НОВІ ЗАСТОСУВАННЯ

СТАТИСТИЧНИХ МЕТОДІВ В

ПРИКЛАДНИХ ДОСЛІДЖЕННЯХ

Володимир Бахрушин

Професор, д.ф.-м.н., академік АН вищої школи України

Іван Дудко, аспірант

Vladimir.Bakhrushin@gmail.com

Визначення критичних значень критерію типу Колмогорова -

Смирнова

Постановка задачі

На практиці часто виникає необхідність ідентифікації моделей розподілу. При цьому найчастіше ставлять завдання підібрати модель із заданого класу, яка б найкраще описувала наявні емпіричні дані. Ця процедура складається з трьох етапів:1. Формулювання гіпотези про закон (модель) розподілу, що перевіряється;2. Оцінювання параметрів обраної моделі;3. Перевірка адекватності моделі за допомогою певних статистичних критеріїв.

Варіанти постановки задачі

Оцінити відповідність моделі із заздалегідь заданими параметрами наявним емпіричним даним (критерій Колмогорова-Смирнова);

Оцінити відповідність наявним емпіричним даним моделі з параметрами, які визначено за вибірковими моментами (для нормального розподілу у цьому випадку використовують критерій Ліллієфорса);

Оцінити відповідність наявним емпіричним даним моделі з параметрами, що визначають з умови мінімуму деякого показника якості моделі, наприклад розрахункового значення критерію типу Колмогорова-Смирнова.

Методика

1. Генеруємо велику кількість вибірок, що підпорядковуються заданому закону розподілу.

2. Для кожної вибірки визначаємо вибіркові параметри та розрахункове значення критерію.

3. Використовуючи отримані вибіркові параметри як початкове наближення, уточнюємо їх шляхом мінімізації розрахункових значень критерію.

4. Будуємо емпіричну функцію розподілу отриманих розрахункових значень критерію.

5. Квантилі відповідних рівнів цієї функції розподілу складають таблицю шуканих значень статистики типу Колмогорова-Смирнова.

Критичні значення

*min

p min

*

nD

2, N ,k Exp ,kW 2

, LN 2, SKN

Деякі публікації з проблеми1. Бахрушин В.Е. Проблемы идентификации моделей распределения случайных величин с применением современного программного обеспечения // Успехи современного естествознания. – 2011. – № 11 – С. 50 – 54.

2. Дудко І.О., Бахрушин В.Є. Використання методу k-середніх для ідентифікації моделей неоднорідних розподілів випадкових величин // Вісник Національного технічного університету "Харківський політехнічний інститут". Збірник наукових праць. Серія: Інформатика та моделювання. –Харків: НТУ "ХПІ". – 2012. – № 62 (968) – С. 52 − 57;

3. Бахрушин В.Є., Дудко І.О. Уточнення моделей нормального розподілу на основі мінімізації критерію Колмогорова-Смирнова // Системні технології. Регіональний міжвузівський збірник наукових праць. − Випуск 5 (82). − Дніпропетровськ, 2012. − С. 95 −103.

4. Бахрушин В.Є., Дудко І.О. Уточнення моделей нормального розподілу на основі мінімізації критерію Колмогорова-Смирнова // Системні технології. Регіональний міжвузівський збірник наукових праць. − Випуск 2 (91). − Дніпропетровськ, 2014. − С. 53 −58.

Автоматизація аналізу складних спектрів

Постановка завдання

Необхідність ідентифікації моделей складних спектрів виникає у завданнях дослідження спектрів фотолюмінесценції, рентгенівської фотоелектронної спектроскопії, Мессбауера, внутрішнього тертя, релаксаційної спектроскопії глибоких рівнів у напівпровідниках тощо. Модель спектра часто можна подати у вигляді:

0

1

n

i

i

F x f b , x f a , x

Основні етапи

1. Задання вигляду функцій та;

2. Вибір кількості піків (можна почати з 1);3. Розв'язання задачі мінімізації цільового

функціоналу.4. Перевірка адекватності моделі.5. Якщо модель неадекватна, збільшення

кількості піків та повернення до п. 2.

0f b , x

if a , x

Приклади моделей спектрів

Внутрішнє тертя:

Рентгенівська фотоелектронна емісія

n

i i

ii

TTR

EcoshQTQ

1 0

11

0

1 11

hf

kTlnRTE

iii

00

n

iii

ii

pxp

ppp,xf

12

3

2

2

2

21

Критерії адекватності1. Нормальний розподіл залишків моделі.

2. Рівність нулю середнього значення залишків.

3. Випадковість залишків (відсутність автокореляції першого порядку).

4. Близькість дисперсії залишків до дисперсії похибки експериментальних даних.

5. Квазиунімодальність цільового функціоналу (незалежність результату розкладу від початкового наближення з точністю до перенумерації піків).

Початкове наближення спектру РФЕ

Результат аналізу

Деякі публікації з проблеми1. Бахрушин В.Е. , Шумада Р.Я. Идентификация математических моделей сложніх релаксационніх спектров // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем / Под ред. Ю.М. Соломенцева, Б.Н. Четверушкина, А.В. Боголюбова и др. – М.: Янус-К, 2009. – Т. 2. – С. 265 – 273.

2. Бахрушин В.Є., Чиріков А.Ю. Аналіз релаксаційних властивостей ОЦК сплавів впровадженян в області релаксації Снука // Фізика і хімія твердого тіла. — 2006. — 7, N 4. — С. 656-659.

3. Бахрушин В.Є., Чиріков О.Ю. Моделі та механізми механічної релаксації, пов’язаної з перебудовою домішково-дефектної підсистеми кристалів. – Запоріжжя: ГУ “ЗІДМУ”, 2004. – 140 с.

4. Бахрушин В.Е., Чириков А.Ю. Анализ релаксационных спектров внутреннего трения твердых растворов на основе ниобия // Высокочистые металлические и полупроводниковые материалы. Сборник докладов 9 Международного симпозиума/ Под ред. В.М. Ажажи, В.И. Лапшина, И.М. Неклюдова, В.М. Шулаева. Харьков: ННЦ ХФТИ, 2003.- С. 77-82

Статистичний аналіз якості тестів ЗНО

Альфа Кронбаха (надійність тестів)

Стандартні похибки підсумкових балів (% до максимально

можливого балу)2008 2009 2010 2011 2012 2013

УМЛ 5,4 5,2 5,2 5,2 5,1 5,1

ІУ – 5,8 5,5 5,3 5,3 5,2

АМ – 7,6 5,2 5,4 5,4 5,4

М 6,4 6,5 6,7 6,4 7,2 6,4

Г – 5,3 5,1 5,1 5,6 5,1

Б 5,8 5,6 5,7 6,0 5,7 5,7

Ф – 6,5 7,0 6,0 6,6 6,8

Х 5,6 5,6 5,4 5,2 5,5 5,6

Довірчий інтервал (УМЛ, 2012)

Складність тестів

Складність тестів (ЗНО-2011)

Складність тестів (ЗНО-2011)

Складність тестів (ЗНО-2011, математика)

Коефіцієнти кореляції завдань

Коефіцієнти кореляції (ЗНО-2011)

Коефіцієнти кореляції (ЗНО-2011)

Взаємозв'язок показників

Показники якості тестів з фізикиПоказник Рік

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

Альфа Кронбаха 0,82 0,81 0,80 0,86 0,80 0,83 0,81

Середній бал 23,5 35,9 26,5 32,8 29,8 32,0 31,2

Стандартне відхилення

16,1 17,2 14,6 18,7 13,4 16,0 15,6

Середня складність

завдань

21,5 34,3 26,4 34,5 31,3 32,8 32,5

Середня розподільна

здатність завдань

37 38 32 42 30 35 32

Показники якості тестів з математики

Показник Рік

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

Середній бал 28,9 20,1 25,7 36,2 30,7 37,9 33,6

Стандартне відхилення

20,9 14,4 20,5 21,2 19,3 20,7 18,6

Середня складність

завдань (%)

29,0 29,0 33,9 38,0 31,6 38,8 33,7

Середня розподільна

здатність завдань (%)

52 39 53 53 44 48 47

Альфа Кронбаха

0,92 0,80 0,90 0,90 0,89 0,88 0,88

Складність завдань тестів з фізики, 2013

Середня складність всіх завдань 31,3

Завдання з вибором відповіді 37,0

Завдання на встановлення відповідності 37,8

Завдання з короткою відповіддю 7,3

Для завдань з вибором відповіді за розділами

Механіка 39,5

Молекулярна фізика та термодинаміка 30,3

Електрика та магнетизм 35,6

Коливання та хвилі. Оптика 38,2

Квантова фізика. Елементи теорії відносності 48,0

Складність завдань тестів з математики, 2013

Середня складність всіх завдань 31,6

Завдання з вибором відповіді 37,1

Завдання на встановлення відповідності 41,8

Завдання з короткою відповіддю 7,3

Для завдань з вибором відповіді за розділами

Числа і вирази 47,4

Рівняння і нерівності 31,2

Функції 21,9

Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики

23,5

Планіметрія 44,1

Стереометрія 35,7

Коефіцієнти кореляції завдань тестів з фізики, 2013

Середній коефіцієнт кореляції всіх завдань 0,28

Завдання з вибором відповіді 0,24

Завдання на встановлення відповідності 0,38

Завдання з короткою відповіддю 0,37

Для завдань з вибором відповіді за розділами

Механіка 0,31

Молекулярна фізика та термодинаміка 0,23

Електрика та магнетизм 0,19

Коливання та хвилі. Оптика 0,24

Квантова фізика. Елементи теорії відносності 0,28

Коефіцієнти кореляції завдань тестів з математики, 2013

Середній коефіцієнт кореляції всіх завдань 0,43

Завдання з вибором відповіді 0,40

Завдання на встановлення відповідності 0,61

Завдання з короткою відповіддю 0,48

Для завдань з вибором відповіді за розділами

Числа і вирази 0,43

Рівняння і нерівності 0,40

Функції 0,37

Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики

0,38

Планіметрія 0,36

Стереометрія 0,45

Деякі публікації з проблеми1. Бахрушин В.Є. Статистичний аналіз тестів ЗНО 2009 – 2011. // В ища освіта України. Тематичний випуск "Вища освіта України в контексті інтеграції до Європейського освітнього простору" / Ред. Кремень В.Г., Савченко О.Я., Маноха О.П. та ін. – 2011. - Додаток 2 до № 3. Т. 3 (28) – С. 29 – 35.

2. Бахрушин В. Наскільки якісними є тести ЗНО // Портал освітня політика. 25.09.2013.

3. Бахрушин В. Якість тестів ЗНО з математики // Портал освітня політика. 11.03.2014.

4. Bakhrushin V.E., Gorban A.N. Test technologies in education: The problem of test quality // Ukr. J. Phys. Opt. 2011, V12, Suppl. 2 Sc. Horiz. –S.1– 10.

5. Бахрушин В.Є., Горбань А.Н. Тестові технології в освіті: Проблеми якості тестів // Наукові записки Академії наук вищої школи України. –2011. – Т. 6. – С. 24 – 34.

Відбір абітурієнтів до ВНЗ

Вплив методики підрахунку конкурсного балу на результати

відбору

Існуюча методика

Зважена сума

Відбір за головним критерієм

Відбір за головним критерієм

Максимінне оцінювання

Максимаксне оцінювання

Деякі публікації з проблеми1. Горбань О.М., Бахрушин В.Є. Основи теорії систем та системного аналізу: Навчальний посібник. - Запоріжжя: ГУ "ЗІДМУ", 2004. - 204 с.

2. Бахрушин В.Е. Методы оптимальных решений.

3. Бахрушин В. Застосування освітніх вимірювань при рейтингуванні абітурієнтів ВНЗ та вирішенні деяких інших завдань оцінювання якості освіти // Портал освітня політика. 06.11.2013.

Дякую за увагу

Vladimir.Bakhrushin@gmail.com