лекция тригонометричні функції

Презентація до уроку вчителя КЗО “СЗШ №54” м. Дніпропетровська

Карповської Інни Анатоліївни16.02.2012.

1

ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇФУНКЦІЇ

2

22

3

y = sin x,

y = cos x,

їх графіки

та властивості

y1

-1

2

2

2

3 0 x

Зміна будь-якої величини за законом синуса називається гармонійним коливанням. Приклади таких коливань: коливання маятника, коливання напруги в електричній мережі, зміна струму і напруги в коливальному контурі та ін.

Практичне застосування Практичне застосування тригонометричних функційтригонометричних функцій

Ще один приклад синусоїдальних коливань – звук (гармонійне коливання повітря), що відповідає коливанню y = A*sin ωt

3

Функція – це…, за допомогою якого за…значенням незалежної

змінної з множини Х можна знайти …

значення залежної змінної з множини Y.

4

Графіком числової функції називають геометричну…, яка

складається з усіх тих і тільки тих …

координатної площини, абсциси яких дорівнюють

значенням…, а ординати – відповідним значенням…

5

Pα(x;y)

α

Означення тригонометричних Означення тригонометричних функційфункцій

cos α = x

абсцисаточки Pα

sin α = y

ординататочки Pα

X

Y

Тригонометричні функції числового аргументу: • sin (числа ) = sin (кута в радіан) y=sin• cos (числа ) = cos (кута в радіан) y=cos

P0(1;0)

6

y

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

2

2

3

0;2

c

P2P1

P4P3 Побудова графіка функції y = sin

x

P5P6 P7

P8

7

Графік функцГрафік функціїії y = sin xy = sin x

Графіком функції y = sin xє крива, яка називається

y

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

СИНУСОЇДАСИНУСОЇДА8

Синус (від лат. Синус (від лат. sinussinus)) – – вигин, вигин, кривизна.кривизна.

9

10

2

2

3

2

y

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

Область визначення D(sin x) = R

Множина значень E(sin x) = [-1; 1]

11

2

y

-y

y

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

• sin (-х) = - sin х y = sin х – непарна функція

2

α-α

• періодична функція, головний період Т=

12

2

2

3

0;2

y

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

Нулі функції (у = 0)(абсциси точок перетину з віссю

Ох): х = n, nZ

13

2

2

3

2;0

y

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

sin x > 0, якщо х (0 + 2n; +

2n), nZsin x < 0, якщо

x (+ 2n; 2 + 2n), nZ

Проміжки знакосталості

14

2

2

0;2

y

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

а) функція зростає в кожному з проміжків:

x [-/2 + 2n; /2 + 2n], nZ

б) функція спадає в кожному з проміжків:

x [/2 + 2n; 3/2 + 2n], nZ

Проміжки монотонності:

2

3

15

2

2

3

0;2

y

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

Найбільше значення у = 1 при х = /2 + n, nZ,

Найменше значення у = -1 при х = -/2 + n, nZ,

16

17

2

22

3

y1

-1

2

2

2

3 0 x

y = sin x y = cos x

18

2

22

3

-1

2

2

2

3 0 x

2

22

3

-1

2

2

2

3 0 x

y = sin x

y = cos x

19

Графік функцГрафік функції ії y = cos xy = cos xy

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

Графіком функції y = cos x

є крива, яка називаєтьсяКОКОСИНУСОЇДАСИНУСОЇДА

20

Перетворення графіків функції Перетворення графіків функції y = sin xy = sin x

y

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

Побудувати графік функції y = | sin x |

Для побудови графіка функції y = | sin x |необхідно додатну частину графіка функції y = sin x залишити незмінною, а від'ємну частину відобразити

симетрично відносно осі OX21


y

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

Побудувати графік функції y = sin | x |

Для побудови графіка функції y = sin | x |необхідно побудувати графік функції y = sin x при x

≥ 0, а для x<0 побудувати графік, який буде симетричний

для вже побудованого графіка відносно осі OY22


y

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

Побудувати графік функції y = 2 sin x

Графік функції y = k sin xможна дістати з графіка функції y = sin x за

допомогою розтягу його в k разів від осі OX, якщо k>1, і за допомогою стиснення в k разів до осі OX,

якщо 0 < k < 1 23


y

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

Побудувати графік функції y = 1/2 sin x

Графік функції y = k sin xможна дістати з графіка функції y = sin x за

допомогою розтягу його в k разів від осі OX, якщо k >1, і за допомогою стиснення в k разів до осі OX,

якщо 0 < k < 1 24


Побудувати графік функції y = sin 2x

Графік функції y = sin k xможна дістати з графіка функції y = sin x за

допомогою стиснення його в k разів до осі OY, якщо k >1, і за допомогою розтягу в k разів від осі OY, якщо

0 < k < 1

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

25

Перетворення графіків функціїПеретворення графіків функції y = sin xy = sin x

Побудувати графік функції y = sin 1/2x

Графік функції y = sin k xможна дістати з графіка функції y = sin x за

допомогою стиснення його в k разів до осі OY, якщо k >1, і за допомогою розтягу в k разів від осі OY, якщо

0 < k < 1

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

26

y

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

Побудувати графік функції 2)sin( xy

0sin,sin xxy

27

y

y

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

2

1

-2

2

22

32

22

3 0

x

xxy 2coscos Побудувати графік функції

28

№2

№3

№4

А Б В Г Д Е ЄХ Х

А Б В Г Д1 Х2 Х3 Х4 Х


29


30

А Б В Г Д Е ЄХ Х

31


32

Пар 4, п.27. Скласти таблицю “Властивості функції y = cos x”

№768 – рівень Б№774 – рівень В

Додаткове завдання - №775 (7) (+ 2 бали)

Творче завдання (за бажанням)

33

34

Практичне застосування Практичне застосування тригонометричних функційтригонометричних функцій

Синусоїда – хвилеподібна плоска крива, яка є графіком тригонометричної функції y = sinx в прямокутній системі координат. Якщо рулон паперу розрізати навскоси і розвернути його, то край паперу виявиться розрізаним по синусоїді. Цікаво, що проекція на площину гвинтової лінії свердла також буде синусоїдою.

35

2

2

3

0;2α

2

A

B

O

CD

)2

sin(cos

OCOB

DOCAOB

36


y

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

Побудувати графік функції y = sin (x + /6)

Для побудови графіка функції y = sin (x + а)необхідно графік функції y = sin x

здвинути вздовж осі OX на а одиниць вліво

37


y

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

Побудувати графік функції y = sin (x - /6)

Для побудови графіка функції y = sin (x - а)необхідно графік функції y = sin x

здвинути вздовж осі OX на а одиниць вправо

38


y

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

Побудувати графік функції y = sin x + 1

Для побудови графіка функції y = sin x + анеобхідно графік функції y = sin x

здвинути вздовж осі OY на а одиниць вгору

39


y

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

Побудувати графік функції y = sin x - 1

Для побудови графіка функції y = sin x - анеобхідно графік функції y = sin x

здвинути вздовж осі OY на а одиниць вниз

40

Перетворення графіків функціїПеретворення графіків функції y = sin xy = sin x

y

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

Побудувати графік функції y = - sin x

Для побудови графіка функції y = - sin xнеобхідно графік функції y = sin x

відобразити симетрично відносно осі OX

41


y

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

Побудувати графік функції y = sin (-x)

Для побудови графіка функції y = sin (-x)необхідно графік функції y = sin x

відобразити симетрично відносно осі OY

42

y

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

Побудувати графік функції y = 2 cos (2x – /2)

1) будуємо графік функції y = cos x2) будуємо графік функції y = cos 2x, стискаючи графік функції

y = cos x у 2 рази до вісі OY3) будуємо графік функції y = 2 cos 2x, розтягуючи графік функції

y = cos 2x у 2 рази від осі OX4) будуємо шуканий графік функції y = 2 cos 2 (x – /4), паралельно

переносячи графік функції y = 2 cos 2x вправо вздовж осі OX на відстань /4

Подамо вираз даної функції у вигляді y = 2 cos 2 (x – /4)

43

Немає жодної області математики, яка коли - небудь не зможе бути застосована до явищ дійсного світу.

М. Лобачевський

44

45

Властивості функції

y=sin x, y=cos x.

D (y) E (y) Парність/непарність Періодичність Знаки функції

46

2

22

3

1

-1

2

2

2

3 0 x

y = sin x

47

y

1

-1

2

22

32

2

2

3 0 x

48

Education

лекция тригонометричні функції