جبر و مقابله خیام

: خيام جبر کشف

سال خيام،در بارجبر رياضيداني 1742اول توسط. گرفت قرار توجه ،مورد ژراژمران نام به

رياضي که است بوده ارزشمند حدي تا او آثارآن به را محققين توجه گارتز دکتر نام به داني

. است نموده جلب

چيست؟ مقابله و جبر

اسالمي دوره در مقابله و جبر کتاب ترين قديمي: . او ديدگاه از ميشود منسوب خوارزمي به

:معادله جبر در طرفي از را مفروق آن طي که است عملي. بيافزاييم ديکر طرف به و حذف

:معادله مقابله طرف دو از را شيءها آن طي که عملي. است مينموده اسقاط

. است ناميده مقابله و جبر را يک درجه معادله حل عمل وي

: خيام ديدگاه از ومقابله جبر

مقابله و جبر ، خوارزمي تعريف پذيرش بر عالوه خيام. داند مي هندسي و عددي مجهوالت استخراج علم را

ميکند حل جهت دو از را معادله :وي

(1. باشد عدد يک مجهول زمانيکه2. ) - - باشد( ) حجم سطح طول هندسي مقدار يک مجهول صورتيکه در

: است قسمت دو شامل معادله حل وي نظر از1. ميکنيم( استفاده لفظ اين از ما که معنايي به معادله حلکند،تاجواب( 2 صدق درآن معادله ضرايب بايد که شرايطي تعيين

. باشد صحيح معادله

: معادالت بندي طبقهتعداد اساس بر را سوم و دوم و اول درجه معادالت که است کسي اولين خيام

: است کرده بندي طبقه زير صورت به جمالتشانها( ) (1 اي دوجمله مفردات

x=a x^3=a x^2=a^2 x^3=ax^2 x^2=ax x^3=ax

مقترنات( 2 : ها اي جمله سه

x^2+ax=b x^3+ax^2=bx x^2+b=ax x^3+bx=ax^2 x^2=ax+b x^3=ax^2+bx

x^3+Ax=C x^3+Ax^2=C

x^3+C=Bx x^3+C=Ax^2 x^3=Bx+C x^3=Ax^2+C

X^3+Ax^2+Bx=C x^3+Ax^2=Bx+C

X^3+Ax^2+C=Bx x^3+Bx=Ax^2+C

X^3+Bx+C=Ax^2 x^3+C=Ax^2+Bx

X^3=Ax^2+Bx=C

وخوارزمي واقليدس سقراط توسط خيام از قبل معادالت از حل تعدادياو روش ولي نكرده اضافه چيزي خود برپيشينيان خيام مورد اين ودر شده

ميكند ثابت هندسي طريق وبه است x^2+ax=bبا x^3+ax^2=bxكاملتر. است معادل

ها اي :چهارجمله

داريم نياز معادالت حل در: که بدانيم

و يک آن ضلع يک که است سطحي دو درجه معادالت در عدد از مقصود. باشد مفروض عدد ديگر ضلع

مکعب عدد از مراد است مجسمي مساوي عدد شود گفته هرگاهضلع به مربعي اش قاعده که است برابر 1مستطيلي ارتفاعش و

. باشد مفروض عدد

معادله يک در خود شيءمجهول در آن حاصلضرب حاصلضرب مال؛ ؛شيء در مال کعب مال در مال حاصلضرب .نامند مالِ مالو

: معادلند زير مراتب خيام ديدگاه از

.....3^

2^

2^

1

x

x

x

x

x

......3^

2^

2^

cx

cx

bx

bx

ax

a

: مفردات حل X=a

. است مشخص و يکسان هندسي و عددي حل داري X^2=a

: مربعات جدول کمک به عددي حل : ضلع به مربعي کردن معادل هندسي اضالع xحل به مستطيلي با

a 1و .

X^2 x=

سطحa

a

1

الزاويه قايم مثلث دو زير شکل در AHCو ABCدر: داريم نتيجه بوده،در مشترک زاويه يک

CH^2 = AH .HB

HB

CH

HC

AHtang) )1( (=

BHA

)1(

)1(

C

معادله هندسي حل خط x^2=aبراي پاره طول AHابتدا به سپس aرا و کرده رسمHD يک اندازه به را

مرکز وبه کرده امتداد HDوشعاع H رسم تا زنيم مي کمان در AHيک کند Bرا قطعقطر به اي امتداد ABنيمدايره تا زنيم در DHمي :Cرا بنابراين کند قطع

X^2 = HC^2 = HB.AH = 1.a=a

= مستطیل مساحت مربع مساحت

aA H

D

C

B

X^2=ax

عددي :حلX شود ضرب خودش در حاصلضرب x^2اگر نيز و ميشود aدر x حاصل

بنابراين x^2برابر شده، .x=aمطرح ميباشد

: هندسي حل ضلع به سطح aرا xمربي به مربعي با ومعادل ميکنيم مطرح ضلعش برابر

x^2. دهيم مي قرار

x

xx^2=ax x=a

X^3=ax: عددي حل تبديل با يعني شد بيان قبالً که x^3همانطور

x^2 و x 1 حل با معادله .x^2=aحل است معادل: هندسي حل4x=x^3 مکعب حجم اينکه با است ب معادل ضلعش 4را ه برابر

با( اب) است برابر مکعب اين حجم طرفي کنيم،از مطرحمربع سطح ارتفاع دجحاصلضرب مساحت ابدر بايد ،بنابراين

با ) 4برابر دجمربع بودن معادل . (x^2=4باشد

2^

1

3^ xx

x

م

د

ج

ه

ا

ب

x

ح

ه

ا

ب

X^3=ax^2

: عددي حل با معادله اين اينکه دليل مي x=aبه معادل

باشد.

: هندسي حل معادل را ب ه (.2مکعب ب aاب^) ه حجم پس ، ميکنيم طرح

ديگر طرف از و د ب در اج مربع حاصلضرب معادل طرفي ازدر مربع همين سطح د aمعادل ب پس aبرابر (x)است،

ميباشد.

3^

2^

2^

1

x

x

x

x

x

ه

ج ب

ا

د

ه

ب

a

ا

ج

مقترنات حلومعادالت دوم درجه ای جمله سه معادالت

آنها به تحویل قابل

مانند دوم درجه معادالت حل برای خیام که روشیx^2+bx=a x^2+a=bx bx+a=x^2

خیام ولی کرده ذکر خوارزمی که است روشی همانند میبرد كار بهاست کرده ثابت هندسی طریق به معادالت این حل بر عالوه

x^3+bx^2=ax x^2+bx=a

x^3+ax=bx^2 x^2+a=bx

bx^2+ax=x^3 bx+a=x^2

قابل سه درجه معادالت هندسی اثباتدو درجه به تحویل

یعنی کند می متجانس را معادله سه ابتدا را a خیامو سطحی داده b بوسیله نمایش طولی مدد به را

ارتفاع به را نیاز مورد ی .xومکعبها کند می رسم

a b

: اول حالت

x^3+bx^2=ax x^2+bx=a

مكعب ) مكعب( = )3حجم مكعب( + )2حجم (1حجم

X^3 + bx^2 = ax

مكعب هرسه است xارتفاع برقرار زماني فوق تساوي بنابراين استباشیم : داشته یعنی باشد برابر ها قاعده سطح که

X^2+bx=a

x

x

xb

x

x

x

a+ =

(1) (2) (3)

: دوم حالت

x^3+ax=bx^2 x^2+a=bx


X^3 + ax = bx^2


X^2+a=bx

x

x

x

x

x+ =

(1) (2) (3)

ab

x

: اول حالت

bx^2+ax=x^3 bx+a=x^2


bx^2 + ax = x^3


bx+a=x^2

x

x

b

x x+ =

(1) (2) (3)

ax x

درجه معادالت حل برای خیام روشسوم:

به کند می متجانس را معادله خیام ابتدا سوم درجه معادالت حل برای: که صورت این

دوم- )1 درجه جمله .Aضریب دهد( مي نمايش طولي بوسيله را

اول- )2 درجه جمله مربعی( )Bضریب بوسيله .b^2را دهد( مي نمايش

معادله- 3 در را معلوم وارتفاع x^3=aجمله واحد مربع قاعده به مستطیلی مكعب بوسيلهa در و

ضلع x^3+C=Ax 2^و x^3+Ax^2=C معادالت به مكعبي ودرمعادله cبه

x^3=Ax^2+c ارتفاعش که مستطیلی مكعب وسيله باشد aبه مربع اش ( (C=ac^2وقاعدهو

مربع اش قاعده که مستطیلی مكعب به معادالت باقی در ( (C=b^2.cباشد b^2باالخره. دهد می نمایش

هر حل برای الزم قطوع شد متجانس معادله اینکه از پس وروی از را معادله

را معادله مثبت جواب آنها تقاطع از و کرده تعیین معادله ضریب. آورد می بدست

عوامل از یکی همین وشاید کرد نمی رسم کامل را قطوع خیام. باشد منفی اعداد به او نبردن پی

اصطالحات:

. : سهم دارد قرار منحنی گودی در که کانونی محور از قسمتی

ترتیب .خط کانونی : محور از منحنی نقطه یک فاصله

قائم با: ضلع که هادی خط از سهمی کانون نشان 2pفاصله. شود مي داده

•F

F. .

مقدمات:

حل شامل ای مقدمه سه درجه معادالت حل به شروع از قبل خیام: کند می ذکر مسئله سه این

دستگاه -1 هندسي a:x=x:y=y:bحل

مفروض- 2 مربع آن قاعده که مستطیلی مکعب هندسی ومعادل a^2تعیینبه مستطیلی مکعب

.hوارتفاع b^2 قاعده باشد

وارتفاعش- 3 مربع آن قاعده که مستطیلی مکعب هندسی hتعیینقاعده که مفروضی مستطیل مکعب حجم با باشد مساوی باشدوحجمش

مربع ارتفاعش b^2اش .’hو باشد

دستگاه هندسي a:x=x:y=y:bحل) ) متصلي تناسب

دوخط خواهيم مفروض a,bمي خط دو : x,y رابين که بيابيم چنان a:x=x:y=y:b

اولی قائم وضلع سهم که سهمی دو دادن ازقطع حل قائم aبراي وضلع سهم وکنیم .bدومی می استفاده است

o b.y=x^2 x:y=b:x

a:x=x:y=y:b

a.x=y^2 x:y=y:aa

yb

x

آن- 2 قاعده که مستطیلی مکعب هندسی تعیینمفروض به a^2مربع مستطیلی مکعب ومعادل

.hوارتفاع b^2 قاعده باشد

طولهاي بايد معادله اين حل :k,lبراي که کنیم تعیین چنان را

b:a=a:k , b:k=l:h

برسطح lوسپس عمود میکنیم a^2 را کامل را ومکعب قرارداده

b^2:a^2=)b:a(.)a:k(=b:k

b^2:a^2= b:k=l:h )b^2(.h=)a^2(.l

معادلند دومکعب

abh

ba

la

مربع- 3 آن قاعده که مستطیلی مکعب هندسی تعیینمکعب hوارتفاعش حجم با باشد مساوی باشدوحجمش

مربع اش قاعده که مفروضی ارتفاعش b^2مستطیل ’hوباشد.

طولهاي بايد معادله اين حل :k,lبراي که کنیم تعیین چنان را

b:l=l:k , b:k=h:h’

بر lوسپس میکنیم ’hرا کامل را ومکعب کرده عمود

b^2:l^2=)b:l(.)l:k(=b:k

b^2:l^2= b:k=h:h’ )b^2(.h’=)l^2(.h

معادلند دومکعب

abh’

b

h

درجه معادالت از بعضي براي خيام حل راهسه:

x^3=aمعادله

مقدار باید حل مکعب )xبراي نتیجه ضلع( 2ودر چنان xبه رابامکعب که بیابیم

(1: شود( معادل

(1)

1

1

a

(2)

x

x

x

درجه معادالت از بعضي براي خيام حل راهسه:

x^3=aمعادله

گیرد : می کار به معادله این حل برای خیام که قطوعی

y^2=ax

a:y=y:x=x:1 متصلی تناسب از استفاده

y= x^2

x^3=a

x

x^3+b^2x=c.b^2 یا x^3+Bx=C معادله

تعیین با است برابر معادله این :Xحل كه اي گونه به

مكعب ) مكعب( = )3حجم حجم( + 2حجم(1مكعب )

X^3 + b^2x = c.b^2

x

x

xb

x

b

c

b

+ =

(1) (2) (3)

b

: حل برای الزم قطوعقطر به ای راس cنیمدایره به قائم yوسهم kوسهمي b وضلع

x^2=by b:x=x:y

b:x=y:)c-x(

x:y=y:)c-x(

b^2:x^2=)y:)c-x((.)x:y(=x:)c-x(

c

b

y

x

b^2:x^2=x:c-x( b^2.)c-x(=x^3

. دو هر به معادلند دومکعب براین افزاييم x.b^2بنا مي :را

X^3+x.b^2=b^2.)c-x(+x.b^2

x^3+x.b^2=b^2.)x-x+c(

x^3+xb^2=b^2.c

: است کرده استفاده را زیر معادله با وسهمی دایره خیام واقع در( x-c:2^)2+y^2=)c:2(^2

by=x^2

x^3=b^2x+c.b^2 یا x^3=Bx+C معادله

تعیین با است برابر معادله این :Xحل كه اي گونه به

مكعب ) مكعب )+( 3حجم حجم =( 2حجم(1مكعب )

X^3 = b^2x + c.b^2

x

x

xb

x

b

c

b

= +

(1) (2) (3)

b

: حل برای الزم قطوعراس به قائم Kسهمي امتداد b وضلع راس - bوسهم به هذلولي

l امتداد مايل c وسهم و قائم cوضلع

(x-c)x=y^2 x:y=y:)x-c( b:x=y:)x-c(

by=x^2 b:x=x:y

b^2:x^2=)x:y()y:)x-c((=x:)x-c(

b

c x

y

b^2:x^2=x:)x-c( b^2.)x-c(=x^3

. دو هر به معادلند دومکعب براین افزاييم c.b^2بنا مي :را

X^3+c.b^2=b^2.)x-c(+c.b^2

x^3+c.b^2=b^2.)x-c+c(

x^3+cb^2=b^2.x

مقاطع قطع از معادالت حل در شد،خيام nذکر قبالً که همانطورصورت اين به را قطوع اين کرده،وپکه مي استفاده مخروطي

: کرده بندي دسته y^2+kx^2=l x=0 x^3+kBx+lC=0

X^2- y=0

ضرايب توجه: از يک بنديهاهر دسته اين 1مقادير -m n p q l kدرميپذيرد،البته 1و .kرا ميپذيرد هم صفر

X^3+Bx=C دايره و سهمي

X^3+c=Bx هذلولي و سهمي X^3=Bx+c هذلولي و سهمي

BB

C

C

: ها بندی تقسیم دوم دستهxy- =0

Y^2+k x+l A=0 kx^3+lAx^2+C=0

X^3+Ax^2=C سهمی و هذلولی

X^3+C=Ax^2 سهمی دو

X^3=C سهمی دو

X^3+Ax^2+Bx=C هذلولی و نیمدایره

هذلولی دوX^3+Ax^2+C=Bx

هذلولی دوX^3+Ax^2+Bx=C

Documents

جبر و مقابله خیام