Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Wprowadzenie do laboratorium 1
Estymacja jednorównaniowego modelu popytu na bilety lotnicze
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Etapy budowy modelu ekonometrycznego
Specyfikacja modelu
Zebranie danych statystycznych
Estymacja parametrów modelu
Weryfikacja statystyczna modelu
Praktyczne wykorzystanie modelu
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Specyfikacja modelu
Sformułowanie celu i zakresu modelu oraz hipotez badawczych
Cele: poznawcze prognostyczne normatywne
Wybór i zdefiniowanie zmiennych endogenicznych i egzogenicznych
Wybór postaci analitycznej funkcji
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Kolejne etapy budowy modelu
Zebranie danych statystycznych
Struktura danych: dane przekrojowe szeregi czasowe dane panelowe
Estymacja parametrów modelu
z wykorzystaniem oprogramowania GRETL
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Weryfikacja modelu testowanie istotności wpływu poszczególnych zmiennych
niezależnych na zmienną zależną ( test t-Studenta oraz test F )
ocena stopnia dopasowania modelu do danych empirycznych (błąd standardowy reszt Se , współczynnik zmienności resztowej Ve , współczynnik determinacji R2 , błędy standardowe parametrów)
testowanie sferyczności / niesferyczności składnika losowego: autokorelacji składnika losowego (test Durbina-Watsona) heteroskedastyczności składnika losowego (test White’a)
ocena liniowości postaci analitycznej modelu
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Interpretacja parametrów w przypadku funkcji liniowej
Interpretuje się je jak pochodne cząstkowe:
Współczynnik âi oznacza o ile średnio zmieni się zmienna objaśniana y, jeśli zmienna objaśniająca xi wzrośnie ceteris paribus (przy niezmienionych pozostałych zmiennych objaśniających) o jednostkę.
w przypadku funkcji potęgowej
Interpretuje się je jak współczynniki elastyczności:
Współczynnik âi oznacza o ile procent średnio zmieni się zmienna objaśniana y, jeśli zmienna objaśniająca xi wzrośnie, ceteris paribus, o jeden procent.
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Kierunki wykorzystania modelu
do celów poznawczychbadanie zachowań podmiotów gospodarczych, analiza zależności ekonomicznych, badanie funkcjonowania systemów ekonomicznych, weryfikacja hipotez i teorii ekonomicznych
do celów prognostycznych
do celów normatywnych poszukiwanie efektywnych decyzji gospodarczych, analiza alternatywnych polityk ekonomicznych
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Przesłanki uwzględnienia składnika losowegow modelu ekonometrycznym:
a. niedeterministyczny charakter zjawisk społeczno-gospodarczych, konieczność uwzględnienia czynnika losowego
b. błędy wynikające z niedokładności pomiaru statystycznego, błędy obserwacji
c. błędy wynikające z nieuwzględnienia wśród zmiennych objaśniających niektórych czynników mogących mieć wpływ na kształtowanie się zmiennej objaśnianej
d. błędy wynikające z przyjętej postaci analitycznej (niedokładnie odzwierciedlającej rzeczywistą zależność funkcyjną)
Przesłanka (a) odzwierciedla immanentną, niezależną od badającego, własność zjawisk gospodarczych – niedeterministyczny, losowy charakter.
Przesłanki (b, c i d) odzwierciedlają błędy, które można ograniczyć w wyniku doskonalenia metod gromadzenia i analizy danych statystycznych oraz metod estymacji.
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Założenia modelu KMNK1. Xay (Każda obserwacja yt jest liniową funkcją obserwacji xtk oraz składnika losowego εt)
2. 0E (Składnik losowy ma wartość oczekiwaną równą zeru.)
3. IE 2 (Założenie o sferyczności składnika losowego)
3a. IE t22
(Wariancja składnika losowego jest stała, tzn. występuje jednorodność wariancji składnika losowego)
3b. tsE ts 0 (Składnik losowy jest nieskorelowany, nie występuje autokorelacja składnika losowego) 4. X jest macierzą n x (k+1) o elementach ustalonych w powtarzalnych próbach
5. nkxr 1)( Między zmiennymi objaśniającymi nie ma zależności liniowej.
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów
Z tw. Gaussa-Markowa:
Przy powyższych założeniach klasyczna metoda najmniejszych kwadratów (KMNK) daje najlepsze (o najniższej wariancji) estymatory wśród liniowych i nieobciążonych.
BLUE – Best Linear Unbiased Estimators - najlepsze nieobciążone estymatory liniowe
yXXXa TT 1)(ˆ
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Test Fishera-SnedecoraTest F Fishera –Snedecora umożliwia całościową ocenę przydatności modelu
Hipoteza 0,...,,: 210 iaaaH (wszystkie parametry przy zmiennych objaśniających są równe zero) wobec hipotezy 1H ,że przynajmniej jeden parametr jest różny od zera
Wartość statystyki F obliczona dla modelu:
11 2
2
knR
kR
F
ma rozkład F o poziomie istotności α oraz 1, 21 knsks
1}),,({ 21 ssFFP kr
}),,({ 21 ssFFP kr
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Test Fishera-Snedecora - cd),,( 21 ssFF kr ► taki wynik testu wskazuje, że brak podstaw
do odrzucenia hipotezy H0, praktycznie oznacza to, że wszystkie współczynniki stojące przy zmiennych objaśniających są nieistotnie różne od zera, a więc wszystkie zmienne objaśniające mają nieistotny statystycznie wpływ na zmienną y (podsumowując – wszystkie zmienne xi są nieistotne, żadna z nich nie ma istotnego wpływu na zmienną objaśnianą y, model jest nieprzydatny z tego punktu widzenia).
),,( 21 ssFF kr ► taki wynik testu wskazuje, że istnieją podstawy do odrzucenia hipotezy H0, tym samym należy przyjąć hipotezę H1 . Oznacza to, że przynajmniej jeden współczynnik ai jest istotnie różny od zera, a tym samym przynajmniej jedna zmienna objaśniająca ma istotny statystycznie wpływ na zmienną y (podsumowując, test oparty na statystyce F daje pozytywną, z punktu widzenia jakości dopasowania modelu, odpowiedź – oszacowany model zawiera istotne zmienne objaśniające).
gdzie ),,( 21 ssFkr – wartość krytyczna statystyki F o poziomie istotności α oraz 1, 21 knsks
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Test t-StudentaTest t-Studenta: umożliwia wyselekcjonować i odrzucić nieistotne zmienne objaśniające
0:0: 10 ii aHwobecaH
zmienna losowa ai
ii S
atˆ
ma rozkład t-Studenta o poziomie istotności α oraz
liczbie stopni swobody r (jest to obliczona wartość statystyki t-Studenta dla danej zmiennej objaśniającej xi ) Liczba stopni swobody : )1( ktr dla modelu z wyrazem wolnym lub
ktr bez wyrazu wolnego
1}),({ rttP kri }),({ rttP kri
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Test t-Studenta – cd.),( rtt kri ► taki wynik testu wskazuje, że brak podstaw do
odrzucenia hipotezy H0, praktycznie oznacza to, że współczynnik ai jest nieistotnie różny od zera, a zmienna xi ma nieistotny statystycznie wpływ na zmienną y (krótko - zmienna xi jest nieistotna).
),( rtt kri ► taki wynik testu wskazuje, że istnieją podstawy do odrzucenia hipotezy H0, tym samym należy przyjąć hipotezę H1 . Oznacza to, że współczynnik ai jest istotnie różny od zera, a zmienna xi ma istotny statystycznie wpływ na zmienną y (krótko - zmienna xi jest istotna).
gdzie ),( rtkr – wartość krytyczna statystyki t-Studenta o poziomie istotności α oraz liczbie stopni swobody r
Wykorzystując ten test należy zastosować sekwencyjną metodę odrzucania nieistotnych zmiennych objaśniających – zaczynając od zmiennych najmniej istotnych (o najniższej, co do modułu, wartości statystyki t-Studenta).
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Test t-Studenta w GRETLDla każdego parametru podawane są: wartość statystyki t-Studenta p-value - empiryczny poziom istotności (dwustronne prawdopodobieństwo
związane z rozkładem t-Studenta symboliczne oznaczenie stopnia istotności (gwiazdki)
Uwaga:
Liczba gwiazdek charakteryzuje istotność zmiennych:
*** - zmienna istotna statystycznie przy poziomie istotności 0,01;** - zmienna istotna przy poziomie istotności 0,05;* - zmienna istotna przy poziomie istotności 0,1.
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Test F a test t-Studenta
Uwaga:
Test F nie rozstrzyga czy wszystkie zmienne objaśniające są istotne, odpowiedź na takie pytanie daje test oparty na statystyce t-Studenta.
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Badanie założeń dotyczących składnika losowego Z a ł o ż e n i e o s f e r y c z n o ś c i s k ł a d n i k a l o s o w e g o :
IE 2 o z n a c z a , ż e : m a c i e r z k o w a r i a n c j i j e s t m a c i e r z ą d i a g o n a l n ą z j e d n a k o w y m i w a r t o ś c i a m i n a p r z e k ą t n e j r ó w n y m i σ 2 i z e r a m i p o z a d i a g o n a l n ą ( ξ - w e k t o r )
m o ż n a r o z b i ć n a d w a z a ł o ż e n i a :
IE t22 w y s t ę p u j e j e d n o r o d n o ś ć w a r i a n c j i s k ł a d n i k a
l o s o w e g o
N i e s p e ł n i e n i e t e g o z a ł o ż e n i a o z n a c z a , ż e w y s t ę p u j e h e t e r o s k e d a s t y c z n o ś ć s k ł a d n i k a l o s o w e g o .
tsE ts 0 s k ł a d n i k l o s o w y j e s t n i e z a l e ż n y
N i e s p e ł n i e n i e t e g o z a ł o ż e n i a o z n a c z a , ż e w y s t ę p u j e a u t o k o r e l a c j a s k ł a d n i k a l o s o w e g o .
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Test Durbina-WatsonaT e s t D u r b i n a - W a t s o n a w e r y f i k u j e b r a k / w y s t ę p o w a n i e a u t o k o r e l a c j i p i e r w s z e g o r z ę d u
H i p o t e z a 0: 10 H o z n a c z a b r a k a u t o k o r e l a c j i p i e r w s z e g o r z ę d u , w o b e c h i p o t e z y 0: 11 H .
g d z i e 1 - w s p ó ł c z y n n i k a u t o k o r e l a c j i p i e r w s z e g o r z ę d u
S t a t y s t y k a D u r b i n a - W a t s o n a d :
n
tt
n
ttt
e
eed
2
22
21 )(
p r z y b l i ż e n i e : )1(222 11 d
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Test Durbina-Watsona - cd),,( kndd L ► taki wynik testu wskazuje, że
są podstawy do odrzucenia hipotezy H0 (wniosek: występuje autokorelacja wariancji składnika losowego)
),,(),,( knddknd UL ► taki wynik testu nie rozstrzyga kwestii autokorelacji składnika losowego
),,( kndd U ► taki wynik testu wskazuje, że brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0 (wniosek: nie występuje autokorelacja wariancji składnika losowego)
),,( kndL - dolna wartość krytyczna statystyki Durbina-Watsona dla poziomu istotności α , liczebności próby n i liczby zmiennych objaśniających k
),,( kndU - górna wartość krytyczna statystyki Durbina-Watsona dla poziomu istotności α , liczebności próby n i liczby zmiennych objaśniających k
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Test Durbina-Watsona dla ujemnej korelacji
T e s t d l a u j e m n e j k o r e l a c j i : H i p o t e z a 0: 10 H o z n a c z a b r a k a u t o k o r e l a c j i p i e r w s z e g o r z ę d u , w o b e c h i p o t e z y 0: 11 H . w y k o r z y s t u j e s t a t y s t y k ę d ’ = 4 - d . D l a u j e m n e j k o r e l a c j i s t a t y s t y k a d p r z y j m u j e w a r t o ś c i z p r z e d z i a ł u ( 2 , 4 ) . W t e d y n a l e ż y d o k o n a ć p r z e k s z t a ł c e n i a : d ’ = 4 - d .
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych
błąd standardowy reszt Se
oraz współczynnik zmienności resztowej Ve
współczynnik determinacji R2 : nieskorygowany i skorygowany oraz współczynnik zbieżności φ2
błędy standardowe parametrów Sai
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Odchylenie standardowe składnika losowego
Błąd standardowy reszt:
)1(
2
kneSe
Współczynnik zmienności resztowej:
ySV e
e
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Współczynnik R2
W s p ó ł c z y n n i k d e t e r m i n a c j i R k w a d r a t ( U n a d j u s t e d R - s q u a r e d )
2
2
2
22
)(1
)()ˆ(1
yy
e
yy
yySSTSSE
SSTSSR
R
g d z i e : S S T ( t o t a l s u m o f s q u a r e s ) – c a ł k o w i t a ( o g ó l n a ) w a r i a n c j a z m i e n n e j o b j a ś n i a n e j y , s u m a k w a d r a t ó w o d c h y l e ń w a r t o ś c i e m p i r y c z n y c h o d ś r e d n i e j ( z m i e n n o ś ć c a ł k o w i t a ) S S R ( r e g r e s s i o n s u m o f s q u a r e s ) – o b j a ś n i o n a w a r i a n c j a z m i e n n e j o b j a ś n i a n e j y , s u m a k w a d r a t ó w o d c h y l e ń w a r t o ś c i t e o r e t y c z n y c h o d ś r e d n i e j ( z m i e n n o ś ć o b j a ś n i o n a ) S S E ( e r r o r s u m o f s q u a r e s ) – n i e o b j a ś n i o n a w a r i a n c j a z m i e n n e j o b j a ś n i a n e j y , s u m a k w a d r a t ó w r e s z t , c z y l i s u m a k w a d r a t ó w o d c h y l e ń w a r t o ś c i t e o r e t y c z n y c h o d e m p i r y c z n y c h ( z m i e n n o ś ć n i e o b j a ś n i o n a )
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Współczynnik zbieżności
Współczynnik zbieżności 2 : 22 1 R
2
22
)( yye
Skorygowany współczynnik determinacji (Adjusted R-squared) umożliwia porównywalność różnych modeli ekonometrycznych
)1(1
11~ 22 Rkn
nR
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Jak zapisujemy ostateczny wynik estymacji
ŷ = 54,353 - 2,871 x1 + 1,784 x2 + 0,873 x3
(29,410) (0,446) (0,539) (0,310)
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Prognozana podstawie jednorównaniowego modelu ekonometrycznego
nixaxaay ikikii ,...,1,...110
spełnione są wszystkie założenia schematu Gaussa-Markowa, wtedy MNK-estymator jest BLUE, a prognoza na okres n+s wynosi:
Tsxaxaay ksnksnsn ,...,1,...ˆ ,1,10
Jeżeli dla klasycznego modelu regresji liniowej o postaci:
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Błędy prognozy
2snsn VV
snsnsn yy ˆ
%100ˆ
*
sn
snsn y
VV
])(1[ 122 Tsn
Tsnesn xXXxSV
Błąd prognozy ex ante w okresie n+s - Vn+s :
Błąd prognozy ex post w okresie n+s - δn+s :
Względne błędy prognozy : %100ˆ
*
sn
snsn y
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________
Źródła błędów prognoza. błędy estymacji (wartości estymatorów różnią się od rzeczywistych wartości
parametrów) b. błędy struktury stochastycznej (jeśli założenia dotyczące składnika losowego nie są
spełnione, estymatory tracą pożądane własności) c. błędy losowe (wynikające z niedeterministycznego charakteru zjawisk społeczno-
gospodarczych) d. błędy pomiaru wynikające z niedokładności pomiaru statystycznego e. błędy specyfikacji:
- błędy wynikające z nieuwzględnienia wśród zmiennych objaśniających niektórych czynników mogących mieć wpływ na kształtowanie się zmiennej objaśnianej
- błędy wynikające z przyjętej postaci analitycznej, niedokładnie odzwierciedlającej rzeczywistą zależność funkcyjną f. błędy warunków endogenicznych (zmienia się siła oddziaływania między zmiennymi) g. błędy warunków egzogenicznych (błędnie przyjęte wartości zmiennych egzogenicznych
w okresie prognozy)