Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал

МАТЕМАТИК-2

Д.Баттөр

Агуулга

Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент

(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал

МАТЕМАТИК-2Олон хувьсагчтай функцийн үндэс

Д.Баттөр

2010 оны 2-р сарын 10


Д.Баттөр

Агуулга



1 Олон хувьсагчтай функц (ОХФ)(ОХФ)-ийн тухайн уламжлал(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциалДавхар функцийн уламжлалДалд функцийн уламжлал(ОХФ)-ийн өгөгдсөн чиглэлээр авсан уламжлал(ОХФ)-ийн градент

2 (ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал ба бүтэндифференциал

(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал


Д.Баттөр

Агуулга



(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал

Тодорхойлт

Хэрэв z = f (x ; y)-функцийн тухайн уламжлалуудыг аргументийнөөрчлөлтөөр үржүүлэн нийлбэрчилсэн нийлбэр

dz =∂f

∂xdx +

∂f

∂ydy (1)

-ийг f (x ; y) функцийн бүтэн дифференциал гэж нэрлээд dz-гэжтэмдэглэнэ.


z = f (x1; x2; ...; xn) гэсэн n-хувьсагчтай функцийн бүтэндифференциал нь

dz =∂f

∂x1dx1 +

∂f

∂x2dx2 + · · ·+ ∂f

∂xndxn (2)

байна.


Д.Баттөр

Агуулга





Хэрэв z = f (x ; y)-функцийн тухайн уламжлалуудыг аргументийнөөрчлөлтөөр үржүүлэн нийлбэрчилсэн нийлбэр

dz =∂f

∂xdx +

∂f

∂ydy (1)

-ийг f (x ; y) функцийн бүтэн дифференциал гэж нэрлээд dz-гэжтэмдэглэнэ.


z = f (x1; x2; ...; xn) гэсэн n-хувьсагчтай функцийн бүтэндифференциал нь

dz =∂f

∂x1dx1 +

∂f

∂x2dx2 + · · ·+ ∂f

∂xndxn (2)

байна.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

z = xy − yx функцийн бүтэн дифференциалыг ол.

C ∂z∂x = y + y

x2 ; ∂z∂y = x − 1

x .

dz = (y +y

x2)dx + (x − 1

x)dy .B

z = exy функцийн бүтэн дифференциалыг M(1; 1) цэгдээр ∆x = 0, 1, ∆y = 0, 2 байх тохиолдолд бодож ол.C ∂z

∂x = yexy ; ∂z∂y = xexy .dz = yexydx + xexydy

dz = exy (ydx+xdy) dz∣∣∣M

= e1·1(1·0, 1+1·0, 2) = 0, 3e.B


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


C ∂z∂x = y + y

x2 ;

∂z∂y = x − 1

x .

dz = (y +y

x2)dx + (x − 1

x)dy .B




= e1·1(1·0, 1+1·0, 2) = 0, 3e.B


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


C ∂z∂x = y + y

x2 ; ∂z∂y = x − 1

x .

dz = (y +y

x2)dx + (x − 1

x)dy .B




= e1·1(1·0, 1+1·0, 2) = 0, 3e.B


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


C ∂z∂x = y + y

x2 ; ∂z∂y = x − 1

x .

dz = (y +y

x2)dx + (x − 1

x)dy .B




= e1·1(1·0, 1+1·0, 2) = 0, 3e.B


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


C ∂z∂x = y + y

x2 ; ∂z∂y = x − 1

x .

dz = (y +y

x2)dx + (x − 1

x)dy .B

z = exy функцийн бүтэн дифференциалыг M(1; 1) цэгдээр ∆x = 0, 1, ∆y = 0, 2 байх тохиолдолд бодож ол.

C ∂z∂x = yexy ; ∂z

∂y = xexy .dz = yexydx + xexydy


= e1·1(1·0, 1+1·0, 2) = 0, 3e.B


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


C ∂z∂x = y + y

x2 ; ∂z∂y = x − 1

x .

dz = (y +y

x2)dx + (x − 1

x)dy .B


∂x = yexy ;

∂z∂y = xexy .dz = yexydx + xexydy


= e1·1(1·0, 1+1·0, 2) = 0, 3e.B


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


C ∂z∂x = y + y

x2 ; ∂z∂y = x − 1

x .

dz = (y +y

x2)dx + (x − 1

x)dy .B


∂x = yexy ; ∂z∂y = xexy .

dz = yexydx + xexydy


= e1·1(1·0, 1+1·0, 2) = 0, 3e.B


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


C ∂z∂x = y + y

x2 ; ∂z∂y = x − 1

x .

dz = (y +y

x2)dx + (x − 1

x)dy .B




= e1·1(1·0, 1+1·0, 2) = 0, 3e.B


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


C ∂z∂x = y + y

x2 ; ∂z∂y = x − 1

x .

dz = (y +y

x2)dx + (x − 1

x)dy .B



dz = exy (ydx+xdy)

dz∣∣∣M

= e1·1(1·0, 1+1·0, 2) = 0, 3e.B


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


C ∂z∂x = y + y

x2 ; ∂z∂y = x − 1

x .

dz = (y +y

x2)dx + (x − 1

x)dy .B




= e1·1(1·0, 1+1·0, 2) = 0, 3e.B


Д.Баттөр

Агуулга



Давхар функцийн уламжлал


V -муж дээр тодорхойлогдсон z = F (u; v)-гэсэн хоёр хувьсагчтайфункц авч түүний аргумент u, v -г x , y -гээс хамаарсанu = φ(x ; y), v = ψ(x ; y),(x ; y) ∈ D, (u; v) ∈ V функц байх z = F (φ(x ; y);ψ(x ; y))-ыг D муждээр тодорхойлогдсон давхар функц гэнэ.


F (u, v), φ(x ; y), ψ(x ; y) гэсэн функцүүдийг өөр өөрийнхөө бүхаргументуудаараа тасралтгүй, мөн тасралтгүй тухайн уламжлалуудтайгэж үзээд ∂F

∂x, ∂F

∂yуламжлалууд

∂z

∂x=∂F

∂u· ∂u∂x

+∂F

∂v· ∂v∂x

(3)

∂z

∂y=∂F

∂u· ∂u∂y

+∂F

∂v· ∂v∂y

(4)

байна.


Д.Баттөр

Агуулга





V -муж дээр тодорхойлогдсон z = F (u; v)-гэсэн хоёр хувьсагчтайфункц авч түүний аргумент u, v -г x , y -гээс хамаарсанu = φ(x ; y), v = ψ(x ; y),(x ; y) ∈ D, (u; v) ∈ V функц байх z = F (φ(x ; y);ψ(x ; y))-ыг D муждээр тодорхойлогдсон давхар функц гэнэ.


F (u, v), φ(x ; y), ψ(x ; y) гэсэн функцүүдийг өөр өөрийнхөө бүхаргументуудаараа тасралтгүй, мөн тасралтгүй тухайн уламжлалуудтайгэж үзээд ∂F

∂x, ∂F

∂yуламжлалууд

∂z

∂x=∂F

∂u· ∂u∂x

+∂F

∂v· ∂v∂x

(3)

∂z

∂y=∂F

∂u· ∂u∂y

+∂F

∂v· ∂v∂y

(4)

байна.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

z = u2 − v2, u = x cos y , v = x sin y давхар функцийнуламжлалуудыг ол.

C ∂z∂u = 2u; ∂z

∂v = −2v ;∂u∂x = cos y ∂u

∂y = −x sin y ,∂v∂x = sin y , ∂v

∂y = x cos y тул

∂z

∂x= 2u cos y − 2x sin y = 2x cos2 y − 2v sin2 y ,

∂z

∂y= −2ux sin y − 2vx cos y = −x2 sin 2y − x2 sin 2y

байна.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

z = u2 − v2, u = x cos y , v = x sin y давхар функцийнуламжлалуудыг ол.C ∂z

∂u = 2u; ∂z∂v = −2v ;

∂u∂x = cos y ∂u



∂z


∂z


байна.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


∂u = 2u; ∂z∂v = −2v ;


∂y = −x sin y ,

∂v∂x = sin y , ∂v


∂z


∂z


байна.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


∂u = 2u; ∂z∂v = −2v ;




∂z


∂z


байна.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


∂u = 2u; ∂z∂v = −2v ;




∂z


∂z


байна.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


∂u = 2u; ∂z∂v = −2v ;




∂z


∂z


байна.


Д.Баттөр

Агуулга



Далд функцийн уламжлал


F (x ; y) = 0 (5)

гэсэн хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл авъя. Хэрэв x-ын нэгтодорхой утга бүхэнд (5) тэгшитгэлийг хангах y -ын зөвхөнганц утга харгалзах бол (5)-тэгшитгэлийг x-ээс хамаарсан yфункцийг далд хэлбэрээр тодорхойлж байна гэнэ.


Д.Баттөр

Агуулга




Теорем

Хэрэв x-аргументаас хамаарсан y -функц нь (5) тэгшитгэлээрдалд хэлбэрээр тодорхойлогдсон байг.Үүнд F (x ; y), F ′

x(x ; y), F ′y (x ; y)-нь координатууд нь (5)

тэгшитгэлийг хангах (x ; y) цэгийг агуулсан D муж дээртасралтгүй ба F ′

y (x ; y) 6= 0 байг. Тэгэхэд y далд функцээс xхувьсагчаар авсан уламжлал нь

y ′x = −F ′

x(x ; y)

F ′y (x ; y)

(6)

байна. (6) адилтгалыг

y ′x = −

∂F∂x∂F∂y

(7)

гэж бичиж болно.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

ey − ex + xy = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлогдох x-ээсхамаарсан y -далд функцийн уламжлалыг ол.

F (x ; y) = ey − ex + xy ⇒[F ′x = −ex + y ,F ′y = ey + x

]тул y ′x = −y − ex

x + ey=

ex − y

ey + x


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


F (x ; y) = ey − ex + xy

⇒[F ′x = −ex + y ,F ′y = ey + x


x + ey=

ex − y

ey + x


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ



]

тул y ′x = −y − ex

x + ey=

ex − y

ey + x


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ




x + ey

=ex − y

ey + x


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ




x + ey=

ex − y

ey + x


Д.Баттөр

Агуулга



(ОХФ)-ийн өгөгдсөн чиглэлээр авсан уламжлал

Тодорхойлолт

∆s → 0 үеийн ∆u∆s -ноогдворын хязгаарыг u = f (x ; y ; z)

функцээс ~s-векторын чиглэлийн дагуух M(x ; y ; z) цэг дээрхчиглэлээр авсан уламжлал гэж нэрлээд ∂u

∂s

∣∣∣M

-гэжтэмдэглэнэ.Иймд u = f (x ; y ; z) функцийн ~s-векторын чиглэлээр авсануламжлал нь

∂u

∂s=∂u

∂xcosα +

∂u

∂ycosβ +

∂u

∂zcos γ (8)

болно.


Д.Баттөр

Агуулга




Зураг: Вектор


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

u = xyz функцийн s = 2i +

1

j + 3k векторын чиглэлээравсан уламжлалыг M(1; 2;−1) цэг дээр ол.

∂u∂x = yz , ∂u

∂y = xz , ∂u∂z = xy болох бачиглүүлэгч косинусууд

нь

cosα =2√

22 + 12 + 32=

2√14, cosβ =

1√14, cos γ =

3√14

байх тулu = xyz-функцээс M(1; 2;−1) цэг дээрхs = 2i + j + 3k-векторын чиглэлээр авсан уламжлал нь

∂u

∂s= 2·(−1)

2√14

+1·(−1)1√14

+1·2· 3√14

=−4− 1 + 6√

14=

1√14

байна.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


1

j + 3k векторын чиглэлээравсан уламжлалыг M(1; 2;−1) цэг дээр ол.∂u∂x = yz , ∂u

∂y = xz , ∂u∂z = xy болох ба

чиглүүлэгч косинусууднь

cosα =2√

22 + 12 + 32=

2√14, cosβ =

1√14, cos γ =

3√14


∂u

∂s= 2·(−1)

2√14

+1·(−1)1√14

+1·2· 3√14

=−4− 1 + 6√

14=

1√14

байна.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


1



нь

cosα =2√

22 + 12 + 32=

2√14, cosβ =

1√14, cos γ =

3√14

байх тул

u = xyz-функцээс M(1; 2;−1) цэг дээрхs = 2i + j + 3k-векторын чиглэлээр авсан уламжлал нь

∂u

∂s= 2·(−1)

2√14

+1·(−1)1√14

+1·2· 3√14

=−4− 1 + 6√

14=

1√14

байна.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


1



нь

cosα =2√

22 + 12 + 32=

2√14, cosβ =

1√14, cos γ =

3√14


∂u

∂s= 2·(−1)

2√14

+1·(−1)1√14

+1·2· 3√14

=−4− 1 + 6√

14=

1√14

байна.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

u = xyz функцийн s = 2i + 1j + 3k векторын чиглэлээравсан уламжлалыг M(1; 2;−1) цэг дээр ол.∂u∂x = yz , ∂u


нь

cosα =2√

22 + 12 + 32=

2√14, cosβ =

1√14, cos γ =

3√14


∂u

∂s= 2·(−1)

2√14

+1·(−1)1√14

+1·2· 3√14

=−4− 1 + 6√

14=

1√14

байна.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


1



нь

cosα =2√

22 + 12 + 32=

2√14, cosβ =

1√14, cos γ =

3√14


∂u

∂s= 2·(−1)

2√14

+1·(−1)1√14

+1·2· 3√14

=−4− 1 + 6√

14=

1√14

байна.


Д.Баттөр

Агуулга



(ОХФ)-ийн градент


u = f (x ; y ; z) функцийн тодорхойлогдох муж D-ийн (x ; y ; z)цэгдээрх координатын тэнхлэгүүд дээрх проекцүүд нь харгалзануул функцийн тухайн уламжлалууд ∂u

∂x ,∂u∂y ,

∂u∂z байх

∂u

∂xi +

∂u

∂yj +

∂u

∂zk

гэсэн векторыг u = f (x ; y ; z) функцийн градиент вектор гэжнэрлээд gradu-гэж тэмдэглэх ба

gradu =∂u

∂xi +

∂u

∂yj +

∂u

∂zk (9)

байна.


Д.Баттөр

Агуулга




Зураг: Градент

Градентийн зарим чанар

1 grad(u1 + u2) = gradu1 + gradu2

2 grad(c · u) = c · gradu. Үүнд c − const.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

u = x2 + y2 + z2 функцийн M(1; 2;−1) цэг дээрхградиентийг ол.

Энэ функцийн дурын цэг дээрх градиент нь

gradu = 2xi + 2yj + 2zk

байна.Одоо энэ функцийн M(1; 2;−1) цэг дээрх градиентыголбол

(gradu)∣∣∣M

= 2i + 4j − 2k

болно.|(gradu)

∣∣∣M| =√

4 + 16 + 4 = 2√

6.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

u = x2 + y2 + z2 функцийн M(1; 2;−1) цэг дээрхградиентийг ол.Энэ функцийн дурын цэг дээрх градиент нь


байна.

Одоо энэ функцийн M(1; 2;−1) цэг дээрх градиентыголбол

(gradu)∣∣∣M

= 2i + 4j − 2k

болно.|(gradu)

∣∣∣M| =√

4 + 16 + 4 = 2√

6.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

u = x2 + y2 + z2 функцийн M(1; 2;−1) цэг дээрхградиентийг ол.Энэ функцийн дурын цэг дээрх градиент нь


байна.Одоо энэ функцийн M(1; 2;−1) цэг дээрх градиентыголбол

(gradu)∣∣∣M

= 2i + 4j − 2k

болно.|(gradu)

∣∣∣M| =√

4 + 16 + 4 = 2√

6.


Д.Баттөр

Агуулга



(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал


z = f (x ; y) функц авч энэ функцийн ямар нэгэн D муж дээртасралтгүй тухайн уламжлалуудтай гэж үзье. Тэгэхэдf ′x(x ; y), f ′y (x ; y)-тухайн уламжлалууд нь x ; y -хувьсагчаасхамаарсан функц байх тул тэдгээрийн тухайнуламжлалуудыг олж болно. I эрэмбийн уламжлалуудаасавсан тухайн уламжлалуудыг z = f (x ; y) функцийн IIэрэмбийн тухайн уламжлал гээд

∂2z

∂x2= f ′′xx(x ; y),

∂2z

∂x∂y= f ′′xy (x ; y),

∂2z

∂y∂x= f ′′yx(x ; y),

∂2z

∂y2= f ′′yy (x ; y)

гэж тэмдэглэнэ.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

z = x4 + x3y2 + y5 + 3 функцийн I,II,III эрэмбийнтухайн уламжлалуудыг ол.

C ∂z∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z

∂y = 2x3y + 5y4

∂2z∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z

∂x∂y = 6x2y ,∂2z∂y∂x = 6x2y , ∂2z

∂y2 = 2x3 + 20y3

∂3z∂y∂x2 = 12xy , ∂3z

∂x∂y∂y = 6x2,∂3z

∂y2∂x= 6x2, ∂3z

∂y3 = 60y2,∂3z∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z

∂x2∂y= 12xy ,

∂3z∂x∂y∂x = 12xy , ∂3z

∂x∂y2 = 6x2.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

z = x4 + x3y2 + y5 + 3 функцийн I,II,III эрэмбийнтухайн уламжлалуудыг ол.C ∂z

∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z∂y = 2x3y + 5y4

∂2z∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z

∂x∂y = 6x2y ,∂2z∂y∂x = 6x2y , ∂2z

∂y2 = 2x3 + 20y3

∂3z∂y∂x2 = 12xy , ∂3z

∂x∂y∂y = 6x2,∂3z

∂y2∂x= 6x2, ∂3z

∂y3 = 60y2,∂3z∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z

∂x2∂y= 12xy ,

∂3z∂x∂y∂x = 12xy , ∂3z

∂x∂y2 = 6x2.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z∂y = 2x3y + 5y4

∂2z∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z

∂x∂y = 6x2y ,

∂2z∂y∂x = 6x2y , ∂2z

∂y2 = 2x3 + 20y3

∂3z∂y∂x2 = 12xy , ∂3z

∂x∂y∂y = 6x2,∂3z

∂y2∂x= 6x2, ∂3z

∂y3 = 60y2,∂3z∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z

∂x2∂y= 12xy ,

∂3z∂x∂y∂x = 12xy , ∂3z

∂x∂y2 = 6x2.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z∂y = 2x3y + 5y4

∂2z∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z

∂x∂y = 6x2y ,∂2z∂y∂x = 6x2y , ∂2z

∂y2 = 2x3 + 20y3

∂3z∂y∂x2 = 12xy , ∂3z

∂x∂y∂y = 6x2,∂3z

∂y2∂x= 6x2, ∂3z

∂y3 = 60y2,∂3z∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z

∂x2∂y= 12xy ,

∂3z∂x∂y∂x = 12xy , ∂3z

∂x∂y2 = 6x2.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z∂y = 2x3y + 5y4

∂2z∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z

∂x∂y = 6x2y ,∂2z∂y∂x = 6x2y , ∂2z

∂y2 = 2x3 + 20y3

∂3z∂y∂x2 = 12xy , ∂3z

∂x∂y∂y = 6x2,

∂3z∂y2∂x

= 6x2, ∂3z∂y3 = 60y2,

∂3z∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z

∂x2∂y= 12xy ,

∂3z∂x∂y∂x = 12xy , ∂3z

∂x∂y2 = 6x2.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z∂y = 2x3y + 5y4

∂2z∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z

∂x∂y = 6x2y ,∂2z∂y∂x = 6x2y , ∂2z

∂y2 = 2x3 + 20y3

∂3z∂y∂x2 = 12xy , ∂3z

∂x∂y∂y = 6x2,∂3z

∂y2∂x= 6x2, ∂3z

∂y3 = 60y2,

∂3z∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z

∂x2∂y= 12xy ,

∂3z∂x∂y∂x = 12xy , ∂3z

∂x∂y2 = 6x2.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z∂y = 2x3y + 5y4

∂2z∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z

∂x∂y = 6x2y ,∂2z∂y∂x = 6x2y , ∂2z

∂y2 = 2x3 + 20y3

∂3z∂y∂x2 = 12xy , ∂3z

∂x∂y∂y = 6x2,∂3z

∂y2∂x= 6x2, ∂3z

∂y3 = 60y2,∂3z∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z

∂x2∂y= 12xy ,

∂3z∂x∂y∂x = 12xy , ∂3z

∂x∂y2 = 6x2.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z∂y = 2x3y + 5y4

∂2z∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z

∂x∂y = 6x2y ,∂2z∂y∂x = 6x2y , ∂2z

∂y2 = 2x3 + 20y3

∂3z∂y∂x2 = 12xy , ∂3z

∂x∂y∂y = 6x2,∂3z

∂y2∂x= 6x2, ∂3z

∂y3 = 60y2,∂3z∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z

∂x2∂y= 12xy ,

∂3z∂x∂y∂x = 12xy , ∂3z

∂x∂y2 = 6x2.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z∂y = 2x3y + 5y4

∂2z∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z

∂x∂y = 6x2y ,∂2z∂y∂x = 6x2y , ∂2z

∂y2 = 2x3 + 20y3

∂3z∂y∂x2 = 12xy , ∂3z

∂x∂y∂y = 6x2,∂3z

∂y2∂x= 6x2, ∂3z

∂y3 = 60y2,∂3z∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z

∂x2∂y= 12xy ,

∂3z∂x∂y∂x = 12xy , ∂3z

∂x∂y2 = 6x2.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z∂y = 2x3y + 5y4

∂2z∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z

∂x∂y = 6x2y ,∂2z∂y∂x = 6x2y , ∂2z

∂y2 = 2x3 + 20y3

∂3z∂y∂x2 = 12xy , ∂3z

∂x∂y∂y = 6x2,∂3z

∂y2∂x= 6x2, ∂3z

∂y3 = 60y2,∂3z∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z

∂x2∂y= 12xy ,

∂3z∂x∂y∂x = 12xy , ∂3z

∂x∂y2 = 6x2.


Д.Баттөр

Агуулга





z = f (x ; y) функцийн хувьд f ′′xy (x ; y), f ′′yx(x ; y)-гэсэнхоёрдугаар эрэмбийн тухайн уламжлалуудыг холимогуламжлал гэнэ.

Теорем

Хэрэв z = f (x ; y) функц ба түүнийf ′x , f

′y , f

′′xy , f

′′yx -уламжлалууд ямар нэг M(x ; y) цэг болон

түүний орчинд тодорхойлогдохын хамт тасралтгүй байвалM(x ; y) цэг дээр

f ′′xy = f ′′yx (10)

байна.


Д.Баттөр

Агуулга





z = f (x ; y) функцийн хувьд f ′′xy (x ; y), f ′′yx(x ; y)-гэсэнхоёрдугаар эрэмбийн тухайн уламжлалуудыг холимогуламжлал гэнэ.

Теорем

Хэрэв z = f (x ; y) функц ба түүнийf ′x , f

′y , f

′′xy , f

′′yx -уламжлалууд ямар нэг M(x ; y) цэг болон

түүний орчинд тодорхойлогдохын хамт тасралтгүй байвалM(x ; y) цэг дээр

f ′′xy = f ′′yx (10)

байна.


Д.Баттөр

Агуулга



(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал


z = f (x ; y) функцийг M(x ; y) цэг дээр II-эрэмбийнтасралтгүй тухайн уламжлалуудтай бол d(dz) = d2z-ыгтүүний II-эрэмбийн дифференциал гэнэ.

d2z = d(dz) = d(∂z∂x

dx +∂z

∂ydy

)= d

(∂z∂x

dx)

+ d(∂z∂y

dy)

=∂2z

∂x2dx2 + 2

∂2z

∂x∂ydxdy +

∂2z

∂y2dy2

=( ∂

∂xdx +

∂

∂ydy

)2z


Д.Баттөр

Агуулга






d2z = d(dz)

= d(∂z∂x

dx +∂z

∂ydy

)= d

(∂z∂x

dx)

+ d(∂z∂y

dy)

=∂2z

∂x2dx2 + 2

∂2z

∂x∂ydxdy +

∂2z

∂y2dy2

=( ∂

∂xdx +

∂

∂ydy

)2z


Д.Баттөр

Агуулга







dx +∂z

∂ydy

)

= d(∂z∂x

dx)

+ d(∂z∂y

dy)

=∂2z

∂x2dx2 + 2

∂2z

∂x∂ydxdy +

∂2z

∂y2dy2

=( ∂

∂xdx +

∂

∂ydy

)2z


Д.Баттөр

Агуулга







dx +∂z

∂ydy

)= d

(∂z∂x

dx)

+ d(∂z∂y

dy)

=∂2z

∂x2dx2 + 2

∂2z

∂x∂ydxdy +

∂2z

∂y2dy2

=( ∂

∂xdx +

∂

∂ydy

)2z


Д.Баттөр

Агуулга







dx +∂z

∂ydy

)= d

(∂z∂x

dx)

+ d(∂z∂y

dy)

=∂2z

∂x2dx2 + 2

∂2z

∂x∂ydxdy +

∂2z

∂y2dy2

=( ∂

∂xdx +

∂

∂ydy

)2z


Д.Баттөр

Агуулга







dx +∂z

∂ydy

)= d

(∂z∂x

dx)

+ d(∂z∂y

dy)

=∂2z

∂x2dx2 + 2

∂2z

∂x∂ydxdy +

∂2z

∂y2dy2

=( ∂

∂xdx +

∂

∂ydy

)2z


Д.Баттөр

Агуулга




Гаргалгаа

Үүний адилаар d(d2z) = d3z-ыг олбол

d3z

=∂3z

∂x3dx3 + 3

∂3z

∂x2∂ydx2dy+

+3∂3z

∂x∂y 2dxdy 2 +

∂3z

∂y 3dy 3

=( ∂

∂xdx +

∂

∂ydy

)3

z

болно.

Өргөтгөл

II ба III-эрэмбийн дифференциалыг олох ерөнхий томъёог ашиглавалn-эрэмбийн дифференциалын хувьд дараахь дүгнэлтийг гаргаж болно.

dnz =( ∂

∂xdx +

∂

∂ydy

)n

z (11)


Д.Баттөр

Агуулга




Гаргалгаа


d3z =∂3z

∂x3dx3 + 3

∂3z

∂x2∂ydx2dy+

+3∂3z

∂x∂y 2dxdy 2 +

∂3z

∂y 3dy 3

=( ∂

∂xdx +

∂

∂ydy

)3

z

болно.

Өргөтгөл


dnz =( ∂

∂xdx +

∂

∂ydy

)n

z (11)


Д.Баттөр

Агуулга




Гаргалгаа


d3z =∂3z

∂x3dx3 + 3

∂3z

∂x2∂ydx2dy+

+3∂3z

∂x∂y 2dxdy 2 +

∂3z

∂y 3dy 3

=( ∂

∂xdx +

∂

∂ydy

)3

z

болно.

Өргөтгөл


dnz =( ∂

∂xdx +

∂

∂ydy

)n

z (11)


Д.Баттөр

Агуулга




Гаргалгаа


d3z =∂3z

∂x3dx3 + 3

∂3z

∂x2∂ydx2dy+

+3∂3z

∂x∂y 2dxdy 2 +

∂3z

∂y 3dy 3

=( ∂

∂xdx +

∂

∂ydy

)3

z

болно.

Өргөтгөл


dnz =( ∂

∂xdx +

∂

∂ydy

)n

z (11)

Education

Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал