ССфера и кълбо. Взаимно фера и кълбо. Взаимно положение на сфера и равнина и положение на сфера и равнина и на две сфери. на две сфери. Лице на сфера и Лице на сфера и

обем на кълбо.обем на кълбо.

12 12 класклас

1.1. Сфера и кълбо – определения и понятияСфера и кълбо – определения и понятия

2.2. Взаимно положение на сфера и равнинаВзаимно положение на сфера и равнина

3.3. Взаимно положение на две сфериВзаимно положение на две сфери

4.4. Лице на сфера и обем на кълбоЛице на сфера и обем на кълбо

5.5. ЗадачиЗадачи

План на урокаПлан на урока

1. Сфера и кълбо - 1. Сфера и кълбо - определенияопределенияСфера се нарича повърност, състояща се от

множеството на всички точки във пространството, разположени на еднакво разстояние от дадена точка – нейния център.

Кълбо се нарича нарича тялото ограничено от сферата, то включва множеството от точките на сферата и всичките и вътрешни точки.

Сферата е ротационна повърхнина получена от въртенето на една полуокръжност около нейния диаметър.

Ако разстоянието на точка от пространството до центъра на сферата е по-малко от радиуса и, точката се нарича вътрешна за сферата

диаметър

радиус

Център кълбото

(сферата)

Сфера и кълбо - Сфера и кълбо - понятияпонятия

Сфера и кълбо - Сфера и кълбо - понятияпонятияХорда се нарича отсечка, краищата на която

принадлежат на сферата.

Секателна се нарича права, която пресича сферата в две точки.

Допирателна се нарича права, която има със сферата, само една обща точка.

Диаметър се нарича хорда на сферата, която минава през нейния център.

2. Взаимно положение на 2. Взаимно положение на сфера и равнина сфера и равнина

Ако разстоянието от центъра на сферата до равнината е

по – малко от нейния радиус,

то сечението на сферата с равнината

е окръжност, а сечението на кълбото

с равнината е кръг.

d < R. Тогава R² – d² > 0

X

Z

O

R

d < R

Y 1

.

2. Взаимно положение на 2. Взаимно положение на сфера и равнина сфера и равнина

Ако разстоянието от центъра на сферата до равнината е

равно на нейния радиус,

то сферата и равнината имат точно една обща точка.

d = R. Тогава R² – d² = 0

2.

X

Y

Z

O

R = d

2. Взаимно положение на 2. Взаимно положение на сфера и равнина сфера и равнина

3.

X

Y

Z

O

d > R

Ако разстоянието от центъра на сферата до равнината е

по – голямо от нейния радиус,

то сферата и равнината нямат общи точки.

d > R. Тогава R² – d² < 0

Всяко сечение на кълбото с равнина е кръг. Ортогоналната проекция на центъра на кълбото върху секущата равнина съвпада с центъра на този кръг.

Дадено:

Да се докаже :

1

,

кълбо O R

секуща равнина

ОО

1

че сечението е кръг

О център на кръга

Теорема 1Теорема 1

Доказателство: Да разгледаме правоъгълния триъгълник, АОО1

върховете на който се явяват центъра на къбото, пресечната точка на перпендикуляра към равнината и равнината и произволна точка от сечението. RОА dOO 1

2

1

2

1

2 AOOOAO 2

1

22 AOdR 22

1 dRAO

constAO 1

Следствие: Ако е известен радиусът на кълбото и разстоянието от центъра му до равнината на сечението, то радиусът на сечението се изчислява по Пигаровата теорема.

222

1 RdКО

rdRKO 22

1

r радиус на сечението

Колкото е по-малко разстоянието от от центъра на кълбото до равнинатата, толкова е по-голям радиусът на сечението.

22 dRr

11 OOd

22 OOd

21 rr 21 dd

Най - голям радиус сечението има, когато равнината преминава през центъра на кълбото. Кръгът, получен в този случай, се нарича голям кръг. Големият кръг разделя кълбото на две полукълба.

Сечението на сфера и равнина, която минава през центъра на сферата, се нарича голяма окръжност на сферата.

ОпределениеОпределение

а) Ако две кълба или сфери имат само една обща точка, то казваме, че те се допират. Тяхната обща допирателна равнина е перпендикулярна на линията свързваща центровете им (правата, съединяваща центровете на двете сфери).

3. Взаимно положение на 3. Взаимно положение на две сферидве сфери

Допирането на сферите (кълбата) може да бъде както вътрешно, така и външно.

б) Двете сфери се пресичат по окръжност, която лежи в равнина, перпендикулярна на правата съединяваща центровете им.

R1 - R2 < d < R1+R2

в) Двете сфери са концентрични, когато центровете им съвпадат. d = 0

г) Двете сфери нямат обща точка, когато

d > R1+R2.

Две сфери имащи еднакъв радиус, равен на 5 см, се пресичат, а разстоянието между центровете им е 8 см. Намерете радиуса на пресечната окръжност на сферите. За целта е необходимо да разгледаме сечение, преминаващо през центъра на сферите.

? 3

4. Лице на сфера и обем 4. Лице на сфера и обем на кълбона кълбо

24S RТеорема 2Теорема 2Лицето Лицето SS на сфера с радиус на сфера с радиус RR е е

Теорема Теорема 33Обемът Обемът VV на кълбо с радиус на кълбо с радиус RR е е

34

3V R

ЗАДАЧА. В куб e вписано кълбо. Намерете отношението на лицето на повърхноста куба и кълбото.

2аA

ВC

D

D1

A1

В1 C1

Сфери и кълбета Кълбо и сфера

Полезни връзкиПолезни връзки