Tema: MODELO DE LEONTIEF Matriz de insumo -producto

Métodos Cuantitativos III -Algebra Lineal

Análisis de Insumo-producto

Wassily Leontief

Nobel de economía, 1 973

¿QUÉ SON LAS MATRICES DE INSUMO-PRODUCTO?

Indican interrelaciones entre oferta y

demanda que se dan entre los diferentes

sectores de una economía durante algún

periodo.

Las matrices muestran los valores de

los productos de cada industria que son

vendidos como insumos, tanto a

industrias como a consumidores finales

(externos).

Veamos un ejemplo hipotético de la

economía de un país que consta de dos

industrias digamos manufactura (A) y

agricultura (B) y está dado por una

matriz donde cada industria aparece en

cada fila y en cada columna, esta matriz

es llamada matriz de insumo-producto :

Ejemplo

Totales

Consumidores (insumo)

Productores

(producto)

Otros factores de producción 600 800

Industria Demanda

A B externa

Industria de manufactura (A) 240 500 460

Industria agrícola (B) 360 200 940

Totales

1500

1200

15001200

Ejemplo

•Los otros factores de producción son los costos

para las respectivas industrias como: mano de

obra, utilidad, etc.

OBSERVACIONES:

La fila muestra las compras

del producto de una

industria por los sectores

industriales y otros

consumidores para su uso

final.

La columna da el valor de lo

que compró como insumo

de cada industria así como

lo gastado en otros

conceptos.

Las entradas representan

los valores de los productos

y podrían estar en unidades

de millones de dólares del

producto.

Para cada industria la suma

de las entradas de su fila es

igual a la suma de entradas

de su columna: “El valor de

su producción es igual al

valor de sus insumos

totales”.

El análisis de insumo producto nos

permite estimar la producción total

de cada sector industrial cuando

existe un cambio en la demanda

final mientras que la estructura

básica de la economía permanece

igual.

CAMBIO DE LA DEMANDA

Supongamos que el valor final de la

demanda cambia de 460 a 500 para A y de

940 a 1200 para la industria B.

¿Cuáles serán los valores de la producción

total de A y de B para satisfacer las

demandas de ambas industrias y de la

demanda final (externa) ?

158

15231

2110351

1500800

1500200

1500500

1200600

1200360

1200240

A B A B

A

B

Otros

A

B

Otros

MATRIZ DE COEFICIENTES DE INSUMO-PRODUCTO

La suma de cada columna es 1

Ecuaciones

Valor consumido por la demanda

final

Valor total de la producción de

A

= Valor

consumido por A

+ Valor

consumido por B

+

Así tenemos,

Para A: XA = XA + XB + 500 51

31

Para B: XB = XA + XB + 1200 103

152

Ecuación Matricial

1200

500

X

X

152

103

31

51

X

X

B

A

B

A

FinalDemandadeMatriz1200

500C

esCoeficientdeMatriz

152

103

31

51

A

ProduccióndeMatrizX

XX

:Donde

B

A

Ecuación Matricial

Así tenemos la siguiente ecuación matricial:

X = AX + C

De donde:

X = (I - A)-1 C

Si (I - A)-1 existe

I – A, es la Matriz de Leontief.

RESOLVIENDO LA ECUACIÓN:

X = (I - A)-1 C =

Para satisfacer la industria A se debe producir 1404,49 unidades y la industria B debe producir 1870,79.

¿Cuál es el valor de los otros factores de producción para A?

PA = (1/2) XA = 702,25

1870,79

1404,49

EJERCICIOS : Dada la siguiente matriz de insumo producto

Otros 600 800

Demanda Acero Carbón final

Industria Acero 200 500 500 Carbón 400 200 900

Industria

Encuentre la matriz de producción,si la demanda final

cambia a 600 para el acero y a 805 para el carbón.

Encuentre el valor total de los otros costos de producción

que esto implica.

* Entradas en millones de dólares

EJERCICIOS : Dada la siguiente matriz de insumo producto

Otros 40 90

Demanda

Educación Gobierno final

Industria: Educación 40 120 40 Gobierno 120 90 90

Industria

Encuentre la matriz de producción,si la demanda final cambia

a 200 para educación y a 300 para el gobierno. Encuentre el

valor total de los otros costos de producción que esto implica.

* Entradas en millones de dólares