παράγωγοι β' (2013)

Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2012-2013

-111-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Β’ ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ)

ΚΕΦ 2ο: Διαφορικός Λογισμός

Φυλλάδι555 1ο

§ 2.5α) Θεώρημα Rolle

Σημαντικές παρατηρήσεις

1. Για να ισχύει το Θεώρημα Rolle πρέπει να ισχύουν απαραιτήτως και οι τρεις προϋπο-

θέσεις του.

2. Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle σε ένα κλειστό

διάστημα [α,β], τότε, σε ότι αφορά στο συμπέρασμά του, οι παρακάτω προτάσεις είναι

ισοδύναμες:

Υπάρχει τουλάχιστον ένα 0

x (α,β) τέτοιο ώστε 0

f (x ) 0 .

Η εξίσωση f (x) 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο ανοιχτό διάστημα (α,β) .

Η συνάρτηση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ανοιχτό διάστημα (α,β) .

[ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του θεωρήματος Rolle]

Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x’x τουλάχιστον σε ένα σημείο

0A(x ,0) με

0x (α,β) .


x (α,β) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής πα-

ράστασης της f στο σημείο 0 0

M(x ,f(x )) να είναι παράλληλη στον άξονα x’x.

[ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του θεωρήματος Rolle]

Παρατηρήστε ότι για μια σταθερή συνάρτηση ( f(x) c ) είναι

0f (x ) 0 για κάθε

0x (α,β) [σχήμα α].

3. Αν ένα σώμα, κινούμενο πάνω σε έναν άξονα, διέρχεται από το σημείο Α την χρονική

στιγμή 1

t και επιστρέφει στο Α την χρονική στιγμή 2

t , τότε υπάρχει χρονική στιγμή 0

t

μεταξύ των 1

t , 2

t που η ταχύτητα είναι μηδέν (δηλαδή το κινητό σταματημένο).

[ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του θεωρήματος Rolle]

4. Το αντίστροφο του Θεωρήματος Rolle δεν ισχύει κατ’ ανάγκη! Δηλαδή, αν η παρά-

γωγος μιας συνάρτησης f μηδενίζεται σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού

της, δεν σημαίνει υποχρεωτικά ότι πληρούνται και οι προϋποθέσεις του θεωρήματος

Rolle [βλέπε σχήματα παρακάτω].

Φυλλάδιο 21ο


-112-

5. Το θεώρημα βεβαιώνει ότι υπάρχει μία ρίζα της εξίσωσης f (x) 0 στο (α,β) . Δεν ενδι-

αφέρεται για τον τρόπο που θα βρούμε ένα τέτοιο σημείο.

6. Το Θεώρημα Rolle εφαρμόζεται σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

7. Σε περίπτωση που η είναι παραγωγίσιμη στο [α,β], τότε θα είναι συνεχής στο [α,β] και

επομένως για την εφαρμογή του Θ. Rolle αρκεί να γνωρίζουμε ότι f(α) f(β) .

Βασικές Προτάσεις (χρειάζονται απόδειξη)

1. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο και έχει δύο ρίζες, τότε η f έχει τουλάχιστον μία ρίζα.

2. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο τότε, ανάμεσα σε δύο διαδοχικές ρίζες της f , υπάρ-

χει το πολύ μία ρίζα της συνάρτησης f.

3. Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και έχει τρεις ρίζες, τότε η f έχει δύο του-

λάχιστον ρίζες και η f τουλάχιστον μία.

4. Γενικότερα, αν μια συνάρτηση f είναι ν-φορές παραγωγίσιμη (ν , ν 1) και έχει

ν 1 ρίζες, τότε η (ν)f (νιοστή παράγωγος) έχει μία τουλάχιστον ρίζα.

5. Αν f (x) 0 για κάθε x , τότε η f έχει το πολύ μία ρίζα.

6. Αν f (x) 0 για κάθε x , τότε η f έχει το πολύ δύο ρίζες.

7. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και δεν είναι «1-1» στο Δ τότε

η εξίσωση f (x) 0 έχει τουλάχιστον μία λύση στο Δ.

8. Σαν συνέπεια του παραπάνω έχουμε ότι αν f (x) 0 για κάθε x Δ , τότε η f είναι «1-1» .

Μέθοδοι

1. Ενδείξεις για εφαρμογή του θεωρήματος Rolle είναι ύπαρξη εκφράσεων στην άσκηση

όπως: «να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) 0 …

… έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α,β) »

… έχει το πολύ μία ρίζα στο διάστημα (α,β) »

… έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (α,β) »

… έχει το πολύ κ ρίζες στο διάστημα (α,β) »

… έχει ακριβώς κ ρίζες στο διάστημα (α,β) »

… δεν έχει ρίζα στο διάστημα (α,β) »


-113-

Προσοχή!

Στις περιπτώσεις αυτές, το Θεώρημα Rolle δεν θα το εφαρμόζουμε στην f , αλλά

στην παράγουσα (αρχική) αυτής F, δηλαδή σε μια συνάρτηση F για την οποία ι-

σχύει: F (x) f(x) για κάθε f

x A .

2. Παρατηρούμε ότι οι προϋποθέσεις του Θ.Rolle αφορούν την συνάρτηση f , το συμπέ-

ρασμά του εφαρμόζεται στην f . Οπότε, αν στα ζητούμενα μιας άσκησης υπάρχει η

εξίσωση f (ξ) 0 ή f (ξ) 0 , αυτό είναι μια ένδειξη ότι πιθανόν να χρειαστεί η εφαρμο-

γή του θεωρήματος Rolle για την συνάρτηση f ή την f .

ΠΙΝΑΚΑΣ Ι

Συνάρτηση f Παράγουσα F Μορφή συνάρτησης f Μορφή παράγουσας F

0 c f (x) f(x)

1 x f(x) f (x) 21f (x)

2

αx

α+1x

α+1

αf (x) f (x) α 11f (x)

α+1

1

x 2 x

f (x)

f(x)

2 f(x)

ημx συνx ημf(x) f (x) συνf(x)

συνx ημx συνf(x) f (x) ημf(x)

xe xe f(x)e f (x) f(x)e

1

x ln x

f (x)

f(x)

ln f(x)

xα xα

lnα

f(x)α f (x) f(x)α

lnα

f (x)g(x) f(x)g (x) f(x)g(x) f(x) x f (x) x f(x)

2

f (x)g(x) f(x)g (x)

g (x)

f(x)

g(x) 2

f(x) xf (x)

x

f(x)

x

2[f (x)] f(x) f (x) f(x) f (x) g(x)[f (x) f(x)g (x)]e g(x)f(x)e

f (x) g (x) f(x) g(x)

2

1

x

1

x 2

f (x)

f (x)

1

f(x)

2

1

συν x εφx

2

f (x)

συν f(x)

εφf(x)

2

1

ημ x σφx

2

f (x)

ημ f(x)

σφf(x)


-114-

3. Σε πολλές περιπτώσεις μας ζητείται να δείξουμε ότι υπάρχει ξ (α,β) ώστε να ικανο-

ποιείται μία σχέση. Ξεκινάμε πάντα από τη σχέση που μας δίνεται, αντικαθιστούμε το

ξ με το x, και προσπαθούμε να δημιουργήσουμε, χρησιμοποιώντας τους κανόνες παρα-

γώγισης, την παράγωγο μιας παράστασης ίση με το μηδέν. Στην παράσταση αυτή θέ-

τουμε ως συνάρτηση f και εφαρμόζουμε το Θεώρημα Rolle.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΙI

Σχέση προς απόδειξη Ενέργειες Συνάρτηση για Θ. Rolle

1) f ξ κ f (x) κ 0 [f(x) κx] 0 φ(x) f(x) κx

2) f ξ κf ξ

f (x) κf(x) 0 f (x) κf(x) 0

f (x) f(x) 0 f(x) 0

-κx -κx

-κx -κx -κx

e e

e e e κxφ(x) f(x)e

3) f (ξ)(κ ξ) f(ξ) f (x)(κ x) f(x) 0 f (x)(κ x) f(x)(κ x) 0

f(x)(κ x) 0

φ(x) f(x)(κ x)

4) f (ξ)(ξ κ) f(ξ) 2

f (x)(x κ) f(x) 0 f (x)(x κ) f(x)(x κ) 0

f (x)(x κ) f(x)(x κ) f(x)0 0

x κ(x κ)

f(x)φ(x)

x κ

5) ν 1f (ξ) νξ ν 1 ν νf (x) νx 0 f (x) (x ) 0 [f(x) x ] 0 νφ(x) f(x) x

6) ξf (ξ) νf(ξ)

ν ν

ν ν

2ν ν

xf (x) νf(x) 0 xf (x) νf(x) 0

x f (x) (x ) f(x) 0

x f (x) (x ) f(x) f(x)0 0

x x

ν-1 ν-1x x

ν

f(x)φ(x)

x

7) f (ξ)f (ξ) 0 2

f (x)f (x) 0 2 f (x)f (x) 0

f (x) 0

2φ(x) f (x)

8) f (ξ) f(ξ) 0 2 2 22

f (x) f(x) 0 2f (x) f (x) 2f (x) f(x) 0

f (x) f(x) 0 f (x) f (x) 0

22φ(x) f (x) f (x)

9) (ν) (ν 1)f (ξ) g (ξ)f (ξ)

(ν) (ν 1)

g(x) g(x)(ν) (ν 1)

g(x) g(x)(ν 1) (ν 1)

g(x)(ν 1)

f (x) g (x)f (x) 0

f (x)e e g (x)f (x) 0

f (x) e f (x) e 0

f (x)e 0

g(x)(ν 1)φ(x) f (x)e

Ειδικότερα, έχουμε:

10) 2

f (ξ) f (ξ) 0 f(x)φ(x) f (x)e

11) f(ξ)

f (ξ) 0ξ

lnx f(x)φ(x) f(x)e

x


-115-

4. Ορισμένες φορές στα δεδομένα μιας άσκησης δίνεται μια σχέση που ισχύει για τα ά-

κρα του κλειστού διαστήματος [α,β] , π.χ f(α) f( ) αβ β . Αν αυτή τη σχέση την τρο-

ποποιήσουμε και ισχύουν βέβαια οι προϋποθέσεις, και πάμε τα α στο ένα μέλος και τα

β στο άλλο, και αντικαταστήσουμε το α ό το β με το x έχουμε την συνάρτηση όπου θα

εφαρμόσουμε το Θ. Rolle. Στην περίπτωση μας θα γράφαμε f( )f(α)

α

β

β και η συνάρτη-

ση η που θα εφαρμόζαμε το Θ. Rolle θα ήταν η f(x)

φ(x)x

.

5. Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει, τουλάχιστον μία, ρίζα της εξίσωσης f(x) 0 , δοκι-

μάζουμε τους παρακάτω τρόπους :

Προφανής ρίζα

Θεώρημα Bolzano

Σύνολο τιμών ( ελέγχουμε αν 0 f(Δ) )

Απαγωγή σε άτοπο (έστω f(x) 0 για κάθε x Δ )

Rolle σε παράγουσα της f (παράγουσα της f λέγεται συνάρτηση g τέτοια , ώστε g΄(x) =

f (x))

6. Για να αποδείξουμε ότι εξίσωση f(x) 0 έχει το πολύ μία ρίζα, απαγωγή σε άτοπο με

Rolle.

7. Για να αποδείξουμε ότι εξίσωση f(x) 0 έχει μοναδική ρίζα δοκιμάζουμε τους παρα-

κάτω τρόπους :

Ύπαρξη και Μονοτονία

Ύπαρξη και Απαγωγή σε άτοπο με Rolle

8. Για να αποδείξουμε ότι εξίσωση f(x) 0 έχει το πολύ δύο ρίζες, απαγωγή σε άτοπο

με δύο φορές Rolle .

9. Για να αποδείξουμε ότι εξίσωση f(x) 0 έχει δύο ρίζες σε διάστημα (α,β) , χωρίζουμε

το διάστημα σε δύο διαστήματα και εργαζόμαστε αναλόγως σε κάθε ένα απ’ αυτά.

10. Σε ασκήσεις όπου μας ζητείται να αποδεδειχθεί ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο ώστε

f (ξ) 0 ή (3)f (ξ) 0 και σε κάθε περίπτωση που μας δίνεται παράγωγο ανώτερης τάξης

τότε πιθανόν να είναι πολλαπλή εφαρμογή του θεωρήματος Rolle σε κατάλληλα δια-

στήματα.

11. Πολλές από τις περιπτώσεις όπου χρησιμοποιείται το Θεώρημα Rolle στην F , επιλύο-

νται με το Θεώρημα Bolzano στην f , ή με εύρεση συνόλου τιμών της f και εφαρμογή

θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών, ή βρίσκοντας προφανή ρίζα της f (αν υπάρχει).


-116-

Ασκήσεις

[Εφαρμογή του θεωρήματος Rolle – γεωμετρική ερμηνεία] [Α’1, σελ 249]

1. Αν 2x αx β ,x 0

f(x) 3 (γ α)x ,x 0

να βρεθούν οι α,β,γ ώστε να εφαρμόζεται το θεώρη-

μα Rolle στο [ 1,1] . Στη συνέχεια να βρεθεί η οριζόντια εφαπτομένη της f

C .

2. Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f (x) 0 , για κάθε x . Να

αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x σε δύο το πολύ σημεία.

3. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής σε ένα διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο

(α,β) και f(α) f(β) 0 . Να αποδείξετε ότι:

α) για την συνάρτηση f(x)

g(x)x c

, c [α,β] υπάρχει 0


g(x ) 0 .

β) υπάρχει 0

x (α,β) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της f

C στο 0 0Μ x ,f(x ) να διέρχεται

από το σημείο Α(c,0) .

4. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και f (́x) 0 για

κάθε x (α,β) . Να αποδείξετε ότι f(α) f(β) .

[Ύπαρξη τουλάχιστον 1 ρίζας εξίσωσης] [Β’1,2,3, σελ 249-250]

5. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο π

0,2

έτσι ώστε π

f 1 f(0)2

. Να δείξετε

ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα 0

πx 0,

2

έτσι ώστε: 0 0

f (x ) συνx .

6. Αν α,β,γ με βα

γ 05 3 , να δείξετε ότι η εξίσωση 4 2αx βx γ 0 έχει τουλάχι-

στον μία ρίζα στο διάστημα (0,1) .

7. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [α,β], η οποία διατηρεί πρόσημο στο [α,β].

Δίνονται, επίσης, οι μιγαδικοί αριθμοί 2

1z f (β)[f(α) 1] 2i και 2

2z f (β) i . Αν

3

1 2Re(z z ) f (α) , να δείξετε ότι η εξίσωση f (x) 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διά-

στημα (α,β) .

8. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ 2,2] με f(1) 0 και

2g(x) f(x)(x 4) , τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα 0

x ( 2,2) τέτοιο ώστε 0

g (x ) 0 .

9. Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f :[α,β] (0, ) δίνεται ότι lnf(β) lnf(α) β α . Να

αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε f (ξ) f(ξ) .

10. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το (0, ) έτσι ώστε να ισχύει

1f(1) f(e)

e (1). Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα

0x (1,e) τέτοιο ώστε

2

0 0 0x f (x ) 1 lnx 0 (2).


-117-

11. Οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β) 0 .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο , ώστε f (ξ) f(ξ) g (ξ) .

12. Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [1, e] και ισχύει f(1) 1 ,

2f(2) 4 ln2, f(e) e 1 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (1,e) τέτοιο , ώστε 2

1f ξ 2

ξ .

13. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [0,π] με f(x) 0 για κάθε x [0,π] .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ [0,π] τέτοιο ώστε f (ξ)

σφξ 0f(ξ)

.

14. Έστω f μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο με f(x) 0 για κάθε x και

f 2012 ef 2011

.

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) f(x) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (2011,2012) .

15. Έστω f συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) με f(β) 0 . Να δείξετε ότι υ-

πάρχει ξ (α,β) τέτοιο ώστε f ξ

f΄ ξα ξ

.

16. Δίνεται η συνάρτηση f :[α,β] , συνεχής στο α,β και παραγωγίσιμη στο α,β για

την οποία ισχύει f(α) f(β) . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ α,β τέτοιο, ώστε να ισχύει:

ξ c f ξ f ξ , όπου ο πραγματικός c [α,β] .

17. Δίνεται η συνάρτηση f :[α,β] , συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) για

την οποία ισχύει ν να f(α) β f(β) 0 . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε να ι-

σχύει: ξf (ξ) νf(ξ) .


την οποία ισχύει ν νβ f(α) α f(β) 0 .

Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει: ξf (ξ) νf(ξ) .


την οποία ισχύει ημαf(α) ημβf(β) .

Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει: ημξ f (ξ) συνξ f(ξ) .


την οποία ισχύει συναf(α) συνβf(β) .

Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει: συνξ f f(ξ) ημξ f(ξ) .

21. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g :[α,β] , συνεχείς στο [α,β] και παραγωγίσιμες στο

(α,β) και για τις οποίες ισχύει h(β)h(α)e f(α) e f(β) .

Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει: f (ξ) h (ξ) f(ξ) .

22. α) Θεωρούμε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο . Αν ρ είναι η μεγαλύτερη ρίζα της

εξίσωσης f (x) 0 , τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) 0 έχει το πολύ μία ρίζα

μεγαλύτερη της ρ.

β) Θεωρούμε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο . Αν ρ είναι η μικρότερη ρίζα της εξί-

σωσης f (x) 0 , τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) 0 έχει το πολύ μία ρίζα μι-

κρότερη της ρ.


-118-

[Ύπαρξη το πολύ 1 ρίζας εξίσωσης]

23. Να δείξετε ότι η εξίσωση 2x 2x 2ln(x 1) 0 έχει το πολύ μία ρίζα.

24. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο , όπου η εφαπτόμενη της γραφικής της παρά-

στασης f

C να μην είναι παράλληλη προς την ευθεία ε : 2x y 1 0 για κάθε x .

Να δείξετε ότι η f

C και η ευθεία y 2x τέμνονται το πολύ σε ένα σημείο.

[Ύπαρξη ακριβώς 1 ρίζας εξίσωσης]

25. Έστω συνάρτηση f για την οποία ισχύουν: xf (x) e , x και 0 f(x) 1, x [0,1] .

Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 0x

0 0x (0,1) : f(x ) e 1 .

[Ύπαρξη τουλάχιστον ν ριζών εξίσωσης]

Χωρίζω το δοσμένο διάστημα σε ν διαστήματα και αποδεικνύω την ύπαρξη τουλάχιστον 1

ρίζας σε κάθε ένα από αυτά.

[Ύπαρξη το πολύ ν ριζών εξίσωσης]

26. Να δείξετε ότι η εξίσωση x 2e αx βx γ έχει μέχρι τρείς ρίζες στο .

[Ύπαρξη ακριβώς ν ριζών εξίσωσης] [Β’7, σελ 249]

27. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2xημx συνx x έχει μόνο δύο ρίζες στο [ π,π] .

28. Να δειχθεί ότι η εξίσωση 4 3 2x x 5x αx β 0 με *α, β R και β 0 έχει δύο μόνο

ρίζες άνισες.

[Εύρεση της F από τη σχέση F(α)=F(β) μετατρέπουμε μια σχέση σε αρχικές συν-

θήκες]

29. Έστω ότι η συνάρτηση f :[α,β] (0 α β) είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f(x) 0

για κάθε x [α,β] . Αν β α

f(α) f(β) να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον

0x (α,β) τέτοιο ώστε

0 0 0 0f(x )lnf(x ) x f (x ) .


-119-





§ 2.5β) Θεώρημα Μέσης Τιμής (Διαφορικού Λογισμού)


1. Για να ισχύει το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.) πρέπει να ισχύουν απαραιτήτως και

οι δύο προϋποθέσεις του.

2. Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. σε ένα κλειστό διάστημα

[α,β] , τότε, σε ότι αφορά στο συμπέρασμά του, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύ-

ναμες:



f(β) f(α)f (x )

β α

.

Η εξίσωση f(β) f(α)

f (x)β α

έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο ανοιχτό διάστημα (α,β) .

[ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του Θ.Μ.Τ.]

Η εξίσωση (β α)f (x) [f(β) f(α)] 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο ανοιχτό διά-

στημα (α,β) .


x (α,β) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής πα-

ράστασης της f στο σημείο 0 0

M(x ,f(x )) να είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ, όπου

A(α,f(α)) και B(β,f(β)) . [ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του Θ.Μ.Τ.]

3. Κατά τη διάρκεια της ευθύγραμμης κίνησης ενός σώματος πάνω σε έναν άξονα το χρο-

νικό διάστημα 1 2

[t , t ] υπάρχει μία τουλάχιστον χρονική στιγμή 0 1 2

t (t , t ) τέτοια ώστε

η ταχύτητα του κινητού να ισούται με την μέση ταχύτητά του.

[ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του Θ.Μ.Τ.]

4. Το αντίστροφο του Θ.Μ.Τ. δεν ισχύει κατ’ ανάγκη!

5. Το Θ.Μ.Τ. εφαρμόζεται σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

6. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [α,β] , τότε ισχύει το Θ.Μ.Τ. αφού η

παραγωγισιμότητα της f στο κλειστό διάστημα [α,β] καλύπτει και τη συνέχεια της f

στο διάστημα αυτό.

7. Αν ισχύουν για μια συνάρτηση f οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ και επιπλέον f(α) f(β) , τό-

τε ισχύει και το θεώρημα του Rolle.

[Άρα το θεώρημα του Rolle είναι ειδική περίπτωση του ΘΜΤ]


τε υπάρχει ξ (α,β) με f (ξ) 0 . Αυτό σημαίνει ότι η εφαπτομένη της γραφικής παρά-

στασης της f στο σημείο M(ξ,f(ξ)) έχει συντελεστή διεύθυνσης θετικό, και κατά συ-

νέπεια σχηματίζει με τον άξονα x’x οξεία γωνία.



-120-


τε υπάρχει ξ (α,β) με f (ξ) 0 . Αυτό σημαίνει ότι η εφαπτομένη της γραφικής παρά-

στασης της f στο σημείο M(ξ,f(ξ)) έχει συντελεστή διεύθυνσης αρνητικό, και κατά

συνέπεια σχηματίζει με τον άξονα x’x αμβλεία γωνία.

Μέθοδοι

1. Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ., συνήθως, όταν:

α) σε μια σχέση υπάρχει ο λόγος f(β) f(α)

β α

ή διαφορά f(β) f(α) .

β) ζητάω πρόσημο της f (ξ) .

γ) μας ζητείται να δείξουμε ότι υπάρχει σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρ-

τησης όπου η εφαπτομένη , στο σημείο αυτό είναι παράλληλη προς κάποια ευθεία

που διέρχεται από κάποιο σημείο.

δ) μια σχέση περιέχει 1 2 λ 1 2 λ

f (x ), f (x ), ..., f (x ) με x ,x , ..., x (α,β) .

ε) μια συνθήκη περιέχει μόνο 1 2 1 2

f (x ), f (x ) με x ,x (α,β) και ισχύουν οι προϋποθέσεις

του ΘΜΤ στο διάστημα [α,β] . Τότε, συνήθως, εφαρμόζουμε το ΘΜΤ στα διαστήμα-

τα [α,μ] και [μ,β] , όπου το μ είναι το μέσον του διαστήματος [α,β] , δηλ α β

μ2

.

στ) θέλουμε να δείξουμε ανισότητες.

2. Θ.Μ.Τ. – Μονοτονία f’ - Ανισότητες

α) Το ΘΜΤ δεν χρησιμοποιείται συνήθως για την επίλυση εξισώσεων. Εξαίρεση απο-

τελούν ορισμένες εξισώσεις, όπως η x x x x7 6 9 8 .

β) Όταν θέλουμε να δείξουμε διπλή ανισότητα, εξετάζουμε αν μπορούμε να την με-

τασχηματίσουμε σε ισοδύναμή της μορφής f(β) f(α)

κ λβ α

και έπειτα εφαρμό-

ζουμε το ΘΜΤ στο [α,β] .

γ) Ενώ, αν μας δίνεται προς απόδειξη ανίσωση της μορφής f(β) f(α)

κ λβ α

αντικα-

θιστούμε το f(β) f(α)

β α

με f ξ από το Θ.Μ.Τ

3. Αν συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) και συνεχής στο [α,β] και 0

x κάποιο χα-

ρακτηριστικό σημείο του (α,β) εφαρμόζουμε δύο φορές το Θ.Μ.Τ στα διαστήματα

0[α, x ] και

0[x ,β] .

4. Έστω ότι μας ζητείται να δείξουμε ότι για μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [α,β] υ-

πάρχουν 1 2 ν

ξ ,ξ , , ξ για τα οποία ισχύει 1 1 2 2 ν ν

f(β) f(α)λ f (ξ ) λ f (ξ ) λ f (ξ ) κ

β α

ή 1 1 2 2 ν ν

λ f (ξ ) λ f (ξ ) λ f (ξ ) κf (ξ) . Εκείνο που μας ενδιαφέρει είναι το πρώτο μέ-

λος και οι συντελεστές των f΄. Πρέπει εδώ να χωρίσουμε το αρχικό διάστημα [α,β] σε

ν- υποδιαστήματα. Ενεργούμε ως εξής


-121-

α) Χωρίζουμε, θεωρητικά, το διάστημα [α,β] σε ίσα υποδιαστήματα κ το πλήθος όπου

1 2 νλ λ λ κ και επομένως το καθένα θα έχει πλάτος

β αδ

κ

.

Το πρώτο, πραγματικό διάστημα, από τα ν, είναι 1

α,α λ δ

Το επόμενο διάστημα είναι 1 1 2α λ δ,α λ λ δ κ.ο.κ

Το τελευταίο διάστημα είναι 1 2 ν 1α λ λ ... λ δ,β

Στην πράξη είναι πιο απλό και δεν χρειάζεται να μαθαίνουμε τους τύπους αυτούς

απέξω. Αρκεί να θυμόμαστε μόνο ότι ο χωρισμός γίνεται σε διαστήματα με μήκος

ανάλογο προς τους συντελεστές 1 2 ν

λ ,λ , ,λ !

β) Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. σε κάθε ένα από τα παραπάνω διαστήματα.

Βασικές Προτάσεις [χρειάζονται απόδειξη] 1. Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστημα [α,β] και επι-

πλέον:

f γνησίως αύξουσα στο [α,β] , τότε f(β) f(α)

f (α) f (β)β α

[Βλέπε Α’3, σελ 249]

f γνησίως φθίνουσα στο [α,β] , τότε f(β) f(α)

f (β) f (α)β α

2. Έστω η f είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β)

Αν η f΄ είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β) να δείξετε ότι α+β f(α) f(β)

f2 2

Αν η f΄ είναι γνησίως φθίνουσα στο (α,β) να δείξετε ότι α+β f(α)+f(β)

f >2 2

3. Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] . Αν ισχύει

f α f βα βf

2 2

, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ α,β τέτοιος ώστε f ξ 0 .

Ασκήσεις

[Εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. – γεωμετρική ερμηνεία] [Α’2 σελ.249]

1. Δίνεται η συνάρτηση 2

3

x +α , αν x 1f(x)

x -αx+β , αν x 1

. Αν ισχύει το Θ.Μ.Τ. στο διάστημα

[ 1,2] τότε:

α) να βρεθούν οι τιμές των α, β.

β) να αποδειχθεί ότι υπάρχει σημείο Μ ξ,f(ξ) με ξ [ 1,2] στο οποίο η εφαπτομέ-

νη είναι παράλληλη στην ευθεία ε : 2x y 3 0


-122-

2. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [4,10] με f(4) 6 και f(10) 0 . Να

αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός ξ (4,10) , ώστε η εφαπτομένη της f

C στο σημείο

A(ξ,f(ξ)) να σχηματίζει γωνία 0ω 135 με τον άξονα x’x.

3. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και η f είναι συνάρτηση “1-1”, να δείξετε

ότι η εφαπτομένη σε κάθε σημείο της γραφικής παράστασης f

C δεν έχει άλλο κοινό

σημείο με την f

C .

[Λύση εξίσωσης με Θ.Μ.Τ.]

4. Να λυθεί η εξίσωση x x x x7 6 9 8

[Απόδειξη ανισοτήτων με Θ.Μ.Τ.] [Α’3, Β’4,5 σελ.249-250]

5. Nα αποδειχθεί ότι: ημβ ημα β α για κάθε α, β .

6. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [1,5] με f(1) 2 και f (x) 2 για κάθε

x (1,5) , να αποδείξετε ότι: 10 f(5) 6 .

7. Αν f x 1 για κάθε x και f(1)=0, να αποδείξετε f x x 1 , για κάθε x .

8. Έστω f παραγωγίσιμη στο της οποίας η παράγωγος είναι γνησίως φθίνουσα στο .

Να αποδείξετε ότι: f 2009 f 2012 f 2010 f 2011 .

9. Έστω συνάρτηση f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο με f γνησίως αύξουσα.

Να δείξετε ότι f(2x 3) f(2x 7) f(2x 1) f(2x 5) για κάθε x .

10. Nα αποδειχθεί ότι: x x x 1 e xe 1 , για κάθε x .

11. Να αποδείξετε ότι: xe x 1 , για κάθε x .

12. Να αποδείξετε ότι: lnx x 1 , για κάθε x (0, ) .

13. α) Nα αποδειχθεί ότι: x 1

lnx x 1x

, για κάθε x 0, .

β) Στη συνέχεια να δείξετε: x 1

lnxlim 1

x 1

.

14. α) Nα αποδειχθεί ότι: x

ln(x 1) xx 1

, x 1 και x 0 .

β) Στη συνέχεια να δείξετε: i) x 0

ln(x 1)lim 1

x

και ii)

3x

ln(x 1)lim 0

x

15. Να αποδείξετε ότι: e π

2 lnππ e

.

16. Να αποδείξετε ότι: x 1x e 1 x 1 e αν x 1,2 .

[Διαμερισμός του [α, β] – Πολλαπλή εφαρμογή Θ.Μ.Τ.]

17. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1,11] και τα f(1),f(6),f(11) είναι

διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον

ξ (1,11) τέτοιο, ώστε f (ξ) 0 .


-123-

18. Δίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει:

f(2x) 2f(x), x .

α) Δείξτε ότι: f(2) f(0)

f(1)2

.

β) Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (0,2) τέτοιο, ώστε: f (ξ) 0 .

19. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) με

f(α) β και f(β) α . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1 2

x ,x (α,β) τέτοια ώστε

1 2f (x ) f (x ) 2 .

20. Αν η συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [0,3] , να αποδεί-

ξετε ότι υπάρχουν 1 2 3

ξ ,ξ ,ξ (0,3) με 1 2 3

f (ξ ) f (ξ ) f (ξ ) f(3) f(0) .

21. Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει f lnα f lnβ

. Αν ισχύει lnα lnγ lnβ , με α,β, γ 0 και 2γ βe

α γ , να δειχτεί ότι υπάρχουν

1 2ξ ,ξ με

1 2f (ξ ) f (ξ ) 0 .

22. Έστω η συνάρτηση f , παραγωγίσιμη στο με f( 1) 1 - , f(1) 1 .

Να αποδειχτεί ότι υπάρχουν

α) 1 2

1 ξ ξ 1 ώστε 1 2

f (ξ ) f (ξ ) 2 .

β) 1 2

1 κ κ 1 ώστε 1 2

1 12

f (κ ) f (κ )

.

23. Θεωρούμε συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη στο και η γραφική της παρά-

σταση διέρχεται από τα σημεία A(4,11) και B(19,5) . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν

πραγματικοί αριθμοί 1 2

ξ ,ξ τέτοιοι, ώστε 1 22f ξ 3f ξ –2 .

24. Συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) με f(x) 0

για κάθε x [α,β] . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1 2 0

ξ ,ξ ,ξ (α,β) τέτοια ώστε

1 2 0

1 2 0

f ξ f ξ f ξ2

f ξ f ξ f ξ

.

25. Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και υπάρχουν τρία συνευθειακά σημεία

Α α,f(α) , B β,f(β) και Γ γ,f(γ) της γραφικής παράστασης f

C , να δείξετε ότι:

α) Υπάρχουν δύο σημεία της f

C στα οποία οι εφαπτόμενες είναι μεταξύ τους παράλ-

ληλες.

β) Υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f (ξ) 0 .

γ) Εξετάστε αν η συνάρτηση f(x) f(α)

( )x

xα

φ

ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θ. Rolle

για στο διάστημα [β, γ] .

δ) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (β, γ) με f(ξ) f(α)

f (ξ)ξ α

.

26. Έστω συνάρτηση f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] με f(α) f(β) 0 .

Αν γ (α,β) και f(γ) 0 , να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο ώστε f (ξ) 0 .


-124-

27. Αν η συνάρτηση f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο και ισχύει f (x) 0, x , να

δείξετε ότι στην γραφική παράσταση f

C δεν υπάρχουν τρία σημεία συνευθειακά.

[Διαμερισμός του [α, β] – Συνδυασμός με θεώρημα Bolzano]

Για την πολλαπλή εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. σε ένα διάστημα [α,β] , τα ενδιάμεσα σημεία μπο-

ρούν να προκύψουν και με εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano

28. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] , παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α) α , f(β) β , α β ,

να δείξετε ότι:

α) Υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο ώστε f(ξ) α β ξ .

β) Υπάρχουν 1 2

ξ ,ξ (α,β) με 1 2

ξ ξ τέτοια ώστε 1 2

f (ξ )f (ξ ) 1 .

29. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] , παραγωγίσιμη στο (α,β) , για την οποία

ισχύει: f(α) f(β) . Να αποδείξετε ότι:

α) Υπάρχει ένα τουλάχιστον 0x α, β ώστε

0

κf α λf βf x

κ λ

, κ, λ ομόσημοι.

β) Υπάρχουν 1 2ξ ,ξ ,ξ α, β ώστε:

1 2

λ κ κ λ

f ξ f ξ f ξ

, με

1 2ξ ξ .

[Συνδυασμός Θ.Μ.Τ. με θεώρημα Bolzano και θεώρημα Rolle]

30. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [0,2] , που είναι παραγωγίσιμη στο (0,2) .

α. Δείξτε ότι υπάρχει ξ (0,2) τέτοιο ώστε: 2f(0) 3f(2)

f(ξ)5

, αν f(0) f(2) .

β. Αν ξ 1 , δείξτε ότι υπάρχουν 1 2

x ,x (0,2) με 1 2

x x ώστε 1 2

2f (x ) 3f (x ) .

γ. Αν για την 2g(x) f(x) αx βx εφαρμόζεται το Θ. Rolle στα διαστήματα [0,1] και

[1,2] , βρείτε τα α, β.

δ. Αν f είναι παραγωγίσιμη στο (0,2) , δείξτε ότι υπάρχει p (0,2) ώστε

5f (p) f(0) f(2) .

31. Συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β) , f (α) 0

και f (β) 0 . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) 0 έχει ρίζα στο διάστημα (α,β) .

[Θ.Μ.Τ. και αρχικές συνθήκες - F(α)=F(β)]

32. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] , παραγωγίσιμη στο (α,β) , με f(x) 0 για κάθε x (α,β)

. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο ώστε: (β α)f (ξ)

f(ξ)f(β)e

f(α)

.

[Θ.Μ.Τ. και όριο]

33. Να δειχθεί αν η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιμη στο με f (x) α , για κάθε x

, α 0 σταθερά, τότε xlim f(x)

.


-125-





§ 2.6 α) Συνέπειες Θεωρήματος Μέσης Τιμής (Διαφορικού Λογισμού)


1. Για το θεώρημα και το πόρισμα ισχύει και το αντίστροφο.

2. Γεωμετρική Ερμηνεία του πορίσματος

Από το διπλανό σχήμα προκύπτει, ότι αν οι f g

C ,C έχουν σε

οποιοδήποτε x ενός διαστήματος Δ παράλληλες εφαπτόμε-

νες, τότε η γραφική παράσταση της μιας προκύπτει από μια

κατακόρυφη μετατόπιση, δηλαδή παράλληλα προς τον y’y,

της άλλης γραφικής παράστασης κατά c μονάδες, προς τα

πάνω αν c 0 ή προς τα κάτω αν c 0 .

3. To παραπάνω θεώρημα καθώς και το πόρισμα ισχύουν σε διάστημα και όχι σε ένωση

διαστημάτων.

Προσοχή: ισχύουν, όμως, σε κάθε διάστημα ξεχωριστά. [βλέπε σχόλιο σελ.252]

4. Αν ισχύει 1 2

f (x) g (x), x Δ Δ , τότε:

1 1

f(x) g(x) c , αν x Δ και

2 2

f(x) g(x) c , αν x Δ

5. Υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις με την ίδια παράγωγο που όλες διαφέρουν κατά μία

σταθερά c, ενώ, στα σημεία με την ίδια τετμημένη 0

x , οι εφαπτόμενες των γραφικών

παραστάσεων, είναι παράλληλες.

Βασικές Προτάσεις (χρειάζονται απόδειξη)

1. Αν για μία συνάρτηση f ισχύει f (x) κf(x) , για κάθε x , και κ , τότε υπάρχει

c σταθερά έτσι ώστε κ xf(x) c e , για κάθε x .

Ειδική περίπτωση για κ = 1 [εφαρμογή σελ 252]

Αν για μία συνάρτηση f ισχύει f (x) f(x) , για κάθε x τότε xf(x) ce , όπου c σταθερά.

2. Αν, με εξαίρεση ενός πεπερασμένου πλήθους σημείων, σε όλα τα υπόλοιπα σημεία του

διαστήματος Δ έχουμε f (x) 0 , και η f είναι συνεχής στο Δ, τότε η f είναι σταθερή στο

Δ.


y

O x

y=g(x)+c

y=g(x)

22


-126-

Μέθοδοι

1. Σταθερή συνάρτηση – Εύρεση τύπου

Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση f είναι σταθερή σ’ ένα διάστημα Δ και στη συ-

νέχεια να βρούμε τον τύπο της ακολουθούμε την εξής διαδικασία.

Αποδεικνύουμε ότι η f είναι συνεχής στο Δ και f (x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο

x Δ .

Συμπεραίνουμε ότι η f είναι σταθερή στο Δ, δηλαδή f(x) c για κάθε x Δ .

Υπολογίζουμε τη σταθερά c και στη συνέχεια βρίσκουμε τον τύπο της f.

2. Εύρεση του τύπου της συνάρτησης από συναρτησιακές σχέσεις

Παραγωγίζουμε ως προς τη μία από τις δύο μεταβλητές.

Ορισμένες φορές παραγωγίζουμε σταδιακά και ως προς τις δύο μεταβλητές.

Πρέπει να προσέξουμε αν η συνάρτηση που μας δίνει είναι παραγωγίσιμη.

Αν όχι πρέπει να πάμε υποχρεωτικά με τον ορισμό της παραγώγου

3. Συναρτήσεις με ίσες παραγώγους – Εύρεση τύπου

Περιλαμβάνει ασκήσεις στις οποίες δίνεται μια σχέση στην οποία εμφανίζονται ενδε-

χομένως οι συναρτήσεις f, f , f και κάποιες άλλες παραστάσεις που περιέχουν τη με-

ταβλητή x.

Στις ασκήσεις αυτές συνήθως ακολουθούμε την εξής διαδικασία.

Αξιοποιώντας τους κανόνες παραγώγισης αθροίσματος, γινομένου, πηλίκου ή σύν-

θετης συνάρτησης καταλήγουμε τελικά σε μια σχέση της μορφής f(x) g(x)

για κάθε x Δ .

[Σχόλιο: Στην προσπάθεια να εμφανίσουμε ίσες παραγώγους, βοηθητικός είναι και ο

πίνακας των παραγουσών που παρουσιάσαμε σε προηγούμενο φυλλάδιο]

Αν το Δ είναι διάστημα, τότε f(x) g(x) c , x Δ .

Αν 1 2

Δ Δ UΔ , δηλαδή το Δ είναι ένωση διαστημάτων, τότε: 1 1

2 2

g(x) c , x Δf(x)

g(x) c , x Δ

.

Υπολογίζουμε τη σταθερά c ή τις σταθερές 1 2

c , c και στη συνέχεια βρίσκουμε τον

τύπο της f.

4. Όταν δίνεται f(x) 0 , υποψιαζόμαστε ln(f(x)) .

5. Απόδειξη ταυτοτήτων

Περιλαμβάνει ασκήσεις που αφορούν την απόδειξη ταυτοτήτων. Στις ασκήσεις αυτές

συνήθως ακολουθούμε την εξής διαδικασία.

Μεταφέρουμε όλους τους όρους της ταυτότητας σ’ ένα μέλος, συνήθως στο πρώτο,

αν δε βρίσκονται ήδη στο μέλος αυτό.

Θεωρούμε συνάρτηση f με τύπο ίσο με το πρώτο μέλος της ταυτότητας.

Δείχνουμε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή με τιμή 0.


-127-

Ασκήσεις

[Σταθερή συνάρτηση – Εύρεση τύπου] [Α’1, B’1 σελ.256-7]

1. Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g : με 2f (x) g (x) και

2g (x) f (x), x .

α) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση 3 3h(x) f (x) g (x) είναι σταθερή στο .

β) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης h, αν f(0) 1 και g(0) 2 .

2. Έστω f : παραγωγίσιμη με f (x) 2f(x) , για κάθε x για την οποία f(0) 1 και

f(x) 0 , για κάθε x . Nα δειχθεί ότι:

α) Η συνάρτηση G(x) lnf(x) 2x είναι σταθερή στο .

β) 2xf(x) e , για κάθε x .

3. Αν για τη συνάρτηση f , ισχύει f (x) 0 για κάθε x (0,1) (1,2) και η συνάρτηση είναι

συνεχής στο [0,2], να δείξετε ότι η f είναι σταθερή στο [0,2] .

4. Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : με f(x)

f (x) 2x

, για κάθε *x .

5. Έστω μια συνάρτηση f η οποία για κάθε x,y ικανοποιεί τη σχέση 2f(x) f(y) (x y) .

Να αποδείξετε ότι :

α) 2f(x) f(y) (x y) για κάθε x,y .

β) Η συνάρτηση f είναι σταθερή στο .

6. Έστω f : δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία f x f x 0( ) ( ) , για κάθε x .

α) Αν f(0) f (0) 0 , να δειχθεί ότι:

i) H συνάρτηση 2 2h (f ) f είναι σταθερή στο .

ii) f(x) 0 , για κάθε x .

β) Αν g(x) g (x) 0 με g(0) 0 ,g (0) 1 να δειχθεί ότι g(x) ημx

[Εύρεση του τύπου της συνάρτησης από συναρτησιακές σχέσεις]

7. Nα βρεθεί η συνάρτηση f : για την οποία είναι f (3x -1) 2x 1 και f(2) 5 .

8. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο , f(0) 2 και ισχύει 5f (x x) 6x , για κάθε x ,

α) να δειχθεί ότι 5 6 2f(x x) 5x 3x 2 .

β) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f

C στο σημείο Α 2,f(2) .

9. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει: 1

f (x y) f(x)f(y)2

για κάθε x,y . Αν η ευθεία ε: y 2x 2 είναι εφαπτομένη της f

C στο σημείο

Μ 0,f(0) , να βρεθεί:

α) το f(0) ,

β) ο τύπος της f.


-128-

10. Δίνεται η συνάρτηση f:(0, ) και παραγωγίσιμη στο 1 με f (1) 1 .

Αν ισχύει f(x y) y f(x) x f(y) , για κάθε x,y 0 , να αποδείξετε ότι:

α) f(x)

f (x) 1x

για κάθε x 0 .

β) f(x) xlnx , με x 0 .

11. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει: f(x y) f(x) f(y)

για κάθε x,y . Να βρεθεί ο τύπος της αν f (0) 1 .

12. Έστω f : παραγωγίσιμη συνάρτηση με την ιδιότητα f(x y) f(x 2y) 2f(x) 3y

για κάθε x,y . Αν η f

C εφάπτεται με τη g

C , όπου 1

g(x) 5x

, στο σημείο A(1,γ) ,

τότε:

α) να αποδειχθεί ότι f (x) 1 για κάθε x ,

β) Να βρεθεί ο τύπος της f.

[Συναρτήσεις με ίσες παραγώγους – Εύρεση τύπου]

13. Να βρεθεί η συνάρτηση f όταν:

α) xf (x) 3συνx 4ημ2x e και f(0) 5

β) 2 2

2xf (x)

(x 1)

και f(0) 1

γ) 2f (x) 2xσυνx x ημx και f(0) 1

δ) xf (x) f(x) 2 ,x 0 και f(1) 0

ε) f συνεχής στο π

0,2

και f (x) σφxf(x) ημx με π π

f 10076 12

στ) f (x) 2f(x) , για κάθε x , f(0) 1 .

14. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο (0, ) με f(x) 0 . Να βρείτε τον τύπο της, αν,

επιπλέον, γνωρίζετε ότι ισχύουν:

α) η κλίση της εφαπτομένης σε κάθε σημείο της γραφικής παράστασης είναι ανάλογη

με το πηλίκο x

f(x),

β) η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο A(1,1) και

γ) η εφαπτομένη στο Α έχει κλίση ίση με 1.

15. Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f(0) f (0) 1 και τέτοια ώστε:

2f (x) f (x) 6x 3x για κάθε x . Να βρείτε τη συνάρτηση f(x) .

16. Έστω f : δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία xf(x) 2f (x) f (x) e , για κάθε

x . Αν g(x) f (x) f(x) και g(0) 1 :

α) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση x

g(x)h(x) x

e είναι σταθερή στο και να βρεθεί η g.

β) Να προσδιορισθεί η συνάρτηση f όταν f(0) 1


-129-

17. Nα βρεθεί η συνάρτηση f : για την οποία ισχύουν: f x 2x( ) (f x 2x) και f(0) 1 .

18. Έστω συνεχής συνάρτηση f : με 2(x 2)f (x) 2x 5x 2 , για κάθε x και

f(0) 1 . Να βρείτε την f.

19. Να βρείτε συνάρτηση f ορισμένη στο { 2} τέτοια, ώστε 2(x 2)f (x) 2x 5x 2 , για

κάθε x { 2} , f(0) 1 και f( 3) 7 .

[Βασική Πρόταση (αν (́ ) ( )f x f x , τότε xf(x) ce ) – Εύρεση τύπου]

20. Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις *f,g : με f (x)g(x) f(x)g (x) f(x)g(x) ,

για κάθε x και f(0) g(0) 0 . Nα δειχθεί:

α) xf(x) e g(x) , για κάθε x

β) g(x) 0 , για κάθε x .

[Συνδυαστικά θέματα]

21. Μια συνάρτηση f : δύο φορές παραγωγίσιμη έχει την ιδιότητα:

f (x) f(x), x και f(0) 1, f (0) 1 . Να αποδείξετε ότι:

α) xf(x) f (x) 2e , x .

β) xf(x) e , x .

22. Έστω f : δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με f(0) 2f (0) 1 και

2f (x)f(x) f (x) f(x)f (x), x . Να αποδειχθεί ότι:

α) x1 f(x)f (x) e

2 για κάθε x

β) 2 x f (x) e , x .

γ) x

2f(x) e , x .

23. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει: ( ) ( 1)f x f x (1)

για κάθε x . Αν f(0) 1 , να αποδείξετε ότι:

α) f x f( ) ( )x 1 για κάθε x .

β) f x f 1( ) (x) για κάθε x .

γ) xf(x) e για κάθε x .


-130-





§ 2.5 - 2.6 α) Ερωτήσεις Επανάληψης

Ερωτήσεις τύπου Σωστό - Λάθος 1. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] , παραγωγίσιμη στο (α,β) και υπάρχει

0x (α,β) ώστε

0f (x ) 0 , τότε f(α) f(β) .

2. Αν η f συνεχής στο [α,β] , παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α) f(β) , τότε δεν υπάρχει

0x (α,β) ώστε

0f (x ) 0 .

3. Αν f (x) f(x) , τότε xf(x) e .

4. Το Θεώρημα Rolle μας προμηθεύει μία μέθοδο εύρεσης των ριζών της εξίσωσης f 0(x) .

5. Αν δεν ισχύει μία τουλάχιστον από τις τρεις προϋποθέσεις του Θ. Rolle σ’ ένα διάστη-

μα, τότε δεν εφαρμόζεται αυτό.

6. Αν μία συνάρτηση f δεν ικανοποιεί όλες τις προϋποθέσεις του Θ. Rolle στο [α,β] , τό-

τε δεν υπάρχει ρίζα της f 0(x) στο (α,β) .

7. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] και f(α) f(β) 0 , τότε υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο,

ώστε f´(ξ) 0 .

8. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) και ισχύουν f(α) f(β) και f (x) 0 για κάθε

x (α,β) , τότε η f δεν είναι συνεχής στο [α,β] .

9. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και δεν είναι αντιστρέψιμη.

Τότε υπάρχει διάστημα [α,β] στο οποίο η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ. Rolle.

10. Υπάρχουν συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει το συμπέρασμα του Θ. Rolle στο [α,β] ,

χωρίς να ισχύουν όλες οι υποθέσεις του.

11. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και άρτια, τότε υπάρχει σημείο της Cf

που η εφαπτόμενη είναι παράλληλη στον άξονα x´x.

12. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και η Cf τέμνει τον x´x σε τρία σημεία,

τότε η εξίσωση f (x) 0 έχει δύο τουλάχιστον λύσεις.

13. Αν f (x) 0 για κάθεx , τότε η εξίσωση f(x) 0 έχει το πολύ δύο ρίζες.

14. Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα [α,β] , τότε ισχύουν οι υ-

ποθέσεις του θεωρήματος Μέσης Τιμής για την f.

15. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και h 0

f(x h) f(x)lim

h

για κάθε x (α,β) , τότε υ-

πάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε: f(β) – f(α) f (ξ)(β – α) .

16. Για μία συνάρτηση f δίνεται ότι f 0(x) , για κάθε *x . Τότε η f είναι σταθερή στο * .

17. Αν για μία συνάρτηση f εφαρμόζεται το Θεώρημα Rolle στο διάστημα [α,β] , τότε

εφαρμόζεται και το θεώρημα Μέσης Τιμής σε αυτό.



-131-

18. Η έκφραση ότι μια εξίσωση έχει τουλάχιστον δύο ρίζες σ’ ένα διάστημα σημαίνει ότι

δεν μπορεί να έχει τρεις ή περισσότερες ρίζες στο διάστημα αυτό.

19. Αν f : A και f (́x) 0 για κάθεx Α , τότε f(x) c στο Α.

20. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο και για κάθε *x είναι f ′(x) = 0,

τότε συμπεραίνουμε ότι η f είναι σταθερή στο .

21. Αν για μία συνάρτηση f είναι 1

f (x)x

, τότε f(x) lnx c .

22. Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι f, g είναι συνεχείς

στο Δ και f (x) g (x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε ισχύει f(x) g(x) για κά-

θε x Δ .

23. Μία συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα ο-

ποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

24. Αν για την f ισχύει το θεώρημα του Rolle στο διάστημα [α,β] , τότε η γραφική της

παράσταση έχει σ' ένα τουλάχιστον σημείο της έχει οριζόντια εφαπτομένη.

Ερωτήσεις Πολλαπλών Επιλογών

1. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) , τότε για να

υπάρχει οριζόντια εφαπτομένη της Cf σε σημείο της με τετμημένη ξ (α,β) αρκεί

ακόμα να ισχύει μια από τις σχέσεις:

Α: (α) (f f β) 0 Β: (α) )f f(β Γ: (α) )f f(β

Δ: f(β) – f(α)

f (ξ)β α

Ε: κανένα από τα παραπάνω

2. Αν για την συνάρτηση f : ισχύει ότι f (́x) 0 για κάθεx – {α} , τότε:

Α: η f είναι σταθερή Β: η f είναι γνησίως αύξουσα

Γ: η f είναι γνησίως μονότονη στα ,α και α,

Δ: 1

2

c , x α

f x β , x α

c , x α

Ε: f x c , για x α

3. Αν η κλίση της παραγωγίσιμης συνάρτησης f : σε κάθε σημείο x ισούται με την

τιμή της στο x, τότε:

Α: f(x) 0 Β: f(x) c Γ: (x) xf cln

Δ: xf(x) ce Ε: f(x) x

4. Δίνεται η συνάρτηση f(x) c με πεδίο ορισμού το [α,β] . Το πλήθος των σημείων

ξ (α,β) που προκύπτουν από το Θεώρημα Rolle είναι:

Α: 1 Β: 2 Γ: το πολύ 2 Δ: κανένα Ε: άπειρα

5. Το θεώρημα Μέσης Τιμής για τη συνάρτηση f(x) lnx , για κάθε 1 2x ,x 0 εξασφαλίζει

ένα ξ μεταξύ των 1 2x , x ώστε να ισχύει:

Α: 1

2 1 2

x ξlnx x x

Β: 1 1 2

2

x x xlnx ξ

Γ: 1

1 2

2

xln ξ (x x )x

Δ: 1 2 1 2

1ln(x x ) (x x )

ξ Ε:

1 2 1 2ln(x x ) ξ (x x )

Education

παράγωγοι β' (2013)