Verificao de um programa de computador para simulao de escoamentos viscoelasticos
Joana Malheiro*, Paulo J. Oliveira* e Fernando T. Pinho**
* Departamento de Engenharia Electromecnica
Universidade da Beira Interior
Calada Fonte do Lameiro Covilh
Telf: +351 275 329952; e-mail: [email protected], [email protected]
** Departamento de Engenharia Mecnica
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
Rua Dr. Roberto Frias, 4200-465 Porto
Telf: +(351) 22 508 1597; e-mail: [email protected]
Resumo Neste trabalho foi investigada a aplicao de um cdigo computacional para fluidos viscoelasticos quando estes
so sujeitos a um escoamento pulsante. O problema
considerado aparentemente simples, dependente do tempo e
de soluo analtica conhecida. O escoamento gerado por um
gradiente de presso oscilante peridico imposto a um
escoamento Poiseuille constante entre duas placas infinitas
paralelas. Os resultados foram obtidos para os modelos
reolgicos Oldroyd-B e UCM, para os quais foi avaliado o
efeito do nmero de elasticidade (E), e expressos no tempo e
no espao. Observamos que a variao do nmero de
elasticidade afecta a velocidade ao longo do tempo e atravs
do canal, dependendo da razo de viscosidadedo modelo.
Dependendo das condies do escoamento, foi obtida boa
concordncia entre os resultados numricos e analticos, no
entanto, em algumas situaes foram necessrios
refinamentos da malha.
1. Introduo
Embora a soluo de problemas no estacionrios de
escoamentos viscoelasticos seja de grande importncia,
quer por muitos escoamentos de interesse ocorrem em
regime varivel, quer devido tendncia dos sistemas no-
newtonianos desenvolverem instabilidades ao longo do
tempo, existe uma lacuna de casos teste capazes de avaliar
o comportamento numrico dos cdigos existentes. No
trabalho de Duarte et al [1], que deu origem presente
investigao, foi verificado que o escoamento pulsante de
fluidos viscoelasticos era vantajoso relativamente ao start-
up para avaliar os cdigos existentes pois: (i) peridico,
por isso, menos sensvel s condies iniciais e os
resultados numrico podem ser verificados a cada perodo;
(ii) no geram choques que do origem a
descontinuidades do gradiente de velocidade; e (iii) o
controlo do erro de discretizao e razo de convergncia
melhor conseguido. No entanto, em Duarte et al [1] o
escoamento pulsante foi estudado apenas para E = 1. No
presente trabalho, o cdigo numrico de simulao foi
aplicado a um escoamento pulsante resultante da aplicao
de um gradiente de presso que varia sinusoidalmente no
tempo sobre um escoamento de Poiseuille constante entre
duas placas infinitas paralelas. Os resultados numricos e
analticos foram obtidos para dois modelos reolgicos
viscoelasticos (Oldroyd-B e UCM) e foram comparados
para diferentes valores de elasticidade, E = 0.01, 0.1, 1, 10
e 100.
Para estudar o efeito da elasticidade, em escoamento
pulsante de fluidos no-newtonianos, foi necessrio
diminuir o tamanho dos passos no tempo quando se
aumentava a elasticicdade devido elevada frequncia
esperada e observada para valores elevados de E.
A velocidade foi analisada no tempo (velocidade no plano
central do canal) e no espao (perfis transversais de
velocidade) para diferentes valores de elasticidade e os
erros de discretizao correspondentes foram avaliados.
2. Equaes de Governo
Em CFD (Computational Fluid Dynamics) a simulao
numrica requer a soluo simultnea de trs equaes: a
equao da continuidade, a equao do movimento e a
equao constitutiva. A equao da continuidade e do
momento linear, na ausncia de foras gravitacionais so
expressas por:
. 0 u e 2s
Dp
Dt
uu (1)
onde u o vector de velocidade local de componentes u e v
que correspondem s coordenadas cartesianas x e y,
respectivamente, para um problema bi-dimensional, p
o gradiente de presso, s
viscosidade do solvente, e o
tensor da tenso elstica. A forma geral da equao
constitutiva, para os modelos viscoelasticos considerados,
pode ser escrita como:
2 pf f
D (2)
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]
onde f e f so funes de invariantes de que tomam o
valor de 1f f para os modelos UCM e Oldroyd-B,
D o tensor da taxa de deformao,
a derivada
convectiva superior do tensor das tenses, p
a
viscosidade do soluto polimrico e o tempo de
relaxao. As viscosidades do solvente e do soluto
polimrico esto relacionadas:
0 s p e
0
s r
(3)
onde 0
o coeficiente de viscosidade total, r o tempo de
retardao do fluido e define a contribuio da
viscosidade do solvente, caracterizando a natureza elstica
do fluido, conjuntamente com o tempo de relaxao, . Nas
equaes (1) e (2), quando = 0 a equao constitutiva
Newtoniana recuperada com viscosiadade 0
. Para o
fluido UCM a viscosidade do solvente zero (
0 0s
), i.e., tem apenas a contribuio da
viscosidade polimrica, sendo desprovido de qualquer
termo difusivo explcito na equao da quantidade de
movimento. O modelo Oldroyd-B, que tem a contribuio
das viscosidades de solvente e do polmero em diferentes
propores ( 0 1 ) torna-se uma combinao linear
dos modelos UCM ( = 0) e Newtoniano ( = 1). No
presente problema, que envolve o escoamento em canal
plano em condies completamente desenvolvidas, sujeito
a um gradiente de presso sinusoidal:
1
coss odp
K K tdx
(4)
a equao da continuidade automaticamente satisfeita, a
equao do momento linear reduz-se a:
2
2
xy
s
u dp u
t dx yy
(5)
e a equao constitutiva para a componente de corte da
tenso passa a ser escrita como:
xy
xy p
u
t y
(6)
Na Eq.(4) KO a amplitude do gradiente de presso
oscilante, a frequncia angular da oscilao
correspondendo a um perodo 2 /T , e a magnitude
do gradiente de presso estacionrio s
K . So
consideradas condies de no-escorregamento junto s
paredes do canal, localizadas a y h onde h metade
da altura total do canal,
, 0u y h t , para 0t (7)
e o escoamento inicia-se sob condies quiescentes,
, 0 0u y t , para h y h (8)
Para a resoluo do sistema de equaes todas as variveis
foram usadas na forma adimensional,
/t t T , /y y h
/ su u u onde
2
0/ 3
s su K h
(9)
0/ /
xy xy su h
Os grupos adimensionais mais importantes so o nmero
de elasticidade, o nmero de Womersley e a razo do
gradiente de presso,
= 0
2, =
0 e
(10)
A soluo analtica para a velocidade dada em Duarte et
al [1] e ser usada para comparar com os resultados
numricos obtidos,
2 2
cosh33, 1 Re 1 exp 2
2 cosh
oth
s
ZyKu y t y i it
K Z
(11)
onde
1/ 22
2
1
1
i EZ i
i E
.
O erro de discretizao baseado na norma Euclideana
aplicada velocidade axial, avaliada quer por integrao
na seco transversal do canal ou como valor mdio num
perodo:
21
, ,y i th ii
e t u y t u y tNY
ou 1
( )periodt
e e tN
(12)
Onde uy a soluo numrica numa malha com NY
volumes de controlo com espaamento 1/y NY e Nt o
nmero total de passos no tempo num perodo, com t =
1/Nt.
2. Mtodo Numrico
Foi usado um mtodo implcito de volumes-finitos. As
equaes de governo foram integradas no espao num
volume de controlo atravs do mtodo de diferenas
centradas e no tempo em pequenos passo no tempo atravs
do mtodo dos trs nveis temporais de forma a obter um
sistema de equaes algbricas linearizadas. Ambos os
mtodos so de segunda ordem e so aplicados em malha
com espaamento uniforme na direco de y, onde as
variveis dependentes esto localizadas no centro do
volume de controlo. A equao algbrica linearizada
apresenta a seguinte forma geral,
1 1 1n n nP P N N S Sa a a b
(13)
onde = u ou xy, aP o coeficiente do centro do volume de controlo da clula em questo, aN e aS so os
coeficientes do volume de controlo nas fronteiras norte e
sul, respectivamente, b o termo fonte que incorpora todos
os termos que no esto includos nos coeficientes e o
ndice superior n denota os nveis de tempo. Este sistema
tri-diagonal de equaes foi resolvido com o algoritmo
para matrizes tridiagonais TDMA.
2. Resultados e Discusso
Os resultados obtidos so apresentados e discutidos nesta
seco. Foram considerados dois modelos reolgicos,
Oldroyd-B e UCM, para os quais foi estudado o efeito da
elasticidade no escoamento pulsante para E = 0.01, 0.1, 1,
10 e 100. Os perfis de velocidade numricos e analticos
foram apresentados no tempo e no espao e comparados,
tendo em ateno o refinamento da malha, os erros de
discretizao e convergncia. Os valores da frequncia
adimensional ( = 4.864) e da razo do gradiente de
presso (KO/KS = 2.587) so fixos [1]. Por ser esperada
uma resposta de elevada frequncia para valores elevados
de elasticidade, foram usados diferentes passos no tempo
para os diferentes valores de E. Assim, para E = 0.01, 0.1 e
1 foi usado t = 2 10-2
; para E = 10 foi t = 2 10-4
e
para E = 100 o passo no tempo usado foi t = 2 10-5
.
Para melhorar a preciso dos resultados numricos obtidos
em determinadas condies de elasticidade foram
utilizadas seis malhas diferentes com 100, 200, 400, 800,
1000 e 2000 volumes de controlo, i.e., com espaamentos
de y = 0.02, 0.01, 0.005, 0.0025, 0.002 e 0.001 (para um
domnio no espao de y = -1 a y = +1). Os erros de
discretizao foram calculados apenas quando o
escoamento em regime oscilatrio se encontrava
completamente estabelecido.
A. Incio do escoamento pulsante
O tempo necessrio para o estabelecimento do escoamento
dos fluidos Oldroyd-B e UCM grandemente influenciado
pelo nmero de elasticidade. O estado de escoamento
completamente desenvolvido alcanado apenas para
valores muito elevados de tempo adimensional, este
comportamento ilustrado na Fig.1 onde a evoluo da
velocidade no plano central para os fluidos Oldroyd-B com
= 0.01 e UCM so apresentadas em funo do tempo.
Alm disso a amplitude e o nmero de oscilaes no
arranque do escoamento aumentam significativamente com
a elasticidade. Comparando modelos de fluidos com =
0.01 e 0, Fig.1 b) v-se que a diminuio de leva a
oscilaes com maiores amplitudes e consequentemente
maior tempo at atingir o escoamento completamente
desenvolvido. Estas oscilaes de baixa frequncia so
originadas por uma frente de onda que oscila de parede a
parede atravs do canal no inicio do escoamento.
B. Velocidade no plano central do canal
Os resultados apresentados nesta seco e nas seguintes
so para escoamento completamente desenvolvido obtidos
depois de fazer correr a simulao durante vrios ciclos at
que o ciclo fosse a repetio do anterior. Na Fig.2
apresentada a evoluo da velocidade no plano central
durante um ciclo para diferentes valores de elasticidade (E
= 0.01, 0.1, 1, 10 e 100) usando os modelos reolgicos
considerados. Nos fluidos viscoelasticos, medida que a
a)0 40 80 120
T
0
1
2
3
4
U
Oldroyd-B (=0.01)
E=0.01
E=0.1
E=1
b)0 200 400 600
T
-8
-4
0
4
8
12
U
E=10
Oldroyd-B (B=0.01)
UCM (B=0)
Fig .1. Evoluo da velocidade da linha central ao longo do
tempo durante escoamento pulsante: a) para Oldroyd-B ( = 0.01)
para nmeros de elasticidade diferentes (E = 0.01, 0.1 e 1); b)
para Oldroyd-B ( = 0.01) e UCM ( = 0) para E = 10
razo da viscosidade de solvente reduzida o efeito da
elasticidade torna-se visvel. Independentemente do valor
de , para E = 0.01 todos os fluidos apresentam igual
evoluo da velocidade. Como consequncia do aumento
da elasticidade para E = 0.1 ocorre uma diferena em fase,
que observada em todos os modelos. Quando E = 1 o
efeito da elasticidade passa a depender de . Assim,
embora o fluido Oldroyd-B com = 0.01 (Fig.2 a)) no
seja praticamente influenciado por E (a velocidade
apresenta praticamente a mesma evoluo para E = 0.01, 1,
10 e 100) para = 0.001 (Fig.2 b)) a principal diferena o
aumento das oscilaes em amplitude quando E = 1.
Observando o fluido UCM (Fig.2 c)) a velocidade no plano
central para E = 1 diferente em fase e maior em
amplitude do que para menores valores de E, tendo, no
entanto, um comportamento prximo ao apresentado pelo
fluido Oldroyd-B ( = 0.001). J para E = 10 e 100 mostra
uma reduo e um aumento significativo respectivamente
em termos de amplitude das oscilaes. Para o fluido
Oldroyd-B ( = 0.01) independentemente do nmero de
elasticidade obteve-se boa concordncia entre os resultados
numricos e as solues analticas. Quando diminudo
para 0.001 no se observou concordncia entre os
resultados apenas para E = 1. No entanto, para o fluido
UCM em que = 0 foi obtida concordncia entre os
resultados numrico e analticos apenas para valores de E
baixos (0.01 e 0.1) com a malha mais grossa (y = 1 10-
2). Nas situaes em que a concordncia no foi obtida
com esta malha procedeu-se ao seu refinamento, obtendo-
se resultados em perfeita concordncia usando malha de
espaamento y = 1 10-3
.
a)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
T
0.5
1
1.5
2
2.5
U
Oldroyd-B (=0.01)E = 0.01
E = 0.1
E = 1
E = 10
E = 100
b)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
T
0.5
1
1.5
2
2.5
U
Oldroyd-B (=0.001)E = 0.01
E = 0.1
E = 1
E = 10
E = 100
c)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
T
0.5
1
1.5
2
2.5
U
UCM (=0)E = 0.01
E = 0.1
E = 1
E = 10
E = 100
Fig .2. Evoluo da velocidade na linha central ao longo de um
perodo durante escoamento pulsante: a) e b) Oldroyd-B ( = 0.01
e 0.001); e c) UCM ( = 0) para diferentes nmeros de
elasticidade. Previses numricas com y = 1 10-2 (smbolos
coloridos), y = 1 10-3 (cruzes pretas) e solues analticas
(linhas).
C. Perfis de velocidade no espao
Na Fig.3 est ilustrado o efeito da elasticidade nos perfis
de velocidade para os modelos Oldroyd-B ( = 0.01 e
0.001) e UCM ( = 0) para um tempo angular t = 0.
Pelos resultados obtidos verifica-se que medida que a
razo de viscosidade diminuda a influncia do nmero
de elasticidade aumenta. A ausncia de oscilaes para E =
0.01 e a presena de oscilaes suaves para E = 0.1 um
comportamento geral observado nos modelos de fluidos
viscoelasticos. O fluido Oldroyd-B ( = 0.01) (Fig.3 a))
apresenta, para E = 1, oscilaes visveis, em termos de
amplitude e frequncia, relativamente a menores valores de
E, e para E = 10 e 100 aparecem pequenas oscilaes junto
parede. No modelo Oldroyd-B, para = 0.001 (Fig.3b))
as oscilaes para E = 1 aumentam em termos de
amplitude e para E = 10 e 100 as oscilaes junto parede
propagam-se at uma distncia maior das paredes,
relativamente ao modelo Oldroyd-B ( = 0.01) (Fig.3 a)).
Considerando o fluido UCM (Fig.3 c) e d)) as principais
diferenas residem no aumento da amplitude das
oscilaes para E = 1 (Fig.3 c)), enquanto para E = 10 e
100 (Fig.3 d)) as oscilaes, em vez de se concentrarem
junto parede, propagam-se ao longo de toda a seco
transversal do canal aumentando significativamente a sua
frequncia, embora com muito menores amplitudes.
Os perfis de velocidade foram tambm obtidos para quarto
instantes no tempo durante um periodo oscilatrio com
tempos angulares t = 0, 90, 180 e 270 (Fig.4). De uma
forma geral, os modelos Oldroyd-B revelam um aumento
inicial e depois uma reduo das oscilaes medida que o
numero de elasticidade aumentado de 0.01 a 100,
apresentado maiores oscilaes para E = 1. J o modelo
UCM ( = 0) apresenta uma evoluo diferente que
ilustrada na Fig.4. Os perfis de velocidade para E = 0.01
(Fig.4 a)) no apresenta oscilaes tal como acontece com
os fluidos Newtonianos [1], mas quando o nmero de
elasticidade aumentado para 0.1 aparecem suaves
oscilaes ao longo do canal. Para estes dois valores de E a
influncia do valor de no se faz notar. Para E = 1 a
propagao dos movimentos oscilante esto claramente
espalhados ao longo da seco transversal do canal
apresentando elevada amplitude e uma frequncia bem
estabelecida (4-5 ciclos). Este comportamento em muito
semelhante ao apresentado pelos modelos Oldroyd-B.
Quando E = 10, enquanto que para os modelos Oldroyd-B
as oscilaes no se estendem por toda a seco transversal
do canal mas esto restringidas a uma regio junto parede
do canal, no fluido UCM as oscilaes propagam-se por
toda a seco transversal do canal. Alm disso, a figura
mostra claramente que so necessrias malhas mais finas
para nmeros de elasticidade iguais a 1 e 10 de forma a
conseguir reproduzir numericamente os perfis tericos:
enquanto 200 volumes de controlo (y = 0.01) so
suficientes para E = 0.01 e 0.1, para E = 1 e 10 so
necessrios pelo menos 2000 volumes de controlo (y =
0.001).
D. Erros de discretizao e Convergncia do erro
A distribuio do erro de discretizao ao longo de um
ciclo foi calculado para seis malhas uniformes usando os
diferentes valores de E. Para o valor mais baixo de
elasticidade os erros revelaram um paralelismo regular,
com uma separao constante medida que os
espaamentos da malha so diminudos segundo as y1 =
y2/2, que usual em mtodos de segunda ordem precisos,
e a magnitude do erro aumenta com o nmero de
elasticidade at E = 1, a partir do qual volta a diminuir para
os modelos Oldroyd-B. Alm disso, enquanto que para E =
0.01 o erro menor que 10-3
em todas as malhas, para E =
10 o erro apenas menor do que 10-3
quando usado na
a)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
T
0
0.5
1
1.5
2
U
Oldroyd-B (=0.01)E = 0.01
E = 0.1
E = 1
E = 10
E = 100
b)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
T
0
0.5
1
1.5
2
U
Oldroyd-B (=0.001)E = 0.01
E = 0.1
E = 1
E = 10
E = 100
c)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
T
0
0.5
1
1.5
2
2.5
U
UCM (=0)E = 0.01
E = 0.1
E = 1
d)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
T
0
0.5
1
1.5
2
2.5
U
UCM (=0)E = 10
E = 100
Fig .3. Perfis de velocidade a t = 0 em regime oscilatrio dos
fluidos: a) e b) Oldroyd-B ( = 0.01 e 0.001), e c) e d) UCM ( =
0). Previses numricas com y = 1 10-2 (smbolos coloridos),
y = 1 10-3 (cruzes pretas) e solues analticas (linhas).
a)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Y
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
U
UCM (=0); E = 0.01analitico
0.01
= 180 = 270
= 90
= 0/360
b) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Y
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
U
UCM (=0); E = 0.1analitico
0.01
= 180
= 270
= 90 = 0/360
c)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Y
0
0.5
1
1.5
2
2.5
U
UCM (=0); E = 1analitico
0.01
0.001
= 0/360
= 180
= 90
= 270
d)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Y
0
0.5
1
1.5
2
2.5
U
UCM (=0); E = 10analitico
0.01
0.001
= 180
= 270
= 90
= 0/360
Fig .4. Resultados numricos (smbolos) e analticos (linhas) dos
perfis de velocidade do fluido UCM ( = 0) em regime oscilatrio
durante um ciclo para diferentes valores de E. Os resultados
numricos foram obtidos com espaamentos de y = 1 10-2
(azul) e y = 1 10-3 (laranja).
malha o espaamento y = 1 10-3
. A razo de
convergncia do erro mdio num ciclo calculado pela
Eq.(12) obtida para os diferentes modelos para diferentes
valores de elasticidade num perodo so ilustrados na Fig.5
como smbolos tal como as respectivas linhas de tendncia,
obtidas pela eq. da lei de potncias. Os grficos da Fig.5
mostram que a magnitude do erro diminui com o
refinamento da malha para todas as situaes,
apresentando, no entanto numa razo de convergncia de p
= 2.01 apenas quando E 1 de acordo com a segunda
ordem do mtodo numrico aplicado. Quando E = 10 a
ordem de convergncia diminui para aproximadamente p =
1.7 para o modelo Oldroyd-B e para p = 1.5 para o UCM.
Verifica-se tambm que para todos os fluidos a magnitude
do erro aumenta medida que E aumenta at E = 1
diminuindo, no entanto, para valores superiores a 1. O erro
aumenta tambm com a diminuio de .
3. Concluses
O problema de escoamento pulsante iniciado por Duarte et
al [1] aqui estendido para vrios valores de elasticidade.
A anlise de escoamentos de fluidos viscoelasticos
comeou com a avaliao do escoamento durante o regime
transiente at que o escoamento completamente
desenvolvido fosse atingido. Aqui, ao aumentar o numero
de elasticidade, foi necessrio mais tempo para atingir o
escoamento completamente desenvolvido e oscilaes com
maior comprimento de onda do que o imposto pelo
gradiente de presso sinusoidal, aumentando
significativamente em amplitude e frequncia. Foi tambm
mostrado que medida que tende para zero as oscilaes
da propagao de onda tambm aumentam em frequncia e
amplitude. Depois, a influncia de E foi analisada durante
um perodo atravs da observao da evoluo da
velocidade no plano central do canal. medida que
tende para zero o valor de E, nomeadamente para E 1,
tende a ter maior importncia na evoluo da velocidade.
Observou-se tambm que para o modelo Oldroyd-B apenas
se obteve boa concordncia entre os resultados numricos
e analticos com malhas y = 0.01. Por outro lado, para o
fluido UCM foi necessrio aplicar malhas mais refinados
(y = 0.001) para obter concordncia entre os resultados,
para valores E 1. Os perfis de velocidade foram
apresentados em metade do canal, primeiro para t = 0 e
depois em quatro momentos diferentes no tempo, ao longo
de um perodo, variando E. Foi observado que medida
que a elasticidade aumenta de 0.01 para 1 ocorrem
oscilaes transversas, que aumentam em termos de
amplitude at E = 1, e diminuem depois at E = 100. Em
concordncia com [1] foi observado que medida que a
elasticidade aumentada e diminudo a preciso dos
resultados numricos deteriora-se, e por isso so
necessrios maiores refinamentos da malha e do passo no
tempo para aumentar a preciso.
a)0.001 0.01 0.1
y
1E-007
1E-006
1E-005
0.0001
0.001
0.01
0.1
e
Oldroyd-B ( = 0.01)E = 0.01
E = 0.1
E = 1
E = 10
b) 0.001 0.01 0.1
y
1E-007
1E-006
1E-005
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
e
Oldroyd-B ( = 0.001)E = 0.01
E = 0.1
E = 1
E = 10
c) 0.001 0.01 0.1
y
1E-007
1E-006
1E-005
0.0001
0.001
0.01
0.1
1e
UCM ( = 0)E = 0.01
E = 0.1
E = 1
E = 10
Fig .5. Grficos de convergncia para escoamento pulsante dos
modelos de fluidos Oldroyd-B e UCM para valores diferentes de
elasticidade.
Agradecimentos
Os autores gostariam de agradecer Fundao para a
Cincia e Tecnologia pelo apoio financeiro atravs do
projecto PTDC/EME-MFE/70186/2006.
Referncias
[1] A.S.R. Duarte, A.I.P. Miranda, P.J. Oliveira, Numerical and analytical modeling of unsteady viscoelastic flows: The start-up and pulsating test case problems, Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, 154: 153169, 2008.