Embed Size (px)
Citation preview
Частично упорядоченные множества
Частично упорядоченное множество — это пара𝑆, ≼
где • 𝑆 — произвольное множество (носитель),• ≼ — отношение частичного порядка.Отношение ≼ должно быть• антисимметричным:
∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆 𝑎 ≼ 𝑏 ∧ 𝑏 ≼ 𝑎 ⇒ 𝑎 = 𝑏• рефлексивным:
∀𝑎 ∈ 𝑆 𝑎 ≼ 𝑎• транзитивным:
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆 𝑎 ≼ 𝑏 ∧ 𝑏 ≼ 𝑐 ⇒ 𝑎 ≼ 𝑐
Частично упорядоченные множества
Примеры ч. у. м.:
• Множества ℕ, ℤ,ℚ,ℝ относительно обычного сравнения чисел.
• Множество ℕ относительно делимости.
• Множество слов в конечном алфавите относительно лексикографического сравнения.
• Булеан (семейство всех подмножеств конечного множества) с отношением вложенности.
Цепи и антицепи
Цепь в ч. у. м. — это последовательность элементов 𝑎1, …, где 𝑎𝑖 ≼ 𝑎𝑖+1для каждого 𝑖.
Антицепь в ч. у. м. — это подмножество попарно несравнимых элементов.
Элемент 𝑎 непосредственно предшествует элементу 𝑏, если 𝑎 ≼ 𝑏 и не существует 𝑐, такого, что 𝑎 ≺ 𝑐 ≺ 𝑏.
Элемент максимальный, если в ч. у. м. нет элементов, больших него.
Элемент наибольший, если он максимальный и сравнимый с любым элементом ч. у. м.
Цепи и антицепи
Так схематично выглядят цепи и антицепи:
Каждая цепь и антицепь имеют не больше одного общего элемента.
Обращение Мёбиуса на ч. у. м.
Будем рассматривать только те ч. у. м., в которых ∀𝑏 есть лишь конечное число элементов 𝑎 таких, что 𝑎 ≼ 𝑏.
Функция Мёбиуса на ч. у. м. определяется только на парах сравнимых элементов:
𝜇 𝑎, 𝑏 =
1, если 𝑎 = 𝑏
−
𝑐: 𝑎≼𝑐≺𝑏
𝜇 𝑎, 𝑐 , если 𝑎 ≺ 𝑏
Обращение Мёбиуса на ч. у. м.
𝜇 𝑎, 𝑏 =
1, если 𝑎 = 𝑏
−
𝑐: 𝑎≼𝑐≺𝑏
𝜇 𝑎, 𝑐 , если 𝑎 ≺ 𝑏
Теорема (Об обращении Мёбиуса на ч. у. м.).Пусть для каждого 𝑥 функция 𝑓 выражается через 𝑔 по формуле 𝑓 𝑥 = 𝑦≼𝑥 𝑔 𝑦 .
Тогда справедлива формула
𝑔 𝑥 =
𝑦≼𝑥
𝑓 𝑦 ⋅ 𝜇 𝑦, 𝑥
Лемма о функции Мёбиуса
Лемма.При любых 𝑧, 𝑥 таких, что 𝑧 ≼ 𝑥, выполнено
𝑦: 𝑧≼𝑦≼𝑥
𝜇 𝑦, 𝑥 = 1, если 𝑧 = 𝑥0, если 𝑧 ≺ 𝑥
Доказательство:
Если 𝑧 = 𝑥, то
𝑦: 𝑧≼𝑦≼𝑥
𝜇 𝑧, 𝑥 = 𝜇 𝑥, 𝑥 = 1
Лемма о функции Мёбиуса
Лемма. При любых 𝑧, 𝑥 таких, что 𝑧 ≼ 𝑥, выполнено
𝑦: 𝑧≼𝑦≼𝑥
𝜇 𝑦, 𝑥 = 1, если 𝑧 = 𝑥0, если 𝑧 ≺ 𝑥
Доказательство:
Пусть теперь 𝑧 ≺ 𝑥. Поведём индукцию по макс. # элементов в цепях вида 𝑧 ≼ ⋯ ≼ 𝑥.Обозначим его через 𝜏 𝑧, 𝑥 .
Если 𝜏 𝑧, 𝑥 = 2, т. е. 𝑧 непосредственно предшествует 𝑥, то
𝑦: 𝑧≼𝑦≼𝑥
𝜇 𝑦, 𝑥 = 𝜇 𝑧, 𝑥 + 𝜇 𝑥, 𝑥 = −𝜇 𝑧, 𝑧 + 𝜇 𝑥, 𝑥 = 0
Далее будем считать, что 𝜏 𝑧, 𝑥 ≥ 3.
Продолжение доказательства леммы о функции Мёбиуса
Пусть 𝜏 𝑧, 𝑥 ≥ 3. Тогда
𝑦: 𝑧≼𝑦≼𝑥
𝜇 𝑦, 𝑥 = 𝜇 𝑥, 𝑥 +
𝑦: 𝑧≼𝑦≺𝑥
−
𝑢: 𝑦≼𝑢≺𝑥
𝜇 𝑦, 𝑢 =
= 1 −
𝑦,𝑢: 𝑧≼𝑦≼𝑢≺𝑥
𝜇 𝑦, 𝑢 = 1 −
𝑢: 𝑧≼𝑢≺𝑥
𝑦: 𝑧≼𝑦≼𝑢
𝜇 𝑦, 𝑢 =
= 1 − 𝜇 𝑧, 𝑧 −
𝑢: 𝑧≺𝑢≺𝑥
𝑦: 𝑧≼𝑦≼𝑢
𝜇 𝑦, 𝑢
=0 по предп. инд.
= 0
Доказательство формулы обращения Мёбиуса
𝑦: 𝑦≼𝑥
𝑓 𝑦 ⋅ 𝜇 𝑦, 𝑥 =
𝑦: 𝑦≼𝑥
𝑧: 𝑧≼𝑦
𝑔 𝑧 𝜇 𝑦, 𝑥 =
𝑦: 𝑦≼𝑥
𝑧: 𝑧≼𝑦
𝑔 𝑧 𝜇 𝑦, 𝑥 =
=
𝑦,𝑧: 𝑧≼𝑦≼𝑥
𝑔 𝑧 𝜇 𝑦, 𝑥 =
𝑧: 𝑧≼𝑥
𝑦: 𝑧≼𝑦≼𝑥
𝑔 𝑧 𝜇 𝑦, 𝑥 =
=
𝑧: 𝑧≼𝑥
𝑔 𝑧
𝑦: 𝑧≼𝑦≼𝑥
𝜇 𝑦, 𝑥 = 𝑔 𝑥 +
𝑧: 𝑧≺𝑥
𝑔 𝑧
𝑦: 𝑧≼𝑦≼𝑥
𝜇 𝑦, 𝑥 =
= 𝑔 𝑥 +
𝑧: 𝑧≺𝑥
𝑔 𝑧
𝑦: 𝑧≼𝑦≼𝑥
𝜇 𝑦, 𝑥
=0
= 𝑔 𝑥
Вывод арифметической теоремы из общей теоремы об обращении«Теоретико-числовая» функция Мёбиуса:
𝜇 𝑛 =
1, если 𝑛 = 1
0, если ∃𝑝 т. что 𝑝2|𝑛
−1 𝑠, если 𝑛 = 𝑝1 ⋅ … ⋅ 𝑝𝑠
«Теоретико-числовая» теорема об обращении:Если для каждого 𝑛
𝑓 𝑛 =
𝑘|𝑛
𝑔 𝑘 ,
то для каждого 𝑚
𝑔 𝑚 =
𝑙|𝑚
𝑓 𝑙 ⋅ 𝜇 𝑚 𝑙
Вывод арифметической теоремы из общей теоремы об обращении
Рассмотрим ч. у. м. натуральных чисел, с отношением делимости в качестве частичного порядка.
Докажем индукцией по 𝑥 𝑦 соотношение 𝜇 𝑦, 𝑥 = 𝜇 𝑥 𝑦 .
• 𝜇 𝑥, 𝑥 = 1 = 𝜇 𝑥 𝑥
• Пусть 𝑦|𝑥 и 𝑦 < 𝑥. Тогда 𝑥 = 𝑦 ⋅ 𝑝1𝛼1 …𝑝𝑘
𝛼𝑘 для некоторых простых 𝑝𝑖и положительных 𝛼𝑖.Выполним индуктивный переход…
Вывод арифметической теоремы из общей теоремы об обращении
• 𝑥 = 𝑦 ⋅ 𝑝1𝛼1 …𝑝𝑘
𝛼𝑘 для некоторых простых 𝑝𝑖 и положительных 𝛼𝑖.
𝜇 𝑦, 𝑥 = −
𝑧: 𝑦∣𝑧 и 𝑧∣𝑥 и 𝑧<𝑥
𝜇 𝑦, 𝑧 = −
𝑧: 𝑦∣𝑧 и 𝑧∣𝑥 и 𝑧<𝑥
𝜇 𝑧 𝑦 =
= −
𝛽1≤𝛼1,…,𝛽𝑘≤𝛼𝑘
𝛽1,…,𝛽𝑘 ≠ 𝛼1,…,𝛼𝑘
𝜇 𝑝1𝛽1 …𝑝𝑘
𝛽𝑘 =
= −
𝛽1,…,𝛽𝑘∈ 0,1 𝑘
𝛽1,…,𝛽𝑘 ≠ 𝛼1,…,𝛼𝑘
𝜇 𝑝1𝛽1 …𝑝𝑘
𝛽𝑘
Вывод арифметической теоремы из общей теоремы об обращении• 𝑥 = 𝑦 ⋅ 𝑝1
𝛼1 …𝑝𝑘𝛼𝑘 для некоторых простых 𝑝𝑖 и положительных 𝛼𝑖. Имеем
𝜇 𝑦, 𝑥 = −
𝛽1,…,𝛽𝑘∈ 0,1 𝑘
𝛽1,…,𝛽𝑘 ≠ 𝛼1,…,𝛼𝑘
𝜇 𝑝1𝛽1 …𝑝𝑘
𝛽𝑘
• Если 𝛼1 = ⋯ = 𝛼𝑘 = 1, то
𝜇 𝑦, 𝑥 = −
𝑖=0
𝑘−1𝑘
𝑖⋅ −1 𝑖 = −1 𝑘 = 𝜇 𝑥 𝑦
• Если же некоторое 𝛼𝑖 > 1, то
𝜇 𝑦, 𝑥 = −
𝑖=0
𝑘𝑘
𝑖⋅ −1 𝑖 = 0 = 𝜇 𝑥 𝑦
Функция Мёбиуса на булеане
• Вычислим функцию Мёбиуса для ч. у. м. 2 1,…,𝑛 , ⊆ .
• Докажем индукцией по 𝐵 , что ∀𝐴, 𝐵 таких, что 𝐴 ⊆ 𝐵,
выполнено 𝜇 𝐴, 𝐵 = −1 𝐵 − 𝐴 = −1 𝐵∖𝐴 .
• База очевидна.
• Индуктивный переход:
𝜇 𝐴, 𝐵 = −
𝐶: 𝐴⊆𝐶⊂𝐵
𝜇 𝐴, 𝐶 = −
𝐶: 𝐴⊆𝐶⊂𝐵
−1 𝐶 − 𝐴 =
= −
𝑘=0
𝐵 − 𝐴 −1𝐵 − 𝐴
𝑘−1 𝑘 = −1 𝐵 − 𝐴
Формула включения-исключенияследует из формулы обращения
𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪⋯∪ 𝐴𝑛 = 𝐴1 +⋯+ 𝐴𝑛 − 𝐴1 ∩ 𝐴2 − 𝐴1 ∩ 𝐴3 −
⋯− 𝐴𝑛−1 ∩ 𝐴𝑛 + 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 +⋯+ −1 𝑘 ⋅ 𝐴𝑖1 ∩⋯∩ 𝐴𝑖𝑘 +
⋯+ −1 𝑛 ⋅ 𝐴1 ∩⋯∩ 𝐴𝑛
𝐴1 𝐴2
𝐴𝑛 …
Упражнение. Вывести формулу в.-и., используя обращение Мёбиуса на булеане.
