موقع ملزمتي - ملزمة مراجعة جبر للصف الثاني الثانوي الترم الأول علمي

)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ

١

: تعریف الدالة تسمى دالةصص الى سس مجموعتین غیر خالیتین فإن العالقة من صص ، سس إذا كانت

صص بعنصر واحد فقط من عناصر سس إذا ارتبط كل عنصر من عناصر ) س(د= أو ص صص C سس: و تكتب د

: نعبر عن الدالة بطریقتین صص C سس: د ) بیان الدالة ( بة كمجموعة من االزواج المرت) ١( ) س(د= ص ) :الصور التى تأخذھا الدالة ( بقاعدة ریاضیة تسمى قاعدة الدالة ) ٢(

:المجال و المجال المقابل و المدى : من الشكل المقابل لدالة ما : المجال

اتجیر س بحیث یكـون النـر التى یأخذھا المتغاصمجموعة العنھو

} ٤ ، ٣ ، ٢، ١{ = سس " .عـدد حقیقى " كمیة معرفة )الفترة المقابلة للشكل البیانى على محور السینات( و تكون قیمھ على محور السینات

}٩ ، ٨ ، ٧ ، ٦ ، ٥{ = صصھو مجموعة األعداد التى تأخذھا : المجال المقابل

} ٩ ، ٨ ، ٦{ : المدى

صص فى سسصر مجموعة صور عنا ) العناصر فى ص المرتبطة بعناصر س (

ھو مجموعة العناصر الحقیقیة التى یأخذھا المتغیر ص ونحصل علیھ بیانیا من محور الصادات

][أعلى قیمة ، أسفل قیمة ][

ح ھى دالة كل من مجالھا و مجالھا المقابل مجموعة جزئیة من : الدالة الحقیقیة

الدوال الحقیقیة: الوحدة األولى



٢

اختبار الخط الرأسى ( القة تكون دالة بیانیا الع: ( إذا مثلث عالقة بمجموعة من النقاط فى مستوى احداثى متعامد و قطع الخط الرأسي

عند كل عنصر من عناصر المجال تمثیلیھما البیانى فى نقطة فقط فإن ھذه العالقة تمثل دالة

الة فى س و لماذا ؟ أیا من االشكال اآلتیة یمثل د: مثال

-٢

]١[

س ٢ ١ ١-

ص٢ ١

-١

س ٢ ١ ١-

ص٢ ١

-١

س ٢ ١ ١-

ص٢ ١

-١

-٢

-٢ س ٢ ١ ١-

ص٢ ١

-١

-٢

-٢

س ٢ ١ ١-

ص٢ ١

-١

س ٢ ١ ١-

ص٢ ١

-١

-٣[ ]٢[ ٢- ٢[

]٤[ ]٥[ ]٦[



٣

:الحل ] : ١[ الشكل

یقطع الشكل البیانى فى نقطتین ) ٠ ، ٠( ال یمثل دالة ألن الخط الرأسى المار بالنقطة ] : ٢[ الشكل

یقطع المنحنى فى ) المجال ( تمثل دالة ألن الخط الرأسي عند كل نقطة على محور السینات .دة فقط نقطة واح

.ال یمثل دالة ألن یوجد خط رأسي یقطع المنحنى فى أكثر من نقطة ] : ٣[ الشكل تمثل دالة ] : ٦ ، ٥ ، ٤[ االشكال

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : قـواعــــد ھـــامة لتعیین المجال *

.ح = مھما كان درجتھا دالة كثیرة الحدودمجال أى ) ١

: الدالة كثیرة الحدود ھى الدالة التى ال تحتوى على متغیر فى المقام مثل

١+ س + ٢س) = س( ، د٥ س ــ ٢) = س( س ، د٣) = س( ، د٥) = س( د

) = س( ، د٤+ س ٢ ــ ٣س) = س( د

. أصفـــــــار المقــــــــام - ح = الدالة الكسریةمجال ) ٢

الدالة الكسریة ھى الدالة التى یكون مقامھا یحتوى على متغیر

صفر = مجموعة أصفار المقام ھى مجموعة قیم س التى تجعل المقام : ملحوظة

نوجد أصفار المقام ) =س( مثال لمعرفة مجال الدالة د

}٣ ، ــ ٣{ ح ــ ) = س( مجال دB ٣ ±= س B ٩ = ٢ سB ٠ = ٩ ــ ٢بوضع س

:ح فى الحاالت األتیة = مجال الدالة الكسریة : حـــالة خـــــاصة

. المقام دالة ثابتة *

+ ح Эأ ، زوجى ← حیث ن أ + نالمقام على الصورة س *

.حیث الممیز یكون سالبا : جـ + ب س + ٢المقام على الصورة أ س*

) = س(مجال الدالة د: مثال

٩= ج ، ٠= ب ، ١= ا حیث ٠ = ٩ + ٢نضع س

٣س ــ ٢

٢ س ــ ٩ ــ ٢س

٢ س ــ ٩ + ٢س



٤

) لبة كمیة سا ( ٠ < ٣٦ــ = ٩ × ١ × ٤ ــ ٢ ) ٠ ( = ا ج ٤ ــ ٢ب= الممیز

Bح ) = س( مجال د

:مجال الدالة الجذریة) ٣

) یقال دالة جذریة إذا كانت قاعدة الدالة تشتمل على الجذر التربیعى (

٠ Xالمجال ھو الفترة ما تحت الجذر : إذا كان الجذر فى البسط : أوال

٠> المجال ھو الفترة ما تحت الجذر : إذا كان الجذر فى المقام : ثانیا

: حالة خاصة

كثیرة حدود ) س( ، ھـ + صص gن حیث ")"س"( ھـ ؟ ن) = س(الدالة د

تسمى دلیل الجذر ن ، ح= مجال الدالة : عدد فردى فإن ن عندما :أوال

٠ X) س(مجال الدالة ھو مجموعة قیم س التى تجعل ھـ: عدد زوجى فإن ن عندما : ثانیا

:ون دلیل الجذر فــردیا عندما یك : أوال

ح ) = س ( مجال د ← ) =س ( د مثال

:عندما یكون دلیل الجذر زوجیا : ثانیا

) = س ( د : مثال

[ ، ٥ ) = [س ( مجال د ← ٥ س ← ٠ ٥ ــ س ˙.˙

) = س ( د عین مجال : مثال

:لالح

٠ = ١٢ - س - ٢س بوضع

٠) = ٣+ س )( ٤ -س (

٠ = ٣+ س ٠ = ٤ -س ٣ -= س ٤= س

٣ - ٤



٥

) ٠ ( مجال الدالة الجذریة كمیة غیر سالبة ˙.˙

] ٣ - ، - ]بآل [ ، ٤) = [ س ( مجال د . ˙.

[٤ ،٣ــ ] -ح =

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: عین مجال كل من الدوال الحقیقیة المعرفة بالقواعد اآلتیة : مثال

" ٩"ــ " ٢س ؟ ) = س ( ٢ د ] ٢ [ " ٤"+ " س ؟) = س ( ١ د ] ١ [

) = س ( ٤د ] ٤) = [ س ( ٣د ] ٣ [

" ٣"+ " س ؟ ٣ ) = س ( ٦د ] ٦) = [ س ( ٥د ] ٥ [

:الحل ]١ [A دلیل الجذر زوجى B ٤+ س X ٠ C س X – ٤

B ضض ، ٤ - [ –ح = المجال ]

]٢ [ A دلیل الجذر زوجىB٩ – ٢ س X ٠ C٢ س X ٩ C س X ± ٣

B [ ٣ ، ٣ – ] -ح [ = ضض ، ٣ [ بآل ] ٣ - ، ضض -= ] المجال

١ أ، ٢= س C ٠ ) = ١ –س )( ٢ –س ( B ٠ = ٢+ س ٣ ــ ٢نضع س ] ٣[

B ٢ ، ١ { –ح = المجال {

ح = المجال B فیكون الممیز كمیة سالبة ٠ = ٩ + ٢نضع س ] ٤[

٣ - = ، س ٣= س C ٠ ) = ٣+ س )( ٣ –س ( B ٠ > ٩ – ٢نضع س ] ٥[

A ٠> المجال ھو الفترة ما تحت الجذر B ٣ ، ٣ - [ –ح = المجال [

]٦ [ A دلیل الجذر فردى B ح = المجال

٢ س ــ

٩ + ٢س ٣+ س ٢ ٢+ س ٣ ــ ٢ س

١

" ٩"ــ " ٢ س؟



٦

:ایجاد المجال و المدى للدالة المعرفة بأكثر من قاعدة*

ارسم منحنى الدالة و اذكر مجالھا و مداھا : مثال ) = س(د) ب () = س(د) أ(

: الحل )١ - ، ٠( دالة ثابتة تمثل شعاع یوازى محور السینات و یبدأ من ٠< عند س ) أ(

)١ ، ٠( دالة ثابتة تمثل شعاع یوازى محور السینات و یبدأ من ٠> عند س

} ٠{ ح ــ = المجال

}١ - ، ١{ = المدى

نرسم جدول لكل قاعدة ) ب(

٠< س

٠ X س

[٢ ، ٢ -[ ح ــ = ح ، المدى = المجال

٠ س

- ١

- ٢

٤ - ٣ - ٢ - )س(د

٠ س

١

٢

٤ ٣ ٢ )س(د

٠< س ١ــ

٠> س ١ ٠ X س ٢+ س

٠< س ٢ –س

٣

-٣ ٢ ١ ١- ٢

١

-١

٢

-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢

٣ ٢ ١

-١ -٢

-٣



٧

) = س(إذا كانت د: مثال

انى للدالة و من الرسم استنتج مجال و مدى الدالة ارسم الشكل البی

: الحل

[ ∞ ، ٢ -= [ مجال الدالة : من الرسم

[ ∞ ، ١-= ] المدى


٢< س Y ٢ - س عندما – ٣: مثال ) = س( إذا كانت د

٥ Y س Y ٢ س عندما

لشكل البیانى للدالة و استنج من الرسم ارسم ا

مجال الدالة و مداھا

: الحل

]٥ ، ١= ] ، المدى ] ٥ ، ٢ -= [ المجال

٢ ١ ٠ ٠ ١- ٢- س ٣ ٢ ١ ١- ٠ ٣ )س(د

٠< س Y ٢ - ١ - ٢س

٠ X س ١+ س

١+ س ١ – ٢ س

-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢

٤ ٣ ٢ ١

-١ -٢



٨

ح حیثC ] ٤ ، ٢ -: [ إذا كانت الدالة د : مثال

٠< س Y ٢ - عندما ٣+ س ٢ ) = س ( د

٤ Y س Y ٠ ــ س عندما ١

ارسم الشكل البیانى للدالة د و من الرسم استنج مجال و مدى الدالة

: الحل

- ٢ Y ٠ ٠< س Y س Y ٤

]٤ ، ٢ -= [ المجال

[ ٣ ، ٣ -= [ المدى


) ل ( كان ح محیط مربع طول ضلعھ ل اكتب محیط المربع كدالة فى طول ضلعھ ح إذا: مثال

( ) ح ) ب ) ( ٣( ح ) أ : ( ثم أوجد

:الحل A ل ( ح = (ل × ٤B ح )١٥= × ٤( ) = ، ح ١٢ = ٣ × ٤ ) = ٣

٤ ١ ٠ ٠ ١ - ٢ - س

٣ - ٠ ١ ٣ ١ ١ - ص

٤ ٣ ١ ١- ٢- ٢ -٣

٤ ٣ ٢ ١

-١ -٢

-٣ -٤

١٥ ٤

١٥ ٤

١٥ ٤



٩

ـــــدوالالعملیات على الـــ

:نالحــظ من ھذا التعریف أن

صفر فى = ما عدا القیم التى تجعل دالة المقام ٢ م بال ١العملیات للدالة الجدیدة یساوى م جمیع .عملیة القسمة

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ "١ـ "س ـ؟) = س( ، ر٤ ــ ٢س) = س(إذا كانت د ، ر دالتین حقیقیتین حیث د: مثال

( )،( ) ، ) ر . د( ، ) ر –د ( ، ) ر + د : ( مجال كل من الدوال اآلتیة ) أ : ( أوجد

:لكل من الدوال اآلتیة ) إن أمكن ( القیم العددیة ) ب (

)٢ -( )(، ) ٣( )(، ) ٢) (ر . د ( ، ) ٥) (ر + د ( : الحل A ٢ - ، ٢{= ، مجموعة اصفار د [ ∞ ، ١ = [ ٢م= ح ، مجال ر = ١م= مجال د{

} ٠{ = ، مجموعة اصفار ر

"١ـ "س ـ؟ + ٤ ــ ٢س) = س(ر) + س(د) = س) (ر + د ) ( أ (

B ١ [ = [ ∞ ،١ [ بالح = ٢ مبال ١م) = ر + د ( مجال ، ∞ ]

"١ـ "س ـ؟ ــ ٤ ــ ٢س) = س(ــ ر) س(د) = س)(د ــ ر (

B ١ [ = [ ∞ ،١ [ بالح = ٢ مبال ١م) = د ــ ر ( مجال ، ∞ ]

( )

( )

( )

د ر

ر د

د ر

ر د

١م ح

١

٢م

١



١٠

"١ـ "س ـ؟ ) ٤ ــ ٢س) = ( س(ر) . س(د) = س) (ر . د (

B ١ [ = [ ∞ ، ١ [ بالح = ٢ مبال ١م) = ر . د ( مجال ، ∞ ]

) = = س ( ) (

) ر ( ــ ص٢ مبال ١م) = س( ) ( مجال

[ ∞ ، ١= ] } ١{ ــ [ ∞ ، ١ [ بالح =

) = = س ( ) (

) د ( ــ ص٢ مبال ١م) = س( ) ( مجال

} ٢ - ، ٢{ ــ [ ∞ ، ١ [ بالح =

٢ -= حیث الدالة غیر معرفة عند س } ٢{ ــ [ ∞، ١ [ =

[ ∞ ، ١ [ g لكل س "١ـ "س ـ؟ + ٤ ــ ٢س) = س) (ر + د ( ) ب (

A ٥ g ] ١ ، ∞ ] B ) ١٩ = " ١ "– ٥؟ + ٤ ــ ٢)٥) = (٥)(ر + د

[ ∞ ، ١ [ g لكل س "١ـ "س ـ؟ ) ٤ ــ ٢س) = ( س) (ر . د (

A ٢ g ] ١ ، ∞ ] B ) صفر = "١ـ " ـ٢؟ ) ٤ – ٢ ٢) = ( ٢) (ر . د

[ ∞ ، ١ ] gلكل س ) = س ( ) (

A ٣ g [ ١ ، ∞ ] B)( ) ٣ = = (

} ٢{ ــ [ ∞، ١ [ gلكل س ) = س ( ) (

A – ٢ h ] ٢{ ــ [ ∞، ١ { B)( ) -غیر معرفة ) = = ٢

د ر

)س( د )س(ر

٤ ــ ٢ س د "١ـ "س ـ؟

ر

١م ح

١

٢م

١

ر د

)س( ر )س( د

"١ـ "س ـ؟ ٤ ــ ٢ س

ر د

١ ١م ح ٢م

٢ - ٢

- ٢ ٢

د ر

٤ ــ ٢ س "١ـ "س ـ؟

د ر

٤ ــ ٢ ٣ "١ـ " ـ٣؟

٥ ٢؟

ر د

"١ـ "س ـ؟ ٤ ــ ٢ س

ر د

"١ـ " ٢-؟) -٤ – ٢)٢

" ٣- ؟ صفر



١١

:مثال توضیحى

س حیث س= ) س(إذا كان ھناك مصنع یقوم بتصدیر جزء من انتاجھ و یمثل بالعالقة د

یمثل عدد الوحدات المنتجة فى العام األول ، و كان عدد الوحدات المصدرة فى العام التالى یعطى

كم یكون عدد . حیث د عدد الوحدات المصدرة فى العام األول ١٥٠٠ + د) = د ( ربالعالقة

:الوحدات المصدرة فى العام الثانى إذا كان انتاج المصنع فى العام األول

وحدة ٨٠٠٠٠) ب( وحدة ٢٠٠٠٠) أ (

:یمكن عمل رسم یوضح االنتاج و التصدیر كالتالى : الحل

Aدالة التصدیر العام الثانى ١٥٠٠+ د ) = د ( رس دالة التصدیر العام االول ، ) = س( د

B ١٥٠٠+ س ) = س ( ر

وحدة٦٥٠٠ = ١٥٠٠٠ + ٢٠٠٠٠× ) = ٢٠٠٠٠ × (ر B ٢٠٠٠٠= عند س

وحدة ٦٥٠٠= عدد الوحدات المصدرة فى العام الثانى

وحدة٢١٥٠٠ = ١٥٠٠٠ + ٨٠٠٠٠× ) = ٨٠٠٠٠× ( ر B ٨٠٠٠٠= عند س

وحدة ٢١٥٠٠= عدد الوحدات المصدرة فى العام الثانى

بعض حیث نعوض بدالة االتصدیر العام األول فى دالة الخالصة أن ھناك دالتین مرتبطتان ب

) ایجاد دالة داخلیة ثم ایجاد دالة خارجیة ( التصدیر العام الثانى و ھذه فكرة تركیب دالتین

تركیب الــــدوال

١ ٤

١ ٤

١ ٤

١ ٤

١ ٤

١ ٤

١ ٤

١ ٤



١٢

: تعریف

إذا كانت ر، د دالتین وكان مدى الدالة د مجموعة جزئیة من مجال الدالة ر

ھىریدة تتركب من الدالتین د ، الجدع فإنھ یمكن ایجاد دالة التركیب

) ]س(د [ ر) = س) ( د º ر)= ( س( ع

بعد د ر أو تركیب د رو تقرأ

رحیث تطبق د أوال ثم الدالة

)س) ( د º ر( ممكن أن تكون الدالة :ملحوظة

] لیس لھا قیمةأولھا قیمة معینة [ معرفة أو غیر معرفة

. تركیبھما مھم و لذلك ترتیب الدالتین عند


د ºر ( ، ) س)( ر ºد : ( س أوجد ٢) = س( ، ر٢ س٤) = س(إذا كان د: مثال )س)(

.ذا تالحظ و ما

٢ س١٦ = ٢) س ٢( × ٤) = س ٢( د)] = س(ر[ د ) = س)( ر ºد : ( الحل

د ºر ( ٢ س٨) = ٢ س٤( × ٢) = ٢ س٤( ر) ] = س(د[ ر = )س)(

د ºر ( {) س)( ر ºد : ( یالحظ أن ) تركیب الدوال لیس ابدالى ( )س)(

دºر ( الیجاد : ملحوظة نعوض بالدالة د بدال من المتغیر س فى الدالة ر)س)(

. نوجد الدالة د أوال ثم الدالة ر


س ٣) = س( ، ر٦ + ٢س) = س(إذا كان د: مثال

٤٢) = س) ( ر ºد( حدد قیم س التى تجعل : ثانیا ) ٣) ( ر ºد ( أوجد : أوال

مدى د رمجال

)]س(د[ر )س(د س

مجال د

)]س(د[ ر

مدى ر



١٣

:الحل ٦+ ٢ س٩ = ٦ + ٢) س٣) = ( س٣(د) ] = س(ر[ د ) = س) ( ر ºد : ( أوال

B ) دº ٨٧ = ٦ + ٢)٣ (٩) = ٣) ( ر

٨٧ = ٦ + ٢)٩) ] = (٣(ر[ د ) = ٣) ( ر ºد ( B ٩ = ٣ × ٣) = ٣( رA : حل آخر ٩ بالقسمة ٣٦ = ٢ س٩ B ٤٢ = ٦+ ٢ س٩ B ٤٢) = س) ( ر ºد ( A: ثانیا B٤ = ٢ س B ٢ ±= س

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ "٣ "س ــ؟) = س( ، ر١ + ٢س) = س(إذا كان د: مثال

)٣) ( ر ºد ( فى أبسط صورة محددا المجال ثم أوجد ) س)( ر ºد : ( أوجد : الحل

١ + ٢ )"٣ "س ــ؟ ) = ( "٣ "س ــ؟( د ) ] = س(ر[ د ) = س)( رºد ( ٢ –س = ١ + ٣ –س =

[ ∞ ، ٣= [ } ح g ، س ٣ Xس : س { ) = س)( رºد ( مجال

١ = ٢ – ٣) = ٣) ( ر ºد (

١ = ١ + ٢ )٠ ) = ( ٠( د ) = "٣ " ــ٣؟( د)] = ٣(ر[ د ) = ٣) ( ر ºد : ( حل آخر ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

"٣ س؟) = س(إذا كان ع: سؤال للتفكیر كون فأوجد الدالتین د ، ر بحیث ی"٤ "–"

) س)( ر ºد ) = ( س( ع

)ھناك أكثر من حل لھذا السؤال : ( الحل A٣ " ــ")١"ــ " ٣س( ؟ = "٤ "–""٣ س؟) = س( ع " B س(ع تحقق "٣ "–" س ؟ ) = س( ، د١ ــ ٣س = )س(ر ) = ( دº ر )(س (

" ٢ " ــ")٢"ــ " ٣س( ؟ = "٤ "–""٣ س؟= )س( عA: حل آخر B س(ع تحقق "١ "–" س ؟ ) = س( ، د٢ ــ ٣س = )س(ر ) = ( دº ر )(س (

"٣ س؟) = س( عA: حل آخر "–" ٤" Bس(عتحقق س؟) = س( ، د٤ ــ ٣س) = س( ر ) = ( دº ر )(س(



١٤

:ایا من العالقات اآلتیة ال تمثل دالة ] ١[


: جمیع العالقات اآلتیة تكون فیھا ص دالة فى ما عدا العالقة ] ٢[ حا س= ص ) ٤ (٢ – ٢ص= س ) ٣ (٤ ــ ٢س= ص ) ٢ (٣ س ــ ٢= ص ) ١ (


: عین مجال كل من الدوال الحقیقیة المعرفة بالقواعد االتیة ] ٣[ "٣ــ " س ٢؟) = س(د) ٣ (٥ــ ) = س(د) ٢( س ٢ ــ ٢س) = س(د) ١(

) = س(د) ٦ ("" ٢س" " ــ٤ ؟) = س(د) ٥) = (س(د) ٤(

)١( تمارین

٩ - ٢س

٣ –س

٢+ س ٣

"٢ " +" س؟



١٥

٢< عندما س ٢ ــ

٢ X ـ س عندما س ٤

) = س(د) ٨) = (س(د) ٧( " ٦" -" س" " +٢" س؟ ٣) = س(د) ١٠) = (س(د) ٩(

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مثل الدوال االتیة بیانیا و عین مداھا ] ٤[

) = س( ح ، دC ] ٥ ، ١ -: [ إذا كانت د )١(

) ٥( ، د)٤(، د) ٣(، د) ٢(، د) ١(، د) ٠(، د) ١-( فأوجد كال من د . ثم ارسم الشكل البیانى للدالة و استنتج من الرسم مداھا


) = س(إذا كانت د) ٢ (

) ٤ -( ، د ) ١ -( ، د) ٠(، د) ١(، د) ٤(، د) ٣(، د) ٢( فاوجد كال من د . ثم ارسم الشكل البیانى للدالة و استنتج من الرسم مداھا

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ح حیث C ] ٣ ، ٣ -: [ إذا كانت د ) ٣ (

) = س ( د

ارسم الشكل البیانى للدالة و من الرسم استنج مدى ھذه الدالة

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١ – س ٣) = س(١ ح حیث دCح : ١إذا كانت د) ٤(

٤+ س ٢) = س(٢ ح حیث دC ] ٣ ، ٢ - : [ ٢ د

.ل دالة مبیا مجال ك) س ) (٢ ــ د١د( ، ) س ) (٢د + ١د: ( أوجد

٢ س ــ

٦+ س ٥ ــ ٢ س

"٢ "س ــ؟ ١ ــ ٢ س

٢< س Y ١- س عندما -٤

٥ Y س Y ٢ س عندما

٢ X س عندما س ٢

٢< عندما س ٢+ س

٠< س Y ٣ - عندما ١ + ٢ س

٣ Y س Y ٠ عندما ٢+ س



١٦

س ٢ + ٢س) = س (٢، د ] ٤ ، ٣ - = [ ١ و مجال د٢+ س ) = س(١د: إذا كان ) ٥(

:أوجد ] ٣ ، ١ - = [ ٢ و مجال د

مبیا مجال كل دالة ) س( )(، ) س( )(، ) س )(٢ ــ د١د( ، ) س )(٢د + ١د (


: أوجد ٢س) = س( ، ق٥ – ٢س) = س( ، ر١+ س ٣) = س(د: إذا كان ) ٦(

()١)(ق ºر ( )جـ( )س)(د ºر ) ( ب) (٢) ( رºد ) ( أ ( ( )د )٢-)(د ºق


: أوجد ٣+ س ) = س(، ر) = س(د: إذا كان ) ٧(

. و حدد مجال كل منھما ) س)( د ºر ( ، ) س)( رºد (


"٢ "س ــ؟) = س( ، ر٣ – ٢س) = س(إذا كان د) ٨( )٣) ( ر ºد ( بسط صورة محددا المجال ثم أوجد فى أ) س)( ر ºد : ( أوجد


١د ٢د

٢د ١د

١ س



١٧

: التماثل فى الدوال ] ١[

أن درسنا التماثل حول مستقیم و نقطة األصل حیث یمكن طى الشكل على لقد سبق

.لینطبق نصفا المنحنى تماما ) أو نقطة األصل ( المستقیم

: التماثل حول محور السینات )١(

: فى الشكل المقابل

الواقعة على الشكل البیانى) ص -س ، ( النقطة

) ص س ، ( لمنحنى الدالة ھى صورة النقطة

الواقعة علیھ ایضا باالنعكاس حول محور السینات

: التماثل حول محور الصادات )٢(

:فى الشكل المقابل

الواقعة على الشكل البیانى) س ، ص -( النقطة

)س ، ص ( لمنحنى الدالة ھى صورة النقطة

الواقعة علیھ أیضا باالنعكاس حول محور الصادات

) ٠ ، ١( صورة النقطة ) ٠ ، ١ -( النقطة : مثال

باالنعكاس حول محور الصادات

بعض خواص الدوال



١٨

: التماثل حول نقطة األصل )٣(

:فى الشكل المقابل

الواقعة على الشكل البیانى) ص - س ، -( النقطة

)س ، ص ( لمنحنى الدالة ھى صورة النقطة

الواقعة على نفس المنحنى أیضا باالنعكاس

حول نقطة األصل

: فى الشكل المقابل

المنحنى متماثل حول نقطة األصل

)١ - ، ١ -( صورة النقطة ) ١ ، ١( مثال النقطة

باالنعكاس فى نقطة األصل

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ]نوع الدوال [ :الدوال الزوجیة و الفردیة ] ٢[

: الدالة الزوجیة: أوال

تكون زوجیة ص ←س : الدالة د : جربيا

)س ( د ) = س -( د : إذا كانت

س -، س g الرمز [ . المجالیقال لكل [

.تكون الدالة زوجیة إذا كان الشكل البیانى لھا متماثال حول الصادات : بيانيا

ص ، س ( النقطة فإذا كانت (g منحنى الدالة فإن النقطة )- ص ، س (g منحنى الدالة .



١٩

: الدالة الفردیة: ثانیا

ص تكون فردیة←س : الدالة د : جربيا

. المجال g س -، س ) س ( د -) = س -( د : إذا كانت

. كان الشكل البیانى لھا متماثال حول نقطة األصل تكون الدالة فردیة إذا: بيانيا

تقع أیضا ) ص -، س -( تقع على منحنى الدالة فإن النقطة ) ص ، س ( فإذا كانت النقطة

.على منحنى الدالة


: خطوات بحث نوع الدالة جبریا *

فى الدالة االصلیة ) س -( بــ ) س ( و ذلك یتم باستبدال كل ) س -( نوجد د) ١

.نتعامل مع األقواس و نفكھا ) ٢

.ب ما سبق نقارن بین الدالة الناتجة و الدالة األصلیة و نحكم على نوع الدالة حس) ٣

: مالحظات ھامة عند بحث نوع الدالة جبریا*

نفس العدد الفردى ــ س = عدد فردى ) س -( ، نفس العدد الزوجى س = عدد زوجى ) س -) ( ١

.تعامل معاملة الربع الرابع فى إشارة الدوال المثلثیة ) س -( الزاویة السالبة )٢

حتا س ) = س -( ــ طا س ، حتا ) = س -( س ، طا ــ حا) = س -( حا : مثال

٠) = س -( د ) + س ( د ) ٣

مجال الدالة h س -كثیر من الدوال لیست زوجیة و لیس فردیة إذا كان س ، ) ٤

) س-( دون ایجاد د ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

باستخدام البرامج الرسومیة مثل الدوال اآلتیة و ابحث أى من الدوال زوجیة أو فردیة أو : مثال . غیر ذلك ثم تحقق من اجابتك جبریا

س + ٣س) = س(د) ٢( س ٤ – ٢س) = س(د) ١ (

س حا س) = س(د) ٣ (



٢٠

: الحل س٤ – ٢س) = س(د: نكون الجدول ) ١(

الشكل البیانى لیس متماثال حول محور الصادات

و لیس متماثال حول نقطة األصل ) س -( × ٤ – ٢) س -) = ( س -( د

) س ( ــ د{ س ٤ + ٢س = B الدالة ال زوجیة و ال فردیة س + ٣س) = س(د) ٢(

الشكل البیانى متماثل حول نقطة األصل ) س - + ( ٣) س -) = ( س -( ، د

)س + ٣س ( -= س – ٣ س- = ) س (ــ د =

B الدالة فردیة

س

- ١

٠

١

٢

٣

٣ - ٤ - ٣ - ٠ ٥ )س(د

س

- ٢

- ١

٠

١

٢

١٠ ٢ ٠ ٢ - ١٠- )س(د

سس



٢١

س حا س) = س(د) ٣(

الشكل البیانى متماثال حول محور الصادات

Aس(د= س حا س ) = س -( س حا -) = س -( د (

B الدالة زوجیة .

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ مثل بیانیا الدالة د حیث: مثال

) =س( د

. ثم بین ھل الدالة زوجیة أم فردیة أم غیر ذلك و تحقق من ذلك جبریا

٢ -< س ٢ – Xس : الحل

الشكل البیانى متماثال حول محور السینات Aس - ( د = (

=

) س( د- {

B ال فردیة الدالة لیست زوجیة و

٣ - ١ - ٢ - ٠ ١ - ٢ - س

١ ١ - ٠ ٢ ١ ٠ ص

٢ - X سC ٢+ س

٢ -< سC ٢ــ س ــ

٢ - X س - C ٢+ س -

٢ -< س - C ٢ س ــ

٢ Y س - C ٢+ س -

٢ - > س C ٢ س ــ

- ٢ سس

صص

١

٢

- ٣ - ١ - ١ ٠

٣

١

-٣

- ٢



٢٢

:الدالة األحادیة ] ٣*[

:أثبت أن كال من الدالتین د ، ر دالة أحادیة : مثال

) = س(ر) ٢ (٣ –س ) = س(د) ١ (

٣ –ب ) = ب ( ، د ٣ – ا) =ا ( ح ، دg ، ب ا إذا كان ) ١: (الحل

من الطرفین ) ٣ -( بحذف ٣ –ب = ٣ – ا B ) ب ( د) = ا ( بوضع د

B ب = ا B د دالة أحادیة

) = ب (ر، ) = ا (ر، } ٥ { - ح g ، ب ا إذا كان ) ٢ (

بالضرب التبادلى نجد = B) ب ( ر ) = ا( ربوضع

) ٣ – ب ٢ ( )٥ – ا ) = (٥ –ب ) ( ٣ – ا ٢ (

١٥ + ا ٣ – ب ١٠ – ب ا ٢ = ١٥ + ا١٠ – ب ٣ – ب ا ٢

ا ٣ – ا ١٠= ب ٣ – ب ١٠

B ا ٧= ب ٧ B ب = ا B دالة أحادیة ر

تسمى دالة أحادیة صص C سس: الدالة د ب = افإن ) ب(د ) = ا( ، دسس g، ب ا إذا كان لكل

) ب( د{ ) ا( ب فإن د{ اأو لكل

و یتحقق من ذلك بیانیا بالخط األفقى الذى ال یمر بأكثر من نقطة واحدة من بیان الدالة

٣ – س ٢

٥ – س

٣ – ا ٢

٥ – ا

٣ – ب ٢

٥ – ب ٣ – ا ٢ ٥ – ا

٣ – ب ٢ ٥ – ب



٢٣

:اختبار الخط األفقى*

) الموازي لمحور السینات ( فقىاألخط الإذا قطع دالة احادیة صص C سس: تكون الدالة د . واحدة نقطة عند كل عنصر من عناصر مدي الدالة یقطع منحنى الدالة فى

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : بین أن كل من الدالتین لیست أحادیة : مثال

٦+ س ٥ – ٢س) = س(ر) ٢ (٣ + ٢س) = س(د) ١ ( :الحل

٣ + ٢س) = س(د )١( : نكون الجدول اآلتى

A ٤ = ٣ + ٢ ١ ) = ١( د

٤ = ٣ + ٢ )١- ) = ( ١ -( ، د

B١ -( د ) = ١( د (

A - ١ { ١ B د لیست أحادیة .

١ ، ١ –ظر قیمتین غیر متساویتین للمتغیر س ھما ینا٤= ونالحظ أن الخط األفقى عند ص

٦+ س ٥ – ٢س) = س(ر) ٢ (

A ٢ = ٦ + ١ × ٥ – ٢ ١ ) = ١( ر ٢ = ٦ + ٤ × ٥ – ٢ ٤ ) = ٤( ر ،

B ٤( ر ) = ١( ر ( A ٤ { ١

B دالة لیست أحادیة ر

٤ ، ١ یناظر قیمتین غیر متساویتین للمتغیر س ھما ٢= و نالحظ أن الخط األفقى عندما ص

٣- س - ٢ - ١ ٢ ١ ٠

٧ ٤ ٣ ٤ ٧ ١٢ )س(د

٤

-2 -1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

٤٣

- ١ ١

٣



٢٤

)اطـــــــــراد الــدالـــــــة ( ] ٤[

تزایدیة تناقصیة ثابتة ]ب ، ا[الة أنھا تزایدیة فى الفترة یقال للد ) الدالة التزایدیة ( - ١

:یتحقق الشرط اآلتى ]ب ، ا [g ٢س ، ١ إذا كان لكل س ) ٢س ( د > ) ١س ( د ٢س > ١ إذا كان س

تكون تزایدیة إذا كانت ) س ( د : وبصفة عامــــة:

. بإزدیاد قیمة س قیمة الدالة تتزاید

تكون تزایدیة إذا كان المماس لمنحنى) س ( د : وبطریقة أخرى

.الدالة یصنع زاویة حادة مع االتجاه الموجب لمحور السینات

]ب، ا [ یقال للدالة أنھا تناقصیة فى الفترة ) الدالة التناقصیة ( -٢

]ب، ا [ g ٢س ، ١ إذا كان لكل س : یتحقق الشرط اآلتى

) ٢س ( د < ) ١س ( د ٢س > ١إذا كان س

قیمة الدالة تتناقص بإزدیاد قیمة س :تكون تناقصیة إذا كانت ) س ( د : وبصفة عامــــة .

تكون تناقصیة إذا كان المماس) س ( د : وبطریقة أخرى

رجة مع االتجاه الموجب یصنع زاویة منف لمنحنى الدالة

.لمحور السینات



٢٥

]ب ، ا[ یقال للدالة أنھا ثابتھ فى الفترة ) الدالة الثابتھ ( -٣

]ب ، ا [ g ٢س ، ١ إذا كان لكل س

ا ) = ٢س ( د ) = ١س ( د ٢س > ١إذا كان س : یتحقق الشرط اآلتى تكون ثابتة إذا كانت قیمة الدالة ثابتة مھما كانت قیمة س ) س ( د : وبصفة عامــــة.

:الخالصة

المجال و فترات االطراد تقرأ على محور السینات أما المدى یقرأ على محور الصادات : أنتذكر ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: ابحث اطراد كال من الدوال االتیة مع ذكر المدى : مثال

) ٣(الشكل ) ٢(الشكل ) ١( الشكل

٥ ٤ ٣ ٢ ١

-١ -٢

-٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ ١- ٢ -٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ ١- ٢

٥ ٤ ٣ ٢ ١

-١ -٢

-٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ ١- ٢

٥ ٤ ٣ ٢ ١

-١ -٢



٢٦

:الحل ] ٢ ، ٠= [ مدى ال) : ١(فى الشكل

] ٥ ، ٣[ ، متناقصة فى ] ٣ ، ٠[ ، ثابتة فى ] ٠ ، ٢ -[ الدالة متزایدة فى : االطراد [ ∞ ، ٢ -= [ المدى ) : ٢(فى الشكل

] ١ ، ∞ -] ، متناقصة فى [ ∞ ، ١[ متزایدة فى : االطراد ] ٣ ، ∞ –= ] المدى ) : ٣(فى الشكل

] ٣ ، ٠[ ، ثابتة فى [ ∞ ، ٣[ ، متناقصة فى ] ٠ ، ∞ -] متزایدة فى الدالة: االطراد


:مثال

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ) جبریا . ( ابحث نوع الدوال اآلتیة من حیث زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك ] ١[ ) = س(د] ٣[ س ؟ ٤) = س(د] ٢ [٢ س– ٢) = س(د] ١ [ حتا س + ٣س) = س(د] ٥) = [س(د] ٤ [ )=س(د] ٧ ["٦"+ " ٢ س؟) = س(د] ٦ [ س حتا س) = س(د] ٨ [

تمارین على بعض خواص الدوال

٠> س C ٣ س ــ

٠< سC ٣ــ س ــ

س٣ حا ٣ س

٤س + ١

٠ X س C ١س ــ

٠< سC س ٧



٢٧

بب ؟حدد الدوال األحادیة المعرفة كما یلى مع ذكر الس] ٢[

٣ – س – ٢ س٢) = س(د) ٢ (١+ س ٣) = س(د) ١ (

) = س(د) ٤ (١+ س ٢ + ٤س) = س(د) ٣ (


:أوجد مدى كل دالة وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك ] ٣[

١+ س ٢

١ – س

٣

-٣ ٢ ١ ١- ٢

١

-١

٢

-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢

٣ ٢ ١

-١ -٢

-٣

-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢

٤ ٣ ٢ ١

-١ -٢

]٢[ ] ١ [

]٤[ ] ٣ [



٢٨

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ارسم كل من الدوال المعرفة كما یلى ثم بین أى منھا زوجیة و أى منھا فردیة و أیھا غیر ] ٤[

. ذلك و تحقق من ذلك جبریا

=) س(د) ب ( ) = س(د) أ ( ) = س(د) د ( ) = س(د) جـ (


]٥ [ ]٦[

]٥[ ] ٦ [

٠> عندما س ٢

٠< سعندما ٢ -

٠ X س عندما س -

٠< سعندما س

٠ X عندما س ١ – س

٠< سعندما س ٧ قاعدة ( نون الجیب قا

)الجیب

٠ X عندما س ١+ س



٢٩

:الدالة كثیرة الحدود : الحدود التى قاعدتھا على الصورة سبق أن درست الدالة كثیرة

ن س نا + ٠٠٠٠ + ٣ س٣ا + ٢س٢ا+ س ١ا+ ٠ا) = س( د ٠ { ن ا، ح g ن ا، ٠٠٠٠ ، ٢ ا، ١ ا، ٠ا: حیث

و لذلك تسمى ھذه الدوال ) مالم یذكر خالف ذلك ( ح وعلمنا أن المجال و المجال المقابل ھو لدرجة ن ، و درجة كثیرة الحدود ھى أعلى قوة یأخذھا المتغیر بدوال كثیرة الحدود من ا

المستقل س

: مالحظات ھامة

.فإن د تسمى دالة كثیرة الحدود الثابتة ٠ {ا ، ا ) = س(إذا كان د) ١

دوال كثیرة الحدود من الدرجة األولى تسمى دواال خطیة ، و من الدرجة الثانیة تسمى دواال) ٢ .عیة ، ومن الدرجة الثالثة تسمى دواال تكعیبیة تربی

.عند جمع أو طرح دوال قوى مختلفة و ثوابت ، نحصل على دالة كثیرة الحدود ) ٣

.أصفار الدالة كثیرة الحدود ھى االحداثیات السینیة لنقط تقاطع منحنیھا مع محور السینات) ٤

لدرجة نفسھا و كانت معامالت قوى س تتساوى دالتا كثیرتا الحدود د ، ر إذا كان لھما ا) ٥ . المتناظرة فیھما متساویة

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ )٥+ س ا = ( )س(إذا كان د ، ر كثیرتا حدود حیث د: مثال

، جـا أوجد قیمتى ) س(ر) = س( ، و كان د٤جـ ــ + س ٣٠ + ٢ س٩) = س( ، ر : الحل

٢٥+ س ا ١٠+ س ٢ا = ٢ )٥+ س ا ) = ( س( د Aس(ر) = س( د (B ٤جـ ــ + س ٣٠ + ٢ س٩ = ٢٥+ س ا ١٠+ س ٢ا Bة متساویة معامالت قوى س المتناظر.

٣= ا B ٣٠= ا ١٠: و بمقارنة معامل س نجد ٢٩= جـ B ٢٥ = ٤ -جـ : ، مقارنة الحد المطلق

التمثیل البیانى للدوال و التحویالت الھندسیة



٣٠

*رسم منحنیات الدوال *

: أوال رسم منحنیات دالة كثیرة الحدود

* حgكل س ثابت لا حیث ا ) = س(الصورة العامة للدالة الثابتة ھى د و تمثل بیانیا بمستقیم یوازى محور السینات

) ا ، ٠( و یقطع محور الصادات فى النقطة

:كما فى الشكل الموضح ، الدالة زوجیة } ا { = ح ، مداھا = مجالھا

و ھى الدالة الوحیدة التى مداھا نقطة أو مجموعة من النقاط

یم یكون أعلى محور السینات موجبة فإن المستقا إذا كانت : ملحوظة سالبة فإن المستقیم یكون أسفل محور السیناتا ، و إذا كانت

ومن الرسم ٣) = س(ارسم الدالة د حیث د: مثال

واالطراد والنوع عین المدى

: الحل } ٣{ = المدى

ثابتة على مجالھا دات زوجیة لتماثلھا حول محور الصا


٠ {ا ، حح gب لكل س + س ا ) = س(الصورة العامة للدالة الخطیة ھى د و یقطع محور ) ، ب ٠( ، ویقطع محور الصادات فى النقطة ا = یلھ و تمثل بخط مستقیم م

، ب الجزء المقطوع من محور الصادات ) ٠، ( السینات فى النقطة

الدالة الثابتة: أوال

صص

سس

)ا ، ٠( ا ) = س(د

-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣

٤ ٣ ٢ ١

-١ -٢ -٣

لدالة الخطیة ا( دالة الدرجة األولى أو : ثانیا (

ب- ا



٣١

ح = ح ، مداھا = مجالھا :اطرادھا

)موجبة ( ٠> ا الدالة تزایدیة عندما متزایدة ٢ – س ٣ = )س(الدالة د: مثال

)سالبة ( ٠< ا الدالة تناقصیة عندما س متناقصة ٣ – ٢) = س(الدالة د: مثال

:نوعھا

٠= الدالة لیست زوجیة و لیست فردیة بصفة عامة و لكنھا فردیة عندما ب


: مثال ) =س( ارسم الدالة د

. و من الرسم استنتج مدى الدالة و اطرادھا و نوعھا

: الحل

] ٢ ، ٠= [ ، المدى ] ٤ ، ٤ -= [ المجال

] ٢ ، ٢ –] ، ثابتة فى ] ٢ - ، ٤ -[ ة فى الدالة متزاید

] ٤ ، ٢] ، تناقصیة فى

الدالة زوجیة النھا متماثلة حول محور الصادات


: مثال ) =س( ارسم المنحنى للدالة د

و من الرسم استنتج مدى الدالة و اطرادھا و نوعھا

) ، ب ٠(

ب- )٠، ( ا

سص

سس

]٢ - ، ٤ - [ g ، س ٤+ س ]٢ ، ٢ – ] g ، س ٢ ] ٢ ، ٠ [ g س ، س – ٤

-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣- ٤

٤ ٣ ٢ ١

-١ -٢ -٣

٠ X ، س ٢+ س

٠< ، س ٢ س ــ



٣٢

: الحل ٠< س ٠ X س

١- ٠ س ١ ٠ س ٣ ٢ ص

٣ - ٢ - ص

ح = مجال الدالة

[∞ ، ٢ [ بآل[ ٢ - ، ∞ -= ] مدى الدالة

[ ٢ ، ٢ -[ أو ح ــ

الدالة تزایدیة على مجالھا

الدالة لیست فردیة و لیست زوجیة


) ٠ ( ھو عدد حقیقى غیر سالب ) مفھوم المقیاس ( *

"٢ س؟= | س | . ھو الجذر التربیعى الموجب لمربع ھذا العدد ) المقیاس العــدد ( *

= | | ، ٠= | ٠| ، ٣ = ٩؟= | ٣| ، ٢٥ ؟= | ٥ -| : مثال

) خواص دالة المقیاس : ( لة المقیاسرسم دا*

١ ± = ك، ب+ | ا -س | ك) = س(د: الصورة العامة ھى

) ، ب ا( ھى نقطة رأس المنحنى ) ، ب ا( تمثل بیانیا بشعاعین من النقطة

ا= االزاحة الصادیة ، معادلة محور التماثل ھو س = االزاحة السینیة ، ب = ا

-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣

٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١

-١ -٢ -٣

)القیمة المطلقة ( دالــة المقـیاس : ثالثا

١ ٢

١ ٢



٣٣

] ، ب ∞ -= ] مدى الدالة [ ∞ب ، = [ مدى الدالة ]ا ، ∞ -] الدالة تزایدیة فى [ ∞ ، ا[ الدالة تزایدیة فى [∞ ، ا[ ى الدالة تناقصیة ف ] ا ، ∞ -] الدالة تناقصیة فى


:مثال

:الحل

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :مثال

)، ب ا (

) ، ب ا(

سالبة ( ٠< ك (

)موجبة ( ٠> ك

تناقصیة تزایدیة

تزایدیة

تناقصیة

:الحل



٣٤

و لكن بازاحة ثالث وحدات فى االتجاة الموجب | س|منحنى ھذه الدالة نفس منحنى :حل آخر ٠= ، و االزاحة الصادیة ٣= االزاحة السینیة . لمحور السینات

. ثم نكمـــــل الحل كما سبق : ملحوظة

صفر المقیاس = االزاحة على محور السینات )العدد المضاف الى المقیاس( العدد خارج المقیاس = االزاحة على الصادات


مع ذكر المجال والمدى| س | -) = س(ارسم منحنى الدالة د :مثال :ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك : الحل

)٠ ، ٠( ى رأس المنحن المجال ح

]٠ ، -= ]المدى [٠، -]د متزایدة فى

[ ، ٠[د متناقصة فى د زوجیة ألنھا متماثلة حول محور الصادات

تمثل بیانیا شعاعین بدایتھما نقطة األصل فى الربع الثالث و الرابع و ینصفان الزاویة بین المحورین

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠ التحویالت الھندسیة لدالة المقیاس

:)فى اتجاه محور الصادات ( االزاحة الرأسیة * لمدى ابحث اطرادھا وبین مع ذكر المجال وا٣+ | س | ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال

:نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك

′س )٠،٠ (

′ص

-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣

٢ ١

-١ -٢

:الحل



٣٥

٣= ، االزاحة الصادیة ٠= االزاحة السینیة : حل آخر B تسمى نقطة الرأس للمنحنى نكمل الحل بنفس الحل ) ٣ ، ٠( مبدا الشعاعین

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ابحث اطرادھا وبین ثم مع ذكر المجال والمدى٢-| س | ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال

:نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل

)٢ - ، ٠( نقطة الرأس المجال ح

[ ، ٢-= [المدى [٠، -]د متناقصة فى [ ، ٠[د متزایدة فى

د زوجیة ألنھا متماثلة حول محور الصادات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

.مع ذكر مجال و مدى الدالة | س | ــ ٢ ) =س(ارسم منحنى الدالة د :مثال :ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل

المجال ح ]٢ ، -= ]المدى

[٠، -]د متزایدة فى [ ،٠[د متناقصة فى

د زوجیة ألنھا متماثلة حول محور الصادات

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ والمدى مع ذكر المجال٢ -| س | - ) =س( ارسم منحنى الدالة د: مثال :ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك : الحل

المجال ح ]٢- ، -= ]المدى

[٠، -]د متزایدة فى [ ، ٠[د متناقصة فى

د زوجیة ألنھا متماثلة حول محور الصادات

)٢- ،٠( ′س س

′ص

ص

)٠ ،٢-( )٠ ،٢(

)٠ ، ٢(

′ص

′س س

ص

)٢ ، ٠( )-٠ ، ٢(

)٢- ،٠( ′س

′ص

ص

س



٣٦

):فى اتجاه محور السینات ( االزاحة األفقیة *

مع ذكر المجال والمدى | ٢ –س | ) =س(منحنى الدالة دارسم : مثال :ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك

)الحل( )٠ ، ٢( راس المنحنى B ٠= ، الصادیة ٢= االزاحة السینیة

المجال ح [ ،٠= [المدى

[٢، -]د متناقصة فى [ ، ٢[ة فى د متزاید

د الزوجیة والفردیة

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ مع ذكر المجال والمدى | ٢+ س | ) =س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :بحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك ا

)الحل( ) ٠ ، ٢ -( ، راس المنحنى ٠= ، الصادیة ٢ -= االزاحة السینیة

المجال ح [ ، ٠= [المدى

[٢-، -]د متناقصة فى [ ، ٢-[د متزایدة فى

د الزوجیة والفردیة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

مع ذكر المجال والمدى| ٢ –س | ــ ) =س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :أو غیر ذلك ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة

)الحل( ) ٠ ، ٢( نقطة رأس المنحنى

]٠ ، -= ]المدى ، المجال ح [ ، ٢[د متناقصة فى ، [٢، -]د متزایدة فى


)٠ ، ٢( ′س س

ص

′ص

)٢ ، ٠(

)-٠ ، ٢( ′س س

ص

′ص

)٢ ، ٠(

)٢- ،٠(

س ′س

ص

′ص

)٠ ، ٢(



٣٧

مع ذكر المجال والمدى | ٢+ س | -) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك ابحث اطرادھا وبین نوعھا من

)الحل( ) ٠ ، ٢ -( نقطة راس المنحنى

المجال ح ]٠ ، -= ]المدى

[٢-، -]د متزایدة فى [ ، ٢-[د متناقصة فى


ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :)فى اتجاھى محورى االحداثیات ( االزاحة األفقیة و الرأسیة *

مع ذكر المجال والمدى٣ + | ٢+ س | - ) =س( ارسم منحنى الدالة د: مثال :و فردیة أو غیر ذلك ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أ

)الحل( ٣= ، االزاحة الصادیة ٢ -= االزاحة السینیة

المجال ح ]٣ ، -= ]المدى

[٢ - ، -]د متزایدة فى [ ، ٢-[د متناقصة فى


ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مثال :الحل

)٢- ،٠(

س ′س

ص

′ص

)-٠ ، ٢(

)١ ،٠( س ′س

ص

′ص

)-٣ ، ٢(



٣٨

انعكاس دالة المقیاس:

| س | ــ ) = س( منحنى الدالة ر حیث ر

) س( ھو انعكاس لمنحنى الدالة د

على محور السینات|س | ) = س( حیث د

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :لتمثیل كل من الدالتین ر ، ع حیث | س | ) = س(استخدم منحنى الدالة د حیث د: مثال

| ٣+ س | - ٢) = س(ع) ب ( ٢ - | ١ –س | ــ ) = س(ر) أ (

:الحل )أ( ) ب(



٣٩

٠ {ا ، ج + ٢) س ــ ب ( ا ) = س(دالصورة العامة ھى : إذا كانت تمثل بیانیا بمنحنى ذو فرعین ألعلى أو ألسفل

) ب ، جـ = ( و تكون نقطة الرأس المنحنى ب = ، معادلة خط التماثل ھى س

ب ) = االنتقال فى اتجاه محور السینات( االزاحة السینیة جـ ) = االنتقال فى اتجاه محور الصادات ( ، االزاحة الصادیة

)سالبة ( ٠< ا : إذا كان ) موجبة ( ٠> ا : إذا كان ] ، جـ ∞ -= ] مدى الدالة [ ∞جـ ، = [ مدى الدالة

] ، ب ∞ -] الدالة تزایدیة فى [ ∞ب ، [ الدالة تزایدیة فى [ ∞ب ، [ فى الدالة تناقصیة ] ، ب ∞ -] الدالة تناقصیة فى


الدالة التربیعیة

)ب ، جـ (

)ب ، جـ ( تناقصیة تزایدیة

تزایدیة تناقصیة

قیمة صغرى ج =

٠> ا

٠< ا

قیمة عظمى ج =



٤٠

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مالحظات

) ج ب ، ( نقطة رأس المنحنى ھى نحدد ج+ ٢) ب-س (ا) = س(لرسم د .١ الدالة التربیعیة و دالة المقیاس لھما نقطة رأس للمنحنى .٢

فى محور السینات) س(ــ د) = س( ھو انعكاس للمنحنى د٢س) = س(المنحنى د .٣

:قبل رسمھا مثال ) القیاسیة ( یجب وضع الدالة فى صورتھا العامة .٤ ٢ -٢)٣ +س = (٩-٧ )+٩+س ٦ +٢س = (٧+س ٦ +٢س ) = س(د ) ٥ - س ٤+ ٢س (- = ٥ +س ٤-٢ س-) = س(د

٩+٢)٢+س (-= }٩ – ٢)٢+س( {- = } ٤- ٥ – )٤+س٤ + ٢س ( {-=

فى معادلة المنحنى٠=طع مع محور الصادات نضع س إلیجاد نقط التقا .٥

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ إزاحة أفقیة ( سسإزاحة منحنى الدالة فى اتجاه محور: (

: لتمثیل الدالتین ر ، ع حیث ٢س) = س(استخدم منحنى الدالة د : مثال

٢ )٣+ س ( ــ ) = س(ع) ٢ (٢ )٢ –س ) = ( س(ر) ١ (

:الحل

٢ )٢ –س ) = ( س(ر) ١( بإزاحة وحدتین فى االتجاه ٢س) = س(د ھو منحنى

. الموجب لمحور السینات

سص

)٠ ، ٢ (

)٤ ، ٠ س )

س



٤١

٢ )٣+ س ( ــ ) = س(ع) ٢(

باالنعكاس فى محور السینات٢س) = س( ھو منحنى د

ثم ازاحتھ بثالث وحدات فى االتجاه السالب لمحور السینات


) :إزاحة رأسیة ( صصإزاحة منحنى الدالة فى اتجاه محور * : لتمثیل كل من الدالتین ر ، ع حیث ٢س) س(استخدم منحنى الدالة د حیث د: مثال

١ ــ ٢ــ س) = س(ع) ٢ (٢ + ٢س) = س(ر) ١ (

. و أوجد مدى الدالة و من الرسم عین نقطة رأس المنحنى

:الحل ٢ + ٢س) = س(ر) ١(

بازاحة وحدتین فى ٢س) = س( ھو منحنى د

االتجاه الموجب لمحور الصادات

) ٢ ، ٠( نقطة رأس المنحنى ھى

[∞ ، ٢= [ ، المدى

سص

سس )- ٠ ، ٣(

)٩ ، ٠(

)٢ ، ٠(

صص

صس



٤٢

١ ــ ٢ــ س) = س(ع) ٢(

باالنعكاس فى محور السینات ٢س) = س( ھو منحنى د

ثم ازاحة وحدة واحدة فى االتجاه السالب لمحور الصادات

)١ - ، ٠( نقطة رأس المنحنى ھى

] ١ - ، ∞ -= ] ، المدى

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :إزاحة منحنى الدالة فى اتجاھى محورى اإلحداثیات*

أوجد رأس المنحنى و المدى و ٢)١ -س ( - ٢) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال

.دالة و معادلة محور التماثل االطراد ونوع ال

:الحل

٢ = ، االزاحة الصادیة ١ =االزاحة السینیة B ٢ ، ١( راس المنحنى (

للرسم بدقة نوجد نقطة التقاطع مع محور الصادات ) ١ ، ٠ ( C ٠= و ذلك بوضع س

و على نفس المسافة من محور التماثل ) ١ ، ٢( و نستنتج النقطة

ح= جال الم ] ٢ ، ∞ -= ] المدى

]١ ، ∞ -] متزایدة فى : االطراد [∞ ، ١[ متناقصة فى

ال زوجیة و ال فردیة : النوع لعدم تماثلھا حول محور الصادات أو نقطة االصل

١= معادلة محور التماثل س

صس

)١ - ، ٠(

صص



٤٣

الصورة ت علیھ ازاحات فأخذ المنحنى ثم أجری٢ س-) = س( رسم منحنى الدالة د:مثال عین ھذه اإلزاحات واذكر قاعدة الدالة مع ذكر ٢ - ٢)١ + س (- ) =س(د: اآلتیة

.المدى ومعادلة محور التماثل )الحل(

إزاحة مقدارھا وحدة واحدة فى االتجاه السالب مقدارھا وحدتین لمحور السینات متبوعة بإزاحة

.السالب لمحور الصادات جاهفى االت ٢ -٢)١+س (-) =س(د :قاعدة الدالة ھى

]٢- ، -= ]مدى الدالة

١-=س : معادلة محور التماثل ھى ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

محور بحث اطرادھا واذكر مداھا ومعادلة وا٦+س٤+٢س= )س( ارسم منحنى الدالة د:مثال ٢س) = س(التماثل ، ثم بین كیف یمكن الحصول على منحنى الدالة من المنحنى د

)الحل( یجب اعادة تعریف الدالة الى الصورة القیاسیة للدالة

٢+ ٢) ٢ + س = ( ٤-٦ + )٤+ س٤ +٢س) = (س(د [ ، ٢-[د متزایدة فى ، [٢- ،-]، د متناقصة فى

، د لیست زوجیة والفردیة [ ، ٢= [، المدى

٢-=، معادلة محور التماثل ھى س ٦+ س ٤+٢س) = س(، ویتم الحصول على منحنى الدالة د

وذلك٢س) = س(من منحنى الدالة د الب بإزاحة مقدارھا وحدتین فى االتجاه الس لمحور السینات ، متبوعة بإزاحة مقدارھا وحدتین فى االتجاه الموجب لمحور الصادات

س

ص

) -٢-،١( )٣- ،٠(

′س

′ص

و

س

ص

)-٢ ، ٢(

)٦ ، ٠(

′س و

′ص



٤٤

١ ± =ا ، جـ + ٣)س ــ ب ( ا ) = س(د: الصورة العامة تمثل بیانیا بمنحنى ذو فرعین أحدھما ألعلى و اآلخر ألسفل

)نقطة التماثل ( و ھى رأس المنحنى ) ب ، جـ ( ى الدالة متماثل حول النقطة منحن

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مالحظات* )٠ب ، ( صفر فإن نقطة التماثل ھى = ا كانت جـ إذ-١ و تكون الدالة فردیة ) ٠ ، ٠( صفر فإن نقطة التماثل = جـ = إذا كانت ب -٢ بعكس | ب | جـ بعد إزاحتھ أفقیا مقدار ) + ب –س ( ا ) = س( نحصل على منحنى الدالة د-٣

ة و للیسار إذا كانت ب سالبة إشارتھا على محور السینات للیمین إذا كانت ب موجب ألعلى إذا كانت جـ موجبة و ألسفل إذا كانت جـ سالبة | جـ | وازاحتھ رأسیا مقدار -٤ : فى الشكل المقابل -٥

صورة الدالة التكعیبیة باالنعكاس فى محور السینات

)موجبة ( ٠> ا

)ب ، جـ ( )ب ، جـ (

)سالبة ( ٠< ا

الربع الثانى و الرابع الربع االول و الثالث

الدالة تناقصیة على ح الدالة تزایدیة على ح الدالة ال زوجیة و فردیة الدالة ال زوجیة و فردیة

)الدالة التكعیبیة(دالة الدرجة الثالثة

٣س) = س(مثال د

٣ــ س) = س(مثال د



٤٥

إزاحة منحنى الدالة فى اتجاه محورى اإلحداثیات: اذكر مداھا وابحث اطرادھا ٢ + ٣)١ - س () = س(دارسم : مثال

)الحل(

) ٢ ، ١( نقطة التماثل ھى المدى ح

ح متزایدة على مجالھا الدالة الزوجیة والفردیة الدالة

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ اذكر مداھا وابحث اطرادھا ١ + ٣)١ + س ( -) = س(د ارسم : مثال

)الحل( ) ١ ، ١-( نقطة التماثل ھى

ح=المدى ح متناقصة على مجالھاالةد ال دیة والزوجیة الفرالةد ال

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ اذكر مداھا وابحث اطرادھا ٣)١ + س ( - ٢) = س(دارسم : مثال : الحل

) ٢ ، ١-( نقطة التماثل ھى ح = ح ، المدى = المجال تناقصیة على مجالھا : االطراد

ال زوجیة و ال فردیة : نوع الدالة

′س

′ص

)٢ ، ١( س

ص

س

ص

)-١ ، ١( ′س

′ص

س

ص

)-٢ ، ١(

′س

′ص



٤٦

لتمثیل كل من الدوال اآلتیة ٣س) = س(استخدم منحنى الدالة د حیث د: مثال : ثم أوجد نقطة التماثل

٣ ــ ٣س) = س(ر) ب (٣ )٢ –س ) = ( س(ر) أ ( ٣ )٢+ س ( ــ ١) = س(ر) د ( ٣ س– ٤) = س(ر) حـ(

: الحل ٣ ــ ٣س) = س(ر) ب( ٣ )٢ –س ) = ( س(ر) أ (

)٣ - ، ٠( اثل ھى نقطة التم ) ٠ ، ٢( نقطة التماثل ھى ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٣ )٢+ س ( ــ ١) = س(ر) د( ٣ س– ٤) = س(ر) حـ(

)١ ، ٢ -( نقطة التماثل ھى ) ٤ ، ٠( نقطة التماثل ھى



٤٧

ب {، س ٠ {جـ ، ك ) = + س(د: الصورة العامة

)ب ، جـ ( نقطة التماثل ھى

}جـ { –ح = ، مداھا } ب { –ح = ویكون مجالھا

فأن الدالة فردیة ) ٠ ، ٠( إذا كانت نقطة التماثل :ملحوظة


واذكر المجال والمدى وابحث اطرادھا واذكر نوعھا ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك : الحل

}٠ {–ح = المجال }٠ {–ح = المدى

[، ٠]، [ ٠ ، -]د متناقصة فى د فردیة ألنھا متماثلة حول نقطة األصل

ك ب -س

) ب ، جـ-( س

ص

′س

′ص

′س س

ص

′ص

)جـ ب ،(

[ ، ب∞ -] ، [ ∞ب ، ] الدالة تناقصیة فى المنحنى یقع فى الربعین االول و الثالث

الدالة ال زوجیة وال فردیة

[∞ ب،-]، [ ب -، ∞ -] الدالة تزایدیة فى منحنى یقع فى الربعین الثانى و الرابعال

الدالة ال زوجیة وال فردیة

سریةالكالدالة

س )٠ ، ٠(

ص

′س

′ص

١ س



٤٨

واذكر المجال والمدى وابحث اطرادھا واذكر نوعھا ) = س(الدالة دارسم منحنى : مثال :من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك

:الحل

}٠ {–ح = المجال }٠ {–ح = المدى

[، ٠]، [ ٠ ، -]د متزایدة فى د فردیة ألنھا متماثلة حول نقطة األصل

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ )فى اتجاھى محورى االحداثیات : ( التحویالت الھندسیة للدالة الكسریة *

ابحث اطرادھا واذكر المجال والمدى و ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :واذكر نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل

}٢ {–ح = المجال }٠ {–ح = المدى

[ ، ٢] ، [ ٢ ، -]د متزایدة فى د الفردیة والزوجیة


واذكر المجال والمدى وابحث اطرادھا ٢ +- ) =س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :واذكر نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل

}١- {–ح = المجال }٢ {– ح= المدى

[، ١-] ، [ ١- ، -]د متزایدة فى د الفردیة والزوجیة

- ١ س

س )٠ ، ٠(

ص

′س

′ص

- ١ ٢ - س

س )٠ ، ٢(

ص

′س

′ص ١ ١+ س

)-٢ ، ١( س

ص

′س

′ص



٤٩

واذكر المجال والمدى وابحث اطرادھا ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :واذكر نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل

- ٢ = -) = س( د

}٠ {–ح = المجال }٢ {–ح = المدى

[، ٠] ، [ ٠ ، -]د متزایدة فى د الفردیة والزوجیة

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ واذكر المجال والمدى وابحث اطرادھا ) = س( منحنى الدالة دارسم: مثال

:واذكر نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل

+ ٣) = = = س( د

}١ {–ح = المجال }٣ {–ح = المدى

[ ، ١] ، [ ١ ، -]متناقصة فى د د الفردیة والزوجیة


المجال والمدى وابحث اطرادھا واذكر ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :واذكر نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل

– ٢) = = = س( د

١ - س ٢ س

س٢ س

١ س

١ س

ص

)٢ ، ٠( ′س س

′ص ٢ - س ٣

١ - س

٣ + ٢ – ٣ – س ٣ ١ - س

١) + ١ –س ( ٣ )١ –س (

١ ١ - س

′س س

ص

′ص

)٣ ، ١(

١ - س ٢ ١+ س

٢-١ – ٢+ س ٢ ١+ س

٣ –) ١+س (٢ ١+ س

٣ ١+ س



٥٠

) ٢ ، ١-( نقطة التماثل

}١- { –ح = المجال }٢ { –ح = المدى

[∞ ، ١ – ] ، [ ١- ، ∞ -] ایدة فى الدالة متز الدالة ال فردیة و ال زوجیة


: لتمثیل ٠ {حیث س ) = س(استخدم منحنى الدالة د حیث د: مثال

٣) = + س(د) ب) = (س(د) أ ( :الحل

) ب) (أ(

)-٢ ، ١( س

ص

′س

′ص

١ ١ - س

١ ١ س

٣+ س



٥١

اعد االتیة و من الرسم أوجد مجال و مدى كل مثل بیانیا كال من الدوال المعرفة بالقو . دالة و ابحث اطرادھا و نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك

٣+ س ٢) = س(د ] ٢[ س ) = س(د ] ١[ ) = س( د ]٤) = [ س(د ] ٣[ ) =س(د ] ٦) = [ س(د ] ٥[

) = س(د ] ٨) = [ س(د ] ٧[


:اختر االجابة الصحیحة من بین االجابات المعطاة : مثال

..........ھو : مدى الدالة الممثلة بالشكل المقابل ) ١(

ح ) د ( } ١ -{ ) جـ( } ١ - ، ١{ ) ب( } ١{ ) أ ( ................. س تكون – ٣) = س( د:الدالة د ) ٢(

تناقصیة على ح ) ب(تزایدیة على ح ) أ (

[ ∞ ، ٣[ تناقصیة فى ) د [ ( ∞ ، ٣] تزایدیة فى ) جـ (

تمارین على رسم المنحنیات

تدریب على الدالة الثابتة و الخطیة

٣ ــ ٢ س٣

١ – ٢ س

ــ س٣ س

س– ٢ س ٠ Y ، س ٢

٠> ، س ٢ــ

٠ Xس ، س

٠< ــ س ، س

]٢ ، ٠[ g س ، س ٣

[٤ ، ٢] g ، س ٦

]٦ ، ٤ [ g ، س ٢+ س

١< ، س ١+ س

٣< س < ١ ، ٢

٠ X س ، س

و

١

- ١

س

ص



٥٢

: على دالة المقیاستدریب*

اعد االتیة و من الرسم أوجد مجال و مدى كل دالة مثل بیانیا كال من الدوال المعرفة بالقو] ١ [

. و ابحث اطرادھا و نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك

. و اذكر معادلة محور التماثل إن وجد

| ٣ –س | ) = س(د) ٢ (٤+ | س | ) = س(د) ١ (

١ – س ٣+ | ٣+ س ٢| ) = س(ر) ٤(س + | س | ) = س(ر) ٣ (

٣+ | ٢ –س | ) = س(د) ٦( | ٣+ س | ) = س(د) ٥ (

٣ــ | س ٢ – س ٤| ) = س(د) ٨( | ٢ –س | ــ ١) = س(د) ٧ (

| س | ــ ٢) = س(د) ١٠ ( | ٣س ــ | س ــ ) = س(د) ٩ (

:لتمثیل كل من الدالتین ر ، ع | س | ) = س(استخدم منحنى الدالة د حیث د] ٢ [

| ٢ –س | ) = س ( ع) ب( | ٤+ س | ) = س(ر) أ (

٦+ | س | ) = س(ع) ء (٥ -| س | ) = س(ر) حـ (

٤+ | ٢ –س | ) = س(ع) و (١ - | ٣+ س | = ) س(ر) ھـ (


:تدریب على الدالة التربیعیة * : لتمثیل كل من الدالتین ر ، ع حیث ٢س) = س(الة د حیث داستخدم منحنى الد] ١[

٢ )٣س ــ ( ــ ٢) = س(ع) ب (٤ ــ ٢ )٢+ س ) = ( س(ر) أ (

و من الرسم عین إحداثى نقطة رأس المنحنى و إحداثیات نقط تقاطع المنحنى .تین مع محورى اإلحداثیات ، و ابحث إطراد كل من الدال

: لتمثیل كل من الدالتین ر ، ع حیث ٢س) = س(استخدم منحنى الدالة د حیث د] ٢[ ٢ ــ ٢ــ س) = س(ع) ب (١ + ٢س) = س(ر) أ (

. ومن الرسم عین نقطة رأس المنحنى و عین مدى الدالة



٥٣

وجد من الرسم رأس المنحنى ، ثم أ٩+ س ٦ ــ ٢س) = س(ارسم منحنى الدالة د ]٣[ المدى ، االطراد نوع الدالة ، معادلة محور التماثل

.ارسم كل من الدوال اآلتیة ثم عین المدى و االطراد و النوع و معادلة محور التماثل ]٤[

٢ )١س ــ ) = ( س(د) ٣ (٢ ــ س١) = س(د) ٢ (١ ــ ٢س) = س(د) ١( ١ + ٢ )٢ –س ) = ( س(د) ٥ (٢ )٢ –س ) = (س(د) ٤( ٢ )١ –س ( ــ ١) = س(د) ٧ (٢ )١س ــ ( ــ ) = س(د) ٦( ٢ )١ –س ( ــ ٤ــ ) = س(د) ٩ (١ + ٢س) = س(د) ٨( ح C ] ٣ ، ١ -: [ حیث د ٢س) = س(د) ١٠(

٤+ س ٤ ــ ٢س) = س( د)١٢ (٢ ــ ٢ )٢+ س ) = ( س(د) ١١(

| س | س ) = س(د) ١٤ (١+ س ٤ ــ ٢س) = س(د) ١٣(

)١٥ (

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : ة التكعیبیة على الدالتدریب

]١ [



٥٤

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]٢ [

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]٣ [

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ: ى الدالة الكسریةعلتدریب

مثل كال من الدوال المعرفة بالقواعد االتیة و من الرسم أوجد مجال و مدى كل دالة و ابحث ] ١[ : اطرادھا و نوعھا من حیث كونھا فردیة أو زوجیة أو غیر ذلك

٣) = + س(د) ٣) = (س(د) ٢= () س(د) ١ ) = س(د) ٦) = (س(د) ٥) = (س(د) ٤ ) = س(د) ٩) = (س(د) ٨) = (س(د) ٧

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]٢[

- ٢ س

٢ س

١ س

١ ٣+ س

١ ٣ - س

٤+س ٢ ٣ - س

١ |٣+ س |

٢ )٢ –س (

|٣)٢ –س ( | ١ - س ٣ س



٥٥

]٣ [

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]٤ [




٥٦

حل المعادالت و المتباینات :حـل المعـــادالت: أوال

: تذكر أن* ) ٠ ( ھو عدد حقیقى غیر سالب ) مفھوم المقیاس ( . ھو الجذر التربیعى الموجب لمربع ھذا العدد ) مقیاس العــدد (

= | | ، ٠= | ٠| ، ٣ = ٩؟= | ٣| ، ٥ = ٢٥ ؟= | ٥ - | : مثال

: المقیاس" فك " تعریف *

= | ٢س ــ | = | س |

= | ٦+ س ٢ |

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :حل معادالت المقیاس بیانیا *

ھو مجموعة قیم س لنقاط تقاطع منحنیى الدالتین) س(٢د) = س(١الحل البیانى للمعادلة د

: الطریقة العامة للحل

نجعل المقیاس فى طرف لوحده) ١

]بدقة متناھیة ) [ س(نرسم الطرف األیمن من المعادلة كدالة منفصلة و لتكن د) ٢

]بدقة متناھیة ) [ س(نرسم الطرف األیسر من المعادلة كدالة منفصلة و لتكن ر) ٣

نحسب اإلحداثیات السینیة لنقط تقاطع الدالتین د ، ر ، و نكتب مجموعة الحل ھى قیم س) ٤


١ ٢

١ ٢

٠، س س ٠< ، س س -

٢، س ٢ - س ٢< ، س ٢+ س -

٣ - ، س ٦+س ٢ ٣ - < ، س ٦ –س ٢ -



٥٧

٣س ، ٥ – ٣ – س ٣< ، س ٥ - ٣+ س -

٣، س ٨ – س ٣< ، س ٢ س ــ -

١> ــ س عندما س ٣ ) = س(ارسم الدالة د: مثال

١ Yا س س عندم + ١

٠) = س( ثم أوجد قیم س التى تجعل د

: الحل ١ Y س ١> س

١ -= ، س ٣= عند س ٠) = س( د }١ - ، ٣{ = ح . م

: التحقق الجبرى

٠) = س( حیث د تحقق الفترة المعطاة [ ∞ ، ١ ] g ٣= س B ٠= ــ س ٣ن فإ١> عندما س تحقق الفترة المعطاة[ ١ - ، ∞ - ] g ١ــ = س B ٠= س + ١ فإن ١ Yعندما س

}١ - ، ٣{ ھى ٠) = س(مجموعة حل المعادلة د

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :حـ= | ــ ب ا س ــ| حل المعادلة على الصورة ] ١[

بیانیا وحقق الناتج جبریا٥= | ٣ – س |حل المعادلة : مثال ٠ = ٥ - |٣ –س | : نضع المعادلة على الصورة : الحل البیانى ٥ - |٣ –س | ) = س(نفرض أن د

=

) = س(د

١ - ٠ ١ ٢ ٣ ٤ س

٠ ١ ٢ ١ ٠ ١ - )س(د

′ص

ص

′س س ٠

) ٥ -، ٣(

٢ - ٣ ٨



٥٨

) ٠ ، ٢ -( ، ) ٠ ، ٨( من الرسم المنحنى یقطع محور السینات فى

} ٢ - ، ٨{ = ح . م

:الحل الجبرى

[∞ ، ٣ [ g ٨ = س ٠=٨ - س فإن ٣ عندما س [٣ ، ∞ - ] g ٢ - = س ٠ = ٢ – س –فإن ٣< س عندما

٢ - ، ٨ {= مجموعة الحل{

٥) = س(، ر | ٣ –س | ) = س(د: نرسم : حل أخر

)س(یقطع منحنى الدالة د) س( منحنى الدالة ر ) ٥ ، ٢ -( ، ) ٥ ، ٨( فى النقاط

} ٢ - ، ٨{ = ح . م

:الحل الجبرى

٥= | ٣ –س | B ٥ ± = ٣ – س

B ٥ - = ٣ – س ٥ = ٣ – س تحقق٢ -= تحقق س ٨= س

B ٢ - ، ٨{ = ح . م {

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بیانیا و جبریا ٠ = ١+ | س | حل المعادلة : مثال

: الحل البیانى = ١+ | س|) = س( نرسم د

Ø= ح . م B منحنى الدالة ال یقطع محور السینات

: الحل الجبرى [∞ ، ٠[ h ١ -= س B ٠ = ١+ فإن س ٠ Xعندما س

[ ٠ ، ∞ -] h ١= س B ٠ = ١+ س – فإن ٠< س عندما Ø= ح . م B ال یحقق المعادلة ١ ، ١ -

صص

′سس سس

′صص

) ٢ - ) ٠ ، ٣

٥٠

٨

٠ X عندما س ١+ س ٠< عندما س ١+ س -

سس١

صص

١ ١ - ٠



٥٩

٠ X| س| مرفوض الن ١ -= | س |B ٠ = ١+ | س |A : خرآحل جبرى B ح . م =Ø

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : ء+ جـ س = | ب + س ا | حل المعادلة على الصورة ] ٢[

بیانیا و جبریا ٣+ س = | ٣ – س ٢| حل المعادلة : مثال

|٣ – س ٢| ) = س(نرسم الدالتین د : الحل البیانى ٣+ س ) = س( ، ر

و من الرسم نجد نقط تقاطع منحنیى الدالتین ) ٩ ، ٦( ، ) ٣ ، ٠ ( B ٦ ، ٠{ = مجموعة الحل {

:الحل الجبرى ١ Xعندما س .٥

٣+ س = ٣ – س ٢فإن B ٦= س g ] تحقق [ ∞ ، ١.٥

١.٥< عندما س ٣+ س = ٣+ س ٢ –فإن

B – ٠= س ٣ B ٠= س g [ - ∞ ، ١.٥ ] تحقق B ٦ ، ٠{ = مجموعة الحل {

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ و جبریا بیانیا٤ –س = | ٥+ س ٢| حل المعادلة : مثال

٤ –س ) = س(، ر | ٥+ س ٢| ) = س( نرسم الدالتین د:الحل البیانى نالحظ انھ ال یوجد نقط تقاطع للمنحیین

B مجموعة الحل =Ø : الحل الجبرى

٤ –س = ٥+ س ٢ B ٢.٥ – Xعندما س B ٩ -= س h ]- ال تحقق [ ∞ ، ٢.٥

٤ – س =٥ – س ٢ – B ٢.٥ -< عندما س B – ١= س ٣ B س =- h [ - ∞ ، - ٢.٥ ] ال تحقق

B مجموعة الحل =Ø

٠، ٢.٥ -( ٤( - ٤

٥

صص

سس١٣



٦٠

: |ء + ج س | = | ب + ا س | حل المعادلة على الصورة ] ٣[

بیانیا وحقق الناتج جبریا | ٣+ س | = | ٢ –س | حل المعادلة : مثال :الحل البیانى

|٢ –س | = ١نرسم د |٣ +س | = ٢، د

)٢.٥ ،٠.٥-(نجد أن نقطة التقاطع ھى :الحل الجبرى

٢) |٣+ س | = ( ٢) | ٢ –س | : ( بتربیع الطرفین

٢ )٣+ س = ( ٢)٢ –س ( ٩+ س٦ +٢س= ٤+ س ٤-٢ س - ٥= س ١٠ س = = مجموعة الحل ={ }

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بیانیا وجبریا ٣= | ١ –س | + | ٢ –س | حل المعادلة : مثال

٣+ | ١ –س | -= | ٢ –س | باعادة التعریف للمعادلة : الحل البیانى

٣+ | ١ –س | -) = س(، ر | ٢ –س | ) = س( نرسم الدالتین د

من الرسم نقط تقاطع المنحنین

) ٢ ، ٠( ، ) ١ ، ٣( ھى

B ٣ ، ٠{ = مجموعة الحل {

باعادة التعریف للمعادلة : الحل الجبرى

} ٣ ، ٠{ = ح . م

٢ –س ١ –س - ٣ ٣= س

٢+ س - ١ –س - ٣ - ٢

مرفوض

٢+ س - ١+ س -

- ٣ ٠= س

ص

′س )٠ ، ٢(

′ص

)٠.٥،٠-( )٠ ،٣-( س

١د ٢د

٢.٥

- ٥ ١٠

- ١ ٢

- ١ ٢

-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢

٤ ٣ ٢ ١

-١ -٢ -٣

٢ ١



٦١

بیانیا١= | س | + | ٢س ــ | أوجد مجموعة حل المعادلة : مثال :الحل

: نضع المعادلة على الصورة

| س | ــ ١= | ٢س ــ |

|٢ –س | ) = س(١نرسم الدالتین د |س | ــ ١) = س(٢ ، د

Z= مجموعة الحل : من الرسم

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بیانیا ٤= | س | + | ٢ –س | حل المعادلة : مثال :الحل

: نضع المعادلة على الصورة | س | ــ ٤= | ٢س ــ |

|٢ –س | ) = س(١نرسم الدالتین د |س | ــ ٤) = س(٢ ، د

}٣ ، ١ -{ = مجموعة الحل : من الرسم

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢= | س | + | ٢+ س | أوجد مجموعة الحل للمعادلة بیانیا : مثال :الحل

نضع المعادلة على الصورة | س | ــ ٢= | ٢+ س | | س | ــ ٢) = س(٢، د | ٢+ س | ) = س(١نرسم د

:نوجد نقط تقاطع الشكلین البیانیین فنجد ] ٠ ، ٢ -= [ ح . م

-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣

٤ ٣ ٢ ١

-١ -٢ -٣

-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣

٤ ٣ ٢ ١

-١ -٢ -٣

-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣

٤ ٣ ٢ ١

-١ -٢ -٣



٦٢

١+ س ٣ – س

*حـل المعــــادالت جبریا* : العددمقیاسخواص *

٠= س إذا كان ٠= | س | ، ٠ X| س | ) ١(

مقیاس معكوسھ الجمعى = مقیاس العدد ) ٢( | س – ٢| = | ) س – ٢ ( -| = | ٢س ــ | ، | ٣ -| = | ٣| ، | ا -| = | ا | : مثال

| س – ٥| = | ٥ –س |

| ٤| + | س | Y | ٤+ س | مثال | ص | + | س | Y| ص + س | ) ٣(

|ص | × | س | = | س ص | حاصل ضرب مقیاسیھما = مقیاس حاصل ضرب عددین ) ٤( | س | ٣= | س | × | ٣ -| = | س ٣ -| : مثال

| ٥س ــ | ٢= | ٥س ــ | × |٢ -| = | ) ٥س ــ ( ٢ - | |٤ ــ ٢س| = | )٢س ــ )( ٢+ س ( | = | ٢س ــ | | ٢+ س |

= خارج قسمة مقیاسیھما = مقیاس خارج قسمة عددین ) ٥(

: = مثال الجذر التربیعي الموجب لمربع ھذا العدد = مقیاس العدد ) ٦(

٩ = ٢) |٣ -| ( ، ٢ا = ٢ )|ا | ( ، ٥ = ٢٥؟= | ٥| ، ٢ا ؟= | ا | : مثال ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

:تذكر أن

صفر المقیاس ھو قیمة س الناتجة من وضع ما بداخل المقیاس مساویا الصفر ٣= و منھا س ٠ = ٦ – س ٢نضع | ٦ – س ٢| إلیجاد صفر : مثال

B لةو ھو یفید فى تحقیق الحل لمعادلة المقیاس بسھو } ٣{ صفر ھذا المقیاس ھو

: فكــرة حل معادالت المقیاس

)صفر المقیاس ( X نأخذ ما بداخل المقیاس بنفس إشارتھ عندما س ) صفر المقیاس ( < ، و نأخذه بعكس إشارتھ عندما س

س ص

|س |

|١+ س | |ص |

|٣س ــ |



٦٣

٣= | ٧ س ــ ٢| أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال : الحل

٣.٥= = س G ٧= س ٢ G ٠ = ٧ – س ٢بوضع : صفر المقیاس

٣.٥< عندما س ٣.٥ X عندما س ٣ = ٧+ س ٢ – G ٣ ) = ٧ – س ٢ ( - ١٠= س ٢ G ٣ = ٧ س ــ ٢ G ٤ -= س ٢ - تحقق ٥= س G ق تحق٢= س

} ٥ ، ٢{ = ح . م ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٢= س ٣ــ | ٥ س ــ ٢| : أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال :الحل ٢.٥= = س G ٠ = ٥ ــ س٢

٢.٥< عندما س ٢.٥ X عندما س

٢= س ٣ ــ ٥+ س ٢ - ٢= س ٣ ــ ٥ س ــ ٢

G – ٧= س G مرفوض ٧ -= س G – ٣ -= س ٥ G ق تحق= س

{ } = ح . م ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٠= | ٣ –س | + ٥: أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال : الحل

٣= س G ٠ = ٣ –س : اس صفر المقی ٣< عندما س ٣ X عندما س

٠ = ٣+ س – ٥ G ٠ ) = ٣ –س ( – ٥ مرفوض ٢ -= س G ٠ = ٣ –س + ٥ مرفوض ٨= س

Z= ح . م

و ھذا مرفوض الن ناتج أى ٥ -= | ٣ –س | : بالنظر للمعادلة األصلیة نجد أن : حل آخر . مقیاس البد أن یكون موجبا و بالتالى فال یوجد حل اذھھ المعادلة

٧ ٢

٥ ٢

٣ ٥

٣ ٥



٦٤

١٨ -= | س | س ٣ ــ ٢ |س | : حل المعادلة : مثال :الحل

٠< عندما س ٠ X س عندما

١٨ -) = س -( × س ٣ ــ ٢ س١٨ -= س × س ٣ ــ ٢ س G – ١٨ - = ٢ س٢ G٩ = ٢ س G١٨ - = ٢ س٣ + ٢ س

G مرفوض ٣ -= ، س ٣= س G ١٨ - =٢ س٤ Gمرفوض = ٢ س

B ٣{ = ح . م {

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = : أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال :الحل

) ٤+ س ٧ ( ٢= | ٥ – س ٢ | ٥: ینتج أن ١٠ بالضرب فى

٢.٥= = س G ٠ = ٥ – س ٢: صفر المقیاس

٢.٥< عندما س ٢.٥ X عندما س

)٤+ س ٧ ( ٢ ) = ٥ – س ٢ ( ٥ - ) ٤ + س ٧ ( ٢ ) = ٥ – س ٢ ( ٥ G ٨+ س ١٤ = ٢٥ – س ١٠ G - ٨+ س ١٤ = ٢٥+ س ١٠ G – ٣٣= س ٤ G مرفوض ٨.٢٥ -= س G – ١٧ -= س ٢٤

G تحقق = س

{ } = ح . م ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٥ = "١ " +"س" ٢"+ " ٢ س؟دلة مثال أوجد مجموعة الحل للمعا : الحل

٥= | ١+ س | G ٥ = " ٢)" ١"+ "س ( ؟ = "١ " +"س" ٢"+ " ٢ س؟

-١٨ ٤

٤+ س ٧ ٥

| ٥ – س ٢ | ٢

٥ ٢

١٧ ١٧ ٢٤

٢٤



٦٥

: تابع الحل ١ -< عندما س ١ – X عندما س

٥ = ١ – س – G ٥ ) = ١+ س ( - تحقق ٤= س G ٥ = ١+ س G - ٦= س G تحقق ٦ -= س

B س g } - ٤ ، ٦ { ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٢: = أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال

٢ ± = B ٢ = A: الحل

= ٢ - = ٢

)١+ س ( ٢ - = ٣+ س ) ١+ س ( ٢ = ٣+ س

٥ -= س ٣ G ٢ – س ٢ - = ٣+ س ١ -= س - G ٢+ س ٢ = ٣+ س تحقق= تحقق س ١= س

} ، ١ { =ح . م

| ١+ س | ٢= | ٣+ س | G ٢ = G ٢ : = حل آخر

٢ )١+ س ( ٤ = ٢ )٣+ س : ( وبتربیع الطرفین

٤+ س ٨ + ٢ س٤ = ٩+ س ٦ + ٢س G ) ١+ س ٢ + ٢س ( ٤ = ٩+ س ٦ + ٢ س

٠ ) = ١ –س )( ٥+ س ٣ ( G ٠ = ٥ س ــ ٢ + ٢ س٤ G ٠ = ١ – أو س ٠ = ٥+ س ٣ G تحقق ١= تحقق أو س = س B ١{ = ح . م ، {

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠= | ٣س ــ | ــ | ٥+ س | حل المعادلة : مثال

)الحظ أن التربیع یلغى المقیاس ( بتربیع الطرفین | ٣ –س | = | ٥+ س | : الحل } ١ -{ = ح . نحل السؤال كما فى الحل اآلخر م

٣+ س ١+ س

٣+ س ١+ س

٣+ س ١+ س

٣+ س ١+ س

٣+ س ١+ س

- ٥ ٣

- ٥ ٣

٣+ س ١+ س

|٣+ س |

|١+ س |

- ٥ ٥ - ٣

٣



٦٦

٣= | ١ –س | | ١+ س | حل المعادلة : مثال :الحل

٣ ± = ١ – ٢ سG ٣= | ١ – ٢س | G ٣= | ) ١ –س )( ١+ س ( |

٣ - = ١ ــ ٢ س٣ = ١ – ٢ س

مرفوض ٢ - = ٢ تحققان س٢ ±= س G ٤ = ٢ س B ٢ - ، ٢{ = ح . م {

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠ = ٠.٥ ) + ١ -| س | )( ١+ س : ( أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال :الحل

= | س |

٠< عندما س ٠ عندما س

٠ = ٠.٥ ) + ١ – س - )( ١+ س ( ٠ = ٠.٥ ) + ١ –س )( ١+ س ( ٠ = ٠.٥+ س ٢ – ١ – ٢ س- ٠ = ٠.٥ + ١ – ٢ س ١ - × ٠ = ٠.٥ – س ٢ – ٢ س- ٠ = ٠.٥ – ٢ س ٢ × ٠ = ٠,٥+ س ٢ + ٢س = ٠.٥ = ٢ س

٠ = ١+ س ٤ + ٢ س٢ ±= س

: تحقق باستخدام القانون العام = = س ١= ، جـ ٤= ، ب ٢= ا

٨ = ١ × ٢ × ٤ – ١٦= ا ج ٤ – ٢ب= الممیز مرفوض = س

± ١- = = س تحققان } - ١-، + ١-، { = ح . م

٠، س س ٠< ، س س -

١ ٢

٢؟٢

١ ٢؟

-١

حـ ا ٤ –۲ ب± ب – ٢؟ ا ۲

٢؟٢

١ ٢؟

٢؟٢

٢؟٢

٢؟٢



٦٧

المعادالت حل على حیاتیة تطبیقات

٢ - | ٣ –س | ) = س(د ، ر حیث د الدالتین منحنیى ینب محصورة أرض قطعة: مثال أمتار ٨ الوحدة طول كان وإذا المربعة بالوحدات مساحتھا احسب ٣) = س(، ر .المربعة باألمتار األرض مساحة إحسب :الحل

بتمثیل منحنى الدالتین د ، ر بیانیا نجد انھما )٣ ، ٨( ، ب )٣ ، ٢ -( ا یتقاطعان فى النقط

ا ب ج و تكون قطعة االرض على شكل مثلث وحدات ١٠= ا ب القائم فى جـ حیث

وحدات ٥ ) = ٢ــ ( ــ ٣= ج ء ،

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مثال

: الحل



٦٨

*حـل المتبــــایــنـات*

مجموعة حل المتباینة فى متغیر واحد ھى قیمة أو قیم المتغیر التى تجعل المتباینة صحیحة

:تذكر أن

ا ±= فإن س ا = | س | إذا كان ) ١(

ا < س < ا - فإن ا | < س | ) ٢(

ا < ب - س < ا - فإن ا | < ب –س | ) ٣(

ا Y ب - س Yا -فإن ا Y| ب –س | ) ٤(

ا > ، س ا -< س فإن ا | > س | ) ٥(

ا X ب –أو س ا - Y ب – فإن س ا X| ب –س | ) ٦(

:مالحظات ھامة تستخدم عند حل متباینات المقیاس

ال نستخدم صفر المقیاس ) ١(

: اصغر من ) < ( عندما تكون عالمة التباین ) ٢( . تصبح مجموعة الحل على شكل فترة إما مفتوحة أو مغلقة

:اكبر من ) > ( عندما تكون عالمة التباین ) ٣( تصبح مجموعة الحل على شكل ح ــ فترة معكوسة

فى بدایة الكالم قبل حل المتباینة ) التى داخل المقیاس ( یجب جعل س ) ٤( | ٥ س ــ ٣| تصبح | س ٣ ــ ٥| ، | ٣ –س | تصبح | س - ٣| : مثال

عالمة التباین عند ضرب أو قسمة طرفى المتباینة فى عدد سالب فإننا نعكس ) ٥( ٣ -> فإن س ٣< ، ــ س ٥ -< س ٢ فإن ٥> س ٢ــ : مثال

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : فترة مجموعة حل كل من المتباینات اآلتیة أوجد على صورة: مثال

٥ Y | ٣+ س ٢| ) ٢ ٢ | < ٥ –س | ) ١

٠ X | ٧+ س | ) ٤ ٥ | > ٤ – س ٣| ) ٣



٦٩

:الحل ٢ | < ٥ –س | )١(

٧< س G ٥ + ٢< س G ٢ < ٥ – إما س ٣> س G ٢ - > ٥ – س G ٢< ) ٥س ـ ( - أو

B [ ٧ ، ٣= ] ح . م

٥ Y | ٣+ س ٢| )٢(

١ Y س G ٢ Y س ٢ G ٣ – ٥ Y س ٢ G ٥ Y ٣+ س ٢ إما ٤ - X س G ٨ – X س ٢ G ٥ – X ٣+ س ٢ G ٥ Y ) ٣+ س ٢( أو ــ

B س g ] - ١ ، ٤ [

٥ | > ٤ – س ٣| )٣(

٣> س G ٩> س ٣ G ٥ > ٤ – س ٣ إما < سG ١ -< س ٣ G ٥ - < ٤ – س ٣ G ٥> ) ٤ – س ٣( أو ــ

B ٣، [ ح ــ = ح . م [

٠ X | ٧+ س | )٤(

٧ – X س G ٠ X ٧+ إما س ٧ – Yس G ٠ Y ٧+ س G ٠ X ) ٧+ س ( أو ــ

B ح= ح . م

)٤( و الحظ الفرق عن ٠ | < ٧+ س | عزیز الطالب أوجد مجموعة حل المتباینة : مالحظة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

:أوجد على صورة فترة حل كل من المتباینات اآلتیة : مثال

٢ X| س ٣ – ٥| ) ٢ ٣ < "١٦ "+"س " ٨ـ " ـ٢ س؟) ١

| س ٤ – ٦ | - ٩ | > ٣ – س ٢| ) ٣

- ١ ١ - ٣

٣



٧٠

:الحل ٣ | < ٤ –س | G ٣< " ٢ )"٤ –" "س ( ؟ G ٣ < ""١٦ "+"س "٨ –" ٢ س؟) ١(

٧< س G ٤ + ٣< س G ٣ < ٤ – إما س ١> س G ٣ - > ٤ – س G ٣< ) ٤ –س ( - أ،

B س g [ ٧ ، ١ ] ٢ X | ٥ – س ٣ | G ٢ X| س ٣ – ٥| ) ٢(

X س G ٧ X س ٣ G ٢ X ٥ – س ٣ إما

١ Y س G ٣ Y س ٣ G ٢ - Y ٥ – س ٣ G ٢ X ) ٥ – س ٣ ( - أ،

B س g [ ، ١ ] - ح | ٦ – س ٤ | - ٩ | > ٣ – س ٢ | G| س ٤ – ٦ | - ٩ | > ٣ – س ٢| ) ٣(

G | ٣ – س ٢ | ٢ – ٩ | > ٣ – س ٢ | G | ٩ | >٣ – س ٢ | ٢+ | ٣ – س ٢ G ٩ | > ٣ – س ٢ | ٣ G | ٣ | > ٣ – س ٢

٣> س G ٦> س ٢ G ٣ > ٣ – س ٢ إما ٠< س G ٠> س ٢ – G ٣ > ٣+ س ٢ - G ٣> ) ٣ –س ٢ ( - أ،

B ٣ ، ٠ [ -ح = ح . م [

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٥ | ٤ - س ٣| : ینة حل المتبا: مثال ٥ - ٤ - س ٣ ٥ ٤ - س ٣ : الحل

١ - س ٣ ٩ س ٣

س ٣ س

] ، -= ] ح . م [ ، ٣= [ ح . م

] ، - ] بآل [ ، ٣= [ ح . م

[٣، ] -ح = ح . م

٧ ٣

٧ ٣

- ١ ٣

- ١ ١- ٣

١ - ٣ ٣



٧١

تتمارین على حل المعادالت و المتباینا :أوجد جبریا مجموعة الحل لكل من المعادالت اآلتیة ] ١[

س + ٤= | ٥+ س | ٢) ب ٠ = ٥ - | ١+ س | ٢) أ

٤ = " ٤" + " س"٤–" ٢ س؟) د ٠= | س – ٢ | ٢ - | ١ –س | ٣ ) جـ

]٢ [ ]٣[ ]٤ [

١(

٢( ٣( ٤(

٥(

٦( ٧( ٨(

٩(

١٠(

١١(

١٢(



٧٢



١( ٢( ٣(

٤( ٥( ٦(

٧( ٨(

١( ٢( ٣( ٤( ٥(

٦( ٧( ٨( ٩(

١٠(

١١(

١٢(

١٣(

١٤(

١١(

٣( ٤(

١( ٢(



٧٣

:تذكر أن ا × ٠٠٠× ا × ا × ا × ا = نا : فإن + صص gن ، حح gا : إذا كان ) ١(

نأس ا : یقرا نا من المرات و الرمز ن امل مكرر كعا حیث اأ، لألساس ا أ، القوة النونیة للعدد

٢٥ × ١٦ = $ ]٥ة[ × $ ٢= ٤٤ ]٥ ة٢[ : مثال

رف غیر معصفر) صفر ( الن ٠{ ا بشرط ١ = صفر ا ) ٢ ( صفر = فإن ص ١ = ص ٥ ، ١ = صفر ]٧ - [ مثال مث

عدد صحیح موجب نن صفر ، {عدد حقیقى ا إذا كان ) ٣ (

= نن - ا ، = نن ا : فإن

= ٢ – ٧ ، ٨١= = ٤ ٣ :مثال ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: مالحظات ١= صفرا = نن - ا × نن ا : حیث أن نن - ا معكوس ضربى للعدد نن ا العدد -١

١=٤ - ]٥ة[ × ٤ ]٥ة[ ، ١ = ٥ ٣ × ٥ – ٣: مثال

= ٤=[ ] ٤ - [ ]: مثال نن- = [ ]نن [ ]- ٢

ـــ ـــ ـــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ) قوانین القوى الصحیحة فى ح : ( قوانین األسس

:فإن صص g ن ، حح g ب ، ا ـ : إذا كان

٩ = ٤ ]٣ة ] = [ ٣ة [ × ٣ ] ٣ة [ ، ٥ ٧ = ٢ ٧ × ٣ ٧مثال ن+ م ا = نا × ما - ١

٨١ = ٤ ٣ = ٣ – ٧ ٣ = ٣ ٣ ÷ ٧ ٣مثال ن- م ا = ن ا ÷ م ا - ٢

٥ ة ٥ - = ٣]٥ة- = [١٢ ] ٥ ة - [ ÷ ١٥ ] ٥ ة - [،

ة ي ن ا ث ل ا ة د ح و ل ا األسس و اللوغاریتمات و تطبیقات علیھا

١ نن- ا

١ ننا

١ ٤- ٣

١ ٧ @

ا ب

ب ا

٢ ٣

٣ ٢

١٦ ٨١



٧٤

ن ٥ × ن ٣ = ن ] ٥ × ٣ = [ ن ١٥مثال نب × نا = ن ]ا ب [ - ٣

ن= [ ]، = ن [ ] مثال نب ÷ ن ا = ن ] ب ÷ ا [ - ٤

س٢ ٣ = س ] ٢ ٣[ ـ ، ٦ س = ٢ ] ٣ س [ مثال م نا = ن ] م ا [ - ٥

: مالحظات

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : اختصر البسط صورة : مثال

: = = الحل

٥ = ١ × ٥ = ٠ ٣ × ٥ = ن٣ – ن ٣ ٣× ن ٣ – ١+ ن ٣ ٥ =


أوجد فى ابسط صورة قیمة : مثال

= = المقدار : الحل

٣ = ١ × ٣ = صفر ٢ × ١ ٣ = ٤ – ٤ ٢ × ٨ + ٢ + ٩ – ٣ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

فأوجد قیمة س ١٠ = ١ - س ٣ + ١+ س ٣ كان إذا: مثال : الحل

١٠ = ١٠ × ١ - س ٣= ] ١ + ٩ [ ١ - س ٣ ] = ١ + ٢٣ [ ١ - س ٣ = ١ - س ٣ + ١+ س ٣ B ١ = ١ – س ٣ B ٠ = ١ – س B ١= س

٣= × ١٠ = س ٣ G ١٠= × س ٣ G ١٠) = ١ – ٣ + ٣ ( س ٣: حل آخر

٥ ٧

٣ ٥

ن٣ ن٥

ن٥ ن٧

ن ب - نا { ن )ب - ا( ، نب+ نا { ن)ب + ا) ( ١ (

٨١ = ٤ ٣ = ٤ )٣ -( مثال) عدد زوجى نحیث ( ن ا= ن )ا -) ( ٢ (

٢٧- = ٣ ٣- = ٣ )٣ -( مثال ) عدد فردى نحیث ( ن ا -= ن )ا -) ( ٣ (

ن ٢٧ × ١+ ن ٣ ٥

ن ٣ ١٥ ن ]٣ ٣[ × ١+ ن ٣ ٥

ن ٣ ] ٥ × ٣ [

ن ٣ ٣ × ١+ ن ٣ ٥

ن ٣ ٥ × ن٣ ٣

ن ٢٧ × ١+ ن ٣ ٥

ن ٣ ١٥

) ٢)١٢( × ٣ -)٢٧ ٢ -)٨١( × ١٦

) ٢)٢ ٢ × ٣( × ٣ -)٣ ٣ ٢ -)٤ ٣( × ٤ ٢

٤ ٢× ٢ ٣× ٩ - ٣ ٨ - ٣ × ٤ ٢

١٠٣

٣ ١٠



٧٥

= أثبت أن : مثال

= = الطرف األیمن : الحل

الطرف األیسر= = × = ٥÷ = = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

:ة اختر االجابة الصحیح: مثال

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :مالحظات

..... ) ، ١١ ، ٧ ، ٥ ، ٣ ، ٢( عند حل مسائل األسس البد من جعل األساس عددا أولیا )١

ص ٤ + ٢ صBص = س ٧ یمكن فرض س ٧ × ٤ + س ٢ ٧إذا كانت )٢

١ س ــ ٢ ــ ٥ ٧ × ص ــ س + س ٣إذا كان الكسر یمكن كتابتھ )٣

نستغنى عن شرطة الكسر ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: الجذور النونیة*

٣ - ، ٣ لھا جذران حقیقیان ھما ٩ = ٢ المعادلة س .....و ھكذا ) و باقى الجذور اعداد مركبة ( ٢ لھا حل وحید ھو ٨ = ٣ المعادلة س

من الجذورن لھا + صgن . ح gا حیث ا = نالمعادلة س : بوجة عام

:ا = ن سالحاالت المختلفة للمعادلة : موجباا إذا كان ن زوجیا ، ] ١ [

)باقى الجذور أعداد مركبة ( فإن المعادلة لھا جذران حقیقیان أحدھما موجب و اآلخر سالب

١ -ن٢ ٣ × ٤ - ن ٢ ٣ ×٥

ن٢ ٣ - ١+ ن ٢ ٣ × ٢

١١ ١٥

١ -ن٢ ٣×٢ ٢ - ن ٢ ٣ ×٥

)١ – ٣ × ٢ ( ن ٢ ٣ ) ١ – ٣ × ٢ ٢ – ٥ (ن٢ ٣ )١ – ٣ × ٢ ( ن ٢ ٣

ــ٥ ٥

٤٣١١

٣ ١١ ٣

١ ٥

١١ ١٥

ص ٣ × ٥ ٧ × س ٣ ١+ س ٢ ٣ ×س ٧



٧٦

بالجذر النونى ا یسمى الجذر النونى الموجب للعدد و ا؟ ن ، ــ ا؟ ن و یرمز لھما ااآلساسى للعدد

٣ــ = ٨١؟ ٤ ، ــ ٣ = " ٨١؟ ٤ لھا جذران ھما ٨١ = ٤المعادلة س: مثال ]حذورھا تخیلیة[ لیس لھل جذور حقیقیة ا = نالمعادلة س : سالبا ا إذا كان ن زوجیا ، ] ٢ [

] ت ٤ - ت ، ٤لھا جذران تخیلیان [ لیس لھا جذور حقیقیة ١٦ - = ٤لمعادلة سا: مثال : ح gا فردیا ، ن إذا كان ] ٣ [

)باقى الجذور أعداد مركبة ( ا ؟ ن لھا جذر حقیقى وحید ھو ا = ن فإن المعادلة س ٢ - = " ٣٢ــ ؟ ٥و لھا جذر حقیقى وحید ھ٣٢ــ = ٥المعادلة س: مثال

:صفر = ا ، + صg نا كان إذ] ٤ [

صفر لھا حل حقیقى وحید ھو صفر = ن فإن المعادلة س صفر = صفر فإن س = م المعادلة س: مثال

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مجموعة حل كل من المعادالت اآلتیة ح أوجد فى : مثال

٢٤٣ = ٥س) ب (١٦ = ٤س) أ (

)و باقى الجذور اعداد مركبة ( ٢ ±= " ١٦ ؟ ±= س B ١٦ = ٤س) أ : ( الحل B ٢ - ، ٢{ = ح . م {

)و باقى الجذور اعداد مركبة ( ٣ = " ٢٤٣؟ ٥= س B ٢٤٣ = ٥س) ب ( B ٣{ = ح . م {

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : األسـس الكسریة*

)٧ = ( ٧؟ ٣، ) ا =( ا ؟ ٣، ) ٣ = ( ٣ ؟، ) ا =( ا ؟: مثال

زوجى أو فردىن یراعى ا = ا = "نا ؟ ن ، ا = ا ؟ ن : بوجة عام

] ٢ =" ٤ |٢| ؟ ٤ = " ٤|"٢- |؟ ٤ = ١٦؟ ٤ مثال [ زوجى نإذا كان | ا | = نا ؟ ن] ١ : [ مالحظة ]٢ - = " ٣٢ -؟ ٥ ، ٢ = " ٣٢؟ ٥مثال [ فردى نإذا كان ا = نا ؟ ن] ٢ [

١ ٢

١ ٢

١ ٣٢

١ ٣١ ٢

ن ن ن



٧٧

: خواص الجذور النونیة*

:فإن ص g، م } ١{ ــ + ص g، ن } ٠{ - ح gا ، ح g ب؟ ن ، ا؟ ن إذا كان ٦ ؟ ٧ = ٣؟ ٧ × ٢؟ ٧ ، ٣ ؟ ٣ × ٥ ؟ ٣ = " ٣ " ×٥ ؟ ٣ مثال ب؟ ن × ا؟ ن= "ا ب؟ ن ] ١[

مب ٣ = مل مب ٣= ، = مل مب ٥ مثال ٠ {، ب = مل مب ن] ٢[ ) س = ( ٢ )س ؟ ٥ = ( " ٢س ؟ ٥ مثال ا = م ) ا ؟ ن( = ما؟ ن] ٣[

یمكن تعمیم قوانین األسس الكسریة حیث انھا تخضع لنفس قوانین االسس الصحیحة : ملحوظة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

:قیمة كل من ) إن أمكن ( أوجد : مثال ) ١٢٥ــ ] ( ٣ ) [٨١( ــ ] ٢ [" ٣٦؟ــ ] ١ [

) ٢٥ــ ] ( ٦ ) [٩ -] ( ٥[| "١٢٨ـ ؟ ٧ | ] ٤ [ : الحل

٦ــ = ٢ ٦؟ــ = " ٣٦؟ــ ] ١ [

٣ = ٣ ) ] = ٤ ٣[ ( ــ ) = ٨١( ــ ] ٢ [

) ٥ - ] = ( ٣ )٥ - ) = [ ( ١٢٥ــ ] ( ٣ [

٢= | ٢ -| = | ٧")٢ -( ؟ ٧ | =| "١٢٨ـ ؟ ٧ |] ٤ [

ح h "٢٥ - ؟ ٤ ) = ٢٥ -] ( ٦[ح h ٩ -؟ ) = ٩ -] ( ٥ [


: أوجد فى أبسط صورة كل من : مثال

" ١٨)"ص" ٢"+"س( ؟ ٦] ٤[ " ١٢ا" ١٦ ؟ ٤] ٣ [" ٨"ص" ٤"س" ١٦؟ ٤] ٢[ " ٩ب" ٦ا ٨؟ ٣ــ ] ١[

٣ ب٢ا ٢ -= ب × ا ٢ــ ــ = ٩ ب؟ ٣ × ٦ا ؟ ٣ × ٨ ؟ ٣ــ = "٩ب" ٦ا ٨؟ ٣ــ ] ١: [الحل

ا ب

ا؟ ن ب؟ن

٣ ٥

٣ ؟ ٥ ٥ ؟ ٥

٢ ؟ ٣ ٤ ؟ ٣

٢ ٤

١ م ٢

٢ ن٥

١ ٤٥

١ ٣٤ ١

٢٣

١ ٤٢

١ ٤٥

١ ٤٥

٤٤٥ ١

٣٤

١ ٣٤

١ ٢٣

١ ٤٢

٦٣١

٩٣١



٧٨

٢ س ص٢ = ٢|ص|× | س | × ٢ = " ٨ص ؟ ٤ × " ٤س ؟ ٤ × ١٦؟ ٤ = " ٨"ص" ٤"س" ١٦؟ ٤] ٢[

٣ ا ٢= ا × ٢ = ١٢ا؟ ٤ × ١٦؟ ٤ = "١٢ا" ١٦ ؟ ٤] ٣[

٣) ص ٢+ س ) = ( ص ٢+ س = ( "١٨)"ص" ٢"+"س( ؟ ٦] ٤[ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: أوجد فى ابسط صورة : مثال

= = المقدار : الحل

١ = ١ × ١ = صفر ٧ × صفر ٣ = ــ ٧ × ــ + ٣ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= ن أثبت أ: مثال

= = الطرف األیمن : الحل

١ – س ٣ – ١+ س ٣ ٤ × س ٦ – ١ – س ٦ ٧ =

األیسر = = ١× = صفر ٤ × ١ – ٧ =

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ سم٦٠٠ ، حجمھا مل مب ٣ = نقیعطى بالعالقة ) نق(إذا كان طول نصف قطر كرة : مثال

: حجم الكرة ح فأوجد مقربا الناتج لثالثة أرقام عشریة حیث

مساحة سطح الكرة ) ٢طول نصف قطر الكرة ) ١

١٢ ٤

١٨ ٦

١٤٧( × ٣(

)٦٣ (

١ ٢٣

١٦٥ ١

٣٦

٢ ٧ × ٣( × ٣(

) ٧ × ٢ ٣ (

٧ × ٣ × ٣

٧ × ٣

١ ٢٣

١٦٥ ١

٣٦

٢٣٦

١٣٦

١ ٢٣

١٦٥

١ ٣٢

١ ٢٣

١٦٥

٢٣٢

١ ٣٢

١ ٣٢

١+ س ٣ )٤( × س ــ ٢ )٣٤٣ (

٤ × س٣)١٩٦ (

١ ٣٢

١ ٧٣

١+ س ٣ )٤( × س ــ ٢ )٣ ٧ (

٤ × س٣)٤ × ٢ ٧ (

١ ٣٢

١+ س ٣ )٤( × ١س ــ ٦ )٧ (

٤ × س٣)٤( × س٦ ) ٧ (

١ ٧٣

١ ٧٣

ح ٣٤ π



٧٩

سم ٥.٢٣٢ T ٥.٢٣٢٢٣ T مل مل مب ٣ = مل مب ٣ = نق: الحل

٣٤٣.٩٨٩٦١٧٥ T ٢ )٥.٢٣٢( × π × ٤ = ٢نق π ٤= مساحة سطح الكرة

T ٢ سم٣٤٣.٩٨٩

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : األسیة فى حت حل المعــــادال*

:مالحظة ھامة حیث م عدد فردىا= فإن س ا = إذا كان س ) ١

٣= ، س ٨ = ٣ ٢ = ٢= س B ٢= س : مثال ل مشتركحیث م عدد زوجى ، م ، ن لیس بینھما عاما ±= فإن س ا = إذا كان س ) ٢


:لكل من المعادالت اآلتیة ح أوجد مجموعة الحل فى : مثال

٢٥ ) = ٢ –س ) ( ٢ ٢٧= س ) ١

٠ = ٤ س ــ ٣س ــ ) ٤ ٠ = ٩+ س ١٠س ــ ) ٣

٣٢ ) = ١+ س ) ( ٥

: حل آخر : الحل

برفع الطرفین للقوة ٢٧= س ٥ین للقوة برفع الطرف٢٧= س ] ١[

B ٢٧ = (٣ س( بأخذ الجذر التكعیبى للطرفین ٥ B س ) =٥ ٣ ] = ٣)٣) = [ (٢٧

B ٢٤٣ = ٥ ٣ = ٥ )٢٧؟ ٣= ( س B ٢٤٣= س

B ٢٤٣{ = ح . م { B ح . م = }٢٤٣ {

ح ٣٤ π

٦٠٠× ٣ ٤ π

٣٥٢

٢٣٥٢

٣٥

٤٣٥

٤٥٥

٢٥١ -٥

٢ - ٥ ٢

٣٥٢

٥٣

٣٥٢٥

٣٢

٥٣٢

م ن

ن م

١٣

٣١

٥٣

٣ ٥

م ن

ن م



٨٠

٣ برفع الطرفین للقوة ٢٥ ) = ٢ –س ] ( ٢[

B ) حل آخر ٣)٢٥ = ( × ٣ )٢ –س:

B ) ٣ ٥ ± = ٣)٢٥؟ ( ±) = ٢٥ (± = ٢ – س ٣)٢٥ = (٢ ) ٢ –س

B ٣ ٥ ± = ٣ )٢٥؟ (± = ٢ – س B ١٢٥ ± = ٢ – س B ١٢٥ - = ٢ – أو س ١٢٥ = ٢ – س B ١٢٥ - = ٢ – أو س ١٢٥ = ٢ – س

B ١٢٣ -= أو س ١٢٧= س B ١٢٣ -= أو س ١٢٧= س

B ١٢٣ - ، ١٢٧{ = ح . م { B ح . م = }١٢٣ - ، ١٢٧ {

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠ =٤ س ــ ٣س ــ ] ٤ [٠ = ٩+ س ١٠س ــ ] ٣[

٠ ) = ١+ س ) ( ٤ -س ( بالتحلیل ٠ ) = ١ -س ) ( ٩ -س (

B ٠ = ١ - ، س ٠ = ٩ - س B ١ -= س ٤= س

B ٩= س B ١= س B ١ -= ٣)١ -= (٢ س ٣ ٤ = ٢ س

B٥ ٩ = ٢ س B ١ = ٥ ١ = ٢ س B ١ - ؟ ±= س ٣ )٤؟ ( ±= س h ح

B ٥ )٩؟ ( ±= س B ١ ±= س B ٨ ± = ٣ ٢ ±= س

B ٥ ٣ ±= س B ٨ - ، ٨{ = ح . م{

٢٤٣ ±= س

B ١ - ، ١ ، ٢٤٣ - ، ٢٤٣{ = ح . م {

٢٣٥٢

٣٥٣

٢٣

٤٥٥

٢٥٥ ٢

٥٥

٢٥٥ ٢

٥٥

٢٥٥ ٢

٥٥

٢٥٥

٢٣٥

٤٣٥٢٣٥

٢٣٥ ٢

٣٥

٢٣٥



٨١

: حل آخر ٣٢ ) = ١+ س ] ( ٥[

٢ برفع الطرفین للقوة ٢برفع الطرفین للقوة ــ : الحل

B ) ١+ س ( ٥ بأخذ الجذر للقوة ٣٢ = ٥ B ) ١ - ٣٢ = ٥ ــ )١+ س

B ٢ = " ٣٢؟ ٥ = ١+ س B ) ٣٢= ٥ )١+ س

B ١ = ١ – ٢= س B ٢ ) = ٥ ٢ = ( ١+ س

B ١{ = ح . م { B ١ = ١ – ٢= س


: اختصر ] ١[

.، ب الحقیقیة ا صحیحة لجمیع قیم ب ؟ ن× ا ؟ ن متى تكون العالقة ] ٢[

: أكمـل ما یأتى ] ٣[

.......فى ابسط صورة تساوى ) ٦) ( ب.......... (فى ابسط صورة تساوى ) ٨ ) (أ(

......فى أبسط صورة تساوى ١ -مل )٣مل( مب ٣) د ..... ( فى أبسط صورة تساوى ) ( ) جـ(

.......فى أبسط صورة ) ٢ ٣ ــ ٢ ٥) ( ھـ(

- ١ ٢

- ٥ ٢

١٥٥

تمارین على األسس الكسریة والجذورالنونیة والمعادالت

ــ ٢ × ١ــ ٤ ×٨؟ ٢ ٣ × ٢ – ٦

٢٣٥

٢٣٥

١٤٥

٣٢٥

١٦ ٦٢٥

- ٣ ١ ٤

٤٥

١٣٥



٨٢

:اكتشف الخطأ ] ٥[

٩ = ٨١؟ = ٢")٩ -( ؟ ) = ٩ - = ( ٩ــ ) أ ( ٣= س B ٨١؟ ٤= فإن س ٨١ = ٤إذا كان س) ب (

أوجد الزیادة= ( ) إذا كان طول نصف قطر كرة یعطى بداللة الحجم من العالقة نق ] ٦[

. وحدة مكعبة π ٣٦ إلى π فى طول نصف القطر عندما یتغیر الحجم من

]٧ [

ص + فما قیمة س ٢٧= ص ٣= إذا كان س ] ٨[

]٩ [

٢٢٥

ح ٣٤ π

١٢٥

٣٢ ٣

٣٢٥

٢٣٥



٨٣

]١٠ [

: اختر االجابة الصحیحة ] ١١[

] ١، ا س ، ١ –ا ، ا = ...... [


: و تطبیقاتھا الدالة األسیة *

} ١{ - + حgا لكل سا ) = س(حیث د+ ح Cح : إذا كانت د : تعریف +ح= ولھذا یكون مداھا + ح سا ، ح = ولھذا یكون مجالھا ح س ،

ا فإن د تسمى دالة أسیة أساسھا

، أسھا س ٣ اساسھا س ٣) = س(د: مثل ٢+ اساسھا ، أسھا س ٢+ س) = ( )س( ، د

: مثال

سا + ١+ س ا + ٢+ س ا

١ - سا + سا + ١+ س ا

١٢٥

١٢٥

: تذكر أن

ھو األساس أما األس عدد حقیقى) س ( یكون المتغیر المستقل : الدالة الجبریة] ١[ ٠٠٠٠س ، + ٣س) = س( ، د٢س) = س(د: مثل

ھو األس أما األساس ھوعدد حقیقى) س(یكون المتغیر المستقل : الدالة األسیة] ٢[ موجب ال یساوى الواحد

٠٠٠٠٠ ، ١ – س ٣) = س( ، د س ٢) = س(د: مثل



٨٤

: بیانى للدالة األسیةالتمثیل ال*

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : الرسم أوجد و من] ٤ ، ٣ –[ في الفترة = (۲ ( دأرسم منحنى الدالة : مثال

) ١.٥( د ) ۲ ( ) ٠.٥ –(د ) ١ ( ١٠ ) =( دحل المعادلة ) ٤ ( /۲/٣خح [قیمة تقریبیة للعدد ) ٣(

: الحل

) :٠.٥ –(إلیجاد قیمة د یوازى محور الصادات٠.٥ – نرسم مستقیما عند

٠.٧لیقابل المنحنى عند نقطة فنجدھا تساوى تقریبا B ٠.٧ ) = ٠.٥ –( د

نرسم كما سبق ) ١.٥( إلیجاد قیمة د ۲. ٨ ) = ١.٥( د : نجد أن

٥ ۲= ٣۲: نالحظ أن /۲/٣خح [إلیجاد قیمة

B ونرسم كما فى السابق ) ۲ ٢؛! (د = ) ٢؛% ( نوجد د

B ٥.٧ = /۲/٣خح [ قیمة

٣ ٤ ۲ ١ – ٠ ١ – ۲ – ٣

٨؛! ٤؛! ٢؛! ١ ۲ ٤ ٨ ١٦ ص



٨٥

١٠) = س ( د : إلیجاد حل المعادلة یوازى محور السینات ١٠= نرسم مستقیما عند ص

٣.٣ یقابل المنحنى عند نقطة فنجدھا تساوى تقریبا B ٣.٣= عندما س ١٠) = س ( د

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :مالحظات

) ١ ، ٠( احداثیى نقطة تقاطع الدالة األسیة مع محور الصادات ھى ) ھـ (



٨٦

:نكون الجدول اآلتى : الحل

٣ ٢ ١ ٠ ١ - ٢ - ٣ - س

٨ ٤ ٢ ١ )س(١د

١ ٢ ٤ ٨ )س(٢د

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :مثال

١٨٢

١٤٢

١٢٢١

٢٢

١٤٢

١٨٢

(

( (



٨٧

: ب = سا تطبیقات تؤول الى معادالت على الصورة

: دالة النمو األسي *

لتمثیل النمو األسي بنسبة مئویة ثابتة فى فترات ن )ر + ١( ا ) = ن( تستخدم الدالة د

للنمو النسبة المئویة ر القیمة االبتدائیة ، ا ھى الفترة الزمنیة ، ن زمنیة متساویة حیث

. فى الفترة الزمنیة الواحدة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: التضاؤل األسي*

ل النمو األسي بنسبة مئویة ثابتة فى فترات لتمثین )ر ـــ ١( ا ) = ن( تستخدم الدالة د

النسبة المئویة للنمو ر القیمة االبتدائیة ، ا ھى الفترة الزمنیة ، ن زمنیة متساویة حیث

. فى الفترة الزمنیة الواحدة

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ كل أسبوع ، فإذا كان عدد النحل فى ٪ ٢٥یتكاثر النحل فى آحد الخالیا فیزداد بمعدل : مثال

اكتب دالة أسیة تمثل عدد النحل بعد ن أسبوع . نحلة ٦٠ البدایة . أسابیع٦ ، ثم قدرعدد النحل بعد

أسابیع ٦ = ن ، الفترة الزمنیة ٠.٢٥= = ر ، ٦٠= ا : الحل

: أسبوع ھى ن دالة النمو األسي بعد

ن )١.٢٥ ( ٦٠ = ن )٠.٢٥ + ١ ( ٦٠ = ن )ر + ١( ا ) = ن(د

نحلة ٢٢٩ T ٦ )١.٢٥ ( ٦٠ ) = ٦( د

نحلة ٢٢٩= أسابیع ٦ عدد النحل بعد ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

جنیة فإذا كان سعر السیارة یتناقص بمعدل١٢٠٠٠٠اشترى كریم سیارة جدیدة بمبلغ : مثال . كل سنة ٪ ١٢

. سنة من شرائھا ناكتب دالة أسیة تمثل سعر السیارة بعد ) ١

. سنوات من شرائھا ٦قدر ألقرب جنیة سعر السیارة بعد مرور ) ٢

٢٥ ١٠٠



٨٨

: الحل


مثال حاول بنفسك : الحل



تمارین على الدالة األسیة و دالة النمو و التضاؤل



٨٩







٩٠



*حل المعادالت األسیة *

:قواعد ھامة

d ١ - ، ١ ، ٠ c - حح gا : حیث ن = م : فإن نا = ما : إذا كان -١

١ - = ٤ – ٣ = سB ٣ = ٤+ س فإن ٣ ٣ = ٤+ س ٣إذا كان : مثال

:فإن مب = ما : إذا كان -٢

ب _{ ا ، ٠{ ب ، ٠{ ا حیث ٠= م *

٤= س B ٠ = ٤ –س : فإن ٤ - س ٥ = ٤ - س ٧: مثال

٠{ ب ، ٠{ اا فردیا ، عددم إذا كان ب= ا *

= س B ٣ = [ ] = ٣ سإذا كان : مثال

٠{ ب ، ٠{ اعددا زوجیا ، م إذا كان | ب | = | ا | *

_= س B ٢= [ ] = ٢س : مثال

١ ٨

١ ٢

١ ٢

١ ٤

١ ٢

١ ٢



٩١

٣ _= ص B ٤ )٣ - = ( ٤) ٣ = (٨١ = $، ص

١ _{ ا ، ٠{ ا حیث ٠= م :فإن ١ = ما : إذا كان -٣ ٢= س B ٠ = ٢ – س B ١ = ٢ - س ]٣ة [ إذا كان : مثال


: مثال

: الحل



٩٢

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢٧٠) = ١ –س ( د ) + ١+س ( د حل المعادلة س٣) = س ( إذا كانت د: مثال :الحل

A ٢٧٠) = ١ –س ( د ) + ١+س ( د B ٢٧٠ = ١س ــ ٣ + ١+ س ٣

B ١ ــ ٣ + ٣ ( س ٣ = (٢٧٠ B س ٣ ) ٢٧٠ + ) = ٣

B ٢٧٠= × س ٣ B ٤ ٣ = ٨١= × ٢٧٠ = س ٣

A االساس = االساسB األس = األسB ٤= س

ص = س ٣ بفرض٢٧٠ = ١س ــ ٣ + ١ + س ٣ : خرآحل

٢٧٠ = ١ــ ٣× ص + ٣× ص B ٢٧٠ = ١ــ ٣ × س ٣ + ٣ × س ٣

B ٢٧٠ + ) = ٣( ص B ٢٧٠= × ص B و بالتعویض ٨١= ص B ٤ ٣ = س ٣ B ٤= س


=ــ : ن إثبت أ س٣) = س(إذا كان د: مثال

: الحل

١ –س – ١ – س ٣ – ١ +س -١ + س٣= ــــــــــــ - ــــــــــــ = یمن اال

=٩ = ٢- ٣ – ٢ ٣ - =

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ س ٢٧) = س ( ٢ د ، س٩) = س ( ١إذا كانت د: مثال

٢٥٢) = ١ –س ٢ (٢د) + س٣ (١د: حل المعادلة

١ ١٠ ٣

٣ ٣

١٠

١ ٣

١٠ ٣

١ + س٣ ١ – س ٣

١ - س٣ ١ – س ٣

١ ٩

٨٠ ٩

)١+س(د )١-س(د

)١-س(د )١+س(د

٨٠ ٩



٩٣

: الحل B ٢٥٢ = ١ -س ٢ ٢٧ + س ٣ ٩ B ٢٥٢= ٣ –س ٦ ٣ + س٦ ٣

B ٢٥٢ ) =١ + ٣ ٣ ( ٣ -س ٦ ٣ B ٢٥٢ = ٢٨ × ٣ -س٦ ٣

B ٩ = ٣ -س ٦ ٣ B ٢ ٣= ٣ –س ٦ ٣ B ٢ = ٣ – س ٦ B ٥= س ٦ }{ = ح ٠ م


:مثال

: الحل


س ٤) = س(٢ ، دس ٨) = س(١إذا كان د: مثال

٨٠ ) = ١ – س ٣(٢د) + س ٢(١ حل المعادلة د

س ٢ ٢ = س )٢ ٢) = ( س(٢ ، د س ٣ ٢ = س )٣ ٢) = ( س(١د: الحل

٨٠ ) = ١ – س ٣(٢د) + س ٢(١ د: المعادلة

B ٨٠ = )١ – س ٣ ( ٢ ٢ + س ٢ × ٣ ٢ C ٨٠ = ٢ – س ٦ ٢ + س ٦ ٢

C ٨٠) = ٢ - ٢ + ١( س ٦ ٢ C ٨٠= × س ٦ ٢

C ٨٠ = س٦ ٢ × B ٦ ٢ = ٦٤ = س ٦ ٢ B ٦= س ٦ B ١= س

٥ ٦

٥ ٤ ٤

٥



٩٤

:حل المعادالت بیانیا *

اطع دالة خطیة مثال ثم نوجد نقطة تق) س(٢دالة أسیة ، د) س(١ نرسم منحنیي الدالتین د

االحداثى السینى لنقطة التقاطع= فإن مجموعة الحل ) س ، ص ( منحنیي الدالتین و لتكن


س – ٣) = س(٢ ، دس ٢) = س(١كل واحد منحنیى الدالتین دارسم فى ش: مثال

س – ٣ = س ٢ و من الرسم أوجد مجموعة الحل للمعادلة

: ومن الرسم نجد ٢ ، د١نرسم منحنیى الدالتین د: الحل

)٢ ، ١( نقطة تقاطع المنحنیین

B ١{ = ح . م {


تمارین على حل المعادالت و تطبیقاتھا



٩٥

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : الدالة العكسیة *

)أبو ب ا ( ع ب تعنى ا حیث صص الى سسالشكل المقابل یمثل عالقة من : مثال توضیحى ھذه العالقة دالة أحادیةصص g ، ب سس gا لكل ، ) ل عبد هللا ، أم( ، ) عماد ، نیرة ( { =١ع بیان

}) عاطف ، غادة ( ، ) أسامة ، جنة ( دالة أحادیة) ا ب إبنة ( تعنى سس الى صص وإذا كانت العالقة من

) أمل ، عبد هللا ( ، ) نیرة ، عماد ( { = ٢ع بیان } ) غادة ، عاطف (، ) جنة ، أسامة ( ،

٢عدالة عكسیة للدالة ١ع الدالة : نالحظ أن

: الدالة العكسیة صص إلى مجموعة سسإذا كانت الدالة د أحادیة من مجموعة

تسمى دالة عكسیة للدالة د سس الى صصمن ١ - الدالة د: فإن

١ – د g) ص ، س ( د فإن g) س ، ص ( لكل إذا كان



٩٦

:مالحظات ھامة

س= ھو صورة منحنى الدالة د باالنعكاس فى المستقیم ص ١ــ منحنى الدالة د) ١

لكى یكون للدالة د دالة عكسیة یجب أن تكون د دالة أحادیة) ٢

خط األفقى أى یحقق منحنى د اختبار ال

إذا قطع أى مستقیم أفقى المنحنى فى نقطة واحدة (

) فإن المنحنى یمثل دالة أحادیة

) ال تحقق اختبار الخط األفقى ( إذا كانت الدالة لیست أحادیة ) ٣

)لیست أحادیة ( ٢س= مثل ص . فإن معكوسھا ال یمثل دالة

س ال یمثل دالة ؟= | ص | معكوسھا

.إلیجاد الدالة العكسیة أوال نقوم بتبدیل المتغیرات ثم نوجد ص بداللة س ) ٤

١+ س = ص ٣ B ١ – ص ٣= فإن س ١ – س ٣= إذا كان ص : مثال

B ١+ س = ( ص ( B١ــ د)١+ س ) = ( س(

س ) = س (١ــ دB ٣ص= فإن س ٣س= ، إذا كان ص

١ ٣

١ ١ ٣

٣



٩٧

:من خواص الدالة العكسیة دالة عكسیة لألخرى ) س(، ر) س(یقال أن د) ١

س) = س)( دºر( س ، ) = س) ( رºد ( إذا كان )س(١ـــمدى الدالة العكسیة د) = س(مجال الدالة د) ٢

)س(١ــ لة العكسیة دمجال الدا) = س( مدى الدالة د ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

و مثل الدالة و معكوسھا بیانیا١+ س ٢) = س(أوجد الدالة العكسیة للدالة د حیث د: مثال . فى شكل واحد

١ –س = ص ٢ B ١+ ص ٢= س B ١+ س ٢= ص A: الحل

B ١ –س = ( ص ( B١ــ د)١ –س ) = ( س (

:و یالحظ أن

ھما متماثالن منحنا١ ــ الدالة د و الدالة العكسیة د

س = بالنسبة للمستقیم ص


: فأوجد "١" –"س ؟ + ٣) = س(إذا كانت د دالة بحیث د: مثال و عین مجالھا و مداھا) س(١ــ د) ب) س(و مدى د) س(مجال د) أ

)س(١ــ ، د) س(مستخدما أحد البرامج الرسومیة ارسم الشكل البیانى لكل من د) جـ

١ X أى س ٠ X ١ –معرفة لجمیع قیم س ) س(د) أ : ( الحل

B١) = [ س( مجال د ، ∞ ]

A ١" –"س ؟" X لجمیع قیم س الواقعة فى مجال الدالة ٠

١ ٠ ١ - س

٣ ١ ١ - )س(د

٠ ٠.٥ - ١ - )س(١ــ د

١٢

١٢

)س( ١ــمجال د

)س(د س

)س(مجال د )س(مدى د

)س( ١ــمدى د



٩٨

B ١" –"س ؟ + ٣" X ٣ Gس( د (X ٣ Bمدى د )٣) = [ س ، ∞] باستبدال المتغیرات س ، ص "١" –"س ؟+ ٣= ص A) ب (

B ١" –"ص ؟+ ٣= س" B بتربیع الطرفین "١" –"ص ؟ =٣ – س B ) ٣ –س( ١ –ص = ٢ B ص ) = ١ + ٢ )٣ –س B١ + ٢ )٣ –س ) = ( س(١ــ د


تمارین على الدالة العكسیة



٩٩


)٦ (



١٠٠

: بیانیاالدالة اللوغاریتمیة و تمثیلھا *

+ح gص ، ح g س ،}١ {– +ح g ا : إذا كان :تعریف ا= ص األسیةدالة عكسیة للدالة سالـــــو = ص الدالة اللوغاریتمیة: فإن

س ٥ ٢ = ٣٢ E ٥ = ٣٢ ٢ ، لــو٣ = ٨ ٢ لـــــــوE ٣ ٢ = ٨: مثال

، ٥ ٣ = ٢٤٣ E٥ = ٢٤٣ ٣ لـــــــو : مالحظات

األساسس لوغاریتم تقرأ س ا لـــــو* الدالة اللوغاریتمیة ھى الدالة العكسیة للدالة اآلسیة *

ال معنى لھ صفر ۲لو ، ٣ – ٤ لو: ال معنى للحدیث عن لوغاریتم عدد غیر موجب فمثال *

جبا یختلف عن الواحد الصحیح ا مو یجب أن یكون عددااألساس *

ال معنى لھ ٧صفرلو ، ٨ ۲ - لو: فمثال

:اللوغاریتمات المعتادة * ]وقد أتفق على حذف ھذا األساس [وال یكتب ١٠= للوغاریتمات التى أساسھا ھى ا

٣ ١٠لو تعنى ٣لو : فمثال : وعلى ذلك یكون

١٠لو = ١٠٠ ، لو ١ = ١٠لو ۲

وھكذا ٣= ٣ ١٠لو = ١٠٠٠، لو ۲= وھكذا ٣ - = ٠.٠٠١، لو ۲ – = ٠.٠١ ، لو ١ – = ٠.١، لو

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ جالو= فإن ب ج = ب ا: اللوغاریتمیة العكس التحویل من الدالة األسیة الى

: مثال

٧ = ١٢٨ ٢ لـوB ١٢٨ = ٧ ٢ A) أ : ( الحل

١٠ = ٣٢ ٢ ؟ لــو B ٣٢ = ١٠ )٢؟ ( A) ب (

٢ ٢ -= لــو B = ٢ ــ ( )A) جـ (٣

٩٤

٩٢ ٤

٣



١٠١

: التحویل من الدالة اللوغاریتمیة الى الدالة األسیة

: حول كل مما یأتى إلى الصورة األسیة : مثال

صفر = ١لــو ) جـ ( ٥ - = ٣لــو ) ب (١٠ = ٣٢ ٢؟لـو ) أ (

٢ = ٩ ٣لـو ) و ( ٣ -= لــو ) د ( ١ = ٧ ٧لــو ) ھـ (

صفر = ( )١) جـ (٥ــ ٣) = ب ( ١٠ )٢ ؟ = ( ٣٢) أ : ( الحل

٢ ٣ = ٩) و ( ٣ ــ ١٠ = )د ( ١ ٧ = ٧) ھـ (

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : ایجاد قیمة لوغاریتم عدد ألساس معلوم*

: مة كل من اوجد قی: مثال ٧ ٧ـوـل) ٤ ١۲٥ ٥ــو لـ) ٣ ۲٤٣ ٣ـولــ) ٢ ٦٤ ۲ــو لـ) ١

سB ۲ ٦٤ ۲ـو لــ= نفرض أن س ) ١ : الحل = ٦٤ = ۲ ٦

B ٦= س B ٦= ٦٤ ۲ـو لـــ

٣ B ٢٤٣ ٣ــــــــــولـ= نفرض أن س ) ۲ س

= ٣ = ٢٤٣ ٥

B ٥= س B٥ = ٢٤٣ ٣ لـــــــــــو

٥ B ١٢٥ ٥لـــــــــــو= نفرض أن س ) ٣ س

= ٥ = ١٢٥ ٣

B ٣= س B ٣ = ١٢٥ ٥لـــــــــــو

٧ B ٧ ٧ــــــــولـــ= نفرض أن س ) ٤ س

= ٧ = ٧ ١

B ١= س B ١ = ٧ ٧ لـــــــــــو

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢٧؟ ٤ ٣لــو ) ب (٠.٠٠١لـو ) أ : ( أوجد قیمة كل مما یأتى : مثال : الحل

١٢

١ ٢٤٣

١ ١٠٠٠

١ ٢٤٣

١٢

١ ١٠٠٠



١٠٢

: حل المعادالت اللوغاریتمیة*

: مجموعة كل من المعادالت اآلتیة ح أوجد فى : مثال

١=)١ -س ( ٣لو) ٤ (٢) = ٢+ س ( سلـو) ٣ (٢= س ٥ سلـو ) ٢= ( س ٨١لـو) ١(

: الحل

٢= س ٥ سلـو ) ٢ (= س ٨١لـو) ١ (

B ٣ ٣ ) = ٤ ٣ ) = ( ٨١= ( س B ٢س= س ٥

B ٢٧= س B ٢٧{= ح . م {B٠= س ٥ ــ ٢ س

٠ ) = ٥س ــ ( س Bـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــ

)٣ (A سلـو ) ٢ ) = ٢+ س B ٠= س h ٥= مجالھا ، س gمجالھا

B ٢س = ٢+ س B ٥{ = ح . م {

Bــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ٠ = ٢ ــ س ــ ٢ س

B ) ٤ (٠ ) = ١+ س )( ٢ –س (A٣ لو ) ١) = ١ -س

B ١ــ = ، س ٢= س h المجال B ١ ٣ = ١ – س B ٤ = ١ + ٣= س

B ٢{ = ح . م { B ح . م = }٤{


١ ) = ١٥+ س ٧ ــ ٢س( ٣ لـــــو٢لـــــــو :اوجد قیمة س إذا كان : مثال :الحل

١ ) = ١٥+ س ٧ ــ ٢س( ٣ لـــــو٢لـــــــو

A لجمیع قیم س ٠ > ١٥+ س ٧ ــ ٢س g٠ > ١٩= أ جـ ٤ ــ ٢ ح الن الممیز ب

B ٢ = ١ ٢ ) = ١٥+ س ٧ ــ ٢س (٣ لـــو B٩ = ٢ ٣ =١٥+ س ٧ ــ ٢ س

B ٠ = ٦+ س ٧ ــ ٢س B ) ٠ ) = ٦ –س )( ١ –س

B ٦= ، س ١= س

٣٤

٣٣ ٤

٤٣٤



١٠٣


: الحل



١٠٤

:إستخدام اآللة الحاسبة logإلیجاد اللوغاریتم المعتاد ألى عدد حقیقى موجب نستخدم

shift log ( 10( ، و إلیجاد العدد الحقیقى الموجب إذا علم لوغاریتمھ المعتاد نستخدم x

٥٧.٠٦ لو بإستخدام الحاسبة أوجد:مثال : الحل

= log 5 7 . 0 6: ة خطوات اآلل ١.٧٥٦٣ = ٥٧.٠٦لو : نجد أن

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠.٠٠٧٥ –= لو س : أوجد قیمة س إذا كان : مثال :الحل

shift log ( 10 ( – = 5 7 0 0 . 0 : خطوات اآللة x

٠ . ٩۲٨٩= س : نجد أن

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

تمارین على الدالة اللوغاریتمیة و تمثیلھا



١٠٥



١٠٦


: یكون }١ {– +حح g ا ، +حح gإذا كان س ، ص

: خاصیة الضرب فى اللوغاریتمات – ١

ص × س ا لـــــو= ص ا لـــــو+ س ا لـــــو

١٥ ا لـــــو ) = ٥ × ٣ ( ا لـــــو = ٥ ا لـــــو + ٣ ا لـــــو: فمثال ٨ جـلـــو + ٧ جـلـــو ) = ٨ × ٧ ( ج لــــو = ٥٦ جـ ، لــــو

٧ ا لـــــو × ٣ ا لـــــو × ۲ ا لـــــو { ) ٧ × ٣× ۲ ( ا لـــــو= ٤۲ ا لـــــو، :مالحظة ھامة

ص ا لـــــو+ س ا لـــــو ≠ ) ص+ س ( ا لـــــو ص ا لـــــو× س ا لـــــو ≠) ص × س ( ا لـــــو ،

:خاصیة القسمة فى اللوغاریتمات – ۲

ـــــــ ا لـــــو= ص ا لـــــو–س ا لـــــو

٧ب ــ لــو٣ بلـــو = ب، لـــو ا لـــــو = ٧ ا لـــــو – ٥ ا ـولــــ : فمثال

ص ا لـــــو – س ا لـــــو ≠) ص –س ( ا لـــــو : مالحظة ھامة ص ا لـــــو÷ س ا لـــــو ≠) ص ÷ س ( ا لـــــو ،

بعض خواص اللوغاریتمات

س ص

٥٧

٣٧



١٠٧

: وغاریتم القوة خاصیة ل– ٣

س ا لـــــو ن

س ا لـــــون =

٣ ا لـــــو = ٩ ا لـــــو: فمثال ۲

٢ لــو ٣ = ٣ ٢ بلــو = ٨ ب ، لـــو ٣ ا لـــــو ۲ =

١= س ســــو ـل – ٤

١ = ٨٨ ، لــــــو ١ = ٧ ٧ ــولـــ ، ١ = ٦ ٦ لـــــو: فمثال

صفر = ١ ا لـــــو – ٥

صفر = ١ ٧ ، لــــــو صفر = ١ ٤ لـــــو: فمثال

= س صلـو : خاصیة تغیر األساس -٦

= = = = ٨ ٤ لـو: فمثال

١= ا بلو × ب ا حیث لو= ب ا لـو: خاصیة المعكوس الضربى -٧

١= × ٧ ٣لـو = ٣ ٧لـو × ٧ ٣لـو: فمثال


٣ ــ لـو ٣٠لـو ) ٣ "٢٤٣؟ ٧ ٣لـو) ٢ "١٢٥؟ ٤ ٥لـو) ١أوجد فى أبسط صورة : مثال

= ٥ ٥لـو ) = ٥ ( ٥لــو ) = ٣ ٥ ( ٥لـو = "١٢٥؟ ٤ ٥لـو) ١: الحل

= ٣ ٣لـو ) = ٣ ( ٣لـو ) = ٥ ٣ ( ٣لـو = "٢٤٣؟ ٧ ٣لـو) ٢

١ = ١٠لـو = لـو = ٣ ــ لـو ٣٠لـو ) ٣

سالـو ص ا لـو

٨ الـو ٤ ا لـو

٣ ٢ الـو

٢ ٢ ا لـو

٢ ا لـو٣

٢ ا لـو٢

٣٢

١ ا ب لـو

١ ٧ ٣ لـو

١٤

٣٣ ٤

٤ ٣٤

١٥ ٧

٧

٥٥ ٧

٧ ٣٠

٣



١٠٨

١.٤٦٥ T ٥ ٣ فى أبسط صورة إذا كان لـو١٥ ٣أوجد قیمة لـو: مثال

٢.٤٦٥ = ١ + ١.٤٦٥ = ٣ ٣لـو + ٥ ٣لـو = ٣ × ٥ ٣لـو = ١٥ ٣لـو: الحل


٣٠ لو – ٣ لو ٢( + ) + لو + ٢٥ لو ٢: اختصر البسط صورة : مثال

٣٠ ــ لو ٢ ٣لو + لو + ٢)٢٥(لو = المقدار : الحل

١٠٠لو = × ٩ × × ٢)٢٥(لو =

٢ = ١٠ لو ٢ =


٩ ٧لو × ٨ ٩لو × ٥ ٨لو × ٤٩ ٥لو: اختصر: مثال

٢= = = × × × = المقدار : الحل


٣= أثبت أن : مثال

٢ ( )لو ÷ ٦( ) لو = لو ÷ لو = االیمن : الحل

الیسر ا = ٣= لو ٢÷ لو ٦ =


) ٣ـو ل + ۲ـو لـ ( ۲ = ۲ــو س ص ل– لــو ص ٤+ لــو س ٣: إذا كان : مثال ]بنفس المعطى فى سؤال أخر یطلب قیمة س ص [ ٦= س ص : اثبت أن

:الحل ٣ــو ل۲ + ۲ــو ل۲ = ۲ـو س ص لـ– لــو ص ٤+ لــو س ٣

۲ )٣( ــول + ۲)۲( ـولــ = ۲ــو س ص لـ– ٤لــو ص + ٣ــو سل

٩ × ٤ــو لـ = ٩لـــــو + ٤ لــــو= ـــــــــــــــــ ــو ـــــلــ

٦= س ص B ٣٦ = ۲ ص۲س B ٣٦ـو لــ = ۲ ص۲ـــو سـل

١٣

١٥

٨ ١٥

٨ ١٥

١ ٣٠

٤٩ لـو ٥ لـو

٥ لـو ٨ لـو

٨ لـو ٩ لـو

٩ لـو ٧ لـو

٤٩لـو ٧ لـو

٧لـو٢ ٧ لـو

٦٤ ــ لو ٧٢٩ لـو

٤ ــ لو ٩ لـو ٧٢٩

٦٤ ٩ ٤

٣٢

٣٢

٣٢

٣٢

نجعل الطرف األیمن "لــو " بھ

واحد فقط باستخدام القوانین

٤ص × ٣ س ۲ص × س



١٠٩

لو ص+ لو س + ١) = ص+س( لو ٢ س ص أثبت أن ٨ = ٢ص + ٢إذا كان س: مثال

س ص للطرفین٢ س ص باضافة ٨ = ٢ص + ٢ سA: الحل

Bس ص ٢ + س ص ٨ = ٢ص+ س ص ٢ + ٢ س

B ) س ص بأخذ لوغاریتم الطرفین ١٠ = ٢)ص + س

B س ص ١٠لو = ٢)ص + س ( لو

B لو ص + لو س + ١= لو ص + لو س + ١٠لو ) = ص + س ( لو ٢

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ص ٣س ٢ لــو– ص ٢ لــو٤+ س ٢ لــو٥ أوجد قیمة المقدار ٢ ؟ ٤= إذا كان س ص : مثال :الحل

٢)س ص ( ٢لـــــو = ٢ ص٢ س٢لــــو= ـــــــــــــــــــــ ٢لــــــو= المقدار

٥ = ١ × ٥ = ٢ ٢ لــــو٥ = ٥ ٢ ٢لــــو= ٣٢ ٢لــــو = ٢ )٢ ؟ ٤ ( ٢ــــول = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

١ - = ٦٤ ٨ لــــــو٤و لـــــ٢ لــــو: إثبت أن :مثال

٨ ٨ لـــــو٢ ٤ لــــــو٢لـــــو = ٢ ٨ ٨ لـــــو٤ لــــــو٢لـــــو= المقدار : الحل

٤ ٤ لـــو٢لــــو = ) ٤ (٤ لــــــو٢لــــو =

١ - = ٢ ٢لـــو١- = ١- ٢ ٢لــــو= ٢لــــــو = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ــــــــــــــــــــــــــــ= لــــو س أوجد قیمة س التى تحقق أن : مثال

: الحل A ــــــــــــــــــــــــــــــ= لــــو س B ــــــــــــــــــــــــــــ= لــــو س

B ــــــــــــــــــــــــــــــ= لــــو س B ٥لــــو = لــــو س B ٥= س

٢ص × ٣س ٤ص × ٥س

١ ١ ٢

١ ٢ ٢

١٢٥ لو– ٢)٥لو( ٠.٠٠٥لو

٣ ٥ لو– ٢)٥لو( ١٠٠٠ لو – ٥لو

٥ لو٣ – ٢)٥لو( ٣ – ٥لو

٣ – ٥لو ]٣ – ٥لو [ ٥لو



١١٠

:اللوغاریتمیة المعادالتحل *

: أوجد مجموعة الحل لكل من المعادالت اآلتیة :مثال ٠ ) = ٣+ س ٢( لـــو س ــ لـــو ٢) ١

٢ ٣ـو لـ٣ ) = ١+ س ( ٣ـو لـ ) + ١ –س ( ٣ــو ـل )٢

٤ = ٣ــو سل – ٢) ـو س لــ( ) ٣

٢ لو – ١ ) = ٢ –س ( لو ) + ٢+ س ( لو ) ٤

٢ = ٣ سلو+ س ٣لو) ٥

:الحل ١ ( A و س ــ لـــو لـــ٢ )٠ ) = ٣+ س ٢

B ٣+ س ٢( لــو = لــو س ٢ (

B٣+ س ٢( لــو = ٢ لــو س (

B ٣+ س ٢ = ٢ س B ٠ = ٣ – س ٢ – ٢ س B ) ٠ ) = ١+ س ) ( ٣ –س

B مرفوض ١ -= ، س ٣= س B ٣{= ح . م {

٢ ٣ـو لـ٣ ) = ١+ س ( ٣ـو لـ ) + ١ –س ( ٣ــو ـل )٢

B٣ ٢ ٣لــو ) = ١+ س )( ١ –س ( ٣ لــو B٨ ٣لــو ) = ١ ــ ٢س ( ٣ لــو B٨ = ١ – ٢ س B٩ = ٢ س B مرفوض٣ -= ، س ٣= س B ٣{ = ح . م {

٣ (A ) ٤ = ٣ــو سل – ٢) ـو س لــ

B )٠ = ٤ – ـو س لـ٣ – ٢) ـو س لـ B )٠ ) = ١+ ـو س لـ ) ( ٤ –ــو س ل

:مالحظة بالتعویض

عن قیمة س فى المعادلة األصلیة لمعرفة ما إذا كان یمكن قبول ھذا

العدد أم رفضھ حیث ال یوجد اریتم لعدد سالبلوغ

تذكر دائما أننا نجعل كل طرفواحد لنتمكن من " لــو " بھ

" لــو " الحل و ھنا نتخلص من بالتحویل الى الصورة األسیة

٢)لوغاریتم ( إذا وجدنا دائماتذكر دم التحلیل اعلم أننا سوف نستخ

لنتمكن من حل السؤال



١١١

B ١٠= منھا س ٤= لــو س ٤

=١٠٠٠٠ ١٠= منھا س ١ –= ـو س لـ،

٠.١ = ١ــ B ٠.١ ، ١٠٠٠٠{ = مجموعة الحل {

٤ (A لو ) ٢لو – ١ ) = ٢ –س ( لو ) + ٢+ س

B ٢ ــ لــو ١٠لــو ) = ٢س ــ ) ( ٢+ س ( لــو

B ٥لــو = لــو ) = ٤ ــ ٢س( لــو B٥ = ٤ ــ٢ س B٩ = ٢ س

B مرفوض ٣ -= ، س ٣= س B ٣{ = ح . م {

٥ (A ٢ = ٣ سلو+ س ٣ لو Bس٣ بالضرب فى لو٢+ = س ٣ لو

B ) س ٣لو (س ٣ لو٢ = ١ + ٢ B ) ٠ = ١+ لوس ٢ ــ ٢) س ٣لو B ) ٠ ) = ١ ــ س٣ لو ) ( ١ س ــ ٣لو B ١= س ٣ لو B ٣= س g المجال B ٣{ = ح . م {


٢لــو= " ٢" -" س؟ ٣لــو + "١- " س٣ ؟ ٣لو حل المعادلة : مثال : الحل

B ٢لو ) = " ٢ "– "س")( "١" - "س" ٣ ( ؟ ٣ لــــو

B )بالتكعیب ٢ ) = ٢ –س ) ( ١ – س ٣

B )٨ ) = ٢ –س ) ( ١ – س ٣ B ٨ = ٢+ س ٧ – ٢س٣

B ٠ = ٦ – س ٧ – ٢ س٣ B )٠ ) = ٣ –س ) ( ٢+س ٣

B ٣= س ، = س

B ٣، { = ح . م {

١٠ ٢

١ س٣ لـو

١ ٣

١ ٣

-٢ ٣

-٢ ٣



١١٢

:حل المعادالت األسیة باستخدام اللوغاریتمات*

٩ فاوجد قیمة المقدار ٣ـو لـ ÷ ٥لـــو = إذا كانت س : مثال س

– ٣ ٢+ ١+ س

:الحل A ـــــــــــــ = س B ٥لـــو = ٣ س لــو B ٣ لــو

س٣ B ٥لــو =

س =٥

B ٩= المقدارس – ٣

) ٢ ٣ = (٢+ ١+ س س – ٣

٢ + ٣ × س

) = ٣س

( ٣ – ٢ ١٢ = ٢ + ١٥ – ٢٥ = ٢ + ٣ × ٥ – ٢)٥= (٢ + ٣ × س


٠.٠٠٧٥ –= لو س : أوجد قیمة س إذا كان : مثال :الحل

shift log ( 10 ( – = 5 7 0 0 . 0 : خطوات اآللة x

٠ . ٩۲٨٩= س : نجد أن

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ) ٨: (اوجد مجموعة حل المعادلة : مثال

+ س

١) = ٩ (

–س ۲

:الحل للوغاریتم للطرفین نجد أنبأخذ ا

) ٨(لـــــــــــو + س

١

) ٩(لــــــــــــو = –س

۲ ٩لـــــــــو ) ۲ –س = ( ٨لــــــــــــو ) ١+ س (

٩ــو ـلـ۲ – ٩ــو س لــــ = ٨لـــــــو + ٨س لــــــــــو ٩ــو لــ۲ – ٨ـــو لــــ– = ٩ س لــــــو – ٨ـــو س لــــ

٩ـو لــ۲ – ٨ــــو ل– ) = ٩ لـــو – ٨ـو لـــ( س

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = س

: باستخدام اآللة الحاسبة من الیسار إلى الیمین كاآلتي ( - 2 log 9 – log 8 ) ÷ ( - log 8 – log 9 ) =

B ٥٤.٩٦٤٥= س

٥ـو لــ ٣ــو لـ

٩لـــــــــو ۲ – ٨ لــــــــــو –

٩ لــــــــــو – ٨لــــــــــو

"لــو " تذكر دائما أننا نأخذ الطرفین فى المعادالت التى

یصعب أن نجعل فیھا األساس= األساس

و المعادالت االسیة



١١٣

٥ ×۲: إذا كان : مثالص

فاوجد قیمة ص ألقرب رقم عشرى۲+ ص ۲ × ٥ = : الحل

: بأخذ اللوغاریتم للطرفین نجد أن ٥ ×۲( لــــــــــو

ص ) ۲+ ص ۲ × ٥(لـــــــــو ) =

٥لــــــــــو + ۲ لـــــــــوص

۲+ ص ۲لـــــــــو + ٥لـــــــــــو = ۲لــــــــو ) ۲+ ص + ( ٥لـــــــــو = ٥ص لـــــــــو + ۲ لــــــــو ۲لــــــــو ۲ + ۲ص لــــــــو + ٥لــــــــو = ٥ص لــــــــو + ۲ لــــــــو

۲ لــــــــو – ۲لــــــــو ۲ + ٥لــــــــو = ۲ ص لــــــــو – ٥ص لــــــــو ۲لــــــــو + ٥لــــــــو ) = ۲لــــــــو – ٥ـو لـــــــ( ص

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ص

( log 5 + log 2 ) ÷ (log 5 – log 2 ) =

۲ . ٥= ص ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــ

٢+ س٣ × ٧= ١+س ٢ ٥أوجد قیمة س حیث : مثال :الحل

بأخذ لوغاریتم الطرفین A ٢+ س٣ × ٧لــــو = ١+س ٢ ٥لــو B ٢+ س٣لــو + ٧لــو = ١+س ٢ ٥و لـــ

B )٣لو)٢+س + (٧لو = ٥لو)١+س٢ B ٣لو٢ + ٣س لو + ٧لو = ٥لو+ ٥س لو٢

٥لو – ٣ لو ٢ +٧لو ) = ٣ لو – ٥لو٢(س B ٥ لو– ٣لو٢ +٧لو = ٣ س لو– ٥س لو٢

١.١٩= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = س

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢٧ = ٢+ س ٩× ١+س ٢ ٨ : أوجد قیمة س التى تحقق أن : مثال

:الحل بأخذ لوغاریتم الطرفین

B ٢٧لـــو = ٢+ س ٩× ١+س ٢ ٨لــو B ٢٧لو = ٢+ س ٩لـو + ١+س ٢ ٨ لـــو

۲لــــــــو + ٥ لــــــــو

۲ ــ لــــــــو ٥ لــــــــو

٥ لو– ٣ لو٢ + ٧لو ٣ لو– ٥لو٢



١١٤

B )٢٧لو = ٩لو) ٢+س +(٨لو) ١+س٢ B٢٧لو = ٩لو٢+٩س لو +٨لو + ٨س لو٢

B ٨ لو– ٩لو٢ – ٢٧لو = ٩س لو + ٨س لو ٢

B ٨ لو– ٩لو٢ – ٢٧لو ) = ٩لو + ٨لو٢( س

B ٠.٥ -= ـــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــ= س

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠ = ١٥ + س٢ × ٨ – س٢ ٢ :أوجد قیمة س التى تحقق أن : مثال :الحل

٠ ) = ٥ – س٢) ( ٣ – س٢ (

٥ = س٢ ٣ = س٢

بأخذ لو الطرفین بأخذ لو الطرفین

٥لو = س٢ لو٣لو = س٢لــــو

٥لو = ٢ س لو٣لو = ٢س لو

ــــــــــــ= ـــــــــــ س = س

= ٢.٣= ١.٦


٨ لو– ٩ لو٢ – ٢٧لو ٩لو + ٨ لو٢

٣لــو ٢لــو

٥لــو ٢لــو

تمارین على خواص اللوغاریتمات



١١٥

٢ص ٣س ٢ لــو– ص٢ لــو٤+ س ٢ لــو٥ أوجد قیمة المقدار ٢ ؟ ٤= إذا كان س ص ) ٩(



١١٦

:تمارین متنوعة على اللوغاریتمات

ــ: أوجد قیمــة كل من ] ١[

١٠ ٥لو + ١٦ ٥لو – ٤٠ ٥لو) ١

۲٤ ٤لو + ٤۲ ٤ لو – ٥٦ ٤لو+ ۲ ٤لو) ٢

٧٣ لـو - لـو ٤ - لـو ٢ - لـو ٣) ٣

٢٥ ٥ لــــــو٤ــــولـ ٢لــــو )٤ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ــ: إثبــت أن ] ٢[

٢٧ ٣لـو = لـو + ٢ لـو- ٢لـو ) ١

٣٦ ٦وـ ل =٠.٣وـل ۲ – ١۲وـل + ٠.٧٥و ـل) ٢

٢) = ٣

)٣وـل + ٢وـل ( ٢ =٢ ص٥س وـل –وص ـ ل٤+وسـل ٧إذا كان = س ) ٤

س ص لو:ثم إثبت أن س صلو = ۲س وـل ) ٥

٣ س۲ص لو +

٦ سص لو ٦ =

ص ٢

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :أوجد قیمــة س فیما یلى ] ٣[

١٧٥وـ ل + ١۲٥وـ ل –٣٥وـ ل =٤.٩وـل+ وس ـل) ١ ٠.٣ لـو ٢ - ١٢لـو + لـو = س ٢لـو ) ٢

٨لو ) = ١+ س ( و ـل ) + ١ –س ( وـل )٣ ١) = س٩ + ۲س( و ـل) ٤

١ ٢

٥ ٣

٥ ٧

١ ٣

٧ ١٢

٤٠ ١٣

٩١ ٦٠

٤٥ لو – ۲لو + ١ ١٥ لو – ١

٦ ص

٣ ٤



١١٧

:ادالت اآلتیةعأوجـد مجمـوعة حل الم] ٤[

٨= س ۲وـ ل۲ + ۲ ) س۲وـل () ٢ ٣) = ٢-س ( ٢لـــــو+ س ٢لـــو) ١

٤= ــــــــــــــ + س ۲لو) ٤ ٤لـــــو س = ٣)لــــو س( ) ٣

٣٢ = ٦٤ × ٢) ٦ ٢ = | ١+ س | ٣وـل) ٥

٠ = ١٥ + س٢ × ٨ – س٢ ٢) ٨ ٤+ س ٣ = ٣ – س ٢ ٥) ٧ ١ ) = ١٧ – ٢س ( ٢لـو ٣لـو) ١٠ ) ظا (٣لو= س ) ٩

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :أوجد قیمة س ألقرب رقمین عشریین فى كل مما یأتى ] ٥[

٧.١٢ = ٥ – س ٣ )١٨(إذا كان ) ٢ ١٧ = س ٥إذا كان ) ١

) ٣٦ ÷ س ٦ = (١ –س ٥) ٤ ٢ –س ٩ = ١+ س ٨ إذا كان) ٣

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : عشرى بإستخدام حاسبة الجیب أوجد قیم س مقربا الناتج لرقم] ٦[

١ (۲ ۲ × ١٠ – س ۲

س + ۲٠= ٤

٥ × ٣) ٢ ١+ س ۲

=۲٩ × ٥ ١+ س

٢ لـــــو٣ – ٧ لــــو ٢= س ) ٣

٢٠٠) = ٢ –س ( د) + س( د، س ٣) = س(إذا كان د) ٤ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

نق ط ٣؛$ = إذا كان حجم الكرة ] ٧[٣

٣ سم٩٠٤.٣۲ = أوجد طول نصف قطر الكرة التى حجمھا

لقرب سم ٣.١٤= متخذا ط ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ــــــ أوجد قیمتى س ، صــــــــ= ــــــــــــــ = إذا كان ــــــــــــ ] ٨[

٣ س ۲لو

)لــوس ( ٢)لــوس (

ط ٣

لـــو س ٥لـــو

٩لـــو ٣ـو لــ

٤٩لـــو لــــوص



١١٨



١١٩



١٢٠

Education

موقع ملزمتي - ملزمة مراجعة جبر للصف الثاني الثانوي الترم الأول علمي