Законы сохранения в механике материальной точки

Закон сохранения импульсаРассмотрим систему материальных точекm1, m2, m3,…, mn, на которые действуют как внешние так и внутренние силыВнешние силы Fi действуют со стороны тел, не входящих в систему

Покажем действие внутренних сил fij

По III Закону Ньютона fij= - fji

f12f21

f1n

fn1Запишем II Закон Ньютона в форме

для каждой точки в системе

F1

F2

F3 Fn

m1m2

m3

mn

Сложим все эти уравнения. При этом все внутренние силы fij в правой части равенства попарно уничтожаться (III Закон Ньютона)

a

b

a+b

Закон сохранения импульса

Тогда соотношение перепишется в виде

Если сумма внешних сил равна нулю (или они отсутствуют) то импульс системы сохраняется

Импульсом системы назовем сумму импульсов отдельных ее точек, а сумму внешних сил - суммарной внешней силой

Закон сохранения импульса

F1

F2

F3 Fn

m1m2

m3

mn

f12f21

f1n

fn1

Как должна выглядеть равнодействующая?

Для выполнения закона сохранения импульса равнодействующая всех внешних сил должна быть равна нулю

Чтобы выполнялся ЗСЭ

Пример 1: Абсолютно неупругий удар

Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью v попадает в брусок массой М, лежащий неподвижно на горизонтальной плоскости. Найти скорость бруска, если пуля застряла в бруске. Трением бруска о поверхность пренебречь.

Так как в данной задаче внешние силы отсутствуют, можно использовать закон сохранения энергии. Запишем чему равен импульс системы до удара

Для облегчения решения необходимо записать проекцию на ось x

Кинетическая и потенциальная энергия

Кинетической энергией системы материальных точек называется сумма кинетических энергий всех этих точек

Если работа силы не зависит от формы траектории, соединяющей любые две точки, а определяется только их положением, то такие силы называются консервативными

Функция которая описывает работу консервативных сил по перемещению из данной точки в нулевую называется потенциальной энергией U материальной точки.

А

BK

N

Для силы притяжения земли

Закон сохранения механической энергии

Величина E=W+U называется полной механической энергией системы, из последнего выражения видно, что эта величина сохраняется если в системе 1) нет неконсервативных сил2) нет внешних сил

Пример 1: Бросок под углом к горизонту

Тело брошено со скоростью V под углом к горизонту, найти максимальную высоту, на которой может оказаться тело за время движения

x

y

x

y

Пример 2: Математический маятникКак изменяется кинетическая и потенциальная энергия

математического маятника?При движении математического маятника отсутствуют внутренние неконсервативные и внешние силы, поэтому полная механическая энергия сохраняется

Когда маятник отклоняют на высоту h, его потенциальная энергия максимальная. Когда маятник опускается, потенциальная энергия переходит в кинетическую. Причем в нижней точке, где потенциальная энергия равна нулю, кинетическая энергия максимальная и равна потенциальной энергии в верхней точке. Скорость груза в этой точке максимальная.

Основные формулы

Итоги

Закон сохранения импульса: Если сумма внешних сил равна нулю (или они отсутствуют), то импульс системы сохраняется

Закон сохранения энергии:Полная механическая энергия системы сохраняется если система замкнута и консервативна

Если работа силы не зависит от формы траектории, соединяющей любые две точки, а определяется только их положением, то такие силы называются консервативными

Система называется замкнутой, если сумма внешних сил равна нулю

Спасибо за внимание