Zavod za matematiku
Uvod u matematičke metode u inženjerstvuFRAKTALI
Voditelji: :Dr. sc. Ivica GusićDr. sc. Miroslav Jerković
Studenti:Brdar KatarinaDobrinić MatejaJoskić Robert
SVEUČILIŠTE U ZAGREBUFAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I
TEHNOLOGIJE
• geometrijski objekti čija je fraktalna dimenzija strogo veća od topološke dimenzije
• objekti koji daju jednaku razinu detalja neovisno o razlučivosti koju koristimo
• moguće ih je uvećavati beskonačno mnogo puta, a da se pri svakom novom povećanju vide neki detalji koji prije povećanja nisu bili vidljivi
1) Samo-sličnost svojstvo objekta da sliči sam sebi bez obzira koji dio
promatrali i koliko ga puta uvećavali
2) Fraktalna dimenzija vrijednost koja nam daje uvid u to u kojoj mjeri neki
fraktal ispunjava prostor u kojem se nalazi
d=log(n)/log(s) 3) Oblikovanje iteracijom
svojstvo da se objekt generira nekim matematičkim ili geometrijskim postupkom, tako da se u osnovni
(početni) objekt iterativno ugrađuju svojstva generatora
• 17. st. - Leibniz je definirao ponavljanje samosličnosti (uzeo u obzir samo liniju)
• 1872. - Karl Weierstrass je dao primjer funkcije kojom je definirao samosličnost (preapstraktna)
• 1904. - Helge von Koch je dao geometrijsku interpretaciju slične funkcije
• 1915. - Waclaw Sierpiński je kreirao svoj uzorak fraktala pomoću trokuta
• 1975. - Benoit Mandelbrot je skovao riječ fraktal i definirao njeno značenje
Podjela prema stupnju samosličnosti
1) Potpuno samoslični fraktali
2) Kvazi samoslični fraktali
3) Statički samoslični fraktali
Slika 1. Hilbertova krivulja
Slika 2. Mandelbrotov
skup
Slika 3. Perlinov šum
Podjela prema načinu nastanka
Slika 4. Slučajni fraktal (munja)
1) Iterativni fraktali
2) Rekurzivni fraktali
3) Slučajni fraktali
Slika 5. Planina stvorena koristeći Perlinov šum
Slika 6. Raslinje stvoreno pomoću fraktala
Prirodni fraktali Maatematički fraktali
• procedura IFS (iterated function sheme)• potrebno imati: I – inicijator; G – generator; m –
sličnosti S koje prevode inicijator u generator odnosno
• potom se formira niz skupova En na slijedeći način:
gdje je F fraktalni skup
inicijator je I=[0,1]
generator je E1=G=
definiramo
gdje su
Na kraju Cantorov skup F zadovoljava:
inicijator je I=[0,1]generator je E1=G=
definiramo
Na kraju Kochova krivulja F zadovoljava:
• Rekurzija (u matematici i računarstvu) – metoda definiranja funkcija u kojima se definirajuća funkcija primjenjuje unutar definicije
• Općenito – za opis procesa ponavljanja objekata na samosličan način
• Rekurzivna definicija – definira objekte u terminima ‘prethodno definiranih’ objekata definirajuće klase
• Definiranje osnovnih slučajeva definiranje pravila za razbijanje složenih slučajeva u jednostavne
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Rekurzivni algoritam
iteracija – podjela segmenta na tri dijela, uklanjanje središnjeg dijela
Slika 7. Prikaz 4 stupnja iteracije, zajedno s nultom, za Cantorov skup
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Rekurzivni algoritam
iteracija – podjela segmenta na četiri dijela
Slika 8. Prikaz 4 stupnja iteracije, zajedno s nultom, za Kochovu krivulju
• Fraktali su objekti koji daju jednaku razinu detalja neovisno o razlučivosti koju koristimo, a njihova osnovna svojstva su samo-sličnost, fraktalna dimenzija i oblikovanje iteracijom.
• U programu Matlab napravljena su dva programa koja prikazuju četiri stupnja iteracije rekurzivnim algoritmom za Kochovu krivulju i Cantorov skup.
• Pokretanjem programa inicijator se iterativno transformira u generator na temelju svojstava sličnosti koja čuvaju oblike, a mijenjaju položaj i veličinu kutova
• M. Pašić, Uvod u matematičku teoriju kaosa za inženjere, Skripta FER, Zagreb, 2005. (57.-83.)
• http://hr.wikipedia.org/wiki/Fraktal• http://www.viva-fizika.org/fraktali-ii-deo/• http://elgrunon.wordpress.com/2007/03/25/
kochova-pahuljica-cudoviste-zarobljeno-unutar-savrsenstva/