ТФРВС - весна 2014 - лекция 8

Лекция 8

Расчет функции потенциальной живучести вычислительных систем

http://cpct.sibsutis.ru/~apaznikov/teaching/index.php?n=Site.DCSFT-spring2014

Пазников Алексей Александрович

к.т.н., ст. преп. Кафедры вычислительных систем

Сибирский государственный университет

телекоммуникаций и информатики

Расчёт функции потенциальной живучести ВС

2

𝒩 𝑖, 𝑡 = 𝓃 𝑖, 𝑡 /𝑁 и ℳ 𝑖, 𝑡 = 𝓂(𝑖, 𝑡)/𝑚 ⇒

расчёт функций 𝒩(𝑖, 𝑡) и ℳ(𝑖, 𝑡) сводится к выявлению мат.ожиданий числа 𝓃(𝑖, 𝑡) исправных ЭМ и числа 𝓂(𝑖, 𝑡)занятых ВУ в момент времени 𝑡 ≥ 0 при условии, что вначальный момент 𝑡 = 0 было 𝑖 ∈ 𝐸0

𝑁 работоспособныхмашин.

Прежде чем вывести дифференциальные уравнения для𝓃(𝑖, 𝑡) и 𝓂(𝑖, 𝑡) , получим вспомогательные оценки.Учитывая формулы для вероятности отказов в ЭВМ, найдёмвероятность того, что в ЭМ произойдёт не менее одногоотказа за время ∆𝑡:

1 − 𝑟 ∆𝑡 = 𝑟1 ∆𝑡 +

𝑘=2

∞

𝑟𝑘 ∆𝑡 = 𝜆∆𝑡𝑒−𝜆∙∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 =

= 𝜆∆𝑡 1 − 𝜆∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 = 𝜆 ∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 =

= 𝑟1 ∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡


3

Следовательно, в машине за время ∆𝑡 может произойтитолько один отказ с вероятностью 𝜆∆𝑡 ; вероятностьпоявления за ∆𝑡 более одного отказа есть величинапорядка 𝑜(∆𝑡).

𝜆 – среднее число отказов, появляющихся в машине заединицу времени, следовательно, 𝓃(𝑖, 𝑡)𝜆∆𝑡 являетсясредним числом отказов, возникающих в системе напромежутке времени [𝑡, 𝑡 + ∆𝑡).

За ∆𝑡 в машине может произойти не более одного отказа,то 𝓃(𝑖, 𝑡)𝜆∆𝑡 будет средним числом ЭМ, вышедших изстроя на промежутке времени [𝑡, 𝑡 + ∆𝑡).

Аналогично, 𝓂(𝑖, 𝑡)𝜇∆𝑡 – среднее число восстановленныхЭМ на промежутке времени 𝑡, 𝑡 + ∆𝑡 , 𝑖 ∈ 𝐸0

𝑁.


4

Легко заметить, что мат. ожидание числа исправных ЭМ вВС в момент (𝑡 + ∆𝑡) равно числу исправных ЭМ в момент𝑡 , уменьшенному на среднее число отказавших ЭМ иувеличенному на среднее число восстановленных ЭМ впоследующие ∆𝑡 единиц времени

𝓃 𝑖, 𝑖 + ∆𝑡 = 𝓃 𝑖, 𝑡 − 𝓃 𝑖, 𝑡 𝜆∆𝑡 +𝓂 𝑖, 𝑡 𝜇∆𝑡 + 𝑜(∆𝑡)

Перенеся 𝓃 𝑖, 𝑡 в левую часть (22), разделив на ∆𝑡 иперейдя к пределу при ∆𝑡 → 0, получим уравнение

𝑑

𝑑𝑡𝓃 𝑖, 𝑡 = −𝜆𝓃 𝑖, 𝑡 + 𝜇𝓂 𝑖, 𝑡

причём

𝓂 𝑖, 𝑡 = 𝑚 при 𝑁 − 𝓃 𝑖, 𝑡 > 𝑚;

𝑁 − 𝓃 𝑖, 𝑡 в противном случае.

(22)

(23)

(24)


5

Найдём решение уравнения (23) при начальном условии

𝓃 𝑖, 0 = 𝑖, 𝑖 ∈ 𝐸0𝑁 для всех практически важных случаев.

Случай 1. Восстанавливающая система имеет высокую

производительность, т.е. для любого 𝑡 ≥ 0 выполняется

𝑁 −𝓃 𝑖, 0 ≤ 𝑚,

где 𝑖 ∈ 𝐸𝑁−𝑚𝑁 = 𝑁 −𝑚,𝑁 −𝑚 + 1,… ,𝑁 .

Область определения устанавливается из следующего:

неравенство (25) должно выполняться и при 𝑡 = 0, а в

начальный момент 𝓃 𝑖, 0 = 𝑖, значит (25) превращается

в неравенство 𝑁 − 𝑖 ≤ 𝑚.

(25)


6

В рассматриваемом случае уравнение (23), как легкоустановить из (24), (25), трансформируется к виду

𝑑

𝑑𝑡𝓃 𝑖, 𝑡 = 𝑁𝜇 − 𝜆 + 𝜇 𝓃 𝑖, 𝑡 , 𝓃 𝑖, 0 = 𝑖, 𝑖 ∈ 𝐸𝑁−𝑚

𝑁

Применив преобразование Лапласа-Карсона, вместо (26)можно записать алгебраическое уравнение

𝑝 𝓃 𝑖, 𝑝 − 𝓃 𝑖, 0 = 𝑁𝜇 − 𝜆 + 𝜇 𝓃 𝑖, 𝑝 ,

где 𝑝 – комплексный параметр; 𝓃 𝑖, 𝑝 - изображениефункции 𝓃 𝑖, 𝑡 , 𝑖 ∈ 𝐸𝑁−𝑚

𝑁 . Из последнего уравненияследует, что

𝓃 𝑖, 𝑝 =𝑖𝑝 + 𝑁𝜇

𝑝 + 𝜆 + 𝜇.

(26)

(27)


7

Формула обращения преобразования Лапласа-Карсона

𝛼𝑝 + 𝛽

𝑝 + 𝑎∼𝛽

𝑎+𝛼𝑎 − 𝛽

𝑎𝑒−𝑎𝑡

позволяет вместо (27) записать решение уравнения (26)

𝓃 𝑖, 𝑡 =𝑁𝜇

𝜆 + 𝜇+𝑖𝜆 − (𝑁 − 𝑖)𝜇

𝜆 + 𝜇𝑒−(𝜆+𝜇)𝑡,

𝑖 ∈ {𝑁 −𝑚,𝑁 −𝑚 + 1,… ,𝑁}

В результате подстановок легко убедиться, что решение (28)удовлетворяет начальному условию и уравнению (26).Учитывая (24), получаем

𝓂 𝑖, 𝑡 =𝑁𝜆

𝜆 + 𝜇−𝑖𝜆 − 𝑁 − 𝑖 𝜇

𝜆 + 𝜇𝑒− 𝜆+𝜇 𝑡

𝑖 ∈ {𝑁 −𝑚,𝑁 −𝑚 + 1,… ,𝑁}

(28)

(29)


8

В стационарном режиме математические ожидания числаработоспособных ЭМ и числа занятых ВУ не зависят отначального состояния ВС 𝑖 ∈ 𝐸𝑁−𝑚

𝑁 и соответственно равны:

𝓃 = lim𝑡→∞

𝓃(𝑖, 𝑡) =𝑁𝜇

𝜆 + 𝜇

𝓂 = lim𝑡→∞

𝓂(𝑖, 𝑡) =𝑁𝜆

𝜆 + 𝜇

Введём условие, при котором (25) выполняется на всёмпромежутке времени [0,∞). Очевидно, что функция (28) –монотонная. Если функция 𝓃(𝑖, 𝑡) убывающая, товыполнение (25) на всём промежутке времениобеспечивается заданием начального состояния 𝑖 ∈ 𝐸𝑁−𝑚

𝑁 .Если же функция 𝓃(𝑖, 𝑡) возрастающая, то (25) должновыполняться и при 𝑡 → ∞. Тогда из (25) и (30) следует, что

𝑁𝜆 ≤ 𝑚𝜇

(30)

(31)

(32)


9

Таким образом, при заданных параметрах ВС 𝑁 и 𝜆неравенство (32) является условием высокойпроизводительности восстанавливающей системы. Длясредств ВТ практически всегда выполняется неравенство𝜆 ≪ 𝜇, поэтому вместо (32) можно записать

𝑁𝜆 ≤ 𝑚𝜇

Из (33) видно, что восстанавливающая система может бытьотнесена к высокопроизводительным, если среднее числоотказов, появляющихся в единицу времени, не превышаетсреднего числа восстановлений. Величина 𝑚𝜇 являетсяколичественной характеристикой производительностивосстанавливающей системы.

(33)


10

Условия (32) или (33), как правило, удовлетворяются,поэтому для расчёта функций потенциальной живучести ВС(3) и занятости ВУ (4) можно пользоваться формулами:

𝒩 𝑖, 𝑡 =𝜇

𝜆 + 𝜇+𝑖𝜆 − (𝑁 − 𝑖)𝜇

𝑁(𝜆 + 𝜇)𝑒− 𝜆+𝜇 𝑡;

ℳ 𝑖, 𝑡 =𝑁𝜆

𝑚(𝜆 + 𝜇)−𝑖𝜆 − (𝑁 − 𝑖)𝜇

𝑚(𝜆 + 𝜇)𝑒− 𝜆+𝜇 𝑡

а для вычисления коэффициентов потенциальнойживучести ВС (13) и занятости ВУ (14) – формулами:

𝒩 =𝜇

𝜆 + 𝜇; ℳ =

𝑁𝜆

𝑚 𝜆 + 𝜇

(34)

(35)

(36)


11

Случай 2. Восстанавливающая система имеет невысокуюпроизводительность, т.е. при любом 𝑡 ≥ 0

𝑁 − 𝓃 𝑖, 𝑡 > 𝑚, 𝑖 ∈ 𝐸0𝑁−𝑚−1 = {0,1,… ,𝑁 −𝑚 − 1}

Очевидно, что в этом случае 𝓂 𝑖, 𝑡 = 𝑚, а уравнение (23)принимает вид

𝑑

𝑑𝑡𝓃 𝑖, 𝑡 = 𝑚𝓂 − 𝜆𝓃 𝑖, 𝑡 , 𝓃 𝑖, 0 = 𝑖, 𝑖 ∈ 𝐸0

𝑁−𝑚−1

Решением (38) является

𝓃 𝑖, 𝑡 =𝑚𝜇

𝜆+𝑖𝜆 −𝑚𝜇

𝜆𝑒−𝜆𝑡 , 𝑖 ∈ 𝐸0

𝑁−𝑚−1

а условия малой производительности восстанавливающейсистемы (37) будут неравенства, обратные (32), (33)

(37)

(38)

(39)


12

Функция и коэффициент потенциальной живучести ВС

соответственно равны:

𝒩 𝑖, 𝑡 =𝑚𝜇

𝑁𝜆+𝑖𝜆 − 𝑚𝜇

𝑁𝜆𝑒−𝜆𝑡 ,

𝑖 ∈ 𝐸0𝑁−𝑚−1; 𝒩 =

𝑚𝜇

𝑁𝜆

Функция занятости восстанавливающей системы

равны константе: ℳ 𝑡 = ℳ = 1

(40)


13

Случай 3. Восстанавливающая система имеет

невысокую производительность, но 𝓃 𝑖, 0 = 𝑖,

𝑖 ∈ 𝐸𝑁−𝑚𝑁 . В этом случае до момента времени 𝑡∗,

когда впервые нарушится условие (25), будут

справедливы формулы (34), (35). С момента 𝑡∗

будет справедлива формула (40), в которой

следует положить 𝑖 = 𝑁 −𝑚 − 1.


14

Случай 4. Восстанавливающая система имеет

высокую производительность, однако

𝓃 𝑖, 0 = 𝑖, 𝑖 ∈ 𝐸0𝑁−𝑚−1. В этом случае будет

справедлива формула (40); с момента 𝑡∗, когда

впервые нарушится условие (37),

справедливыми станут уже формулы (34), (35),

в которых 𝑖 = 𝑁 −𝑚.


15

Вероятность ситуации, соответствующей случаю 1,существенно выше вероятности случая 2. Случаи 3 и 4практически маловероятны.

Полученные результаты свидетельствует о диалектическомединстве ЭВМ и ВС, позволяют глубже понять физическийсмысл 𝒩 𝑖, 𝑡 потенциальной живучести ВС.

Формулы для функции готовности ЭВМ являются частнымирезультатами по отношению к формуле (34). (Достаточноподставить в (34) 𝑖 = 𝑁 или 𝑖 = 0)

Следовательно, всё семейство кривых 𝒩 𝑖, 𝑡 (34) для𝑖 = 0,1,… ,𝑁 заключено между 𝑠(0, 𝑡) и 𝑠(1, 𝑡), т.е. имеетместо неравенство

𝑠 0, 𝑡 ≤ 𝒩 𝑖, 𝑡 ≤ 𝑠 1, 𝑡 , ∀𝑖 ∈ 𝐸0𝑁

Связь с функцией готовности ЭВМ

16

Далее, коэффициент (26) готовности является среднемувремени пребывания ЭВМ в работоспособном состоянии.Коэффициент готовности ЭВМ полностью совпадает скоэффициентом (13) потенциальной живучести ВС.

Значит, коэффициент потенциальной живучести ВС даётинформацию о средней доле времени функционированиякаждой ЭМ с потенциально возможной производительностью.

Из вышесказанного и из (2), (28)-(31), (39) следует, что мат.ожидания производительности ВС и производительностивосстанавливающей системы к моменту 𝑡 равны:

Ω 𝑖, 𝑡 = 𝓃 𝑖, 𝑡 𝜔, 𝓂 𝑖, 𝑡 𝜇, 𝑖 ∈ 𝐸0𝑁

а в стационарном режиме при выполнении (33) –

Ω = 𝓃𝜔 =𝑁𝜇

𝜆 + 𝜇𝜔,

𝑁𝜆𝜇

𝜆 + 𝜇

где 𝜔 – производительность (ёмкость памяти) одной ЭМ.

Анализ

17

1. Живучие ВС являются обобщением ВС со структурнойизбыточностью.

2. Предложенные показатели качества функционированияживучих ВС и методы их расчёта вполне приемлемы винженерной практике.

3. Численный анализ живучести большемасштабных ВСпоказывает, что они входят в стационарный режимработы за время, не превышающее 10 ч.

4. Установлено, что организация работы ВС как живучих ВСпозволяет достичь живучести, близкой к готовностиодной ЭМ.

5. В условиях современной элементной базыбольшемасштабные ВС являются производительными,высоконадёжными и живучими средствами обработкиинформации.

П.П

ика

ссо

«С

туд

ент,

изу

чаю

щи

й Т

ФР

ВС

по

уче

бн

ику

В.Г

. Хо

ро

шев

ско

го»

Больше – на http://vk.com/public58918349

Education

ТФРВС - весна 2014 - лекция 8