Embed Size (px)
Citation preview
Α 3.3 Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος Γ΄ Γυμνασίου
ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1
Οι ευθείες:
ε1 : 2x - 3y = -14
ε2 : x + y = -2
ε3 : 3x - y = 14
τέμνονται έξω από το χαρτί σχεδίασης. Μπορείτε να βρείτε τις συντεταγμένες των κοινών σημείων τους;
Μέθοδοι Αλγεβρικής Επίλυσης
Μέθοδος Αντικαταστάσεως
Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών
Μέθοδος Αντικαταστάσεως Επιλέγουμε τη μεταβλητή που έχει τον πιο απλό
συντελεστή (1 ή -1 αν υπαρχει).
Λύνουμε ως προς τη μεταβλητή αυτή, την μία εξίσωση.
Αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση, που γίνεται εξίσωση ως προς έναν άγνωστο.
Και από εδώ και πέρα τα πράγματα απλουστεύονται κατά πολύ…
Παράδειγμα…
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2Μέθοδος Αντικαταστάσεως
3x – 5y = – 1
x + 2y = 7
3x – 5y = – 1
x = 7 – 2y ή
Ποιος είναι ο πιο εύχρηστος συντελεστής;
ή
Άρα λύνουμε τη δεύτερη εξίσωση ως
προς x
Μέθοδος Αντικαταστάσεως
3x – 5y = – 1
x + 2y = 7
3x – 5y = – 1
x = 7 – 2y ή ή
3(7 – 2y) – 5y = – 1
x = 7 – 2y ή
Αντικαθιστούμε το x στην πρώτη εξίσωση
Μέθοδος Αντικαταστάσεως
3x – 5y = – 1
x + 2y = 7
3x – 5y = – 1
x = 7 – 2y ή ή
3(7 – 2y) – 5y = – 1
x = 7 – 2y ή
21 – 6y – 5y = – 1
x = 7 – 2y ή
21 – 11y = – 1
x = 7 – 2y ή – 11y = – 22
x = 7 – 2y ή
Λύνουμε την πρώτη εξίσωση ως προς y
Μέθοδος Αντικαταστάσεως
3x – 5y = – 1
x + 2y = 7
3x – 5y = – 1
x = 7 – 2y ή ή
3(7 – 2y) – 5y = – 1
x = 7 – 2y ή
21 – 6y – 5y = – 1
x = 7 – 2y ή
21 – 11y = – 1
x = 7 – 2y ή – 11y = – 22
x = 7 – 2y ή
y = 2
x =
Αντικαθιστούμε την τιμή που βρίσκουμε για το y στην
δεύτερη εξίσωση και υπολογίζουμε το x.
Μέθοδος Αντικαταστάσεως
3x – 5y = – 1
x + 2y = 7
3x – 5y = – 1
x = 7 – 2y ή ή
3(7 – 2y) – 5y = – 1
x = 7 – 2y ή
21 – 6y – 5y = – 1
x = 7 – 2y ή
21 – 11y = – 1
x = 7 – 2y ή – 11y = – 22
x = 7 – 2y ή
y = 2
x = 7 – 22
Μέθοδος Αντικαταστάσεως
3x – 5y = – 1
x + 2y = 7
3x – 5y = – 1
x = 7 – 2y ή ή
3(7 – 2y) – 5y = – 1
x = 7 – 2y ή
21 – 6y – 5y = – 1
x = 7 – 2y ή
21 – 11y = – 1
x = 7 – 2y ή – 11y = – 22
x = 7 – 2y ή
y = 2
x = 7 – 22 ή
y = 2
x = 3 δηλ (x, y) = (3, 2)
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών
Χρησιμοποιώντας ιδιότητες ισοτήτων, πολλαπλασιάζουμε τις δύο εξισώσεις με τέτοιους συντελεστές ώστε προσθέτοντας τις εξισώσεις κατά μέλη να απαλείφεται ο ένας άγνωστος.
Να υπολογίζετε το ΕΚΠ των συντελεστών της υπό απαλοιφή μεταβλητής και όχι το γινόμενό τους.
Παράδειγμα…
Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών
24x +35y = 2
8x – 7y = 38 ή
(-1) 3
–24x – 35y = – 2
24x – 21y = 114
– 56y = 112 ή
Και τώρα ας διώξουμε τα x
ΕΚΠ(24,8) = 24
Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών
24x +35y = 2
16x – 14y =76 ή÷2
24x +35y = 2
8x – 7y = 38 ή
(-1) 3
–24x – 35y = – 2
24x – 21y = 114
– 56y = 112 ή
ή 256
112y
Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών
24x +35y = 2
16x – 14y =76 ή÷2
24x +35y = 2
8x – 7y = 38 ή
(-1) 3
–24x – 35y = – 2
24x – 21y = 114
– 56y = 112 ή
256
112y
Αντικαθιστουμε το
ψ σε μια από τις δυο εξισωσεις για
να βρουμε το χ
8x – 7(-2) = 38 ή
8χ+14 = 38 ή 8χ = 38-14 ή 8χ = 24 ή χ = 24/8
Άρα η λύση του συστήματος είναι (x, y) = (3, -2)
3x
ΕΦΑΡΜΟΓΗ
ΑΝΟΙΞΤΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: ΑΝΤΙΘΕΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ.ggb
ΑΣΚΗΣΕΙΣ:
ή17x + 19y = -2 6x + 38y = -32
(-2) 1
–34x –38y = 4
6x + 38y = –32
– 28x = – 28
ή
ΕΚΠ(19,38) = 38
Και τώρα ας διώξουμε τα
y
1. Να λυθεί το σύστημα:
και με αντικατάσταση στη δεύτερη εξίσωση έχουμε
6 1 + 38y = -32
Οπότε ψ= -1
x=1
8x + 15y = 9 7x + 10y = 11
Άρα η λύση του συστήματος είναι (x, y) = (3, -1)
(-2)(3)ή
-16x - 30y = -18 21x + 30y = 33 -----------------------
ή
5x = 15 ή x = 15/5 = 3και τότε έχουμε8 3 + 15y = 9 24 + 15y = 915y = 9 – 2415y = -15y = -15/15 = -1
2. Να λυθεί το σύστημα:
Το δύσκολο σε αυτό το σύστημα είναι οι
μεγάλοι συντελεστές γι΄ αυτό προτιμάμε την
μέθοδο…
ΤΕΛΟΣ
