Границя і неперервність функції

1

Границя і неперервність функції

2

План

1. Визначення границі функції.2. Односторонні границі.3. Нескінченно малі і нескінченно великі.4. Теореми про границі.5. Деякі ознаки існування границі.6. Чудові границі.7. неперервність.8. Властивості неперервних функцій.

Визначення функції

Якщо кожному елементу х є Х поставлений у відповідність єдиний елемент у = f (х) є У, де Х і Y-дані числові множини, і при цьому кожному елементу у є У поставлений у відповідність хоча б один елемент х є Х, то у називається функцією від х, визначеної на множині Х.

Зворотна функція

Нехай між елементами множин X і Y функція y = f (x) встановлює взаємно однозначну відповідність, тобто x є X відповідає один і тільки один його образ y = f (x) є Y і назад, для y є Y знайдеться єдиний прообраз x є X такий, що f (x) = y. Тоді функція, де y є Y, що встановлює відповідність між елементами множин Y і X, називається зворотної для функції y = f (x).

)(1 yfx −=

Визначення окола

Околом О (а) точки а називається будь-який інтервал α < x < β, навколишній цю точку, з якого, як правило, видалена сама точка а. Під околицею О (∞) символу нескінченність розуміється зовнішність будь-якого відрізка [α,β], то є О (∞) = (-∞,α) ∪ (β,+ ∞).

Визначення граничної точки

δ-околом точки а називається інтервал (а-δ, а + δ), що не містить точку а, тобто О (а, δ) = (а-δ, а) ∪ (а, а + δ).

Точку а ми будемо називати граничної точкою множини X,

якщо в будь δ-околі точки а міститься нескінченно багато точок x є X, тобто О (а) ∩ X ≠ ∅ для О (а)

Визначення границі

Число А називається границею функції f (x) в точці а (або при x→а), якщо ε > 0 існує число δ(ε) > 0 таке, що для будь-якого x є X, що задовільняє умові

0 < x – а <δ, слідує нерівність

f (x) – A< ε.

Інше визначення границі

Кажуть, що число А є межею функції f(x) при x→а, якщо для ∀ ε > 0

існує δ-околиця точки а О (а,δ) = {x| 0< |x-a|<δ}, де

δ =δ (ε), така, що для ∀ x є O (а, δ) виконується нерівністьf(x) – A < ε.

При цьому пишуть: ( ) .lim Axfax

=→

Затвердження еквівалентно наступному:

• f(x) – A < ε при x > ∆, де ∆ = ∆(ε) залежить від і за змістом визначення є достатньо великим позитивним числом.• Безліч усіх точок x, для яких

x > ∆, очевидно є симетричною околицею символу∞.

( ) Axfx

=∞→

lim

Геометрична ілюстрація

а

А

а-δ а+δ

А+ε

А-εY=f(x)

х

у

о

Наведемо ще один малюнок, що пояснює визначення границі.

а

А

А+ε

А-ε

а-δ а+δ х

у

У=f(x)

0о

Людмла, 07/19/2005

)

На цьому малюнку зображена функція, яка в точці а не має границі.

а х

у

0

Y=f(x)

Односторонні границі

•Будь-який інтервал (α, а), правим кінцем якого є точка а, називається лівою околицею точки а.

• Аналогічно будь-який інтервал (a, β), лівим кінцем якого є точка а, називається її правою околицею.


Символічно запис означає, що х прагне до а праворуч, залишаючись великим а, тобто при х > а;

• запис

• означає, що х прагне до а ліворуч, тобто при х < а.

0+→ ax

0−→ ax


будемо називати

лівосторонньою межею функції (при зліва),

- это Правосторонньою межею функції

( ) Axfax

=−→ 0

lim

ax →

( ) Axfax

=+→ 0

lim

Односторонні границі• Теорема про існування границі

• Функція у = f(х) має

• в тому і тільки тому випадку, коли існують і рівні один одному її лівобічний і правобічний границі прі.

• Tогда =

=

( ) Axfax

=→lim

ax →( )xf

ax 0lim

−→( )xf

ax 0lim

+→( ) .lim Axf

ax=

→

Нескінченно малі і нескінченно великі

Функція α(x) називається бескінечно малою при х→а, якщо

Ясно, що тоді α(x) ∠ ε для всіх

x є O(а, δ) и ∀ ε > 0. Наприклад, функція є

нескінченно малою при x→0.


Функція f(х) називаєтся бескінечно великою при якщо .

Це рівнозначно тому, що яким би не було число М > 0, найдется така окколиця О (а, δ), що для всіх

x є O (а, δ) > M.

Наприклад, бескінечно велика при x→0 .

,ax→ ( ) ∞=→

xfax

lim

( )xf−=

2

1)(x

xg


Лемма.

Якщо f(х)→∞ при х→а,

→0 при х→а.

Якщо α (x) → 0 при x→ a, то → ∞ при x → a и α (x) ≠ 0.

)(

1

xf

)(

1

xα

Властивості нескінченно малих.

Теорема 1.

Алгебраїчна сума кінцевого числа нескінченно малих при x → а функцій є функція нескінченно мала при x → а.

Теорема 2.

Твір кінцевого числа нескінченно малих при x → a функцій є нескінченно мала приx → a функція.

• Теорема 3.

Твір нескінченно малою приx→a функції на функцію, обмежену при

x → a, є нескінченно мала при x → a.

Наслідок• Ціла позитивна ступінь

нескінченно малою при x → a функції α(x) є нескінченно мала при x → a.

nx))((α

Якщо , то в силувизначення границі функції

отримуємо: f(x)-A<ε при

xє O(а,δ), що означає, що f(x) – A є нескінченно малою при

x→ a.

( ) Axfax

=→lim

Тоді, вважаючи f(x)-A=α(x), получимо: f(x) = A + α(x), де

α(x) → 0 при x → a.

Таким чином, маємо:

<=> f(x) = А+ α(x),

где α(x)→ 0 при x → a.

( ) Axfax

=→lim

Теореми про границі

Теорема.

Якщо функція f(х) = с постійна в деякій околиці точки а, то

Теорема.

Якщо f(х) маємо межу при х→а, то ця границя єдина.

( ) .lim cxfax

=→


Функція f(х) називаєтся обмеженою на даній безлічі Х, якщо існує таке позитивне число М, что |f(х)| ≤ М при всіх х єХ.

Якщо таке число М не існує, то функція f(х) називаєтся необмеженою


Лемма. Якщо функція f(х) має межу А при х→а, то вона обмежена в деякій околиці точки х = а. Теорема. Нехай існує і нехай М < f(x) < N в деякій околиці точки x = a. Тоді М ≤ А ≤ N. Позитивна функція не може мати негативного границі.

( ) Axfax

=→lim


Теорема 1.

Якщо в точці а існують границі функційf(x) і g(x), то в цій точці існує і границя суми f(x)±g(x),причому

( ) ( )( ) ( ) ( )xgxfxgxfaxaxax →→→

±=± limlimlim


Теорема 2.

Якщо в точці а існують границі функцій f (x) и g (x), то існує і границя вироблення f(x)⋅g(х), причому

[ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax →→→

⋅=⋅


Наслідок. Постійний множник можна виносити за

знак границі.


Теорема 3. Якщо в точці а існують границі функцій f(х) и g (x) і при цьому, то існує і границя приватного, причому .

.

0)(lim ≠→

xgax

)(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax→

→→

=

Приклад

Знайти .

По теоремі про межу приватного

2

15lim

2

2

−−+−

∞→ xx

xxx

.21

1

151

lim2

15lim

2

2

2

2

xx

xx

xx

xxxx −−

+−=

−−+−

∞→∞→

1)

211(lim

)15

1(lim

2

15lim

2

2

2

2

=−−

+−=

−−+−

∞→

∞→

∞→

xx

xx

xx

xx

x

x

x

Приклад

Знайти

• Перетворимо цю функцію так, щоб виділити в чисельнику і знаменнику множник , на який і розділимо далі чисельник і знаменник:

.12

lim3

2

1 xx

xxx −

+−→

.0)1(

1lim

)1)(1(

)1(lim

12lim

1

2

13

2

1=

+−=

+−−=

−+−

→→→ xx

x

xxx

x

xx

xxxxx

1−x

Приклад

Знайти

Перетворимо дану функцію, помноживши чисельник і знаменник на

.10

31lim10 −

−−→ x

xx

.31

1

)31)(10(

10

)31)(10(

91

)31)(10(

)31)(31(

10

31

+−=

+−−−=

=+−−

−−=+−−

+−−−=−

−−

xxx

x

xx

x

xx

xx

x

x

.31 +−x

.6

1

31

1lim

10

31lim

1010=

+−=

−−−

→→ xx

xxx

Приклад

Ще один приклад. Вичислити

Покладемо.

.1

1lim

4

3

1 −−

→ x

xx

12yx =

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ).3

4

1

11lim

11

111lim

11

11lim

1

1lim

1

1lim

2

2

12

2

1

2

22

13

4

14

3

1

=++++

=++−++−

=

=++−

+−=

−−

=−−

→→

→→→

yy

yy

yyy

yyy

yyy

yy

y

y

x

x

yy

yyx

Ознаки існування границі

«Теорема про двох міліціонерів» куда они

меня тащут?


Теорема (про проміжної функції).

Нехай в деякій околиці О (а) точки а функція f(x) укладена між двома функціями и , мають однаковий границя А при x → a, то є

и

Тоді функція f(x) має таку ж межу:

)(xϕ )(xψ

)()()( xxfx ψϕ ≤≤.)(lim)(lim Axx

axax==

→→ψϕ

( ) .lim Axfax

=→

Перша чудова границя

Теорема. Границя відношення синуса нескінченно малою дуги до самої дузі, вираженої в радіанах, дорівнює одиниці, тобто

.

Ця границя називають першим чудовим межею.

1sin

lim0

=→ x

xx

Перша чудова границя

Це пояснюється тим, що нескінченно мала дуга майже не встигає змінити свій напрямок, тобто викривити.

x

x

y 1sin

lim0

=→ x

xx

А

В

Друга чудова границя

Друга чудова границя:

або абоex

x

x=

+

∞→

11lim ex x

x=+

→

1

0)1(lim

( )exa xa

x=+

→)(

1

0))(1(lim

α

Приклади

Обчислимо

=

=→ x

xx

5sinlim

0=⋅

→5

5

5sinlim

0 x

xx

.5sin

lim50

=→ x

xx

Приклади

Найти Вважаючи , получимо:

=

.3

1limx

x x

+

∞→ yx

=3

=+∞→

x

x x)

31(lim =+

→

y

yy

3

0)1(lim

.)1(lim 3

31

0ey y

y=

+

→

Порівняння нескінченно малих

• Дві нескінченно малі при х→а функції α(х) и β(х) називаются нескінченно малими однакового

• порядку, якщо k, где k ≠0

При цьому пишуть: α(х) =О(β(х))

( )( ) =

→ x

xax β

αlim

Еквівалентні функції

Дві бескінечно малі х→а функції α(х) и β(х) називаются еквівалентними при х→а, якщо . Це записують так:α (x) ≈ β(x) при x→a.

1)(

)(lim =

→ x

xax βα

Функція вищого порядку

Бескінечно мала при х→а функція α(х) називається функцією вищого порядку порівняно з функцією β(х) при х→а, якщо

.

В цьому випадку при α(х) = о (β(х)) при x→a.

0)(

)(lim =→ x

xax β

α

Приклади

Наведемо деякі чудові приклади на додаток до першої і другої чудових границь.

.ln1

lim ,11

lim ,1)1ln(

lim0x00

ax

a

x

e

x

x xx

xx=−=−=

+→→→

Теорема

Теорема. Якщо при бескінечно мала , то

Приклад.

ax→)()( xx ψϕ ≈

.)(

)(lim

)(

)(lim

xf

x

xf

xaxax

ψϕ→→

=

.02

lim2

sinlim

1

)sin1ln(lim

2

0

2

02

2

0===

−+

→→→ x

x

x

x

e

xxxxx

50

Education

Границя і неперервність функції