194
X. NOŢIUNI FUNDAMENTALE ÎN DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL ŞI RIGIDULUI
Lucrul mecanic. Puterea. Randamentul mecanic. Impulsul. Momentul cinetic. Energia mecanică.
10.1 Lucrul mecanic Se consideră forţa F constantă ca mărime, direcţie şi sens, al cărei
punct de aplicaţie parcurge drumul rectiliniu M1M2, fig.10.1.
Fig.10.1 Lucrul mecanic
Se defineşte ca lucru mecanic, mărimea scalară: r Δ⋅=⋅⋅=⋅= FαcosMMFMMFL 2121
(10.1)
NOŢIUNI FUNDAMENTALE ÎN DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL ŞI RIGIDULUI
195
Lucrul mecanic poate fi :
- lucrul mecanic motor , L> 0 , dacă ⎟⎠⎞
⎢⎣⎡∈
2π,0α ;
- lucrul mecanic rezistent , L< 0 , dacă ⎥⎦⎤
⎜⎝⎛∈ π,
2πα ;
- lucru mecanic nul, L=0, dacă 2πα = .
În S.I., unitatea de măsură pentru lucrul mecanic este Joule-ul (J). a. Lucrul mecanic elementar
Se consideră forţa variabilă F , al cărei punct de aplicaţie se deplasează pe curba C, fig.10.2a, între poziţiile succesive M1 şi M2 , atinse la timpul t respectiv la timpul t+dt. Intervalul de timp dt fiind foarte mic, se poate considera că forţa rămâne constantă, iar arcul M1M2 este egal cu coarda M1M2.
a. b.
Fig.10.2 Lucrul mecanic elementar
Prin definiţie, lucrul mecanic elementar efectuat de forţa F , este : rdFdL ⋅= (10.2)
relaţie din care, dacă forţa şi deplasarea elementară se scriu în funcţie de proiecţiile lor pe axele de coordonate, se obţine : dzFdyFdxFrdFdL zyx ++=⋅= (10.3)
FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii
196
Ţinând seama de expresia vitezei, dt
rdv = , se poate scrie :
dt )zFyFxF(vFvFvF dt vFdL xxxzzyyxx &&& ++=++=⋅= (10.4)
b. Lucrul mecanic finit
Dacă deplasarea forţei variabile F se produce pe curba (C) între două puncte A şi B, fig.10.2b, lucrul mecanic total sau finit efectuat de forţă se obţine prin descompunerea mişcării finite în mişcări elementare. Astfel, problema se reduce la cazul precedent, pentru fiecare element de arc forţa considerându-se constantă iar arcul egal cu coarda, astfel încât, însumând lucrurile mecanice elementare, se obţine :
)dzFdyFdxF( rd FL zyAB
xAB
AB ++== ∫∫
(10.5) adică, lucrul mecanic finit se exprimă printr-o integrală curbilinie, fiind dependent atât de forţă, cât şi de arcul AB parcurs.
10.2 Puterea Prin definiţie puterea reprezintă lucrul mecanic produs în unitatea
de timp. Atunci când forţa (sau momentul în cazul rigidului) sunt constante în timp, puterea se exprimă ca :
tLP =
(10.6) respectiv când forţa ori momentul sunt variabile:
dtdLP =
(10.6’)
Dacă în relaţia (10.6’), se ţine seama de (10.3) şi (10.4), rezultă :
NOŢIUNI FUNDAMENTALE ÎN DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL ŞI RIGIDULUI
197
vFdt
rd FP ⋅==
(10.7)
respectiv : ωθ⋅== M
dtd MP
(10.7’)
În S.I. unitatea de măsură pentru putere este watt-ul [W]. 10.3 Randamentul mecanic Ca randament mecanic, se defineşte raportul adimensional:
m
u
LL
=η
(10.8) în care Lm reprezintă lucrul mecanic motor obţinut ca sumă între lucrul mecanic util, Lu , (produs în scopul în care a fost proiectată maşina) şi lucrul mecanic pasiv Lp (folosit pentru învingerea frecărilor): Lm = Lu + Lp (10.9) Rezultă că randamentul se poate exprima ca :
,LL
LLL
m
P
m
Pm φη −=−=−
= 11
(10.10) unde ϕ , se numeşte coeficient de pierderi.
10.4 Impulsul
FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii
198
Prin definiţie, impulsul unui punct material M de masă m, care se deplasează cu viteza v , (fig.10.3a), este reprezentat de mărimea vectorială H , coliniară cu v :
v mH = (10.11)
a. b.
Fig.10.3 Impulsul unui punct material
În S.I. unitatea de măsură pentru impuls este kg.m/s.
10.5 Momentul cinetic Momentul cinetic faţă de un punct O, al unui punct material A de
masă m, care se deplasează cu viteza v , ( Fig.10.3b) , este reprezentat de mărimea vectorială OK :
vm x r H x rK O == (10.12)
Vectorul OK este un vector legat de punctul în raport cu care se calculează momentul cinetic, analog momentului forţei calculat în raport cu un punct, definit în statică.
În S.I. unitatea de măsură pentru momentul cinetic este kg.m2/s.
10.6 Energia mecanică Pentru un punct material de masă m care se deplasează cu viteza
v se defineşte ca energie cinetică mărimea scalară de stare, strict pozitivă:
NOŢIUNI FUNDAMENTALE ÎN DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL ŞI RIGIDULUI
199
2mv11E =
(10.13) iar ca energie potenţială, mărimea scalară V care caracterizează capacitatea mişcării nemecanice de a trece într-o anumită cantitate de mişcare mecanică. Energia potenţială se poate evidenţia când asupra unui punct material acţionează forţe conservative (ce derivă dint-o funcţie de forţă notată U).
Fie M un astfel de punct, (Fig.10.4), asupra căruia acţionează forţa conservativă F , derivată din funcţia de forţă U= U(x,y,z).
Fig.10.4 Energia potenţială a unui punct material
Dacă poziţia iniţială a punctului este Mo(xo,yo,zo) şi poziţia sa la un
moment dat este M(x,y,z) , lucrul mecanic al forţei F este : )zy,x(U)z,y,x(UUUL o,ooMMMM OO
−=−= (10.14)
Prin definiţie, energia potenţială este :
MMo,ooMM UU)z,y,x(U)zy,x(ULVoO
−=−=−= (10.15) Cum în general U(xo ,yo ,zo)=0 , rezultă că :
V= - U(x ,y ,z) (10.16)
Energia mecanică, este, prin definiţie, suma dintre energia cinetică
şi energia potenţială : VEEm +=
(10.17)
FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii
200
Impulsul, momentul cinetic şi energia cinetică reprezintă mărimi de stare, caracteristice mişcării unui punct material la un moment dat.
10.7 Teoreme generale în dinamica punctului material 10.7.1 Teorema impulsului Impulsul unui punct material M de masa m care se deplasează cu
viteza v este: vmH =
(10.18) Derivând impulsul în raport cu timpul, rezultă:
FamvmH === && (10.19)
respectiv: FH =& (10.20) Deci, derivata în raport cu timpul a impulsului este egală cu suma
forţelor care acţionează asupra punctului material. Din proiecţia pe axele sistemului cartezian a relaţiei (10.20) se obţin
ecuaţiile scalare:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
=
=
∑∑∑
izz
iyy
ixx
FH
FH
FH
&
&
&
(10.21) 10.7.2 Teorema momentului cinetic Momentul cinetic al unui punct material M de masa m şi vector de
poziţie r care se deplasează cu viteza v , calculat faţă de un punct fix O, este:
vmrHrK 0 ×=×= (10.22)
Derivând momentul cinetic în raport cu timpul, rezultă:
NOŢIUNI FUNDAMENTALE ÎN DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL ŞI RIGIDULUI
201
00 MFramrvmrvmrK =×=×=×+×= &&& (10.23)
respectiv: 00 MK =& (10.24) Deci, derivata în raport cu timpul a momentului cinetic în raport cu un punct fix O este egală cu momentul rezultant al forţelor care acţionează asupra punctului material, calculat în raport cu acelaşi punct O.
Din proiecţia pe axele sistemului cartezian a relaţiei (10.24) se obţin ecuaţiile scalare:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
=
=
∑∑∑
izz
iyy
ixx
MK
MK
MK
&
&
&
(10.25) 10.7.3 Teoremele conservării impulsului şi momentului cinetic Dacă în timpul mişcării punctul material este izolat sau rezultanta
sistemului de forţe exterioare este nulă, 0F = , atunci rezultă că 0FH ==& adică:
CconstH == , (10.26) deci impulsul se conservă. Constanta C se determină din condiţiile iniţiale. Dacă în timpul mişcării punctul material este izolat sau momentul
rezultant al forţelor exterioare este nul, 0M0 = , rezultă 0K =& , de unde:
CK0 = , (10.27)
deci momentul cinetic se conservă. Constanta vectorială C se determină din condiţiile iniţiale ale problemei studiate.
10.7.4 Teorema torsorului Teorema impulsului şi teorema momentului cinetic pot fi exprimate
sub forma teoremei torsorului, sub forma: ( ) ( )i0i FH ττ =& (10.28)
FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii
202
adică derivata în raport cu timpul a torsorului impulsurilor iH , în raport cu un punct fix O, este egală cu torsorul în raport cu acelaşi punct al forţelor
iF . Interpretarea geometrică este dată în fig.10.5, unde sunt
reprezentaţi cei doi torsori:
Fig.10.5 Interpretarea geometrică a teoremei torsorului
( )
( ) ⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎩⎨⎧
⎩⎨⎧
0i0
0i0
KH
H
MF
F
τ
τ
(10.29)
Rezultă că forţa F reprezintă viteza vârfului vectorului H , iar
momentul 0M reprezintă viteza vârfului vectorului 0K .
10.8 Momente de inerţie 10.8.1 Momente de inerţie mecanice şi geometrice Momentele de inerţie sunt mărimi ce caracterizează modul de
distribuţie a masei unui sistem de puncte materiale sau rigid. De asemenea,
NOŢIUNI FUNDAMENTALE ÎN DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL ŞI RIGIDULUI
203
prin intermediul acestor mărimi se exprimă inerţia unui corp în mişcare de rotaţie.
Se consideră un sistem de n puncte materiale Ai (i=1, ..., n), fig.10.6a, fiecare punct Ai având masa mi şi distanţa il faţă de o axă Δ, respectiv solidul rigid ce ocupă domeniul (D). Prin definiţie:
• momentul de inerţie al sistemului pe puncte materiale în raport cu axa Δ :
∑=
Δ =n
1i
2iimJ l
(10.30) • momentul de inerţie al solidului în raport cu axa Δ
∫=Δ)(D
2dmJ l
(10.30’)
a. b.
Fig.10.6 Momente de inerţie mecanice ale unui sistem de puncte materiale (a) şi ale unui corp rigid (b).
Dimensiunile şi unităţile de măsură pentru momentele de inerţie
mecanice sunt: [J] =ML2, respectiv kgm2. După cum în formulele (10.30) , (10.30’) lungimea il reprezintă distanţa la un plan, la o axă sau la un punct, se definesc momente de inerţie după cum urmează:
• Momente de inerţie planare
FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii
204
∫∫∫
∑∑∑===
===
)()()(;;
;;
D
2Oxz
D
2Oyz
D
2Oxy
2iiOxz
2iiOyz
2iiOxy
dmyJdmxJdmzJ
ymJxmJzmJ
( 10.31)
(10.31’)
• Momente de inerţie axiale
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫
∑∑∑+=+=+=
+=+=+=
)()()(;;
;;
D
22Oxz
D
22Oyz
D
22x
2i
2iiz
2i
2iiy
2i
2iix
dmyxJdmzxJdmzyJ
yxmJzxmJzymJ
( 10.32)
(10.32’)
• Moment de inerţie polar
( )( )∫ ∫
∑∑++==
++==
)( )(D D
2222O
2i
2i
2ii
2iiO
dmzyxdmrJ
zyxmrmJ
( 10.33)
(10.33’)
• Momente de inerţie centrifuge
∫∫∫
∑∑∑===
===
)()()(;;
;;
DOxz
DOyz
Dxy
iiixziiiyziiixy
dmxzJdmyzJdmxyJ
zxmJzymJyxmJ
( 10.34)
(10.34’)
Momentele de inerţie planare, axiale şi polare sunt mărimi pozitive
(în cazuri particulare momentul de inerţie planar poate fi nul dacă, de exemplu în cazul unei plăci, se calculează momentul de inerţie în raport cu planul în care se situează placa); momentele de inerţie centrifuge pot fi mărimi scalare pozitive, negative sau nule (când una din axe este axă de simetrie a corpului.
Între momentele de inerţie există relaţii de legătură, de exemplu:
( ) OxzOxyxzyxOxzOyzOxyO JJJJJJ21JJJJ +=++=++= ;
(10.35) Legătura dintre momentele de inerţie mecanice şi momentele de
inerţie geometrice se exemplifică în continuare pentru cazul unei plăci plane omogene, pentru care:
• momentul de inerţie geometric este ∫=)(D
2dAI l
NOŢIUNI FUNDAMENTALE ÎN DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL ŞI RIGIDULUI
205
• momentul de inerţie mecanic este ∫=)(D
2dmJ l
Cum pentru plăcile omogene dm=ρ dA , unde ρ este masa specifică (volumetrică, superficială sau liniară a corpului considerat) rezultă: J = ρ Ι (10.36)
Se numeşte rază de inerţie distanţa faţă de un plan, o axă sau un pol, la care ar trebui plasată întreaga masă ∑= imM a sistemului material, concentrată într-un singur punct, pentru a obţine aceeaşi valoare a momentului de inerţie planar, axial sau polar ca şi cea dată de întreg sistemul material. Deci J=M i2, de unde:
MJi =
(10.37) 10.8.2 Variaţia momentelor de inerţie 10.8.2.1 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele. Teorema lui Steiner. Se dă un sistem material, fig. 10.7, al cărui centru de greutate C este
situat pe axa Δ, şi o altă axă Δ1, paralelă cu Δ. Αxa Δ1 intersectează planul xOy în punctul O’(a,b,0) şi punctul
Ai(xi,yi,zi) de masă mi se proiectează pe planul xOy în puctul A’i (xi,yi,0). Momentul de inerţie al sistemului faţă de axa D se determină cu
relaţia:
( )∑=
+=n
1i
2i
2ii yxmJΔ
(10.38) Momentul de inerţie al sistemului faţă de axa Δ1 se determină
analog, cu relaţia:
( ) ( ) ( )[ ]∑ ∑=
−+−=′′=n
1i
2i
2ii
2ii byaxmAOmJΔ
(10.39)
FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii
206
Fig.10.7 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
Prin dezvoltarea relaţiei (10.39) se obţine:
( ) ( )∑ ∑ ∑∑= = ==
Δ ++−−+=n
1i
n
1i
n
1ii
22ii
n
1iii
2i
2ii mbaymb2xma2yxmJ
1 (10.40)
în care 21
22 dba =+ , cu d1 distanţa dintre axele Δ şi Δ1.
Cum ∑=
=n
1ii Mm este masa sistemului, termenii 0Mxxm
n
1iCii ==∑
= şi
0Myymn
1iCii ==∑
= deoarece punctul C se află pe axa Δ, rezultă formularea
teoremei lui Steiner: 2
1MdJJ1
+= ΔΔ (10.41)
Momentul de inerţie mecanic al unui sistem faţă de o axă oarecare Δ1 este egal cu momentul de inerţie al sistemului faţă de o axa Δ paralelă cu Δ1 şi care trece prin centrul de greutate al sistemului, la care se adună produsul dintre masa totală a sistemului şi pătratul distanţei dintre cele două axe. O generalizare a teoremei lui Steiner pentru axe oarecare Δ1 şi Δ2 ,
aflate la distanţele d1 şi d2 faţă de axa Δ ce trece prin centrul de greutate al sistemului şi paralele cu aceasta , (fig.10.7) se obţine prin scăderea relaţiilor
21MdJJ
1+= ΔΔ şi 2
2MdJJ2
+= ΔΔ :
NOŢIUNI FUNDAMENTALE ÎN DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL ŞI RIGIDULUI
207
( )21
221 ddMJJ
2−+= ΔΔ
(10.42) Formulele aferente teoremei lui Steiner pentru momente de inerţie
geometrice faţă de axe cuprinse în planul unei suprafeţe sunt:
21AdII
1+= ΔΔ
(10.43) respectiv ( )2
1221 ddAII
2−+= ΔΔ
(10.43’) notaţiile având semnificaţia din fig. 10.8a.
a. Axe paralele oarecare b. Sisteme de axe paralele
Fig.10.8 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele cuprinse în planul unei suprafeţe
Variaţia momentelor de inerţie mecanice şi geometrice centrifugale sunt exprimate prin relaţiile:
MabJJ xyyx ⋅+=′′ şi AabII xyyx ⋅+=′′ (10.44)
obţinute analog, iar notaţiile au semnificaţia din fig. 10.8b.
10.8.2.2 Variaţia momentelor de inerţie în raport cu axe concurente
FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii
208
Se dă sistemul de puncte materiale reprezentat în fig.10.9, şi se presupun cunoscute momentele de inerţie axiale Jx, Jy, Jz şi cele centrifugale Jxy, Jyz, Jzx. Se cere momentul de inerţie JΔ faţă de o axă oarecare Δ de versor u care trece prin O şi are cosinusurile directoare α, β, γ.
Fig.10.9 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe concurente Momentul de inerţie al sistemului faţă de axa Δ se calculează cu relaţia:
∑=
Δ =n
1i
2iidmJ
(10.45) Ţinând seama că:
( )2iii
2i
2i
2i
2i zyxrODrd ⋅+⋅+⋅−=−= γβα şi
2i
2i
2i
2i zyxr ++=
precum şi de relaţiile de definiţie ale momentelor de inerţie planare şi centrifugale, (10.32) şi (10.35), se obţine expresia momentului de inerţie al sistemului în raport cu axa Δ :
xzxxyz
2y
2x
2 J2J2J2JJJJ αγβγαβγβα −−−++=Δ (10.46) Totodată, relaţia (10.46) reprezintă şi legea de variaţie a momentelor de inerţie mecanice faţă de toate axele ce trec prin O.
NOŢIUNI FUNDAMENTALE ÎN DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL ŞI RIGIDULUI
209
Analog, se deduce legea de variaţie a momentelor de inerţie geometrice în raport cu axe concurente. Pentru suprafaţa de arie A situată în planul xOy, (fig.10.10), momentul de inerţie faţă de axa Δ, de versor variabil u , care trece prin O şi are cosinusul director ϕ , rezultă ţinând seama că în acest caz 0=== γϕβϕα ,sin,cos şi zi=0.
Astfel, expresia (10.46) devine:
ϕϕϕϕ cossinsincos ⋅−+=Δ xy2
y2
x I2III (10.47)
a.
b.
Fig.10.10 Momentul de inerţie al unei suprafeţe faţă de o axă Δ
Din relaţia (10.47), pentru 0=ϕ rezultă xII =Δ iar pentru 2πϕ = , se
obţine yII =Δ . Analizând variaţia momentelor de inerţie geometrice la rotirea
sistemului de axe xOy cu unghiul ϕ până în poziţia Ox’y’, fig.10.10b, pe baza relaţiei (10.47) rezultă: ϕϕϕϕ cossinsincos ⋅−+=′ xy
2y
2xx I2III
ϕϕϕϕ cossincossin ⋅++=′ xy2
y2
xy I2III (10.48) sau, înlocuind :
2
212
21 22 ϕϕϕϕ cossincoscos −=
+= ;
FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii
210
rezultă:
ϕϕ
ϕϕ
2I22
II2
III
2I22
II2
III
xyyxyx
y
xyyxyx
x
sincos
sincos
+−
−+
=
−−
++
=
′
′
(10.49) iar pentru momentul de inerţie centrifugal:
ϕϕ 2I22
III xy
yxyx cossin +
−=′′
(10.50)
Formulele (10.46), (10.47) permit o interpretare geometrică deosebit de utilă din punct de vedere practic:
• dacă pe axa Δ de versor u se consideră u punct M (fig.10.11)
situat la distanţa Δ
=J1OM , de coordonate variabile
ΔΔΔ
===J
zJ
yJ
x γβα ;; se pot scrie relaţiile:
ΔΔΔ
ΔΔΔ
======
zxJzyJxyJJzJyJx 222222
γαβγαβγβα
;;;;
care înlocuite în (10.46) conduc la ecuaţia: 1zxJ2yzJ2xyJ2zJyJxJ zxyzxy
2z
2y
2x =−−−++ (10.51)
NOŢIUNI FUNDAMENTALE ÎN DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL ŞI RIGIDULUI
211
Fig.10.11 Elipsoidul de inerţie relativ la punctul O
Ecuaţia (10.51)reprezintă o cuadrică închisă (elipsoid) cu centrul în
O, numită elipsoidul de inerţie relativ la punctul O, deoarece reprezintă o imagine geometrică a variaţiei momentului de inerţie JΔ faţă de axele care trec prin punctul fix O.
10.8.2.3 Direcţii principale de inerţie. Momente de inerţie principale
Direcţiile axelor principale de inerţie sunt definite de valorile extreme ale momentelor de inerţie mecanice, JΔ, (10.46), sau ale momentelor de inerţie geometrice, IΔ , (10.47).
Aceste axe se numesc axe principale de inerţie, planele lor se numesc plane principale de inerţie iar momentele de inerţie aferente lor, momente de inerţie principale.
Dacă axele şi planele principale de inerţie trec prin centrul de masă al sistemului considerat, ele se numesc axe (ori plane) principale şi centrale de inerţie.
Valorile extreme ale segmentului notat OM în fig.10.11 sunt date de două din cele trei semiaxe ale elipsoidului de inerţie.
Raportând ecuaţia elipsoidului la axele sale de simetrie (fig.10.11), se obţine:
1zJyJxJ 21z
21y
21x 111
=++ (10.52)
FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii
212
În raport cu aceste axe, momentele de inerţie centrifugale sunt nule: 0J,0J,0J
111111 xzzyyx === (10.53)
Pentru a obţine ecuaţia canonică a elipsoidului de inerţie, semiaxele sale se notează a, b, c, obţinându-se expresia:
1cz
by
ax
2
21
2
21
2
21 =++
(10.54) unde :
111 z
2
y
2
x
2
J1c
J1b
J1a === ;;
Dacă semiaxele elipsoidului de inerţie satisfac relaţia a<b<c, atunci momentele principale de inerţie vor avea ordinea de mărime
111 zyx JJJ >> . Rezultă astfel că faţă de toate axele concurente în punctul O, momentul de inerţie minim se obţine faţă de axa mare a elipsoidului de inerţie, iar momentul de inerţie maxim, faţă de axa mică. Momentul faţă de axa intermediară de numeşte moment de inerţie minimax.
În situaţia figurilor plane, axele principale de inerţie sunt date de valorile unghiului ϕ pentru care relaţia (10.46) admite un extrem.
Astfel:
0φ2cosI2φcosφsinI2φcosφsinI2φd
dIxyyx =−⋅+⋅−=Δ (10.55)
de unde rezultă:
xy
xy
III2
φ2tg−
=
(10.56) Din rezolvarea ecuaţiei trigonometrice (10.56) se obţin două valori
ale lui ϕ decalate între ele cu π/2, deci axele principale de inerţie Ox1 şi Oy1 (fig.10.11), sunt perpendiculare între ele.
Relaţiile (10.46) , (10.47) se pot pune sub una din formele (10.49), iar pe baza relaţiei (10.56) se poate scrie:
NOŢIUNI FUNDAMENTALE ÎN DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL ŞI RIGIDULUI
213
( ) 2
xy2
xy
xy
I4II
IIφ2cos
+−
−±= şi
( ) 2xy
2xy
yx
I4II
II2φ2sin
+−±=
Apoi, efectuând calculele algebrice, rezultă relaţia:
( ) 2xy
2xy
yxyx I4II
21
2II
I,I11
+−±+
=
(10.57) În aplicaţii, momentele de inerţie principale se determină utilizând
relaţia (10.57) iar pentru elipsa de inerţie, se utilizează ecuaţia scrisă sub formă canonică:
1iy
ix
2x
21
2y
21
11
=+
(10.58) unde mărimile
1xi şi 1yi reprezintă razele de giraţie.
Momentele de inerţie mecanice şi geometrice prezintă o
importanţă deosebită în studiul sistemelor mecanice precum şi în analiza dinamicii mişcării sistemelor materiale.
În tabelul 10.1 sunt înscrise momente de inerţie geometrice şi mecanice pentru corpuri având forme geometrice uzuale.
Tabelul 10.1 Momente de inerţie
Momentul de inerţie Profilul figurii Axa
geometric mecanic
y 3
3l
3M
3l
Bara dreaptă
yC 12
3l
12M
3l
FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii
214
xc (Ox) 12
ab3 ; (
3ab3
) 2Mb
121
; ( 2Mb31
) Dreptunghi
yc Oy
12ba3
; (3ba3
) 2Ma
121
; ( 2Ma31
)
Ox
( )α2sinα2R81 4 − ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
αα2sin1MR
41 2
Sector de cerc
Oy ( )α2sinα2R81 4 + ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
αα2sin1MR
41 2
Oz ( )44 rRhπ21
− ( )22 rRM21
+ Cilindru gol
Ox Oy ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−3hrR
4hrR 2
2222π
( )222 hr3R3M121
++
Oz hrπ
21 4 2Mr
21
Cilindru
Ox Oy ( )222 hr3hrπ
121
+ ( )22 hr3M121
+
Pol O
5Rπ54
2MR53
Sferă
Ox Oy
5Rπ148
2MR52
10.8.2.4 Aplicaţii
1. Pentru secţiunea reprezentată în fig.10.12, se cere să se determine: a. Momentele de inerţie în raport cu sistemul de axe xCy care trece prin centru său de greutate; b. Poziţia axelor principale de inerţie şi valoarea momentelor de inerţie principale I1 şi I2.
NOŢIUNI FUNDAMENTALE ÎN DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL ŞI RIGIDULUI
215
Fig. 10.12 Determinarea momentelor de inerţie principale
şi a axelor principale de inerţie
• Determinarea poziţiei centrului de greutate al secţiunii Cu cotele din figură se calculează:
- aria secţiunii : A = 6x9 -5x8=14 cm2
- aria suprafeţei 1 : A1= 8x1=8 cm2 - aria suprafeţei 2: A2 = 6x1=6 cm2
Se completează tabel de mai jos, calculele cotelor zi şi yi fiind efectuat faţă de sistemul de axe Oy1z1.
Nr. supraf.i zi yi Ai Ai zi Ai yi
1 0,5 5 8 4 40 2 3 0,5 6 18 3
∑=
2
1i: 14 22 43
Aplicând apoi relaţiile (3.70), particularizate pentru n = 2 , rezultând :
cm 3,11643 ; cm 1,6
1422 ≅=
∑=
∑==≅=
∑=
∑== 2
2
2
2
1i iA
1i iyiA
Cy
1i iA
1i iziA
Cz
FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii
216
Poziţia centrului de greutate C (yc; zc ) al secţiunii este marcat în fig.10.12 în raport cu axele Oy1z1, alese pentru calcul.
• Determinarea momentelor de inerţie Iz şi Iy faţă de axele yCz Momentele se calculează considerând secţiunea dată în enunţ ca rezultând din diferenţă a două dreptunghiuri, conform fig.10.13a, iar cotele necesare calculului sunt înscrise în fig.10.13b.
a. b.
Fig.10.13 Geometria secţiunii pentru calculul momentelor de inerţie Iz şi Iy
( ) ( ) 4cm 114=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅+
⋅−−⋅+
⋅= 2
32
3
z 1358512
8513549612
96I ,,,
( ) ( ) 4cm 40,5=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅+
⋅−−⋅+
⋅= 2
32
3
y 61535812
586136912
69I ,,,
Momentul de inerţie centrifugal se calculează considerând suprafaţa ca suma celor două dreptunghiuri haşurate în fig.10.12. ( ) ( ) ( ) ( ) 4cm 38,56−=−⋅−⋅+−⋅−⋅⋅= 62613161351118Izy ,,,, Direcţia axelor principale se determină cu relaţia :
1,05==−
⋅−=
−=
5731277
11454056382
III2
2tgxy
xy
,,
,,ϕ ;
512303462 oo ′=⇒′= ϕϕ Calculul momentelor de inerţie principale se efectuează cu relaţia:
NOŢIUNI FUNDAMENTALE ÎN DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL ŞI RIGIDULUI
217
( )
( )
2532577
5638454011421
2540114
I4II21
2II
II
22
2zy
2zy
yz21
,,
,,,
,
±=
=⋅+−±+
=
=+−±+
=
Cu aceste valori, rezultă: 4 4 cm 24 cm 130 ≅≅ 21 II ; 2. Să se calculeze momentele de inerţie ale dreptunghiului din fig.10.14 faţă de axele Az1 şi Ay1.
Fig.10.14 Momente de inerţie ale suprafeţei faţă de axe paralele
12hbI
12bhI
3
y
3
z == ;
hb487
16bbh
12hbdAII
bh487
16hbh
12bhdAII
323
2yy
323
2zz
1
1
=+=′⋅+=
=+=⋅+=