○ Сформулюйте означення похідної функції в даній точці.

○ Сформулюйте теорему про похідну суми двох функцій.

○ Як знаходиться похідна добутку двох функцій?

○ Як знайти похідну частки функцій?

○ В чому полягає геометричний зміст похідної?

○ В чому полягає фізичний зміст похідної?

Таблиця похідних елементарних функцій

1

2 2

0;

1;

;

sin cos ; cos sin ;

1 1; .cos sin

n n

C

x

x n x

x x x x

tgx ctgxx x

Правила обчислення похідних

2

;

;

;

.

u v u v

uv u v uv

u u v uvv v

f h x f h h x

РІВНЯННЯ ДОТИЧНОЇ ДО

ГРАФІКА ФУНКЦІЇ

Геометричний зміст похідної

х

у

о

y = (x)

х0 х0 + х х

у

f

f

f (х + х)

(х)

Означення похідної

січна

0 0'0 0

limx

f x x f xf x

x

Використовуючи таблицю похідних елементарних функцій та правила диференціювання,

знайдіть похідні наступних функцій:

920ху

ху 4 .2 х

у 2

xtgxу 5 .4

22

5cos

1xx

у

xху sin .5 3 xxxху cos sin3 32

хху

43 .6

2

2

2

4346ххху

3. cos 7 4ó x 7sin 7 4ó x

1.y=2x10

х

у

о

y = (x)

х0

у0

f

Дотична до графіка функції у = (х)

α

f

січна

дотична

х

у

о

y = (x)

х0

у0

f

Дотична до графіка функції у = (х)

α

f

А

х

у

о

y = (x)

х0

у0

f

Геометричний зміст похідної:

k = tgα = (x0 )

α

f

Кутовий коефіцієнт дотичної,

проведеної до графіка функції у = (x)

в точці (х0; у0) дорівнює значенню

похідної в точці х0.

f

/

дотична

Геометричний зміст похідної:

Кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції у = (x)

в точці з абсцисою х0 дорівнює значенню

похідної функції в цій точці.

α – кут нахилу дотичної до додатного напряму осі Ох

f

k f x tg

П/4

3П/4

Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть

1)f’(1); 2)f’(0).

Відповідь: 1) 1; 2) -1.

1. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до параболи у = - 6х2

+ 3х-2 в точці з абсцисою х0 = 1.

2. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до параболи у = 2х3

+ 5х в точці з абсцисою х0 = 0. Відповідь: 1. к=-9;

2. к= 5.

Задачі

х

у

о

y = (x)

х0

у0

f

Зауважимо, що дотична до графіка в певній точці,

може перетинати графік цієї функції у інших його

точках

k = tgα = (x0 )

α

f

f

/

дотична

Рівняння дотичної

Як відомо, рівняння невертикальної прямої в загальному вигляді записують так:

у= kx+b, де k – кутовий коефіцієнт цієї прямої, а b – ордината точки перетину з віссю Оу.

Так як

то рівняння у= kx+b перепишемо у вигляді:

0k f x

0y f x x b

Рівняння дотичної

Підставимо координати координати точки дотику у рівняння 0 0;x f x

0y f x x b

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

,

,

,

( ) .

f x f x x b

b f x f x x

y f x x f x f x x

y f x x x f x

х

у

о

y = (x)

х0

у0

f

Рівняння дотичної:

k = tgα = (x0 )

α

f /

fу0 = (х0)

0 0 0y f x x x f x

Запишіть рівняння дотичної до графіка функції y=f(x) у точці з абсцисою

1. (2) = 4

14

23223

2.Знайдемо

)(xf

)(xf

23)23()3(3

ххх

f

та

237х

7)2( f

3.Підставимо знайдені значення

у рівняння дотичної Відповідь: у=7х-10

0x

0( )f x

0 0( ) , ( )f x f x

0 0 0( )( ) ( )y f x x x f x

y=(3x-2)/3-x, x0=2

y=7(x-2 +4, y=7x-10

0 0 0y f x x x f x

Домашнє завдання

§1 п.9 – повторити,

розв*язати № 9.6, 9.11, 9.17.

Не все на cвіті просто, але є

якась закономірність саме в

тому, що істина раптово

постає крізь ліс ускладнень, в

самому простому.

Ромен Ролан