Хялбар интегралчлагдах 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

МАТЕМАТИК-2

Д.Баттөр

Агуулга

ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл

МАТЕМАТИК-2Ердийн дифференциал тэгшитгэл

Д.Баттөр

2010 оны 3-р сарын 24


Д.Баттөр

Агуулга


Агуулга

1 Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүдХувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэлАргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэлШугаман тэгшитгэлШугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүдБүтэн дифференциалт тэгшитгэл


Д.Баттөр

Агуулга


Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл

Тодорхойлт

Хэрэв өгөгдсөнy ′ = f (x , y) (1)

тэгшитгэлд f (x , y) = φ(x) · ψ(y) хэлбэртэй байвалхувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл гэнэ.

Энэ тохиолдолд

y ′ = φ(x) · ψ(y), эсвэлdy

dx= φ(x) · ψ(y)

болно.


Д.Баттөр

Агуулга




Хэрэв өгөгдсөнy ′ = f (x , y) (1)

тэгшитгэлд f (x , y) = φ(x) · ψ(y) хэлбэртэй байвалхувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл гэнэ.

Энэ тохиолдолд

y ′ = φ(x) · ψ(y), эсвэлdy

dx= φ(x) · ψ(y)

болно.


Д.Баттөр

Агуулга



Эндээс, хувьсагчуудыг ялгаж (dy -ийн өмнөх коэффициентзөвхөн y -ийг, dx-ийн өмнөх коэффициент зөвхөн x-ийгагуулсан)

dy

ψ(y)= φ(x)dx

хэлбэрт тэгшитгэлийг шилжүүлэх бөгөөд

тэнцэтгэлийн 2талын интегралчивал уг тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь∫

dy

ψ(y)=

∫φ(x)dx + C , C = const

хэлбэрт бичигдэнэ.


Д.Баттөр

Агуулга



Эндээс, хувьсагчуудыг ялгаж (dy -ийн өмнөх коэффициентзөвхөн y -ийг, dx-ийн өмнөх коэффициент зөвхөн x-ийгагуулсан)

dy

ψ(y)= φ(x)dx

хэлбэрт тэгшитгэлийг шилжүүлэх бөгөөд тэнцэтгэлийн 2талын интегралчивал уг тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь∫

dy

ψ(y)=

∫φ(x)dx + C , C = const



Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

y ′ = 2xy тэгшитгэлийг бод.

- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:

dy

dx= 2xy ⇒ dy

y= 2xdx

болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал

ln |y | = x2 + C

болно. Эндээс

|y | = ex2+C ⇒ y = ±ec · ex2


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

y ′ = 2xy тэгшитгэлийг бод.- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:

dy

dx= 2xy

⇒ dy

y= 2xdx


ln |y | = x2 + C


|y | = ex2+C ⇒ y = ±ec · ex2


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ


dy

dx= 2xy ⇒ dy

y= 2xdx

болно.

Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал

ln |y | = x2 + C


|y | = ex2+C ⇒ y = ±ec · ex2


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ


dy

dx= 2xy ⇒ dy

y= 2xdx


ln |y | = x2 + C

болно.

Эндээс

|y | = ex2+C ⇒ y = ±ec · ex2


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ


dy

dx= 2xy ⇒ dy

y= 2xdx


ln |y | = x2 + C


|y | = ex2+C

⇒ y = ±ec · ex2


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ


dy

dx= 2xy ⇒ dy

y= 2xdx


ln |y | = x2 + C


|y | = ex2+C ⇒ y = ±ec · ex2


Д.Баттөр

Агуулга



Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийннэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол

φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (2)

хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг.

Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x)үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж

φ(x)

r(x)dx +

s(y)

ψ(y)dy = 0

хувьсагчуудыг нь ялгана. Эндээс, интегралчилвал ерөнхийшийд ∫

φ(x)

r(x)dx +

∫s(y)

ψ(y)dy = C , C = const

хэлбэрт бичигдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, F (x , y , c) = 0 хэлбэрийнтэгшитгэлээр ерөнхий шийд илэрхийлэгдэнэ.


Д.Баттөр

Агуулга




φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (2)

хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг. Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x)үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж

φ(x)

r(x)dx +

s(y)

ψ(y)dy = 0


φ(x)

r(x)dx +

∫s(y)




Д.Баттөр

Агуулга




φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (2)


φ(x)

r(x)dx +

s(y)

ψ(y)dy = 0

хувьсагчуудыг нь ялгана.

Эндээс, интегралчилвал ерөнхийшийд ∫

φ(x)

r(x)dx +

∫s(y)




Д.Баттөр

Агуулга




φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (2)


φ(x)

r(x)dx +

s(y)

ψ(y)dy = 0

хувьсагчуудыг нь ялгана. Эндээс, интегралчилвал ерөнхийшийд

∫φ(x)

r(x)dx +

∫s(y)




Д.Баттөр

Агуулга




φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (2)


φ(x)

r(x)dx +

s(y)

ψ(y)dy = 0


φ(x)

r(x)dx +

∫s(y)



Өөрөөр хэлбэл, F (x , y , c) = 0 хэлбэрийнтэгшитгэлээр ерөнхий шийд илэрхийлэгдэнэ.


Д.Баттөр

Агуулга




φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (2)


φ(x)

r(x)dx +

s(y)

ψ(y)dy = 0


φ(x)

r(x)dx +

∫s(y)




Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

(1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.

- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:

dx

1 + x2+

dy

1 + y2= 0


arctg x + arctg y = C

болно.


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

(1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:

dx

1 + x2+

dy

1 + y2= 0

болно.

Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал


болно.


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

(1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:

dx

1 + x2+

dy

1 + y2= 0



болно.


Д.Баттөр

Агуулга


Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл

f (tx , ty) = tn · f (x , y) (∗∗)

тэнцэтгэл биелэх y ′ = f (x , y) хэлбэрийн тэгшитгэлийг авчүзье.

t = 1x гэж авбал

f (x , y) = f(1x· x , 1

x· y)= f(1,

y

x

)= φ

(yx

)хэлбэрт бичигдэнэ.


y ′ = φ(yx

)(3)

хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийг нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэл гэнэ.


Д.Баттөр

Агуулга



f (tx , ty) = tn · f (x , y) (∗∗)

тэнцэтгэл биелэх y ′ = f (x , y) хэлбэрийн тэгшитгэлийг авчүзье.t = 1

x гэж авбал

f (x , y) = f(1x· x , 1

x· y)= f(1,

y

x

)= φ

(yx



y ′ = φ(yx

)(3)



Д.Баттөр

Агуулга



f (tx , ty) = tn · f (x , y) (∗∗)

тэнцэтгэл биелэх y ′ = f (x , y) хэлбэрийн тэгшитгэлийг авчүзье.t = 1

x гэж авбал

f (x , y) = f(1x· x , 1

x· y)= f(1,

y

x

)= φ

(yx



y ′ = φ(yx

)(3)



Д.Баттөр

Агуулга



Энэ тэгшитгэл нь y = y(x) функцийн оронд шинэ үлмэдэгдэх u = u(x) функцийг

y

x= u, y = u · x , y ′ = u′ · x + u

томъёогоор орлуулга хийвэл

(3) тэгшитгэл

u′ · x + u = φ(u), x · dudx

= φ(u)− u,du

φ(u)− u=

dx

x;

хэлбэртэй хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлдшилжинэ.Сүүлчийн тэнцэтгэлийг интегралчлаад, улмаарu-ийг u = y/x томъёогоор олно.Хэрэв M(x , y) ба N(x , y) ижил зэрэгтэй нэгэн төрлийнфункцүүд бол нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэлийг

M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0

хэлбэрт бичиж болно.


Д.Баттөр

Агуулга




y

x= u, y = u · x , y ′ = u′ · x + u

томъёогоор орлуулга хийвэл(3) тэгшитгэл

u′ · x + u = φ(u), x · dudx

= φ(u)− u,du

φ(u)− u=

dx

x;

хэлбэртэй хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлдшилжинэ.

Сүүлчийн тэнцэтгэлийг интегралчлаад, улмаарu-ийг u = y/x томъёогоор олно.Хэрэв M(x , y) ба N(x , y) ижил зэрэгтэй нэгэн төрлийнфункцүүд бол нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэлийг

M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0



Д.Баттөр

Агуулга




y

x= u, y = u · x , y ′ = u′ · x + u


u′ · x + u = φ(u), x · dudx

= φ(u)− u,du

φ(u)− u=

dx

x;

хэлбэртэй хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлдшилжинэ.Сүүлчийн тэнцэтгэлийг интегралчлаад, улмаарu-ийг u = y/x томъёогоор олно.

Хэрэв M(x , y) ба N(x , y) ижил зэрэгтэй нэгэн төрлийнфункцүүд бол нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэлийг

M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0



Д.Баттөр

Агуулга




y

x= u, y = u · x , y ′ = u′ · x + u


u′ · x + u = φ(u), x · dudx

= φ(u)− u,du

φ(u)− u=

dx

x;

хэлбэртэй хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлдшилжинэ.Сүүлчийн тэнцэтгэлийг интегралчлаад, улмаарu-ийг u = y/x томъёогоор олно.Хэрэв M(x , y) ба N(x , y) ижил зэрэгтэй нэгэн төрлийнфункцүүд бол нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэлийг

M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0



Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

dydx = y2−x2

2xy тэгшитгэлийг бод.

- f (x , y) =y2 − x2

2xy=

1

2· yx− 1

2 · yxбайгаа учраас

y = u · x орлуулга хийхэд dydx = x · dudx + u болох ба

x · dudx

+ u =u2 − 1

2u, x · du

dx=

u2 − 1

2u− u = −u2 + 1

2u;

болно.Одоо сүүлчийн тэгшитгэлд хувьсагчуудыгялгавал

2udu

u2 + 1= −dx

x.


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

dydx = y2−x2


- f (x , y) =y2 − x2

2xy=

1

2· yx− 1



x · dudx

+ u =u2 − 1

2u, x · du

dx=

u2 − 1

2u− u = −u2 + 1

2u;


2udu

u2 + 1= −dx

x.


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

dydx = y2−x2


- f (x , y) =y2 − x2

2xy=

1

2· yx− 1


y = u · x орлуулга хийхэд

dydx = x · dudx + u болох ба

x · dudx

+ u =u2 − 1

2u, x · du

dx=

u2 − 1

2u− u = −u2 + 1

2u;


2udu

u2 + 1= −dx

x.


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

dydx = y2−x2


- f (x , y) =y2 − x2

2xy=

1

2· yx− 1



x · dudx

+ u =u2 − 1

2u, x · du

dx=

u2 − 1

2u− u = −u2 + 1

2u;


2udu

u2 + 1= −dx

x.


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

dydx = y2−x2


- f (x , y) =y2 − x2

2xy=

1

2· yx− 1



x · dudx

+ u =u2 − 1

2u,

x · dudx

=u2 − 1

2u− u = −u2 + 1

2u;


2udu

u2 + 1= −dx

x.


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

dydx = y2−x2


- f (x , y) =y2 − x2

2xy=

1

2· yx− 1



x · dudx

+ u =u2 − 1

2u, x · du

dx=

u2 − 1

2u− u = −u2 + 1

2u;

болно.

Одоо сүүлчийн тэгшитгэлд хувьсагчуудыгялгавал

2udu

u2 + 1= −dx

x.


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

dydx = y2−x2


- f (x , y) =y2 − x2

2xy=

1

2· yx− 1



x · dudx

+ u =u2 − 1

2u, x · du

dx=

u2 − 1

2u− u = −u2 + 1

2u;


2udu

u2 + 1= −dx

x.


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

dydx = y2−x2

2xy тэгшитгэлийг бод.- Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал

ln(u2 + 1) = − ln x + lnC , u2 + 1 =C

x;

болно.

Эцэст нь u-гийн оронд yx тавибал өгөгдсөн

тэгшитгэлийн ерөнхий шийд

y2

x2+ 1 =

C

x, ⇒ x2 + y2 = C · x



Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

dydx = y2−x2


ln(u2 + 1) = − ln x + lnC , u2 + 1 =C

x;

болно.Эцэст нь u-гийн оронд yx тавибал өгөгдсөн


y2

x2+ 1 =

C

x,

⇒ x2 + y2 = C · x



Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

dydx = y2−x2


ln(u2 + 1) = − ln x + lnC , u2 + 1 =C

x;

болно.Эцэст нь u-гийн оронд yx тавибал өгөгдсөн


y2

x2+ 1 =

C

x, ⇒ x2 + y2 = C · x



Д.Баттөр

Агуулга


Шугаман тэгшитгэл


Үл мэдэгдэх функц y(x) ба түүний уламжлал y ′(x)-ийгшугаман хэлбэрээр агуулсан

a(x) · y ′ + b(x) · y + c(x) = 0 (4)

хэлбэрийн тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэл гэнэ.


Д.Баттөр

Агуулга




Хэрэв энэ тэгшитгэлийг a(x) 6= 0 коэффициентэд хуваавалуг тэгшитгэл

y ′ + p(x)y = f (x), энд p(x) =b(x)

a(x), f (x) = −c(x)

a(x)(5)

хэлбэрт тавигдана.

Хэрэв f (x) = 0 бол нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлf (x) 6= 0 бол нэгэн төрлийн биш шугаман тэгшитгэл


Д.Баттөр

Агуулга



Шугаман тэгшитгэлийг бодох

(5) тэгшитгэлийн сул гишүүн f (x)-ийг орхиж, харгалзахнэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэл

z ′ + p(x)z = 0, (∗′)

бодно.

Энэ нь ялгагдах тэгшитгэл тул

dz

dx= −p(x)z , dz

z= −p(x)dx ,

ln |z | = −∫

p(x)dx + lnC

z = C · e−∫p(x)dx

болно.


Д.Баттөр

Агуулга





z ′ + p(x)z = 0, (∗′)

бодно.Энэ нь ялгагдах тэгшитгэл тул

dz

dx= −p(x)z , dz

z= −p(x)dx ,

ln |z | = −∫

p(x)dx + lnC


болно.


Д.Баттөр

Агуулга





z ′ + p(x)z = 0, (∗′)


dz

dx= −p(x)z , dz

z= −p(x)dx ,

ln |z | = −∫

p(x)dx + lnC


болно.


Д.Баттөр

Агуулга





z ′ + p(x)z = 0, (∗′)


dz

dx= −p(x)z , dz

z= −p(x)dx ,

ln |z | = −∫

p(x)dx + lnC


болно.


Д.Баттөр

Агуулга





z ′ + p(x)z = 0, (∗′)


dz

dx= −p(x)z , dz

z= −p(x)dx ,

ln |z | = −∫

p(x)dx + lnC


болно.


Д.Баттөр

Агуулга




Одоо нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийн шийд

y = φ(x) · e−∫p(x)dx (∗ ∗ ∗)

хэлбэртэй байхаар φ(x) функцийг олох зорилт тавина.

(***) тэнцэтгэлээс y ′-ийг олж (5) тэгшитгэлд орлуулантавибал

φ′ · z1 + φ · z ′1 + p(x)φ · z1 = f ,

φ′ · z1 + φ · (z ′1 + p(x) · z1) = f

болно.


Д.Баттөр

Агуулга





y = φ(x) · e−∫p(x)dx (∗ ∗ ∗)

хэлбэртэй байхаар φ(x) функцийг олох зорилт тавина.(***) тэнцэтгэлээс y ′-ийг олж (5) тэгшитгэлд орлуулантавибал

φ′ · z1 + φ · z ′1 + p(x)φ · z1 = f ,

φ′ · z1 + φ · (z ′1 + p(x) · z1) = f

болно.


Д.Баттөр

Агуулга





y = φ(x) · e−∫p(x)dx (∗ ∗ ∗)

хэлбэртэй байхаар φ(x) функцийг олох зорилт тавина.(***) тэнцэтгэлээс y ′-ийг олж (5) тэгшитгэлд орлуулантавибал

φ′ · z1 + φ · z ′1 + p(x)φ · z1 = f ,

φ′ · z1 + φ · (z ′1 + p(x) · z1) = f

болно.


Д.Баттөр

Агуулга




z1 нь (∗′) тэгшитгэлийн шийд учраас z ′1 + p(x) · z1 = 0ба

эндээс

φ′(x) =f (x)

z1(x), φ(x) =

∫f (x)

z1(x)dx + C ,

эцсийн дүнд

y = z1(x) ·∫

f (x)

z1(x)dx + C · z1(x)

хэлбэрээр (5) тэгшитгэлийн ерөнхий шийд олдоно.


Д.Баттөр

Агуулга




z1 нь (∗′) тэгшитгэлийн шийд учраас z ′1 + p(x) · z1 = 0ба эндээс

φ′(x) =f (x)

z1(x), φ(x) =

∫f (x)

z1(x)dx + C ,


y = z1(x) ·∫

f (x)

z1(x)dx + C · z1(x)



Д.Баттөр

Агуулга




z1 нь (∗′) тэгшитгэлийн шийд учраас z ′1 + p(x) · z1 = 0ба эндээс

φ′(x) =f (x)

z1(x), φ(x) =

∫f (x)

z1(x)dx + C ,


y = z1(x) ·∫

f (x)

z1(x)dx + C · z1(x)



Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

y ′ + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод.

- Шугаман, нэгэн төрлийн биш тэгшитгэл өгөгдсөнбөгөөд p(x) = 3, f (x) = e2x байна.z ′ + 3z = 0 тэгшитгэлийг бодъё.Хувьсагч нь ялгагдахтэгшитгэл учраас

dz

z= −3dx , ⇒ ln |z | = −3x + ln |C1|, ⇒ z = C · e−3x

Одоо өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийгy = ϕ(x) · e−3x хэлбэртэйгээр эрнэ.


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

y ′ + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод.- Шугаман, нэгэн төрлийн биш тэгшитгэл өгөгдсөн

бөгөөд p(x) = 3, f (x) = e2x байна.

z ′ + 3z = 0 тэгшитгэлийг бодъё.Хувьсагч нь ялгагдахтэгшитгэл учраас

dz

z= −3dx , ⇒ ln |z | = −3x + ln |C1|, ⇒ z = C · e−3x



Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ


бөгөөд p(x) = 3, f (x) = e2x байна.z ′ + 3z = 0 тэгшитгэлийг бодъё.

Хувьсагч нь ялгагдахтэгшитгэл учраас

dz

z= −3dx , ⇒ ln |z | = −3x + ln |C1|, ⇒ z = C · e−3x



Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ


бөгөөд p(x) = 3, f (x) = e2x байна.z ′ + 3z = 0 тэгшитгэлийг бодъё.Хувьсагч нь ялгагдахтэгшитгэл учраас

dz

z= −3dx ,

⇒ ln |z | = −3x + ln |C1|, ⇒ z = C · e−3x



Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ



dz

z= −3dx , ⇒ ln |z | = −3x + ln |C1|,

⇒ z = C · e−3x



Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ



dz

z= −3dx , ⇒ ln |z | = −3x + ln |C1|, ⇒ z = C · e−3x



Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ



dz

z= −3dx , ⇒ ln |z | = −3x + ln |C1|, ⇒ z = C · e−3x



Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

y ′ + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод.

- Энэ тэнцэтгэлийг дифференциалчлахадy ′ = ϕ′(x) · e−3x − 3ϕ(x) · e−3x болох тул y , y ′-ийн энэилэрхийллүдийг орлуулан тавьж

ϕ′(x) · e−3x = e2x , ϕ′(x) = e5x ,⇒ dϕ(x) = e5xdx

тэнцэтгэлд хүрэх ба эндээс ϕ(x) = 15e

5x + C2 гэжолдно. Өгөгдсөн нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийнерөнхий шийд

y = C (x) · e−3x =

(1

5e5x + C2

)· e−3x =

1

5e2x +C2 · e−3x

олдоно.


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

y ′ + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод.- Энэ тэнцэтгэлийг дифференциалчлахадy ′ = ϕ′(x) · e−3x − 3ϕ(x) · e−3x болох тул

y , y ′-ийн энэилэрхийллүдийг орлуулан тавьж




y = C (x) · e−3x =

(1

5e5x + C2

)· e−3x =

1

5e2x +C2 · e−3x

олдоно.


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

y ′ + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод.- Энэ тэнцэтгэлийг дифференциалчлахадy ′ = ϕ′(x) · e−3x − 3ϕ(x) · e−3x болох тул y , y ′-ийн энэилэрхийллүдийг орлуулан тавьж


тэнцэтгэлд хүрэх ба

эндээс ϕ(x) = 15e


y = C (x) · e−3x =

(1

5e5x + C2

)· e−3x =

1

5e2x +C2 · e−3x

олдоно.


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ




5x + C2 гэжолдно.

Өгөгдсөн нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийнерөнхий шийд

y = C (x) · e−3x =

(1

5e5x + C2

)· e−3x =

1

5e2x +C2 · e−3x

олдоно.


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ





y = C (x) · e−3x =

(1

5e5x + C2

)· e−3x =

1

5e2x +C2 · e−3x

олдоно.


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ





y = C (x) · e−3x =

(1

5e5x + C2

)· e−3x =

1

5e2x +C2 · e−3x

олдоно.


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ





y = C (x) · e−3x =

(1

5e5x + C2

)· e−3x =

1

5e2x +C2 · e−3x

олдоно.


Д.Баттөр

Агуулга


Шугаман тэгшитгэлд шилжих заримтэгшитгэлүүд

Бернулли-ийн тэгшитгэл


Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман биш тэгшитгэл

y ′ + p(x) · y = f (x) · yn, (n 6= 1) (6)

-ийг Бернулли-ийн тэгшитгэл гэнэ.

Бернулли-ийн тэгшитгэлийг бодох:

(6) тэгшитгэлийг yn функцэд хуваанаy1−n = u(x), y

′

yn = u′(x)1−n орлуулга хийж, шугаман

тэгшитгэлд шилжүүлнэҮүсэх шигаман тэгшитгэлд бодож шийдийг олно.u(x) = y1−n орлуулга хийж анхны тэгшитгэлийншийдийг олно.


Д.Баттөр

Агуулга






y ′ + p(x) · y = f (x) · yn, (n 6= 1) (6)



(6) тэгшитгэлийг yn функцэд хуваана

y1−n = u(x), y′




Д.Баттөр

Агуулга






y ′ + p(x) · y = f (x) · yn, (n 6= 1) (6)



(6) тэгшитгэлийг yn функцэд хуваанаy1−n = u(x),

y ′




Д.Баттөр

Агуулга






y ′ + p(x) · y = f (x) · yn, (n 6= 1) (6)




′


тэгшитгэлд шилжүүлнэ

Үүсэх шигаман тэгшитгэлд бодож шийдийг олно.u(x) = y1−n орлуулга хийж анхны тэгшитгэлийншийдийг олно.


Д.Баттөр

Агуулга






y ′ + p(x) · y = f (x) · yn, (n 6= 1) (6)




′


тэгшитгэлд шилжүүлнэҮүсэх шигаман тэгшитгэлд бодож шийдийг олно.

u(x) = y1−n орлуулга хийж анхны тэгшитгэлийншийдийг олно.


Д.Баттөр

Агуулга






y ′ + p(x) · y = f (x) · yn, (n 6= 1) (6)




′




Д.Баттөр

Агуулга






y ′ + p(x) · y = f (x) · yn, (n 6= 1) (6)




′




Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

y ′ − xy = x3y2 тэгшитгэлийг бод.

- Энэ тэнцэтгэлийг y2-д хуваавал

y ′

y2− x

y= x3

болно. 1y = u, y

′

y2 = u′

1−2 гэж орлуулбал

−u′ − xu = x3

болно. Одоо−u′ − xu = x3

тэгшитгэлийг бодож шийдийг олох ба u = 1y орлуулгыг

хийснээр шийд олдоно.


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

y ′ − xy = x3y2 тэгшитгэлийг бод.- Энэ тэнцэтгэлийг y2-д хуваавал

y ′

y2− x

y= x3


′

y2 = u′


−u′ − xu = x3





Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ


y ′

y2− x

y= x3

болно.

1y = u, y

′

y2 = u′


−u′ − xu = x3





Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ


y ′

y2− x

y= x3


′

y2 = u′


−u′ − xu = x3

болно.

Одоо−u′ − xu = x3




Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ


y ′

y2− x

y= x3


′

y2 = u′


−u′ − xu = x3





Д.Баттөр

Агуулга



Ф.Рикатти-ийн тэгшитгэл


Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман биш

y ′ = p(x)y2 + q(x)y + r(x) (7)

-ийг Рикатти-ийн тэгшитгэл гэнэ.

Рикатти-ийн тэгшитгэлийг бодох:(7)-ийн тэгшитгэл нь ерөнхий тохиолдолдинтегралчлалаар шийдийг олж болохгүй ангилалдордог. Гэхдээ, хэрэв энэ тэгшитгэлийн аль нэгэн тухайншийд y1(x) нь ямар нэгэн арга замаар олдсон байвалy = y1 +

1z(x) орлуулга хийснээр шугаман тэгшитгэлд

шилжинэ:z ′ + (2py1 + q)z = −p


Д.Баттөр

Агуулга



Ф.Рикатти-ийн тэгшитгэл


Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман биш

y ′ = p(x)y2 + q(x)y + r(x) (7)

-ийг Рикатти-ийн тэгшитгэл гэнэ.

Рикатти-ийн тэгшитгэлийг бодох:(7)-ийн тэгшитгэл нь ерөнхий тохиолдолдинтегралчлалаар шийдийг олж болохгүй ангилалдордог. Гэхдээ, хэрэв энэ тэгшитгэлийн аль нэгэн тухайншийд y1(x) нь ямар нэгэн арга замаар олдсон байвалy = y1 +

1z(x) орлуулга хийснээр шугаман тэгшитгэлд

шилжинэ:z ′ + (2py1 + q)z = −p


Д.Баттөр

Агуулга


Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл

Уламжлалын хувьд бодогдсон нэгдүгээр эрэмбийнy ′ = f (x , y) хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлдуламжлалын y ′ = dy

dx илэрхийллийг ашиглаж өгөгдсөнтэгшитгэлийг

M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0, (∗ ∗ ∗∗)хэлбэрт бичиж болно.

Буцаагаад, (****) хэлбэрт бичигдсэнтэгшитгэлийг M(x , y) илэрхийлэлд гишүүнчлэн хуваахзамаар y ′ = f (x , y) хэлбэрт оруулж болно.


Хэрэв (****) тэгшитгэлийн хувьд

du(x , y) = M(x , y)dx + N(x , y)dy

тэнцэтгэлийг хангах u(x , y) функц оршин байвал угтэгшитгэл нь бүтэн дифференциалт тэгшитгэл гэнэ.


Д.Баттөр

Агуулга





M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0, (∗ ∗ ∗∗)хэлбэрт бичиж болно.Буцаагаад, (****) хэлбэрт бичигдсэнтэгшитгэлийг M(x , y) илэрхийлэлд гишүүнчлэн хуваахзамаар y ′ = f (x , y) хэлбэрт оруулж болно.






Д.Баттөр

Агуулга











Д.Баттөр

Агуулга











Д.Баттөр

Агуулга



Энэ тохиолдолд (****) тэгшитгэл

du(x , y) = 0

хэлбэрт бичигдэж болох ба, эндээс, шийдu(x , y) = C = const байна.

Өгөгдсөн (****) тэгшитгэл бүтэн дифференциалт тэгшитгэлбайгаа, эсэхийг шалгах:

M(x , y)dx + N(x , y)dy илэрхийлэл ямар нэгэн u(x , y)функцийн бүтэн дифференциал нь байхын зайлшгүй бахүрэлцээтэй нөхцөл бол

∂M(x , y)

∂y=∂N(x , y)

∂x(8)

тэнцэтгэл биелэгдэхэд оршино. Энэ нөхцөл биелэгдэжбайвал

∂u

∂x= M(x , y),

∂u

∂y= N(x , y) (9)

байна.


Д.Баттөр

Агуулга




du(x , y) = 0

хэлбэрт бичигдэж болох ба, эндээс, шийдu(x , y) = C = const байна.Өгөгдсөн (****) тэгшитгэл бүтэн дифференциалт тэгшитгэлбайгаа, эсэхийг шалгах:


∂M(x , y)

∂y=∂N(x , y)

∂x(8)


∂u

∂x= M(x , y),

∂u

∂y= N(x , y) (9)

байна.


Д.Баттөр

Агуулга




du(x , y) = 0



∂M(x , y)

∂y=∂N(x , y)

∂x(8)

тэнцэтгэл биелэгдэхэд оршино.

Энэ нөхцөл биелэгдэжбайвал

∂u

∂x= M(x , y),

∂u

∂y= N(x , y) (9)

байна.


Д.Баттөр

Агуулга




du(x , y) = 0



∂M(x , y)

∂y=∂N(x , y)

∂x(8)


∂u

∂x= M(x , y),

∂u

∂y= N(x , y) (9)

байна.


Д.Баттөр

Агуулга



(9) системийн эхний тэгшитгэлийг x-ээр интегралчлавал

u(x , y) =

∫M(x , y)dx + φ(y), (10)

ба энд байгаа φ(y) нь зөвхөн y -ээс хамаарах дурын(дифференциалчлагдах) функц юм. Одоо (10) томъёогоорилэрхийлэгдэх u(x , y) функц (9) системийн хоёрдахьтэгшитгэлд хангаж байхаар φ(y) функцийг сонгож авъя:

∂u

∂y=

∂

∂y

(∫M(x , y)dx

)+ φ′(y) = N(x , y), (11)


Д.Баттөр

Агуулга




u(x , y) =

∫M(x , y)dx + φ(y), (10)

ба энд байгаа φ(y) нь зөвхөн y -ээс хамаарах дурын(дифференциалчлагдах) функц юм.

Одоо (10) томъёогоорилэрхийлэгдэх u(x , y) функц (9) системийн хоёрдахьтэгшитгэлд хангаж байхаар φ(y) функцийг сонгож авъя:

∂u

∂y=

∂

∂y

(∫M(x , y)dx

)+ φ′(y) = N(x , y), (11)


Д.Баттөр

Агуулга




u(x , y) =

∫M(x , y)dx + φ(y), (10)

ба энд байгаа φ(y) нь зөвхөн y -ээс хамаарах дурын(дифференциалчлагдах) функц юм. Одоо (10) томъёогоорилэрхийлэгдэх u(x , y) функц (9) системийн хоёрдахьтэгшитгэлд хангаж байхаар φ(y) функцийг сонгож авъя:

∂u

∂y=

∂

∂y

(∫M(x , y)dx

)+ φ′(y) = N(x , y), (11)


Д.Баттөр

Агуулга



Энэ тэгшитгэлээс φ′(y) -ийг олж, улмаар интегралчлахзамаар φ(y)-ийг олно.

Ингэж олдсон φ(y)-ийг (10)томъёонд орлуулж тавихад u(x , y) функц олдоно.


Д.Баттөр

Агуулга



Энэ тэгшитгэлээс φ′(y) -ийг олж, улмаар интегралчлахзамаар φ(y)-ийг олно. Ингэж олдсон φ(y)-ийг (10)томъёонд орлуулж тавихад u(x , y) функц олдоно.


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

(3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.

- (3x2 + 6xy2) = M(x , y), (6x2y + 4y3) = N(x , y) ба

∂M(x , y)

∂y=∂N(x , y)

∂x= 12xy

тул бүтэн дифференциал тэгшитгэл байна.

u =

∫(3x2 + 6xy2)dx = x3 + 3x2y2 + φ(y)

болно.


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

(3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.- (3x2 + 6xy2) = M(x , y), (6x2y + 4y3) = N(x , y) ба

∂M(x , y)

∂y=∂N(x , y)

∂x= 12xy


u =

∫(3x2 + 6xy2)dx = x3 + 3x2y2 + φ(y)

болно.


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ


∂M(x , y)

∂y=∂N(x , y)

∂x= 12xy


u =

∫(3x2 + 6xy2)dx = x3 + 3x2y2 + φ(y)

болно.


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ


∂M(x , y)

∂y=∂N(x , y)

∂x= 12xy


u =

∫(3x2 + 6xy2)dx = x3 + 3x2y2 + φ(y)

болно.


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

(3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.

- Эндээс y -р уламжлал авбал

6x2y + φ′(y) = 6x2y + 4y3

тул

φ(y) = 4

∫y3dy = y4

болно. Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийн шийд

x3 + 3x2y2 + y4 = C


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

(3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.- Эндээс y -р уламжлал авбал

6x2y + φ′(y) = 6x2y + 4y3

тул

φ(y) = 4

∫y3dy = y4


x3 + 3x2y2 + y4 = C


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ


6x2y + φ′(y) = 6x2y + 4y3

тул

φ(y) = 4

∫y3dy = y4

болно.

Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийн шийд

x3 + 3x2y2 + y4 = C


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ


6x2y + φ′(y) = 6x2y + 4y3

тул

φ(y) = 4

∫y3dy = y4


x3 + 3x2y2 + y4 = C


Д.Баттөр

Агуулга



Хэрэв (****) тэгшитгэлийн зүүн тал дахь илэрхийлэл бүтэндифференциал биш

(∂M∂y 6≡

∂N∂x

)байвал интегралчлагч

үржигдэхүүн гэж нэрлэгдэх µ = µ(x , y) функцийгµ(Mdx + Ndy) илэрхийлэл бүтэн дифференциал байхаар,олж болно.

Интегралчлагч үржигдэхүүн:1

N

(∂M∂y− ∂N

∂x

)= φ(x) гэвэл

lnµ(x) =

∫φ(x)dx

1

M

(∂N∂x− ∂M

∂y

)= ψ(y) гэвэл

lnµ(y) =

∫ψ(y)dy


Д.Баттөр

Агуулга



Хэрэв (****) тэгшитгэлийн зүүн тал дахь илэрхийлэл бүтэндифференциал биш

(∂M∂y 6≡

∂N∂x

)байвал интегралчлагч

үржигдэхүүн гэж нэрлэгдэх µ = µ(x , y) функцийгµ(Mdx + Ndy) илэрхийлэл бүтэн дифференциал байхаар,олж болно.Интегралчлагч үржигдэхүүн:

1

N

(∂M∂y− ∂N

∂x

)= φ(x) гэвэл

lnµ(x) =

∫φ(x)dx

1

M

(∂N∂x− ∂M

∂y

)= ψ(y) гэвэл

lnµ(y) =

∫ψ(y)dy


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

(x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод.

- x2 − y = M(x , y),N(x , y) = x ба

∂M(x , y)

∂y= −1; ∂N(x , y)

∂x= 1

тул интегралчлагч үржигдэхүүнийг олъё.

φ(x) =1

N

(∂M∂y− ∂N

∂x

)= −2

x

lnµ(x) =

∫−2

xdx = −2 ln x = ln x−2 ⇒ µ(x) =

1

x2


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

(x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод.- x2 − y = M(x , y),N(x , y) = x ба

∂M(x , y)

∂y= −1; ∂N(x , y)

∂x= 1


φ(x) =1

N

(∂M∂y− ∂N

∂x

)= −2

x

lnµ(x) =

∫−2

xdx = −2 ln x = ln x−2 ⇒ µ(x) =

1

x2


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ


∂M(x , y)

∂y= −1; ∂N(x , y)

∂x= 1


φ(x) =1

N

(∂M∂y− ∂N

∂x

)= −2

x

lnµ(x) =

∫−2

xdx = −2 ln x = ln x−2 ⇒ µ(x) =

1

x2


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ


∂M(x , y)

∂y= −1; ∂N(x , y)

∂x= 1


φ(x) =1

N

(∂M∂y− ∂N

∂x

)= −2

x

lnµ(x) =

∫−2

xdx = −2 ln x = ln x−2 ⇒ µ(x) =

1

x2


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ


∂M(x , y)

∂y= −1; ∂N(x , y)

∂x= 1


φ(x) =1

N

(∂M∂y− ∂N

∂x

)= −2

x

lnµ(x) =

∫−2

xdx = −2 ln x = ln x−2

⇒ µ(x) =1

x2


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ


∂M(x , y)

∂y= −1; ∂N(x , y)

∂x= 1


φ(x) =1

N

(∂M∂y− ∂N

∂x

)= −2

x

lnµ(x) =

∫−2

xdx = −2 ln x = ln x−2 ⇒ µ(x) =

1

x2


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ


- µ(x) = 1x2

-р үржүүлбэл

(1− y

x2)dx +

1

xdy = 0

тэгшитгэлд шилжүүллээ.y -р интегралчибал

u =

∫1

xdy =

y

x+ φ(x)

болно. x-р дифференциалбал

1− y

x2= − y

x2+ φ′(x)


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

(x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод.- µ(x) = 1

x2-р үржүүлбэл

(1− y

x2)dx +

1

xdy = 0

тэгшитгэлд шилжүүллээ.

y -р интегралчибал

u =

∫1

xdy =

y

x+ φ(x)


1− y

x2= − y

x2+ φ′(x)


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ



(1− y

x2)dx +

1

xdy = 0


u =

∫1

xdy =

y

x+ φ(x)

болно.

x-р дифференциалбал

1− y

x2= − y

x2+ φ′(x)


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ



(1− y

x2)dx +

1

xdy = 0


u =

∫1

xdy =

y

x+ φ(x)


1− y

x2= − y

x2+ φ′(x)


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ


-φ′(x) = 1⇒ φ(x) =

∫dx = x

болох тулy

x+ x = C


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ

(x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод.-

φ′(x) = 1

⇒ φ(x) =

∫dx = x

болох тулy

x+ x = C


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ


φ′(x) = 1⇒ φ(x) =

∫dx = x

болох тул

y

x+ x = C


Д.Баттөр

Агуулга



Жишээ


φ′(x) = 1⇒ φ(x) =

∫dx = x

болох тулy

x+ x = C

Education

Хялбар интегралчлагдах 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл