Άρρητοι&Υπερβατικοί αριθμοί.

Επιμέλεια: Γεραλή Δάφνη.

Άρρητοι αριθμοί.

Άρρητος αριθμός ονομάζεται ο κάθε αριθμός ο οποίος δεν είναι δυνατό να εκφραστεί ως κλάσμα μ/ν, όπου ν και μ ακέραιοι αριθμοί και ν διάφορο του μηδενός, σε αντίθεση με τους ρητούς αριθμούς οι οποίοι μπορούν να εκφραστούν ως κλάσμα ακεραίων. Οι πιο γνωστοί άρρητοι αριθμοί είναι οι εξής:

• π• e

Ποιοι είναι;

Οι άρρητοι αριθμοί είναι όλοι οι πραγματικοί οι οποίοι δεν είναι ρητοί. Ως εκ τούτου για το σύνολο των άρρητων χρησιμοποιείται ο έμμεσος συμβολισμός R - Q ή R/Q , όπου R το σύνολο των πραγματικών αριθμών και Q το σύνολο των ρητών. Τέλος, οι άρρητοι έχουν άπειρο αριθμό, μη επαναλαμβανόμενων περιοδικά, δεκαδικών ψηφίων.

Συμβολισμός.

Η πρώτη καταγραφή για τη γνώση των άρρητων αριθμών ξεκινά με τον Ίππασο, έναν Πυθαγόρειο που είτε αποκάλυψε πως η διαγώνιος ενός τετραγώνου με πλευρά ακέραιο δεν είναι ακέραιος ή ανακάλυψε τους άρρητους στην προσπάθεια να αναγνωρίσει τις πλευρές του πενταγράμμου. Οι Πυθαγόρειοι δίδασκαν ότι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δυο άλλων φυσικών αριθμών και διέδιδαν πως με τη χρήση των αριθμών μπορούσαν να επιλύσουν όλα τα προβλήματα του πραγματικού κόσμου. Η πρώτη ενδεχομένως κρίση στα Μαθηματικά εμφανίστηκε συνοδευόμενη από πολιτική κρίση όταν, σύμφωνα με την παράδοση, ο Ίππασος ο Μεταπόντιος (450 π.Χ.) αποκάλυψε τον άρρητο, γεγονός που φύλαγαν μυστικό οι Πυθαγόρειοι, και προκάλεσε την εξέγερση των λαών που τελούσαν υπό την εξουσία των Πυθαγορείων.

Η ιστορία τους.

• Διπλασιασμός του κύβου.• Τριχοτόμηση γωνίας.• Τετραγωνισμός του κύκλου.

Άλυτα γεωμετρικά προβλήματα.

Ο διπλασιασμός του κύβου (επίσης γνωστός ως πρόβλημα της Δήλου - Δήλιον πρόβλημα) είναι ένα από

τα τρία γνωστά προβλήματα της αρχαιότητας που δεν είναι δυνατόν να λυθούν μόνο με κανόνα και

διαβήτη. Ήταν γνωστό στους μαθηματικούς της αρχαιότητας στην Αίγυπτο, την Ελλάδα και την Ινδία.

Το πρόβλημα συνίσταται στην κατασκευή ενός κύβου με διπλάσιο όγκο από ένα γνωστό κύβο πλευράς

α. Ο απλός διπλασιασμός του μήκους της ακμής του κύβου οδηγεί σε οχταπλασιασμό του όγκου. Την

εποχή που παρουσιάζεται το πρόβλημα κάθε μαθηματική μέθοδος που δεν χρησιμοποιεί αποκλειστικά

κανόνα και διαβήτη θεωρείται ασέβεια. Οι αρχαίοι μαθηματικοί πιθανότατα γνώριζαν ότι ήταν

αδύνατη η λύση μόνο με κανόνα και διαβήτη αλλά δεν έχει διασωθεί καμία απόδειξη. Πιο κοντά στη

λύση βρέθηκε ο Ιπποκράτης ο Χίος ο οποίος απέδειξε το 460 ή 430 π.Χ. ότι το πρόβλημα ανάγεται

στην εύρεση δύο μέσων αναλόγων όταν δοθούν δύο ευθύγραμμα τμήματα το ένα διπλάσιο του άλλου.

Από αυτό συνάγεται ότι για να λυθεί το πρόβλημα πρέπει να κατασκευαστεί ακμή ίση με .

Διπλασιασμός του κύβου.

Το πρόβλημα έγκειται στη τριχοτόμηση οξείας γωνίας. Η τριχοτόμηση οξείας γωνίας είναι αδύνατο να πραγματοποιηθεί μόνο με χάρακα και διαβήτη γιατί η εξίσωση που την εκφράζει είναι τρίτου βαθμού χωρίς να μπορεί να αναχθεί σε δευτέρου. Οι αρχαίοι Έλληνες γεωμέτρες στράφηκαν σε άλλες καμπύλες εκτός του κύκλου και σε άλλες μεθόδους. Το πρώτο αποτέλεσμα αυτής της προσπάθειας ήταν η επινόηση από τον Ιππία τον Ηλείο της πρώτης καμπύλης στην ελληνική γεωμετρία, μετά την περιφέρεια, της τετραγωνίζουσας, με τη βοήθεια της οποίας έδωσε και τη πρώτη λύση του προβλήματος.

Τριχοτόμηση γωνίας.

Η διατύπωση του είναι απλή: Ζητείται η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη ενός

τετραγώνου του οποίου το εμβαδόν να είναι ίσο με το εμβαδόν ενός δοθέντος κύκλου.

Η δυσκολία του προβλήματος συνίσταται σε δύο περιορισμούς που έθεσαν σε αυτό οι

αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί. Πιο συγκεκριμένα, για να θεωρηθεί αποδεκτή μία λύση

του προβλήματος, σε αυτήν θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί μόνο κανόνας και διαβήτης,

προκειμένου η απόδειξη να ανάγεται πλήρως στα θεωρήματα του Ευκλείδη, και να μην

πραγματοποιείται μετά από άπειρο αριθμό βημάτων. Αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα

του τετραγωνισμού του κύκλου επιλύεται εύκολα αν άρουμε οποιονδήποτε από αυτούς

τους δύο περιορισμούς. Η επίλυση του προβλήματος συνδέεται άμεσα με την

υπερβατικότητα του αριθμού π: Αν κάποιος έχει καταφέρει να τετραγωνίσει τον

κύκλο, σημαίνει ότι με κάποιο τρόπο έχει υπολογίσει μία συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή

για το π. Κάτι τέτοιο όμως δεν είναι εφικτό στην περίπτωση που ο αριθμός π είναι

υπερβατικός, οπότε δεν έχει συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή. Πράγματι, το ενδιαφέρον

για την επίλυση του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου εξανεμίζεται το

1882, όταν ο Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν (Ferdinand von Lindemann) απέδειξε ότι το π

είναι υπερβατικός αριθμός.

Τετραγωνισμός του κύκλου.

Υπερβατικοί αριθμοί.

Υπερβατικοί αριθμοί είναι οι πραγματικοί αριθμοί που δεν είναι αλγεβρικοί (αλγεβρικός είναι ο πραγματικός αριθμός που είναι ρίζα πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές) . Ο Ζοζέφ Λιουβιλ ήταν ο πρώτος που απέδειξε την ύπαρξη υπερβατικών αριθμών και κατόρθωσε να κατασκευάσει άπειρους από αυτούς. Γνωστοί υπερβατικοί αριθμοί είναι το π και το e. Επίσης το άθροισμα ενός υπερβατικού αριθμού και ενός αλγεβρικού αριθμού είναι υπερβατικός.

Ποιοι είναι;

Μία μέθοδος για την εύρεση της τιμής του φ είναι να ξεκινήσουμε με το αριστερό κλάσμα. Με απλοποίηση του κλάσματος και αντικαθιστώντας το b / a = 1 / φ,

Φαίνεται ότι

Πολλαπλασιάζοντας με φ παίρνουμε ότι

Το οποίο μπορεί να διαμορφωθεί σε

Χρησιμοποιώντας τη φόρμουλα επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων λαμβάνουμε δύο λύσεις

α)

β)

Επειδή το φ είναι αναλογία μεταξύ θετικών ποσοτήτων, το φ είναι απαραιτήτως θετικό

επομένως:

Πως μπορούμε να τους υπολογίσουμε;

Η ιστορία του π.Η Μεγάλη Πυραμίδα στην Γκίζα, κατασκευασμένη το 2589–2566 π.Χ., χτίστηκε με περίμετρο περίπου 1760

πήχεις και ύψος περίπου 280 πήχες· η αναλογία περίπου ίση με Με βάση αυτή την αναλογία,

κάποιοι Αιγυπτιολόγοι κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι οι οικοδόμοι της πυραμίδας είχαν γνώση του π και

σκόπιμα σχεδίασαν την πυραμίδα για να ενσωματώσουν τις αναλογίες του κύκλου. Άλλοι ισχυρίζονται πως η

προτεινόμενη πρόταση του π είναι απλώς μια σύμπτωση, επειδή δεν υπάρχει κάποια απόδειξη ότι οι οικοδόμοι

της πυραμίδας γνώριζαν το π, και επειδή οι διαστάσεις της πυραμίδας βασίζονται σε άλλους παράγοντες.

Οι παλαιότερες γραπτές προσεγγίσεις του π βρίσκονται στην Αίγυπτο και τη Βαβυλώνα, απέχουν ένα τοις εκατό

από την πραγματική αξία. Στη Βαβυλώνα, ένας δίσκος της χρονολογείται το 1900–1600 π.Χ. έχει μια γεωμετρική

δήλωση που, κατ'επέκταση, αντιμετωπίζει τον π ως 25/8 = 3.1250. Στην Αίγυπτο, ο Πάπυρος Rhind ,

χρονολογείται γύρω στο 1650 π.Χ., αλλά έχει αντιγραφεί από ένα έγγραφο που χρονολογείται το 1850 π.Χ. έχει

ένα τύπο που την αντιμετωπίζει την σταθερά π ως (16/9)2 ≈ 3.1605.

Στην Ινδία γύρω στο 600 π.Χ., το Shulba Sutras (σανσκριτικά κείμενα που είναι πλούσια σε μαθηματικό

περιεχόμενο) εξομοιώνει τον π με (9785/5568)2 ≈ 3.088. Το 150 π.Χ., ή ίσως νωρίτερα, ινδικές πηγές

θεωρούν τον π ως ρίζα δέκα. Δύο στίχοι της Εβραϊκής Βίβλου (γράφτηκε περίπου στον 8ο και 3ο αιώνα

π.Χ.) περιγράφει μια τελετουργική πισίνα στο Ναό του Σολομώντα με διάμετρο δέκα πήχεις και η

περίμετρός του τριάκοντα πήχεις· Οι στίχοι υποδηλώνουν ότι ο π είναι περίπου τρία αν η πισίνα είναι

κυκλική. Ο Rabbi Nehemiah εξήγησε τη διαφορά ως λόγω του πάχους του σκάφους. Το πρώιμο έργο της

γεωμετρίας, Mishnat ha-Middot, γράφτηκε γύρω στο 150 μ.Χ. και παίρνει την τιμή του π για να είναι τρία

και ένα έβδομο.

Η χρυσή τομή συνεπαίρνει Δυτικούς διανοούμενους ποικίλων

ενδιαφερόντων για τουλάχιστον 2.400 χρόνια.

Οι Αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί πρώτοι μελέτησαν αυτό που

τώρα ονομάζουμε χρυσή τομή γιατί εμφανιζόταν συχνά στη

γεωμετρία. Η διαίρεση ενός τμήματος σε "άκρο και μέσο

λόγο" (εξ ού και η χρυσή τομή) είναι σημαντική στη

γεωμετρία των πενταγράμμων και πενταγώνων. Η αντίληψη

αυτή αποδίδεται συνήθως στον Πυθαγόρα και τους

ακολούθους του. Ο χρυσός λόγος ήταν γνωστός στους

Πυθαγόρειους. Στο μυστικό τους σύμβολο, την πεντάλφα, ο

χρυσός λόγος εμφανίζεται στις πλευρές τους αστεριού

καθώς και στο πηλίκο του εμβαδού του κανονικού

πενταγώνου με κορυφές τις άκρες της πεντάλφα προς το

εμβαδόν του κανονικού πενταγώνου που σχηματίζεται εντός

του αστεριού.

Χρυσή τομή,η ιστορία.

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη παρέχουν τον πρώτο γραπτό ορισμό αυτού που

σήμερα ονομάζουμε χρυσή τομή: "Μια ευθεία γραμμή λέγεται ότι έχει

κοπεί σε άκρο και μέσο λόγο, όταν όλη η ευθεία είναι για το

μεγαλύτερο κομμάτι ότι είναι το μεγαλύτερο κομμάτι για το

μικρότερο". Ο Ευκλείδης παραθέτει μια για το χώρισμα της γραμμής σε

"άκρο και μέσο λόγο". Σε όλα τα στοιχεία αρκετές προτάσεις και οι

αποδείξεις τους εμπεριέχουν τον χρυσό λόγο. Η πρώτη γνωστή

προσέγγιση του (αντίστροφου) χρυσού λόγου από δεκαδικό κλάσμα, ως

"περίπου 0,6180340", γράφτηκε το 1597 από τον Michael Maestlin του

Πανεπιστήμιο του Τύμπιγκεν σε ένα γράμμα του προς τον πρώην

φοιτητή του Γιοχάνες Κέπλερ. Από τον 20ο αιώνα, η χρυσή τομή

παριστάνεται με τον ελληνικό γράμμα Φ ή φ (φ, από το αρχικό γράμμα

του γλύπτη Φειδία ο οποίος λέγεται ότι ήταν από τους πρώτους που τον

χρησιμοποίησε στα έργα του) και πιο σπάνια από το τ το αρχικό

γράμμα της λέξης τομή.

Η φύση μέσω των αριθμών.

ΤΈΛΟΣ.