22
GİRİŞ
İnşaat Mühendisliğinde, zemin içindeki su akımları ile
birçok durumda karşılaşılır. Toprak yapılar [toprak baraj,
toprak set (sedde) vb.] içinden suların sızması,
yapıların (baraj, regülatör vb.) altından suların sızması,
açılan ve su çekilen kuyu veya çukura suyun sızması
vb. yer altında oluşan su akımlarına (akışlarına) örnek
olarak verilebilir. Bu gibi olayları incelemek için,
zeminde su akımı ile ilgili bilgilerin öğrenilmesi gerekir.
24
DARCY YASASI
Zemin, boşluklu bir ortam olup, boşlukları birbirine
bağlıdır. Bazı cisimler boşluklu olup, boşluklar kapalıdır,
birbirine bağlı değildir. Su, zemin ortamın boşluklarında
hareketsiz (durgun su durumu) durumda bulunabildiği
gibi, birbirine bağlı boşluklardan geçerek, akabilir
(hareketli yeraltı su durumu, akış durumu). Darcy
(1856), laminer akım koşullarında suya doygun bir
zemin ortamında; hızın, hidrolik eğim ile orantılı
olduğunu göstermiştir. Yeraltı su akımlarının genellikle
laminer (düşük hıza sahip) olduğu bilinmektedir. Eğer, L
uzunluklu, A enkesit alanlı bir zemin örneği, h1-h2 su
düzey farkına maruz bırakılırsa, Darcy Yasası,
aşağıdaki gibi yazılabilir.
25
DARCY YASASI
kiv
q/Av
vAq
Akiq
v ; hız
q ; debi
A ; alan
i ; hidrolik eğim
k ; permeabilite
(geçirimlilik)
26
DARCY YASASI
Hidrolik eğim düşükken, hız hidrolik eğimle doğrusal olarak değişiyor.
Akım hızı belirli bir hidrolik eğimi (icr) geçtiğinde türbülanslı akım
görülmekte ve Darcy yasasının geçerliliği kaybolmaktadır.
27
DARCY YASASI
v hızı, filtre hızı (debi hızı) olup, su akışının zeminin tüm
A enkesitinin her noktasından akıyormuş gibi
düşünülerek adlandırıldığı ortalama hayali bir hızdır.
Gerçekte, su, zeminin enkesitinin her noktasından
akmayıp, ancak daneler arası boşlukların oluşturduğu
bir bölümünden sızıntı hızı (gerçek hız), vs, ile akar.
Ancak hızın bu şekilde tanımı, su akımlarının
incelenmesinde uygundur. Sızıntı hızı ile filtre hızı
arasında aşağıdaki bağıntı vardır.
snvv
n, zeminin porozitesi olup, n < 1 olduğu için, v < vs dir.
28
DARCY YASASI
k, zeminin geçirimlilik (permeabilite, geçirgenlik)
katsayısı (hidrolik iletkenlik veya geçirimlilik) olup,
zeminin su geçirme özelliğini yansıtır ve hız
boyutundadır (m/s vb.).
Hidrolik eğim (su akımının üzerindeki iki nokta
arasında), i, aşağıdaki gibi tanımlanır ve boyutsuzdur.
q, debi olup, birim zamanda bir kesitten (akım yönüne
dik olan kesit) geçen suyun miktarını belirtir (m3/s vb.).
Su akımının meydana gelmesine bağlı olarak L'nin
konumu yatay, düşey, eğik vb. olabilir.
L
h
L
hhi
21
uzunlugu Akim
farki düzeyleriSu
29
DARCY YASASI
su
Gevşek zemin
- Akış kolay
- Yüksek permeabilite
Sıkı zemin
- Akış yavaş
- Düşük permeabilite
30
DARCY YASASI
Tablodan anlaşılacağı üzere, iri daneli zeminlerde k büyük;
ince daneli zeminlerde, k küçük değerler almaktadır. Kilin
geçirimlilik katsayısı çok küçük olduğundan, kil zemin
geçirimliliği çok azaltmada kullanılır (toprak barajlarda kil
çekirdek oluşturma, çöp depolama alanlarının alt ve
yanlarında kil tabaka oluşturma vb.)
32
k’nın LABORATUVAR DENEYLERİYLE
BELİRLENMESİ
SABİT SEVİYELİ PERMEAMETRE :
Geçirimliliği yüksek olan iri daneli zeminler için uygundur.
Geçirimliliği belirlenecek zemin, istenilen sıkılıkta veya
arazideki sıkılığına benzer olarak saydam bir silindire
yerleştirilir.
Sabit su düzeyli bir hazneden gelen su, zeminden geçerek,
hacim bölümlü bir kapta toplanır. Kararlı akış elde edildikten
sonra, belli bir sürede (Δt), kapta toplanan su miktarı (ΔQ)
belirlenir. Zemin örneğinin alt, üst ve orta kısımlarına
bağlanan saydam borularda (piyezometre boruları), su
düzeyleri gözlenir, okunur, kaydedilir. Darcy Yasasından k
hesaplanır.
33
k’nın LABORATUVAR DENEYLERİYLE
BELİRLENMESİ
sabit su haznesi
Piyezometre
boruları
Zemin numunesi
L Su toplama kabı
(dereceli silindir)
35
k’nın LABORATUVAR DENEYLERİYLE
BELİRLENMESİ
Ai
qk
t
L
hi
Kesit alanı,
A
Fazla su
Su besleme
Hacim, Q
Zaman, t
thA
LQk
..
.
h
Debi;
Alttan Besleme Durumu
36
k’nın LABORATUVAR DENEYLERİYLE
BELİRLENMESİ
DÜŞEN SEVİYELİ PERMEAMETRE :
Geçirimliliği düşük olan ince daneli (kil, silt) zeminler için
uygundur.
Zeminin cinsine göre, uygun enkesitteki (çaplı) saydam bir
boru (iç çapları 5-20 mm) zemin örneği üzerine takılır.
Üstteki boruya doldurulan su, zeminden geçerek dışarı akar.
Kararlı akış elde edildikten sonra; deney başında ve
sonundaki su yükseklikleri ile arada geçen zaman ve enkesit
alanlarından, zeminin geçirimlilik katsayısı hesaplanır.
39
k’nın LABORATUVAR DENEYLERİYLE
BELİRLENMESİ
Kesit
alanı, A
İnce tüpün
kesit alanı, a
Su yüksekliği
h1’den h2’ye
düşüyor h1
h2
Tüpten geçen debi,
dt
dhaQ .
Zeminden geçen debi,
AL
hkQ .
Alttan Besleme Durumu
40
k’nın LABORATUVAR DENEYLERİYLE
BELİRLENMESİ
AL
hk
dt
dha ... dt
L
k
a
A
h
dh..
2
1
2
1
.
t
t
h
h
dtL
k
a
A
h
dh 2
1
2
1
..lnt
t
h
ht
L
k
a
Ah
1221 ..lnln ttL
k
a
Ahh
2
1
12
ln1
..h
h
ttL
A
ak
41
UYGULAMA
Sabit seviyeli permeabilite deneyi yapılan bir kum
numunesi için permeabilite katsayısını (cm/s cinsinden)
hesaplayınız.
Verilenler:
Numune boyu, L = 45 cm
Kesit alanı, A = 22.6 cm2
Sabit su yüksekliği, h = 71 cm
Toplanan su miktarı, Q = 353.6 cm3 (t = 3 dakikada)
42
UYGULAMA
Numune boyu, L = 45 cm
Kesit alanı, A = 22.6 cm2
Sabit su yüksekliği, h = 71 cm
Toplanan su miktarı, Q = 353.6 cm3 (t = 3 dakikada)
0551.0)603(716.22
456.353
..
.
thA
LQk cm/s
43
UYGULAMA
Düşen seviyeli permeabilite deneyi yapılan siltli kum
numunesi için permeabilite katsayısını (cm/s cinsinden)
hesaplayınız.
Verilenler:
Numune boyu, L = 20 cm
Numune kesit alanı, A = 10 cm2
Kılcal tüp kesit alanı, a = 0.4 cm2
t = 0’da yükseklik farkı, h1 = 50 cm
t = 180 s’de yükseklik farkı, h2 = 30 cm
44
UYGULAMA
L = 20 cm A = 10 cm2 a = 0.4 cm2
t = 0’da h1 = 50 cm t = 180 s’de h2 = 30 cm
2
1
12
ln1
..h
h
ttL
A
ak
31027.2
30
50ln
0180
1.20.
10
4.0
k cm/s
45
k’nın ARAZİ DENEYLERİYLE BELİRLENMESİ
Su içeren geçirimli tabakaya akifer denilir. Akiferler iki türlü
olabilir;
1.Serbest 2. Basınçlı
Serbest (sınırlanmamış) akiferde, yeraltı su düzeyi, doygun
bölgenin üst sınırıdır. Basınçlı (artezyen, sınırlanmış)
akiferde, yeraltı suyu, üstten geçirimsiz bir tabaka ile
sınırlanmıştır.
46
k’nın ARAZİ DENEYLERİYLE BELİRLENMESİ
ZEMİNDEN SU ÇEKEREK (SERBEST AKİFERDE):
Serbest akiferde, geçirimlilik katsayısının belirlenmesinde
pompa ile su çekmek için zeminde bir kuyu açılır. Sabit bir
debi ile sürekli su çekilir. Başlangıçta yatay olan yeraltı su
düzeyi, kuyu içinde alçalarak, şekildeki sabit alçalmış
durumu alır.
Kararlı durum elde edildikten sonra, deney kuyusu
merkezinden itibaren, aynı doğrultu üzerinde açılmış en az
iki gözlem kuyusu ile alçalan su düzeyi, gözlenerek ölçülür.
48
k’nın ARAZİ DENEYLERİYLE BELİRLENMESİ
dr
dhi
dr
dhkrhAkiq ..2
dr
dh Hidrolik Eğim :
Darcy Yasası yazılırsa,
2
1
2
1
2
h
h
r
r
hdhkr
drq
)(
)/ln(2
1
2
2
12
hh
rrqk
49
Kuyudan sabit bir q debisi çekilerek, kararlı durum elde
edildikten sonra, gözlem kuyularındaki su düzeyleri
gözlenerek, ölçülür. Kuyu merkezinden itibaren r yarıçaplı
bir kesit düşünelim. Bu kesit için Darcy Yasası yazılır,
integre edilirse;
k’nın ARAZİ DENEYLERİYLE BELİRLENMESİ
dr
dhrbkAkiq 2
2
1
2
1
2
h
h
r
r
dhkbr
drq
BASINÇLI AKİFERDE :
)(2
ln
12
1
2
hhb
r
rq
k
50
k’nın ARAZİ DENEYLERİYLE BELİRLENMESİ
2
1
2
1
2
h
h
r
r
dhkbr
drq
dr
dhrbAkiq 2
)(2
ln
12
1
2
hhb
r
rq
k
PERMEABİLİTE DEĞERLERİ (cm/s)
10-5 10-7 100
Kil Çakıl Kum Silt
Kaba Daneli İnce Daneli
Dolaylı yollardan da permeabilite hesaplanabilir ;
Hansen; k = c* (D10)2
Terzaghi Üniform Kumlar İçin; k = 200*e2* (D10)2
2. Konsolidasyon deneyinden; uvw cmk **
1. Dane dağılımı yardımıyla;
52
YATAY ve DÜŞEY YÖNDE GEÇİRİMLİLİK
Zeminlerde yatay ve düşey yöndeki geçirimlilik katsayıları
ortamın anizotrop özellikleri nedeniyle genellikle farklılık
gösterir. Çakıl ve kumlarda bu fark, katsayıların yeterince
yüksek olması nedeniyle önemsenmeyebilir. Ancak
özellikler çökel killerde yatay/düşey geçirimlilik oranının
(kh/kv) 20’ye kadar yükseldiği bulunmaktadır.
53
TABAKALI ZEMİNLERDE KARAKTERİSTİK
GEÇİRİMLİLİK KATSAYISI
n tane
tabakadan
oluşan bir zemin
sisteminde yatay
yöndeki
geçirimlikik
katsayıları kh,
düşey yöndekiler
ise kv ile
gösterilsin,
54
TABAKALI ZEMİNLERDE KARAKTERİSTİK
GEÇİRİMLİLİK KATSAYISI
YATAY YÖNDE AKIM : nqqqq ....21
Her katmanda hidrolik
eğim değişmez.
Hikq
Hikq
Hikq
eşh
h
h
..
...
..
..
)(
222
111
+
nhnhheşh HkHkHkH
k ...1
2211)(
55
TABAKALI ZEMİNLERDE KARAKTERİSTİK
GEÇİRİMLİLİK KATSAYISI
DİKEY YÖNDE AKIM : Her katmanda n geçen
debi ve buna bağlı olarak
hızın olması gerekir.
nvvvv ....21
nvnvveşv ikikikikv 2211)( .
56
TABAKALI ZEMİNLERDE KARAKTERİSTİK
GEÇİRİMLİLİK KATSAYISI
nn HiHiHiHi ....... 2211
DİKEY YÖNDE AKIM :
Her tabakadaki hidrolik eğim farklıdır.
Akım için toplam enerji her tabakada oluşan yük kaybının
toplamına eşit olmalıdır.
vn
n
vv
eşv
k
H
k
H
k
H
Hk
...2
2
1
1
)(
57
UYGULAMA
1.0 m
1.5 m
2.0 m
1.2 m
3.0 m
kanal
0.5 m
k=2.3*10-7 cm/s
k=5.2*10-6 cm/s
k=2.0*10-6 cm/s
k=0.3*10-4 cm/s
k=0.8*10-3 cm/s
Sulama kanalı amacı ile şekildeki kazı yapılmıştır.
Kaplamasız kanalda zemine yanlardan ve tabandan su
sızacaktır. Sızıntı hesabına esas olacak k değerlerini
hesaplayınız.
58
UYGULAMA
1.0 m
1.5 m kanal
0.5 m
k=2.3*10-7 cm/s
k=5.2*10-6 cm/s
k=2.0*10-6 cm/s
Yatay yönde akım, 332211)(
1HkHkHk
Hk hhheşh
5.0*10*0.25.1*10*2.50.1*10*23.03
1 666
)(
eşhk
scmk eşh /10*3 6
)(
59
UYGULAMA
1.5 m
1.2 m
3.0 m
kanal
k=2.0*10-6 cm/s
k=0.3*10-4 cm/s
k=0.8*10-3 cm/s
Düşey yönde akım,
3
3
2
2
1
1
)(
vvv
eşv
k
H
k
H
k
H
Hk
60
UYGULAMA
346
)(
10*8.0
0.3
10*3.0
2.1
10*0.2
5.1
7.5eşvk
1.5 m
1.2 m
3.0 m
kanal
k=2.0*10-6 cm/s
k=0.3*10-4 cm/s
k=0.8*10-3 cm/s
scmk eşv /10*2.7 6
)(
KRİTİK HİDROLİK EĞİM
Efektif Gerilme,
Bu denklem için özel durum, toplam gerilmenin, boşluk
suyu basıncına eşit olması durumudur. Yani, efektif
gerilmenin sıfır oluşu.
Efektif gerilmenin sıfır olması, yani danelerin üzerindeki
yükleri alttaki danelere aktaramaması durumunda,
zemin taşıyıcı özelliğini yitirmekte ve katı veya plastik
durumdan sıvı duruma dönüşmektedir.
Bu duruma neden olan minimum hidrolik eğime, kritik
hidrolik eğim (icr) denir.
wu
KRİTİK HİDROLİK EĞİM
Şekilde kritik hidrolik
eğimin anlatımı için
laboratuarda
gösterilebilecek basit
bir modelleme
yapılmaktadır.
KRİTİK HİDROLİK EĞİM
• Cam tüp B seviyesine kadar
doldurulursa, sistem hidrostatik
dengeye gelecektir. Ve tüm
piyezometrelerde su yüksekliği
B seviyesinde olacaktır.
B
C
A
• Yükselim tüpündeki suyun B kotundan daha aşağıda olması
durumunda, su zemin içerisinden aşağı doğru akacaktır.
Yükselim tüpündeki suyun B kotunun üzerine çıkması
durumunda ise, bu olayın tersi söz konusu olacaktır.
KRİTİK HİDROLİK EĞİM
• Yani, yükselim tüpündeki suyun
B kotunun üzerine çıkması
durumunda, su hareketi zemin
içinden yukarıya doğru olacaktır.
B
C
A
• Şekilde görüldüğü gibi, B kotu üzerinde h yüksekliği ne
kadar büyükse, yük veya enerji kaybı ile zemine iletilen sızma
kuvvetleri de o kadar büyük olacaktır.
h
KRİTİK HİDROLİK EĞİM
• Sızma kuvvetleri giderek
büyürken, zemin üzerine etkiyen
yerçekimi kuvvetine baskın
gelerek akıcı durumun veya
kaynamanın meydana gelmesine
yol açar.
B
C
A
• Zeminin akıcı duruma geldiği anda B kotu üzerindeki h
yüksekliği ne kadardır?
h
KRİTİK HİDROLİK EĞİM
• Su yüksekliğinin B kotunda
olması durumunda, XX
düzlemindeki toplam gerilme ve
boşluk suyu basıncı;
B
C
A
h
X X
Lh dwwXX ..
)( Lhu www
Efektif gerilme ise, olacaktır. LXX '.
KRİTİK HİDROLİK EĞİM
• Toplam gerilme sabit olduğuna
göre, boşluk suyu basıncını
artırırsak veya azaltırsak nasıl bir
sonuçla karşılaşırız?
• Su seviyesinin B kotu üzerinde
h kadar yükselmesini sağlarsak,
boşluk suyu basıncı,
B
C
A
h
X X
)( hLhu www
Yeni su
yüksekliği
Numune tabanındaki boşluk suyu basıncı artışı;
hu ww .
KRİTİK HİDROLİK EĞİM
• Yeni denge durumunda, XX
düzlemindeki efektif gerilme
değeri,
B
C
A
h
X X
Yeni su
yüksekliği
Yani numune tabanındaki efektif gerilme, boşluk suyu
basıncı artışı kadar azalmış olacak!!!
YENIwXXXX u
hL wXX .'.
KRİTİK HİDROLİK EĞİM
• Zemin kolonunun tabanındaki
efektif gerilme ne zaman sıfır
olacak ?
B
C
A
h
X X
Yeni su
yüksekliği
0.'. hL wXX
wL
h
'
Kritik hidrolik eğim w
cri
'
KRİTİK HİDROLİK EĞİM
• Su altında birim hacim ağırlığı;
ws
e
G .
1
1'
1
e
Gs.w
e.w
ws
de
eG .
1
HATIRLATMA
• Kritik hidrolik eğim;
e
Gi scr
1
1
AKIM AĞLARI
zg
vuh
w
2
2
h; Toplam enerji yüksekliği
u/w; basınç yüksekliği
v2/2g; hız yüksekliği
z; kot yüksekliği
Sızıntı hızı çok düşük olduğu için
ikinci ifade ihmal edilebilir.
B
w
BA
w
ABA z
uz
uhhh
AKIM AĞLARI
0........
dydxvdydzvdydxdz
z
vvdydzdx
x
vv zx
zz
xx
Giren Su = Çıkan Su
2 Boyutlu düşünürsek,
0
z
v
x
v zxdüzenlenirse,
z
hkikv
x
hkikv
zzzz
xxxx
..
..
0..2
2
2
2
z
hk
x
hk zx
AKIM AĞLARI
0..2
2
2
2
z
hk
x
hk zx
kx = kz = sabit olarak düşünülürse,
02
2
2
2
z
h
x
h
Veya k.h= (hız potansiyeli)
02
2
2
2
zx
AKIM AĞI HESAP YÖNTEMLERİ
A)Teorik Analiz
B)Sayısal Analiz
B.1. Sonlu Farklar
B.2. Sonlu Elemanlar
C) Elektriksel Benzeşim
D) Tahmini Akım Ağı
02
2
2
2
zx
AKIM AĞININ ÖZELLİKLERİ
Akım ağı, akım çizgileri ve eş potansiyel çizgilerinden
oluşur.
Akım çizgisi, suyun ortalama akış yolunu gösteren
çizgidir. İki akış çizgisi arasındaki aralığa, akım kanalı
(borusu) (dikdörtgen en kesitli olup, şekil düzlemine dik
boyutu 1 birim (1 m vb.) dir.) denilir.
Eşpotansiyel çizgisi, akış ortamında, aynı piyezometrik
yatay düzeye sahip noktaları birleştiren çizgidir. Bir
eşpotansiyel çizgisi üzerine batırılan bütün borulardaki
su yüksekliği, aynı yatay düzlemdedir.
Akım ağı, ölçekli çizilmiş bir şekil üzerinde, deneme-
yanılma ile oluşturulur.
AKIM AĞININ ÖZELLİKLERİ
Akım ağı, akım çizgileri ve eş potansiyel çizgilerinden
oluşur.
• Akım ipleri, eşpotansiyellerle dik açıda kesişir,
kesişimden kare veya eşkenar dörtgen belirmelidir.
• Akım ipleri ve eşpotansiyeller birbirini kesemez.
• Akım ipleri zemine dik açıda girer, ancak akım boruları
mansapta kare tamamlayarak çıkmazlar. Zira zemin
yüzeyi bir eşpotansiyel değildir.
Seçilen akım çizgileri ve eş potansiyel çizgileri ağı
Beton Baraj
Geçirimsiz Tabaka
Zemin 90º
Eğriler kare
oluşturacak
şekilde kesişir
AKIM AĞININ ÖZELLİKLERİ
AKIM AĞININ ÖZELLİKLERİ
Palplanş
Akım ipi eşpotansiyel
Akım Borusu Sayısı : F = 3
Eşpotansiyel Sayısı : N = 8 H
Toplam yük kaybı : H
1
2 3 4
5
6
7
8
1 2 3
AKIM AĞININ ÖZELLİKLERİ
Toprak Dolgu Baraj
Akım Borusu Sayısı : F = 4
Eşpotansiyel Sayısı : N = 19
1 2
3
4
1 2 …
18 19
… …
SIZINTI DEBİSİ DENKLEMİ
AKIM BORUSU
akım ipi
S
L
h
q
Akım Borusu Sayısı : F
Eşpotansiyel Sayısı : N
Toplam Akım İpi : F+1
n. eşpotansiyel
çizgisi
(n+1). eşpotansiyel
çizgisi
SIZINTI DEBİSİ DENKLEMİ
AKIM BORUSU
akım ipi
S
L
h
q
Darcy Yasası ikv .
Sızıntı Hacmi AikAvq ...
1..
SL
hk
n n+1
Kesit Alanı
SIZINTI DEBİSİ DENKLEMİ
Karede 1/ LS hkq .
Akım ağında N tane eşpotansiyel olduğuna göre,
N
Hh
Toplam Debi :
N
FHkqFqQ ..
H : toplam yük kaybı
(Ardışık iki eşpotansiyel arasındaki hidrolik yük farkı)
BAZI AKIM AĞI ÖRNEKLERİ
Aynı eşpotansiyel üzerindeki su
yükseklikleri aynı noktada olacaktır.
1
h
F = 4
N = 6
UYGULAMA
6 m
6 m 1.5
10.5 m
18 m
Şekildeki beton bağlama için akım ağını oluşturarak,
bağlama altından sızan su miktarını, bağlama tabanına
etkiyen su kaldırma basıncını belirleyiniz.
k = 0.05 cm/s
UYGULAMA
Sistemdeki hidrolik yük kaybı : H = 6 m
Akım kanalı sayısı : F = 4
Eşpotansiyel sayısı : N = 14
UYGULAMA
m 429.014
6
N
Hh
Ardışık eşpotansiyel çizgileri arasındaki hidrolik kayıp :
Bağlamanın birim uzunluğu için sızan su miktarı :
N
FHkQ ..
/sm 1057.814
46105 344
Q
UYGULAMA
Bağlama altındaki noktalarda hidrolik yükler ve su
kaldırma basınçları :
A noktasındaki toplam yük kaybı = 5.6h = 5.6*0.429 = 2.40 m
1 2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13
14
5.6
A noktasındaki toplam yük = 6.00 – 2.40 = 3.60 m
UYGULAMA
1 2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13
14
5.6
karşılaştırma
düzlemi
g2
vuzh
2
su
Bernoulli denkleminden,
Yeraltı su akımlarının hızı göreli olarak küçük olduğu için, hız yüksekliği ihmal edilir.
su
uzh
UYGULAMA
1 2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13
14
5.6
karşılaştırma
düzlemi
su
uzh
A noktası için h değerini belirlemiştik.
z ise karşılaştırma düzleminin altında kaldığı için (z = -1.5 m)
olacaktır.
Boşluk suyu basıncı ise, suzhu
UYGULAMA
1 2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13
14
5.6
karşılaştırma
düzlemi
su
uzh
A noktası için boşluk suyu basıncı,
2kN/m 03.5081.9)50.1(60.3 u
ZEMİNDE SU AKIMININ MATEMATİKSEL İFADESİ (La Place Denklemi)
• Yeraltı suyu problemleri iki boyutlu akım koşuluna yakın olup, bu tür problemlerin iki boyutlu olarak analiz edilmesi gereklidir.
• İki boyutlu akımda i ve A akış rejiminin tamamında değişken olduğundan, Darcy Yasası iki boyutlu analizde doğrudan kullanılamamaktadır.
• Genel olarak bu analizler karmaşık olup, LaPlace denklemi olarak bilinen matematiksel fonksiyonun kullanılması gerekir.
Yapılan Kabuller• Darcy yasası geçerlidir.• Zemin tamamen suya doygundur• Zemin elemanının boyutu sabit kalır• Zemin homojendir
İki boyutlu olarak incelenebilecek akım problemleri
Zemin mekaniği problemleri gerçekte üç boyutlu problemler olmakla beraber, uygulamada bunların birçoğu çözümü basitleştirmek için iki boyutlu problem haline indirgenerek incelenmektedir. Problemi üç boyutlu halden iki boyutlu hale indirgemek çoğu problemde çözümün doğruluk derecesini çok az etkilemektedir.
Zeminlerde Su Akımı• Yeraltı suyu akım bölgesi içindeki bir zemin elemanını göz önüne alalım. • Şekil ’de dx, dy, dz boyutlarında ve içinden x, y, z doğrultularında yeraltı suyu
akımı gerçekleşen bir zemin elemanı gösterilmiştir. • Herhangi bir doğrultudaki su akımının Darcy Kanunu’na uygun hareket ettiği
kabul edilebilir.
3 boyutlu akım durumu
Kararlı akım durumunda (elemanın boşluk oranı sabit, suya doygunluğu sabit) elemana giren su örneğin: x ekseninde qx=(vxAx) burada vx x yönündeki hız bileşeni ve Ax= (dz dy) akım yönüne dik kesit alanıdır.
hq kiA k ALDæ ö= = ç ÷
è ø
Örneğin, z- doğrultusundaki akım gözönüne alındığında, zemin elemanınabirim zamanda giren ve çıkan su miktarları, sırasıyla,
kz zeminin z doğrultusundaki permeabilite katsayısı olmaktadır.
Zemin elemanı için z – doğrultusundaki net su akımı miktarı, giren ve çıkan su miktarlarının farkı olacağı için,
Aynı şekilde, x- ve y- doğrultuları için yazmak mümkündür.
Su akımı sırasında zemin elemanının hacminin sabit kaldığı göz önüne alınarak, birim zamandaki toplam net su akımının sıfıra eşit olacağını (elemana giren toplam suyun çıkan su miktarına eşit olacağını) söyleyebiliriz.
Şeklinde yazarak zeminlerde su akımını tanımlayan genel diferansiyel denklemi elde edebiliriz.Bu denklem hidrolik yükün akım bölgesi içinde değişimini matematiksel olarak ifade etmektedir. Denklemin çözümü ile, akım bölgesi içindeki bütün noktalarda toplam hidrolik yükün değeri elde edilmiş olmaktadır.
Toplam hidrolik yük değerleri bulunduktan sonra, hidrolik eğimler, akım hızları, akım miktarı, sızma kuvvetleri ve su basınçları kolaylıkla elde edilebilmektedir.
Zeminlerde Su Akımı
Zeminlerde Su AkımıZeminin her doğrultusundaki permeabilitenin aynı olduğu izotropik koşullarda kx=ky=kz olacağı durumlarda diferansiyel denklem
şeklini alacaktır. (La Place denklemi)
Bu ikinci derece kısmi diferansiyel denklem matematikte La Place denklemi olarak bilinir. La Place denkleminin çözümünü elde etmek nisbeten daha kolay olduğu için akım problemlerinde genellikle zeminin izotropik özelliklere (kx = ky = kz) sahip olduğu varsayılmaktadır.İki boyutlu problemlerde, zemin içinde su akımını tanımlayan La Place denklemi
Denklemde h(x,z) potansiyel fonksiyonu, akım bölgesindeki herhangi bir noktada toplam hidrolik yükün değerini temsil etmektedir.Buna göre x ve z doğrultusundaki hidrolik eğim şeklinde ifade edilebilir.
2 2 2
2 2 2 0h h hx y z¶ ¶ ¶
+ + =¶ ¶ ¶
02
2
2
2
=+zh
xh
¶¶
¶¶
÷øö
çè涶
=xhix ÷
øö
çè涶
=zhiz
Akım Çizgileri ve Eş Potansiyel Çizgileri
Darcy Kanunu’na göre akım hızının hidrolik eğim ile doğru orantılı olarak artacağını biliyoruz. h(x,z) potansiyel fonksiyonu, akım bölgesindeki herhangi bir noktada toplam hidrolik yükün değerini temsil etmektedir.Y(x,z) hız potansiyel fonksiyonu, akım bölgesindeki herhangi bir noktada akım hızının değerini temsil etmektedir. x ve z doğrultularındaki akım hızlarını, Y(x,z) hız potansiyel fonksiyonundan yararlanarak (v=ki)
şeklinde ifade edebiliriz.
Yukarıdaki ifadelerin x ve z’ye göre türevlerini alıp birbiri ile toplayarak
Y(x,z) hız potansiyel fonksiyonunun da La Place denklemini sağladığını kanıtlayabiliriz.
xhk
z ¶¶
-=¶Y¶
zhk
x ¶¶
=¶Y¶
0k 22
2
2
2
2
=¶¶
¶-
¶¶¶
=¶Y¶
+¶Y¶
xzhk
zxh
zx
Akım Çizgileri ve Eş Potansiyel ÇizgileriAkım bölgesi içinde Y hız potansiyel fonksiyonunun değerinin sabit kaldığı(Y=sabit) bir eğri üzerinde, türevin sıfıra eşit olacağı gözönüne alınarak
Böyle bir eğrinin eğimi şeklinde ifade edilebilir.
Bu durumda, Y=sabit eğrilerine çizilecek teğetler, o noktadaki hız vektörünü göstermekte Y=sabit eğrileri ise zemin içinde akan bir su damlasının takip edeceği izler olmaktadır. Bu eğrilere, zemin mekaniğinde akım eğrileri adı verilir.
0dz =¶Y¶
+¶Y¶
=Yz
dxx
d
/ / / /
z
x
vdz x h zdx z h x v
¶Y ¶ ¶ ¶= - = =
¶Y ¶ ¶ ¶
Akım Çizgileri ve Eş Potansiyel ÇizgileriAkım bölgesi içinde hidrolik yük dağılımını gösteren h(x, z) potansiyel fonksiyonunun sabit değerler aldığı (h=sabit) ve eğrilerin eğimi ise
şeklinde elde edilebilir.
Görüldüğü gibi h=sabit eğrilerinin (eş potansiyel çizgileri) eğimi, akım çizgilerinin eğiminintersine ve ters işaretlisine eşit olmaktadır.
Bu da bize akım çizgileri ile eşpotansiyel çizgilerinin birbirini dik açılar ile kestiğini, başkabir ifade ile, h (x,z) ve Y(x,z) potansiyel fonksiyonlarının birbirine dik (ortogonal) ikifonksiyon olduğunu göstermektedir.
Bir akım bölgesi içindeki akım çizgilerini gösteren Y=sabit ile eşpotansiyel çizgilerinigösteren h=sabit eğri takımlarını bir arada çizerek, o akım bölgesi için akım ağını eldeedebiliriz.
0dz =¶¶
+¶¶
=zhdx
xhdh
//
x
z
vdz h xeğimdx h z v
¶ ¶= = - = -
¶ ¶
Akım Ağlarıve Sızmanın Hesaplanması
Zemin kütlesinin birim uzunluğu için, iki akım çizgisi arasında kalan bölgeden (akım kanalı) geçen su miktarı Darcy yasasından yararlanılarak,
Burada, a ve b sırası ile ardışık akım çizgileri ve eşpotansiyel çizgileri arasındaki uzaklıklar olmaktadır.Görüldüğü gibi, akım hızı vektörü eşpotansiyel çizgilerine dik olmakta, şiddeti ise hidrolik eğim
ile zeminin permeabilite katsayısı çarpılarak elde edilmektedir
v = k i
hbakax
bhhkkiAq D=
-==D )()1()( 21
bhhi )( 21 -=
Sınır koşullarıZemin ile su arasındaki sınır eşpotansiyel çizgidir.Zemin ile geçirimsiz malzemeler arasındaki herhangi bir sınır akım çizgisidir.
Geçirimsiz malzeme,geçirimsiz bir tabaka da olabilir,bir temelin tabanı da olabilir,bir palplanş perde de olabilir.
Akım problemleri sınır koşulları açısından 2 gruba ayrılır. A) basınçlı akımB) serbest yüzeyli akım
Akım bölgesi sınırlarının fiziksel olarak kısıtlandığı durumlar (basınçlı akım).
• Bu tür akım problemlerinde su akımı belirlenmiş sınırlar içinde kalmak zorundadır.
• Beton bağlama altından sızan su akımı bağlamanın tabanı ile geçirimsiz tabaka arasından geçecek şekilde kısıtlanmıştır.
• Ayrıca su geçirimsizlik perdesinin de altından dolaşmak zorundadır. • Geçirimsiz sınırlara dik doğrultuda akım olmayacağı için, böyle bir sınıra ulaşan su
damlaları geçirimsiz yüzeye parallel akmak zorundadır. • Dolayısıyla geçirimsiz yüzeyler akım çizgilerini oluşturmaktadır.
A’B’, B’C, CD, DE ve FG akım bölgesini sınırlayan akım çizgilerini oluşturur.
AA’, BB’ ve EE’ sınırları ise hidrolik yükün sabit olduğu eşpotansiyel çizgileridir.
Akım bölgesinin tam olarak kısıtlanmadığı durumlar (serbest yüzeyli akım).
Bu tür problemlerde, akım bölgesi sınırlarından en az bir tanesi fiziksel olarak belirlenmemiştir.Bu sınırın saptanması araştırılan çözümün bir parçasını oluşturur.Toprak dolgu barajda su sızması problemini inceleyelim.Geçirimsiz tabaka sızma bölgesinin alt sınırını oluşturmaktadır.Sızma bölgesinin üst sınırı ise fiziksel olarak belirlenmemiştir.A’D ile gösterilen üst akım çizgisinin saptanması problemin bir parçasını oluşturmaktadır.Dren geçirimli olduğu için bir serbest yüzey oluşturmakta, buraya erişen su çok az hidrolik yük kaybı ile yatay yönde kolaylıkla akabilmektedir.
A’B’ eşpotansiyel çizgi (su basıncı ve hidrolik yüklerin toplamı sabit kaldığı için),B’C akım çizgisi, CDE eşpotansiyel çizgisi,A’D üst akım çizgisidir (başlangıçta bilinmemektedir). Su akımı eşpotansiyel çizgilere dik doğrultudadır.
LA’PLACE DENKLEMİ’NİN ÇÖZÜMÜ
1. Grafik çözümler (Akım Ağları)2. Sayısal çözümler (sonlu farklar, sonlu elemanlar, sınır
elemanlar)3. Elektrik analojisi (benzeşimi)
17
Akım Ağlarının Özellikleri ve Çizilmesi1. Akım çizgileri ve eşpotansiyel çizgiler
birbirlerini dik açılarla kesmelidir (sınırlar dahil)2. Birbiri ile kesişen akım ve eşpotansiyel
çizgilerin oluşturduğu eğri kenarlı dikdörtgenler birbirine benzer olmalıdır (genişlik/uzunluk=sabit)
3. Birbirini takip eden eşpotansiyel çizgileri arasındaki hidrolik yük farkı sabit olmalıdır (h1- h2=h2-h3=h3-h4 =….).
4. Akım kanalları arasından eşit miktarda su geçmelidir (2. ve 3. koşullar ile bu otomatikman sağlanır).
5. Serbest akım problemlerinde eşpotansiyel çizgileri, üst akım çizgisini eşit düşey aralıklarla kesmelidir.
6. Sınırları oluşturan yüzeylerde, akım çizgisi veya eşpotansiyel çizgi olmalarına göre sınır koşulları ile uyum sağlamalıdır.
Akım Ağı Çizilmesi1. Çizgisiz bir kağıt üzerine ölçekli olarak akım bölgesinin sınırları mürekkepli
kalemle çizilir.2. Akım bölgesi için çizilecek akım kanalı sayısı seçilir (genellikle 4-5 yeterli) ve
kurşun kalemle çizilir. İlk denemede akım çizgileri aralıkları yaklaşık eşitçizilebilir. Akım çizgilerinin eşpotansiyel çizgi olan sınırlara dik doğrultudaolmasına dikkat edilir.
3. İkinci adımda çizilen akım çizgilerini dik açıyla kesecek ve bunlarlagenişlik/uzunluk oranı sabit dikdörtgenler oluşturacak şekilde eşpotansiyelçizgileri çizilir. Genellikle akım ağları dikdörtgenlerin genişlik/uzunluk oranıbire eşit çizilmekle beraber bu oranın sabit olması yeterlidir. Eşpotansiyelçizgilerin akım çizgisini oluşturan geçirimsiz sınır yüzeylerine dik olmasınadikkate edilmelidir.
4. Çizilen akım ağının, bir akım ağının sahip olması gereken koşullar ileuyumlu olup olmadığı kontrol edilir, uyumsuzluklar giderilir.
19
Akım ağlarının bazı geometrik özellikleri
• Eşit akım taşıyan akım kanalları, eşpotansiyel çizgileri uzunluk/genişlik oranı aynı olan dikdörtgenler oluşacak şekilde keserler.
• Akım ağlarını elle çizmek için, her bir akım kanalının aynı debiyi (akımı) taşıdığını ve komşu iki eşpotansiyel çizgi arasında meydana gelen enerji kaybının (yük kaybının) hep eşit olduğunu varsaymak gerekir.
• Bu durumda tüm elemanlar dikdörtgenimsi olup birbirine benzer geometrilere sahip olacaktır.
• Akım ağlarını bu dikdörtgenleri kare olacak şekilde çizmek son derece uygundur (Şekil ’de gösterildiği gibi) akım kanalı içine 4 noktada değecek şekilde daire çizerek kareler oluşturabiliriz).
1 Boyutlu Akım Problemlerinde Akım Ağı
• Birbirini takip eden eşpotansiyel çizgileri arasındaki toplam hidrolik yük kaybı Δh=H/4=sabit
• Zemin içinde her noktada hidrolik eğim i=H/L, • akım hızı v=ki=k (H/L)• Akım miktarı q=kiA=k (H/L) A• A ve B’de toplam hidrolik yük hA ve hB
H
L
Eş potansiyel çizgileri (kesikli çizgiler)
Akım çizgileri
C noktası hC= hA – i x (zemin boyu) hC= hA – H/L x (3/4L) hC= hA – (3/4H) hC= hB + i x (zemin boyu) hC= hB + H/L x L/4 hC= hB + H/4
Piezometreler değişik noktalardaki toplam hidrolik yükü göstermektedir. Yatay bir çizgi üzerindeki noktaların yerçekimi yükleri aynı olduğu halde toplam hidrolik yüklerdeki farklılıklar basınç farklılıklarından kaynaklanmaktadır.
1 Boyutlu Akım Problemlerinde Akım Ağı
Üst yüzeyi ince bir su tabakası ile kaplı, alt yüzeyi ise permeabilitesi çok yüksek bir çakıl dren (serbest akım yüzeyi) ile temas halinde bir zemin tabakasından suyun sızması gösterilmiştir. Burada akım düşey yöndedir ve akım çizgileri düşey doğrular ile gösterilmiştir.Eş potansiyel çizgileri (kesikli çizgiler) ise bunlara dik yatay doğrulardanoluşmaktadır. Alt ve üst yüzeylerde su basıncı sıfır (atmosferik basınç) olduğu için toplam hidrolik yük yerçekimi yükünden oluşmaktadır.A noktasıhA= H – i x (L) = H – 1 x H = 0
• Birbirini takip eden eşpotansiyel çizgileri arasındaki toplam hidrolik yük kaybı H/4=sabit
• Akım boyu = L=H • Hidrolik eğim i= H/H=1.0 birim boydaki
yük kaybı• V=ki=k• Bütün tabaka derinliği boyunca su
basınçları sıfır (u=0).
Akım çizgileri
Eş potansiyel çizgileri
. A
3H/4
2H/4
0
H/4
2 Boyutlu Akım: Beton Bağlama• Eş Potansiyel çizgileri aralık sayısı Nd
• Akım kanalı sayısı Nf
• Birbirini takip eden eşpotansiyel çizgileri arasındaki toplam hidrolik yük kaybı Δh/Nd = Δh/10= sabit
• Akım çizgileri ve eşpotansiyel çizgileri eşit aralıklı değil (genişlik/uzunluk≈sabit)!
• A’da hidrolik eğim iA=0.10 (Δh/b)• Eşpotansiyel çizgilerin birbirine
yaklaştığı bölgeler hidrolik eğimin ve akım hızının arttığı bölgeler !
• Ara noktalardaki hidrolik yük interpolasyonla bulunabilir (hA=0.35Δh)
• A noktasında su basıncı• uA=[hA-(zA)]gw = (hA+zA)g w
Bağlamanın altından birim zamanda sızansu miktarları:
Bağlamanın birim uzunluğuiçin, bir akım kanalından geçen su miktarı
bNhakqd
1.. ÷÷ø
öççè
æ D=D
Bağlamanın birim uzunluğuiçin, akım kanalı sayısı Nfiken geçen su miktarı
hNN
bakq
d
f D÷÷ø
öççè
æ÷øö
çèæ= .
Simetrik problemlerBazı problemlerde simetriden yararlanarak akım ağının sadece yarısını çizebiliriz. Şekil ’de kenarları palplanşlar ile tutulmuş bir hendeğe sızan su problemi için akım ağı gösterilmiştir. Akım ağının değerlendirilmesinden, hidrolik eğimler (kazı tabanının stabilitesi açısından önemli), kazıya sızan su miktarları ve palplanş perdesine etkiyen hidrolik basınçlar hesaplanabilir.
Serbest akım yüzeyiToprak dolgu bir barajda akım probleminin özelliği, üst akım çizgisinin saptanması oluşturmaktadır. Ayrıca permeabilitesi çok yüksek bir topuk dreninin varlığıda akım özelliklerini etkilemektedir.
Granüler zeminlerde borulanma
R.D.Beton bağlama
Geçirimsiz tabaka
zemin
ΔH
Dh = hidrolik yük farkıDl
çıkışhil
D=D
Çıkışta hidrolik eğim
Granüler zeminlerde borulanma
R.D.Beton bağlama
Geçirimsiz tabaka
ΔH
içıkış > (icr)Zemin daneleri yıkanır
Zemin yok; su dolu
Bu olay sonucunda menbaya doğru ilerleyen oyulma (borulanma) meydana gelir.
zemin
5 6cborulanma
çıkış
iFi
= ñ -
Drenler ve Filtreler• Toprak barajlar veya sızmanın olduğu problemlerde zemin
suyunda basınç artışlarını kontrol etmek için geçirgenliği(permeabilitesi) yüksek drenaj tabakaları kullanılmaktadır.
• Drenlerin esas amacı suyun rahat hareketini sağlamak ve böylece zemin veya kaya içerisinde hidrostatik basınçların artmasına engel olmaktır.
Drenler ve FiltrelerDrenaj tabakası iki ana koşulu sağlamalıdır:
1. Drenaj malzemesinin granülometrisi ve boşlukların boyutları yakınındaki ince danelerin dren içine sızmasına ve tıkanmaya yol açmasına engel olacak şekilde seçilmeli
2. Zeminin granülometrisi ve boşlukların boyutları dren tabakasının yüksek permeabiliteye sahip olmasına imkan verecek şekilde seçilmeli
• Birçok problemde, iri daneli zeminlerden oluşan drenler permeabilitesi çokdüşük ince daneli zeminler ile yanyana yerleştirilmek durumunda olmaktadır.Böyle durumlarda yukarıdaki koşulları doğrudan sağlamak mümkünolamayacağı için, dren ile ince daneli tabii zemin arasına geçiş tabakası olarakfilitreler yerleştirilmektedir.
• Filitre tabakalarının granülometrisi ince daneli zemin ve dren malzemesinin herikisi ile de yukarıdaki koşulları sağlayacak zeminlerden seçilmelidir.
• Bu şekilde teşkil edilmiş bir filitre tabakası dreni koruyacak şekilde işlevgörecektir.
36
• Drenle birlikte filtre kullanılması durumunda
43
KAYNAKLARÖzaydın, K. (2011), Zemin Mekaniği, Birsen Yayınevi, Güncelleştirilmiş Baskı, İstanbul.Uzuner, B. (2007), Temel Zemin Mekaniği, Derya Kitabevi, Trabzon.Casagrande, A. (1937) “Seepage Through Dams”, Journal of the New England Water Works Association, Vol. 51, 131-172. Reprinted in Contributions to Soil Mechanics, 1925-1940, Boston Society of Civil Engineers, 1940.Cedergren, H. R. (1977) Seepage, Drainage and Flow Nets, 2nd Ed., John Wiley and Sons, Inc., New York.Dunn, I. S., Anderson, L. R. and Kiefer, F. W. (1980) Fundamentals of Geotechnical Analyis, John Wiley and Sons, Inc., New York.Ernst, L. F. (1950) “Een nieuwe formule voor de berekening van de doorlaatfactor met de boorgatenmethode,” Rap. Landbouwproefsta en Bodemkunding Inst. T. N. O., Groningen, Netherlands.Hazen A. (1911) “Discussion of Dams on Sand Foundations,” by A. C:Koenig, Transactions, American Society of Civil Engineers, Vol. 73, 199-203.Hooghoudt, S. B. (1936) “Bijdragen tot de kennis van eenige natuur kundige grootheden van den grond, 4” Versl. Lamdb., Ond. 42 (13) B :449—451, Algemeene Landsdrukkerji, The Hague.Lambe, T. W. And Whitman, R. V. (1969) Soil Mechanics, John Wiley and Sons, Inc., New York.Perloff, W. H. and Baron, W. (1976) Soil Mechanics-Principles and Applications, The Ronald Pres Company, New York.