Upload
zhanna-kazakova
View
171
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
osnovnye bulevy funkcii
Citation preview
ОСНОВНЫЕ БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
Булева переменная: х =
0
1
. E = { 0, 1 }
Булева функция: f (x1, x2,…, xn) =
0
1
. f : E n . E
Основные булевы функции:
x
y
x
x & y
x y
x y
x y
x + y
x y
x y 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0
& - конъюнкция; - дизъюнкция; - импликация;
- эквивалентность; + - сложение по модулю два;
- штрих Шеффера; - стрелка Пирса.
Для формулы (((x& y) z ) x) имеем следующую таблицу истинности:
x y z (x& y) ((x& y) z) (((x& y) z) x)
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Для формулы ((( x& y ) z ) x) получаем сокращенную таблицу:
x y z ((( x & y ) z ) x)
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ФОРМУЛЫ
Определение формулы:
1) каждая булева переменная - формула,
2) если А и В формулы, то ( А), (А & В), (А В), (А B),
(А B), (А + В), (А В), (А В) тоже формулы,
3) только те выражения являются формулами для
которых это следует из 1), 2).
Пр.: x, ( y), (x & ( y)), ((x & y) ( z)), ((( x) y) z).
, & , , ,
РАВНОСИЛЬНОСТЬ ФОРМУЛ
Формулы А и В равносильны, если при каждой совокупности значений всех переменных, входящих в А и В, они принимают одинаковые значения. А ~ B.
х у ~ х у
Cвойства: 1) А ~ А - рефлексивность; 2) если А ~ В, то В ~ А - симметричность; 3) если А ~ В и В ~ C , то А ~ C - транзитивность.
Следовательно, отношение равносильности является отношением эквивалентности. Теорема. А ~ B , когда А В тождественно равна единице.
х у
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 1 1
х у
1 0 1 0
1 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
ОСНОВНЫЕ РАВНОСИЛЬНОСТИ 1) ( x) ~ x - закон двойного отрицания.
x;y~y x 3)
x;&y~y &x 2) - законы коммутативности;
);zy(x~z y)(x 5)
z);&(y&x ~z &y)&(x 4) законы ассоциативности;
6) x&(y z ) ~ x& y x& z - первый закон дистрибутивности; 7) x y& z ~ (x y)&(x z ) - второй закон дистрибутивности; 8) (x& y) ~x y, 9) (x y) ~ x&y, 10) x& x ~ x, 11) x x ~ x,
- законы де Моргана;
- законы идемпотентности;
12) х х & у ~ х; 13) х &( х у~ х; 14) х х ~ 1 - закон исключенного третьего; 15) х &х ~ 0 - закон противоречия; 16) х & 1 ~ х; 17) х 1 ~ 1; 18) х & 0 ~ 0; свойство операций с 1 и с 0; 19) х 0 ~ х;
- законы поглощения;
ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ
х у ~ (х & у); х у ~ ( х у);
х у ~ (х у) & (у х); х у ~ х у;
х у ~ ( х у) & ( у х); х & у ~ ( х у);
х у ~ ( х & у); х у ~ х у.
Теорема. Для каждой формулы А существует равносильная ей формула,
содержащая только , &, , причем относится только к переменным.
Теорема. Для каждой формулы А существует равносильная ей формула,
содержащая только , &, либо только , , либо только , .
Теорема. Для каждой формулы А существует равносильная ей формула,
содержащая только , либо только .
ДИЗЪЮНКТИВНЫЕ И КОНЪЮНКТИВНЫЕ
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Элементарные суммы: x y, z x, x y x z.
Элементарные произведения: x&y, y&z, x&z&x&y.
Дизъюнктивные нормальные формы (д.н.ф.): y&z x&t, x y&z,
x&y x&y& z.
Теорема. Для каждой формулы существует равносильная ей д.н.ф. (не
единственная).
Конъюнктивные нормальные формы (к.н.ф.): (x y)&(z t ), (x y z)&y.
Теорема. Для каждой формулы существует равносильная ей к.н.ф. (не
единственная).
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ В ВИДЕ ФОРМУЛ - 1
0 a если ,x
a если ,xax1
; x a = a x a x ;
a.x если ,
ax если ,ax0
1
Теорема. Для булевой функции f ( x1, x2,…, xn ) и m, 1 m n :
f ( x1, x2,…, xm, xm+1,…, xn ) =
= 11
21
a
)ma,...,a,a(x 2
2ax … ma
mx f(a1, a2,…, am, xm+1,…, xn)
где дизъюнкция берется по всем наборам (a1, a2…, am). Следствие. Если f(x1, x2,…, xn) не тождественно равна 0, то:
f ( x1, x2,…, xn ) = 11
121
21
a
)na,...,a,a(f
),na,...,a,a( x
22ax … na
nx .
Здесь дизъюнкция берется по наборам (a1, a2…, an), для которых f ( a1, a2…, an ) = 1.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ В ВИДЕ ФОРМУЛ - 2
Теорема 3.15. Для любой булевой функции f ( x1, x2…, xn ) и любого m, 1 m n, имеет место следующее равенство:
f ( x1, x2,…, xm, xm+1,…, xn ) =
=)ma,...,a,a( 21
( 111
ax 212
ax … mamx 1 f(a1, a2,…, am, xm+1,…, xn)),
где конъюнкция берется по всевозможным наборам (a1, a2…, am). Следствие 3.4. Если f ( x1, x2,…, xn ) не тождественно равна 1, то
f ( x1, x2,…, xn ) =
021
21
)na,...,a,a(f
),na,...,a,a( & ( 11
1ax 21
2ax … na
nx 1 ).
Здесь конъюнкция берется только по тем наборам ( a1, a2…, an ), для которых f ( a1, a2…, an ) = 0. Разложение Шеннона.
СОВЕРШЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Совершенной д.н.ф. для А (х1, х2 ,…,хn) называется ее д.н.ф., такая, что:
-нет одинаковых слагаемых;
-в каждое сл. входят все перем. х1 , х2 ,…,х n один и только один раз с либо без.
x y z А(x,y,z)
0 0 0 1 x y z
0 0 1 1 x yz
0 1 0 1 xy z
0 1 1 0
1 0 0 1 x y z
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1 xyz
С.д.н.ф.: x y z x y z x y z x y z x y z.
СОВЕРШЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Совершенной к.н.ф. для А (х1, х2 ,…,хn) называется ее к.н.ф., такая, что:
-нет одинаковых множителей;
-в каждое мн. входят все перем. х1 , х2 ,…,х n один и только один раз с либо без.
x y z А(x,y,z)
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0 x y z
1 0 0 1
1 0 1 0 x y z
1 1 0 0 x y z
1 1 1 1
С.к.н.ф.: ( x y z ) ( x y z ) ( x y z ).
ПОЛИНОМ ЖЕГАЛКИНА
Теорема (Жегалкин). Любую булеву функцию f ( х1, х2,...,хn ) можно единственным образом представить в виде:
f ( x1, x2, ..., xn ) = а0 + а1&x1 + a2&x2 +...+ аn&xn +
аn+1&x1&x2 + аn+2&x1&x3 +…+ am&x1&xn +
аm+1&x1&x2&x3 +...+ аr&xn-2&xn-1&xn + + аk&x1&x2&...&xn,
где ai ( 0 i k ) – Const = 0 или 1.
Если f ( x1, x2,..., xn ) = 0, то а i = 0. Пусть f ( x1, x2,..., xn ) 0:
f ( x1, x2,..., xn ) ~ К1 + К2 +... +Кs . x ~1+ x.
x + x +...+ x ~ 0, когда имеем четное число слагаемых,
x + x +...+ x ~ x, когда имеем нечетное число слагаемых.
СОКРАЩЕННЫЕ ДИЗЪЮНКТИВНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
импликанта функции f ( f ) если = 0 на всех тех наборах значений аргументов, на которых f = 0.
х & y x y , но x y x & y . Простыми импликантами булевой функции f называются такие элементарные произведения, которые являются импликантами для f, но никакая их собственная часть не является импликантой для f .
Если: x & y & z & t f (x, y, z, t ), у & z f ( x, y, z, t ), y f ( x, y, z, t ), z f ( x, y, z, t ),
то y & z будет простой импликантой для f ( x, y, z, t ).
Сокращенной д.н.ф. для f ( x1, x2, ..., xn ) называется дизъюнкция всех простых импликант этой функции.
Теорема 3.17. Каждая булева функция f ( x1, x2, ..., xn ) равносильна своей сокращенной д.н.ф.
Операция склеивания (полного): x & y x & y ~ x.
Операция поглощения : x x & y ~ x.
Теорема (теорема Квайна). Если в совершенной д.н.ф. булевой функции провести все операции неполного склеивания и затем все операции поглощения, то в результате получится сокращенная д.н.ф. этой функции.
ТУПИКОВЫЕ И МИНИМАЛЬНЫЕ Д.Н.Ф.
Пусть f(x, y, z) = x&y&z x&y& z x&y& z x& y& z.
Сокращенная д.н.ф. для f(x, y, z): x&y y& z x& z.
Импликанту y& z можно исключить.
Тупиковой д.н.ф. булевой функции f называется дизъюнкция
простых импликант функции f, ни одну из которых исключить нельзя,
и указанная дизъюнкция равносильна функции f.
Минимальной д.н.ф. булевой функции называется д.н.ф.,
равносильная этой функции и содержащая наименьшее возможное
число вхождений переменных с отрицанием или без отрицания.
Теорема. Всякая минимальная д.н.ф. булевой функции f является её
тупиковой д.н.ф.
МЕТОД ИМПЛИКАНТНЫХ МАТРИЦ
f (x, y, z) = x&y&z x& y&z x& y&z x&y& z x& y& z x&y& z.
Результаты, получающиеся при склеивании
x&y&z
x& y&z
x& y&z
x&y& z
x& y& z
x&y& z
x&z + + x&y + + y&z + + x& y + + x& z + + y& z + +
Cокращенная д.н.ф. : x&z x&y y&z x& y x& z y& z. Тупик. д.н.ф.: x&z x& y x& z x&y,
x&z x& y y& z ; x&y x& z y&z.
НЕПОЛНОСТЬЮ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
Булева функция от n аргументов называется неполностью определенной, если хотя бы для
одного набора значений ее аргументов, значение функции не определено (не задано).
На наборах, где функция не определена, поставлены символы . Эти
наборы (на которых функция не определена), иногда называют
запрещенными состояниями.
При аналитическом задании для рассматриваемого примера имеется 4
варианта доопределения функции f*(x,y,z):
1) x y z x y z x y z xyz;
2) x y z x y z x y z x y z xyz;
3) x y z x y z xy z x y z xyz;
4) x y z x y z xy z x y z x y z xyz.
Функции 1)-4) являются различными, но на наборах, на которых
определена f*(x,y,z) они совпадают.
x y z f*(x,y,z)
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1
1 1 0 0
1 1 1 1
МИНИМАЛЬНА Д.Н.Ф. ДЛЯ С.Д.Н.Ф. ВИДА 1):
Конституеты единицы №
п./п
Результаты,
получающиеся
при
склеивании
x y
z
x y z x y z xyz
1 x y * *
2 y z * *
3 xyz *
Так как дальнейшее склеивание не происходит, то минимальная д.н.ф. будет равна:
x y y z xyz.
МИНИМАЛЬНА Д.Н.Ф. ДЛЯ С.Д.Н.Ф. ВИДА 2):
№
п./п
Результаты, получающиеся при
склеивании x y z x y z x y z x y z xyz
x y * *
y z * *
x y * *
xz * *
Далее, элементарные произведения x y и x y вновь склеиваются и дают y и это слагаемое
поглощает слагаемое y z. Тогда сокращенной Д.н.ф. будет: y xz. Теперь составляем следующую
импликантную матрицу.
Конституенты единицы Слагаемые
сокращенной
д.н.ф.
x
y z
x y z x y
z
x y z xyz
y * * * *
xz *
Из этой таблицы видно, что минимальной д.н.ф. будет следующая: y xz.
МИНИМАЛЬНА Д.Н.Ф. ДЛЯ С.Д.Н.Ф. 3) И 4):
3) x y x z y z xyz;
4) y x z xz.
Очевидно, что минимальной д.н.ф., которая будет представлять функцию f*(x,y,z) на наборах где она
определена, будет:
y xz.
Аналогичным образом находится минимальная к.н.ф. для неполностью определенных булевых
функций.
ПОЛНОТА СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
Ф = {1 , 2 ,..., k } функционально полна, если булеву функцию можно представить функциями из Ф.
{ , &, } ; { , & } ; { , } ; { , } ; { } ; { }.
{ 1, 2,..., n } - базис, если она полная система функций, но никакая ее собственная часть не является полной системой.
{ , & } ; { , } ; { , } ; { } ; { } - базисы, но { , &, } - не базис, ибо ее подсистема { , & } - полна.
f (x1, x2 , ..., xn ) сохраняет нуль (единицу), если f ( 0, 0,..., 0 ) = 0
( f ( 1, 1,..., 1 ) = 1 ).
Теорема 3.20. Суперпозиция булевых функций, сохраняющих нуль (единицу), есть снова булева функция, сохраняющая нуль (единицу).
Следствие 3.5. В полной системе функций должна содержаться хотя бы одна функция, не сохраняющая нуль.
Следствие 3.6. В полной системе функций должна содержаться хотя бы одна функция, не сохраняющая единицу.
КЛАССЫ S, M
Функция f ( x1, x2, ..., xn ) называется самодвойственной, если
f ( x1, x2, ..., xn ) = f ( x1, x2, ..., xn ).
Теорема. Суперпозиция самодвойственных функций есть снова самодвойственная функция.
Следствие. В полной системе функций должна содержаться хотя бы одна не самодвойственная функция.
( а1, а2, ..., аn ) ( b1, b2, ..., bn ) если для i: ai bi , 1 i n.
Например, (1,0,1) (1,0,0), (0,0,1,1,1) (0,0,1,0,1); (1,0,1,1) (1,0,0,0).
Наборы (1,0) и (0,1) несравнимы.
Функция f ( x1, x2, ..., xn ) наз-ся монотонной, если из ( а1, а2, ..., аn )
( b1, b2, ...,bn ) следует f ( а1, а2, ..., аn ) f ( b1, b2, ..., bn ).
Теорема. Суперпозиции монотонных функций является монотонной функцией.
Следствие. В полной системе функций должна содержаться хотя бы одна немонотонная функция.
КЛАСС L. ТЕОРЕМА ПОСТА
Функция f ( x1, x2, ..., xn ) называется линейной, если
f ( x1, x2, ..., xn ) = c0 + c1&x1 + c2&x2 +…+ cn&xn,
Теорема 3.23. Суперпозиция линейных функций является линейной функцией.
Следствие 3.9. В полной системе булевых функций должна содержаться хотя бы одна нелинейная булева функция.
Пусть Р0 - класс функций, сохраняющих нуль,
Р1 - класс функций, сохраняющих единицу,
S - класс самодвойственных функций,
М - класс монотонных функций,
L - класс линейных функций.
Теорема (теорема Поста). Для полноты системы функций Ф = { 1, 2,..., n } необходимо и достаточно, чтобы для каждого из классов Р0, Р1, S, М, L в Ф нашлась функция i, ему (классу) не принадлежащая.
Следствие. Из всякой полной системы можно выделить полную подсистему, содержащую не более четырех функций.
ПРИЛОЖЕНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ И СИНТЕЗУ ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНЫХ СХЕМ
x y x y 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1
x x y
y
ПРИМЕР СИНТЕЗА ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНОЙ СХЕМЫ
Требуется построить схему для голосования комитета из трех человек. При голосовании "за" - нажатием кнопки свет должен загораться ↔ когда "за" проголосует большинство.
x&y&z x& y&z x&y& z x&y&z.
x y z 0 0
0 0
0 1
0 0
0 0
1 1
0 1
0 1
1 1
0 0
0 1
0 1
1 1
1 1
0 1
1 1
x y z
x y z
x y z
x y z
ПРИМЕР АНАЛИЗА ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНОЙ СХЕМЫ
x&y&z x& y&z x&y& z x&y&z
x&y x&z y&z → x&y z & (x y )
x y
z
x y
ПРИЛОЖЕНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ И СИНТЕЗУ СХЕМ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
- устройство, реализующее отрицание, имеет один вход и один выход. Сигнал появляется на выходе ↔ когда на входе нет сигнала.
& - устройство, реализующее конъюнкцию, имеет два и более входов и один выход. Сигнал появляется на выходе ↔ когда на все входы поданы сигналы. - устройство, реализующее дизъюнкцию, имеет два и более входов и один выход. Сигнал появляется на выходе ↔ когда подан сигнал хотя бы на один вход.
1
ПРИЛОЖЕНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ И СИНТЕЗУ СХЕМ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
a1 a2 a3 …ak…an b1 b2 b3 …bk…bn x y z S P 0 0
0 0
0 1
0 1
0 0
0 0
1 1
0 1
1 0
0 1
1 1
0 0
0 1
1 0
0 1
1 1
1 1
0 1
0 1
1 1
S = x& y&z x&y& z x& y& z x&y&z, Р = x&y&z x& y&z x&y& z x&y&z.
S P ak bk
ПРИЛОЖЕНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ И СИНТЕЗУ СХЕМ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Р x & y x & z y & z, S x & y & z (x y z) & Р.
x
y z
C
1
1
1
&
&
&
&
&
S
P
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ДЕКОМПОЗИЦИЯ
Пусть имеем f ( x1, x2 ,..., xn ), Х = (x1, x2 ,..., xn ), тогда : f ( Х ).
f ( Х ) = g0 ( Х 0, g 1 ( Х 1),..., g k ( Х m )),
Х i = ()i(kiii x,...,x,x
21) , 1 ij n, 1 k ( i ) n, 1 i m;
Если f ( Х ) = g 0 ( Х 0, g 1 ( Х 1 )), то декомпозиция наз-ся простой.
Число множеств Х i наз-ся размерностью декомпозиции, а k-кратностью декомпозиции. Размерность декомп. равна m+1.
Если Х i Х j = для ∀ i, j, ij, то декомпозиция называется разделительной. Если хотя бы одно пересечение подмножеств Хi и Х j не пусто, то декомпозиция называется неразделительной.
ПРОСТАЯ РАЗДЕЛИТЕЛЬНАЯ ДЕКОМПОЗИЦИЯ
f ( Х ) = g0 ( Х 0, g1 ( Х 1 )), Х 0 Х 1 = .
Х 0 = ( x1, x2 ,..., xs ),
Х 1 = ( xs+1 , xs+2 ,..., xn ).
x1 x2 X 0 xs
xs+1 xs+2 X 1 xn
g0
g1
f ( X )
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ДЕКОМПОЗИЦИЯ - ПРИМЕР
Пусть f1 (x1, x2, x3, x4 ) = ( x1 x4 ) x2 & x3 , Х 0 = (x1 , x4), Х 1 = (x2 , x3 ).
x1 x2 x3 x4 f1(x1,x2,x3,x4) f2(x1,x2,x3,x4) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
ДЕКОМПОЗИЦИОННАЯ МАТРИЦА Декомпозиционная матрица для Х 0 = (x1 , x4 ) и Х 1 = ( x2 , x3 ).
Х 0 \ Х 1 00 01 10 11
00 0 0 0 1 01 1 1 1 1 10 1 1 1 1 11 0 0 0 1
Теорема. Булева функция f ( Х ), зависящая от n переменных, допускает двумерную разделительную декомпозицию кратности один тогда и только тогда, когда декомпозиционная матрица, соответствующая заданному разбиению множества Х на непересекающиеся подмножества Х 0 и Х 1, содержит не более двух различных столбцов значений функций.
f1 ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = g0 ( X 0 , g1 ( X 1 )),
g0 ( X 0, s ) = ( x1 x4 ) s, g1 ( X 1 ) = x2 & x3.
ДВУМЕРНАЯ РАЗДЕЛИТЕЛЬНАЯ ДЕКОМПОЗИЦИЯ КРАТНОСТИ K
f2 (x1, x2, x3, x4) = x1&x4 (x2 x3) (x2 x3 ), Х 0 = (x1 , x4 ) и Х 1 = (x2 , x3 ).
Х 0 \ Х 1 00 01 10 11 00 1 0 0 1 01 1 0 0 1 10 1 0 0 1 11 1 0 1 1
Двумерная разделительная декомпозиция кратности k :
f ( Х ) = g0 ( Х 0 , g1 ( Х 1 ), g2 ( Х 1 ),..., gk ( Х 1 )).
Теорема. Булева функция f ( Х ), зависящая от n переменных, допускает двумерную разделительную декомпозицию кратности k тогда и только тогда, когда декомпозиционная матрица функции f(Х), соответствующая заданному разбиению множества Х на непересекающиеся подмножества Х 0 и Х 1, содержит не более чем 2k различных столбцов.
f2 (x1, x2, x3, x4 ) = g0 ( X 0, g1 ( X 1 ), g2 ( X 1 )),
g0 ( X 0, s, t ) = (x1 & x4 ) s t , g1 ( X 1 ) = x2 x3, g2 ( X 1) = x2 x3.
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СХЕМА
f ( Х ) = g0 ( Х 0 , g1 ( Х 1 ), g2 ( Х 1 ),..., gk ( Х 1 )).
g1 g2 … gk
x1 x2
xs
xs+1 xs+2 xn
f ( X ) g0
X 0
X 1