ZEMİNLERİN GEÇİRİMLİLİĞİozgurertugrul.gen.tr/342/docs/sizma/akim aglari_genis.pdf · bir bölümünden sızıntı hızı (gerçek hız), v s, ile akar. Ancak hızın bu şekilde

21

ZEMİNLERİN

GEÇİRİMLİLİĞİ

22

GİRİŞ

İnşaat Mühendisliğinde, zemin içindeki su akımları ile

birçok durumda karşılaşılır. Toprak yapılar [toprak baraj,

toprak set (sedde) vb.] içinden suların sızması,

yapıların (baraj, regülatör vb.) altından suların sızması,

açılan ve su çekilen kuyu veya çukura suyun sızması

vb. yer altında oluşan su akımlarına (akışlarına) örnek

olarak verilebilir. Bu gibi olayları incelemek için,

zeminde su akımı ile ilgili bilgilerin öğrenilmesi gerekir.

23

GİRİŞ

24

DARCY YASASI

Zemin, boşluklu bir ortam olup, boşlukları birbirine

bağlıdır. Bazı cisimler boşluklu olup, boşluklar kapalıdır,

birbirine bağlı değildir. Su, zemin ortamın boşluklarında

hareketsiz (durgun su durumu) durumda bulunabildiği

gibi, birbirine bağlı boşluklardan geçerek, akabilir

(hareketli yeraltı su durumu, akış durumu). Darcy

(1856), laminer akım koşullarında suya doygun bir

zemin ortamında; hızın, hidrolik eğim ile orantılı

olduğunu göstermiştir. Yeraltı su akımlarının genellikle

laminer (düşük hıza sahip) olduğu bilinmektedir. Eğer, L

uzunluklu, A enkesit alanlı bir zemin örneği, h1-h2 su

düzey farkına maruz bırakılırsa, Darcy Yasası,

aşağıdaki gibi yazılabilir.

25

DARCY YASASI

kiv

q/Av

vAq

Akiq

v ; hız

q ; debi

A ; alan

i ; hidrolik eğim

k ; permeabilite

(geçirimlilik)

26

DARCY YASASI

Hidrolik eğim düşükken, hız hidrolik eğimle doğrusal olarak değişiyor.

Akım hızı belirli bir hidrolik eğimi (icr) geçtiğinde türbülanslı akım

görülmekte ve Darcy yasasının geçerliliği kaybolmaktadır.

27

DARCY YASASI

v hızı, filtre hızı (debi hızı) olup, su akışının zeminin tüm

A enkesitinin her noktasından akıyormuş gibi

düşünülerek adlandırıldığı ortalama hayali bir hızdır.

Gerçekte, su, zeminin enkesitinin her noktasından

akmayıp, ancak daneler arası boşlukların oluşturduğu

bir bölümünden sızıntı hızı (gerçek hız), vs, ile akar.

Ancak hızın bu şekilde tanımı, su akımlarının

incelenmesinde uygundur. Sızıntı hızı ile filtre hızı

arasında aşağıdaki bağıntı vardır.

snvv

n, zeminin porozitesi olup, n < 1 olduğu için, v < vs dir.

28

DARCY YASASI

k, zeminin geçirimlilik (permeabilite, geçirgenlik)

katsayısı (hidrolik iletkenlik veya geçirimlilik) olup,

zeminin su geçirme özelliğini yansıtır ve hız

boyutundadır (m/s vb.).

Hidrolik eğim (su akımının üzerindeki iki nokta

arasında), i, aşağıdaki gibi tanımlanır ve boyutsuzdur.

q, debi olup, birim zamanda bir kesitten (akım yönüne

dik olan kesit) geçen suyun miktarını belirtir (m3/s vb.).

Su akımının meydana gelmesine bağlı olarak L'nin

konumu yatay, düşey, eğik vb. olabilir.

L

h

L

hhi

21

uzunlugu Akim

farki düzeyleriSu

29

DARCY YASASI

su

Gevşek zemin

- Akış kolay

- Yüksek permeabilite

Sıkı zemin

- Akış yavaş

- Düşük permeabilite

30

DARCY YASASI

Tablodan anlaşılacağı üzere, iri daneli zeminlerde k büyük;

ince daneli zeminlerde, k küçük değerler almaktadır. Kilin

geçirimlilik katsayısı çok küçük olduğundan, kil zemin

geçirimliliği çok azaltmada kullanılır (toprak barajlarda kil

çekirdek oluşturma, çöp depolama alanlarının alt ve

yanlarında kil tabaka oluşturma vb.)

31

GEÇİRİMLİLİK KATSAYISI

Geçirimlilik katsayısının belirlenmesi :

32

k’nın LABORATUVAR DENEYLERİYLE

BELİRLENMESİ

SABİT SEVİYELİ PERMEAMETRE :

Geçirimliliği yüksek olan iri daneli zeminler için uygundur.

Geçirimliliği belirlenecek zemin, istenilen sıkılıkta veya

arazideki sıkılığına benzer olarak saydam bir silindire

yerleştirilir.

Sabit su düzeyli bir hazneden gelen su, zeminden geçerek,

hacim bölümlü bir kapta toplanır. Kararlı akış elde edildikten

sonra, belli bir sürede (Δt), kapta toplanan su miktarı (ΔQ)

belirlenir. Zemin örneğinin alt, üst ve orta kısımlarına

bağlanan saydam borularda (piyezometre boruları), su

düzeyleri gözlenir, okunur, kaydedilir. Darcy Yasasından k

hesaplanır.

33


BELİRLENMESİ

sabit su haznesi

Piyezometre

boruları

Zemin numunesi

L Su toplama kabı

(dereceli silindir)

34


BELİRLENMESİ

Üstten Besleme Durumu

35


BELİRLENMESİ

Ai

qk

t

Qq

L

hi

Kesit alanı,

A

Fazla su

Su besleme

Hacim, Q

Zaman, t

thA

LQk

..

.

h

Debi;

Alttan Besleme Durumu

36


BELİRLENMESİ

DÜŞEN SEVİYELİ PERMEAMETRE :

Geçirimliliği düşük olan ince daneli (kil, silt) zeminler için

uygundur.

Zeminin cinsine göre, uygun enkesitteki (çaplı) saydam bir

boru (iç çapları 5-20 mm) zemin örneği üzerine takılır.

Üstteki boruya doldurulan su, zeminden geçerek dışarı akar.

Kararlı akış elde edildikten sonra; deney başında ve

sonundaki su yükseklikleri ile arada geçen zaman ve enkesit

alanlarından, zeminin geçirimlilik katsayısı hesaplanır.

37


BELİRLENMESİ

38


BELİRLENMESİ

Üstten Besleme Durumu

39


BELİRLENMESİ

Kesit

alanı, A

İnce tüpün

kesit alanı, a

Su yüksekliği

h1’den h2’ye

düşüyor h1

h2

Tüpten geçen debi,

dt

dhaQ .

Zeminden geçen debi,

AL

hkQ .

Alttan Besleme Durumu

40


BELİRLENMESİ

AL

hk

dt

dha ... dt

L

k

a

A

h

dh..

2

1

2

1

.

t

t

h

h

dtL

k

a

A

h

dh 2

1

2

1

..lnt

t

h

ht

L

k

a

Ah

1221 ..lnln ttL

k

a

Ahh

2

1

12

ln1

..h

h

ttL

A

ak

41

UYGULAMA

Sabit seviyeli permeabilite deneyi yapılan bir kum

numunesi için permeabilite katsayısını (cm/s cinsinden)

hesaplayınız.

Verilenler:

Numune boyu, L = 45 cm

Kesit alanı, A = 22.6 cm2

Sabit su yüksekliği, h = 71 cm

Toplanan su miktarı, Q = 353.6 cm3 (t = 3 dakikada)

42

UYGULAMA


Kesit alanı, A = 22.6 cm2

Sabit su yüksekliği, h = 71 cm

Toplanan su miktarı, Q = 353.6 cm3 (t = 3 dakikada)

0551.0)603(716.22

456.353

..

.

thA

LQk cm/s

43

UYGULAMA

Düşen seviyeli permeabilite deneyi yapılan siltli kum

numunesi için permeabilite katsayısını (cm/s cinsinden)

hesaplayınız.

Verilenler:


Numune kesit alanı, A = 10 cm2

Kılcal tüp kesit alanı, a = 0.4 cm2

t = 0’da yükseklik farkı, h1 = 50 cm

t = 180 s’de yükseklik farkı, h2 = 30 cm

44

UYGULAMA

L = 20 cm A = 10 cm2 a = 0.4 cm2

t = 0’da h1 = 50 cm t = 180 s’de h2 = 30 cm

2

1

12

ln1

..h

h

ttL

A

ak

31027.2

30

50ln

0180

1.20.

10

4.0

k cm/s

45

k’nın ARAZİ DENEYLERİYLE BELİRLENMESİ

Su içeren geçirimli tabakaya akifer denilir. Akiferler iki türlü

olabilir;

1.Serbest 2. Basınçlı

Serbest (sınırlanmamış) akiferde, yeraltı su düzeyi, doygun

bölgenin üst sınırıdır. Basınçlı (artezyen, sınırlanmış)

akiferde, yeraltı suyu, üstten geçirimsiz bir tabaka ile

sınırlanmıştır.

46


ZEMİNDEN SU ÇEKEREK (SERBEST AKİFERDE):

Serbest akiferde, geçirimlilik katsayısının belirlenmesinde

pompa ile su çekmek için zeminde bir kuyu açılır. Sabit bir

debi ile sürekli su çekilir. Başlangıçta yatay olan yeraltı su

düzeyi, kuyu içinde alçalarak, şekildeki sabit alçalmış

durumu alır.

Kararlı durum elde edildikten sonra, deney kuyusu

merkezinden itibaren, aynı doğrultu üzerinde açılmış en az

iki gözlem kuyusu ile alçalan su düzeyi, gözlenerek ölçülür.

47


48


dr

dhi

dr

dhkrhAkiq ..2

dr

dh Hidrolik Eğim :

Darcy Yasası yazılırsa,

2

1

2

1

2

h

h

r

r

hdhkr

drq

)(

)/ln(2

1

2

2

12

hh

rrqk

49

Kuyudan sabit bir q debisi çekilerek, kararlı durum elde

edildikten sonra, gözlem kuyularındaki su düzeyleri

gözlenerek, ölçülür. Kuyu merkezinden itibaren r yarıçaplı

bir kesit düşünelim. Bu kesit için Darcy Yasası yazılır,

integre edilirse;


dr

dhrbkAkiq 2

2

1

2

1

2

h

h

r

r

dhkbr

drq

BASINÇLI AKİFERDE :

)(2

ln

12

1

2

hhb

r

rq

k

50


2

1

2

1

2

h

h

r

r

dhkbr

drq

dr

dhrbAkiq 2

)(2

ln

12

1

2

hhb

r

rq

k

PERMEABİLİTE DEĞERLERİ (cm/s)

10-5 10-7 100

Kil Çakıl Kum Silt

Kaba Daneli İnce Daneli

Dolaylı yollardan da permeabilite hesaplanabilir ;

Hansen; k = c* (D10)2

Terzaghi Üniform Kumlar İçin; k = 200*e2* (D10)2

2. Konsolidasyon deneyinden; uvw cmk **

1. Dane dağılımı yardımıyla;

52

YATAY ve DÜŞEY YÖNDE GEÇİRİMLİLİK

Zeminlerde yatay ve düşey yöndeki geçirimlilik katsayıları

ortamın anizotrop özellikleri nedeniyle genellikle farklılık

gösterir. Çakıl ve kumlarda bu fark, katsayıların yeterince

yüksek olması nedeniyle önemsenmeyebilir. Ancak

özellikler çökel killerde yatay/düşey geçirimlilik oranının

(kh/kv) 20’ye kadar yükseldiği bulunmaktadır.

53

TABAKALI ZEMİNLERDE KARAKTERİSTİK


n tane

tabakadan

oluşan bir zemin

sisteminde yatay

yöndeki

geçirimlikik

katsayıları kh,

düşey yöndekiler

ise kv ile

gösterilsin,

54



YATAY YÖNDE AKIM : nqqqq ....21

Her katmanda hidrolik

eğim değişmez.

Hikq

Hikq

Hikq

eşh

h

h

..

...

..

..

)(

222

111

+

nhnhheşh HkHkHkH

k ...1

2211)(

55



DİKEY YÖNDE AKIM : Her katmanda n geçen

debi ve buna bağlı olarak

hızın olması gerekir.

nvvvv ....21

nvnvveşv ikikikikv 2211)( .

56



nn HiHiHiHi ....... 2211

DİKEY YÖNDE AKIM :

Her tabakadaki hidrolik eğim farklıdır.

Akım için toplam enerji her tabakada oluşan yük kaybının

toplamına eşit olmalıdır.

vn

n

vv

eşv

k

H

k

H

k

H

Hk

...2

2

1

1

)(

57

UYGULAMA

1.0 m

1.5 m

2.0 m

1.2 m

3.0 m

kanal

0.5 m

k=2.3*10-7 cm/s

k=5.2*10-6 cm/s

k=2.0*10-6 cm/s

k=0.3*10-4 cm/s

k=0.8*10-3 cm/s

Sulama kanalı amacı ile şekildeki kazı yapılmıştır.

Kaplamasız kanalda zemine yanlardan ve tabandan su

sızacaktır. Sızıntı hesabına esas olacak k değerlerini

hesaplayınız.

58

UYGULAMA

1.0 m

1.5 m kanal

0.5 m

k=2.3*10-7 cm/s

k=5.2*10-6 cm/s

k=2.0*10-6 cm/s

Yatay yönde akım, 332211)(

1HkHkHk

Hk hhheşh

5.0*10*0.25.1*10*2.50.1*10*23.03

1 666

)(

eşhk

scmk eşh /10*3 6

)(

59

UYGULAMA

1.5 m

1.2 m

3.0 m

kanal

k=2.0*10-6 cm/s

k=0.3*10-4 cm/s

k=0.8*10-3 cm/s

Düşey yönde akım,

3

3

2

2

1

1

)(

vvv

eşv

k

H

k

H

k

H

Hk

60

UYGULAMA

346

)(

10*8.0

0.3

10*3.0

2.1

10*0.2

5.1

7.5eşvk

1.5 m

1.2 m

3.0 m

kanal

k=2.0*10-6 cm/s

k=0.3*10-4 cm/s

k=0.8*10-3 cm/s

scmk eşv /10*2.7 6

)(

KRİTİK HİDROLİK EĞİM


Efektif Gerilme,

Bu denklem için özel durum, toplam gerilmenin, boşluk

suyu basıncına eşit olması durumudur. Yani, efektif

gerilmenin sıfır oluşu.

Efektif gerilmenin sıfır olması, yani danelerin üzerindeki

yükleri alttaki danelere aktaramaması durumunda,

zemin taşıyıcı özelliğini yitirmekte ve katı veya plastik

durumdan sıvı duruma dönüşmektedir.

Bu duruma neden olan minimum hidrolik eğime, kritik

hidrolik eğim (icr) denir.

wu


Şekilde kritik hidrolik

eğimin anlatımı için

laboratuarda

gösterilebilecek basit

bir modelleme

yapılmaktadır.


• Cam tüp B seviyesine kadar

doldurulursa, sistem hidrostatik

dengeye gelecektir. Ve tüm

piyezometrelerde su yüksekliği

B seviyesinde olacaktır.

B

C

A

• Yükselim tüpündeki suyun B kotundan daha aşağıda olması

durumunda, su zemin içerisinden aşağı doğru akacaktır.

Yükselim tüpündeki suyun B kotunun üzerine çıkması

durumunda ise, bu olayın tersi söz konusu olacaktır.


• Yani, yükselim tüpündeki suyun

B kotunun üzerine çıkması

durumunda, su hareketi zemin

içinden yukarıya doğru olacaktır.

B

C

A

• Şekilde görüldüğü gibi, B kotu üzerinde h yüksekliği ne

kadar büyükse, yük veya enerji kaybı ile zemine iletilen sızma

kuvvetleri de o kadar büyük olacaktır.

h


• Sızma kuvvetleri giderek

büyürken, zemin üzerine etkiyen

yerçekimi kuvvetine baskın

gelerek akıcı durumun veya

kaynamanın meydana gelmesine

yol açar.

B

C

A

• Zeminin akıcı duruma geldiği anda B kotu üzerindeki h

yüksekliği ne kadardır?

h


• Su yüksekliğinin B kotunda

olması durumunda, XX

düzlemindeki toplam gerilme ve

boşluk suyu basıncı;

B

C

A

h

X X

Lh dwwXX ..

)( Lhu www

Efektif gerilme ise, olacaktır. LXX '.


• Toplam gerilme sabit olduğuna

göre, boşluk suyu basıncını

artırırsak veya azaltırsak nasıl bir

sonuçla karşılaşırız?

• Su seviyesinin B kotu üzerinde

h kadar yükselmesini sağlarsak,

boşluk suyu basıncı,

B

C

A

h

X X

)( hLhu www

Yeni su

yüksekliği

Numune tabanındaki boşluk suyu basıncı artışı;

hu ww .


• Yeni denge durumunda, XX

düzlemindeki efektif gerilme

değeri,

B

C

A

h

X X

Yeni su

yüksekliği

Yani numune tabanındaki efektif gerilme, boşluk suyu

basıncı artışı kadar azalmış olacak!!!

YENIwXXXX u

hL wXX .'.


• Zemin kolonunun tabanındaki

efektif gerilme ne zaman sıfır

olacak ?

B

C

A

h

X X

Yeni su

yüksekliği

0.'. hL wXX

wL

h

'

Kritik hidrolik eğim w

cri

'


• Su altında birim hacim ağırlığı;

ws

e

G .

1

1'

1

e

Gs.w

e.w

ws

de

eG .

1

HATIRLATMA

• Kritik hidrolik eğim;

e

Gi scr

1

1

ZEMİNDE SIZMA

(AKIM AĞLARI)

ZEMİNDE AKIM PROBLEMLERİ

Beton baraj altında Kazı alanına


Toprak baraj içinden


Drenaj kuyularına

AKIM AĞLARI

AKIM BORUSU

AKIM AĞLARI

zg

vuh

w

2

2

h; Toplam enerji yüksekliği

u/w; basınç yüksekliği

v2/2g; hız yüksekliği

z; kot yüksekliği

Sızıntı hızı çok düşük olduğu için

ikinci ifade ihmal edilebilir.

B

w

BA

w

ABA z

uz

uhhh

AKIM AĞLARI

Doygun zemin elemanı,

dxx

vvv xxxx .)(

dyy

vvv

y

yyy .)(

dzz

vvv zzzz .)(

AKIM AĞLARI

0........

dydxvdydzvdydxdz

z

vvdydzdx

x

vv zx

zz

xx

Giren Su = Çıkan Su

2 Boyutlu düşünürsek,

0

z

v

x

v zxdüzenlenirse,

z

hkikv

x

hkikv

zzzz

xxxx

..

..

0..2

2

2

2

z

hk

x

hk zx

AKIM AĞLARI

0..2

2

2

2

z

hk

x

hk zx

kx = kz = sabit olarak düşünülürse,

02

2

2

2

z

h

x

h

Veya k.h= (hız potansiyeli)

02

2

2

2

zx

AKIM AĞI HESAP YÖNTEMLERİ

A)Teorik Analiz

B)Sayısal Analiz

B.1. Sonlu Farklar

B.2. Sonlu Elemanlar

C) Elektriksel Benzeşim

D) Tahmini Akım Ağı

02

2

2

2

zx

AKIM AĞININ ÖZELLİKLERİ

Akım ağı, akım çizgileri ve eş potansiyel çizgilerinden

oluşur.

Akım çizgisi, suyun ortalama akış yolunu gösteren

çizgidir. İki akış çizgisi arasındaki aralığa, akım kanalı

(borusu) (dikdörtgen en kesitli olup, şekil düzlemine dik

boyutu 1 birim (1 m vb.) dir.) denilir.

Eşpotansiyel çizgisi, akış ortamında, aynı piyezometrik

yatay düzeye sahip noktaları birleştiren çizgidir. Bir

eşpotansiyel çizgisi üzerine batırılan bütün borulardaki

su yüksekliği, aynı yatay düzlemdedir.

Akım ağı, ölçekli çizilmiş bir şekil üzerinde, deneme-

yanılma ile oluşturulur.



Akım ağı, akım çizgileri ve eş potansiyel çizgilerinden

oluşur.

• Akım ipleri, eşpotansiyellerle dik açıda kesişir,

kesişimden kare veya eşkenar dörtgen belirmelidir.

• Akım ipleri ve eşpotansiyeller birbirini kesemez.

• Akım ipleri zemine dik açıda girer, ancak akım boruları

mansapta kare tamamlayarak çıkmazlar. Zira zemin

yüzeyi bir eşpotansiyel değildir.

Seçilen akım çizgileri ve eş potansiyel çizgileri ağı

Beton Baraj

Geçirimsiz Tabaka

Zemin 90º

Eğriler kare

oluşturacak

şekilde kesişir



Palplanş

Akım ipi eşpotansiyel

Akım Borusu Sayısı : F = 3

Eşpotansiyel Sayısı : N = 8 H

Toplam yük kaybı : H

1

2 3 4

5

6

7

8

1 2 3


Toprak Dolgu Baraj

Akım Borusu Sayısı : F = 4

Eşpotansiyel Sayısı : N = 19

1 2

3

4

1 2 …

18 19

… …


Beton Baraj


Drenaj kanallı dolgu

Akım borusu

Eşpotansiyel L

S

q

h

SIZINTI DEBİSİ DENKLEMİ


AKIM BORUSU

akım ipi

S

L

h

q

Akım Borusu Sayısı : F

Eşpotansiyel Sayısı : N

Toplam Akım İpi : F+1

n. eşpotansiyel

çizgisi

(n+1). eşpotansiyel

çizgisi


AKIM BORUSU

akım ipi

S

L

h

q

Darcy Yasası ikv .

Sızıntı Hacmi AikAvq ...

1..

SL

hk

n n+1

Kesit Alanı


Karede 1/ LS hkq .

Akım ağında N tane eşpotansiyel olduğuna göre,

N

Hh

Toplam Debi :

N

FHkqFqQ ..

H : toplam yük kaybı

(Ardışık iki eşpotansiyel arasındaki hidrolik yük farkı)

BAZI AKIM AĞI ÖRNEKLERİ


NOT: Toplam yük kaybına (H) dikkat ediniz.

F = 4

N = 8


NOT: Toplam yük kaybına (H) dikkat ediniz.

F = 5

N = 9 1 2

8

9


Aynı eşpotansiyel üzerindeki su

yükseklikleri aynı noktada olacaktır.

1

h

F = 4

N = 6

UYGULAMA

6 m

6 m 1.5

10.5 m

18 m

Şekildeki beton bağlama için akım ağını oluşturarak,

bağlama altından sızan su miktarını, bağlama tabanına

etkiyen su kaldırma basıncını belirleyiniz.

k = 0.05 cm/s

UYGULAMA

Sistemdeki hidrolik yük kaybı : H = 6 m

Akım kanalı sayısı : F = 4

Eşpotansiyel sayısı : N = 14

UYGULAMA

m 429.014

6

N

Hh

Ardışık eşpotansiyel çizgileri arasındaki hidrolik kayıp :

Bağlamanın birim uzunluğu için sızan su miktarı :

N

FHkQ ..

/sm 1057.814

46105 344

Q

UYGULAMA

Bağlama altındaki noktalarda hidrolik yükler ve su

kaldırma basınçları :

A noktasındaki toplam yük kaybı = 5.6h = 5.6*0.429 = 2.40 m

1 2

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13

14

5.6

A noktasındaki toplam yük = 6.00 – 2.40 = 3.60 m

UYGULAMA

1 2

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13

14

5.6

karşılaştırma

düzlemi

g2

vuzh

2

su

Bernoulli denkleminden,

Yeraltı su akımlarının hızı göreli olarak küçük olduğu için, hız yüksekliği ihmal edilir.

su

uzh

UYGULAMA

1 2

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13

14

5.6

karşılaştırma

düzlemi

su

uzh

A noktası için h değerini belirlemiştik.

z ise karşılaştırma düzleminin altında kaldığı için (z = -1.5 m)

olacaktır.

Boşluk suyu basıncı ise, suzhu

UYGULAMA

1 2

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13

14

5.6

karşılaştırma

düzlemi

su

uzh

A noktası için boşluk suyu basıncı,

2kN/m 03.5081.9)50.1(60.3 u

UYGULAMA

Benzer şekilde diğer noktalar için de aynı işlemler yapılırsa,

UYGULAMA

Noktalar altındaki boşluk suyu basıncı değerlerini şekil

üzerinde gösterecek olursak,

ZEMİNDE SU AKIMININ MATEMATİKSEL İFADESİ (La Place Denklemi)

• Yeraltı suyu problemleri iki boyutlu akım koşuluna yakın olup, bu tür problemlerin iki boyutlu olarak analiz edilmesi gereklidir.

• İki boyutlu akımda i ve A akış rejiminin tamamında değişken olduğundan, Darcy Yasası iki boyutlu analizde doğrudan kullanılamamaktadır.

• Genel olarak bu analizler karmaşık olup, LaPlace denklemi olarak bilinen matematiksel fonksiyonun kullanılması gerekir.

Yapılan Kabuller• Darcy yasası geçerlidir.• Zemin tamamen suya doygundur• Zemin elemanının boyutu sabit kalır• Zemin homojendir

İki boyutlu olarak incelenebilecek akım problemleri

Zemin mekaniği problemleri gerçekte üç boyutlu problemler olmakla beraber, uygulamada bunların birçoğu çözümü basitleştirmek için iki boyutlu problem haline indirgenerek incelenmektedir. Problemi üç boyutlu halden iki boyutlu hale indirgemek çoğu problemde çözümün doğruluk derecesini çok az etkilemektedir.

İki boyutlu olarak incelenebilecek akım problemleri

Zeminlerde Su Akımı• Yeraltı suyu akım bölgesi içindeki bir zemin elemanını göz önüne alalım. • Şekil ’de dx, dy, dz boyutlarında ve içinden x, y, z doğrultularında yeraltı suyu

akımı gerçekleşen bir zemin elemanı gösterilmiştir. • Herhangi bir doğrultudaki su akımının Darcy Kanunu’na uygun hareket ettiği

kabul edilebilir.

3 boyutlu akım durumu

Kararlı akım durumunda (elemanın boşluk oranı sabit, suya doygunluğu sabit) elemana giren su örneğin: x ekseninde qx=(vxAx) burada vx x yönündeki hız bileşeni ve Ax= (dz dy) akım yönüne dik kesit alanıdır.

hq kiA k ALDæ ö= = ç ÷

è ø

Örneğin, z- doğrultusundaki akım gözönüne alındığında, zemin elemanınabirim zamanda giren ve çıkan su miktarları, sırasıyla,

kz zeminin z doğrultusundaki permeabilite katsayısı olmaktadır.

Zemin elemanı için z – doğrultusundaki net su akımı miktarı, giren ve çıkan su miktarlarının farkı olacağı için,

Aynı şekilde, x- ve y- doğrultuları için yazmak mümkündür.

Su akımı sırasında zemin elemanının hacminin sabit kaldığı göz önüne alınarak, birim zamandaki toplam net su akımının sıfıra eşit olacağını (elemana giren toplam suyun çıkan su miktarına eşit olacağını) söyleyebiliriz.

Şeklinde yazarak zeminlerde su akımını tanımlayan genel diferansiyel denklemi elde edebiliriz.Bu denklem hidrolik yükün akım bölgesi içinde değişimini matematiksel olarak ifade etmektedir. Denklemin çözümü ile, akım bölgesi içindeki bütün noktalarda toplam hidrolik yükün değeri elde edilmiş olmaktadır.

Toplam hidrolik yük değerleri bulunduktan sonra, hidrolik eğimler, akım hızları, akım miktarı, sızma kuvvetleri ve su basınçları kolaylıkla elde edilebilmektedir.

Zeminlerde Su Akımı

Zeminlerde Su AkımıZeminin her doğrultusundaki permeabilitenin aynı olduğu izotropik koşullarda kx=ky=kz olacağı durumlarda diferansiyel denklem

şeklini alacaktır. (La Place denklemi)

Bu ikinci derece kısmi diferansiyel denklem matematikte La Place denklemi olarak bilinir. La Place denkleminin çözümünü elde etmek nisbeten daha kolay olduğu için akım problemlerinde genellikle zeminin izotropik özelliklere (kx = ky = kz) sahip olduğu varsayılmaktadır.İki boyutlu problemlerde, zemin içinde su akımını tanımlayan La Place denklemi

Denklemde h(x,z) potansiyel fonksiyonu, akım bölgesindeki herhangi bir noktada toplam hidrolik yükün değerini temsil etmektedir.Buna göre x ve z doğrultusundaki hidrolik eğim şeklinde ifade edilebilir.

2 2 2

2 2 2 0h h hx y z¶ ¶ ¶

+ + =¶ ¶ ¶

02

2

2

2

=+zh

xh

¶¶

¶¶

÷øö

çèæ¶¶

=xhix ÷

øö

çèæ¶¶

=zhiz

Akım Çizgileri ve Eş Potansiyel Çizgileri

Darcy Kanunu’na göre akım hızının hidrolik eğim ile doğru orantılı olarak artacağını biliyoruz. h(x,z) potansiyel fonksiyonu, akım bölgesindeki herhangi bir noktada toplam hidrolik yükün değerini temsil etmektedir.Y(x,z) hız potansiyel fonksiyonu, akım bölgesindeki herhangi bir noktada akım hızının değerini temsil etmektedir. x ve z doğrultularındaki akım hızlarını, Y(x,z) hız potansiyel fonksiyonundan yararlanarak (v=ki)

şeklinde ifade edebiliriz.

Yukarıdaki ifadelerin x ve z’ye göre türevlerini alıp birbiri ile toplayarak

Y(x,z) hız potansiyel fonksiyonunun da La Place denklemini sağladığını kanıtlayabiliriz.

xhk

z ¶¶

-=¶Y¶

zhk

x ¶¶

=¶Y¶

0k 22

2

2

2

2

=¶¶

¶-

¶¶¶

=¶Y¶

+¶Y¶

xzhk

zxh

zx

Akım Çizgileri ve Eş Potansiyel ÇizgileriAkım bölgesi içinde Y hız potansiyel fonksiyonunun değerinin sabit kaldığı(Y=sabit) bir eğri üzerinde, türevin sıfıra eşit olacağı gözönüne alınarak

Böyle bir eğrinin eğimi şeklinde ifade edilebilir.

Bu durumda, Y=sabit eğrilerine çizilecek teğetler, o noktadaki hız vektörünü göstermekte Y=sabit eğrileri ise zemin içinde akan bir su damlasının takip edeceği izler olmaktadır. Bu eğrilere, zemin mekaniğinde akım eğrileri adı verilir.

0dz =¶Y¶

+¶Y¶

=Yz

dxx

d

/ / / /

z

x

vdz x h zdx z h x v

¶Y ¶ ¶ ¶= - = =

¶Y ¶ ¶ ¶

Akım Çizgileri ve Eş Potansiyel ÇizgileriAkım bölgesi içinde hidrolik yük dağılımını gösteren h(x, z) potansiyel fonksiyonunun sabit değerler aldığı (h=sabit) ve eğrilerin eğimi ise

şeklinde elde edilebilir.

Görüldüğü gibi h=sabit eğrilerinin (eş potansiyel çizgileri) eğimi, akım çizgilerinin eğiminintersine ve ters işaretlisine eşit olmaktadır.

Bu da bize akım çizgileri ile eşpotansiyel çizgilerinin birbirini dik açılar ile kestiğini, başkabir ifade ile, h (x,z) ve Y(x,z) potansiyel fonksiyonlarının birbirine dik (ortogonal) ikifonksiyon olduğunu göstermektedir.

Bir akım bölgesi içindeki akım çizgilerini gösteren Y=sabit ile eşpotansiyel çizgilerinigösteren h=sabit eğri takımlarını bir arada çizerek, o akım bölgesi için akım ağını eldeedebiliriz.

0dz =¶¶

+¶¶

=zhdx

xhdh

//

x

z

vdz h xeğimdx h z v

¶ ¶= = - = -

¶ ¶

Akım AğlarıŞekil ’de bu şekilde elde edilmiş bir akım ağının bir parçası,

Akım Ağlarıve Sızmanın Hesaplanması

Zemin kütlesinin birim uzunluğu için, iki akım çizgisi arasında kalan bölgeden (akım kanalı) geçen su miktarı Darcy yasasından yararlanılarak,

Burada, a ve b sırası ile ardışık akım çizgileri ve eşpotansiyel çizgileri arasındaki uzaklıklar olmaktadır.Görüldüğü gibi, akım hızı vektörü eşpotansiyel çizgilerine dik olmakta, şiddeti ise hidrolik eğim

ile zeminin permeabilite katsayısı çarpılarak elde edilmektedir

v = k i

hbakax

bhhkkiAq D=

-==D )()1()( 21

bhhi )( 21 -=

Sınır koşullarıZemin ile su arasındaki sınır eşpotansiyel çizgidir.Zemin ile geçirimsiz malzemeler arasındaki herhangi bir sınır akım çizgisidir.

Geçirimsiz malzeme,geçirimsiz bir tabaka da olabilir,bir temelin tabanı da olabilir,bir palplanş perde de olabilir.

Akım problemleri sınır koşulları açısından 2 gruba ayrılır. A) basınçlı akımB) serbest yüzeyli akım

Akım bölgesi sınırlarının fiziksel olarak kısıtlandığı durumlar (basınçlı akım).

• Bu tür akım problemlerinde su akımı belirlenmiş sınırlar içinde kalmak zorundadır.

• Beton bağlama altından sızan su akımı bağlamanın tabanı ile geçirimsiz tabaka arasından geçecek şekilde kısıtlanmıştır.

• Ayrıca su geçirimsizlik perdesinin de altından dolaşmak zorundadır. • Geçirimsiz sınırlara dik doğrultuda akım olmayacağı için, böyle bir sınıra ulaşan su

damlaları geçirimsiz yüzeye parallel akmak zorundadır. • Dolayısıyla geçirimsiz yüzeyler akım çizgilerini oluşturmaktadır.

A’B’, B’C, CD, DE ve FG akım bölgesini sınırlayan akım çizgilerini oluşturur.

AA’, BB’ ve EE’ sınırları ise hidrolik yükün sabit olduğu eşpotansiyel çizgileridir.

Akım bölgesinin tam olarak kısıtlanmadığı durumlar (serbest yüzeyli akım).

Bu tür problemlerde, akım bölgesi sınırlarından en az bir tanesi fiziksel olarak belirlenmemiştir.Bu sınırın saptanması araştırılan çözümün bir parçasını oluşturur.Toprak dolgu barajda su sızması problemini inceleyelim.Geçirimsiz tabaka sızma bölgesinin alt sınırını oluşturmaktadır.Sızma bölgesinin üst sınırı ise fiziksel olarak belirlenmemiştir.A’D ile gösterilen üst akım çizgisinin saptanması problemin bir parçasını oluşturmaktadır.Dren geçirimli olduğu için bir serbest yüzey oluşturmakta, buraya erişen su çok az hidrolik yük kaybı ile yatay yönde kolaylıkla akabilmektedir.

A’B’ eşpotansiyel çizgi (su basıncı ve hidrolik yüklerin toplamı sabit kaldığı için),B’C akım çizgisi, CDE eşpotansiyel çizgisi,A’D üst akım çizgisidir (başlangıçta bilinmemektedir). Su akımı eşpotansiyel çizgilere dik doğrultudadır.

LA’PLACE DENKLEMİ’NİN ÇÖZÜMÜ

1. Grafik çözümler (Akım Ağları)2. Sayısal çözümler (sonlu farklar, sonlu elemanlar, sınır

elemanlar)3. Elektrik analojisi (benzeşimi)

17

Akım Ağlarının Özellikleri ve Çizilmesi1. Akım çizgileri ve eşpotansiyel çizgiler

birbirlerini dik açılarla kesmelidir (sınırlar dahil)2. Birbiri ile kesişen akım ve eşpotansiyel

çizgilerin oluşturduğu eğri kenarlı dikdörtgenler birbirine benzer olmalıdır (genişlik/uzunluk=sabit)

3. Birbirini takip eden eşpotansiyel çizgileri arasındaki hidrolik yük farkı sabit olmalıdır (h1- h2=h2-h3=h3-h4 =….).

4. Akım kanalları arasından eşit miktarda su geçmelidir (2. ve 3. koşullar ile bu otomatikman sağlanır).

5. Serbest akım problemlerinde eşpotansiyel çizgileri, üst akım çizgisini eşit düşey aralıklarla kesmelidir.

6. Sınırları oluşturan yüzeylerde, akım çizgisi veya eşpotansiyel çizgi olmalarına göre sınır koşulları ile uyum sağlamalıdır.

Akım Ağı Çizilmesi1. Çizgisiz bir kağıt üzerine ölçekli olarak akım bölgesinin sınırları mürekkepli

kalemle çizilir.2. Akım bölgesi için çizilecek akım kanalı sayısı seçilir (genellikle 4-5 yeterli) ve

kurşun kalemle çizilir. İlk denemede akım çizgileri aralıkları yaklaşık eşitçizilebilir. Akım çizgilerinin eşpotansiyel çizgi olan sınırlara dik doğrultudaolmasına dikkat edilir.

3. İkinci adımda çizilen akım çizgilerini dik açıyla kesecek ve bunlarlagenişlik/uzunluk oranı sabit dikdörtgenler oluşturacak şekilde eşpotansiyelçizgileri çizilir. Genellikle akım ağları dikdörtgenlerin genişlik/uzunluk oranıbire eşit çizilmekle beraber bu oranın sabit olması yeterlidir. Eşpotansiyelçizgilerin akım çizgisini oluşturan geçirimsiz sınır yüzeylerine dik olmasınadikkate edilmelidir.

4. Çizilen akım ağının, bir akım ağının sahip olması gereken koşullar ileuyumlu olup olmadığı kontrol edilir, uyumsuzluklar giderilir.

19

Akım ağlarının bazı geometrik özellikleri

• Eşit akım taşıyan akım kanalları, eşpotansiyel çizgileri uzunluk/genişlik oranı aynı olan dikdörtgenler oluşacak şekilde keserler.

• Akım ağlarını elle çizmek için, her bir akım kanalının aynı debiyi (akımı) taşıdığını ve komşu iki eşpotansiyel çizgi arasında meydana gelen enerji kaybının (yük kaybının) hep eşit olduğunu varsaymak gerekir.

• Bu durumda tüm elemanlar dikdörtgenimsi olup birbirine benzer geometrilere sahip olacaktır.

• Akım ağlarını bu dikdörtgenleri kare olacak şekilde çizmek son derece uygundur (Şekil ’de gösterildiği gibi) akım kanalı içine 4 noktada değecek şekilde daire çizerek kareler oluşturabiliriz).

Akım ağı çizmek için yöntem

1 Boyutlu Akım Problemlerinde Akım Ağı

• Birbirini takip eden eşpotansiyel çizgileri arasındaki toplam hidrolik yük kaybı Δh=H/4=sabit

• Zemin içinde her noktada hidrolik eğim i=H/L, • akım hızı v=ki=k (H/L)• Akım miktarı q=kiA=k (H/L) A• A ve B’de toplam hidrolik yük hA ve hB

H

L

Eş potansiyel çizgileri (kesikli çizgiler)

Akım çizgileri

C noktası hC= hA – i x (zemin boyu) hC= hA – H/L x (3/4L) hC= hA – (3/4H) hC= hB + i x (zemin boyu) hC= hB + H/L x L/4 hC= hB + H/4

Piezometreler değişik noktalardaki toplam hidrolik yükü göstermektedir. Yatay bir çizgi üzerindeki noktaların yerçekimi yükleri aynı olduğu halde toplam hidrolik yüklerdeki farklılıklar basınç farklılıklarından kaynaklanmaktadır.

1 Boyutlu Akım Problemlerinde Akım Ağı

Üst yüzeyi ince bir su tabakası ile kaplı, alt yüzeyi ise permeabilitesi çok yüksek bir çakıl dren (serbest akım yüzeyi) ile temas halinde bir zemin tabakasından suyun sızması gösterilmiştir. Burada akım düşey yöndedir ve akım çizgileri düşey doğrular ile gösterilmiştir.Eş potansiyel çizgileri (kesikli çizgiler) ise bunlara dik yatay doğrulardanoluşmaktadır. Alt ve üst yüzeylerde su basıncı sıfır (atmosferik basınç) olduğu için toplam hidrolik yük yerçekimi yükünden oluşmaktadır.A noktasıhA= H – i x (L) = H – 1 x H = 0

• Birbirini takip eden eşpotansiyel çizgileri arasındaki toplam hidrolik yük kaybı H/4=sabit

• Akım boyu = L=H • Hidrolik eğim i= H/H=1.0 birim boydaki

yük kaybı• V=ki=k• Bütün tabaka derinliği boyunca su

basınçları sıfır (u=0).

Akım çizgileri

Eş potansiyel çizgileri

. A

3H/4

2H/4

0

H/4

2 Boyutlu Akım: Beton Bağlama

2 Boyutlu Akım: Beton Bağlama• Eş Potansiyel çizgileri aralık sayısı Nd

• Akım kanalı sayısı Nf

• Birbirini takip eden eşpotansiyel çizgileri arasındaki toplam hidrolik yük kaybı Δh/Nd = Δh/10= sabit

• Akım çizgileri ve eşpotansiyel çizgileri eşit aralıklı değil (genişlik/uzunluk≈sabit)!

• A’da hidrolik eğim iA=0.10 (Δh/b)• Eşpotansiyel çizgilerin birbirine

yaklaştığı bölgeler hidrolik eğimin ve akım hızının arttığı bölgeler !

• Ara noktalardaki hidrolik yük interpolasyonla bulunabilir (hA=0.35Δh)

• A noktasında su basıncı• uA=[hA-(zA)]gw = (hA+zA)g w

Bağlamanın altından birim zamanda sızansu miktarları:

Bağlamanın birim uzunluğuiçin, bir akım kanalından geçen su miktarı

bNhakqd

1.. ÷÷ø

öççè

æ D=D

Bağlamanın birim uzunluğuiçin, akım kanalı sayısı Nfiken geçen su miktarı

hNN

bakq

d

f D÷÷ø

öççè

æ÷øö

çèæ= .

Simetrik problemlerBazı problemlerde simetriden yararlanarak akım ağının sadece yarısını çizebiliriz. Şekil ’de kenarları palplanşlar ile tutulmuş bir hendeğe sızan su problemi için akım ağı gösterilmiştir. Akım ağının değerlendirilmesinden, hidrolik eğimler (kazı tabanının stabilitesi açısından önemli), kazıya sızan su miktarları ve palplanş perdesine etkiyen hidrolik basınçlar hesaplanabilir.

Serbest akım yüzeyiToprak dolgu bir barajda akım probleminin özelliği, üst akım çizgisinin saptanması oluşturmaktadır. Ayrıca permeabilitesi çok yüksek bir topuk dreninin varlığıda akım özelliklerini etkilemektedir.

Su yapılarında problemler

Granüler zeminlerde borulanma

R.D.Beton bağlama

Geçirimsiz tabaka

zemin

ΔH

Dh = hidrolik yük farkıDl

çıkışhil

D=D

Çıkışta hidrolik eğim

Granüler zeminlerde borulanma

R.D.Beton bağlama

Geçirimsiz tabaka

ΔH

içıkış > (icr)Zemin daneleri yıkanır

Zemin yok; su dolu

Bu olay sonucunda menbaya doğru ilerleyen oyulma (borulanma) meydana gelir.

zemin

5 6cborulanma

çıkış

iFi

= ñ -

Drenler ve Filtreler• Toprak barajlar veya sızmanın olduğu problemlerde zemin

suyunda basınç artışlarını kontrol etmek için geçirgenliği(permeabilitesi) yüksek drenaj tabakaları kullanılmaktadır.

• Drenlerin esas amacı suyun rahat hareketini sağlamak ve böylece zemin veya kaya içerisinde hidrostatik basınçların artmasına engel olmaktır.

Drenler ve FiltrelerDrenaj tabakası iki ana koşulu sağlamalıdır:

1. Drenaj malzemesinin granülometrisi ve boşlukların boyutları yakınındaki ince danelerin dren içine sızmasına ve tıkanmaya yol açmasına engel olacak şekilde seçilmeli

2. Zeminin granülometrisi ve boşlukların boyutları dren tabakasının yüksek permeabiliteye sahip olmasına imkan verecek şekilde seçilmeli

Drenler ve Filtreler

Drenler ve Filtreler

• Her iki koşulu birlikte sağlamak için

• Birçok problemde, iri daneli zeminlerden oluşan drenler permeabilitesi çokdüşük ince daneli zeminler ile yanyana yerleştirilmek durumunda olmaktadır.Böyle durumlarda yukarıdaki koşulları doğrudan sağlamak mümkünolamayacağı için, dren ile ince daneli tabii zemin arasına geçiş tabakası olarakfilitreler yerleştirilmektedir.

• Filitre tabakalarının granülometrisi ince daneli zemin ve dren malzemesinin herikisi ile de yukarıdaki koşulları sağlayacak zeminlerden seçilmelidir.

• Bu şekilde teşkil edilmiş bir filitre tabakası dreni koruyacak şekilde işlevgörecektir.

36

• Drenle birlikte filtre kullanılması durumunda

Filtre Uygulamaları

38

39

h=H-NdDh

hA=6-5.6x0.429=3.64hB=6-6x0.429=3.43hC=6-7x0.429=3.00

40

Örnek

ÇÖZÜM

43

KAYNAKLARÖzaydın, K. (2011), Zemin Mekaniği, Birsen Yayınevi, Güncelleştirilmiş Baskı, İstanbul.Uzuner, B. (2007), Temel Zemin Mekaniği, Derya Kitabevi, Trabzon.Casagrande, A. (1937) “Seepage Through Dams”, Journal of the New England Water Works Association, Vol. 51, 131-172. Reprinted in Contributions to Soil Mechanics, 1925-1940, Boston Society of Civil Engineers, 1940.Cedergren, H. R. (1977) Seepage, Drainage and Flow Nets, 2nd Ed., John Wiley and Sons, Inc., New York.Dunn, I. S., Anderson, L. R. and Kiefer, F. W. (1980) Fundamentals of Geotechnical Analyis, John Wiley and Sons, Inc., New York.Ernst, L. F. (1950) “Een nieuwe formule voor de berekening van de doorlaatfactor met de boorgatenmethode,” Rap. Landbouwproefsta en Bodemkunding Inst. T. N. O., Groningen, Netherlands.Hazen A. (1911) “Discussion of Dams on Sand Foundations,” by A. C:Koenig, Transactions, American Society of Civil Engineers, Vol. 73, 199-203.Hooghoudt, S. B. (1936) “Bijdragen tot de kennis van eenige natuur kundige grootheden van den grond, 4” Versl. Lamdb., Ond. 42 (13) B :449—451, Algemeene Landsdrukkerji, The Hague.Lambe, T. W. And Whitman, R. V. (1969) Soil Mechanics, John Wiley and Sons, Inc., New York.Perloff, W. H. and Baron, W. (1976) Soil Mechanics-Principles and Applications, The Ronald Pres Company, New York.

Documents

ZEMİNLERİN GEÇİRİMLİLİĞİozgurertugrul.gen.tr/342/docs/sizma/akim aglari_genis.pdf · bir bölümünden sızıntı hızı (gerçek hız), v s, ile akar. Ancak hızın bu şekilde