Боярська ЗОШ І-ІІІ ступенів №1Києво-Святошинського р-ну

Київської обл.Вч. Овчинникова (Яськова) О.Й.

м.Боярка

Відкритий урок на тему:

І. Перевірка домашнього завдання

1. Розв’язати нерівності методом інтервалів:

01

32

х

)(хх 2. 2. 0

)3(

)4()2( 2

х

хх

0315 ) )(õ)(õ(x 1. 1. 0315 ) )(õ)(õ(õ

2. Знайти похідні функцій:

1032)( 5 xxxf1. 1.

2. 2.10)73()( xxg );23cos()( xxf

53

)( 2 x

xxg

І. Перевірка домашнього завдання

1. Розв’язати нерівності методом інтервалів:

2. 2.

1. 1.

2. Знайти похідні функцій:

1. 1.

2. 2.

–1 3 5 –6 –2 4 (–∞;–1)U(3;5)

відповіді

[-6;-2]U[4;+∞)

1 3 –2 3 4(1;3] і х=0 (–∞;-2)U(-2;-3)U(4;+∞)

2

32)(

xxxg

ххxf

2

310)( 4

.)73(70)( 9xxg )23sin(2)( xxf

ІІ. Вивчення нового матеріалу

А) Актуалізація опорних знань.•Що називається похідною функції?•Який геометричний і механічний зміст похідної?•Що таке січна? Який кутовий коефіцієнт січної?•Дати поняття дотичної до графіка функції.

Б) Мотивація навчання.Коротка історична довідка.

В) Поняття дотичної до лінії.

Нехай графіком деякої функції у = f(x) є крива. АВ – січна. Кутовий коефіцієнт січної:

Якщо Δх → 0, то кутовий коефіцієнт січної → до числа f (x′ 0), де f (x′ 0) є кутовим коефіцієнтом прямої АТ – дотична.

Якщо Δх → 0, то т. В → до т. А по графіку функції. При суміщенні т. В з т. А пряма АВ, обертаючись навколо т. А займе граничне положення АТ, яке й будемо називати дотичною до графіка функції в т. А(х0, f(х0)). Дотична – граничне положення січної.

Отже, дотична до графіка диференційованої в т. х0 функції – це пряма, що проходить через т. А(х0, f(х0)) і має кутовий коефіцієнт f (x′ 0).

.

x

ytgk

.

)(lim 0xfx

ytgk

Г) Виведення рівняння дотичної до графіка функції в даній точці

Виведемо рівняння дотичної до графіка диференційованої функції у = f(x) в т. А(х0, f(х0)). Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k має вигляд: .

Дотична – це пряма з кутовим коефіцієнтом k = f (x′ 0), отже її рівняння: (1)Для обчислення b скористаємося тим, що дотична проходитьчерез т. А(х0, f(х0)), отже координати т. А задовольняють рівняння (1):f(х0) = f (x′ 0) х0 + b, звідки b = f(х0) – f (x′ 0) х0.Підставимо в рівняння (1), отримаємо:

у = f (x′ 0) х + f(х0) – f (x′ 0) х0 = f (x′ 0)(х – х0) + f(х0).

Отже, рівняння дотичної:

b kxó

b)õ(xf ó 0

). f(õ)õ)(x(xf ó 000

ІІІ. Набуття навичок складання рівняння дотичної до графіка даної функції в даній точці

1.Написати рівняння дотичної до графіка функції в т. х0 = 2

Розв’язуванняРівняння дотичної обчислюємо за формулою:

Складаємо алгоритм знаходження рівняння дотичної:1). Знаходимо значення функції в т. :f(х0) = f(2) = 23 – 2 ּ22 + 1 = 8 – 8 +1 = 1; f(х0) = 1.2). Знаходимо похідну функції:

.3). Знаходимо значення функції похідної в т. х0 = 2:f (x′ 0) = f (′ 2) =3 ּ22 –42=12–8=4 ; f (x′ 0) = 4.4). Отже, рівняння дотичної:у = 4 (х – 2) + 1 = 4х –8 + 1 = 4х –7. Відповідь: у = 4х –7.

12 23 õ– õf(x)

20 x

)f(õ)õ)(x(xfó 000

õ–õ)õ–(õ(x)f 4312 223

2. Написати рівняння дотичної до графіка функції в т. х0 = 5.

Розв’язування1) g(x0) = g(5) = ; g(x0) = 3.2) g (x) = ′

3) g (x′ 0) = g (5) = ′ ; g (x′ 0) = .

4) у =

Відповідь: у = .

12 g(x) х

39152

12

112

хх

3

1

152

1

3

1

.

3

11

3

13

3

5

3

135

3

1 ххх

3

11

3

1х

ІV. Самостійна робота.Написати рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х0

1. f(x) = х3 + 3х в т. х0 = –1. 1. g(x) = 2х3 – 3х в т. х0 = 1.

2. g(x) = в т. х0 = 3. 2. f(x) = в т. х0 = 2.

3*. f(x) = в т. х0 = 4. 3*. h(x) = в т. х0 = 2.

Додатково: С – 30, В – 6 і В – 7.

Написати рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х0:

1.у = sin 2x в т. . 1. у = в т. .

2.у = в т. х0 = –2. 2. у = х2 – 2х в т. х0 = 2.

(Виконати мал.)Додатково: С – 30, В – 1 і В –2.

212

1х 52 х

112 хх

74

32 3

х

х

60

х

2sin

x

2

x

х

2

Написати рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х0

1. у = х –1. 1. у = 3х –4.

2. у = 2х – 4. 2.

3*. у = 4х – 7 3*. h = 4х – 7

Написати рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х0:

1.у = . 1. у = 2х – 4

2.у = –0,5х –2 2. у = 2х – 4

Відповіді

3

7

3

1 ху

62

3 x

Знайдіть тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції в точці перетину цього графіка з віссю абсцис:

f(x) = х3 + 27. f(x) = х3 – 27. Відповідь: tg α = 27. Відповідь: tg α =

27.

Розв’язуваннях3 + 27 = 0, х0 = –3 х3 – 27 = 0, х0 = 3точка перетину (–3,0) точка перетину (3,0)tg α = k = f′(x0), f′(x) = 3х2 f′(x) = (х3 – 27)′ = 3х2

tg α = 3 ּ(–3)2 = 27. tg α = f′(x0) = 3 ּ32 = 27.

Написати рівняння дотичної до графіка функції:

в т. х = 3 в т. х = –3

Відповідь: у = –3х + 9,5. Відповідь: у = 6х + 11

V. Підсумок уроку.VI. Д/з: п. 19; №№ 255, 256; повт. № 140 (ст. 302).

2

2

15)( xxf 22)( xxf