Група дослідники

ПОКАЗНИКОВА ФУНКЦІЯУ ПРИКЛАДНИХ ЗАДАЧАХ

Керівник:Вчитель математикиХ. Чепіль

… природа формулює

свої закони мовою математики

Галілео Галілей

Вона допомогла людям описати такі процеси, як радіоактивний розпад, розмноження бактерій, утворення нейронів у ланцюговій реакції.

Без неї не були б розв’язані задачі про зміну атмосферного тиску, приріст деревини.

І навіть сума вашого внеску до банку підлягає закону, який описується цією функцією.

Ви прагнете бути активним учасником сучасного життя? Тоді група дослідників докладніше знайомить вас із темою «Показникова функція» та її практичним застосуванням!!!

Реклама

Наші завдання

дослідити, чи має практичне застосування показникова функція

в житті людини;показати, що в природі та науці

пов’язане з показниковою функцією;

результати роботи оформити у вигляді презентації.

В житті нерідко доводиться зустрічатися з такими фактами, коли швидкість зміни

деякої величини пропорційна самій величині. В цьому випадку дана величина

буде змінюватися по закону, що має вигляд:

у = у0ах

За допомогою показникової функції описуються процеси природного зростання

чи спадання. Показникова функція дуже часто

реалізується в фізичних, біологічних та інших законах.

Закон показникової функції

Коли радіоактивна речовина розпадається, її кількість зменшується. Через деякий час залишиться половина початкової кількості речовини. Цей проміжок часу Т називається періодом напіврозпаду речовини. Через t років маса М речовини буде дорівнювати

М = М0(1/2)t/T

де М 0 – початкова маса речовини. Чим більший період напіврозпаду, тим повільніше розпадається речовина.

Радіоактивний розпад

Процеси, в яких величина зменшується за рівні

проміжки часу в одному і тому ж відношенні, називають процесами органічного

спадання.

РАДІОАКТИВНИЙ РОЗПАД

Явище радіоактивного розпаду використовується

для визначення віку археологічних знахідок, наприклад, визначено

приблизний вік Землі, біля 5,5 млрд років, для підтримки

еталону часу.

Атомна енергетикаЗадача

Через який час після аварії кількість радіоактивних атомів Цезія-137 зменшиться у 128 разів? Період піврозпаду Т=30 років.Розв’язання. Радіоактивний розпад даного елемента описує рівняння

Відповідь: 210 років.

“Математичні методи стають не тільки методами,

які використовуються в механіці, фізиці, але загальними методами

для всієї науки в цілому”С.Л.Соболєв

ФізикаЗадача Чому дорівнює маса йоду, в кінці 4 діб з початку спостереження, якщо в початковий момент його маса складала 1 г.

Tt

mm

21

0

m0 =1 г маса в початковий момент t = 4 добиT = 8 дібm – ?

гm 7021

211

21

84

,

Відповідь: маса йоду 0,7 грама

ФізикаЗадача Перший міжнародний еталон радію був виготовлений Марією Кюрі в серпні 1911 року, і складав 16,74 мг чистого радію. Яка кількість радію міститься в еталоні в 1991 року?

Tt

mm

21

0

m0 =16,74 мг T = 1600 роківt – час який пройшов після 1911 р.m – ?

мгm 1716217416

160080

,,

Відповідь: маса радію 16,17 мг.

http://linda6035.ucoz.ru/

Задача про парашутиста При падінні тіл в безповітряному

просторі їх швидкість неперервно зростає. При падінні тіл в повітрі швидкість падіння також зростає, але не може перевищити визначеної величини. Розглянемо задачу про падіння парашутиста. Якщо вважати, що сила опору повітря пропорційна швидкості падіння парашутиста, тобто F = kV, то через t секунд швидкість падіння буде дорівнювати:

V = mg/k (1- e-kt/m),де m – маса парашутиста. Через деякий проміжок часу e-kt/m стане дуже маленьким числом і падіння стане майже рівномірним.

http://linda6035.ucoz.ru/

Коливання маятника Якщо при коливаннях маятника

не нехтувати опором повітря, то амплітуда коливань стає все меншою, коливання затухають. Відхилення точки, що здійснює затухаючі коливання, виражається формулою: S = Ae-kt sin(ωt + φ0). Оскільки множник e-kt зменшується з плином часу,то розмах коливань стає все меншим і меншим.

АстрономіяБагато складних математичних задач доводиться розв’язувати в

теорії міжпланетних подорожей. Одною з них є задача про визначення маси палива, необхідної для надання ракеті потрібної

швидкості V. Ця маса М залежить від маси m самої ракети (без палива) і від швидкості V0, з якою продукти горіння витікають з

ракетного двигуна. Якщо не враховувати опір повітря і земне тяжіння, то маса палива обчислюється за формулою:

M = m(ev/v0 – 1)(формула К.Е. Ціолковського)

Задача про чайник

Якщо зняти киплячий чайник з вогню, то спочатку він швидко охолоджується, а потім зниження температури йде набагато повільніше.

Справа в тому, що швидкість охолодження пропорційна різниці між температурою чайника і температурою навколишнього середовища. Чим

меншою стає ця різниця, тим повільніше

охолоджується чайник.

ПОБУТ

Якщо спочатку температура чайника дорівнювала Т0, а температура повітря – Т1,

то через t секунд температура чайника виразиться формулою:

Т = (Т1 – Т0)е-kt + Т1,

де k – число, що залежить форми чайника, матеріалу, з якого він зроблений та кількості

води, що в ньому знаходиться.

Економіка

Банк – таке місце, де вам позичають парасольку в ясний день, а потім вимагають повернути, коли починається дощ.

Р. Фрост

А = А0(1+р/100)t

де А — шукана величина, А0 — початковий вклад, p — річний відсоток, t — розрахунковий термін.

Приріст капіталу в банку здійснюється за законом

природного зростання. Всім відома формула складних

відсотків:

ЕкономікаЗадача. Вкладник поклав на рахунок 1500 грн. Яка сума буде в нього через

5 років, якщо відсоткова ставка 10% річних.

.,

;,;%

роківnчерезвкладникотримаєякусумаS

вкладниквнісякусумаSрічнихбанкнараховуєp

n

SpSn

n

1001

В загальному вигляді задачу можна розв’язати за формулою:

грн

Відповідь: 2415,77 гривень.

Медицина

N=N0akх, де N – кількість бактерій після

розмноження, N0 – початкова кількість

бактерій, х – час розмноження, k і a –

деякі сталі

Біологія Задача

Прикладом швидкого розмножування бактерій є виготовлення дріжджів, під час якого по мірі росту бактерій проводиться відповідне додавання цукрової маси. Знайти масу дріжджів, якщо початкова маса складає 10 кг, а тривалість процесу 9 год.

m0 – початкова маса дріжджів t – час бродіння в годинахm – маса дріжджів в процесі бродіння

Збільшення маси дріжджів виражається формулою показникової функції:

tmm 210 ,

кгm 6512110 9 ,,

Відповідь: маса отриманих дріжджів 51,6 кг

Задача про розмноження водяних лілій

Припустимо, що в деякому великому ставку щоденно подвоюється кількість водяних лілій. Якщо спочатку було 5 водяних лілій, скільки їх буде через 1, 2, 3, 5, 10 днів? Подай загальну формулу для кількості Аn водяних лілій через n днів. Скільки б їх стало через 30, 60 днів, якби ставок був достатньо великим?Розвязання.Через 1 день: 5*2 = 10 = А1. Через 2 дні: 5*2*2 = 20 = А2.

Через 3 дні: 5*2*2*2 = 40 = А3 Через 5 днів: 5*25 = 160 = А5.

Через 10 днів: 5*210 = 5120 = А10 Через n днів: 5*2 = 10 n = А nє

А30 = 5.37*109

А60 =5.76*1018

Біологія

ЕкологіяПриріст деревини

Дерево росте так, що кількість деревини в початковий момент збільшується з часом за законом:

m=m 0 a k t

де m 0 – кількість деревини в початковий момент, k – деяка постійна, t – час у роках, (М=М0(5,3)2,1х – для дуба і М=М0(2,7)1,3х – для сосни).

Географія

«Без знань математики не можна зрозуміти ні основ сучасної техніки, ні того, як вчені вивчають природні і соціальні явища»

А.М. Колмогоров

Барометрична формула

При постійній температурі атмосферний тиск змінюється залежно від висоти над

рівнем моря за законом:Р=Р0 а h

де Р0 – атмосферний тиск над рівнем моря, Р – тиск на висоті h, а – деяка постійна (залежить

від температури).

Географія

Задача. Обчислити яким буде атмосферний тиск на вершині Ельбрусу, висота якого 5,6 км, якщо залежність атмосферного тиску p від висоти (вираженої у кілометрах) h над рівнем моря виражається формулою:

87,276h

p

..,,,

стртммp 92377276 865

На вершині Ельбрусу

ГеографіяЗадача. Альпіністи, які підкорювали пік

Перемоги, досягли висоти, де тиск був рівний 304 мм рт. ст. Обчислити на якій висоті находяться альпіністи, якщо p0 = 760 рт. ст.

pph 0

434308000 lg,

Висота над рівнем моря обчислюється за формулою:

p0 – тиск над рівнем моря;p – тиск на висоті h м.

мh 27330304760

434308000 ,lg,

Пік Перемоги

Ріст населення

де N0 – кількість людей при t = 0, N – кількість людей в момент часу t,

а, e – постійні величини.

Зміна кількості людей в країні за великий проміжок часу t описується формулою:

N = N0eat

Географія

Задача. Якою була чисельність населення міста 10 років тому, якщо в даний час проживає 300 тис. чоловік, а щорічний приріст населення складає 3,5%.

npaA

1001 a – чисельність населення 10 років тому назад;

A – 300 тис. чоловік; x – 10 років; p – 3,5%.

чоловіктисaaa .,,

,, 721203513000351300

100531300

10

1010

Відповідь:Чисельність населення 10 років тому 212,7 тис.

чоловік

Географія

Задача. Населення міста зростає щорічно на 3%. Через скільки років населення міста збільшиться у 5 разів.

Застосуємо формулускладних відсотків:

npaA

1001

a – населення містаA – 1,5 a

x – кількість років

51031100

3151100

3151 ,),(,,

x

xx

aa

прологарифмуємо

141281761

0128017610

0315151031

,,

,lg,lg,lg,lg

x

xxВідповідь:

приблизно через 14 років

Виробництво

«Перш за все, візьмемо математику. Спільний відділ її, який має справу з цифрами дає допомогу у всій промисловості»

Г.Спенсер

Виробництво

Задача.Вартість обладнання дорівнює 500 тис. грн. Відомо, що через 10 років вартість цього обладнання внаслідок амортизації буде рівна 200 тис. грн. Знайти відсоток щорічної амортизації обладнання.

n

n

pBB

10010

B0 = 500 тис. грнn =10 роківBn = 200 тис. грн

%,,,

,,

,

,

,

768010401

010140

010152

1001500200

10

10

10

10

p

p

p

p

Відповідь: щорічний процент амортизації 8,76%.

Виробництво

Задача 1.Обчислити вартість обладнання в гривнах через 5 років, якщо його початкова вартість 4,68∙105 грн, а щорічний відсоток амортизації 5,7%.

Вартість обладнання через n років можна знайти за формулою:

n

n

pBB

10010

B0 - початкова вартістьp – щорічний процент амортизації Bn – вартість обладнання через n років

грнBn5

5

5 10493100

75110684

,,,

Виробництво

Задача 3.Ділянка лісництва складає 65000 м3 лісу. Скільки буде лісу на цій ділянці через 10 років, якщо його щорічний приріст складає в середньому 2%.

npAS

1001

S - результатA – початкова к-ть товаруp – відсоток збільшенняn – кількість років

310

467923100

216500 мS ,

Відповідь: 7923,46 м3.

ХіміяЗадача

На скільки градусів треба підвищити температуру для прискорення хімічної реакції в 5900 раз, якщо швидкість реакції зростає в геометричної прогресії зі знаменником, що дорівнює 3 при підвищенні температури на кожні 100.

Розв’язання

Відповідь: Потрібно підвищити температуру на 100° для прискорення хімічної реакції

104771077094

3590059003

59003

59003

,,

lglg

lglglg

x

x

x

x

oo x 10010

ХіміяЗадача про вакуумування  Під час вакуумування кінцевий тиск пов'язаний з початковим тиском співвідношенням

де р2 — кінцевий тиск, мм рт. ст.; р1 — початковий тиск, мм рт. ст.; R — об'єм, що підлягає відкачуванню, cm3; Q— об'єм газу, що відкачується насосом за один оберт, см3; n — кількість обертів насоса, об/хв; t — час вакуумування, хв.

Висновки

Показникова функція – не абстракція, оскільки в багатьох галузях людської діяльності відбуваються процеси, протікання яких проходить за законом показникової функції;

Практичне застосування показникової функції ми показали шляхом розв’язування конкретних задач;

Отримані знання допоможуть випускникам у виборі майбутньої професії.

Дякуємо за увагу!