λλσλ wwx

xf

donde w = [log(x) – μ] / σ.

Parámetros: localización μ, escala σ > 0, forma λ > 0

Media: ( )2

2

2 )ln(exp −

−

−

Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

λ

λλσ

λλσμ

Varianza: ( ) ( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ

−Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + −

−

−

−

−22

22

2

22

2

22

)ln(expλ

λλσ

λ

λλσ

λλσμ

Distribución Gaussiana Inversa Rango de X: X > 0 Uso común: tiempo de la primer travesía en el movimiento Browniano.

PDF: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= 2/

1)2/exp(

1)( z

z

ee

zxxf βφ

β donde z = ln(x/θ)

Parámetros: media θ > 0, escala β > 0

Media: θ

Varianza: β

θ 2

Distribución Laplace (Doble Exponencial) Rango de X: todas las X reales Uso común: distribución simétrica con un pico pronunciado y largas colas.



PDF: μλλ −−= xexf

2)(

Parámetros: media μ, escala λ > 0

Media: μ

Varianza: 2

2λ

Distribución Logística Rango de X: todas las X reales Uso común: usada como modelo para crecimiento y como una alternativa a la distribución normal.

PDF: [ ]2)exp(1

)exp(1)(z

zxf+

=σ

donde σ

μ−=

xz

Parámetros: media μ, desviación estándar σ > 0

Media: μ

Varianza: σ2 Distribución Logística Generalizada Rango de X: todas las X reales Uso común: usada para el análisis de valores extremos. Puede ser sesgada o a la izquierda o a la derecha, dependiendo del parámetro de forma.

PDF: ( )( )[ ] γκμ

κμκγ

+−−+−−

= 1/)(exp1/)(exp)(

xxxf

Parámetros: localización μ, escala κ > 0, forma γ > 0

Media: [ ]κγμ )(5226.0 Ψ++ donde Ψ(z) es la función digamma

Varianza: 2

2

)('6

κγπ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Ψ+

Distribución Loglogística Rango de X: X > 0 Uso común: usada para datos donde los logaritmos siguen una distribución logística.

PDF: [ ]2)exp(1

)exp(1)(z

zx

xf+

=σ

donde σ

μ−=

)ln(xz

Parámetros: mediana exp(μ), escala σ > 0

Media: ( ) ( )σσμ −Γ+Γ 11)exp(

Varianza: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]σσσσμ −Γ+Γ−−Γ+Γ 112121)2exp( 22

Distribución Loglogística (3 parámetros)

Rango de X: X > θ Uso común: usada para datos donde los logaritmos siguen una distribución logística después de restar un valor umbral.

PDF: [ ]2)exp(1

)exp(1)(z

zx

xf+

=σ

donde σ

μθ −−=

)ln(xz

Parámetros: mediana exp(μ), escala σ > 0, umbral θ

Media: ( ) ( )σσμθ −Γ+Γ+ 11)exp(



Varianza: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]σσσσμ −Γ+Γ−−Γ+Γ 112121)2exp( 22

Distribución Lognormal Rango de X: X > 0 Uso común: usada para datos donde los logaritmos siguen una distribución normal.

PDF: ( )

2

2

2

ln

21)( σ

μ

σπ

−−

=x

ex

xf

Parámetros: localización μ, escala σ > 0

Media: 2/2σμ +e

Varianza: ( )1222 −+ σσμ ee

Distribución Lognormal (3 parámetros)

Rango de X: X > θ Uso común: usada para datos donde los logaritmos siguen una distribución normal después de restar un valor umbral.

PDF: ( )( )

2

2

2ln

2)(1)( σ

μθ

σπθ

−−−

−=

x

ex

xf

Parámetros: localización μ, escala σ > 0, umbral θ

Media: 2/2σμθ ++ e

Varianza: ( )1222 −+ σσμ ee

Distribución Maxwell

Rango de X: X > θ Uso común: la velocidad de una molécula en un gas ideal.

PDF: ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

−=

2

3

2

21exp2)(

βθ

βθ

πxxxf

Parámetros: escala β > 0, umbral θ

Media: πβθ /8+

Varianza: ( )πβ /832 −

Distribución Mitad Normal

Rango de X: X ≥ μ Uso común: distribución normal doblada por su media.

PDF: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=2

21exp21)(

σμ

πσxxf

Parámetros: escala σ > 0, umbral μ

Media: σπ

μ 2+

Varianza: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

πσ 212

Distribución Normal



Rango de X: todas las X reales Uso común: ampliamente usada para datos de mediciones, particularmente cuando la variabilidad tiene muchos orígenes.

PDF:

( )2

2

2

21)( σ

μ

σπ

−−

=x

exf

Parámetros: media μ, desviación estándar σ > 0

Media: μ

Varianza: σ2 Distribución Normal Plegada

Rango de X: X ≥ 0 Uso común: valores absolutos de datos que siguen una distribución normal.

PDF: 2

22

22cosh21)( σ

μ

σμ

πσ

+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

x

exxf

Parámetros: localización μ > 0, escala σ ≥ 0

Media: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Φ−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

σμμ

σμ

πσ 21

2exp2

2

2

donde Φ(z) es una cdf normal estándar

Varianza:

2

2

222

22exp2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+ μ

σμ

σμ

πσσμ erf

Distribución Pareto

Rango de X:X ≥ 1 Uso común: modelo para muchas cantidades socio-económicas con colas superiores muy largas.

PDF: 1)( −−= ccxxf

Parámetros: forma c > 0

Media: 1−c

c si c > 1

Varianza: ( )( )212 −− cc

csi c > 2

Distribución Pareto (2 parámetros)

Rango de X:X ≥ θ Uso común: distribución de cantidades socio-económicas con un límite inferior.

PDF: 1)( −−= cc xcxf θ

Parámetros: forma c >0, umbral θ ≥ 0

Media: 1−c

cθsi c > 1

Varianza: ( )( )2

2

12 −− cccθ

si c > 2

Distribución Rayleigh

Rango de X:X > θ Uso común: la distancia entre artículos inmediatos en un patrón generado por un proceso Poisson.



PDF: ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

=22

exp2)(β

θβ

θθ

xxx

xf

Parámetros: escala β > 0, umbral θ

Media: 2/πβθ +

Varianza: ( )4/12 πβ −

Distribución t de Student Rango de X: todas las X reales Uso común: distribución de referencia para la media muestral cuando se muestrea de una población normal con varianza desconocida.

PDF: ( )[ ]

( )2

2/)1(21

21

)( vv

v

vxv

xfΓ

+−+

+Γ

=π

Parámetros: grados de libertad v ≥ 1 Media: 0

Varianza: 2−v

v si ν > 2

Distribución t No Central Rango de X: todas las X reales Uso común: usada para calcular la potencia de una prueba t.

PDF: ( ) ( )[ ]( ) ( )

2/)1(2

2/)1(2/

01

2/12/2/12

!1)(

2++−

+−

∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΓΓ++Γ

= ∑j

j

jc

j

j

xxjecj

xfν

νννν

Parámetros: grados de libertad ν > 0, no centralidad c ≥ 0

Media: ( ) ( )[ ]( ) c

2/2/12/ 2/1

νννΓ

−Γ

Varianza: ( ) ( ) ( )[ ]( )

22/12

2/2/12/1

2 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Γ−Γ

−+−

ccν

ννν

ν

Distribución Triangular

Rango de X: a ≤ X ≤ b Uso común: frecuentemente usada como un primer modelo en ausencia de datos.

PDF: cxcbab

xbxf

cxacabax

xf

≥−−

−=

≤−−

−=

,))(()(2

)(

,))(()(2

)(

Parámetros: límite inferior a, moda c≥a, límite superior b≥c

Media: 3

cba ++

Varianza: 18

222 bcacabcba −−−++



Distribución Uniforme

Rango de X: a ≤ X ≤ b Uso común: modelo para una variable con igual probabilidad de caer en cualquier intervalo del mismo tamaño.

PDF: ab

xf−

=1)(

Parámetros: límite inferior a, límite superior b≥a

Media: 2

ba +

Varianza: ( )

12

2ab −

Distribución Valor Extremo Máximo Rango de X: todas las X reales Uso común: distribución del valor máximo en una muestra de muchas distribuciones. También usada para datos de medidas sesgadas positivamente.

PDF: ( ){ }ββ

αβ

axxxf −−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−= expexp

1)(

Parámetros:

Media: α+βΓ−1(1)

Varianza: 6

22πβ

Distribución Valor Extremo Mínimo Rango de X: todas las X reales Uso común: distribución del valor mínimo en una muestra de muchas distribuciones. También usada para datos de medidas sesgadas negativamente.

PDF: ( ){ }ββ

αβ

axxxf −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= expexp

1)(

Parámetros: moda α, escala β > 0

Media: α−βΓ−1(1)

Varianza: 6

22πβ

Distribución Weibull

Rango de X: X ≥ 0 Uso común: ampliamente usada en análisis de confiabilidad para modelar tiempos de falla de productos.

PDF: αβα

αβα )/(1)( xexxf −−=

Parámetros: forma α > 0, escala β > 0

Media: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γαα

β 1

Varianza: ( ) ( )[ ]211222

ααααβ

Γ−Γ



Distribución Weibull (3 parámetros)

Rango de X: X ≥ θ Uso común: usada para tiempos de falla de productos con un límite inferior.

PDF: ( ) ( )[ ]ααα βθθ

βα /exp)( 1 −−−= − xxxf

Parámetros: forma α > 0, escala β > 0, umbral θ

Media: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ+αα

βθ 1

Varianza: ( ) ( )[ ]211222

ααααβ

Γ−Γ

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Distribuciones de Probabilidad - Statgraphics · Gamma (3 parámetros) Variable aleatoria gamma trasladada. Gamma generalizada Método de transformación inversa numérica. Gaussiana