Συναρτήσεις καλοκαιρινή προετοιμασία μαθηματικά θετικών σπουδών,οικονομίας και πληροφορικής Γ Λυκείου

Συναρτήσεις Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Μήταλας Γ , Δρούγας Α. ,Χάδος Χ. ,Γερμανός Ξ., Πάτσης Σ.

f(x)=lnx2

g(x)=2lnx

f=g????

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ

ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Μια προσφορά του Σ.Ο.Κ.Ο.Ν

Ο ΤΣΕΛΕΜΕΝΤΕΣ ΤΟΥ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥ

ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ

ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ



Το χόμπι μου είναι η μαγειρική και ενίοτε παθαίνω εκρήξεις φαιδρότητας και κυνισμού.

Ηρεμήστε, δεν προτίθεμαι να παραθέσω συνταγές μαγειρικής, πλην όμως, τα τελευταία

χρόνια έχω πολλές ενστάσεις για τον τρόπο που εξετάζονται τα μαθηματικά στις

πανελλαδικές εξετάσεις. Παρόλα αυτά, εναρμονίζομαι απόλυτα και το παρόν αποτελεί

ένα τσελεμεντέ τεχνικών επίλυσης ασκήσεων. Το εγχειρίδιο του επιτήδειου στα

μαθηματικά θετικού προσανατολισμού. Γιατί να το κρύψουμε άλλωστε, η επιτροπή

θεμάτων τα τελευταία χρόνια πίνει νερό στο όνομα του Αλ Κβαρίσμι και έχει αγιοποιήσει

την μεθοδολογία.Διάβαζα, πρόσφατα σε γνωστό μέσο κοινωνικής δικτύωσης ότι

«μεθοδολογία στα μαθηματικά είναι ένα τέχνασμα που έγινε viral”,ένας on line

εξωραϊσμός του γνωστού αφορισμού του Τζωρτζ Πόλυα. Πέρα και μακριά από την

μαθηματική σκέψη στις παρακάτω σελίδες θα βρείτε μια σειρά από τυφλοσούρτες για να

λύνετε τα θέματα των πανελληνίων. Το παρόν συμπληρώνει το σχολικό βιβλίο. Που και

που θα βρίσκετε αγαπημένες συνταγές!!

Σ.Ο.Κ.Ο.Ν

Τσιπούρα στη λαδόκολα

Τι χρειαζόµαστε:

-2 τσιπούρες

-αλάτι (όσο θέλετε)

-ρίγανη 1 κ.σ σε κάθε ψάρι

-2 λεµόνια κοµµένα σε ρόδες

-2 σκελίδες σκόρδο κοµµένες στη µέση

(1 σκελίδα για κάθε ψάρι.)

λαδόκολα

-1 φλ. τσαγίου (περίπου 200ml) λαδολέµονο

Πώς το κάνουµε:

Καθαρίζουµε τις τσιπούρες και τις πλένουµε.

Σε κάθε ψάρι βάζουµε τη ρίγανη, το αλάτι,

το λαδολέµονο (περίπου 4 κ.σ), το σκόρδο µέσα

στο ψάρι και το λεµόνι το ίδιο.

Τα τυλίγουµε στη λαδόκολα και τα ψήνουµε

για 15 λεπτά στους 180 βαθµούς.



ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1)Μαθηματικά Θετικού προσανατολισμού, Ανδρεαδάκης,Κατσαργύρης,Μέτης.Ο.Ε.Δ.Β

2) Μαθηματικά Γ Λυκείου, Μπάρλας Α., Εκδόσεις Ελληνοεκδοτική

3)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατσαρός Δ.,Εκδόσεις Ελληνοεκδοτική

4)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Στεργίου–Νάκης,Εκδόσεις Σαββάλα

5)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Μαυρίδης Γ., Εκδόσεις Μαυρίδη

6)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Σκομπρής Γ., Εκδόσεις Σαββάλα

7)Μαθηματικά Γ Λυκείου ,Μιχαηλίδης Γ., Εκδόσεις Μαυρίδη

8)Ανάλυση Μαθηματικά, Αχτσαλωτίδης Χ. ,Εκδόσεις Μεταίχμιο

9)Μαθηματικά Γ Λυκείου ,Παπαδάκης ,Εκδόσεις Σαββάλα

10)Μαθηματικά Γ Λυκείου ,Ξένος. Θ. ,Εκδόσεις Ζήτη

11)Μαθηματικά-Ανάλυση,Μαντάς Γ. ,Εκδόσεις Μαντά

12)Μαθηματικά-Ανάλυση,Ευρυπιώτης Σ.Γ. ,Εκδόσεις Πατάκη

13)Μαθηματικα-Αναλυση,Μπαιλάκης Σ.Γ., Εκδόσεις Σαββάλα

14) Ανάλυση 1,2,3,Γκατζούλη Κ., Εκδόσεις Γκατζούλη

15) 1000+1 ασκήσεις στις παραγώγους, Ξηνταβελώνης Π.,Εκδόσεις Λιβάνη

16)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Β &Ρ Σπανδάγου.,Εκδόσεις Αίθρα

17)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Αρχείο Σ.Ο.Κ.Ο.Ν,study4exams,Αρχείο θεμάτων πανελλαδικών

18)ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β, Αρχείο ΕΜΕ ,Το Φ

19)Συναρτήσεις,Ποσταντζής Β.

20)Βιβλίο του διδάσκοντος.Για το μάθημα ανάλυση της Γ λυκείου,Γ.Παντελίδη, Εκδόσεις Ζήτη

21)Θεώρημα μέσης τιμής ,Γιαννιτσιώτης-Καραγιώργος, Εκδόσεις Κωστόγιαννος

22)Συναρτήσεις Θ.Ν. Καζαντζής. Εκδόσεις Τυποεκδοτική

23)Ανάλυση,Ντζιώρας.Η, Εκδόσεις Πατάκη

24)Ανάλυση,Μπαραλός Γ. Εκδόσεις Παπαδημητρόπουλου

25) Απειροστικός λογισμός, Spivak M. ,Παν. Εκδόσεις Κρήτης

26)Μαθηματική ανάλυση Ρασσιάς Μ. ,Εκδόσεις Σαββάλα

27)Problems in Calculus ,Ι.Μ.Maron,Mir Publisher

28)Θέματα μαθηματικών κατεύθυνσης,Πανουσάκης Ν.,Εκδοτικός όμιλος Συγγραφέων καθηγητών

29) Συναρτήσεις και συναρτησιακές σχέσεις, Γ.Λ.Καρεκλίδης. Εκδόσεις Ανικουλα

30) Η διδασκαλία του Απειροστικού λογισμού, μέσω αντιπαραδειγμάτων, Πλάταρος Γιάννης

31)Οδηγός επανάληψης στα μαθηματικά Γ λυκείου, Χ.Πατήλας, εκδόσεις Κωστόγιαννος

32)Γενικά θέματα μαθηματικών, Βλάχος. Β., Κουτσούκος Π. ,Ξηροκώστας Π. ,Πλατής Χ.

33)Problem book:Algebra and Elementary functions, Kutepov A.,Rubanov, MIR Publishers

34) Θέματα για πανελλήνιες εξετάσεις πρώτης δέσμης,Σάκης Λιπορδέζης

35)The theory of functions of a real variable, R.L.Jeffery

36)A Problem book in mathematical analysis,G.N Berman

37) Bad problems in Calculus, A.G .Drolkun

38) Μαθηματικά 1,2,3 Γ.Δεμερτζής,Δ.Γουβίτσας Εκδόσεις Όλυμπος

39)Μεθοδολογία για ασκήσεις και προβλήματα μαθηματικών, Α.Καλομητσίνης, Εκδόσεις Σμίλη

40)Διδακτικη των θετικών επιστημών, Δ.Λ. Καραγεώργος

41)Επαναληψη μαθηματικών Γ λυκείου,Ν.Κουταντζής

42)Επιλογη ασκήσεων από την διεθνή θεματογραφία Γ ενιαίου λυκείου Α.Καλομητσίνης

43)Ασκησεις μαθηματικής ανάλυσης,Στάικου Β

44)Differential Calculus ,Ν.Ball

45)Calculus,E.Swokowski

46)Problems in Algebra ,T.Andreesku, Z.Feng

47)Ολοκληρώματα , Θ.Ν. Καζαντζής.Εκδόσεις Μαθηματική βιβλιοθήκη

48)Oδηγός προετοιμασίας για τις πανελλαδικές εξετάσεις (Lisari team)

49)Μαθηματικά Γ τάξης Γενικού Λυκείου ,Κανδύλας ,Ζανταρίδης,Τηλέγραφος,…

Τα σχήματα επιμελήθηκε ο Ντόναλντ Ντάκ ενώ τους γραμμοκώδικες ( qr-code) δημιούργησε ο

Οβελίξ σε συνεργασία με τον Κακοφωνίξ.



ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Πεδίο ορισμού …………………………………….……………………………………………..σελ

2.Πεδίο ορισμού καθορισμός στην περίπτωση παραμετρικού τύπου..…………..…….…...σελ

3.Συνολο Τιμών f(α) /προσδιορισμός παραμέτρων ώστε να είναι f(α)=[α,β] ή R………..σελ

4. Γραφική παράσταση Συνάρτησης …………………………………………….……………...σελ

5. Τιμή της συνάρτησης στη Θέση x0:f(x0)/γεωμετρικοι τόποι ……………….……………....σελ

6. Ισότητα συναρτήσεων………………………………………….……………….……………....σελ

7. Πράξεις συναρτήσεων ………………………………………….……………….…………….σελ

8. Σύνθεση συναρτήσεων ………………………………………….……………….…………....σελ

9. Μορφοποίηση/εύρεση συνάρτησης από τη σύνθεση της με άλλη συνάρτηση ……........σελ

10. Συναρτησιακές σχέσεις: συνθeτες συναρτήσεις (συναρτησιακή εξίσωση)……….……σελ

11. Συναρτησιακές σχέσεις: Ισότητες-Ανισότητες……………………………………………σελ

12. Σταθερή συνάρτηση, αρτιες, περιττές,περιοδικές………………………………….…..σελ

13 .Κοινά σημεία καμπυλών με αξονες…………………………………………….………....σελ

14. Μονοτονία εύρεση μονοτονίας βασικών συναρτήσεων………………………………….σελ

15. Εύρεση μονοτονίας με τον ορισμό…………………………………………….……….…..σελ

16 .Ακρότατα κριτήριο ορισμού…………………………………………….…………………...σελ

17. Συνάρτηση ‘’1-1’’…………………………………………….………………………………..σελ

18 .Ιδιότητες – εύρεση αντίστροφης………………………………………….……….………..σελ

19. ‘’1-1’’ :Θεωρητικά ζητήματα…………………………………………….…………………σελ

20. Λύση εξισώσεων –ανισώσεων της μορφής ( )f x α<

>= ή ( )( ) ( )( )f g x f h x

<

>= ……….……..σελ

21. Επαναληπτικές ασκήσεις …………………………………………………………………..σελ

22. Τυπολόγιο προαπαιτούμενων γνώσεων από προηγούμενες τάξεις …………………..σελ

Joseph Lagrange

Ο όρος συνάρτηση χρησιµοποιήθηκε από τους πρώτους

ερευνητές της µαθηµατικής ανάλυσης για το

συµβολισµό των δυνάµεων µιας ορισµένης ποσότητας.

Από τότε η σηµασία του όρου αυτού έχει επεκταθεί σε

οποιαδήποτε ποσότητα που σχηµατίζεται µε

οποιοδήποτε τρόπο από οποιαδήποτε άλλη ποσότητα. ο

Λάιµπνιτς και τα αδέρφια Μπερνούλλι ήταν οι πρώτοι

που χρησιµοποίησαν τον όρο συνάρτηση σε αυτή την

γενική µορφή, που και σήµερα παραµένει να είναι

δeκτή στην µορφή.



1.ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ

Έστω Α ένα υποσύνολο του ℝ . Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού

το Α μια διαδικασία (κανόνα) f , με την οποία κάθε στοιχείο Ax∈ αντιστοιχίζεται σε ένα

μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με )(xf .

Πεδία ορισμού βασικών συναρτήσεων

•Εκθετικής ℝx xα ,e :

•Λογαριθμικής +ℝ*ln x :

•Τριγωνομετρικές : { } − + − ∈

ℝ ℝ ℝ ℤπ

ημx,συνx : , εφx : κπ ,σφx : κπ ,κ2

.

1. Πολυωνυμική συνάρτηση

• ( ) −−= + + + + ∈ℕν ν 1

ν ν 1 1 0f x α x α x ... α x α ,ν

∈ =ℝ ℝ0 1 ν f

α ,α ,...,α , D

Παράδειγμα 1: ( ) 2f x x 5x 6= − + , = ℝf

D

2. Ρητή συνάρτηση (πηλίκο πολυωνύμων).

• ( ) ( )( ) ( ){ }= = ∈ ≠ℝ

f

P xf x , D x : Q x 0

Q x.

Παράδειγμα 2: ( )2

2f x

x 1=

−. (Στην τάξη)

3. Άρρητες.

• ( ) ( ) ( ){ }= = ∈ ≥ℝf

f x P x , D x : P x 0 .

Παράδειγμα 3: ( ) 2f x x 1= −

Παράδειγμα 4: ( )1

f xx 1

=−

.

4. ( ) ( ) ( ){ }= = ∈ >ℝf

f x lng x , D x : g x 0

Παράδειγμα 5: ( ) ( )f x ln x 3= − .

6. ( ) ( ) ( ) ( )= = =f g

f x ημg x ,f x συνg x , D D

Παράδειγμα 6: ( ) ( )f x ημ x 6= − .

7. ( ) ( )( ) ( ){ }= = ∈ ≠f

f x εφ g x , D x R : συνg x 0

Παράδειγμα 7: ( ) ( )f x σφ x 2= −

8. ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }= = ∈ >h x

ff x g x , D x R : g x 0

Παράδειγμα 8: ( ) ( )xf x x 1= +

9. Σύνθετη Περίπτωση

1. Γράφουμε τους περιορισμούς που προκύπτουν από τον τύπο.

2. Εμφανίζουμε τη γραφική λύση κάθε ανίσωσης σε κοινό άξονα.

3. Κάνουμε συναλήθευση (τομή) και γράφουμε σαν πεδίο ορισμού το κοινό διάστημα λύσεων.

Παράδειγμα 9: ( )( )2

2

ln 3x xg x

x 3x 2

−=

− +. (Στην τάξη)

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1-1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f με τύπο:

( ) ( )+= = − − +

− +3

2

x 3i)f x ii)f x 1 x 1 x

x 4x 3

Λύση



i) Η συνάρτηση f ορίζεται όταν και μόνο όταν 2x 4x 3 0− + ≠ . Το τριώνυμο 2x 4x 3− + έχει διακρίνουσα

4∆ = και ρίζες 1 2x 1 και x 3= = . Επομένως ( )2x 4x 3 0 x 1 η' x 3− + = ⇔ = = .

Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο ( ) ( ) ( ) { },1 1,3 3, R\ 1,3Α = −∞ ∪ ∪ +∞ = .

ii) Η συνάρτηση f ορίζεται όταν και μόνο όταν ( )1 x 0 και 1 x 0− ≥ + ≥ ή ( )x 1 και x 1≤ ≥ − ,

δηλαδή 1 x 1− ≤ ≤ . Επομένως το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο [ ]1,1Α = − .

1-1β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f με τύπο

i) ( )ln 1974x

f xx x

=+

ii) ( ) ημxf x

2 ημx=

−

Λύση

i)Η συνάρτηση f ορίζεται όταν:

1974x 0 1974 x 0 x 0 x 0

x 0x x x 0x x 0 x x 0

> > ≠ ≠ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ >

≠ >+ ≠ + ≠

Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι ( )A 0,= +∞

ii) Η συνάρτηση f ορίζεται όταν 2 ημx 0 ημx 2− ≠ ⇔ ≠ που ισχύει για κάθε x∈ℝ καθώς 1 ημx 1− ≤ ≤

για κάθε x∈ℝ .

1-2. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) 2 2f x 9 x 4x x= − − + .

Λύση

Πρέπει 2 29 x 0 και 4x x 0− ≥ + ≥ . Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου των 2 29 x και 4x x− + .

Άρα 0 x 3≤ ≤ . Συνεπώς [ ]fD 0,3= . Το παραπάνω προκύπτει συναληθεύοντας κατά τα γνωστά τις

ανισότητες.

x −∞ -4 -3 0 3 +∞ 29 x− - - + + - 24x x+ + - - + +

1-3. Να βρεθεί το ευρύτερο υποσύνολο του ℝ στο οποίο ορίζονται οι συναρτήσεις:

( ) ( )x

x

e 1 ln xi).f x ln ii).f x

e 1 x 2

−= = − −

.

Λύση

i) Για να ορίζεται η συνάρτηση πρέπει

( )x

x x x

x

x

e0 e e 1 0 e 1 x 0

e 1x 0

και

e 1 0 x 0

> ⇔ − > ⇔ > ⇔ > − ⇔ >

− ≠ ⇔ ≠

.

Δηλαδή το πεδίο ορισμού της f είναι το ( )A 0,= +∞ .

ii) Για να ορίζεται η συνάρτηση πρέπει1 ln x

0 και x 0 και x 2 0x 2

−≥ > − ≠

−.

Είναι ( )( )1 ln x

0 1 ln x x 2 0x 2

−≥ ⇔ − − ≥

− το πρόσημο της οποίας φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Άρα το

πεδίο ορισμού της f είναι ( ]A 2,e= .

x 0 2 e +∞

1 ln x− + + -

x 2− - + +

Γινόμενο - + -

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 1-4. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

i)2

x+2f(x)=

x -3x+2 ii) ( ) 2 2

ημx συνxf x = +

x -1 9+x iii) ( )

x 2

2

e x +3f x = +

x-1 x -x-12



1-5. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων:

i) f(x)= 2-x ii) ( )f x = 1- 9-x iii) ( ) 23 5 2f x x x= − + −

iv) ( )f x = 1- 4-x v) 3f(x)= x-1 vi) 3f(x)= x-1+ 2-x


i) xf(x)=ln(1-e ) ii) ( ) ( )3 1f x ln x= − iii) ( ) ( )xf x =log 1-e iv) ( ) ( )2-xf x =log 4- x


i) ( )x-1

f x =2-x

ii)21-x

f(x)=x

iii) ( ) xf x = x-5+

x-7 iv) ( )

x

2

lnx ef x = +

x-2 x -4x+3 v) ( )

3- 2-xf x =

lnx

v) ( )1

2xf x

e=

− vi) ( )

5- xf x =

lnx vii) ( )

2x -4x+3f x =ln

2−x viii) ( )

1-xf x =ln

1+x

ix) ( )lnx

f x =4- x

x) ( )2-x

f x =x-1 -1

xi) ( )f x =ημ 2- x xii) ( )4x +2

f x =2ημx-1

xiii) ( )2x

g x =ημx συνx⋅

1-8. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2 1f x x x= − + −

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f.

β. Να λυθεί η ανίσωση ( ) 0f x < .

γ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ( ) ( )g x f x= − .

2. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ

1. Πεδίο ορισμού για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου. α. Αναγράφω τους περιορισμούς (συνήθως παραμετρική ανίσωση).

β. Λύνω την ανίσωση. Οι λύσεις καθορίζονται από τις τιμές του λ.

Παράδειγμα 1: Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f με ( ) 2f x αx 4x 4= − + για τις διάφορες

τιμές της παραμέτρου α. (Στην ταξη)

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

2-1. Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του λ το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( )2

x 1f x

λx 2x 1

−=

− +.

Λύση

Για λ 0= είναι ( )x 1

f x2x 1

−=

− + με

= −

ℝ

f

1A

2.

Για λ 0≠ βρίσκουμε τις ρίζες του παρονομαστή. Είναι ( )4 4λ 4 1 λ∆ = − = − .

• Αν 0 1 λ 0 λ 1∆ < ⇔ − < ⇔ > δεν υπάρχουν ρίζες στο R και είναι f RΑ = .

• Αν 0 1 λ 0 λ 1∆ = ⇔ − = ⇔ = η μοναδική ρίζα είναι η 1 οπότε { }f R 1Α = − .

• Αν 0 1 λ 0 λ 1∆ > ⇔ − > ⇔ < οι ρίζες είναι( )1 1 λ

λ

± −, οπότε το πεδίο ορισμού είναι

το ± −

Α = −

ℝf

1 1 λ

λ.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

2-2. Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του λ το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) −=

− +2

x 1f x

x λx 1.

2. Προσδιορισμός παραμέτρου ώστε f

D = ℝ .

α. Αναγράφω τους περιορισμούς.

β. Γράφω συνθήκες ώστε οι περιορισμοί να ισχύουν για κάθε x R∈ .

γ. Οι συνθήκες καθορίζουν τις τιμές των παραμέτρων. (Προσοχή: θα χρειαστούν ιδιότητες

τριωνύμου).

Το τριώνυμο 2αx βx γ+ + είναι για κάθε x R∈ .



•Θετικό όταν α 0, 0> ∆ < .

•Αρνητικό όταν α 0, 0< ∆ < .

•Θετικό ή μηδέν (μη αρνητικό) όταν α 0, 0> ∆ ≤ .

•Αρνητικό ή μηδέν (μη θετικό) όταν α 0, 0< ∆ ≤ .

Παράδειγμα 2: Να προσδιοριστούν οι τιμές της παραμέτρου λ ώστε η συνάρτηση

( ) ( ) ( )2f x λ 1 x λ 4 x λ 1= − + − + − να έχει πεδίο ορισμού όλο το ℝ . (Στην τάξη)

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 2-3. Να προσδιοριστούν οι τιμές της παραμέτρου λ ώστε να έχει πεδίο ορισμού το ℝ η συνάρτηση

( ) ( )( )2f x ln λx λ 3 x 1= + − + .

Λύση

Για λ 0= είναι ( ) ( )f x ln 3x 1= − + και το πεδίο ορισμού είναι −∞ ⊂

ℝ

1,3

. Για να είναι Α = ℝf

θα

πρέπει ( )2λx λ 3 x 1 0+ − + > για κάθε ∈ℝx . Αυτό γίνεται όταν

( )2 2λ 0 και 0 λ 3 4λ 0 λ 10λ 9 0 1 λ 9> ∆ < ⇔ − − < ⇔ − + < ⇔ < < .

Συνεπώς το πεδίο ορισμού είναι Α = ℝf

όταν 1 λ 9< < .

2-4. Να προσδιοριστούν οι τιμές της παραμέτρου λ ώστε να έχει πεδίο ορισμού το ℝ η συνάρτηση

( ) ( )x2f x 4 λ 2λx λx= − + − .

Λύση

Για λ 0= είναι ( ) xf x 4= και έχει πεδίο ορισμού όλο τοℝ ,(εκθετική). Για να είναι Α = ℝf

θα πρέπει

2λx 2λx 4 λ 0− + + − > για κάθε ∈ℝx . Αυτό γίνεται όταν ( )2λ 0 και 0 4λ 4λ 4 λ 0 λ 0< ∆ < ⇔ + − < ⇔ < .

Συνεπώς για λ 0 και λ 0< = , δηλαδή λ 0≤ είναι Α = ℝf

.


2-5. Να βρεθούν οι τιμές του λ∈ℝ ώστε η συνάρτηση f με τύπο ( ) ( )2f x =ln λx +x+λ να έχει πεδίο

ορισμού τοℝ .

2-6. Να προσδιορίσετε τη μικρότερη θετική και ακέραια τιμή του λ ώστε η συνάρτηση

( )( ) ( )( )2

x+1f x =

λ-2 x + λ-1 x+1 να έχει πεδίο ορισμού το ℝ .

2-6β. Να βρεθούν οι τιμές του λ∈ℝ ώστε η συνάρτηση f με τύπο ( ) 2

3 2f x = ( 1)

( 1) 1

++ − −

− − + −

xx

x xλ ηµ

λ λ

να έχει πεδίο ορισμού τοℝ .

☺☺☺☺ ☺☺☺☺ ☺☺☺☺ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ☺☺☺☺ ☺☺☺☺ ☺☺☺☺

Πρέπει να διασαφηνίσουμε ότι κάθε ισότητα δυο μεταβλητών, όπως για παράδειγμα οι + =2 7x y ή

+ − =3 0x x y δεν ορίζει απαραίτητα συνάρτηση. Όμως από τον ορισμό αντιλαμβανόμαστε ότι:

Μια ισότητα που συνδέει δυο μεταβλητές x,y ορίζει συνάρτηση με ανεξάρτητη μεταβλητή x ,αν

αυτή η ισότητα εξασφαλίζει για κάθε ∈x A μοναδική λύση ως προς y στο ℝ .

Δυο παραδείγματα

1)Η ανεξάρτητη μεταβλητή χ και η εξαρτημένη μεταβλητή y μιας αντιστοιχίας →ℝ ℝ:f

συνδέονται με την σχέση − + =2 5xye x y .Είναι η παραπάνω αντιστοιχία συνάρτηση;

Λύση

Από την ισότητα που δόθηκε − + =2 5xye x y λύνουμε ως προς y και λαμβάνουμε:

+

− + = ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ =+

22 2 2 5

5 5 ( 1) 51

x x x

x

xye x y ye y x y e x y

e



Επειδή σε κάθε x του πεδίου ορισμού = ℝA αντιστοιχεί μοναδικό y στο , ορίζεται συνάρτηση →ℝ ℝ:f

με τύπο +

=+

25( )

1x

xf x

e

2)Η ανεξάρτητη μεταβλητή χ και η εξαρτημένη μεταβλητή y μιας αντιστοιχίας − → ℝ: 1,1f

συνδέονται με την σχέση + =2 2 9x y .Είναι η παραπάνω αντιστοιχία συνάρτηση;

Λύση

Από την ισότητα που δόθηκε + =2 2 9x y λύνουμε ως προς y και λαμβάνουμε:

+ = ⇔ = − ⇔ = ± −2 2 2 2 29 9 9x y y x y x , ∈− 1,1x

Η αντιστοιχία που δόθηκε με την ισότητα + =2 2 9x y , δεν ορίζει συνάρτηση, αφού υπάρχουν τιμές του

∈ = − 1,1x A στις οποίες αντιστοιχούν δυο y .Για παράδειγμα στην τιμή = 0x αντιστοιχούν οι τιμές

= ±3y .

Ισοδύναμος ορισμός συνάρτησης χρήσιμος σε ασκήσεις

Μια αντιστοιχία → ℝ:f A είναι συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα υποσύνολο Α του ℝ όταν για

οποιαδήποτε ∈1 2,x x A με

1 2x x= τότε =

1 2( ) ( )f x f x

Παράδειγμα 1

Έστω η συνάρτηση →ℝ ℝ:f .Αν = ∈ℝ1 2

x x να συγκρίνετε τις τιμές : 3 3

1 2( 13), ( 13)f x f x+ +

Λύση

Έστω δυο τυχαία ∈ℝ1 2,x x .Εφόσον 3 3 3 3

1 2 1 2 1 213 13x x x x x x= ⇒ = ⇒ + = + που ανήκουν στο A=ℝ .

Από τον παραπάνω ορισμό ισχύει: 3 3 3 3

1 2 1 213 13 ( 13) ( 13)x x f x f x+ = + ⇒ + = + .

Σε κλαδωτή συνάρτηση

Παράδειγμα 2

Να βρεθεί για ποιες τιμές του πραγματικού λ είναι συνάρτηση η σχέση:

2

2

3 , 2( )

3 ,2

x xf x

x x

λ

λ

+ ≤=

+ ≤

Λύση

Παρατηρούμε ότι οι δυο τύποι της σχέσης ορίζονται σε κοινή τιμή 2x = .Για να είναι η σχέση συνάρτηση

θα πρέπει οι τιμές του ( )f x για 2x = να είναι ίσες και στους δυο τύπους οπότε στην τιμή 2x = θα

αντιστοιχεί μια μόνο τιμή της συνάρτησης f.

Ο τύπος 2 3x λ+ για 2x = γίνεται: 4 3λ+

Ο τύπος 23x λ+ για 2x = γίνεται: 26 λ+

Πρέπει 26 4 3 ... 1, 2λ λ λ λ+ = + ⇔ ⇔ = =

Για 1λ = : 2 3, 2

( ) , (2) 73 1,2

x xf x f

x x

+ ≤= =

+ ≤

Για 2λ = : 2 6, 2

( ) , (2) 103 4,2

x xf x f

x x

+ ≤= =

+ ≤



3.ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ f(Α) /ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΩΣΤΕ ΝΑ ΕΙΝΑΙ f(Α)=[α,β] ή R

Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα Ax∈ , λέγεται σύνολο τιμών

της f και συμβολίζεται με )( Af . Είναι δηλαδή:

)(|{)( xfyyAf == για κάποιο }Ax∈ .

Με λίγα λόγια απαιτώ η εξίσωση =y f(x) να έχει λύση ως προς x.

Από την απαίτηση προκύπτει ανίσωση ή ανισώσεις με άγνωστο το y και λύνοντάς βρίσκω το πεδίο

τιμών.

Παράδειγμα 1: Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων ώστε η συνάρτηση ( )2

2

x 2λx kf x

x x 1

+ +=

+ + να έχει

σύνολο τιμών το [-2, 2].(Στην τάξη)


3-1. Να βρεθεί το σύνολο τιμών ( )f Α της συνάρτησης ( )x xe e

f x2

−+= .

Λύση

Είναι Α = ℝ . Έστω ( )x xe e

y f x y2

−+= ⇔ = . Άρα

xx x2x xx

1ee e

e 2e y 1 0y ey2 2 y 0y 0 y 0

− + + − + == =⇔ ⇔ > > >

.

Θέτουμε xe t= , οπότε 2t 2yt 1 0

y 0

− + =

> (2). Η διακρίνουσα της σχέσης (2) είναι 24y 4∆ = − . Πρέπει

2 20 4y 4 0 y 1 y 1 η' y 1∆ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ − ≥ και επειδή y 0> , προκύπτει ότι y 1≥ , άρα ( ) [ )f 1,Α = +∞ .

3-1β. Να βρεθεί το σύνολο τιμών ( )f Α της συνάρτησης ( )f x = 4 2x− −

Λύση

Αρχικά θα βρούμε το πεδίο ορισμού της f ,

16 2 184 2 0 4 2 0 4 2

2 182 22 0 2 2

x xx x xx

x xx x x

≥ − ≥− − ≥ − − ≥ ≥ − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤

≥ ≥− ≥ ≥ ≥

Άρα f

2,18Α = Έτσι y= 4 2x− −

Αρχικά ,πρέπει y 0≥ (1) Υψώνουμε στο τετράγωνο

2 2y =4 2 2=4 yx x− − ⇔ − − οπότε θα πρέπει να ισχύει: 2 24 y 0 4 y 2 y 2 2y− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≤ ≤ (2)

Από την 22=4 yx − − έχουμε ( ) ( )2 22 22= 4 y = 4 y 2x x− − ⇔ − + .Πρέπει να ισχύει:

( ) ( )2 22 22 18 2 4 y 2 8 0 4 y 6 .... 2 2 2 2x y≤ ≤ ⇔ ≤ − + ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ (3)

Από το σύστημα των (1),(2),(3) προκύπτει ( ) 0,2f A = .

3-2. Να βρεθούν οι α,β∈ℝ ώστε η ( )2

2

αx βx 1f x

x 1

+ +=

+ να έχει σύνολο τιμών το [ ]1,3− .

Λύση

Είναι Α = ℝ και από υπόθεση 1 y 3− ≤ ≤ (1). Έτσι από

( ) ( ) ( )2

2 2 2

2

αx βx 1f x y y x y y αx βx 1 y α x βx y 1 0

x 1

+ += ⇔ = ⇔ + = + + ⇔ − − + − =

+.

Αν y α= τότε η παραπάνω εξίσωση δίνει α 1

βx α 1 0 xβ

−− + − = ⇔ = μεβ 0≠ . Ανβ 0= τότε α 1= και

έτσι ( ) ( ) { }2

2

x 1f x 1 με f 1

x 1

+= = Α =

+ άτοπο.



Αφού λοιπόν η τιμήα 1

β

− ανήκει στο πεδίο ορισμού της f και η τιμή y α= θα ανήκει στο σύνολο τιμών

της f.

Αν y α≠ τότε για να έχει η παραπάνω εξίσωση λύση στο R, πρέπει

( )( ) ( )2 2 20 β 4 y α y 1 0 4y 4 α 1 y β 4α 0∆ ≥ ⇔ − − − ≥ ⇔ − + + + − ≥ .

Αν το τριώνυμο αυτό έχει 0∆ ≤ τότε η σχέση (1) δεν θα επαληθεύεται. Άρα λόγω (1) να έχει 1 0∆ > και

ρίζες 1 2ρ 1, ρ 3= − = και αυτό όταν ισχύουν 2

1 2 1 2

β 4αρ ρ 2 α 1 2 α 1 ρ ρ 3 3 β 4

4

−+ = ⇔ + = ⇔ = ⋅ = − ⇔ = − ⇔ = ±

−

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 3-3α.Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων

i) ( ) 5x-3f x =

x-2 ii) ( ) x-8

f x =x-2

στο A = 0,1f

iii) ( )f x = 4 2x− −

3-3β. Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων

i) ( ) 2f x =x 4 5x− + στο A = 1,3f

ii) ( ) 2

4x+3f x =

x 1+

3-3γ. Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων

i) ( )2 2

f x =1

x

x

e

e

+

+ ii) ( )f x =1-ln(1+ 4)x −

3-3δ. Να βρεθούν οι α,β∈ℝ ώστε η συνάρτηση f με τύπο ( )2

2

αx +3βx+3f x =

x -x+1 να έχει σύνολο τιμών το

[ ]3,5− .

3-3ε. Δίνεται ότι το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού Α και τύπο ( ) 2f x =-x 6 3x+ −

είναι ( )f = 2,5A .Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α.

Το σύνολο τιµών µιας

συνάρτησης µπορεί να

βρεθεί πιο εύκολα όταν

θα µάθουµε

παραγώγους….



4. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γραφική παράσταση της φ λέγεται το σύνολο των σημείων Μ(x,y) για τα οποία ισχύει y=f(x) δηλ.

f fC { (x,y) / y f(x) και x D }= Μ = ∈

O

y

x

y=x

-2 -1 O 1 x

y

2

1

2

3

y=x2

(α) Η καμπύλη της συνάρτησης

xxf =)( είναι η διχοτόμος

της 1ης και 3ης γωνίας των

αξόνων.

(β) Η καμπύλη της συνάρτησης

2)( xxf = είναι μια παραβολή.

-2 -1

O 1

y

x=

1 y

x2

-2

-1

1

2

-2 O-1 x1

1

2

3

y

y=ex

(γ) Η καμπύλη της συνάρτησης

x

xf1

)( = είναι μια

υπερβολή.

(δ) Η καμπύλη της εκθετικής

συνάρτησης

xexf =)( είναι “πάνω” από τον

άξονα

xx′ , αφού 0>xe για κάθε R∈x .

O-1

y

1

1 x

y=lnx

2π y=ηµx

π O x

y

2π

y=συνx

π O x

y

(ε) Η καμπύλη της

λογαριθμικής Συνάρτησης

xxf ln)( = είναι “δεξιά” του

άξονα yy ′ , αφού ο λογάριθμος

ορίζεται μόνο για

0>x .

(στ) Οι συναρτήσεις xxf ηµ)( = και

xxg συν)( = είναι περιοδικές με

περίοδο 2π.

2



Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη fC το πολύ ένα κοινό σημείο.

Όταν δίνεται η fC τότε:

▪ Α. Η τιμή της f στο 0 fx D∈ είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας 0x x= και της fC .

▪ Β. Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της fC

▪ Γ. Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο f(A) των τεταγμένων των σημείων της fC .

1. Κάνουμε τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων όπως γνωρίζουμε.

2. Αν ( ) ( )g x f x= − τότε δημιουργούμε τη συμμετρική της fC ως προς τον xx’.

3. Αν ( ) ( )g x f x= τότε αποτελείται από τα τμήματα της fC που βρίσκονται πάνω από τον xx’ και

από τα συμμετρικά ως προς τον άξονα xx’ των τμημάτων της fC που δεν βρίσκονται πάνω απ’

αυτόν.

3. Αν ( ) ( )g x f x κ= + τότε μετατοπίζουμε τη fC

• κατά κ μονάδες προς τα πάνω αν κ 0> ,

• κατά κ μονάδες προς τα κάτω αν κ 0< .

4. Αν ( ) ( )g x f x κ= + τότε μετατοπίζουμε τη fC

• κατά κ μονάδες δεξιά αν κ 0< ,

• κατά κ μονάδες αριστερά αν κ 0> .

5. Σε συναρτήσεις με απόλυτα τις απαλλάσσουμε από

τα απόλυτα και δημιουργούμε πολύκλαδη.

Παράδειγμα 1: Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση:

( ) ( ) ( ) ( )xf x e 2, f x ln x 1 , f x x 1 x 1= + = + = + + −

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 4-1. Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f.

i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α.

ii) Να βρεθεί το σύνολο τιμών ( )f Α .

iii) Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης ( )f x 0= .

iv) Για ποιες τιμές του x ισχύει ( )f x 0≥ .

Λύση

i) Οι τετμημένες των σημείων της fC ανήκουν στο σύνολο ( ] [ )2,4 5,7− ∪ . Άρα ( ] [ )A 2,4 5,7= − ∪ .

ii) Οι τεταγμένες των σημείων της fC ανήκουν στο σύνολο [ ]3,2− . Άρα [ ]A 3,2= − .

iii) H fC τέμνει τον άξονα x’x στα σημεία με τετμημένες 1 και 6. Άρα η εξίσωση ( )f x 0= έχει ρίζες τους

αριθμούς 1 και 6.

iv) Η fC είναι πάνω από τον άξονα x’x ή τον συναντά για [ ] [ ]x 2,1 6,7∈ − ∪ , για τα οποία ισχύει ( )f x 0≥ .

κ >0



4-1β. Να παραστήστε γραφικά την συνάρτηση x 3

f(x)x 2

+=

+

Λύση

Το πεδίο ορισμού της f είναι f

A { 2}= − −ℝ .Τότε

x 3 x 2 1 x 2 1 1

f(x) 1x 2 x 2 x 2 x 2

+ + + + += = = = +

+ + + +

Άρα η γραφική παράσταση της f προκύπτει από την γραφική παράσταση g

C της 1

g(x)x

= με τις

μετατοπίσεις αυτής , κατά δυο μονάδες προς τα αριστερά και μια μονάδα προς τα πάνω.

Μετατόπιση Cg1 κατά μια μονάδα προς τα πάνω

g(x)=1/x g1(x)=1/(x+2)

Μετατόπιση Cg κατά δυο μονάδες προς τα αριστερά

f(x)=1+1/(x+2)

Ι ΙΙ

ΙΙΙ

Όπως η περιγραφή ενός

προσώπου ή ενός αντικείµενου µε

όσες λέξεις και αν ειπωθεί δεν

µπορεί να αντικαταστήσει µια

φωτογραφία του,ανάλογα το

γράφηµα µιας συνάρτησης µας

αποκαλύπτει πολύ εύγλωττα τα

πάντα για αυτήν. Το µειονέκτηµα

είναι ότι δεν είναι πάντα εύκολο

να σχεδιαστεί.




4-2. Nα παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση:

i) |x|

f(x)= +1x

, ii) f(x)=x|x|, iii) -x+3 , x<1

f(x)=x+1 , x 1

≥

iv) f(x)=|lnx|.

Και από τη γραφική παράσταση να προσδιορίσετε το σύνολο των τιμών της f σε καθεμιά

περίπτωση.

4-3. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2f x =x , ii)g x =x +1, ) h x = x-2 , iv) k x = x-2 +1iii .

4-4. Να γίνει η γραφική παράσταση των συναρτήσεων:

i) ( ) ( ) ( )4x+2, x<0

2x-1, x 0f x = )g x =3 x-1 +1, )h x = 2-2x, 0 x<2

1-x, x< 0-2, x 2

ii iii

≥

≤ ≥

.

4-5. Να γίνει η γραφική παράσταση των συναρτήσεων ( ) ( )x+1 2x-3

f x = και g x =x-1 x+2

.

4-6. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( )3 2

2

x -12x +48x-64f x =

x -8x+16.

4-7. Αν ( ) ( )2x-1, x 1 3x, x 0

f x = και g x =-x, x<1 -4x-3, x<0

≥ ≥

, να χαράξετε τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης f-g και μετά να βρείτε το σύνολο τιμών της.

4-8. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση είναι:

1

2 1 O

i) y

x

ii) 2

2 1 O x

y

4 3

1

2 1 O

iii) y

x

4-9. Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( )x-2

f x =x-1

.

4-10.Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις:

i)|x+1| + |x-1|

f(x)=2

, ii)ημx+ ημx

f(x)=2

, x [0,2π]∈ .



5. ΤΙΜΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΗ ΘΕΣΗ X0:f(X0)/ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ 1. ΤΙΜΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΗ ΘΕΣΗ X0:f(X0)

1. Βρίσκω το πεδίο ορισμού.

2. Απλοποιώ τον τύπο.

3. Θέτω στον τύπο x το 0x , αν 0 fx D∈ .

i) Αν 0 fx D∉ τότε δεν ορίζεται το ( )0f x .

ii) Σε περίπτωση πολλαπλού τύπου εκτιμώ αρχικά σε ποιο διάστημα ανήκει το 0x και κάνω

αντικατάσταση στον αντίστοιχα κλάδο. (Όχι και στους δύο).

4. Αν το σημείο ∈o o f

A(x ,y ) C τότε =0 0

f(x ) y

Παρατήρηση: Για να βρω ένα τυχαίο σημείο στη fC θέτω στο x μια τυχαία τιμή (που να ανήκει όμως στο

πεδίο ορισμού της ) και βρίσκω το αντίστοιχα y. Π.χ. ( )x 3 , f 3= . Άρα το σημείο ( )( )3,f 3

Παράδειγμα 1: Δίνεται η συνάρτηση ( )f x x 1= − . Να βρεθούν οι τιμές: ( ) ( ) ( )f 2 ,f 0 ,f συνα .( αλήθεια

ποιες είναι οι τιμές που παίρνει ο α;)

Παράδειγμα 2:Δίνεται η συνάρτηση ( )2x 1,x 1

f xx 2,1 x

− ≤=

− <. Να βρεθούν οι τιμές: ( ) ( ) ( )−f 3 ,f 2 ,f συνα .

Παράδειγμα 3: Δίνεται η συνάρτηση ( )1 x

f x ln1 x

+=

−. Να δειχθεί ότι ισχύει η ισότητα

( ) ( ) α βf α f β f

1 αβ

++ =

+ .

Παράδειγμα 4: Να βρεθεί ο λ ώστε το σημείο ( )2 2A λ λ,λ 1− − να είναι τομή των ευθειών

1 2ε : 5x 2y 4 0 και ε : 3x 4y 18 0− − = + − = .

Παράδειγμα 5: Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης ( )( )( )

ln α xf x

ln β x

+=

+, όταν έχει ρίζα το -8 και η γραφική

της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(0, 2).


5-1. Έστω η συνάρτηση ( )[ )

[ ]

2x , αν x 1,3f x

x 1, αν x 3,5

∈=

− − ∈.

Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης ( ) ( )3

f 2 f 2f 42

Κ = − +

.

Λύση

• Επειδή 1 2 3< < είναι ( ) 2f 2 2 4= = .

• Επειδή 3 4 5< < είναι ( )f 4 4 1 5= − − = − .

• Επειδή 1 3 3< ≤ θα είναι και1 3

32 2

< < ή3

1 3 32

< < < , οπότε

2

3 3 3f

2 2 2

= =

.

Άρα ( )3 3 3 15

4 2 5 4 10 62 2 2 2

Κ = − + − = − − = − − = − .

5-2. Αν ( ) ( ) ( )f x xf x 1 και f 1 6= + = , τότε το ( )f 4 ισούται με:

1 4

. .1 . .2 .33 3

Α Β Γ ∆ Ε

Λύση

• Για x 1= έχουμε ( ) ( )f 1 1 f 2= ⋅ .

• Για x 2= έχουμε ( ) ( )f 2 2 f 3= ⋅ .

• Για x 3= έχουμε ( ) ( )f 3 3 f 4= ⋅ .

Οπότε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )f 1 6

f 1 1 f 2 1 2 f 3 1 2 3 f 4 f 1 6 f 4 f 4 16 6

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ = = = .



Άρα η σωστή απάντηση είναι η Β.

5-3. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2f x x αx β= + + και οι αριθμοί k, λ τέτοιοι ώστε k λ 1 και kλ 0+ = > . Να

αποδειχθεί ότι ισχύει η ανισότητα ( ) ( ) ( )f kx λy kf x λf y+ ≤ + .

Λύση

Έχουμε ισοδύναμα:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

f kx λy kf x λf y kx λy α kx λy β k x αx β λ y αy β

k x λ y 2kλxy αkx αλy β kx λy αkx αλy kβ λβ

k x λ y 2kλxy β kx λy kβ λβ

+ ≤ + ⇔ + + + + ≤ + + + + + ⇔

⇔ + + + + + ≤ + + + + + ⇔

⇔ + + + ≤ + + +

Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο δεύτερο μέλος

( ) ( ) ( )

( )( )

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

kx k x λy λ y 2kλxy kβ λβ β 0

kx 1 k λy 1 λ 2kλxy k λ β β 0

kλx kλy 2kλxy β β 0 ||k 1 λ, λ 1 k

kλ x y 2xy 0 ||παραγοντοποιηση

kλ x y 0

− + − − + + − ≥ ⇔

⇔ − + − − + + − ≥ ⇔

+ − + − ≥ = − = −

⇔ + − ≥

− ≥

Ισχύει, γινόμενο μη αρνητικών αριθμών.

5-4. Δίνεται η συνάρτηση ( )2x αx

f : * με f xβx

+→ =ℝ ℝ . Να υπολογιστεί το α + β αν γνωρίζετε ότι η fC

διέρχεται από τα σημεία Α(1, 1) και Β(2, 2).

Λύση

Παρατηρούμε ότι ( ) ( )1 α 4 2α 2 α

f 1 και f 2β 2β β

+ + += = = .

Όμως ( ) ( )f 1 1 και f 2 2= = , οπότε

( ) ( )1 α 2 α1 και 2 α 1 β και α 2 2β α β 1 και α 2β 2

β β

+ += = ⇔ + = + = ⇔ = − = −

. Άρα

β 1 2β 2 β 1− = − ⇔ = . Επομένως α 1 1 α 0+ = ⇔ = . Και τότε θα είναι α β 0 1 1+ = + = .

5-5. Δίνεται η συνάρτηση ( ) = + + ∈ ≠ℝ2f x αx βx γ, α,β,γ και α 0 .

i) Ποια σχέση συνδέει τους α, β και γ αν:

α. Το σημείο (1, 2) ανήκει στη fC .

β. Το σημείο (1, 2) είναι η κορυφή της fC .

γ. Η fC τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο (0, 3).

ii) Να βρείτε τη συνάρτηση που ικανοποιεί και τις τρεις προηγούμενες συνθήκες.

Λύση

i) α. Το σημείο ( ) f1,2 C∈ αν και μόνο αν ( )f 1 2 α β γ 2= ⇔ + + = . (1)

β. Ο τύπος της f ισοδύναμα γράφεται ( )2 2β β 4αγ

f x α x2α 4α

− = + −

(Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ)

Η gC είναι παραβολή με κορυφή το σημείοβ β

,f2α 2α

− −

. Επομένως είναι

( ) ( )β1 και f 1 2 2α β 0 και α β γ 2

2α

− = = ⇔ + = + + =

.

γ. Η fC τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο ( )( )0,f 0 , άρα θα ισχύει ( )f 0 3 γ 3= ⇔ = .

ii) Ισχύουν συγχρόνως ( ) ( )α β γ 2 και 2α β 0 και γ 3 α 1, β 2, γ 3+ + = + = = ⇔ = = − = .

Άρα η ζητούμενη συνάρτηση είναι η ( ) 2f x x 2x 3= − + .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 5-6. Αν 3f(x)=x -3x , να υπολογίσετε τις τιμές f(1) , f(2) , f(-1) .

5-7. Αν 2φ(t)=t -5t+6 , να υπολογίσετε τις τιμές φ(0) και φ(1) . Για ποιες τιμές του t είναι φ(t)=0 ;



5-8. Αν 21f(x)= lnx

2, να υπολογίσετε τις τιμές f(1) και f(e) .

5-9. Αν h(θ)=συνθ-ημθ , να υπολογίσετε τις τιμές h(0) και π

h2

. Για ποιες τιμές της γωνίας θ [0,2π]∈

είναι h(θ)=0 ;

5-10. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο

( )( )

πεφx, x - ,0

f x = 2

ημx+συνx, x 0,+

∈ ∈ ∞

.

Να υπολογίσετε τις τιμές: ( )π π π π

f - ,f ,f - ,f ,f 06 4 3 2

.

5-10.bΔίνεται η συνάρτηση f: →ℝ ℝ με τύπο f(x)=+

x

x

e

e e

Να δείξετε ότι:

i) f(x)+f(1-x)=1 για κάθε x∈ℝ

ii) 1 1 3

f( )+2f( )+f( ) 24 2 4

=

5-11. Δίνεται η συνάρτηση ( )24-x , x 1

f x =6-3x, x>1

≤

.

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β. Να βρείτε τις τιμές ( ) ( ) ( ) ( )f 0 ,f -1 ,f 1 ,f 2

γ. Να λύσετε της εξίσωση ( )f x =0

δ. Να λύσετε την ανίσωση ( )f x 0≥ .

5-12. Δίνεται η συνάρτηση ( )2

2

4-xf x =

x -1.


β. Να βρείτε τις τιμές ( ) ( )f 0 ,f 2

γ. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες είναι ( )5

f x = -8

δ. Να λύσετε την ανίσωση ( )f x 0≥

ε. Να λύσετε την εξίσωση ( )f x =0

στ. Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια.

5-13. Αν 1

x

1f(x)=

1+e

, να δείξετε ότι f(x)+f(-x)=1 .

5-14. Δίνεται η συνάρτηση ( )3 1

113 12

x, x

f x xα , x

+ ≠= −

− =


β. Να υπολογίσετε το α ώστε ( ) ( )1 1f f− =

5-15. Για τις συναρτήσεις ( )f x να αποδειχθούν οι αντίστοιχες ισότητες

Α. αν ( ) ( ) ( ) ( )f x αx β τοτεf x 2 f x 2f x 1= + + + = + .

Β. αν ( ) ( )( )3x 1f x τοτε f f x x

2x 3

+= =

−.

Γ. αν ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )x

x

f α f βe 1f x τοτε f α β

e 1 1 f α f β

+−= + =

+ +.

5-16. Δίνεται η συνάρτηση ( )2 2

4αxf x = ,α

α x +1∈ℝ . Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και στη

συνέχεια να βρείτε τις τιμές του α έτσι ώστε η τιμή της f στο 1 να είναι ίση με 2.



5-17. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2 2f x =x +αx+β+ 4-x .

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(-2,-2) και Β(2,2), να βρείτε το σημείο στο

οποίο η fC τέμνει τον άξονα y’y.

5-18. Δίνεται η παραβολή με εξίσωση 2y=αx +βx+γ , η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(0,1), Β(1,0) και

Γ(2,1).

α. Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ.

β. Να σχεδιάσετε την παραβολή.

γ. Αν f είναι η συνάρτηση με γραφική παράσταση την παραπάνω παραβολή, να βρείτε τη συνάρτηση g

που έχει γραφική παράσταση την ευθεία ΑΒ.

5-19. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) ( )3 2 2f x =x + 2-α x - α+3 x+α -5, α∈ℝ .

i. Να βρεθούν οι τιμές του α, έτσι ώστε η fC να διέρχεται από το σημείο ( )Μ 1,-6

ii. Αν η fC διέρχεται από το σημείο ( )Μ 1,-6 , να βρεθούν τα κοινά σημεία της fC και του άξονα x x′ .

5-20. Αν ( ) 2f x =α x -1 -β x+3 , να προσδιορίσετε τους α,β∈ℝ , ώστε η γραφική παράσταση της f να

διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο ( )A -1,4 .

5-21. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) ( )2f x = λ-1 x +2 λ+1 x+λ+5 με λ { }- 1∈ℝ .

i. Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η γραφική παράσταση της f

α. να τέμνει τον άξονα x x′ σε δύο ακριβώς σημεία,

β. να εφάπτεται στον άξονα x x′ .

ii. Να αποδειχθεί ότι όταν το λ διατρέχει το { }- 1ℝ , τότε η fC διέρχεται από ένα σταθερό σημείο.

2. Γεωμετρικοί Τόποι Α. Γεωμετρικός τόπος σημείου τομής καμπυλών

1. Λύνω το σύστημα των εξισώσεων των δύο γραμμών και γράφω το σημείο τομής

2. Θέτω x την τετμημένη και y την τεταγμένη και απαλοίφω την παράμετρο

3. Ο γ.τ. είναι η γραμμή που θα προκύψει (Προσοχή στους πιθανούς περιορισμούς της

παραμέτρου)

Παράδειγμα 6. Να βρεθεί ο γ.τ. των σημείων τομής των ευθειών

( )y αx 2α 1, y α 1 x 3α 3= − + = − − + (Στην τάξη)

Β. Γεωμετρικός τόπος κορυφής παραβολής

1. Βρίσκω τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής από τον τύπο β

K ,2α 4α

∆ − −

2. Θέτω x την τετμημένη και y την τεταγμένη και απαλοίφω την παράμετρο.

3. Ο γ.τ. είναι η γραμμή που θα προκύψει (Προσοχή στους πιθανούς περιορισμούς της

παραμέτρου)

Παράδειγμα 7. Να βρεθεί ο γ.τ. των κορυφών των παραβολών ( )2y x 2 λ 1 x λ 1= − − + +

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 5-22. Να δειχθεί ότι για κάθε λ ∈ℝ διέρχονται από δύο σταθερά σημεία οι παραβολές

( ) ( )2y 1 λ x 5λ 4 x 3 4λ= − + − + − .

Λύση

Για λ 1= είναι y x 1= − και για λ 0= είναι 2y x 4x 3= − + . Λύνουμε το σύστημα των δύο εξισώσεων:

= − = =⇔

= − + = = 2

y x 1 x 1 x 4ή

y x 4x 3 y 0 y 3. Έχουμε δύο σημεία τομής ( ) ( )1,0 και 4,3Σ Ρ .

Εξετάζουμε αν οι συντεταγμένες των σημείων επαληθεύουν τη γενική εξίσωση:

( ) ( ) ( )1,0 : 0 1 λ 1 5λ 4 1 3 4λ, 0 0Σ = − ⋅ + − ⋅ + − = ισχύει.

( ) ( ) ( )4,3 : 3 1 λ 16 5λ 4 4 3 4λ 3 16 16λ 20λ 16 3 4λ, 3 3Ρ = − ⋅ + − ⋅ + − ⇔ = − + − + − = ισχύει.

Έτσι τα σημεία ( ) ( )1,0 και 4,3Σ Ρ είναι δύο σταθερά σημεία από τα οποία διέρχονται οι παραβολές για

κάθε λ R∈ .



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 5-23. Να δειχθεί ότι για κάθε λ R∈ διέρχεται από σταθερό σημείο του επιπέδου η παραβολή:

( ) ( )2y 2λ 5 x 2 6λ 13 x 18λ 42= + + + + + .

5-24. Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( ) ( ) ( )2αf x = α-1 x +αx-2 α-1 ,α ∈ℝ

διέρχονται από δύο σταθερά σημεία. Ποια είναι η απόσταση d των σημείων αυτών;

5-25. Να βρεθεί ο γ.τ. των σημείων τομής των παραβολών 2 2y x x α 2, y x x 3α 8= + + + = − + +

5-26. Να βρεθεί ο γ.τ των κορυφών των παραβολών 2y x 2λx 2λ 1= − + −

6. ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Δύο συναρτήσεις είναι ίσες όταν έχουν

• Το ίδιο πεδίο ορισμού ΚΑΙ

• Τον ίδιο τύπο (*)

(Αν το ένα πεδίο ορισμού είναι υποσύνολο του άλλου π.χ. f gD D⊆ τότε μπορεί στο υποσύνολο να

οριστεί ισότητα).

Για να αποδείξω ότι είναι ίσες

• Βρίσκω τα f gD ,D

• Αν f gD D= ή ( f gD D⊆ ) αποδεικνύω ότι ( ) ( )f x g x= είτε με ισοδυναμία είτε με ευθεία

απόδειξη (κάνουμε πράξεις στον συνθετότερο τύπο της μιας συνάρτησης και βρίσκουμε

τον τύπο της άλλης).

Παράδειγμα 1: Να βρεθεί το διάστημα στο οποίο οι συναρτήσεις είναι ίσες:

( ) ( )( ) ( )f x x 1 2 x και g x x 1 2 x= − − = − − . (Στην τάξη)

Παράδειγμα 2: Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων και το διάστημα στο οποίο είναι ίσες οι

συναρτήσεις ( )( )

( )( ) 2

2 2 2

λ 1 x x 4x 3λ 1f x και g x

x 2λ 1 x λ λ x 3x λ 1

− + −− −= =

− + + + − + +.(Στην τάξη)

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 6-1. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ( )2f x ln x και g x 2 ln x= = .

i) Να εξετάσετε αν η f και η g είναι ίσες.

ii) Αν f g≠ να βρείτε το ευρύτερο δυνατό

υποσύνολο του R στο οποίο ισχύει ( ) ( )f x g x= .

Λύση

Για την f πρέπει: 2x 0 x 0> ⇔ ≠ . Άρα η f έχει πεδίο

ορισμού το A R *= . Η g έχει πεδίο ορισμού το

( )B 0,= +∞ . Επειδή A B≠ οι συναρτήσεις f και g δεν είναι ίσες.

ii) Για κάθε x B∈ είναι ( ) ( )f x 2 ln x g x= = .

Άρα το ζητούμενο σύνολο είναι το Β.

6-2. Να βρεθεί ο λ ∈ℝ , ώστε οι συναρτήσεις ( )( )

( )( )λ 2λx 1 3λ 1 x λ

f x και g xx λ 2 x λ

+ − += =

− + +, να είναι ίσες.

Λύση

Επειδή οι συναρτήσεις είναι ρητές και πρέπει να έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού, οι παρονομαστές θα έχουν

την ίδια ρίζα. Δηλαδή είναι: λ 2 λ 2λ 2 λ 1− = − ⇔ = ⇔ = .

Τότε στο σύνολο { }1−ℝ έχουμε ( )( )

( )2x 1 2x 1

f x και g xx 1 x 1

+ += =

+ +, οπότε οι συναρτήσεις f και g είναι

ίσες.

(*)Εάν δυο συναρτήσεις έχουν

διαφορετικές αναλυτικές εκφράσεις

(τύπους) είναι πάντα διαφορετικές;

Απάντηση

Όχι απαραιτήτως. π.χ

( ) 3 /{ 1,0,1}f x x= − 3( ) 3 /{ 1,0,1}g x x= −

Ισχύει: f g= ,ενώ οι αναλυτικές

εκφράσεις είναι διαφορετικές.

(Εκτός ύλης)



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 6-3. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f=g . Στις περιπτώσεις που είναι f g≠

να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του ℝ στο οποίο ισχύει f(x)=g(x) .

i) 2f(x)= x και 2g(x)=( x) ii) 2

2

x -1f(x)=

x + |x| και

1g(x)=1-

|x|

iii) x-1

f(x)=x-1

και g(x)= x+1 .

6-3b. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f=g . Στις περιπτώσεις που είναι f g≠

να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του ℝ στο οποίο ισχύει f(x)=g(x) .

i) 2f(x)= x 4 4x− + και g(x)=x-2 ii)

2

2

x -f(x)=

x 1

x

− και g(x)=

1

x

x −

iii) 2f(x)=ln(x )x+ και g(x)=lnx+ln(x+1) .

6-4. i. Να αποδείξετε ότι ( )( )x+4+ x x+4- x =4,x 0≥ .

ii. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f,g με τύπους ( )4

f x =x+4+ x

και ( )g x = x+4- x

6-5. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α,β,γ ώστε οι συναρτήσεις f,g με

( )( )( )

( )β γ1 α

f x = και g x = + +x x+1 x+2 x x+1 x+2

να είναι ίσες.

6-6. Δίνονται οι συναρτήσεις :

f(x)= 2 1 5 5x x− − + − και g(x)= 2 2 5( 1)x x− − −

i)Να βρείτε τις τιμές του x∈ℝ για τις οποίες ισχύει ( )f x =g(x)

ii)Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των f και g.

7. ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 1. Πράξεις Συναρτήσεων

•Βρίσκω f gD ,D

α. Αν f gD D= = Α

β. Αν f gD D≠ τότε βρίσκω το κοινό πεδίο ορισμού f gD DΑ = ∩ και έχω

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ){ } ( ) ( )( )

( ){ } ( )( ) ( )

f g

f g

f g

λf

f

g

f

D A , f g x f x g x

D A , f g x f x g x

D A , f g x f x g x

D A , λf x λf x

f xfD x A : g x 0 , x

g g x

D x A : f x 0 , f x f x

+

−

⋅

• = + = +

• = − = −

• = ⋅ = ⋅

• = =

• = ∈ ≠ =

• = ∈ ≥ =

Πριν κάνω αντικατάσταση στους τύπους ίσως βολεύει να απλοποιήσω τους τύπους για

ευκολότερες πράξεις.

Παράδειγμα 1: Δίνονται οι συναρτήσεις f και g. Να γίνουν οι αντίστοιχες πράξεις στο κοινό πεδίο

ορισμού: ( ) ( )2 2f x x 4x 3, g x x 3x 2 : f g, f : g= − + − = − + − + .


7-1. Έστω οι συναρτήσεις ( ) ( )x x 1f x e 1 και g x

x 2

−= − =

−. Να βρείτε τις συναρτήσεις

ff g και

g+ .

Λύση

Για την f πρέπει x xe 1 0 e 1 x 0− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ . Άρα η f έχει πεδίο ορισμού το [ )0,Α = +∞ .



Η g έχει πεδίο ορισμού το { }2Β = −ℝ .

• Η συνάρτηση f g+ έχει πεδίο ορισμού το [ ) ( )0,2 2,Γ = Α∩Β = ∪ +∞ . Για κάθε x∈Γ είναι

( )( ) ( ) ( ) x x 1f g x f x g x e 1

x 2

−+ = + = − +

−.

• Η συνάρτηση f

g έχει πεδίο ορισμού το ( ){ }x R / g x 0∆ = Α∩Β− ∈ = . Είναι

( )x 1

g x 0 0 x 1x 2

−≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠

−. Άρα [ ) ( ) ( )0,1 1,2 2,∆ = ∪ ∪ +∞ . Για κάθε x∈∆ είναι

( )( )( )

( ) xf x x 2 e 1fx

g g x x 1

− −= =

− .


7-2. Δίνονται οι συναρτήσεις 1

f(x)=1+x

και x

g(x)=1-x

. Να βρείτε τις συναρτήσεις f+g, f-g, fg και f

g.

7-3. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ( )2

2

x x -4f x = και g x =

x -1 x-3.

α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των δύο συναρτήσεων

β. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f+g ;

γ. Να ορίσετε τις συναρτήσεις gf

και g f

δ. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f

g παίρνει θετικές τιμές.

7-4. Αν 2f(x)=3x -2x-1 και g(x)=2x-1 , να βρείτε τις συναρτήσεις f(x)+g(x) , f(x) g(x)⋅ ,f(x)

g(x).

7-5. Αν ( ) ( )f x =4x+6, g x =x+1 τότε να βρείτε τις συναρτήσεις:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

f x g xf x +g x ,f x -g x ,f x g x , ,

g x f x⋅ .

7-6. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ( ) [ ]f x =ημ2x και g x =συνx με x 0,π∈ . Να λύσετε την εξίσωση

( ) ( )f x =g x και στη συνέχεια να ορίσετε τις συναρτήσεις:

α. τις συναρτήσεις f+g , f-g και f g⋅

β. τη συνάρτηση f

g και να απλοποιήσετε τον τύπο της

γ. τη συνάρτηση g

f.

7-7. Ομοίως για τις συναρτήσεις 1

f(x)= x+x

και 1

g(x)= x-x

.

2. Πράξεις Σε Πολύκλαδες Συναρτήσεις Κατασκευάζω πίνακα τιμών των συναρτήσεων στα διαστήματα ορισμού.

1. Στην πρώτη γραμμή τοποθετώ τα άκρα των διαστημάτων ορισμού.

2. Στη δεύτερη και στη τρίτη τους αντίστοιχους τύπους.

3. Στην τελευταία γραμμή την αντίστοιχη πράξη.

Παράδειγμα 2: Δίνονται οι συναρτήσεις f και g. Να οριστούν τα αντίστοιχα αθροίσματα αυτών:

( ) ( )2x 1,x 1 3 x,x 3

f x , g x2 x,1 x 1 2x,3 x

− ≤ − ≤ = = − < + <

.




7-8. Να βρεθεί η συνάρτηση f g+ , όταν ( ) ( )22, x 0 x , x 0

f x και g xx 2, x 0 3x, x 0

> > = = + ≤ ≤

.

Λύση

Οι συναρτήσεις f και g έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α = ℝ . Άρα και η f g+ έχει πεδίο ορισμού το ℝ . Για

να βρούμε τον τύπο της συνάρτησης f g+ , διακρίνουμε τις περιπτώσεις x 0 και x 0> ≤ . Σε κάθε

περίπτωση προσθέτουμε τους αντίστοιχους τύπους των f και g.

• Για x 0> είναι ( )( ) ( ) ( ) 2f g x f x g x 2 x+ = + = + .

• Για x 0≤ είναι ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x x 2 3x 4x 2+ = + = + + = + .

Συνοψίζοντας έχουμε: ( )( )2x 2, x 0

f g x4x 2, x 0

+ >+ =

+ ≤.

7-9. Να βρεθεί η συνάρτηση f g+ , όταν

( ) ( )2 2x x, x 1 1 x , x 1

f x και g x2x 4, x 1 2x 4, x 1

+ ≤ − − ≤ = =

+ > − − > .

Λύση

Οι συναρτήσεις f και g έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α = ℝ . Άρα και η f g+ έχει πεδίο ορισμού το ℝ . Για

να βρούμε τον τύπο της συνάρτησης f g+ , διακρίνουμε περιπτώσεις κατασκευάζοντας έναν πίνακα

Έχουμε:

x 1< − : ( ) ( ) 2 2f x g x (x x) (1 x ) 1 x+ = + + − = +

x 1= − : ( ) ( )f 1 g 1 0 0 0− + − = + =

1 x 1− < < : ( ) ( ) 2 2f x g x (2x 4) (1 x ) x 2x 5+ = + + − = − + +

x 1= − : ( ) ( )f 1 g 1 6 0 0+ = + =

x 1> : ( ) ( )f x g x (2x 4) (2x 4) 4x+ = + + − =

Άρα

( ) 2

1 x ,x 1

(f g) x x x 5, 1 x 1

4x ,x 1

+ ≤ −

+ = − + + − < ≤ − >

7-9. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ( )x 1, x 0 3 x, x 1

f x και g x2x 1, x 0 x 1, x 1

− ≤ − < = = + > − − ≥

. Να βρεθεί η τιμή της

παράστασης ( )( ) ( )( )f g 2 f g 0Κ = + + ⋅ .

Λύση

Είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f 2 g 2 f 0 g 0 2 2 1 2 1 0 1 3 0 4 1 3 1 3 5 3 3 1Κ = + + ⋅ = ⋅ + + − − + − − = + + − + − ⋅ = − − = − .

( )f x 2x x+ 2x 4+ 2x 4+

( )g x 21 x− 21 x− 2x 4−

( ) ( )f x g x+ 1 x+ 2x 2x 5− + + 4x

−∞−∞−∞−∞ -1 1 +∞+∞+∞+∞ x

0

0

0

6

0

6



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 7-10. Να βρεθούν οι συναρτήσεις + − ⋅f g,f g,f g , όταν

( ) ( ) − > + >

= = + ≤ ≤

2 22x 3, x 1 x 5, x 3f x και g x

x 2, x 1 3x, x 3.

ΚΑΛΟ ΕΙΝΑΙ ΝΑ ΞΕΡΩ ΟΣΟ ΑΦΟΡΑ ΤΙΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΤΙ …

•Όταν ισχύει: ( ) ( )f x g x 0⋅ = για κάθε x A∈ δεν σημαίνει ότι

( )f x 0= για κάθε x A∈ ή ( )g x 0= για κάθε x A∈

Σημαίνει ότι υπάρχει ένα σύνολο B A⊆ τέτοιο, ώστε

( )f x 0= για κάθε x B∈ και ( )g x 0= για κάθε x A B∈ −

Παράδειγμα

Αν πάρουμε τις συναρτήσεις ( ) 2017x ,x 0f x

0 ,x 0

<=

≥ και ( ) 0 ,x 0

f x2017 ,x 0

<=

≥ τότε όμως ισχύει:

( ) 2017x 0 ,x 0f x g(x)

0 2017 ,x 0

⋅ <⋅ =

⋅ ≥ δηλαδή ( )f x g(x) 0⋅ = για κάθε x∈ℝ ,όμως βλέπουμε ότι καμία από τις

δυο συναρτήσεις δεν είναι η μηδενική. Ισχύει όμως : ( )f x 0= για x 0≥ και ( )g x 0= για x 0<

•Μεμονωμένα όμως για αριθμό 0

x A∈ ⊆ ℝ αν ισχύει ( ) ( )0 0f x g x 0⋅ = τότε ισχύει ( )0

f x 0= ή ( )0g x 0=

•Ισχύει όμως αν ( ) ( )f x g x 0⋅ ≠ για κάθε x A∈ τότε ( )f x 0≠ για κάθε x A∈ και ( )g x 0≠ για κάθε

•Ισχύει:

1) ( ) ( )f x 0,x A f x 0,x A= ∈ ⇔ = ∈

2) ( )( ) ( )ν

f x 0,x A f x 0,x A= ∈ ⇔ = ∈

3) ( ) ( )2 2f(x) g(x) ,x A f(x) g(x) ,x A= ∈ ⇔ = ∈ ⇔

( ) ( ) ( ) ( )2 2f(x) g(x) 0,x A f(x) g(x) f(x) g(x) 0,x A⇔ − = ∈ ⇔ − + = ∈

Δεν ισχύει

-Αν ( ) ( )f x g x= για κάθε x A∈ τότε ( ) ( )f x g x= για κάθε x A∈ ή ( ) ( )f x g x= − για κάθε x A∈

-Αν ( ) ( )f x g x= για κάθε x A∈ τότε ( ) ( )f x g x= για κάθε x A∈ ή ( ) ( )f x g x= − για κάθε x A∈

Δεν

ισχύει ;;;



8. ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 1. Απλός τύπος

1. ( )( ) ( )( )fog x f g x= .

• Βρίσκω f g fogD , D και D .

( )

g

fog fog

f

x D

x D και ... ν D

g x D

∈

∈ ⇔ ⇔ Α ≠ ∅ ∈

τότε

• Βρίσκω τον τύπο ( )( )f g x .

2. ( )( ) ( )( )gof x g f x= .

• Βρίσκω f g gofD , D και D .

( )

f

gof gof

g

x D

x D και ... ν D

f x D

∈

∈ ⇔ ⇔ Α ≠ ∅ ∈

τότε

• Βρίσκω τον τύπο ( )( )g f x .

Παράδειγμα 1: ( ) ( )2f x x 1, g x x 2.= + = − Βρες ( )( )gof x .

Γενικά: ( )( ) ( )( )fog x gof x≠ .

Παρατήρηση: Αν fD = ℝ τότε fog gD D= και αν gD = ℝ τότε gof fD D= .


8-1. Έστω οι συναρτήσεις ( ) ( )x 3xf x e x και g x

x 2= − =

−. Να βρείτε τις συναρτήσεις

i) fog ii) gog .

Λύση

Η f έχει πεδίο ορισμού το Α = ℝ , ενώ η g το { }2Β = −ℝ .

i) Επειδή η f έχει πεδίο ορισμού το ℝ , η fog έχει πεδίο ορισμού το Β.

Για κάθε x∈Β είναι ( )( ) ( )( )3x

x 23x 3x

fog x f g x f ex 2 x 2

− = = = − − −

.

ii) Η gog έχει πεδίο ορισμού το ( ){ }x / g x′Β = ∈Β ∈Β .

Είναι ( )

x 2x x 2

3xg x x 42

x 2

≠∈Β ≠ ⇔ ⇔ ∈Β ≠ −≠ −

. Άρα { }R 2, 4′Β = − − . Για κάθε x ′∈Β είναι

( )( ) ( )( )3x

33x 9xx 2gog x g g x g

3xx 2 x 42x 2

−= = = = − + −−

.

8-2. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : →ℝ ℝ με ( ) ( )2 2f x x 2x 2 και g x x 2x= + + = − + . Να αποδειχθεί ότι

η εξίσωση ( )( ) ( )( )fog x gof x= (1) δεν έχει λύση στο ℝ .

Λύση

Επειδή οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισμού το R, ορίζονται οι συναρτήσεις fog και gof . Είναι

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

= = + + = − + + +

= = − + = − − − −

4 3 2

24 3 2

2fog x f g x g x 2g x 2 x 4x 2x 4x 2

και

gof x g f x f x 2f x x 4x 6x 4x

Οπότε η σχέση (1) γίνεται ( )242 x 2x 1 0 + + = .

Η τελευταία εξίσωση δεν έχει λύση στο R αφού

( ) ( )24 1x 2x 1 0 x 0 και 2x 1 0 x 0 και x

2

+ + = ⇔ = + = ⇔ = = −

που είναι αδύνατο.



8-3. Δίνεται η συνάρτηση ( )x

x

9f x

9 3=

+.

i) Να αποδειχθεί ότι ( ) ( )f x f 1 x 1+ − = .

ii) Με την βοήθεια του προηγούμενου ερωτήματος να βρεθεί το

άθροισμα

+ + + +

1 2 3 2017f f f ... f

2018 2018 2018 2018.

Λύση

i) Είναι ( ) ( )x 1 x x xx

x 1 x x x x

x

99 9 9 9 39f x f 1 x 1

99 3 9 3 9 3 9 3 9 339

−

−+ − = + = + = + =

+ + + + ++.

ii) Εφαρμόζοντας την προηγούμενη σχέση για τις τιμές1 2 3

, ,2018 2018 2018

κ.λπ. έχουμε

+ =

+ =

+ =

+ =

=

1 2017f f 1

2018 2018

2 2016f f 1

2018 2018

3 2015f f 1

2018 2018

....................................

1008 1010f f 1

2018 2018

1009 1f

2018 2

Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε:

+ + + + = + + + + = + =

��

1008 οροι

1 2 3 2017 1 1f f f ... f (1 1 ... 1) 1008 1008,5

2018 2018 2018 2018 2 2.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 8-4. Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους : ( ) ( ) ( )f x =ln x+1 και g x = 4- x . Να οριστούν οι συναρτήσεις:

ff+g, ,fog

g.

8-5. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση gof , αν

i) 2f(x)=x και g(x)= x , ii) f(x)=ημx και 2g(x)= 1-x , iii) π

f(x)=4

και g(x)=εφx .

8-6. Δίνονται οι συναρτήσεις 2f(x)=x +1 και g(x)= x-2 . Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις gof και fog .

8-7. Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις fog και gof , εφόσον ορίζονται, σε καθεμία από τις περιπτώσεις:

i. ( ) ( ) ( )f x = 1-x ,g x =ln x-1 ii. ( ) ( )2f x = 3-4x ,g x =συνx .

8-8. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) [ ] ( ) [ ]f x =2x-1,x 3,3 και g x =5-2x, x 3,7∈ − ∈ . Να ορισθούν οι συναρτήσεις

fog και gof .

8-9. Αν ( )f x =ημx+συνx και ( ) 2g x = x +2 να βρείτε τον αριθμό ( ) πgof

4

.



2. Πολλαπλός τύπος

• Συμβολίζω 1 2f , f ,... τους κλάδους της f.

• Συμβολίζω 1 2g ,g ,... τους κλάδους της g.

• Βρίσκω τις συνθέσεις 1 1 1 2 2 1 2 2f og ,f og ,f og ,f og ,... (πεδίο ορισμού και τύπους όπως στη Σ23).

• Γράφω τον τύπο της ( )( )fog x .

1 1 1

12 1 2

1 2 1

22 2 2

g f ogf

g f ogf

g f ogf

g f og

→

→

→

→

.

Παράδειγμα2: Να βρεθεί η σύνθεση της συνάρτησης g με την f ( )fog .

( ) ( )2x 1, 4 x 6 x 1, 2 x 4

f x g xx 2, 6 x 8 x 1, 4 x 7

+ < < + < < = = − ≤ < − ≤ <

.


8-10. Έστω ( ) ( )1 x , x 0

f x x 1 και g xln x, x 0

− ≤= − =

>. Να βρεθεί η ( )( )fog x .

Λύση

Είναι ( )( ) ( )

( ) [ )( )

( ) ( )( ) ( )

1 1 1 1

2 2 2 2

x 1 f x ,A ,1 1 x g x ,B ,0f x , g x

x 1 f x , A 1, ln x g x , B 0,

− + = = −∞ − = = −∞= =

− = = +∞ = = +∞ .

Θα πάρουμε για τις συνθέσεις τους συνδυασμούς ανά δύο.

fog : Πεδίο ορισμού ( ){ }B x B|g x A′ = ∈ ∈ και έχουμε 4 περιπτώσεις.

1 1f og : ( ){ } { }1 1 1 1B x B |g x A x 0| 1 x 1′ = ∈ ∈ = ≤ − < . Λύνω ξεχωριστά 1 x 1 1 x 1 x 0− < ⇔ − < ⇔ > και

αφού οι x 0,x 0≤ > δεν συναληθεύουν δεν ορίζεται η 1 1f og .

1 2f og : ( ){ } { }2 2 2 1B x B |g x A x 0|ln x 1′ = ∈ ∈ = > < . Λύνω ξεχωριστά ln x 1 x e< ⇔ < . Οπότε ( )2B 0,e′ = .

( )( ) ( )1 2 2f g x g x 1 ln x 1= − + = − + .

2 1f og : ( ){ } { }3 1 1 2B x B |g x A x 0| 1 x 1′ = ∈ ∈ = ≤ − ≥ . Λύνω ξεχωριστά 1 x 1 1 x 1 x 0− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ .

Οπότε ( ]3B ,0′ = −∞ . ( )( ) ( )2 1 1f g x g x 1 1 x 1= − = − − .

2 2f og : ( ){ } { }4 2 2 2B x B |g x A x 0|ln x 1′ = ∈ ∈ = > ≥ . Λύνω ξεχωριστά ln x 1 x e≥ ⇔ ≥ . Οπότε [ )4B e,′ = +∞ .

( )( ) ( )2 2 2f g x g x 1 ln x 1= − = − .

Τελικά είναι ( )( )( ]( )[ )

1 x 1,x ,0

f g x ln x, x 0,e

ln x 1, x e,

− − ∈ −∞

= − ∈ − ∈ +∞


8-11. Δίνονται οι συναρτήσεις ( )2x -1, αν x<2

f x =x+1, αν x 2

≥ και ( )

2x -x, αν x<3x =

2x, αν x 3

≥g . Να ορίσετε τη

συνάρτηση fog .

Mουσακάς



3. Πεδίο Ορισμού σε σύνθετη συναρτηση

1. Θέτω ( )g x την παράσταση που είναι μέσα στην παρένθεση του συμβόλου f( ).

2. Βρίσκω το

( )

g

fog

f

x D

D και

g x D

∈

= ∈

.

Παράδειγμα 1: Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( ) [ ]2fh x f 1 x 3x αν A 1,1= − − = − .

Παρατήρηση: Προσοχή στους περιορισμούς. Αν γράψω f(ημx 2)− για τη συνάρτηση ( )f x ln x= είναι

λάθος γιατί ημx 2 0− < και δεν ανήκει στο ( )fD 0,= +∞ .

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 8-12. Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το ( ]1,2Α = − . Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

συνάρτησης ( ) ( )2i).f 2x 1 ii).f x− .

Λύση

i) Έστω η συνάρτηση ( )g x 2x 1= − με πεδίο ορισμού το B = ℝ και η

συνάρτηση ( ) ( )( ) ( )( )h x f g x fog x= = . Η συνάρτηση h έχει πεδίο ορισμού το ( ){ }B x B / g x A′ = ∈ ∈ . Είναι

( )x B x R 3

0 xg x A 1 2x 1 2 2

∈ ∈ ⇔ ⇔ < ≤ ∈ − < − ≤

. Άρα η h έχει πεδίο ορισμού το 3

B 0,2

′ = .

ii) Έστω 2x ω= (1) οπότε ( ) ( )2f x f ω= . Είναι

(1)2 2ω 1 ω 2 1 x 2 0 x 2 x 2 x 2 , 2 ∈Α ⇔ − < ≤ ⇔− < ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ∈ − . Άρα η ( )2f x έχει πεδίο

ορισμού το 2 , 2 Β = − .

8-13. Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το )3,3Α = − και η συνάρτηση h με πεδίο ορισμού

το )1,3Γ = .Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h(x) f(x) f( x 2)

g(x)2x

+ − −=

Λύση

Για να ορίζεται η σύνθεση f( x 2)− πρέπει και αρκεί :

)x 2 x 2 x 2 x 2

2 x 11x 11x 2 Df 3,3 3 x 2 3 x 2 3

≥ ≥ ≥ ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ <

<− ∈ = − − ≤ − < − <

Άρα η f( x 2)− ορίζεται στο )B 2,11=

Τότε η g ορίζεται στο h f

D D B {0}∩ ∩ −

))

)

x 3,3

x 2,111 x 3

x 1,3

x 0

∈ −∈ ⇔ ≤ <∈

≠

Άρα το πεδίο ορισμού της g είναι )gD 1,3=

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 8.14. Αν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( )f x είναι το [ ]2,11− τότε να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού

της συνάρτησης ( )2f x -3x+1 .

8.15. Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη στο 1,10− , να βρείτε το πεδίο ορισμού της

( ) ( 2)

( )2

f x f xg x

− +=



9. ΜΟΡΦΟΠΟΙΗΣΗ / ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΗΣ ΜΕ ΆΛΛΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1. Μορφοποίηση Γενικά βλέπουμε τον τύπο της f από «έξω» προς τα μέσα και διαπιστώνουμε τις συναρτήσεις που

μπορούν να συνθέσουν την f. (Μπορεί να βρούμε διαφορετικές συναρτήσεις).

Παράδειγμα1: Να εκφράσετε τη συνάρτηση f ως σύνθεση δύο ή περισσότερων συναρτήσεων, αν

( ) ( ) ( ) ( )2f x ημ 3x 6 f x ημ ln x= + = .

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 9-1. Να εκφράσετε τη συνάρτηση f ως σύνθεση δύο ή περισσότερων συναρτήσεων, αν

( ) ( ) ( )x 3i).f x e ii).f x συν 2x 1−= = +

Λύση

i) Η συνάρτηση ( ) xf x e−= είναι σύνθεση της ( )h x x= − με την ( ) xg x e= .

ii) Η συνάρτηση ( ) ( )3f x συν 2x 1= + είναι σύνθεση της ( ) ( ) ( ) 3h x 2x, g x συνx και φ x x 1= = = + .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 9-2. Να εκφράσετε τη συνάρτηση f ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων συναρτήσεων, αν

i) 2f(x)=ημ(x +1) , ii) 2f(x)=2ημ 3x+1 iii) 2xf(x)=ln(e -1) , iv) 2f(x)=ημ (3x) .

2. ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΗΣ ΜΕ ΆΛΛΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ακολουθούμε τον πίνακα:

ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

1 ( ) ( )f x ,g x fog ή gof Μεθοδολογία 8

2 ( ) ( )( )f x , fog x

Εξωτερική και Σύνθεση

( )g x

Εσωτερική

Στον τύπο της f θέτω όπου x

το ( )g x , δηλ. θέτω στον τύπο

της εξωτερικής όπου x την

εσωτερική.

3 ( ) ( )( )g x , fog x

Εσωτερική Σύνθεση

( )f x

Εξωτερική

Θέτω ( )ω g x= , δηλ. θέτω ω =

εσωτερική και έτσι βρίσκω

( )f ω και τελικά ( )f x

Σε κάθε μια από τις παραπάνω περιπτώσεις προσέχουμε τα πεδία ορισμού .

Παράδειγμα 2: Αν ( )( ) ( )2f g x x 4x 2 για καθε x , f x 2x 1= + − ∈ = −ℝ βρείτε ( )g x .

Παράδειγμα 3: Αν ( )( ) ( )2f g x x 2x 2 για καθε x , g x x 1= + + ∈ = +ℝ βρείτε ( )f x .

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 9-3. Να βρείτε μια συνάρτηση f τέτοια ώστε να ισχύει:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

x 2

2

i. fog x e x 1 για καθε x αν g x x 1

ii. gof x εφx για καθε x , αν g x x 1

= + − ∈ = −

= ∈ = −

ℝ

ℝ.

Λύση

i) Έχουμε ( )( ) x 2f g x e x 1= + − δηλαδή ( ) x 2f x 1 e x 1− = + − . Έστω ω x 1 x ω 1= − ⇔ = + . Είναι

( ) ( )2ω 1 ω 1 2f ω e ω 1 1 e ω 2ω+ += + + − = + + . Άρα ( ) x 1 2f x e x 2x+= + + .

ii) Έχουμε ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

2

1g f x εφx f x 1 εφx f x 1 εφ x f x 1 εφ x f x

συν x= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = + ⇔ = ⇔

( ) 1f x

συνx⇔ = (1)

Μια τέτοια συνάρτηση που ικανοποίει την (1) είναι π.χ. η συνάρτηση ( )1

f xσυνx

= − .

(Το πλήθος των συναρτήσεων είναι άπειρο)

9-4. Έστω f : →ℝ ℝ με ( )2 2f x x 2x 2x 2+ = + + , x∈ℝ . Να βρεθεί η ( )f x .

Λύση

Διαδοχικά έχουμε ( ) ( )2 2f x x 2 x x 2+ = + + . Θέτουμε 2x x t+ = , οπότε έχουμε ( )f t 2t 2= + .

Άρα ( )f x 2x 2, x R= + ∈ .



9-5. Αν ( )2 2x 1 x 1g 2 5 και f x 2x 3 3x 6x 7

x 1 x 1

− − = ⋅ + − + = − + + +

να βρεθεί η συνάρτηση ( )( )f g x+ .

Λύση

Θέτουμεx 1

tx 1

−=

+, οπότε για x 1≠ − η συνάρτηση

x 1 x 1g 2 5

x 1 x 1

− − = ⋅ + + +

γράφεται ( )g t 2t 5= + . Θέτουμε

2x 2x 3 ω− + = , οπότε για x 1≠ − έχουμε ( )2 23x 6x 7 3 x 2x 3 2 3ω 2− + = − + − = − . Οπότε η συνάρτηση

( )2 2f x 2x 3 3x 6x 7− + = − + γράφεται ( )f ω 3ω 2= − . Άρα ( ) ( )f x 3x 2 και g x 2x 5, x 1= − = + ≠ − .

Οπότε ( )( )f g x 5x 3, x 1+ = + ≠ − .

9-6.Δινονται οι συναρτήσεις = >1

f(x) ,x 0x

και = >g(x) ln x,x 0 .Να βρείτε μια συνάρτηση h τέτοια

ώστε, να είναι: hog f= .

Λύση

Έστω ότι υπάρχει μια συνάρτηση h τέτοια, ώστε να ισχύει hog f= .Τότε είναι:

( ) = = +∞

= ⇔ =

hog gD D 0,

1h(g(x)) f(x) h(ln x) (1)

x

Και αν θέσουμε στην (1): uln x u x e= ⇔ = έχουμε λοιπόν u

1h(u)

e= ,

Άρα μια συνάρτηση h είναι η x

1h(x)

e= , x∈ℝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 9-7. Να βρείτε μια συνάρτηση f τέτοια, ώστε να ισχύει:

i) 2(fog)(x)=x +2x+2 για κάθε x∈ℝ αν g(x)=x+1 .

ii) 2(fog)(x)= 1+x για καθε x∈ℝ αν 2g(x)= -x .

iii) (gof)(x)= συνx για καθε x∈ℝ αν 2g(x)= 1-x .

9-8. Να βρείτε συνάρτηση g, τέτοια ώστε να ισχύει: ( )( ) ( )2fog x =x +4x-2, x αν f x =2x-1 ∈ℝ .

9-9. Αν ( )f x =x+3 , να βρεθεί συνάρτηση g: →ℝ ℝ για την οποία ισχύει ( )( ) x+1fog x =e +3 για κάθε x∈ℝ .

9-10. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : →ℝ ℝ με ( ) ( )( ) 2g x =x-2 και fog x =x +x+1 για κάθε x∈ℝ .

Να βρεθεί η συνάρτηση f.

9-11. Έστω συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι ( ) 2f x-1 =x -7x+12, x∈ℝ . Να βρείτε τον τύπο της f.

9-12. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει ( ) 2f 3x+2 =9x -3x+1, για κάθε x∈ℝ τότε να βρείτε τον τύπο της

συνάρτησης f.

9-13. Να βρείτε τη συνάρτηση f, τέτοια ώστε να ισχύει: ( )( ) ( )2fog x =x +5x-1, x αν g x =x-2 ∈ℝ .

9-14. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι ( ) 2f x+1 =x +x+1 x∈ℝάγια κ θε . Στη

συνέχεια να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( )2f x +f 1+x =2 x +1 για κάθε x∈ℝ .

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

Σε αρκετές μεθοδολογίες θα χρησιμοποιήσουμε τον όρο συναρτησιακή σχέση .

Συνήθως οι συναρτήσεις δίνονται με τον τύπο τους και το πεδίο ορισμού τους. Λέμε, για παράδειγμα,

δίνεται η συνάρτηση:

( ) =f x xe , ∈ℝx

Μας είναι γνωστό ότι για κάθε τιμή των θετικών ∈ℝ,x y ισχύει: +⋅ =y x yxe e e

Αυτή η ισότητα με το σύμβολο της συνάρτησης f γράφεται ( ) ( ) ( )= ⋅f x+y f x f y για κάθε ∈ℝ,x y και

λέμε ότι αποτελεί μια συναρτησιακή σχέση της f.



10.ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ: ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ) Αν μας δίνει μια σχέση ανάμεσα στην ( )f x και σε κάποια σύνθετη π.χ. ( )f x− και μας ζητάει τον

τύπο της f τότε θέτω στη θέση του x μια κατάλληλη παράσταση ώστε να ανταλλάξουν τα

εσωτερικά στις παραπάνω σχέσεις και στη συνέχεια απαλοίφω ένα από τα δύο και μένει ο τύπος

της f

Παράδειγμα 1: Αν ( ) ( )f 1 x 2f 1 x 5x+ + − = για κάθε x∈ℝ να βρεις τον τύπο της f. (στην τάξη)

Παράδειγμα 2: Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης ( ) 2f x αx βx 1= + + , όταν για κάθε x∈ℝ ισχύει η

σχέση ( ) ( ) 2f x 1 2f x 1 x 8x 6+ − − = − + (στην τάξη)

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 10-1. Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει ( ) ( ) 2f x 3 2f 1 x x 2x− − − = − για κάθε x∈ℝ

(1). Να βρείτε τη συνάρτηση f. Λύση Έστω x 3 y x y 3− = ⇔ = + . Για x y 3= + η (1) γίνεται

( ) ( ) ( ) ( )2 2f y 2f y 2 y 4y 3, y η' f x 2f x 2 x 4x 3, x− − − = + + ∈ − − − = + + ∈ℝ ℝ (2).

Θέτουμε στη (2) όπου x το x 2− − και έχουμε ( ) ( ) ( ) ( )2 2f x 2 2f x x 1 η' f x 2 2f x x 1, x R− − − = − − − = + − ∈ .

Οπότε η (2) γίνεται ( ) ( )( ) ( )2 2 2 4 1f x 2 2f x x 1 x 4x 3 ή f x x x

3 3− + − = − + = − − − .

10-2. Έστω η συνάρτηση →ℝ ℝf : τέτοια ώστε ( ) ( ) ( )2f x 3f 1 x 4f 0 x+ − = − για κάθε x∈ℝ . Να βρεθεί

ο τύπος της ( )f x .Λύση Θέτουμε στη σχέση ( ) ( ) ( )2f x 3f 1 x 4f 0 x+ − = − (1) όπου x το 1 x− και

έχουμε ( ) ( ) ( )2f 1 x 3f x 4f 0 1 x− + = − + .

Από το σύστημα( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2f x 3f 1 x 4f 0 x

3f x 2f 1 x 4f 0 1 x

+ − = −

+ − = − + βρίσκουμε ( ) ( )5f x 4f 0 5x 3= + − .

Αλλά από τη σχέση (1) για x 0 και για x 1= = αντίστοιχα έχουμε

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2f 0 3f 1 4f 0 3f 1 2f 0

3f 1 2f 0 4f 0 1 2f 1 f 0 1

+ = = ⇔

+ = − − = −

και από το τελευταίο σύστημα προκύπτει ότι ( )f 0 3= − . Άρα ( ) ( )5f x 5x 15 f x x 3= − ⇔ = − .

10-3. Έστω η συνάρτηση →ℝ ℝf : τέτοια ώστε ( ) ( )xf x f 1 x x+ − = για κάθε x∈ℝ . Να βρεθεί ο τύπος

της ( )f x .Λύση Θέτουμε στη σχέση ( ) ( )xf x f 1 x x+ − = (1) όπου x το 1 x− και έχουμε

( ) ( ) ( ) ( )(1 x)f 1 x f 1 (1 x) 1 x (1 x)f 1 x f x 1 x− − + − − = − ⇔ − − + = − (2)

Οι (1) ,(2) αποτελούν σύστημα με αγνώστους ( ) ( )f 1 x ,f x− το οποίο λύνουμε

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

xf x f 1 x x f 1 x x xf x f 1 x x xf x

(1 x)f 1 x f x 1 x (1 x)f 1 x f x 1 x (1 x)(x xf x ) f x 1 x

+ − = − = − − = − ⇔ ⇔ ⇔

− − + = − − − + = − − − + = −

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )2 2 2 2 2 2

f 1 x x xf x f 1 x x xf x f 1 x x xf x

x xf x x x f x f x 1 x xf x x f x f x x 1 x x f x ( x x 1) x 1 x x

− = − − = − − = − ⇔ ⇔ ⇔

− − + + = − − + + = + − − − + + = + − −

( ) ( )

( )

2x x 1 0( 0)

2

2

f 1 x x xf x

x 2x 1f x

x x 1

− + ≠ ∆< − = −

⇔ − +=

− +

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 10-4. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει: ( ) ( )f x +xf -x =x+1,x∈ℝ τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι

σταθερή.

10-5. Μια συνάρτηση f: →ℝ ℝ ικανοποιεί τη σχέση ( ) ( ) 23f x -f 1-x =4x +4x-2 για κάθε x∈ℝ . Να βρεθεί ο

τύπος της f.

10-6. Μια συνάρτηση f: →ℝ ℝ ικανοποιεί τη σχέση ( ) ( ) 23f x+1 -2f 2-x =x +14x-5 για κάθε x∈ℝ .

α. Να βρεθεί ο τύπος της f.

β. Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) ( )g x =f x-2 +1 .



1. Συναρτησιακή Ισότητα

1. Θέτω ( ) ( ) ( )= Α = Β = Γf x ,g x ,h x ,... για απλούστευση της σχέσης.

2. Φέρνω όλους τους όρους στο 1ο μέλος και μορφοποιώ το 1ο μέλος στη μορφή 2 2 2 0 0Α +Β +Γ = ⇒ Α = Β = Γ = (συνήθως).

Παρατήρηση: Θυμηθείτε και την ταυτότητα Euler.

Ταυτότητα του Euler:

+ + − = + + − + − + − 3 3 3 2 2 21

α β γ 3αβγ (α β γ) (α β) (α γ) (β γ)2

Αν α + β + γ = 0 ή α = β = γ τότε ισχύει: + + =3 3 3α β γ 3αβγ

Αντίστροφα: αν ισχύει: + + =3 3 3α β γ 3αβγ τότε α = β = γ ή α + β + γ = 0

Παράδειγμα 1: Να δειχθεί ότι είναι ίσες οι συναρτήσεις στο R όταν για κάθε x R∈ ισχύει η σχέση:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x g x h x h x h x f x 0− + − + − = .(Στην τάξη)

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 11-1. Έστω f, g με κοινό πεδίο ορισμού Α για τις οποίες, για κάθε x A∈ , ισχύει ότι

( )( )

( )( )x x

f x g x

e f x e g x=

+ +. Να αποδειχθεί ότι f g= στο Α.

Λύση

Από την ισότητα της υπόθεσης, αφού οι παρονομαστές είναι θετικοί, πρέπει οι αριθμητές f, g να είναι

ομόσημοι. Έτσι έχουμε:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xf g e 0

x x x x x x

ομοσημοιf x e + g x =g x e + f x e f x +f x g x =e g x +g x f x e f x =e g x f x =g x

⋅ ≠

⇔ ⇔ ⇔

11-2. Να βρείτε τις συναρτήσεις f,g : →ℝ ℝ για τις οποίες ισχύει

( ) ( ) ( ) ( )( )+ + = ⋅ − ⋅2 2f x g x 1 2 ημx f x συνx g x για κάθε x∈ℝ .

Λύση

Για κάθε x R∈ έχουμε:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+ + = ⋅ − ⋅ ⇔ − ⋅ + + + ⋅ + = ⇔

⇔ − + + = ⇔ ⇔ = = −

2 2 2 2 2 2

2 2

f x g x 1 2 ημx f x συνx g x f x 2ημx f x ημ x g x 2συνx g x συν x 0

f x ημx g x συνx 0 f x -ημx=0 και g x +συνx=0 f x ημx και g x συνx

Άρα ( )f x ημx= για κάθε x∈ℝ και ( )g x συνx= − για κάθε x∈ℝ .

11-4. Έστω οι συναρτήσεις f,g : →ℝ ℝ τέτοιες ώστε να ισχύει η ισότητα

( ) ( ) ( ) ( )2

f x g x 2 f x 1 g x 1 4 0+ − − − + = για κάθε x R∈ . Να αποδειχθεί ότι f g= .

Λύση

Έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2f x g x 2f x g x 2 f x g x f x g x 1 4 0+ + − − − + + =

Δηλαδή ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 22 2f x g x 2f x 2g x 2 0 f x 1 g x 1 0+ + + + = ⇔ + + + = (1).

Από τη σχέση (1) προκύπτει ότι ( ) ( )f x 1 και g x 1= − = − . Άρα f g= .

11. ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ: ΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

∆εν υπάρχει γενική

µέθοδος λύσης-

απόδειξης

συναρτησιακών

ισοτήτων-ανισοτήτων.



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 11-5. Να βρεθεί η συνάρτηση για την οποία ισχύει 2 x xf (x) 4e (f(x) e )= − , για κάθε x∈ℝ .

11-6. Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισμού το ℝ και ισχύει

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2

f+g x -2 fg x -2 f x ημx-g x συνx +1=0 1 για κάθε x∈ℝ , να αποδείξετε ότι

( ) ( )( )f x =ημx και g x = -συνx για κάθε x∈ℝ .

2. Ανισότητες Κάνω κατάλληλες αντικαταστάσεις και μορφοποιώ ως εξής:

( )

( )( )

f x παρασταση

και f x παρασταση

f x παρασταση

≥

⇒ =

≤

(π.χ. ( ) ( ) ( )f x x, f x x f x x≥ ≤ ⇒ =

Παράδειγμα 2: Αν για τη συνάρτηση f : →ℝ ℝ ισχύουν ( ) ( ) ( ) ( )f x x και f x y f x f y≥ + ≥ + για κάθε

x, y R∈ να δειχθεί ότι είναι ( )f x x= (ταυτοτική συνάρτηση).

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 11-7.Έστω συνάρτηση f : →ℝ ℝ τέτοια, ώστε

• ( ) ( )f x f x− = − για κάθε x∈ℝ

• ( )2x f x x≥ για κάθε x∈ℝ

Να βρεθεί η συνάρτηση ( )f x .

Λύση

Θέτουμε στη σχέση όπου x το –x και έχουμε ( )2x f x x− ≥ − .

Αφού ( ) ( )f x f x− = − και η σχέση γίνεται

( ) ( )2 2x f x x x f x x− ≥ − ⇔ ≤ . Άρα θα είναι ( )2x f x x= .

Εφόσον η ( ) ( )f x f x− = − ισχύει για κάθε x∈ℝ ,για x 0= έχουμε ( ) ( ) ( ) ( )= − ⇔ = ⇔ =f 0 f 0 2f 0 0 f 0 0

• Για x 0= έχουμε ( )f 0 0= ,

• Για x 0≠ έχουμε ( )1

f xx

= .

Άρα ο τύπος της συνάρτησης f είναι ( )0, αν x 0

f x 1, αν x 0

x

=

= ≠

.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 11.8. Έστω συνάρτηση f : →ℝ ℝ τέτοια, ώστε

• ( ) ( )f x f x− = − για κάθε x∈ℝ

• 2 5x ( ) 2≤f x x για κάθε x∈ℝ , να βρείτε τον τύπο της f.

11-9. Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις f: →ℝ ℝ με την ιδιότητα ( ) ( )2f x -x x f x-1 +x≤ ≤ για κάθε

x∈ℝ .

11-10. Έστω συνάρτηση f : →ℝ ℝ τέτοια, ώστε:

( ) ( )f x f x− = − για κάθε x∈ℝ

( ) 3f x x≤ , για κάθε *x∈ℝ .

α. Να βρεθεί το ( )f 0 ,

β. Να προσδιοριστεί ο τύπος της f,

γ. Να γίνει η γραφική παράσταση της f.

11-11. Μια συνάρτηση ( )f: 0,+∞ → ℝ έχει την ιδιότητα ( )x

f lnx f x -1e

≤ ≤

για κάθε x>0 .

α. Να προσδιορισθεί ο τύπος της f,

β. Να γίνει η γραφική παράσταση της f.

11-12. Να βρεθεί η συνάρτηση f: →ℝ ℝ , η οποία για κάθε x∈ℝ ικανοποιεί τη σχέση

( ) ( )2f x +x x f x+1 -x≤ ≤ .



12 ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ , ΑΡΤΙΕΣ , ΠΕΡΙΤΤΕΣ ,ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ 1. Σταθερή Συνάρτηση

Μια συνάρτηση λέγεται σταθερή στο fD αν για κάθε 1 2 fx ,x D∈ ισχύει ( ) ( )1 2f x f x= .

Για να δείξω ότι η f σταθερή εκτελώ τις πράξεις και πρέπει να βρω τελικό αποτέλεσμα αριθμό ή

παράσταση ανεξάρτητο του x.

Παράδειγμα 1: Να αποδειχθεί ότι είναι σταθερή η συνάρτηση ( )2

2

x 4 x 2 2xf x

3x 4 x 2 x 2

− − = + + + −

.


12-1. Να αποδειχθεί ότι είναι σταθερή η συνάρτηση ( )ημ3x συν3x

f xημx συνx

= − .

Λύση

( )( )

( )ημ 3x xημ3x ημ3xσυνx συν3xημx ημ2x 2ημxσυνxσυν3x

f x 2 f x 2ημx συνx ημxσυνx ημxσυνx ημxσυνx ημxσυνx

−−= − = = = = = ⇔ = .

12-2. Να αποδειχθεί ότι είναι σταθερές οι συναρτήσεις f και g όταν για κάθε x του κοινού πεδίου

ορισμού των ισχύει: ( )( ) ( )( ) ( )( ) + − − = ⋅ − 2

f g x 4 f g x 2 f g x 4 .

Λύση

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

+ − − = ⋅ −

+ − − = − = =

+ + − + − + =

− + + + + = ⇔ − + + = = = −

�2

2 2

2 22 2

2f x g x 4 f x g x 2 f x g x 4

α β 4 α β 2 αβ 4 για f x α, g x β

α β 2αβ 4α 4β 2αβ 8 0

α 4α 4 β 4β 4 0 α 2 β 2 0 αρα α 2 και β 2

Έτσι είναι ( ) ( )f x 2 και g x 2= = − .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 12-3. Να δειχθεί ότι είναι σταθερές οι συναρτήσεις f και g όταν για κάθε x του κοινού πεδίου ορισμού των

ισχύει: ( )( ) ( )( ) ( )( )f g x f g x 10 2 f g x 25 + + − ≤ ⋅ − .

2. Άρτιες Περιττές Συναρτήσεις Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού συμμετρικό ως προς το Ο.

• Αν ( ) ( )f x f x− = τότε η f λέγεται άρτια και έχει άξονα συμμετρίας τον y’y.

• Αν ( ) ( )f x f x− = − τότε η f λέγεται περιττή και έχει άξονα συμμετρίας τον (0, 0).

Εύρεση άρτιας – περιττής.

1. Βρίσκω πεδίο ορισμού.

Αν fD συμμετρικό τότε υπολογίζω το ( )f x− .

• Αν ( ) ( )f x f x− = τότε f άρτια.

• Αν ( ) ( )f x f x− = − τότε f περιττή.

• Αν ( ) ( )f x f x− ≠ , ( ) ( )f x f x− ≠ − τότε f ούτε άρτια ούτε περιττή.

Παράδειγμα 2: Να εξετάσετε αν είναι άρτια ή περιττή η συνάρτηση ( )x 2 x x 2

f xx 2 x x 2

− += + +

− +

(Στην τάξη)

Παράδειγμα 3: Να δειχθεί ότι είναι περιττή η συνάρτηση ( )2x 5 x 3

f x2x 5 3 x

− + < −= − − <

.(Στην τάξη)



ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 12-4.Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,g,h.Ποιες από αυτές είναι άρτιες και

ποιες περιττές;

Λύση

Οι συναρτήσεις f,g είναι συμμετρικές ως προς τον x΄x άρα είναι άρτιες. Η h είναι συμμετρική ως προς

την αρχή των αξόνων άρα είναι περιττή.

12-5. Αν ( ) ( )3 2f x x και g x x 1= = + , ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )i).h x f g x ii).s x f g x iii). t x g f x= ⋅ = =

είναι περιττές;

Λύση

Οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισμού το R.

i) Για κάθε x∈ℝ είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 5 3 5 3 5 3h x x x 1 x x και h x x x x x h x= + = + − = − + − = − − = − .

Άρα η h είναι περιττή.

ii) Για κάθε x∈ℝ είναι ( ) ( )32s x x 1= + , οπότε ( ) ( )( ) ( ) ( )3 32 2s x x 1 x 1 s x− = − + = + = .

Άρα η s δεν είναι περιττή.

iii) Για κάθε x∈ℝ είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( )23 6 6 6t x x 1 x 1 και t x x 1 x 1 t x= + = + − = − + = + = .

Άρα η t δεν είναι περιττή.

12-6. Αν ( )g 3 3= − , f περιττή συνάρτηση και ( )( )( )( )

f g xh x 1

f x+ = , να υπολογιστεί το ( )h 4 .

Λύση

Για x 3= έχουμε ( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )

f περιττη f g 3 f 3 f 3h 3 1 h 4 1

f 3 f 3 f 3

− −+ = ⇔ = = = − .

12-7. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση ( ) 2 2f : με f x x x 1 x x 1→ = + + − − +ℝ ℝ είναι περιττή.

Λύση

• Πρέπει 2x x 1 0+ + ≥ . Προφανώς ισχύει, αφού 1 1 4 3 0∆ = − = − < . Ομοίως πρέπει 2x x 1 0− + ≥ .

Προφανώς ισχύει, αφού 2 1 4 3 0∆ = − = − < . Άρα = ℝf

D . Έτσι για κάθε fx D∈ το fx D− ∈ .

• Γνωρίζουμε από την άλγεβρα ότι ( )( )α β α β α β− + = − , για κάθε α,β 0≥ . Οπότε

α βα β

α β

−− =

+. Ονομάζουμε 2 2α x x 1 και β x x 1= + + = − + . Τότε ( )

2 2

2xf x

x x 1 x x 1=

+ + + − +

και ( ) ( )2 2 2 2

2x 2xf x f x

x x 1 x x 1 x x 1 x x 1

−− = = − = −

− + + + + + + + − +. Άρα η f είναι περιττή.

Cf Cg

Ch



12-8. Έστω συνάρτηση f με τύπο 2f(x)=ln( 1 )+ +x x

Να αποδείξετε ότι :

i)Το πεδίο ορισμού της είναι το ℝ .

ii)Η f είναι περιττή.

Λύση

i)Για κάθε ∈ℝx είναι: 2 21 0+ + > + = + ≥ − =x x x x x x x x άρα το πεδίο ορισμού είναι το ℝ

ii)Προφανώς ισχύει: ∈ ⇔ − ∈ℝ ℝx x για κάθε ∈ℝx .

Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε ∈ℝx .

( ) ( )f x f x− = − ή ισοδύναμα ότι ( ) ( )f x f x 0− + =

Έτσι ( ) ( ) 2 2 2 2f x f x ln( 1 ( x) x) ln( 1 x x) ln ( 1 x x)( 1 x x) − + = + − − + + + = + − + − =

( )22 2 2 2ln( 1 x x ) ln(1 x x ) ln1 0= + − = + − = =

(Την συγκεκριμένη συνάρτηση θα την ξαναδούμε και θα την ξαναδούμε και θα την.. ξαναδούμε!!)

12-9.Έστω συνάρτηση f: →ℝ ℝ τέτοια , ώστε να ισχύει:

( ) ( ) ( )+ = +f x y f x f y (1) για κάθε x,y∈ℝ

i)Να δείξετε ότι (0) 0=f .

ii)η f είναι περιττή.

Λύση

i)Η (1) ισχύει για κάθε x∈ℝ άρα ισχύει και για x 0= : (0 0) (0) (0) (0) 2 (0) (0) 0+ = + ⇔ = ⇔ =f f f f f f

ii) Προφανώς ισχύει: ∈ ⇔ − ∈ℝ ℝx x για κάθε ∈ℝx .

Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε ∈ℝx

( ) ( )f x f x− = −

Η (1) ισχύει για κάθε x∈ℝ άρα ισχύει και για x− : (0) 0

( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )=

− = + − ⇔ = + − ⇔ = + − ⇔ − = −f

f x x f x f x f f x f x f x f x f x f x

12-10.Έστω συνάρτηση f: →ℝ ℝ τέτοια , ώστε να ισχύει:

3 2 3f (x)+3f (x)f(-x)+2x =0 (1) για κάθε x∈ℝ


i)Η εξίσωση f(x)=0 έχει μόνο μια ρίζα.

ii)Η f είναι περιττή.

iii) f(x)=x,x∈ℝ

Λύση

i)Η (1) ισχύει για κάθε x∈ℝ άρα ισχύει και για x 0= : 3 2 3 3f (0)+3f (0)f(0)+2 0 =0 f (0)=0 f(0)=0⋅ ⇔ ⇔

Άρα το 0 είναι μια ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 (2) και θα δείξουμε ότι δεν έχει άλλη.

Έστω λοιπόν 0

x 0≠ μια άλλη ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 τότε έχουμε 0

f(x )=0 και η (1) γίνεται:

0f(x )=03 2 3 3

0 0 0 0 0 0f (x )+3f (x )f(-x )+2x =0 2x =0 x =0⇔ ⇔ άτοπο άρα ισχύει: f(x)=0 x=0⇔ .

ii)Θέτουμε στην (1) όπου χ το –χ και έχουμε: 3 2 3f (-x)+3f (-x)f(x)-2x =0 (3)

Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (3) :

( )

3 2 3 3 2 3

33 2 3 2

f (x)+3f (x)f(-x)+2x +f (-x)+3f (-x)f(x)-2x =0

f (x)+3f (x)f(-x)+f (-x)+3f f(x)(-x)f(x)=0 f(x)+f(-x) 0

f(x)+f(-x) 0 f(-x) f(x),x (4)

⇔

⇔ ⇔ = ⇔

⇔ = ⇔ = − ∈ℝ

Άρα η f είναι περιττή.

iii)Η (1) λόγω της (4) παίρνει την μορφή: (*)

3 2 3 3 2 3 3 3 3 3f (x)+3f (x)f(-x)+2x =0 f (x)-3f (x)f(x)+2x =0 -2f (x)+2x =0 f (x)=x f(x)=x⇔ ⇔ ⇔ ⇔

(*)Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει 1

x ∈ℝ με 1 1

f(x ) x≠ (5) τότε για 1

x x= έχουμε 3 3

1 1 1 1f (x )=x f(x )=x⇔

άτοπο , λόγω της (5).




12-11. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f με τύπο: ( )4

2

16-xf x =ln

4+x είναι άρτια ή περιττή.

12-12. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f με τύπο ( ) 4 2f x x 9 4x= − και να αποδείξετε ότι η f

είναι άρτια.

12-13. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f με τύπο: ( ) 2f x = 1974+ −x xσυν είναι άρτια ή περιττή

12-14. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f με τύπο: ( ) 1 1f x =

21 2−

+ x είναι περιττή.

12-15. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f με τύπο: ( )2

2

9f x =ln

9

+

−

x

x είναι άρτια.

12-16.Αν →ℝ ℝf: μια συνάρτηση να δείξετε ότι η συνάρτηση ( ) + − x = 3 ( ) ( )g f x f x είναι άρτια.

12-17.Η συνάρτηση →ℝ ℝf: είναι περιττή να δείξετε ότι η συνάρτηση ( ) ( )x =

f xg

x είναι άρτια στο ℝ*

12-18.Είναι δυνατόν μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση να είναι άρτια. Αιτιολογήστε.

3. Περιοδική Συνάρτηση Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται περιοδική όταν για κάθε x∈A υπάρχει Τ>0 έτσι

ώστε f(x+T)=f(x-T)=f(x) για κάθε x∈A

Παράδειγμα 4: Δείξτε ότι η συνάρτηση f(x)=ημx είναι περιοδική με περίοδο Τ=2π.


12.19 .Δείξτε ότι η συνάρτηση x x

f(x) ημ 2συν2 3

= + είναι περιοδική με περίοδο Τ=12π.

Λύση

H f έχει πεδίο ορισμού το ℝ .Έτσι

( ) ( )x 2π , x 2π+ ∈ − ∈ℝ ℝ για κάθε x∈ℝ

Επίσης ,για κάθε x∈ℝ

•x 12π x 12π x x x x

f(x 12π) ημ 2συν ημ 6π 2συν 4π ημ 2συν f(x)2 3 2 3 2 3

+ + + = + = + + + = + =

•x 12π x 12π x x x x

f(x 12π) ημ 2συν ημ 6π 2συν 4π ημ 2συν f(x)2 3 2 3 2 3

− − − = + = − + − = + =

Άρα, η συνάρτηση x x

f(x) ημ 2συν2 3


12.20.Έστω f : →ℝ ℝ μια συνάρτηση για την οποία ισχύει: (1) f(x) f(x α) f(x 2α) 0+ + + + = ,για κάθε x∈ℝ , α 0>

Να δείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο Τ=3α.

Λύση

Προφανώς (x 3α),(x 3α)+ − ∈ℝ

Αρκεί, να δείξουμε ότι για κάθε x∈ℝ ισχύει:

f(x 3α) f(x 3α) f(x)+ = − = .

Η (1) ισχύει για κάθε x∈ℝ άρα ισχύει και για x x 2α= +

Έτσι f(x α) f(x α α) f(x α 2α) 0 f(x α) f(x 2α) f(x 3α) 0+ + + + + + + = ⇔ + + + + + = (2)

Αφαιρούμε κατά μέλη (1),(2)

f(x) f(x α) f(x 2α) f(x α) f(x 2α) f(x 3α) 0 f(x) f(x 3α) 0 f(x) f(x 3α)+ + + + − + − + − + = ⇔ − + = ⇔ = + (3)

Έστω − = ⇔ = +x 3α y x y 3α

Τότε = + = = −(3)

f(x) f(y 3α) f(y) f(x 3α)



12.21 Έστω f με 1, x αρτιος

f(x)1, x περιττος

=

−

Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο κάθε θετικό άρτιο Τ. Κατόπιν να

σχεδιάσετε την γραφική της παράσταση .

Λύση

Η f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο των ακεραίων ℤ

Έστω 0Τ > τότε για κάθε x∈ℤ τότε x −Τ∈ℤ , x + Τ∈ℤ

-Αν ο x είναι άρτιος τότε x+T είναι άρτιος άρα f(x ) 1 f(x)+ Τ = =

-Αν ο x είναι περιττός τότε x+T είναι περιττός άρα f(x ) 1 f(x)+ Τ = − =

Όμοια προκύπτει f(x ) f(x)−Τ = για κάθε ακέραιο χ.

Άρα η f είναι περιοδική και για να την χαράξουμε λαμβάνουμε ως περίοδο την μικρότερη θετική τιμή

του Τ άρα Τ=2.


12.22. Δείξτε ότι η συνάρτηση f(x)=συνx+1 είναι περιοδική με περίοδο Τ=2π.

12.23.Δείξτε ότι η συνάρτηση x

f(x) 2ημ συν2x4


-1

1

1 2 3 4 -1 -2



13. ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΜΕ ΑΞΟΝΕΣ 1. Εύρεση Σημείων τομής με άξονες

Α. Εύρεση σημείων τομής της fC με x’x.

α. Θέτω y 0= .

β. Λύνω την εξίσωση ( )f x 0= , αν 1 2ρ ,ρ οι ρίζες της τότε τα σημεία ( )( )1 2ρ ,0 ρ ,0 είναι οι τομές με

τον x’x. (Τα σημεία μπορεί να είναι από 0 έως άπειρα).

Β. Εύρεση σημείων τομής της fC με y’y.

α. Αν f0 D∈ τότε θέτω x 0= και βρίσκω το ( )f 0 . Το σημείο τομής είναι ( )( )0,f 0 .

β. Αν f0 D∉ η fC δεν τέμνει τον y’y. (Τα σημεία τομής είναι το πολύ ένα, αν υπάρχει είναι

μοναδικό).

Παράδειγμα 1: Να βρεθούν τα σημεία τομής των αξόνων με τις καμπύλες

3 2i) y x 2x 5x 6 ii).y x ln x 1= − − + = + −

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 13-1. Έστω η συνάρτηση → ℝf : A για την οποία ισχύει ( ) ( ) ( )2f x f x 1 x x 1− − = − (1) για

κάθε x A∈ . Να δείξετε ότι η fC δεν τέμνει τον άξονα x’x.

Λύση

Έστω ότι η fC τέμνει τον άξονα x’x στο 0x . Τότε είναι ( )0f x 0= (2).

Για 0x x= η (1) γίνεται ( ) ( ) ( )( )2

2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0f x f x 1 x x 1 0 0 1 x x x x 1 0− − = − ⇔ − − = − ⇔ − + = που είναι

άτοπο, αφού η εξίσωση 2x x 1 0− + = είναι αδύνατη, διότι έχει διακρίνουσα 3 0∆ = − < .

Άρα η fC δεν τέμνει τον άξονα x’x.

13-2. Δίνονται οι συναρτήσεις: ( ) ( ) ( )2 2 2 2f x κ 2 x 3x κ 2 και g x λx 3κλx κ= + − + − = + + , όπου

κ,λ,x R∈ .

α). Να βρεθούν τα κ και λ, ώστε οι γραφικές παραστάσεις των f και g να τέμνονται στον άξονα y’y

και στην ευθεία x 1= − .

β). Για τη μικρότερη τιμή του κ που βρήκατε στο ερώτημα (α), να βρεθούν τα κοινά σημεία των

f gC και C καθώς και τα ∈ℝx , για τα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη

γραφική παράσταση της g.

Λύση

α). Για να τέμνονται στον άξονα y’y, πρέπει: ( ) ( ) 2 2f 0 g 0 κ 2 κ κ κ 0 κ 1 ή κ 2= ⇔ − = ⇔ − − ⇔ = − = .

• Για κ 1= − έχουμε: ( ) ( )2 2f x 3x 3x 1 και g x λx 3λx 1= − − = − − . Οι f gC και C τέμνονται στην

ευθεία x 1= − , όταν ισχύει ( ) ( )3

f 1 g 1 5 4λ 1 λ2

− = − ⇔ = − ⇔ = .

• Για κ 2= έχουμε: ( ) ( )2 2f x 6x 3x 2 και g x λx 6λx 2= − + = + + . Ισχύει

( ) ( )9

f 1 g 1 11 5λ 2 λ5

− = − ⇔ = − + ⇔ = − .

Επομένως είναι ( ) ( )3 9

κ,λ 1, η' κ, λ 2,2 5

= − = −

.

β). Για3

κ 1 και λ2

= − = έχουμε: ( ) ( )2 23 9f x 3x 3x 1 και g x x x 1

2 2= − − = − − .

Για να βρούμε τα κοινά σημεία των f gC και C , λύνουμε την εξίσωση:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 23 9f x =g x 3x -3x-1= x - x-1 6x -6x-2=3x -9x-2 3x +3x=0 3x x+1 =0 x=0 ή x=-1

2 2⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ .

Επομένως οι f gC και C τέμνονται στα σημεία ( )( )0,f 0 , δηλαδή ( ) ( )( )0, 1 , και 1,f 1− − − , δηλαδή ( )1,5− .

Για να βρούμε τα ∈ℝx , για τα οποία η fC είναι κάτω από τη gC , λύνουμε την ανίσωση

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x 0 3x x 1 0 1 x 0< ⇔ − < ⇔ + < ⇔ − < < .

Επομένως η fC βρίσκεται κάτω από τη gC στο σύνολο ( )1,0∆ = − .



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 13-3. Να βρείτε τα κοινά σημεία της fC με τους άξονες όταν:

1. ( ) 2f x =x- x +4 2. ( ) 3f x =x -5x+4 3. ( ) x xf x =9 +3 -12

4. ( ) x x xf x =3 16 +2 81 -5 36⋅ ⋅ ⋅ 5. ( ) x x xf x =25 -15 -10 6. ( )κ+x

f x =log ,κ>0κ-x

13-4. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x = x-2-x+2 . Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και τα σημεία

στα οποία η fC τέμνει τον άξονα x’x.

13-5. Δίνεται η συνάρτηση ( )x-1 - x+1

f x =1- x

. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και τα σημεία

στα οποία η fC τέμνει τον άξονα x’x. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή. Τι είδους

συμμετρία παρουσιάζει η γραφική της παράσταση;

13-6. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2f x =x -7x+12 .

i. Να βρείτε τις τιμές ( ) ( ) ( ) ( )f 0 ,f 1 ,f 5 ,f -3 .

ii. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η fC τέμνει τους άξονες.

13-7. Έστω η συνάρτηση f με τύπο: ( ) x

x+1, x<0f x =

e , x 0

≥

. Να βρεθούν τα σημεία τομής της fC με τους

άξονες x x και y y′ ′ .


2

2

1

xf x

x=

+

α. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες

β. Να βρείτε τα σημεία της καμπύλης της f που έχουν τεταγμένη 1.

13-9. Δίνεται συνάρτηση f : Α → ℝ με τύπο

( )2

2

8 1

xf x

x(x )

−=

− λ + λ + , λ σταθερός θετικός αριθμός.

Να δείξετε ότι :

i)Αν Α ≠ ℝ τότε 1λ = .

ii)Να βρείτε πεδίο ορισμού της f.

iii)Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τον άξονα xx.

2. Εύρεση Σημείων τομής δύο Συναρτήσεων

Για να βρω τα κοινά σημεία των f gC ,C λύνω το σύστημα των εξισώσεων τους δηλ. f(x) g(x)= .

Γενικότερα θα μπορούσα να φέρω όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και να θέσω καινούρια

συνάρτηση h(x) f(x) g(x)= − και να λύσω την εξίσωση h(x) 0= . Αυτή την τεχνική θα τη

χρησιμοποιήσουμε πολύ στις συναρτήσεις όταν θέλουμε να λύσουμε εξισώσεις ή ανισώσεις.

Παράδειγμα 2: Να βρεθούν τα κοινά σημεία των καμπυλών 2y 3x x 7= − − και 2y 2x 2x 9= + − .

Σημείο ανήκει σε γραμμή ή γραμμή διέρχεται από σημείο όταν οι συντεταγμένες του επαληθεύουν

την εξίσωση της γραμμής. Αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες στην εξίσωση.

Παράδειγμα 3: Να βρεθούν οι τιμές των α και β ώστε οι παραβολές ( ) ( )2 2f x =8x -αx+5 και g x =αx +βx-1

να τέμνονται πάνω στις ευθείες x 2 και x 3= = .



ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 13-10. Έστω μια συνάρτηση f : →ℝ ℝ με τύπο f(x) (x 1)(x 3)= − − , x∈ℝ και η ευθεία (ε) με εξίσωση

y λ, λ= ∈ℝ .

i)Να βρείτε τις τιμές του λ, για τις οποίες η ευθεία (ε) έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με την

γραφική παράσταση της συνάρτησης f.

ii)Ποιο είναι το σύνολο τιμών της συνάρτησης f;

Λύση

i) Η ευθεία (ε) έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με την γραφική παράσταση της f, αν και μόνο αν η

εξίσωση ( )f x =λ έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

Όμως, η παραπάνω εξίσωση γράφεται:

2f(x) λ (x 1)(x 3) λ x 4x 3 λ 0= ⇔ − − = ⇔ − + − =

Και είναι γνωστό ότι έχει μια πραγματική ρίζα,

αν και μόνο αν ισχύει η σχέση 20 ( 4) 4(3 λ) 0 .... λ 1∆ ≥ ⇔ − − − ≥ ⇔ ⇔ ≥ −

ii)Σχετικά με το σύνολο τιμών της f

παρατηρούμε

ότι όλοι οι αριθμοί λ 1≥ − και μόνο

αυτοί είναι τιμές της f .

Άρα , το ζητούμενο σύνολο τιμών

είναι )f( ) 1,= − +∞ℝ .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 13-11. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων

( ) ( )3 2 2f x =x +3x +x+1,g x =x +2x+3 και να αποδείξετε ότι είναι κορυφές τριγώνου με εμβαδόν Ε=3 τ.μ.

13-12. Δίνονται οι συναρτήσεις f ,g : →ℝ ℝ για τις οποίες ισχύει η σχέση:

(1) ( )f x +f(2-x)=2g(x) για κάθε ∈ℝx

i)Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο.

ii)Αν για την f ισχύει η σχέση f(1-x)=x(2-x) για κάθε x∈ℝ , να βρείτε τους τύπους των f και g και το

κοινό σημείο των γραφικών τους παραστάσεων .

(Υπόδειξη :Η (1) ισχύει για 1=x ….)

y=λ

1

2

1 3 O

Cf

Το σύνολο τιµών της f αποτελείται από

εκείνους τους πραγµατικούς λ που είναι τιµές

της f. ∆ηλαδή,εκείνους τους λ∈ℝ για τους

οποίους η εξίσωση f (x) λ= έχει µια

τουλάχιστον ρίζα στο πεδίο ορισµού της f.



3.Γραφικές Παραστάσεις Πάνω ή Κάτω από τον x’x ή fC πάνω από gC

Α. Για να βρω το διάστημα στο οποίο η fC βρίσκεται πάνω από τον x’x (αντίστροφα κάτω από τον

x’x) λύνω την ανίσωση ( )f x 0> (αντίστροφα ( )f x 0< ).

Παράδειγμα4: Βρες το διάστημα στο οποίο η ( ) 2f x x 5x 6= − + βρίσκεται πάνω από τον x’x.

Β. Για να βρω το διάστημα στο οποίο η fC βρίσκεται πάνω από τη gC λύνω την ανίσωση

( ) ( )f x g x> .

Παράδειγμα 5: Βρες το διάστημα στο οποίο η ( ) 2f x x 1= + είναι κάτω από τη ( )g x 5x 7= − + .

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 13-13. Να βρείτε για ποιες τιμές του x∈ℝ η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται

πάνω από τον άξονα x’x όταν ( )2 x

f x1 x

+=

−.

Λύση

Είναι ( ) ( )( )( )2 xf x 0 0 1 x 0 και x 2 x 1 0 2 x 1

1 x

+> ⇔ > ⇔ − > + − < ⇔ − < <

−.

Άρα η fC βρίσκεται πάνω από τον άξονα x’x μόνο όταν ( )x 2,1∈ − .


13-14. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ( )2

2 x +x-2f x =x -x και g x =

x. Να βρείτε:

α. τα πεδία ορισμού των f και g

β. τα κοινά σημεία των fC και gC

γ. τα διαστήματα στα οποία η fC βρίσκεται πάνω από τη gC .

13-15. Για ποιες τιμές του x R∈ η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα xx′ , όταν:

i) 2f(x)=x -4x+3 , ii) 1+x

f(x)=1-x

, iii) xf(x)=e -1 .

13-16. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ( )3 2 2f x =x +2x -2x-2, g x =x +2x+2 . Να βρεθούν:

i. Τα κοινά σημεία των fC και gC .

ii. Τα διαστήματα στα οποία η fC είναι πάνω από τη gC .

4. Σχετική Θέση Καμπυλών

Για να βρω τη σχετική θέση δύο καμπυλών βρίσκω το πρόσημο της διαφοράς ( ) ( )f x g x∆ = − .

α. Σχηματίζω το Δ (Δεν είναι διακρίνουσα).

β. Μηδενίζω το Δ και τις τιμές που βρίσκω τις βάζω σε πίνακα προσήμων.

γ. Αν 0∆ > τότε fC πάνω από gC .

Αν 0∆ < τότε fC κάτω από gC .

Αν 0∆ = τότε fC , gC τέμνονται.

Παράδειγμα 6: Βρες τη σχετική θέση των ( ) ( )2f x x 4x, g x x 6= − = − .



ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 13-17. Έστω οι συναρτήσεις f,g : →ℝ ℝ , για τις οποίες ισχύει ( ) ( ) 2f x g x x 4= + − για κάθε x R∈ . Να

βρείτε τη σχετική θέση των gfC και C .

Λύση

Για κάθε x R∈ έχουμε ( ) ( ) ( ) ( )2 2f x g x x 4 f x g x x 4= + − ⇔ − = − . Έστω η συνάρτηση

( ) ( ) ( ) 2h x f x g x x 4, x R= − = − ∈ .

Είναι ( ) 2h x 0 x 4 0 x 2 η' x 2= ⇔ − = ⇔ = − = .

x −∞ -2 2 +∞

( )h x + - +

Από τον πίνακα προσήμων της ( )h x έχουμε:

• Τα κοινά σημεία των f gC και C είναι εκείνα που έχουν τετμημένες -2 και 2.

• Όταν ( ) ( )x , 2 2,∈ −∞ − ∪ +∞ είναι ( ) ( )f x g x> και η fC είναι πάνω από τη gC .

• Όταν ( )x 2,2∈ − είναι ( ) ( )f x g x< και η fC είναι κάτω από τη gC .

13-18. Να βρεθούν οι τιμές των α,β R∈ για τις οποίες η γραφική παράσταση της ( ) 2f x 4x x= −

τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) 2g x αx βx 8= + + στον x’x και στο σημείο ( )2,2Α .

Κατόπιν να βρεθεί η σχετική θέση των f, g.

Λύση

Πρέπει 24x x 0− ≥ , άρα πεδίο ορισμού της f το [ ]0,4Α = και της g το RΒ = .

Η f τέμνει την x’x εκεί που ( ) 2f x 0 4x x 0 x 0 η' x 4= ⇔ − = ⇔ = = .

Αφού ( )g 0 8= η g θα τέμνει την x’x στο x 4= , άρα ( ):4

g 4 0 4α β 2= ⇔ + = − (1).

Από υπόθεση επίσης ( ):2

g 2 2 2α β 3= ⇔ + = − (2).

Από (1), (2) είναι 1

α και β 42

= = − , οπότε ( ) ( )22 1g x αx βx 8 x 4

2= + + = − .

Η σχετική θέση των f, g θα βρεθεί από το πρόσημο της διαφοράς ( ) ( )f x g x− . Θα λύσουμε την ανίσωση

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

υψωνω 4 x 02 4 32 3 2

2

1f x -g x 0 4x x x 4 4x 4-x 4-x 4x- 4-x 0 x 12x 52x 64 0

2

x 2 x 10x 32 0 x 2

− >

> ⇔ − > − ⇔ > ⇔ > ⇔ − + − > ⇔

⇔ − − + > ⇔ >

Άρα η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της g στο ( )2,4 και κάτω στο

( )0,2 .


13-19.Έστω οι συναρτήσεις ( ) ( )3 2

2x -2x -1f x = , g x =x

x-2.

α. Να αποδείξετε ότι ( ) ( )1

f x -g x = -x-2

για κάθε x 2≠

β. Να εξετάσετε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των δύο συναρτήσεων.

13-20. Έστω οι συναρτήσεις f,g : →ℝ ℝ , για τις οποίες ισχύει ( ) ( )= + − −2f x g x x x 1974 για κάθε ∈ℝx .

Να βρείτε τη σχετική θέση των f gC και C .

13-21. Έστω οι συναρτήσεις f ,g : →ℝ ℝ , για τις οποίες ισχύει ( ) ( )= + − 2f x g x 4 3ημ x για κάθε ∈ℝx . Να

βρείτε τη σχετική θέση των f gC και C .



14. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ,ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν για

οποιαδήποτε 1 2 1 2x ,x με x x∈∆ < ισχύει ( ) ( )1 2f x f x< (f γν. αύξουσα στο Δ), αντίστοιχα αν για

οποιαδήποτε 1 2 1 2x ,x με x x∈∆ < ισχύει ( ) ( )1 2f x f x> (f γν. φθίνουσα στο Δ). Προσοχή το Δ είναι

διάστημα και όχι ένωση διαστημάτων.

Βασικές συναρτήσεις:

1). Ευθεία ( )f x αx β= +

-αν ( )α 0 f x> ⇒ γν. αύξουσα στο R.

- αν ( )α 0 f x< ⇒ γν. φθίνουσα στο R.

- αν ( )α 0 f x= ⇒ σταθερή.

Παράδειγμα1: Να βρεθεί η μονοτονία της ( ) = − +f x 3x 2017

2). Τριώνυμο ( ) 2f x αx βx γ, α 0= + + ≠ . Βρίσκω το 0

βx

2α= − . (εκατέρωθεν του 0x θα αλλάξει η

μονοτονία).

Αν α 0> τότε

−∞ −

− +∞

βf γν.φθιν. ,

2α

βf γν.αυξ. ,

2α

Αν α 0< τότε

−∞ −

− +∞

βf γναυξ. ,

2α

βf γν.φθιν. ,

2α

Παράδειγμα2: Να βρεθεί η μονοτονία της ( ) 2f x x x 1= − + − .

3). Υπερβολή ( ) = = ≠ℝf

αf x , D * , α 0

x

αν α 0> τότε f γν. φθιν. στο ( ),0−∞ , f γν. φθιν. στο ( )0,+∞ .

αν α 0< τότε f γν. αυξ. στο ( ),0−∞ , f γν. αυξ. στο ( )0,+∞ .

Παράδειγμα3: Να βρεθεί η μονοτονία της ( )3

f xx

= − .

4). Εκθετική ( ) xff x α D R α 0,α 1= = > ≠

αν ( )α 1 f x> ⇒ γν.αυξ. στο R ειδικά η ( ) xf x e= γν. αυξ. στο R.

αν ( )0 α 1 f x< < ⇒ γν.φθιν. στο R ειδικά η ( ) xf x e−= γν. φθιν. στο R.

5). Λογαριθμική ( ) ( )α ff x log x D 0, α 0,α 1= = +∞ > ≠ .

αν ( )α 1 f x> ⇒ γν.αυξ. στο ( )0,+∞ R ειδικά η ( )f x ln x= γν. αυξ. στο ( )0,+∞ .

αν ( )0 α 1 f x< < ⇒ γν.φθιν. στο ( )0,+∞ .

6). ( ) ff x ημx D R= = περιοδική 2πΤ =

f γν. αυξ. στοπ

0,2

, f γν. φθιν. στοπ

,π2

, f γν. φθιν. στο3π

π,2

, f γν. αυξ. στο3π

,2π2

όμοια στα

άλλα διαστήματα πλάτους 2π.

7). ( ) ff x συνx D R= = περιοδική 2πΤ =



f γν. φθιν. στοπ

0,2


,π2


π,2


,2π2

όμοια στα

άλλα διαστήματα πλάτους 2π.

8). ( ) = = − + ∈

ℝ ℤ

f

πf x εφx D κπ κ

2 περιοδική πΤ =

f γν. αυξ. στο π

,02

− , f γν. αυξ. στο

π0,

2

, όμοια στα άλλα διαστήματα πλάτους π.

9). ( ) { }ff x σφx D R κπ κ= = − ∈Ζ περιοδική πΤ =

f γν. φθιν. στο π

0,2


,π2

, όμοια στα άλλα διαστήματα πλάτους π.

10). ( ) f

α βαx β δf x με D αδ βγ D R

γ δγx δ γ

+= = = − = − −

+

αν D 0> τότε f γν.αυξ στοδ

,γ

−∞ −

, f γν.αυξ στο

δ,

γ

− +∞

αν D 0< τότε f γν.φθιν στοδ

,γ

−∞ −

, f γν.φθιν στο

δ,

γ

− +∞

Παράδειγμα 4: Να βρεθεί η μονοτονία της ( )3x 1

f xx 2

−=

−

ΠΡΟΣΟΧΗ: Την ιδιότητα 10 δεν την αναφέρει το βιβλίο άρα δεν μπορώ να τη χρησιμοποιήσω, μόνο

για επαλήθευση του αποτελέσματος.

Παρατήρηση: Αν f γν. αυξ στο Δ τότε η –f γν. φθιν στο Δ.

Αν f γν. φθιν στο Δ τότε η –f γν. αυξ στο Δ.

Αν f γν. αυξ ή f γν. φθιν στο fD τότε λέγεται γνησίως μονότονη.

Αν f γν. αυξ ή f γν. φθιν σε διαστήματα τότε λέγεται κατά διαστήματα μονότονη.

Αν f γν. αυξ στο (α,β και f γν. αυξ στο )β,γ τότε δεν συνεπάγεται ότι f γν. αυξ

στο ( ) ( )α,β β, γ α, γ∪ =

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 14-1. Να μελετηθεί η συνάρτηση ( )f x =-2x+4 ως προς τη μονοτονία.

14-2. Να μελετηθούν οι συναρτήσεις ( ) xf x 2= και ( ) xg x 3−= ως προς τη μονοτονία



15. ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΜΕ ΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ Α’ Τρόπος:

• Βρίσκω fD .

• Θεωρώ 1 2 fx ,x D∈ (η γενικότερα σε κατάλληλο διάστημα Δ) με 1 2x x< .

• Με τη βοήθεια του 1 2x x< κατασκευάζω με επιτρεπτές πράξεις στο πρώτο μέλος το ( )1f x και

έτσι κατασκευάζεται στο δεύτερο μέλος το ( )2f x (επιτρεπτές πράξεις: πολλαπλασιάζω με

κατάλληλους αριθμούς, προσθέτω, κ.λπ. υψώνω σε δύναμη).

• Έτσι αν ( ) ( )1 2 ff x f x f γν.αυξ στο D< ⇒ (ή στο Δ).

αν ( ) ( )1 2 ff x f x f γν.φθιν στο D> ⇒ (ή στο Δ).

Εναλλακτική διατύπωση

(εξετάζουμε πρόσημο διαφοράς ( ) ( )∆ = − < < ∈1 2 1 2 1 2 f

f x f x 0, με x x οπου x ,x D )

( ) ( )∆ = − < ⇒1 2 f

f x f x 0 f γν.αυξ στο D

( ) ( )∆ = − > ⇒1 2 f

f x f x 0 f γν.φθιν στο D

Παραδείγμα1: Να βρεθεί η μονοτονία των συναρτήσεων

( ) ( ) ( ) ( )4 2 3f x 3 x 2 4 f x 3 2 x 7 f x x 3x 5 f x x 3x 7= − − = − − + = + − = + −

Παρατήρηση: Ειδικά για την ύψωση σε άρτια δύναμη πρέπει και τα δύο μέλη της ανισότητας να είναι

ΘΕΤΙΚΑ. Αν δεν είναι παίρνω περιπτώσεις. Για ύψωση σε περιττή δύναμη δεν έχω κανέναν περιορισμό.

Β’ Τρόπος: Λόγος μεταβολής.

• Βρίσκω fD θεωρώ 1 2 1 2x x x x 0< ⇒ − < .

• Γράφω το λόγο μεταβολής( ) ( )1 2

1 2

f x f xλ

x x

−=

−.

• Κάνω όλες τις δυνατές πράξεις και μετασχηματισμούς (παραγοντοποίηση – συζυγή

παράσταση κ.λπ.) με σκοπό να απαλοιφεί η διαφορά 1 2x x− με απλοποίηση.

• Αν λ 0> ⇒ f γν.αυξ στο fD .

Αν λ 0< ⇒ f γν.φθιν στο fD .

Αν λ 0= ⇒ f σταθερή στο fD .

Παράδειγμα 2: Να βρεθεί η μονοτονία της ( )f x 3 x 2 4= − − .

Σχετικά με τις πράξεις στις ανισότητες έχω: Στο ℝ γίνεται η πρόσθεση ομοιόστροφων

ανισοτήτων κατά μέλη και στο R+ ο πολλαπλασιασμός, η ύψωση σε δύναμη και η εξαγωγή της

ρίζας. Όταν αντιστρέφουμε τα μέλη μιας ανισότητας,

αυτή αλλάζει φορά αν αυτά είναι ομόσημα και διατηρεί

τη φορά αν είναι ετερόσημα.

Αφαίρεση και διαίρεση ανισοτήτων κατά μέλη δεν γίνεται.

(Θα μάθουμε παρακάτω έναν άλλο τρόπο εύρεσης μονοτονίας

με χρήση παραγώγων που θα αντιμετωπίζει

πιο σύνθετες παραστάσεις).

Παρατήρηση: Αν ο τύπος της ( )f x περιέχει περισσότερες

από μία διαφορετικού τύπου συναρτήσεις

π.χ. εκθετική, πολυωνυμική, λογάριθμο, κ.λπ.

τότε δουλεύω αποκλειστικά με αυτόν τον τρόπο

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 15-1. Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση ( ) ( ) 2 xf x ln x 1 e −= − − .

Λύση

Η f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ( )1,Α = +∞ . Για κάθε 1 2 1 2x ,x με x x∈Α < , έχουμε:

Η ΕΥΡΕΣΗ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΜΑΣ

ΒΟΗΘΑΕΙ ΣΤΟ ΝΑ

ΑΠΟ∆ΕΙΞΟΥΜΕ ΚΑΙ

ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ.



• ( ) ( )1 2 1 2x 1 x 1 και ln x 1 ln x 1− < − − < − (1) αφού η συνάρτηση ln x είναι γνησίως αύξουσα.

• 1 2 1 22 x 2 x 2 x 2 x1 2 1 2x x 2 x 2 x και e e e e− − − −− > − ⇔ − > − > ⇔ − < − (2) αφού η συνάρτηση xe είναι γνησίως

αύξουσα.

Με πρόσθεση κατά μέλη των (1) και (2) έχουμε ( ) ( )1 22 x 2 x1 2ln x 1 e ln x 1 e− −− − < − − , δηλαδή ( ) ( )1 2f x f x< .

Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα.

15-2. Να βρεθεί η μονοτονία της συνάρτησης ( )f x 1 x 2= − − .

Λύση

Πεδίο ορισμού [ )2,Α = +∞ . Είναι

( ) ( ) ( )( )( )( )

( )( )( )

1 2 1 21 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 21 2 1 2

x 2 x 2 x 2 x 2f x f x 1 x 2 1 x 2λ

x x x x x x x 2 x 2

x x 10

x 2 x 2x x x 2 x 2

− − − − + −− − − − + −= = = =

− − − − + −

− −= = − <

− + −− − + −

Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο [ )2,+∞ .

15-3. i) Να αποδειχθεί ότι αν οι συναρτήσεις f και g είναι γνησίως αύξουσες στο σύνολο Α

και ( ) ( )f x 0, g x 0> > για κάθε x∈Α , τότε και η συνάρτηση fg είναι γνησίως αύξουσα.

ii) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση ( ) 3f x x ημx= είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημαπ

0,2

.

Λύση

i) Έστω 1 2x ,x ∈Α με 1 2x x< . Τότε ισχύει ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 20 f x f x και 0 g x g x< < < < .

Οπότε ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1 2 2 1 2f x g x f x g x fg x fg x< ⇔ < που σημαίνει ότι η fg είναι γνησίως αύξουσα στο

Α.

ii) Στο διάστημαπ

0,2

η συνάρτηση ( ) 31f x x= είναι γνησίως αύξουσα, καθώς και η ( )2f x ημx= .

Επιπλέον ( ) ( )1 2

πf x 0 και f x 0 για x 0,

2

> > ∈ . Επομένως η συνάρτηση ( ) ( )( ) 3

1 2f x f f x x ημx= = είναι

γνησίως αύξουσα στοπ

0,2

. Επειδή ( )f x 0 για x 0= = , έχουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στοπ

0,2

.

15-4. Δίνονται οι συναρτήσεις →ℝ ℝf,g : γνησίως αύξουσες στο R.

i) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση gof είναι γνησίως αύξουσα στο R.

ii) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (i) να εξεταστεί ως προς τη μονοτονία η

συνάρτηση ( ) ( )33h x 2x 1 5= + + .

Λύση

i) Έστω 1 2 1 2x ,x R με x x∈ < . Τότε ισχύει ( ) ( )1 2f x f x< . Επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα θα

είναι ( )( ) ( )( )1 2g f x g f x< ή ( )( ) ( )( )1 2gof x gof x< που σημαίνει ότι η gof είναι γνησίως αύξουσα στο R.

ii) Έστω ( ) ( )3 3f x 2x 1 και g x x 5= + = + . Οι συναρτήσεις f και g είναι γνησίως αύξουσες στο R. Άρα η

συνάρτηση ( )( ) ( )33gof x 2x 1 5= + + είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

15-5. Να δειχθεί ότι αν οι f, g είναι γνησίως αύξουσες σε διάστημα Δ, τότε και η f g+ είναι γνησίως

αύξουσα στο Δ.

Λύση

Αφού οι f, g γνησίως αύξουσες για 1 2x x< είναι ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x f x , g x g x< < και προσθέτοντας κατά

μέλη ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2f x g x f x g x+ < + . Άρα η f g+ είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.



15-6. Αν για την συνάρτηση ( ) ( )+∞ → +∞f : 0, 0, και ισχύει:

( )( )

≤f x y

xf y(1) για κάθε ( )∈ +∞x,y 0, με >x y τότε η f είναι γνησίως αύξουσα.

Λύση

Για κάθε ( )∈ +∞1 2

x ,x 0, με <1 2

x x (2) θα δείξουμε ότι < ⇔ <21 2

1

f(x )f(x ) f(x ) 1

f(x ), αφού

>1 2

f(x ), f(x ) 0 (υποθ.) .Θέτουμε στην (1) όπου =2

x x και =1

y x και έχουμε:

( )( )

≤ <2 1

21

f x x1

xf x.Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα.

15-7.Δίνεται συνάρτηση →ℝ ℝf : για την οποία ισχύουν :

• + = +f(x y) f(x) f(y) για κάθε ∈ℝx, y (1)

• >f(x) 0 για κάθε >x 0 (2)

Να δείξετε ότι η f είναι περιττή και γνησίως αύξουσα. Λύση

Η (1) ισχύει για κάθε ∈ℝx, y άρα θα ισχύει και για = =x y 0 έτσι

+ = + ⇔ = + ⇔ =f(0 0) f(0) f(0) f(0) f(0) f(0) f(0) 0

Η (1) ισχύει για κάθε ∈ℝx, y άρα θα ισχύει και για = −y x

− = + − ⇔ = + − ⇔ = + − ⇔ − = −f(x x) f(x) f( x) f(0) f(x) f( x) 0 f(x) f( x) f( x) f(x) για κάθε ∈ℝx (3)

Έστω ∈ℝ1 2

x ,x με <1 2

x x θα εξετάσουμε το πρόσημο της διαφοράς

∆ = − = + − = + − = − >(3) (1)

2 1 2 1 2 1 2 1f(x ) f(x ) f(x ) f( x ) f(x ( x )) f(x x ) 0 από την (2) άρα

− > ⇔ >2 1 2 1

f(x ) f(x ) 0 f(x ) f(x ) έτσι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 15-8. Να δείξετε ότι:

i)Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση f− είναι γνησίως

φθίνουσα στο Δ.

ii)Αν δύο συναρτήσεις gf , είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση gf + είναι

γνησίως αύξουσα στο Δ.

iii)Αν δύο συναρτήσεις gf , είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ και ισχύει 0)( ≥xf και 0)( ≥xg

για κάθε ∆x ∈ , τότε η συνάρτηση fg είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

Ανάλογα συμπεράσματα διατυπώνονται, αν οι gf , είναι γνησίως φθίνουσες σε ένα διάστημα Δ

15-9. Αν για δύο συναρτήσεις f,g ορίζεται η συνάρτηση gof, και οι f,g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας τότε

η gof είναι γνησίως αύξουσα, ενώ αν είναι διαφορετικού είδους μονοτονίας τότε η gof είναι γνησίως

φθίνουσα. Εξετάστε όλες τις περιπτώσεις.

15-10. Να μελετηθεί η συνάρτηση ( ) x 3f x 3 ln x 4e 2x 4x 3= + + + + ως προς τη μονοτονία.

15-11. Να μελετηθεί η συνάρτηση ( ) 2 xf x =3x +e , x 0≥ ως προς τη μονοτονία.

15-12. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f όταν:

α. ( ) 5-xf x =2e -3 και β. ( ) ( )2f x = x-2 -2, x 2≤ .

15-13. Nα βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες

γνησίως φθίνουσες;

i) f(x)= 1-x ii) f(x)=2ln(x-2)-1 iii) 1-xf(x)=3e +1 iv) 2f(x)=(x-1) -1 , x 1≤ .

15-14. Μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη και ( ) ( )f 1 -f 3 >0 . Να βρείτε τη μονοτονία της f.

15-15. Μια συνάρτηση f: →ℝ ℝ έχει την ιδιότητα ( ) ( ) ( )f x+y =f x +f y για κάθε x,y∈ℝ . Αν ( )f x >0 για

κάθε x>0 , να αποδειχθεί ότι:

α. ( )f 0 =0 , β. η f είναι περιττή και γ. η f είναι γνησίως αύξουσα.

15-16. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x =2x-6 .



α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

β. Να χαράξετε τη γραφική της παράσταση

γ. Να εξετάσετε αν η f έχει ακρότατα.

15-17. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις ( ) ( )3

f x = x-2 , h x = -x

.

15-18. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:A → ℝ .

α. Αν οι f,g είναι γνησίως αύξουσες (αντ. γν. φθίνουσες) να αποδείξετε ότι και h (f+g) είναι γνησίως

αύξουσες (αντ. γν. φθίνουσες)

β. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα, να αποδείξετε ότι η –f είναι γνησίως φθίνουσα

γ. Αν οι f και g είναι γνησίως αύξουσες με θετικές τιμές, τότε και η fg είναι γνησίως αύξουσα.


f x =x-2

. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα

( ) ( ),2 και στο 2,+−∞ ∞ . Είναι η f γνησίως μονότονη;

12-20.Αν →ℝ ℝf: είναι γνησίως φθίνουσα περιττή συνάρτηση να την εξετάσετε ως προς το πρόσημο

της.

15-21. Δίνεται η συνάρτηση ( ) [ ]f x = x-1+x-2,x 1,5∈ .

α. Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία

β. Να αποδείξετε ότι ( ) [ ]f x 1,5∈ − , για κάθε [ ]x 1,5∈ .

15-22. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ και

1 2 100 1 2 100x ,x ,...x με x x ... x< < < . Αν ( ) ( ) ( )1 2 100 1f x f x ... f x+ + + = , να αποδείξετε ότι ( )1 0 01f x ,> .

15-23. Έστω η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f στο Δ και 1 2 5 1 2 5x ,x ,...x Δ με x x ... x∈ < < < . Αν

( ) ( ) ( )1 2 5 1f x f x ... f x+ + + = , να δείξετε ότι ( )1 0 2f x ,≤

15-24. Έστω η συνάρτηση →ℝ ℝf: για την οποία ισχύουν:

• f(x+y)=f(x)+f(y)-1 για κάθε ∈ℝx,y

• f(x)>1 για κάθε >x 1

Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

(Υπόδειξη: Πάρτε την διαφορά 2 1

f(x )-f(x ) για ∈ℝ1 2 1 2

x <x ,x ,x ……)

Μην σας τρομάζει η

διαδικασία για την εύρεση

της μονοτονίας ,σε επόμενη ενότητα θα μάθουμε

απλούστερο τρόπο για την

εύρεση της.



16. ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ

Μία συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο Ax ∈0 τοπικό ελάχιστο, όταν

υπάρχει 0>δ , τέτοιο ώστε

)()( 0xfxf ≥ , για κάθε ),( 00 δxδxAx +−∩∈ .

Το 0x λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το )( 0xf τοπικό ελάχιστο της f.

Αν η ανισότητα )()( 0xfxf ≥ ισχύει για κάθε Ax∈ , τότε, η f παρουσιάζει στο Ax ∈0 ολικό ελάχιστο

ή απλά ελάχιστο, το )( 0xf .

Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο Ax ∈0 τοπικό μέγιστο, όταν

υπάρχει 0>δ , τέτοιο ώστε

)()( 0xfxf ≤ για κάθε ),( 00 δxδxAx +−∩∈ .

Το 0x λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το )( 0xf τοπικό μέγιστο της f.

Aν η ανισότητα )()( 0xfxf ≤ ισχύει για κάθε Ax∈ , τότε η f παρουσιάζει στο Ax ∈0 ολικό μέγιστο ή

απλά μέγιστο, το )( 0xf .

Ο ΑΡΙΘΜΟΣ 0x ΟΝΟΜΑΖΕΤΑΙ ΘΕΣΗ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ (…ΣΤΟ 0x )

Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ( )0f x ΟΝΟΜΑΖΕΤΑΙ ΤΙΜΗ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ (…ΤΟ ( )0f x )

ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ( 0x , ( )0f x ) ΟΝΟΜΑΖΕΤΑΙ ΣΗΜΕΙΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ

• Βρίσκω το ( )f Α . Απαιτώ η εξίσωση ( )f x y= να έχει λύση ως προς x.

• Αν ( )f α,βΑ = τότε ελάχιστο το α, μέγιστο το β.

Αν ( ) (f α,βΑ = τότε μέγιστο το β, και όχι ελάχιστο.

Αν ( ) ( )f α,βΑ = τότε όχι ακρότατα.

Αν ( ) )f α,βΑ = τότε ελάχιστο το α, και όχι μέγιστο.

• Θέτω στον τύπο όπου y τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή της f και λύνω ως προς x για να βρω

την αντίστοιχη θέση μέγιστου ή ελάχιστου. Ή κατασκευάζω συνθετικά σχέση της

μορφής ( )f x α≥ ή ( )f x α≤ που σημαίνει ακρότατο.

Παράδειγμα 1: Να βρεθεί το μέγιστο και ελάχιστο των συναρτήσεων και οι αντίστοιχες θέσεις αυτών.

( ) ( ) [ ] ( ) ( )2

2

x 2x 11 : f x 1 3x, 1,0 2 : f x

x x 1

− += − Α = − =

+ +

Ειδική Περίπτωση: Αν η ( )f x είναι τριώνυμο τότε έχει ακρότατο ελάχιστο το σημείο της κορυφής

της παραβολήςαν α 0 ελαχιστοβ

,αν α 0 μεγιστο2α 4α

>−∆ Κ − <

Προσοχή

Αν αποδείξουμε ότι για μια συνάρτηση f ισχύει ≤f(x) M (1) για κάθε ∈ℝx για να είναι ολικό

μέγιστο το Μ πρέπει στην (1) να ισχύει το ίσο τουλάχιστον μια φορά.

(Ανάλογα για ≥f(x) m... )

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 16-1. Να βρείτε τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων

( ) ( ) ( ) ( )42i).f x x 2x 5 ii).f x 3 x 1 2 iii).f x 1 2ημx= − + − = − − = −

Λύση

i). Η f παρουσιάζει στο( )

β 21

2α 2 1− = − =

⋅ − μέγιστο το

( )16

44α 4 1

∆ −− = − = −

⋅ −.

ii). Είναι fD R= . Για κάθε x R∈ ισχύει ( )4x 1 0− ≥ (το = ισχύει για x 1= )..

Έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4x 1 0 3 x 1 0 3 x 1 2 2 f x 2 f 1− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − − ≥ − ⇔ ≥ − = .

Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 1 το ( )f 1 2= − .



iii). Είναι fD R= . Για κάθε ∈ℝx ισχύει 1 ημx 1− ≤ ≤ , όπου το = αριστερά του ημx ισχύει

για = − ∈ℤπ

x 2κπ , κ2

, και το = δεξιά του ημx ισχύει για = + ∈ℤπ

x 2κπ , κ2

.

Έχουμε ( ) − ≤ ≤ ⇔ ≥ − ≥ − ⇔ ≥ − ≥ − ⇔ − ≥ ≥ − ∈

ℤ

π π1 ημx 1 2 2ημx 2 3 1 2ημx 1 f 2κπ f x f 2κπ , κ

2 2.

Άρα η f παρουσιάζει στα σημείαπ

2κπ2

− μέγιστο το 3, και στα σημείαπ

2κπ2

+ ελάχιστο το -1, ∈ℤκ .

16-2. Να βρεθεί το μέγιστο και ελάχιστο της συνάρτησης f και οι αντίστοιχες θέσεις αυτών με

( ) 2f x 1 4 x= − − .

Λύση

Πεδίο ορισμού [ ]2 2 2 24 x 0, x 4, 2,2 y 1 4 x , 4 x 1 y− ≥ ≤ Α = − = − − − = − . Πρέπει 1 y 0, y 1 (1)− ≥ ≤

( ) ( )2 22 24 x 1 y , x 4 1 y− = − = − − . Πρέπει ( )2 24 1 y 0, y 2y 3 0− − ≥ − − ≤ . Ισχύει όταν 1 y 3− ≤ ≤ (2).

Από τις (1) και (2) έχουμε κοινή λύση την 1 y 1− ≤ ≤ . Έτσι το σύνολο τιμών είναι ( ) [ ]f A 1,1= −

για 2y 1 : 1 4 x 1, x 0= − − − = − =

για 2y 1 : 1 4 x 1, x 2= − − = = ± .

Ελάχιστο -1 για x 0= και μέγιστο 1 για x 2= ± .

16-3.Δινεται η συνάρτηση →ℝ ℝf : η οποία παρουσιάζει ολικό ελάχιστο μόνο στο =f(2) 3 .Αν

ισχύει − + − =2 2 2f(α 7) f(α 7β ) 6 .Να βρείτε τις τιμές των α,β.

Λύση

Από υπόθεση ισχύει:

≥ =f(x) f(2) 3 για κάθε ∈ℝx και το = ισχύει μόνο για =x 2 .Τότε έχουμε:

− ≥2f(α 7) 3 και το = ισχύει μόνο για − =2α 7 2

− ≥2 2f(α 7β ) 3 και το = ισχύει μόνο για − =2 2α 7β 2

Άρα ισχύει − + − ≥2 2 2f(α 7) f(α 7β ) 6 το = ισχύει μόνο για

= ± = ± = ± = ± − = = = ± ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

= ±− = − = − = − =− = − =

2 2

2 2 2 2 22 2 2 2

α 3 α 3 α 3 α 3α 7 2 α 9 α 3

β 1α 7β 2 9 7β 2 7β 7 β 1α 7β 2 α 7β 2

16-4. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ℝ παρουσιάζει ελάχιστο μ και μέγιστο Μ .Να αποδείξετε

ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς α,β ισχύει: α β

µ+

≤ ≤ Μ3 ( ) 17 ( )

20

f f

Λύση

Εφόσον η συνάρτηση f , με πεδίο ορισμού ℝ , παρουσιάζει ελάχιστο μ και μέγιστο Μ ισχύει:

µ α µ α α βµ α β µ

µ β µ β ≤ ≤ Μ ≤ ≤ Μ +

⇔ + ⇒ ≤ + ≤ Μ ⇔ ≤ ≤ Μ ≤ ≤ Μ ≤ ≤ Μ

( ) 3 3 ( ) 3 3 ( ) 17 ( )( ) 20 3 ( ) 17 ( ) 20

( ) 17 17 ( ) 17 20

f f f ff f

f f

16-5 .Να βρείτε αν έχει ολικό ακρότατο η συνάρτηση = − +( ) 2 1 3f x x .

Λύση

Εργαζόμαστε συνθετικά, για κάθε ∈ℝx ισχύει:

− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≥1 0 2 1 0 2 1 3 3 ( ) 3x x x f x .Αλλά από τον τύπο παρατηρούμε ότι =(0) 3f

Αποδείξαμε ότι ≥( ) (0)f x f για κάθε ∈ℝx άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο 3 για x=0.



16-6.Αν για μια συνάρτηση f ισχύει − ≤5 ( ) 4 11f x για κάθε ∈ℝx , να βρείτε τα πιθανά ακρότατα

της f.

Λύση

Για κάθε ∈ℝx ισχύει:

− ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤7

5 ( ) 4 11 11 5 ( ) 4 11 7 5 ( ) 15 ( ) 35

f x f x f x f x

Άρα η f παρουσιάζει πιθανά ακρότατα. Ελάχιστο ίσο με −7

5 και μέγιστο ίσο με 3 .Για να είναι βέβαια τα

ακρότατα αρκεί να υπάρχουν 1

x και 2

x ώστε να ισχύουν = −1

7( )

5f x και =

2( ) 3f x .

16-7. Αν για τις συναρτήσεις →ℝ ℝ, :f g ισχύει:

• + =2 2( ) ( ) 2f x g x για κάθε ∈ℝx

•Οι γραφικές παραστάσεις των f,g τέμνονται πάνω στην ευθεία = 2x .

Να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης =( ) ( ) ( )h x f x g x , ∈ℝx . Λύση Για κάθε ∈ℝx ,

( )− ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ ⇔

⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥

2 2 2( ) ( ) 0 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0 2 2 ( ) ( ) 0

2 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )

f x g x f x g x f x g x f x g x

f x g x f x g x h x

Θα δείξουμε ότι =max ( ) 1h x , δηλαδή θα δείξουμε ότι υπάρχει =0

1x τέτοιο , ώστε : =0

( ) 1h x

Από υπόθεση, =(2) (2),f g οπότε από την ταυτότητα:

( )− = ⇔ + − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =2 2 2(2) (2) 0 (2) (2) 2 (2) (2) 0 2 2 (2) (2) 0 (2) (2) 1 (2) 1f g f g f g f g f g h

Άρα ≤( ) (2)h x h για κάθε ∈ℝx

16-8.Δινεται συνάρτηση →ℝ ℝ:f που είναι γνησίως φθίνουσα για την οποία ισχύει

+ <( 2017) ( ( ))f x f f x για κάθε ∈ℝx

Να δείξετε ότι η f δεν έχει ολικό ελάχιστο. Λύση

Έστω ότι η f έχει ολικό ελάχιστο το =0

( )f x µ .Τότε ισχύει

≥( )f x µ (1) για κάθε ∈ℝx

Αλλά για κάθε ∈ℝx

+ < ⇒ + >ց

( 2017) ( ( )) 2017 ( )f

f x f f x x f x (2) από (1),(2)

+ > ≥ ⇔ + >2017 ( ) 2017x f x xµ µ για κάθε ∈ℝx , άτοπο, δεν υπάρχει πραγματικός που είναι

μικρότερος όλων των άλλων πραγματικών αφού για παράδειγμα = − 2018x µ

− + > − >2018 2017 1ήµ µ µ µ .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 16-9. Να βρεθούν τα ακρότατα της ( ) 2f x = -x +1 .

16-10. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση ( )2

2

x -x+1f x =

x +x+1 έχει μέγιστο το 3 και ελάχιστο το

1

3.

16-11. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x = 4- x-5 .

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

β. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη

γ. Να βρείτε το ολικό μέγιστο και το ολικό ελάχιστο της συνάρτησης.

16-12. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x = 4- x-3 .


β. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα

γ. Να βρείτε τα ολικά ακρότατα της f.



16-13. α. Να δείξετε ότι 1

θ+ 2θ

≥ για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό θ.

β. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης ( ) x -xf x =7 +7 .

16-14. Να βρεθεί ο κ *∈ℝ , ώστε η συνάρτηση ( ) 2 13f x =κx -3κx-

2 να έχει μέγιστο τον κ.

16-15. Ένας μαθητής βρήκε ότι για μια συνάρτηση f:A → ℝ ισχύει ότι ( ) ≤f x 2017 , για κάθε x∈ A .

Συμπέρανε έτσι ότι η f έχει ελάχιστο το -2017 και μέγιστο το 2017. Είχε δίκιο;

16-16.Δινεται η συνάρτηση →ℝ ℝf : η οποία παρουσιάζει ολικό μεγχιστο μόνο στο =f(3) 4 .Αν ισχύει

− + + − =f(2α 1) f(α 2β 3) 6 .Να βρείτε τις τιμές των α,β.

16-17.Αν για τις συναρτήσεις →ℝ ℝ, :f g ισχύει:

• + =2 2( ) ( ) 1f x g x για κάθε ∈ℝx

•Οι γραφικές παραστάσεις των f,g τέμνονται πάνω στην ευθεία = 1x .

Να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης =( ) ( ) ( )h x f x g x , ∈ℝx .

16-18. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) +∈

+ℝ

2

1f x = ,

4

xx

x έχει ελάχιστο

−=

1 5

8m και μέγιστο

+=

1 5

8M .

16-19.Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμούℝ παρουσιάζει ελάχιστο m και μέγιστο M .Να αποδείξετε ότι

για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού x ισχύει:

( )− + + ≤2f x ( ) ( ) 0m M f x mM

16-20. Αν για τις συναρτήσεις →ℝ ℝ, :f g ισχύει:

= + + +2( ) 2 1 ( ) 1f x x g x , ∈ℝx

Να βρείτε την ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση των Cf,Cg.

16-21.Δινεται συνάρτηση →ℝ ℝ:f που είναι γνησίως φθίνουσα για την οποία ισχύει

+ >( 2) ( ( ))f x f f x για κάθε ∈ℝx

Να δείξετε ότι η f δεν έχει ολικό μέγιστο .

∆εν είναι ανάγκη να το παίρνεις

κατάκαρδα, φτάνει να το δεις από

διαφορετική οπτική ..γωνία!!



17. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ‘’1-1’’ Ορισμός: Έστω f συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α αν για κάθε 1 2 1 2x ,x με x x∈Α ≠

ισχύει ( ) ( )1 2f x f x≠ τότε η f λέγεται ‘’1-1’’ στο Α ή ισοδύναμα ( ) ( )1 2 1 2f x f x x x= ⇒ = .

• Η ιδιότητα ‘’1-1’’ γραφικά σημαίνει ότι κάθε παράλληλη ευθεία προς τον άξονα x’x τέμνει τη fC

το πολύ σε ένα σημείο ή με διαφορετικό τρόπο σημαίνει ότι η εξίσωση ( )f x κ= έχει το πολύ μία

ρίζα για κάθε τιμή του κ.

• Η εκθετική και η λογαριθμική συνάρτηση ( ) xf x α= ( )xe και ( ) ( )=α

g x log x ln x είναι ‘’1-1’’

συναρτήσεις δηλαδή από τις ισότητες ( ) ( ) ( ) ( )2f α f β , f συνx 1 f ημ x 1= − = + προκύπτει

άμεσα 2α β, συνx 1 ημ x 1= − = + αντίστοιχα.

Θεώρημα: Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι και ‘’1-1’’ .

(Χρησιμοποιείται κατά κόρον σε ασκήσεις παρότι δεν αναφέρεται ρητά στο σχολικό βιβλίο, η απόδειξη

γίνεται εύκολα με άτοπο, στις επαναληπτικές στο τέλος του φυλλαδίου δίνονται δυο αποδείξεις )

Το αντίστροφο δεν αληθεύει πάντα, δηλαδή αν είναι ‘’1-1’’ δεν σημαίνει ότι θα είναι γνησίως

μονότονη.

Για παράδειγμα η συνάρτηση ( ) ≤ ≤=

− < <

x,0 x 1f x

3 x,1 x 2 είναι 1-1 αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη.

Μπορείτε να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της f και να «δείτε» ότι δεν είναι γνησίως

μονότονη.

Το αντίθετοαντίστροφο ισχύει, δηλαδή αν δεν είναι ‘’1-1’’ δεν είναι γνησίως μονότονη. (ΤΟ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΕΝΟΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ ΠΑΝΤΑ, ΟΜΩΣ ΤΟ ΑΝΤΙΘΕΤΟΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ

ΙΣΧΥΕΙ ΠΑΝΤΑ)

ΠΡΟΣΟΧΗ: Η συνεπαγωγή ( ) ( )1 2 1 2x x f x f x= ⇒ = ΙΣΧΥΕΙ ΠΑΝΤΑ.

‘’1-1’’: Απόδειξη της ιδιότητας ‘’1-1’’.

Α’ τρόπος (χρησιμοποιείται συνήθως σε ασκήσεις που είναι γνωστός ο τύπος της f).

• Υποθέτω ότι ( ) ( )1 2f x f x= .

• Εκτελώ τις πράξεις στη σχέση ( ) ( )1 2f x f x=

• Αν εξαχθεί άμεσα 1 2x x= τότε η f είναι ‘’1-1’’.

• Σε διαφορετική περίπτωση μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ένα μέλος, παραγοντοποιούμε

ώστε να έχουμε γινόμενο της μορφής ( ) ( )1 2 1 2x x x ,x 0− Π = . Για να είναι η συνάρτηση ‘’1-1’’ θα

πρέπει να μην μηδενίζεται ο παράγοντας ( )1 2x ,xΠ για κάθε τιμή των 1 2x ,x , δηλαδή πρέπει να

βγει αποκλειστικά 1 2x x= .

• Ή αλλιώς κατασκευάζουμε με σύνθεση ( )( ) ( )( )1 2f f x f f x= ή με πράξεις ( ) ( )3 31 2f x f x= τους

όρους της σχέσης που δόθηκε. Τελικά προκύπτει 1 2x x= .

Παράδειγμα 1: Να εξεταστεί αν είναι ‘’1-1’’ η συνάρτηση ( )f x 3x 4= +

Παράδειγμα 2: Να εξεταστεί αν είναι ‘’1-1’’ οι συναρτήσεις ( ) ( )2 3f x x x 1 f x x 2x 1= − + = + + .

Β’ τρόπος Μονοτονία (χρησιμοποιείται συνήθως όταν αναγνωρίζω τη μονοτονία της f, όταν έχω

πολυώνυμο με όλους τους όρους περιττού βαθμού ή άθροισμα διαφορετικού τύπου συναρτήσεων,

π.χ. xln x,e , κ.λπ.).

• Βρίσκω τη μονοτονία της f.

• Αν η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη τότε είναι ‘’1-1’’.

• Αν αλλάζει η μονοτονία, τότε κάνουμε χρήση του Α’ τρόπου.

Παράδειγμα 3: Να εξεταστεί αν είναι ‘’1-1’’ η συνάρτηση ( ) xf x 2 x e= − − .

Για να δείξω ότι μια συνάρτηση δεν είναι ‘’1-1’’ αρκεί να έρθω σε αντίφαση με τον ορισμό.

Α’ τρόπος (αντιπαράδειγμα).

Αναζητώ να βρω δύο συγκεκριμένες τιμές 1 2x ,x διαφορετικές μεταξύ τους ( )1 2x x≠ και

αποδεικνύω ότι ( ) ( )1 2f x f x= .

Παράδειγμα 4: ( ) 2f x x= .



Γενικά η χρήση του αντιπαραδείγματος εφαρμόζεται όταν θέλω να αποδείξω ότι ΜΙΑ ΣΧΕΣΗ ΔΕΝ

ΙΣΧΥΕΙ.

Β’ τρόπος

Αποδεικνύω ότι η f είναι άρτια ή περιοδική, οπότε δεν θα είναι ‘’1-1’’, αφού:

• Αν f άρτια, έχω ( ) ( )f x f x για x x− = − ≠ .

• Αν f περιοδική «επαναλαμβάνονται» κάποιες τιμές.

(Γενικά οι πολυωνυμικές συναρτήσεις με άρτιους βαθμούς, θα υποψιαζόμαστε ότι δεν είναι ‘’1-1’’).

Παράδειγμα 5: ( ) ( )2f x x 9 , f x ημx= − = .

Προσοχή: Η f μπορεί σε ένα διάστημα Α να μην είναι ‘’1-1’’ αλλά σε ένα διάστημα Β με Β ⊆ Α μπορεί να

είναι ‘’1-1’’.

Παράδειγμα 6: ( ) [ )2f ff x x με D R, D 0,= = = +∞

1).Κλαδωτες συναρτήσεις

Βρίσκω αν είναι ‘’1-1’’ σε κάθε τύπο.

• Αν δεν είναι τότε η f όχι ‘’1-1’’.

• Αν είναι τότε θεωρώ 1x στο ένα διάστημα, 2x στο άλλο και προσπαθώ να επαληθεύσω τον

ορισμό (κατασκευάζω κατά περίπτωση τα ( ) ( )1 2f x ,f x ή αλλιώς βρίσκω το πεδίο τιμών του

κάθε κλάδου και αν έχουν ένα τουλάχιστον κοινό στοιχείο τότε η f όχι ‘’1-1’’.

Παράδειγμα 7: Να εξεταστεί αν είναι ‘’1-1’’ η συνάρτηση ( ) 2

2x 1, x 0f x

x 1, 0 x

− ≤= + <

.

2). Αν υποψιαστώ από μια πρόχειρη γραφική παράσταση ότι δεν είναι ‘’1-1’’ δουλεύω με

αντιπαράδειγμα, δηλαδή ψάχνω δύο τιμές μία στον έναν κλάδο και μία στον άλλο οι οποίες να

είναι μεταξύ τους ίσες.

Παράδειγμα 8: ( )2x 2, x 0

f xx 1, x 0

+ ≥=

− + <,

Παρατηρούμε ότι : ( ) ( )− ≠ ⇒ − = =2 1 f 2 3 f 1

3)(Ανακεφαλαιώνοντας πως δείχνω ότι μια συνάρτηση δεν είναι 1-1)

Να αποδείξετε ότι δεν είναι 1-1 η συνάρτηση ( ) −= ∈

+ℝ

2

2

x 1f x ,x

x 1

Λύση

(Α τρόπος)

Αν υποθέσουμε ότι ( ) ( )=1 2

f x f x , έχουμε:

( ) ( ) − −= ⇒ = ⇒ − + = − + ⇔ ⇔ =

+ +

2 22 2 2 2 2 21 2

1 2 1 2 2 1 2 12 2

1 2

x 1 x 1f x f x (x 1)(x 1) (x 1)(x 1) ... x x

x 1 x 1

Από την οποία προκύπτει =2 1

x x ή = −2 1

x x .Κατά συνέπεια δεν ικανοποιείται η απαίτηση του ορισμού

της συνάρτησης 1-1.

(Β τρόπος)

Λύνουμε ως προς χ την εξίσωση ( )=y f x και βρίσκουμε:

−= ⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ − = +

+

22 2 2 2 2

2

x 1y x 1 yx y x yx y 1 x (1 y) y 1

x 1

Από την σχέση για ≠y 1 παίρνουμε : +

=−

2 y 1x

1 y, όπου

+≥

−

y 10

1 y και

+= ±

−

y 1x

1 y

Για ≠y 1 , η ανίσωση )+≥ ⇔ ⇔ ∈−−

y 10 .... y 1,1

1 y

Δηλαδή ,υπάρχουν )∈ −y 1,1 στα οποία αντιστοιχούν δυο τιμές του ∈x A .Αυτό σημαίνει ότι η f δεν

είναι 1-1.

( Γ τρόπος )

Εύρεση αντιπαραδείγματος με παρατήρηση



− ≠ ⇒ − = =1 1 f( 1) 0 f(1) ( δυο διαφορετικές τιμές του πεδίου ορισμού της f με ίσες τιμές) Άρα, η f δεν

είναι 1-1.

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 17-1. Έστω η συνάρτηση →ℝ ℝf : για την οποία ισχύει ( )( ) ( )x 3f f x e f x= + για κάθε ∈ℝx . Να

δείξετε ότι η f είναι ‘’1-1’’.

Λύση

Έχουμε για κάθε ∈ℝx ( )( ) ( ) ( )( ) ( )x 3 3 xf f x e f x f f x f x e= + ⇔ − = . Στο 2ο μέλος έχουμε τη συνάρτηση xe η

οποία είναι ‘’1-1’’. Έστω ( ) ( )1 2 1 2x ,x R και f x f x∈ = .

• Από τον ορισμό της f έχουμε ( )( ) ( )( )1 2f f x f f x= .

• Είναι ( ) ( )3 31 2f x f x= .

Οπότε ( )( ) ( ) ( )( ) ( )3 31 1 2 2f f x f x f f x f x− = − ή 1 2x x

1 2e e x x= ⇔ = , αφού η xe είναι ‘’1-1’’.

Άρα η f είναι ‘’1-1’’.

17-2. Δίνεται η συνάρτηση Α → ℝf : για την οποία ισχύει ( )f x 0> για

κάθε ( ) ( )x και f x x ln f x∈Α = − για κάθε x∈Α .

i) Να δείξετε ότι η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα.

ii) Να δείξετε ότι η f είναι ‘’1-1’’.

Λύση

i) Έστω ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. Τότε για κάθε 1 2 1 2x ,x με x x∈Α < θα είναι ( ) ( )1 2f x f x> , οπότε

και ( ) ( ) ( ) ( )> ⇔ − < −1 2 1 2

ln f x ln f x ln f x ln f x αφού η συνάρτηση ln x είναι γνησίως αύξουσα.

Άρα ( ) ( )1 1 2 2x ln f x x ln f x− < − ή ( ) ( )1 2f x f x< που είναι άτοπο. Άρα η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα.

ii) Έστω ( ) ( )1 2 1 2x ,x και f x f x∈Α = . Είναι ( ) ( )1 2ln f x ln f x= , οπότε ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2f x ln f x f x ln f x+ = + ,

άρα 1 2x x= . Άρα η f είναι ‘’1-1’’.

17-3. Έστω οι συναρτήσεις f ,g : R R→ με ( ) ( ) ( )2g x f x 5f x 6, x R= − + ∈ . Αν η f είναι γνησίως

μονότονη και τα σημεία ( ) ( )A 1,2 , B 1,3− ανήκουν στην fC να βρείτε τη σχετική θέση της gC με τον

άξονα x’x.

Λύση

Επειδή ( ) ( ) fA 1,2 , B 1,3 C− ∈ έχουμε ( ) ( )f 1 2 και f 1 3− = = . Αφού ( ) ( )1 1 και f 1 f 1− < − < αποκλείεται η f

να είναι γνησίως φθίνουσα και επειδή η f είναι γνησίως μονότονη, θα είναι γνησίως αύξουσα άρα και

‘’1-1’’. Είναι:

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f:''1 1''

2g x 0 f x -5f x +6=0 f x 2 η' f x 3 f x f 1 η' f x f 1 x 1 η' x 1−

= ⇔ ⇔ = = ⇔ = − = ⇔ = − = .

Άρα η gC τέμνει τον άξονα x’x στα σημεία -1 και 1.

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f:γν.αυξ

2g x 0 f x -5f x +6>0 f x 2 η' f x 3 f x f 1 η' f x f 1 x 1 η' x 1> ⇔ ⇔ < > ⇔ < − > ⇔ < − >

Άρα η gC είναι πάνω από τον άξονα x’x στα διαστήματα του x , ( ) ( ), 1 και 1,−∞ − +∞ .

• Η gC είναι κάτω από τον άξονα x’x στα διαστήματα του x , ( )1,1− .

17-4.Αν για κάθε ∈ℝx ισχύει ( ) ( )2 26f x f x 9− ≥ (1), να αποδείξετε ότι η f δεν είναι ‘’1-1’’.

Λύση

Η σχέση (1) για x 0 και x 1= = δίνει ( ) ( ) ( ) ( )2 26f 0 f 0 9 και 6f 1 f 1 9− ≥ − ≥ ,

δηλαδή ( ) ( ) ( ) ( )2 2f 0 6f 0 9 0 και f 1 6f 1 9 0− + ≤ − + ≤ , δηλαδή ( )( ) ( )( )2 2f 0 3 0 και f 1 3 0− ≤ − ≤ ,

οπότε ( ) ( )( )f 0 3 και f 1 3= = . Συνεπώς η f δεν είναι ‘’1-1’’.

17-5. Να δείξετε ότι είναι ‘’1-1’’ η συνάρτηση ( ) + <=

+ ≤2

2x 4, x 3f x

x 1, 3 x.

Λύση

Το πεδίο ορισμού της f είναι η ένωση των διαστημάτων των δυο κλάδων: ( ) )= −∞ ∪ +∞fD ,3 3,

Θα δείξουμε ότι η f είναι 1-1

•Αν ( )∈ −∞1 2

x ,x ,3 τότε



= ⇔ + = + ⇔ = ⇔ =1 2 1 2 1 2 1 2

f(x ) f(x ) 2x 4 2x 4 2x 2x x x

•Αν )∈ +∞1 2x ,x 3, τότε

)∈ +∞

= ⇔ + = + ⇔ = ⇔ =1 2x ,x 3,

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2f(x ) f(x ) 1 x 1 x x x x x

Αν ( )∈ −∞1

x ,3 , )∈ +∞2x 3, δηλαδή ≠

1 2x x .Τότε:

< ⇔ < ⇔ + < ⇔ <1 1 1 1

x 3 2x 6 2x 4 10 f(x ) 10 (1)

≥ ⇔ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥2 2

2 2 2 2x 3 x 9 1 x 10 f(x ) 10 (2)

Από (1) ,(2) διαπιστώνουμε ότι ≠1 2

f(x ) f(x ) άρα η f είναι 1-1.

17-6. Να εξεταστεί αν είναι ‘’1-1’’ η συνάρτηση ( )x 1, x 1

f x1 x 1, 1 x

+ <=

+ − ≤.

Λύση

Για x 1< : Η f είναι γνησίως αύξουσα ( )α 1 0= > άρα και ‘’1-1’’.

Για x 1≥ : Η f είναι γνησίως αύξουσα γιατί η x 1− είναι γνησίως αύξουσα οπότε και η x 1− και τελικά

η ( )1 x 1 f x+ − = . Έτσι η f ως γνησίως αύξουσα είναι συνάρτηση ‘’1-1’’ και στο διάστημα [ )1,+∞

βρίσκουμε τα σύνολα τιμών στις δύο περιπτώσεις:

x 1 : y x 1, x y 1< = + = − πρέπει y 1 1, y 2− < < . Έτσι το σύνολο τιμών για x 1< είναι ( ) ( )1f ,2Α = −∞ .

x 1 : y 1 x 1, y 1 x 1≥ = + − − = − (πρέπει y 1 0, y 1− ≥ ≥ ), ( ) ( )2 2y 1 x 1, x 1 y 1− = − = + − πρέπει

( ) ( )2 21 y 1 1, y 1 0+ − ≥ − ≥ ισχύει. Συνεπώς είναι y 1≥ , οπότε ( ) [ )2f 1,Α = +∞ .

Επειδή τα δύο σύνολα ( ) ( )1f ,2Α = −∞ και ( ) [ )2f 1,Α = +∞ έχουν κοινά στοιχεία (τα στοιχεία του

διαστήματος [ )1,2 η συνάρτηση f δεν είναι ‘’1-1’’ στο πεδίο ορισμού της R αλλά ‘’1-1’’ κατά διαστήματα.

17-7 . Ζητήθηκε από τον Τοτό να αποδείξει ότι η συνάρτηση

( ) 20 21,xf x e x x= + + ∈ℝ είναι 1-1.

Ο Τοτός έγραψε:

Για κάθε 1 2,x x ∈ℝ με:

1 2 1 2

1 2 1 2

( )1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

20 2020 20 20 21 20 21 ( ) ( )x x x x

x x x x

x x x xe x e x e x e x f x f x

e e e e

+ ≠ ≠ ⇔ ⇒ + ≠ + ⇔ + + ≠ + + ⇒ ≠

≠ ≠ άρα η f

είναι 1-1.

Ο καθηγητής του είπε ότι η απόδειξη του είναι λάθος. Ποιο είναι το λάθος;

Απάντηση

Δεν μπορούμε να προσθέσουμε κατά μέλη σχέσεις με διάφορο ( ≠ )

Δείτε το αντιπαράδειγμα: ( )2 5

5 53 5

+ ≠⇒ ≠

≠ που δεν προφανώς δεν ισχύει.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 17-8. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση ( ) 3f x =x +1 είναι συνάρτηση 1-1.

17-9. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( )x-2

f x =x+5

είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της.

17-10. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( )x

x

5 1f x =

5 1

−

+ είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της.

17-11. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g: →ℝ ℝ . Αν οι f και g είναι γνησίως αύξουσες στο ℝ , να αποδειχθεί

ότι η συνάρτηση f+g είναι 1-1.

17-12. Αν ( )( )f f x =x-5 για κάθε x∈ℝ , να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.



17-13.Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο ℝ τέτοια ώστε ( ) ( )2 3f x +f x +1=x +2 , για κάθε x∈ℝ . Να δείξετε

ότι η συνάρτηση f είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της.

17-14.Έστω f, g δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το ℝ .

α. Αν η συνάρτηση gof είναι 1-1, να αποδειχθεί ότι και f είναι 1-1.

β. Αν η συνάρτηση gof είναι 1-1 και η f έχει σύνολο τιμών το ℝ , να αποδειχθεί ότι και η g είναι ‘’1-1’’.

17-15.Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( )g x = x δεν είναι 1-1.

17-16.Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση ( ) 2013 2011 1940 2f x =x -x +x +x -1 δεν είναι 1-1.

17-17.Να εξετάσετε ποιες από τις συναρτήσεις

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − + + + = − − +5 31 1 2018 2017 2016f x x x x g x x xκαι είναι 1-1.

17-18. α. Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 29x -24x+16 και να λύσετε την εξίσωση 4x -1=0 .

β. Αν για τη συνάρτηση f ορισμένη στο ℝ ισχύει ( ) ( )429f x - x +1 24f x -16≤ για κάθε x∈ℝ να δείξετε ότι

η f δεν είναι 1-1 στο ℝ .

17-19. Να εξετάσετε αν είναι 1-1 η συνάρτηση ( )2x+1, x<0

f x =x+2, x 0

≥

στο πεδίο ορισμού της.

17-20 Να βρείτε τις τιμές του ∈ℝλ ώστε η + <

= + ≥

2

2 3, 1( )

3 , 1

x xf x

x xλ είναι 1-1.

Μια ομηρική 1-1 αντιστοιχία….

Στην οδύσσεια, το θρυλικό έπος του Ομήρου εξιστορείται ότι ο Οδυσσέας τύφλωσε το μονόφθαλμο

κύκλωπα Πολύφημο στο νησί των Κυκλώπων, ο άτυχος κύκλωπας ήταν υποχρεωμένος να κάθεται το

πρωί στην είσοδο της σπηλιάς του και να παίρνει από ένα σωρό, ένα βότσαλο για κάθε πρόβατο που

περνούσε έξω από την σπηλιά. Με αυτό τον τρόπο, αφού εξαντλούσε όλα τα βότσαλα που είχε

συγκεντρώσει το πρωί, ήταν σίγουρος πως όλα τα πρόβατα έχουν γυρίσει.

Μεγάλες στιγμές των μαθηματικών,Howard Eves



18 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ – ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ Για να αντιστρέφεται μια συνάρτηση f πρέπει να είναι ‘’1-1’’.

f : Α → Β τότε 1f :− Β → Α αν ( )f 1 3= τότε 1f f

1 3 3 1−

→ → δηλαδή ( )1f 3 1− = .

( ) f1,3 C∈ τότε ( ) 1f3,1 C −∈ ( ) ( )1f 3 7 f 7 3−= ⇔ = ( ) ( )1f x y f y x−= ⇔ = άρα ( )( ) ( )( )1 1f f x x f f x− −= = .

Οι 1f fC ,C − είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο y x= .( Θα επανέλθουμε σε αυτό..)

Αν γνωρίζω ότι υπάρχει η ( )1f x− αυτό σημαίνει ότι η f είναι ‘’1-1’’ και επίσης ότι η 1f− θα είναι‘’1-1’’.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ:

1). − −= =ℝ ℝ1 1f ff , fD D . Το πεδίο τιμών της 1f− δεν καθορίζεται από τον τύπο της αλλά από το fD .

2). Η εξίσωση ( )f x y= έχει μοναδική λύση ως προς x όταν η f είναι ‘’1-1’’.

3). Η εξίσωση ( )1f x y− = έχει μοναδική λύση ως προς x αφού η f είναι ‘’1-1’’.

4). Οι εξισώσεις ( )1f x x,− = ( )f x x,= είναι ισοδύναμες (οπότε αρκεί να λύσω μια από τις τρεις, την

πιο εύκολη). Αν οι 1f fC ,C − τέμνονται τότε υποχρεωτικά το σημείο τομής τους είναι πάνω στη

διχοτόμο.

5). Η f και η 1f− έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας (με απόδειξη σε ασκήσεις).

Δηλ. Αν f γνησίως αύξουσα, τότε και 1f− γνησίως αύξουσα (όμοια φθίνουσα)

Αν 1 2y y< θ.δ.ο. ( ) ( )1 11 2f y f y− −< .

Έστω ( ) ( ) ( )( ) ( )( )f γν.αυξ. f γν.αυξ.

1 1 1 11 2 1 2 1 2f y f y f f y f f y y y− − − −≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ άτοπο.

ΘΕΛΕΙ ΠΑΝΤΟΤΕ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΕ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ

• Βρίσκω το πεδίο ορισμού της f, έστω fD A= .

• Αποδεικνύω ότι η f είναι ‘’1-1’’ οπότε υπάρχει η αντίστροφη 1f− της f.

• Θέτω ( )y f x= και λύνω ως προς x σημειώνοντας συγχρόνως τους περιορισμούς του y (η

εξίσωση έχει μοναδική λύση ως προς x λόγω της ιδιότητας ‘’1-1’’.).

• Οι περιορισμοί του y καθορίζουν το ( )f A .

• Θέτω ( )1x f y−→ και αλλάζω τη θέση του y με το x τότε ( ) ( )1f y : f A R− → .

Παράδειγμα 1: ( ) xf x e 1= + .

• Αποδεικνύω το ‘’1-1’’.

• Θέτω όπου x το ( )1f x− και λόγω της ιδιότητας ( )( )1f f x x− = βρίσκω τελικά την ( )1f x− .

Παράδειγμα 2: Να βρεθεί αν υπάρχει, η αντίστροφη της συνάρτησης →ℝ ℝf : * όταν ισχύει η σχέση για

κάθε ∈ℝ*x ( ) ( )3f x xf x 1 0+ − = .

Όμοια δουλεύω και σε απόδειξη συνεπαγωγών.


18-1. Έστω η συνάρτηση ( ) xf x 2 e 1= + − .

i) Να δείξετε ότι η f είναι ‘’1-1’’.

ii) Να ορίσετε την αντίστροφη της f.

Λύση

i) Η f έχει πεδίο ορισμού το [ )0,Α = +∞ . Για κάθε 1 2x ,x ∈Α έχουμε

( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2x x x x x x x x1 2 1 2f x f x 2 e 1 2 e 1 e 1 e 1 e 1 e 1 e e x x= ⇔ + − = + − ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = ⇔ = .


ii)

Για κάθε x∈Α έχουμε

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2x x x x

2

f x y 2 e 1 y e 1 y 2 e 1 y 2 και y 2 0 e 1 y 2 και y 2

x ln x y 4y 5 1 και y 2

= ⇔ + − = ⇔ − = − ⇔ − = − − ≥ ⇔ = + − ≥

⇔ = − + ≥

Άρα η f έχει σύνολο τιμών το ( ) [ )f 2,Α = +∞ . Οπότε η 1f− έχει πεδίο ορισμού το ( )f Α .

Για τον τύπο της 1f− από (1) για κάθε ( )y f∈ Α έχουμε ( )1x f y−= , άρα ( ) ( )1 2f y ln y 4y 5− = − + (2).



( ) ( ) ( )1 2f x ln x 4x 5 , x f− = − + ∈ Α .

18-2. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση ( )2x , αν x 2

f x3x 2, αν x 2

≥=

− < αντιστρέφεται και να βρεθεί η 1f− .

Λύση

Έστω ( ) ( )∈ =ℝ1 2 1 2

x ,x με f x f x .

• Αν [ )1 2x ,x 2,∈ +∞ , τότε ( ) ( )( )2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2x x x x 0 x x x x 0= ⇔ − = ⇔ + − = . Επειδή 1 2x x 0+ ≠

(αφού 1 22 x x≤ < είναι 1 2x x 4+ ≥ ). Είναι 1 2 1 2x x 0 x x− = ⇔ = .

• Αν ( ) ( ) ( )1 2 1 2x ,x ,2 με f x f x∈ −∞ = , έχουμε 1 2 1 23x 2 3x 2 x x− = − ⇔ = .

• Αν 1 2x 2 x< < , δηλαδή 1 2x x≠ ,

έχουμε ( ) ( )21 1 1 1 2 2 2x 2 3x 6 3x 2 4 f x 4 και x 2 x 4 f x 4< ⇔ < ⇔ − < ⇔ < > ⇔ > ⇔ > ,

οπότε ( ) ( )1 2f x f x< , δηλαδή ( ) ( )1 2f x f x≠ .

Άρα η f είναι ‘’1-1’’. Επομένως αντιστρέφεται. Στην περίπτωση που x 2≥ , τότε 2x 4≥ , δηλαδή ( )f x 4≥ .

Έστω [ ) 2y 4, με x y∈ +∞ = , τότε x y= , αφού x 2≥ . Αν x 2< , τότε ( )f x 4< , οπότε για y 4<

είναιy 2

3x 2 y x 23

+− = ⇔ = < . Έτσι τελικά έχουμε ( )

x , αν x 4f x x 2

, αν x 43

≥

= +<

.

18-3. Δίνεται η συνάρτηση ( )→ = − +ℝ ℝ 3 2f : με f x x 3x 3x . Να εξεταστεί αν η f αντιστρέφεται και

να βρεθεί η 1f− .

Λύση

Αφαιρώ και προσθέτω τη μονάδα με σκοπό να βγει ταυτότητα.

Άρα ( ) ( ) ( ) ( )3 3

1 2 1 2 1 2f x f x x 1 1 x 1 1 x x= ⇔ − + = − + ⇔ = . Από την ( ) ( )3 3y x 1 1 x 1 y 1= − + ⇔ − = − οπότε

για κάθε ∈ℝy υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα ∈ℝx , άρα η f έχει σύνολο τιμών τοℝ . Άρα υπάρχει

( )− + − ≥

→ = − − <

ℝ ℝ3

1

3

1 x 1, αν x 1f : με f x

1 1 x , αν x 1.

18-4. Δίνεται η συνάρτηση ( )2x

2x

e 1f x

e 1

−=

+.

α). Να αποδείξετε ότι η f είναι ‘’1-1’’.

β). Να βρείτε τη συνάρτηση 1f− .

Λύση

α). Προφανώς το πεδίο ορισμού είναι το R. Έστω ( ) ( )1 2 1 2x ,x R με f x f x∈ = .

Είναι ( ) ( )1 2

1 2 2 1 1 2 1 2 1 2

1 2

2x 2x2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x

1 2 2x 2x

e 1 e 1f x f x e e e e 1 e e e e 1 e e

e 1 e 1

− −= ⇔ = ⇔ − + − = − + − ⇔ =

+ +.

Όμως, όπως γνωρίζουμε, η συνάρτηση ( ) xg x e= είναι ‘’1-1’’ και

συνεπώς 1 22x 2x1 2 1 2e e 2x 2x x x= ⇔ = ⇔ = . Άρα και η f είναι συνάρτηση ‘’1-1’’.

β). Για να βρούμε την 1f− λύνουμε τη σχέση2x

2x

e 1y

e 1

−=

+ ως προς x.

( )2x

2x 2x 2x

2x

e 1y e y y e 1 e y 1 y 1

e 1

−= ⇔ ⋅ + = − ⇔ − = − −

+.

• Αν y 1 0 y 1 y 1= ⇒ = − − ⇒ = − , άτοπο.

• Αν y 1≠ , έχουμε 2x y 1e

1 y

+=

−. Άρα

y 10

1 y

+>

−, δηλαδή αν ( )y 1,1∈ − , τότε

y 1 y 112x ln x ln

1 y 2 1 y

+ += ⇔ =

− −,

επομένως ο τύπος της 1f− είναι ( ) ( )1 y 11f y ln , y 1,1

2 1 y− +

= ∈ −−

.



Όπως ξέρουμε όμως, η ονομασία της ανεξάρτητης μεταβλητής δεν έχει σημασία. Επειδή συνηθίζεται η

ανεξάρτητη μεταβλητή να ονομάζεται x μπορούμε να γράψουμε τον τύπο της 1f− ως

εξής ( ) ( )1 1 x 1f x ln , x 1,1

2 1 x− +

= ∈ −−

.

18-5. Έστω η συνάρτηση ( )→ =ℝ ℝ ℝ ℝf : με f για την οποία ισχύει( ) ( )+ − + = ∈ℝf x 3e 2f x x 1 0, x .

i). Να δείξετε ότι η f είναι ‘’1-1’’.

ii). Να βρείτε την αντίστροφη της f.

Λύση

i). Η f έχει πεδίο ορισμού το Α = ℝ και σύνολο τιμών το ( )f RΑ = . Για κάθε x R∈ έχουμε

( ) ( ) ( ) ( )f x f x3 3e 2f x x 1 0 e 2f x 1 x+ − + = ⇔ + + = . Έστω ( ) ( )1 2 1 2x ,x με f x f x∈Α = .

Είναι ( ) ( )

( ) ( )f x2

1f x 3 31 2e e και f x f x= = . Οπότε ( ) ( ) ( ) ( )1 2f x f x3 3

1 2 1 2e 2f x x 1 e 2f x x 1 x x+ − + = + − + ⇔ = .


ii). Για κάθε ( )y f∈ Α υπάρχει μοναδικό x∈Α ώστε ( ) ( )1y f x x f y−= ⇔ = . Οπότε η δοθείσα ισότητα

γίνεται ( ) ( ) ( )− − −+ − + = ⇔ = + + ∈ = + + ∈ℝ ℝy y3 1 1 3 1 x 3e 2y f y 1 0 f y e 2y 1, y ή f x e 2x 1, x .

18-6. Έστω →ℝ ℝf : για την οποία ισχύει για κάθε ( )( )∈ + =ℝx ,f f x x 0 . Δείξτε ότι έχει αντίστροφη.

Λύση

Από τη σχέση ( )( )f f x x 0+ = για ∈ℝ1 2

x ,x .

προκύπτει

( )( )( )( )

( )( )( )( )

+ = = − ⇔

+ = = −

1 1 1 1

2 2 2 2

f f x x 0 f f x x

f f x x 0 f f x x.

Έχουμε ( ) ( ) ( ) ( )= ⇒ = ⇔− = − ⇔ =f συναρτηση

1 2 1 2 1 2 1 2f x f x f(f x ) f(f x ) x x x x

Άρα f είναι 1-1 οπότε έχει αντίστροφη.

18-7. Μια συνάρτηση →ℝ ℝf : ικανοποιεί τη συνθήκη ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + για κάθε ∈ℝx, y .

Να αποδειχθεί ότι

i). ( )f 0 0=

ii) ( ) ( )f x f x− = − , για κάθε ∈ℝx .

iii). Αν η εξίσωση ( )f x 0= έχει μοναδική ρίζα στο ℝ την 0x 0= , τότε η f είναι αντιστρέψιμη και

ισχύει ( ) ( ) ( )1 1 1f α β f α f β− − −+ = + για κάθε ∈ℝα,β .

Λύση

i). Για x y 0= = είναι ( ) ( ) ( )f 0 f 0 f 0= + . Άρα ( )f 0 0= .

ii). Για y x= − είναι ( ) ( ) ( )f x x f x f x− = + − ή ( ) ( ) ( )f 0 f x f x= + − . Άρα ( ) ( )f x f x− = − .

iii). Έστω ( ) ( )1 2 1 2x ,x R με f x f x∈ = ή ( ) ( )1 2f x f x 0− = ή ( ) ( )1 2f x f x 0+ − = ή ( )1 2f x x 0− = .

Άρα 1 2 1 2x x 0 η' x x− = = , δηλαδή η f είναι ‘’1-1’’, άρα αντιστρέψιμη.

Θέτουμε ( ) ( )1 1f α x και f β y− −= = για τυχαία α,β R∈ . Άρα ( ) ( )α f x και β f y= = .

Είναι ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-1 -1 -1 -1 -1 -1f x+y =f x +f y =α+β και f f x+y =f α+β η' x+y=f α+β η' f α +f β =f α+β .

18-8. Αν ( )( ) ( )f f x f x 2x 3+ = − για κάθε x R∈ και ( )f 3 2= , να βρεθεί η ( )1f 3− και να λυθεί η

εξίσωση ( )1f x 2− = .

Λύση

Αποδεικνύεται ‘όπως στις προηγούμενες ασκήσεις ότι είναι ‘’1-1’’ συνάρτηση και έχει αντίστροφη.

Στη σχέση που δόθηκε θέτουμε όπου x το ( )1f 3−

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1f f f 3 f f 3 2f 3 3 f 3 3 2f 3 3− − − −+ = − ⇔ + = − � γιατί ( )( ) ( )1 1f f x x 2 3 2f x 3− −= ⇔ + = − ,

οπότε είναι ( )1f 3 4− = . Από την ( )1f x 2− = έχουμε ισοδύναμα ( )( ) ( )1f f x f 2− = , δηλαδή ( )x f 2= (1).

Από την ( )f 3 2= είναι ( )( ) ( )f f 3 f 2= και λόγω της υπόθεσης ( )( ) ( )( )f f x 2x 3 f x= − − , θα

είναι ( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 f 3 f 2 , f 2 2 3 3 2, f 2 1⋅ − − = = ⋅ − − = (2). Από τις (1) και (2) έχουμε x 1=



Πως βρίσκουμε την γραφική παράσταση συνάρτησης από την γραφική παράσταση της

αντίστροφης της!!

Είπαμε ότι για να είναι αντιστρέψιμες δυο συναρτήσεις ισχύει η ισοδυναμία:

( ) ( )1f x y f y x−= ⇔ = για κάθε ∈ ∈f

x A ,y f(A)

Αυτό γεωμετρικά δηλώνει ότι:

Η Cf διέρχεται από το σημείο Μ(x,y) εάν και μόνο εάν η Cf-1 διέρχεται από το σημείο Ν(y,x) το

οποίο είναι το συμμετρικό του Μ ως προς την διχοτόμο y=x.

Από τα παραπάνω καταλήγουμε στην πρόταση:

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ,f-1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x η

όποια διχοτομεί τις γωνίες xOy,x'O' y .Συνεπώς, αν γνωρίζουμε τη μια από τις δυο γραφικές

παραστάσεις Cf-1 ,Cf μπορούμε, με μια συμμετρία ως προς την ευθεία y=x, να βρούμε την άλλη.


Δίνεται η συνάρτηση ( ) = −f x x 2 , να βρείτε την αντίστροφη της και να χαράξετε τις γραφικές

παραστάσεις τους στο ίδιο σύστημα αξόνων.

Λύση Πρέπει − ≥ ⇔ ≥x 2 0 x 2 άρα το πεδίο ορισμού της f είναι )= +∞fA 2,

Αν ( ) ( )= ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ =1 2 1 2 1 2 1 2

f x f x x 2 x 2 x 2 x 2 x x , )∈ +∞1 2x ,x 2, άρα η f είναι 1-1.

Λύνουμε την ( )=y f x σαν εξίσωση ως προς χ και λαμβάνουμε όλα τα y ώστε η εξίσωση ( )=y f x να

έχει λύση στο πεδίο ορισμού της f.

( ) ≥ ≥

= = − ⇔ ⇔ = − + =

2 2

y 0 y 0y f x x 2

y x 2 y 2 x (1)

Η αντίστροφη είναι ( )− = +1 2f x x 2 με πεδίο ορισμού το )− = +∞1fA 0, , που είναι και το σύνολο τιμών της

f . Σχεδιάζουμε την ( )−= = +1 2y f x x 2 , μετατοπίζοντας κατακόρυφα την γραφική παράσταση της 2x

κατά δυο μονάδες προς τα πάνω. Η ( ) = −f x x 2 είναι συμμετρική της ( )−= = +1 2y f x x 2 ως προς την

ευθεία y=x η όποια διχοτομεί τις γωνίες xOy,x'O' y .( Σχήμα)

O

y = x

x

y

M(x,y)

N(y,x)

Cf

Cf-1



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 18-9. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "11" − και για καθεμία απ’ αυτές να βρείτε

την αντίστροφή της

i) f(x)=3x-2 ii) 2f(x)=x +1 iii) f(x)=(x-1)(x-2)+1 iv) 3f(x)= 1-x

v) f(x)=ln(1-x) vi) -xf(x)=e +1 vii) x

x

e -1f(x)=

e +1 viii) f(x)=|x-1|

18-10. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g, φ και ψ .

O x

y

y=f (x)

O x

y

y=g(x)

O x

y

y=φ(x)

O x

y

y=ψ(x)

Να βρείτε ποιες από τις συναρτήσεις f, g, φ, ψ έχουν αντίστροφη και για καθεμία απ’ αυτές να χαράξετε

τη γραφική παράσταση της αντίστροφής της.

18-11. Να βρεθεί η αντίστροφη συνάρτηση της ( )f x =1- x-2 και να σχεδιάσετε την fC σε ορθοκανονικό

σύστημα αξόνων.

18-12. Έστω η συνάρτηση [ )f: 0,+∞ → ℝ με τύπο ( ) 2f x =x +1 . Να βρεθεί η -1f .

18-13. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2f x =x -9x +27x-25 . Να βρεθεί η -1f .

18-14. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το ℝ , για την οποία υποθέτουμε ότι ισχύει

( )( ) ( ) ( )3f x +f x =x 1 . Να αποδειχθεί ότι είναι συνάρτηση ‘’1-1’’ και να βρεθεί η αντίστροφή της.

18-15. Να βρεθεί αν υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της →ℝ ℝf : με ( ) =ℝ ℝf όταν ισχύει η σχέση

( ) ( )3f x f x x 1 0+ + − = για κάθε ∈ℝx .

18-16. Αν για τη συνάρτηση →ℝ ℝf : ισχύει για κάθε ∈ℝx η σχέση: ( ) 3f x 2x 3x 1= + − , να βρεθεί η

αντίστοιχη τιμή ( )1f 1− − και να λυθεί η εξίσωση ( )1f x 1− = .

18-17.i) Να βρείτε τις τιμές του ∈ℝλ έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) − ≤

= + + >

xe 2,x 0f x

ln(x 1) λ,x 0 να είναι 1-1.

ii)Για την ελάχιστη τιμή του λ να ορίσετε την f-1.



19. ‘’1-1’’ :ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ Α: ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ

1). Μπορώ σε μια ισότητα να «κολλήσω» την ίδια συνάρτηση. Π.χ.

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )1 2 1 2 1 2 1 2x x f x f x g f x g f x f g f x f g f x= ⇒ = ⇒ = ⇒ = .

2). Για να «ξεκολλήσω» μια συνάρτηση πρέπει να είναι ‘’1-1’’ (ή γνησίως μονότονη).

( )( ) ( )( ) ( ) ( )g ''1 1''f ''1 1''

1 2 1 2 1 2f g x f g x g x g x x x−−

= ⇒ = ⇒ = , ενώ ( )( ) ( )( )f ' οχι '1 1''

1 2f g x f g x−

= ⇒ μένει όπως είναι.

Β: ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

Για να «κολλήσω» και να «ξεκολλήσω» μια συνάρτηση πρέπει να ξέρω τη μονοτονία της στο

αντίστοιχο διάστημα (δεν αρκεί το ‘’1-1’’ στις ανισότητες).

Π.χ.

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

f γν.αυξ. g γν.φθιν.

1 2 1 2 1 2

f γν.φθιν. f γν.φθιν.

1 2 1 2 1 2

1). x x f x f x g f x g f x

2). f f x f f x f x f x x x

< ⇒ < ⇒ >

< ⇒ > ⇒ <

Τις δύο αυτές ιδιότητες θα τις χρησιμοποιήσουμε πολλές φορές στη συνέχεια και θα είναι ο

βασικός μας άξονας στη λύση εξισώσεων – ανισώσεων και στην απόδειξη ανισοτήτων.

Σε ασκήσεις ξεκινάω από τη σχέση ( ) ( )1 2f x f x= και προσπαθώντας να κατασκευάσω την

παράσταση που μου δίνει να καταλήξω ότι 1 2x x= . (όμοια αποδεικνύω και τη μονοτονία).

Παράδειγμα 1: Αν ( )( ) ( )( ) 3f f x g g x x+ = τότε να δειχθεί ότι η f είναι ‘’1-1’’.(Στην τάξη)

Παράδειγμα 2: Να εξεταστεί αν η συνάρτηση ( ) ( )x xf x ln e 1 e= + + είναι 1-1.(Στην τάξη)

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 19-1. Έστω οι συναρτήσεις →ℝ ℝf,g : . Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και η fC είναι κάτω από

τη gC , να δείξετε ότι ( )( ) ( )( )fof x gog x< για κάθε ∈ℝx .

Λύση

Επειδή η fC είναι κάτω από τη gC έχουμε ( ) ( )f x g x< (1) για κάθε x R∈ .

Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο R είναι ( )( ) ( )( )f f x f g x< (2) για κάθε x R∈ .

Επειδή η (1) ισχύει για κάθε ∈ℝx θα ισχύει και για ( )x g x= , δηλαδή ( )( ) ( )( )f g x g g x< (3).

Από (2) και (3) έχουμε ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )f f x g g x fof x gog x< ⇔ < για κάθε.

19-2. Έστω οι συναρτήσεις →ℝ ℝf,g : . Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και η fog γνησίως φθίνουσα,

να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα.

Λύση

Έστω ότι η g δεν είναι γνησίως φθίνουσα. Τότε θα υπάρχουν 1 2x ,x A∈ για τα οποία θα ισχύει

( ) ( )1 2 1 2x x και g x g x< ≤ (1).

Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα έχουμε από την (1)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2f g x f g x fog x fog x x x≤ ⇔ ≤ ⇔ ≥ (αφού fog γνησίως φθίνουσα στοℝ ) που είναι

άτοπο. Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα.


19-3. Αν η συνάρτηση f: →ℝ ℝ είναι γνησίως αύξουσα και για κάθε x∈ℝ ισχύει ( )x+f x

f =x2

, να

αποδείξετε ότι ( )f x =x, x∈ℝ .

19-4.Εστω μια συνάρτηση f: →ℝ ℝ τέτοια ώστε να ισχύει:

( ) 3(fof) x +f (x)=2x+3 για κάθε ∈ℝx

Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.

19-5.Εστω μια συνάρτηση →ℝ ℝ*f: τέτοια ώστε για κάθε ∈ℝ*,x y να ισχύει:

( ) = −

f f ( )

xx f y

y

Αν η Cf τέμνει τον άξονα χ’χ χε ακριβώς ένα σημείο να δείξετε ότι η f είναι 1-1.



20 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ – ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ( )f x α<

>= Ή ( )( ) ( )( )f g x f h x

<

>=

Α: Εξίσωση ( )f x α= (όταν το πρώτο μέλος είναι άθροισμα ή διαφορά διαφορετικών τύπων

συναρτήσεων ( ) xf x ln x ημx e ...= + + και το δεύτερο μέλος αριθμός).

• Αν ( )α f∉ ∆ (πεδίο τιμών) τότε η εξίσωση είναι αδύνατη.

• Αν ( )α f∈ ∆ τότε αναζητώ 0x ∈∆ ώστε ( )0f x α= (προφανής λύση).

• Βρίσκω το ‘’1-1’’ της f.

• Άρα γράφεται στη μορφή ( ) ( )f ''1 1''

0 0f x f x x x−

= ⇒ = και μάλιστα μοναδική ρίζα.

Παράδειγμα 1: ( ) x 1f x ln x e −= + . Λύσε την εξίσωση ( )f x 1= .

Το ‘’1-1’’ της συνάρτησης μας εξασφαλίζει μοναδικότητα της ρίζας μιας συνάρτησης.

Β: Ανίσωση ( )><

f x α (όταν ο τύπος της f αποτελείται από διαφορετικού τύπου συναρτήσεις).

• Αναζητάω ( )0 0x με f x α∈∆ = .

• Βρίσκω τη μονοτονία της f (όχι το ‘’1-1’’).

• Η ανίσωση παίρνει τη μορφή:

( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 00 0

x x αν f γν.αυξ. x x αν f γν.αυξ.f x f x f x f x

x x αν f γν.φθιν. x x αν f γν.φθιν.

< > < ⇒ > ⇒ > <

(Το ίδιο κάνω με ανισώσεις με ≤ ή ≥ ).

Παράδειγμα 2: ( ) x 1f x ln x e −= + . Να λύσετε την εξίσωση ( )f x 1≤ .

Παρατήρηση 1: Αν η εξίσωση ή η ανίσωση δεν περιέχει τον τύπο κάποιας ( )f x τότε μετακινώ

όλους τους όρους (ή μόνο τα x) στο πρώτο μέλος και θέτω το πρώτο μέλος συνάρτηση ( )f x και

τότε την φέρνω στη μορφή ( )f x α= ή ( )f x α<

> και δουλεύω με τους προηγούμενους τρόπους.

Παρατήρηση 2: Σε ασκήσεις που κάποια ερωτήματα έχουν λύση ανίσωσης, επειδή υπάρχει

περίπτωση να ακολουθήσουμε τον Β’ τρόπο καλό είναι από την αρχή να αποδεικνύουμε το ‘’1-1’’

της συνάρτησης με τη μέθοδο της μονοτονίας .

Γ: Λύση εξίσωσης ( )( ) ( )( )f g x f h x= .

Βασικό γνώρισμα της μεθόδου είναι η σύνθετη μορφή της εξίσωσης και η δυνατότητα που έχουμε

με μετακινήσεις όρων να σχηματίζουμε ομοιόμορφες παραστάσεις (η διαίσθηση και η φαντασία

μας θα μας ωθήσει σε αυτή την κατασκευή).

• Μορφοποιώ την εξίσωση με μετακινήσεις όρων από το ένα μέλος στο άλλο, έτσι ώστε τα δύο

μέλη να εμφανίζουν ομοιότητα ως προς τη δομή τους (σε κάθε μέλος η ίδια παράσταση έχει

διαφορετική θέση: βάση εκθετικής, υπόρριζο, προσθετέος, κ.λπ.) π.χ. x 3 x 2e ... e ...− −+ = +

(προσπαθώ να εμφανίσω κάτι κοινό).

• Θεωρώ συνάρτηση f που εκφράζει τη δομή των δύο μελών (δημιουργείται σύνθετη

συνάρτηση) και τελικά η εξίσωση παίρνει τη μορφή ( )( ) ( )( )f g x f h x= (1).

• Αποδεικνύω ότι η f είναι ‘’1-1’’ οπότε ( ) ( ) ( )f ''1 1''

1 g x h x−

⇔ = η οποία εξίσωση είναι απλούστερη.

(Μπορεί να χρειαστεί να εφαρμόσω αυτόν τον τρόπο διαδοχικά 2 ή περισσότερες φορές έως

ότου καταλήξω σε απλή εξίσωση.

Παράδειγμα 3:Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση = − < <χf(x) α x , 0 α 1 είναι γνησίως φθίνουσα στο

ℝ .Στη συνέχεια να λύσετε ως προς κ την εξίσωση: − −− = − − −2κ 4 κ 2 2α α (κ 4) (κ 2) .

Λύση

Έστω ∈ℝ1 2

x ,x με <1 2

x x τότε − > −1 2

x x (1)

< <

< ⇔ >ցχ

1 2

α ,0 α 1x x

1 2x x α α (2)

Προσθέτουμε κατά μέλη (1) +(2): − > − ⇔ >1 2x x

1 2 1 2α x α x f(x ) f(x ) έτσι f είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ .



Συνεπώς η f είναι 1-1. − − − −

−

− = − − − ⇔ − − = − − ⇔

⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ − − = ⇔ = = −

2 2κ 4 κ 2 2 κ 4 2 κ 2

f 1 12 2 2

α α (κ 4) (κ 2) α (κ 4) α (κ 2)

f(κ 4) f(κ 2) κ 4 κ 2 κ κ 2 0 κ 2 ή κ 1

Παράδειγμα 5: Να λυθεί η εξίσωση ( ) ( )3 3

συνx x συνx x 1 1+ + = + + . ( Στην τάξη)

Λύνεται ανάλογα αν θεωρήσουμε την συνάρτηση ( )= + +3

f(x) x x x ….

Παράδειγμα 4: Να λυθεί η εξίσωση ( ) ( )3 3

συνx x συνx x 1 1+ + = + + .

Δ: Λύση ανίσωσης ( )( ) ( )( )f g x f h x<

> .

Δουλεύω όπως στην περίπτωση Γ αλλά αντί να αποδείξω το ‘’1-1’’ αποδεικνύω τη μονοτονία της

f ( )( ) ( )( ) ( ) ( )f γν.αυξ.

f g x f h x g x h x< ⇒ < .

Παράδειγμα4: Να λυθεί η ανίσωση ( )2x 1 ln 2x 1 x 2 ln x− + − ≤ + .

Παρατήρηση: Αν f γνησίως αύξουσα και g γνησίως φθίνουσα και υπάρχει 0x R∈ ώστε ( ) ( )0 0f x g x=

τότε ισχύουν:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

0

0

0

f x g x x x

f x g x x x

f x g x x x

• = ⇔ =

• > ⇔ >

• < ⇔ <

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 20-1. Έστω η συνάρτηση ( )g : 0, R+∞ → η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και η γραφική της

παράσταση διέρχεται από το σημείο ( )A 1, 2− . Αν για τη συνάρτηση f είναι ( ) ( )f x ln x g x= − για

κάθε x 0> :

i) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

ii) Να λύσετε την ανίσωση ( ) ( )22 ln x 2 g x στο 0,< + +∞ .

Λύση

i) Η f έχει πεδίο ορισμού το ( )0,Α = +∞ . Για κάθε 1 2 1 2x ,x A με x x∈ < , έχουμε

• 1 2ln x ln x< , αφού η συνάρτηση ln x είναι γνησίως αύξουσα.

• ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2g x g x g x g x> ⇔ − < − , αφού η g είναι γνησίως φθίνουσα.

Άρα ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2ln x g x ln x g x η' f x f x− < − < . Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα.

ii) Είναι ( )g 1 2= − . Έχουμε:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f:γν.αυξ.

2 2 2 2 2 22 ln x 2 g x ln x g x 2 f x ln1 g 1 f x f 1 x 1 x 0,1< + ⇔ − < ⇔ < − ⇔ < ⇔ < ⇔ ∈ .

20-2. i) Δίνεται η εξίσωση ln x 1 x= − . Να αποδειχθεί ότι έχει μοναδική λύση τη x 1= .

ii) Δίνεται η συνάρτηση ( ) 5f x x x= + .

α. Να αποδειχθεί ότι η f είναι ‘’1-1’’.

β. Να λυθεί η εξίσωση ( ) ( )55ln x ln x 1 x 1 x+ = − + − .

Λύση

i) Η εξίσωση γράφεται ln x x 1 0+ − = . Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )g x ln x x 1= + − και παρατηρούμε

ότι ( )g 1 0= . Αλλά η ( )g x είναι γνησίως αύξουσα, οπότε η ρίζα x 1= είναι μοναδική.

ii) α. Η συνάρτηση ( ) 5f x x x= + είναι ‘’1-1’’, διότι αν 1 2 1 2x ,x R με x x∈ < ,

τότε1 2 1 2

5 5 5 51 2x x και x x x x< + < + , δηλαδή ( ) ( )1 2f x f x< , δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα.

β. Η εξίσωση γράφεται ( ) ( )f ln x f 1 x= − , και αφού η f είναι ‘’1-1’’, θα ισχύει ln x 1 x= − , αλλά λόγω της

(i) η x 1= είναι ρίζα.



20-3. Δίνεται η συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R για την οποία ισχύει ( )1

f x2

= − . Αν

( ) ( ) ( ) ( )g x f x και h x 1 f x= − = + , να εξεταστεί αν υπάρχει σημείο τομής των γραφικών

παραστάσεων των g και h.

Λύση

Αρκεί να βρούμε τα x R∈ , ώστε ( ) ( )g x h x= . Έχουμε ( ) ( ) ( ) ( )1

f x 1 f x 2f x 1 f x2

− = + ⇔ = − ⇔ = − .

Τότε έχουμε ( ) ( )f x f 2= και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα είναι και ‘’1-1’’, άρα x 2= .

20-4. Δίνεται η συνάρτηση →ℝ ℝf : με τιμές στο ( )1,+∞ και για την οποία

ισχύει ( ) ( )3f x 3f x x 0− − = για κάθε ∈ℝx .

i) Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

ii) Να λυθεί η ανίσωση ( )( )f f x 2> .

Λύση

i) Έστω 1 2 1 2x ,x R με x x∈ < . Τοτε:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

− = ∈

< ⇔ − < ⇔ − − − ⇔

⇔ − − − < ⇔

⇔ − + + − <

ℝ3f x 3f x x για καθε x3 3

1 2 1 2 1 1 2 2

3 3

1 2 1 2

2 2

1 2 1 1 2 2

x x x x 0 f x 3f x f x 3f x

f x f x 3 f x f x 0

f x f x f x f x f x f x 3 0

Άρα ( ) ( )1 2f x f x 0− < , αφού ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 2 2f x 1 και f x f x f x f x 3 0> + + − > , για κάθε 1 2x ,x R∈ . Από την

υπόθεση για x 2= έχουμε ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )3 2f 2 3f 2 2 0 f 2 2 f 2 2f 2 1 0 f 2 2− − = ⇔ − + + = ⇔ = .

ii) Η ανίσωση γράφεται ( )( ) ( )f f x f 2> και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα

έχουμε ( ) ( ) ( )f x 2 η' f x f 2> > . Οπότε x 2> .

Σχόλιο: Όταν δεν γνωρίζουμε τον τύπο μιας συνάρτησης f και θέλουμε να λύσουμε ανίσωση της

μορφής ( ) ( )f x κ η' f x κ> < , τότε αναζητούμε το 0x του πεδίου ορισμού της f, ώστε ( )0f x κ= και η

ανίσωση γίνεται ( ) ( )0f x f x> .

20-5. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο ( ) xf x α 5x, 0 α 1= − < < .

i) Να αποδειχθεί ότι είναι ‘’1-1’’.

ii) Να λυθεί η εξίσωση ( )2x 4 2x 1 2α α 5 x 2x 3− −− = − − .

Λύση

i) Η συνάρτηση με τύπο xα και 0 α 1< < είναι γνησίως φθίνουσα. Έστω 1 2 1 2x ,x R με x x∈ < ,

τότε 1 2x xα α> (1) και 1 25x 5x− > − (2). Προσθέτουμε τις (1) και (2) κατά μέλη και για

κάθε ∈ <ℝ1 2 1 2

x ,x με x x ισχύει ( ) ( )− > − >1 2x x

1 2 1 2α 5x α 5x ή f x f x , δηλαδή η f είναι γνησίως φθίνουσα,

άρα και ‘’1-1’’.

ii) Η εξίσωση γράφεται

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − − −− = − − − ⇔ − − = − − ⇔ − = − ⇔

⇔ − = − ⇔ − − = ⇔ = − =

2 2x 4 2x 1 2 x 4 2 2x 1 2

2 2

α α 5 x 4 5 2x 1 α 5 x 4 α 5 2x 1 f x 4 f 2x 1

x 4 2x 1 x 2x 3 0 x 1 ή x 3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 20-6. Να λυθούν οι ανισώσεις:

−

> − >+

x 1 xi) l n x 1 x , ii) e

1 x.

(Υπόδειξη. θεωρήστε − − − − +

= − = − = − = − ++ + + +

x x x x1 x 2 x 1 2 (x 1) 2f(x) e e e e 1

1 x 1 x 1 x 1 x….)

20-7. Να λυθούν οι ανισώσεις:

( ) ( ) ( )2 21 : f 2x x 3 f 3x x− + < + , όταν ( ) xf x e x= + .

( ) ( ) ( )2 : f 3 x f 6 2x− < − , όταν ( )f x 4 x ln x= − − .



20-8. i. Αν f,g συναρτήσεις γνησίως αύξουσες (γν. φθίνουσες)στο διάστημα Δ να δείξετε ότι και η

συνάρτηση f+g είναι γνησίως αύξουσα (γν. φθίνουσα) στο Δ.

ii. Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της συνάρτησης ( ) ⋅x 3h x =2017 +2017 x

iii. Να λύσετε την ανίσωση ( )( ) ( )3h x-3 x -3x >h -2 x-3 .

20-9. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και η g είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ , να λύσετε την ανίσωση

( )( ) ( )( )2fog x -2x fog x+4≥

20-10. Έστω η συνάρτηση ( ) 3f x =x +5x-16 ορισμένη στο ℝ .

α. Να δείξετε ότι ( )f 2 =2

β. Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της f

γ. Να ορίσετε τη συνάρτηση fof

δ. Να λύσετε την ανίσωση ( )( )f f x 2≥ .

20-11. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ( )x 5 3 3f x =e +x +x +x-1 και g x =2-x-x -lnx .

α. Να αποδειχθεί ότι οι f,g είναι γνησίως μονότονες

β. Να λυθούν οι ανισώσεις ( ) ( )f x >0 και g x >0 .

20-12. Να λυθεί η ανίσωση 2x -x 2x-25 <5 .

20-13. Να λυθεί η ανίσωση 23x-x 2 6-2x2 -x >2 -5x+6 .

20-14. Να λυθεί η ανίσωση x x x

x x5 3 +4

x

3 +4ln <e -e

5.

20-15. Δίνεται η συνάρτηση ( )x x

3 4f x = + -1

5 5

.

α. Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.

β. Να λυθεί η εξίσωση x x x3 +4 =5

γ. Να λυθεί η ανίσωση x x x3 +4 >5 .

20-16. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x =2-x-lnx

α. Να αποδείξετε ότι η f ‘’1-1’’.

β. Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( )f x =f 1 .

γ. Να λύσετε την ανίσωση x+lnx>1 .

20-17. Δίνεται η συνάρτηση ( ) x-1f x =e +x+2


β. Να λύσετε την εξίσωση ( )f x =4 .

γ. Να λύσετε την ανίσωση x-1e +x-2>0 .

20-18. Δίνεται η συνάρτηση ( ) x 3f x =e +x +x+1 .


β. Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( )2 3 3x -x 2 2 x+3e + x -x +x -2x=e + x+3 +3 .

20-19. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g: →ℝ ℝ με ( )( )fog x =x+1 για κάθε x∈ℝ . Να λυθεί η εξίσωση

( ) ( )x x+1 x+2g 4 -2 +4 =g 2 -4 .(Υπόδειξη. Να δείξετε ότι η g είναι 1-1)

20-20. α. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις ( ) ( )x

x x

3 -1 1f x = και g x = -2x

3 +1 3 είναι ‘’1-1’’.

β. Να λύσετε την εξίσωση: ( )2x -9 x+3

21 1-2 x -9 = -2x-6

3 3

.

20-21. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2015 2017f x =x +x .

α. Να βρείτε το ( )f 1 .

β. Να ελέγξετε αν η συνάρτηση είναι 1-1 στο ℝ .

γ. Να λύσετε την εξίσωση =2015 2017x +x 2 .

20-22. Να λυθεί η εξίσωση ( ) ( )2 23 3x 2 x 2 x+2 x2 +x +1 +2 +x +1= 2 +x+3 +4 2 +x+3⋅ .



20-23. Να λυθεί η εξίσωση ( ) ( )5 3x-1 x-1 x-1e +x-3 + e +x-3 +e +x=0 .

20-24. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2-xf x =e -x+2 .


β. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία

γ. Να λύσετε την εξίσωση ( )f x =1

δ. Να εξετάσετε αν η f έχει ακρότατα.

20-25. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x = x-2+x-4 .


β. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη

γ. Να αποδείξετε ότι η f έχει ολικό ελάχιστο

δ. Να εξετάσετε αν το σημείο Μ(3,0) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης

ε. Να λύσετε την εξίσωση ( )f x =0 .

20-26. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )f x =x+ln x-3 -4 .


β. Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία

γ. Να λύσετε την εξίσωση ( )f x =0 .

20-27. Δίνεται η συνάρτηση ( ) xf x =α -x με 0<α<1 .

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα

β. Να λύσετε την ανίσωση ( )2x x+2 2α -α >x - x+2

20-28. Δίνεται μια συνάρτηση f: →ℝ ℝ η οποία είναι γνησίως φθίνουσα. Να λύσετε την ανίσωση

( ) ( )2f x +x >f 3-x .

20-29. Δίνεται η συνάρτηση ( ) xf x =α +x, 1α > .

α. Να βρείτε τη μονοτονία της f

β. Να λύσετε την ανίσωση lnx -xα -α > -lnx-x .

20-30. Έστω μια συνάρτηση f: →ℝ ℝ , για την οποία υποθέτουμε ότι ισχύει ( )( ) ( )( )3f f x f x =2x+3+ .

α. Να αποδείξετε ότι είναι συνάρτηση ‘’1-1’’.

β. Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( )3f 2x +x =f 4-x .

20-31. Η συνάρτηση f: →ℝ ℝ ικανοποιεί τι σχέση: ( )( ) ( )3f f x +f x =2x+5 για κάθε x∈ℝ .

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι ‘’1-1’’.

β. Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( )3f 2x +x-2 =f 2-x .

20-32. Δίνονται οι συναρτήσεις f: →ℝ ℝ και g: →ℝ ℝ για τις οποίες ισχύει η σχέση ( )( )g f x =x για κάθε

x∈ℝ .

α. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

β. Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( )2f x -8x+7 =f x-1 .

20-33.Δίνεται η συνάρτηση f: →ℝ ℝ με την ιδιότητα

5(fof)(x)=x , για κάθε ∈ℝx

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1

β. Να αποδείξετε ότι ( )55f(x )= f(x)

γ. Να λύσετε την εξίσωση f(x)=x , ∈ℝx

δ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία

Α(0,f(0)),B(1,f(1)),Γ(-1,f(-1)) είναι συνευθειακά.



Ε.Εξισώσεις με αντίστροφες

Η ανίσωση ( )1f x α− > για να λυθεί πρέπει να είναι γνωστή η μονοτονία της f. Αν f γνησίως

αύξουσα τότε ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1f x α f f x f α x f α− −> ⇒ > ⇒ > . Όμοια αν f γνησίως φθίνουσα.

(θα επανέλθουμε με αναλυτικό παράδειγμα)

Παράδειγμα 5: Δίνεται η συνάρτηση ( ) x 1f x 2e x 2−= + − . Να λυθούν οι εξισώσεις

( ) ( ) ( )− −+ − = −1 2 12 : f x 1 x f 5 x και η ανίσωση ( ) ( )1 23 : f x 3x 3 1− − + < .

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 20-34. Αν η →ℝ ℝf : είναι γνησίως μονότονη και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα

σημεία Α(2,3) και Β(3,4), να λυθεί η ανισότητα ( )( )1f 1 f x 1 4−+ − > .

Λύση

Επειδή η f είναι γνησίως μονότονη, ο λόγος μεταβολής μεταξύ των σημείων Α(2,3) και Β(3,4) είναι

4 3λ 1 0

3 2

−= = >

−. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και αντιστρέφεται. Οπότε

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1f 1 f x 1 4 1 f x 1 f 4 3 f x 1 2 f x 1 f 3 x 1 3 x 4− − − − − −+ − > ⇔ + − > = ⇔ − > ⇔ − > ⇔ − > ⇔ > .

Σχόλιο: Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, τότε και η αντίστροφη αυτής 1f− είναι γνησίως

αύξουσα. Γενικά η αντίστροφη έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με τη συνάρτηση.

20-35. Δίνεται η συνάρτηση ( ) − → =

− ℝ ℝ

4 3xf : με f x

3 3 4x. Με την υπόθεση ότι η f αντιστρέφεται,

να υπολογιστεί η τιμή της ( )1f 3− − .

Λύση

Έστω ότι ( )1f 3 α− − = . Τότε ισοδύναμα έχουμε ( ) ( )( )1 3αf α f f 3 3 3α 9 12α α 1

3 4α−= − ⇔ = − ⇔ = − + ⇔ =

−

Άρα ( )1f 3 1− − = .

Σχόλιο: Όταν δεν γνωρίζουμε τον τύπο της 1f− και θέλουμε να βρούμε μια τιμή ( )10f x− , τότε

θέτουμε ( )10f x α− = και ισοδύναμα έχουμε ( ) ( )( ) ( )1

0 0f α f f x f α x−= ⇔ = αφού 1fof I− = (ταυτοτική).

Λύνουμε την τελευταία εξίσωση και προσδιορίζουμε το α.

20-36. Αν η →ℝ ℝf : αντιστρέφεται με ( )3f x 1 2x 8+ = − , να βρεθεί η ( )1f 2− .

Λύση

Έστω ( )3f x 1 2x 8+ = − και 1f− η αντίστροφη της f, τότε ( )1 3f 2x 8 x 1− − = + .

Θέτουμε 2x 8 2 2x 10 x 5− = ⇔ = ⇔ = . Έτσι ( )1 3f 2 5 8 5 1 125 1 126− ⋅ − = + = + = . Άρα ( )1f 2 126− = .

20-37. Για τη συνάρτηση f γνωρίζουμε ότι ( )( ) = +f f x 2013x 2014 (1) για κάθε ∈ℝx .

i). Να αποδειχθεί ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί η 1f− .

ii). Να αποδειχθεί ότι ( ) ( )+ = +f 2013x 2014 2013f x 2014 .

iii). Να βρεθεί το ∈ℝ0

x , ώστε ( )0 0f x x= .

Λύση

i). Έστω ότι ( ) ( )1 2f x f x= . Τότε ( )( ) ( )( )= ⇔ + = + ⇔ =1 2 1 2 1 2

f f x f f x 2013x 2014 2013x 2014 x x .

Άρα η f είναι ‘’1-1’’. Θέτουμε ( )f x y= , οπότε ( )( ) ( )f f x f y= ή ( ) ( )( )+ = ⇔ = −1

2013x 2014 f y x f y 20142013

ή ( ) ( )− = − 1 1

f y f y 20142013

.

Άρα ( ) ( ) ( )− − = − = 1 11

f x f x 2014 και x f y2013

.

ii). Ισχύει ( )( ) ( )( )( ) ( )= + ⇔ = +f f x 2013x 2014 f f f x f 2013x 2014 ή ( ) ( )+ = +2013f x 2014 f 2013x 2014 .



iii). Είναι ( ) ( )( ) ( )0 0 0 0f x x f f x f x= ⇔ = ή−

+ = ⇔ = − ⇔ =0 0 0 0

20142013x 2014 x 2012x 2014 x

2012.

20-38. Δίνεται η συνάρτηση →ℝ ℝf : γνησίως αύξουσα στο R με ( )f x 0> για κάθε ∈ℝx .

i). Να αποδειχθεί ότι η ( )( )( )

2f x 1g x

f x

−= αντιστρέφεται.

ii). Εάν ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )2 2

2

1 1f λ f λ και f λ 0 και f λ 0

f λf λ− = − > > , να βρεθεί το ∈ℝλ .

Λύση

Η συνάρτηση g γράφεται ( ) ( )( )1

g x f xf x

= − . Αφού ( )f x 0> και η f είναι γνησίως αύξουσα, θα είναι( )1

f x

γνησίως φθίνουσα και( )1

f x− γνησίως αύξουσα. Άρα η ( ) ( )

( )1

g x f xf x

= − είναι γνησίως αύξουσα ως

άθροισμα συναρτήσεων που είναι γνησίως αύξουσες. Αφού η g είναι γνησίως μονότονη, θα είναι και ‘’1-

1’’, οπότε αντιστρέφεται.

ii). Η εξίσωση γράφεται ( ) ( )( )

( )2

2

1 1f λ f λ

f λf λ− = − δηλαδή ( ) ( )2g λ g λ= και αφού η g είναι ‘’1-1’’ θα

είναι και ( )= ⇔ − = ⇔ = =2λ λ λ λ 1 0 λ 0 ή λ 1 .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 20-39. Έστω ότι η γραφική παράσταση της γνησίως μονότονης συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία

Α(1,2) και Β(3,0). Να λυθούν:

i). Η εξίσωση ( )( )1 2f f x 2x 2 1− + + = , ii). Η ανίσωση ( )( )1 3f f x x 2 2− + − > .

20-40. Δίνεται η συνάρτηση ( )e

f x =lnx- +xx

.

α. Να αποδειχθεί ότι ορίζεται η -1f .

β. Να λυθεί η εξίσωση ( )-1f x =x .

20-41. Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το ℝ και γνησίως αύξουσα. Να αποδειχθεί η ισοδυναμία:

( ) ( ) ( )-1f x =f x f x =x⇔ .

20-42. Αν η συνάρτηση f: →ℝ ℝ είναι αντιστρέψιμη και η fC διέρχεται από τα σημεία

( ) ( )A 1,2012 και B 2,2015 να βρείτε τα x∈ℝ για τα οποία ισχύει: ( )-1 2f 3+f x -3 =2 .

20-43. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f: →ℝ ℝ της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από

τα σημεία ( ) ( )A 3,2 και B 5,9 .

α. Να λυθεί η εξίσωση ( )( )-1 2f 2+f x +x =9 .

β. Να λυθεί η ανίσωση ( )( )-1 2f f x -8x -2 <2 .

20-44. Έστω μια συνάρτηση − + +f(x)=ln( 2 ) 1x e

α.Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.

β.Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.

γ.Να ορίσετε tην f-1.

δ.Να λύσετε την εξίσωση -1f (x+1)=51

20-45. Έστω μια συνάρτηση →ℝ ℝf: τέτοια ώστε f(f(x))=4x+9 (1) για κάθε ∈ℝx .Να δείξετε ότι:

α. Η f αντιστρέφεται.

β. ( ) ( )= −-1 1f x (f x 9)

4

γ. ( ) ( )= +f 4x+9 4f x 9 ( Υποδ. με την βοήθεια της ισότητας (1) )

δ. υπάρχει κ ∈ℝ τέτοιο ώστε ( )κ κ=f .

20-46. Α) Έστω →ℝ ℝf: μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση τέτοια ώστε :

(fοf)(x)=x για κάθε ∈ℝx




α. δεν υπάρχει ο ∈ℝx τέτοιο ώστε 0 0

f(x )>x

β. ισχύει f(x)=x για κάθε ∈ℝx

γ. ισχύει η ισοδυναμία ⇔-1f(x)=f (x) f(x)=x

Β) Αν + −3f(x)=x 2 2x ,τότε:

α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

β. να λύσετε την εξίσωση: + − + + − − =3 3 3f(x)=(x 2 2) 2(x 2 2) 2x x x

20-47.Δινεται η συνάρτηση →ℝ ℝf: η οποία έχει την ιδιότητα

≥ ≥ x+yf(x+y) f(x)f(y) e για κάθε ∈ℝ,x y

Να αποδείξετε ότι

α. f(0)=1

β. 1

f(-x)=( )f x

για κάθε ∈ℝx

γ. ∈ℝf(x)=e ,x x



ΜΠΕΚΡΗ ΜΕΖΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΠΩΣ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΔΥΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Η ισοδυναμία ( ) ( )1f x y f y x−= ⇔ = για =y x γράφεται: ( ) ( )−= ⇔ = 1f x x x f x . Τι σημαίνει αυτό;

Αν υπάρχουν σημεία στα όποια η Cf τέμνει την διχοτόμο τότε αυτά θα είναι και σημεία από τα

οποία περνάει η Cf-1 και αντίστροφα.

Δεν μπορούμε όμως να ισχυριστούμε ότι τα μόνα κοινά σημεία των Cf,Cf-1 είναι αυτά στα οποία και οι

δυο συναντούν την διχοτόμο.

Ο σίγουρος τρόπος για να βρούμε όλα τα κοινά σημεία των Cf, Cf-1 είναι να λύσουμε το σύστημα :

( )( )−

=

=1

y f x

y f x που γράφεται ισοδύναμα και με την μορφή

( ) =

=

y f x

f(y) x


Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης ( ) = − 3f x x .Στην συνέχεια να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf

και Cf-1.

Λύση

-Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού = ℝf

A , είναι προφανώς 1-1 και επομένως έχει αντίστροφη που ο

τύπος της βρίσκεται αν λύσουμε ως προς χ την εξίσωση:

( ) = − ≥ = − ≥

= ⇔ = − ⇔ − = ⇔ ⇔ = − − < = − <

3 33 3

33

x y ,y 0 x y ,y 0y f x y x y x

x y , y 0 x y ,y 0

Άρα η αντίστροφη έχει τύπο : − − ≥

= − <

31

3

x , x 0f (x)

x , x 0

-Για να βρούμε τα κοινά σημεία των Cf,Cf-1λυνουμε το σύστημα:

( )( )

( )−

= = = − = − − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

= − = − = − ==

3 3 3 9

1 3 3 3

y f x y f x y x y ( y ) y y

y f x y x y x y xf(y) x

= = = − − = − = = = = − ⇔ ⇔ ⇔

= = − =− =− = − =

9 8

33 3

y 0 ή y 1 ή y 1y y 0 y(1 y ) 0 y 0 ή y 1 ή y 1

y 0 ή y 1 ή y 1y xy x y x

Τελικά, έχουμε τρία κοινά σημεία τα Α(-1,1),Β(1,-1),Ο(0,0).

Παρατηρήστε ότι δεν χρησιμοποιήσαμε το τύπο της αντίστροφης, θυμηθείτε το, όταν σε παρόμοια

άσκηση δεν είναι δυνατόν να βρεθεί ο τύπος της f-1.

Α(-1,1)

Β(1,-1)

Ο(0,0)

y=x Cf

Cf-1

Πότε συμβαίνει τα μόνα κοινά σημεία

των Cf,Cf-1 είναι αυτά στα οποία και οι

δυο συναντούν την διχοτόμο;

Μόνο αν η f είναι γνησίως αύξουσα

στο πεδίο ορισμού της.

Προκύπτουν από την λύση της

εξίσωσης:

=f(x) x ή − =1f (x) x ή − =1f (x) f(x)



ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ



Ε1)Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό η λάθος

1)Το σύνολο τιμών κάθε πραγματικής συνάρτησης f είναι το σύνολο των τετμημένων των σημείων της

γραφικής παράστασης της f. Σ Λ

2) Για κάθε πραγματική συνάρτηση f ισχύει: αν ∈1 2,

fx x D με =

1 2x x τότε =

1 2( ) ( )f x f x . Σ Λ

3)Το πεδίο ορισμού κάθε πραγματικής συνάρτησης f είναι το σύνολο των τετμημένων των σημείων της


4) H γραφική παράσταση της πραγματικής συνάρτησης –f είναι συμμετρική ως προς τον άξονα x’x της


5) H γραφική παράσταση της πραγματικής συνάρτησης f αποτελείται από τα τμήματα της f

C που

βρίσκονται πάνω από τον άξονα x’x . Σ Λ

6) Υπάρχει πραγματική συνάρτηση f που στην γραφική της παράσταση δυο διαφορετικά σημεία έχουν

την ίδια τετμημένη.

7)Αν για δυο πραγματικές συναρτήσεις f,g ορίζονται οι fοg,gοf τότε πάντα ισχύει: fοg=gοf . Σ Λ

8) Για κάθε πραγματική συνάρτηση f ισχύει: αν ∈1 2,

fx x D με =

1 2( ) ( )f x f x τότε =

1 2x x . Σ Λ

9) Αν για τρεις πραγματικές συναρτήσεις f,g,h ορίζεται η συνάρτηση οι fο(gοh) τότε ορίζεται και η

συνάρτηση (fοg)οh . Σ Λ

10)Αν μια συνάρτηση f ορισμένη στο Α δεν είναι γνησίως αύξουσα τότε θα είναι γνησίως φθίνουσα. Σ Λ

11)Αν η πραγματική συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α και ∈1974 ( )f A τότε η εξίσωση

=( ) 1974f x έχει ,μια τουλάχιστον λύση στο σύνολο Α. Σ Λ

Ε2) Δίνεται η συνάρτηση α

≤− + >

2 , 0f(x)=

2 , 0

x x

x x, α πραγματική παράμετρος.

i)Αν α− −2

2αf( +2)= 4

2.Να βρείτε την τιμή του α.

ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνάρτηση 1-1.

iii)Να βρείτε την αντίστροφη της.

Λύση

i) >2α

+2 02

για κάθε ∈ Rα άρα η τιμή της f για =2α

+22

x προκύπτει από το δεύτερο κλάδο της

συνάρτησης. Έτσια

α α α− − ⇔ − + + = − − ⇔2 2

2 2αf( +2)= 4 2( 2) 4

2 2

α α α α− − + = − − ⇔ =2 24 4 0

ii)Για α = 0 ,η συνάρτηση παίρνει την μορφή : ≤− >

2 , 0f(x)=

2 , 0

x x

x x.

Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το ℝ

▪ Για ≤ 0x έχουμε, ⇔ ⇔ = −2f(x)=y x =y x y , ≥y 0

▪ Για > 0x έχουμε, ⇔ − ⇔ = − > <y

f(x)=y 2x=y x 0,y 02

Επομένως για κάθε ∈ℝy =f(A) η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μια λύση (ως προς x) την = −x y όταν

≥y 0 και την = − >y

x 02

όταν <, y 0 .Άρα η f είναι συνάρτηση 1-1 , οπότε και είναι αντιστρέψιμη.

Εναλλακτικά για την απόδειξη 1-1 μπορούσαμε να το χειριστούμε με την μονοτονία. Δηλαδή

Έστω (1 2, ,0x x ∈ −∞ με 2 2

1 2 1 2x x x x< ⇒ > άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ,0−∞ άρα 1-1.

Έστω ( )1 2, 0,x x ∈ +∞ με

1 2 1 22 2x x x x< ⇒ − > − άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( )0,+∞ άρα 1-1.

Έστω (1,0x ∈ −∞ δηλαδή 2

1 1 10 0 ( ) 0x x f x≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥

Έστω ( )20,x ∈ +∞ δηλαδή

2 1 20 2 0 ( ) 0x x f x> ⇔ − < ⇔ <

Άρα και σε αυτή την περίπτωση 1 2

( ) ( )f x f x≠ άρα η f είναι 1-1 σε όλο το ℝ .



iii)Επειδή

− ≥

⇔ − <

, 0f(x)=y x=

, 02

y y

yy

η αντίστροφη της f είναι η συνάρτηση

− ≥− <

-1, 0

f (x)=, 0

2

x x

xx

Ε3)Αν η συνάρτηση →ℝ ℝf: είναι γνησίως αύξουσα και για κάθε ∈ℝx ισχύει:

=

x+f(x)f

2x (1).Να αποδείξετε ότι ( ) =f x x , ∈ℝx .

Λύση

Θα το αποδείξουμε με άτοπο. Έστω ότι υπάρχει ένας αριθμός α ∈ℝ τέτοιος ώστε α α>( )f ,τότε επειδή

η f είναι γνησίως αύξουσα θα έχουμε διαδοχικά: ⇔α+f(α)

α+f(α)>2α >α2

α

⇒ ⇔ >

ր (1)α+f(α)>f(α) f(α)

2

f

f

Άτοπο. Όμοια δείχνουμε ότι δεν υπάρχει α ∈ℝ τέτοιος ώστε α α<( )f .Άρα ( ) =f x x για κάθε ∈ℝx .

Bonus παρατήρηση στην μονοτονία

Av f είναι μια γνησίως φθίνουσα (γνησίως αύξουσα) στα διαστήματα (α,β],(β,γ). Τότε δεν είναι

απαραίτητα γνησίως φθίνουσα (γν. αύξουσα) στην ένωση τους ( ( ) ∪, ,α β β γ .

Αντιπαράδειγμα η f με

>

= − ≤

1, 0

( )

, 0

xf x x

x x

Ε4)(Μεζεδάκι) Έστω δυο συναρτήσεις f,g: →ℝ ℝ , τέτοιες ώστε να ισχύει:

f(4-x)+f(x)=2g(x), (1) για κάθε x∈ℝ

i)Να δείξετε ότι οι Cf και Cg έχουν κοινό σημείο.

ii)Αν ισχύει 23f(x)-2f(2-x)=2x-x , για κάθε x∈ℝ , να βρείτε τους τύπους των f και g καθώς και το

κοινό σημείο των Cf και Cg .

Λύση

i) Έχουμε: 4-x=x x=2⇔

Για x=2 η (1) δίνει:

f(4-2)+f(2)=2g(2) 2f(2)=2g(2) f(2)=g(2)⇔ ⇔

ii) Έχουμε:

23f(x)-2f(2-x)=2x-x , (2)

Θέτουμε στην (2) όπου x το 2-x

(2): ( ) ( ) ( ) ( )2 23f(2-x)-2f(2- 2-x )=2 2-x - 2-x 3f(2-x)-2f(x)=4-2x- 4-4x+x⇔ ⇔ 23f(2-x)-2f(x)=2x-x (3)

Λύνουμε το σύστημα των (2) ,(3) και να λαμβάνουμε:

2( ) 2f x x x= −

Οπότε: 2 2 2 22g(x)=f(4-x)+f(x)=2(4-x) (4-x) 2 8 2 (16 8 ) 2x x x x x x x− + − = − − − + + − =2 2 2

2 2

8 2 16 8 2 2 8 8

2g(x)= 2 8 8 g(x)= 4 4

x x x x x x x

x x x x

= − − + − + − = − + − ⇔

− + − ⇔ − + −

Το κοινό σημείο των Cf και Cg είναι το σημείο Α(2,0) .



Ε5)Αν η συνάρτηση →ℝ ℝf: για την οποία ισχύει

(1) ( ) = − +2fof ( ) 13 49x x x για κάθε ∈ℝx

Να αποδείξετε ότι =(7) 7f .

Λύση

Η σχέση (1) ισχύει για κάθε ∈x R άρα θα ισχύει και

Για = 7x τότε ( ) = − ⋅ + = ⇔ =2fof (7) 7 13 7 49 7 ( (7)) 7f f (2)

Για = (7)x f τότε

( )(2)

2 2 2fof (7) (7) 13 (7) 49 ( ( (7))) (7) 13 (7) 49 (7) (7) 13 (7) 49f f f f f f f f f f= − + ⇔ = − + ⇔ = − +

( )− + = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =22(7) 14 (7) 49 0 (7) 7 0 (7) 7 0 (7) 7f f f f f

(Bonus, η γενίκευση της άσκησης)

Αν η συνάρτηση →f:R R για την οποία ισχύει

(1) ( ) = − − +2 2fof ( ) (2 1)x x xα α για κάθε ∈x R

Όπου α πραγματικός αριθμός. Να αποδείξετε ότι =( )f α α .

Ε6) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό η λάθος.

1)Αν μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ δεν είναι γνησίως φθίνουσα τότε για κάθε ∈∆1 2,x x με

<1 2

x x ισχύει ≤1 2

( ) ( )f x f x . Σ Λ

2)Αν μια συνάρτηση f στο διάστημα [-α,α] είναι γνησίως μονότονη τότε δεν είναι άρτια. Σ Λ

3)Αν μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ είναι γνησίως μονότονη και ∈0 ( )f A τότε η εξίσωση

=( ) 0f x έχει ακριβώς μια λύση στο σύνολο Α. Σ Λ

4) Αν για μια συνάρτηση f ισχύει ≤ ≤( )f xα β για κάθε ∈f

x D τότε πάντα ισχύει =min f α και

=max f β . Σ Λ

5) Αν μια συνάρτηση f είναι περιττή στο διάστημα [-13,13] τότε η f

C διέρχεται από την αρχή των

αξόνων. Σ Λ

6) Αν για μια συνάρτηση f η f

C είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y΄y τότε η f είναι άρτια στο πεδίο

ορισμού της. Σ Λ

7) Αν μια συνάρτηση f έχει σύνολο τιμών το R , τότε δεν παρουσιάζει ολικό μέγιστο ούτε ολικό

ελάχιστο . Σ Λ

8)Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης = − + + −2f(x) x 1 x x 2 είναι μονοσύνολο. Σ Λ

..old mathematicians never die they just lose some of their functions..

f(x)=???



Ε7)Έστω δυο συναρτήσεις f,g ορισμένες στο R για τις οποίες ισχύει :

= + +2( ) ( ) 2 ( ) 3f x g x g x για κάθε ∈ℝx

Να αποδείξετε ότι:

i) ≥( ) 2f x για κάθε ∈x R

ii)Αν η Cg διέρχεται από το σημείο Α(1,-1) τότε η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο.

iii)Αν η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο σε μια μόνο θέση και για τους πραγματικούς αριθμούς α,β,γ

( > ≥0, 0β γ ) ισχύει + + =( ) (ln ) ( ) 6f f f eγα β να βρείτε τους α,β,γ.

Λύση

i) Ισχύει για κάθε ∈ℝx : ( )= + + = + + + = + + ≥22 2( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 2 ( ) 1 2 2f x g x g x g x g x g x

Άρα ≥( ) 2f x για κάθε ∈x R .

ii)Αποδείξαμε ότι ( )= + + ≥2

( ) ( ) 1 2 2f x g x για κάθε ∈x R .Επειδή η Cg διέρχεται από το σημείο Α(1,-1)

ισχύει = −(1) 1g συνεπώς ( ) ( )= + + = − + + = ⇒ =2 2

(1) (1) 1 2 1 1 2 2 (1) 2f g f

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι ≥ ⇔ ≥( ) 2 ( ) (1)f x f x f για κάθε ∈x R δηλαδή η f παρουσιάζει

ολικό ελάχιστο στο = 1o

x το =(1) 2f ,

iii)Για κάθε ∈x R ισχύει: ≥ ⇔ − ≥( ) 2 ( ) 2 0f x f x .Η ισότητα ισχύει μόνο όταν x=1.

Ισχύει: ≥ ⇔ − ≥( ) 2 ( ) 2 0f fα α (1)

≥ ⇔ − ≥(ln ) 2 (ln ) 2 0f fβ β (2)

≥ ⇔ − ≥( ) 2 ( ) 2 0f e f eγ γ (3)

Από την δοθείσα σχέση έχουμε :

+ + = ⇔ − + − + − =( ) (ln ) ( ) 6 ( ) 2 (ln ) 2 ( ) 2 0f f f e f f f eγ γα β α β

( ) ( ) ( ) − = =

− + − + − = ⇔ − = ⇔ = − = =

(1),(2),(3)( ) 2 0 ( ) 2

( ) 2 (ln ) 2 ( ) 2 0 (ln ) 2 0 (ln ) 2

( ) 2 0 ( ) 2

f f

f f f e f f

f e f e

γ

γ γ

α αα β β β

Σημειώνουμε ότι από υπόθεση έχουμε μόνο μια θέση ολικού ελάχιστου άρα

= =

= ⇒ = ==

1 1

ln 1

01

e

eγ

α αβ β

γ

Ε7β) (Bonus βασική υπενθύμιση θεωρίας στην άσκηση Α7)

Ο αριθμός κ είναι ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f ∈ =

⇔ ∈ ≥

0 0( )

( )

x Df ύ f x

x Df ύ f x

υπαρχει και ισχ ει κ

για καθε καιισχ ει κ

Ο αριθμός κ είναι μέγιστη τιμή της συνάρτησης f ∈ =

⇔ ∈ ≤

0 0( )

( )

x Df ύ f x

x Df ύ f x

υπαρχει και ισχ ει κ

για καθε και ισχ ει κ

Να βρείτε τους αριθμούς ∈ Rα ,για τους οποίους η συνάρτηση 2

2( )

1

x xf x

x x

α− +=

− + έχει μέγιστη τιμή

το 2.

Λύση

Το τριώνυμο − +2 1x x έχει διακρίνουσα αρνητική και άρα − + >2 1 0x x ,για κάθε ∈x R .Έτσι, το πεδίο

ορισμού της f είναι το R .Για να είναι το 2 μέγιστη τιμή της f πρέπει

− +∈ = ∈ = − +⇔ ⇔

∈ ≤ − + ∈ ≤ − +

2

0 20 0

2

2

2( ) 2 1( ) 2

21

x xx Df ύ

x Df ύ f x x xx Df ύ f x x x

x Df ύx x

αυπαρχει και ισχ ειυπαρχει και ισχ ει

για καθε και ισχ ει αγια καθε και ισχ ει



∈ + + − = ∈ − − ≥ ⇔ ⇔

∈ − − ≤∈ + + − ≤

2

0 0

2

3 2 0 9 4(2 ) 0

9 4(2 ) 03 2 0

x Df ύ x x x Df ύ

x Df ύx Df ύ x x

υπαρχει και ισχ ει α υπαρχει και ισχ ει α

για καθε και ισχ ει αγια καθε και ισχ ει α

⇔ − − = ⇔ = −1

9 4(2 ) 04

α λ

Ε8)Εστω η συνάρτηση f: →ℝ ℝ , η οποία έχει σύνολο τιμών το ℝ .Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

2

2 ( )( )

1 ( )

f xg x

f x=

+ έχει ελάχιστο το -1 και μέγιστο το 1.

Λύση

Επειδή 2 2

2

2 ( )( ) 1 1 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 0

1 ( )

f xg x f x f x f x f x

f x≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ≥ − − ⇔ + + ≥

+

( )21 ( ) 0f x⇔ + ≥ η οποία ισχύει και ( )2

( ) 1 ... 1 ( ) 0 ( ) 1g x f x f x= − ⇔ ⇔ + = ⇔ = −

η οποία έχει σίγουρα λύση στο ℝ καθώς από υπόθεση το σύνολο τιμών της f είναι το ℝ .Κατά συνέπεια

η g έχει ελάχιστο το -1.

Όμοια,

( )2( ) 1 ... ( ) 1 0g x f x≤ ⇔ ⇔ − ≥

( )2( ) 1 ... 1 ( ) 0 ( ) 1g x f x f x= − ⇔ ⇔ − = ⇔ = η οποία έχει σίγουρα λύση στο ℝ καθώς από υπόθεση το

σύνολο τιμών της f είναι το ℝ .Κατά συνέπεια η g έχει μέγιστο το 1.

Ε9)Δίνεται η συνάρτηση

= +−

1( ) 1

1xf x

e

i)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και να εξετάσετε αν η Cf τέμνει τους άξονες

x’x,y’y.

ii)Να δείξετε ότι η f είναι συνάρτηση 1-1.

iii)Να δείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση −1f και να την βρείτε.

iv)Να λύσετε την εξίσωση

− −− + =

−1 3 2( (ln )) 1 0

1

ef f x

e

Λύση

i)Αρκεί − ≠ ⇔ ⇔ ≠1 0 .. 0xe x άρα ( ) ( )= −∞ ∪ +∞,0 0,f

D

= ⇔ + = ⇔ =− −

1( ) 0 1 0 0

1 1

x

x x

ef x

e e αδύνατη ,άρα η Cf δεν τέμνει τον άξονα x’x

∉0f

D άρα η Cf δεν τέμνει τον άξονα y’y

ii)Έστω ∈1 2

x ,xf

D με = ⇔ + = + ⇔ ⇔ =− −1 2

1 2 1 2

1 1f(x ) (x ) 1 1 .... x x

1 1x xf

e e άρα f είναι 1-1.

iii)Η f είναι 1-1 άρα αντιστρέφεται .Θα βρούμε τύπο και πεδίο ορισμού της -1f .

Για κάθε ∉f

x D

( )⇔ = + ⇔ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =− −

1y=f(x) y 1 y y y y y y 1 y

1 1

xx x x x x

x x

ee e e e e

e e ( ≠y 1 )

⇔ =−

y

y 1xe (πρέπει ( ) ( )y

0 ... y ,0 1,y 1

> ⇔ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞−

)

⇔ =−

yln( )

y 1x



Άρα ( ) ( )1( ) ln( ), ,0 1,1

xf x x

x− = ∈ −∞ ∪ +∞

−.

iv) − − −− − −− + = ⇔ − = − ⇒ − = − ⇔

− − −1 1 13 2 3 2 3 2( (ln )) 1 0 ( (ln )) 1 ( ( (ln )) ( 1)

1 1 1

e e ef f x f f x f f f x f

e e e

−

− − − − = − ⇔ − + = + ⇔ − + = + − − − −− − −

ln 1

3 2 3 2 1 1 3 2 1 1(ln ) ( 1) 1 1 1 1

11 1 1 11 11

x

e e ef x f

e e e xe e

e

− − − −− = + ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ⇔

− − − − − − − − − − −

3 2 3 2 1 3 2 1 2 21

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

e x e e x e x e x

e x e e x e e e x e x

−= ⇔ = ⇔ =

− − −

2(1 )2 2

1 1 1

e x xx

e x x

Ε10)Έστω η συνάρτηση →ℝ ℝf: η οποία είναι γνησίως μονότονη και η γραφική της παράσταση

διέρχεται από τα σημεία Α(1,2) και Β(3,-2)

i) Να βρείτε τους αριθμούς f(1) και f(3)

ii)Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της συνάρτησης f.

iii)Να λύσετε την ανίσωση − + <(3 1) 2 0f x

iv)Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται

v)Να λύσετε την εξίσωση − =1( ) 2xf e

vi)να βρείτε τους αριθμούς : −1(2)f και − −1( 2)f

vii) Να λύσετε την εξίσωση −− + + =1( 2 ( 2)) 2f f x

Λύση

i) Η γραφική παράσταση της Cf διέρχεται από τα σημεία Α(1,2) και Β(3,-2) άρα =(1) 2f και = −(3) 2f

ii)H f η οποία είναι γνησίως μονότονη και ισχύει <(3) (1)f f άρα είναι γνησίως φθίνουσα.

iii) − + < ⇔ − < − ⇔ − < ⇔ − > ⇔ >ց 4

(3 1) 2 0 (3 1) 2 (3 1) (3) 3 1 33

f

f x f x f x f x x

iv) H f είναι γνησίως φθίνουσα άρα είναι 1-1 (*)άρα αντιστρέφεται.

v) − −

− − − −= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =1 1 1 1

1 1 1 1 0( ) 2 ( ) (1) 1 1 0 1

xf ex x x xf e f e f e e e x x

vi) Η γραφική παράσταση της Cf διέρχεται από τα σημεία Α(1,2) και Β(3,-2) άρα −= ⇔ = 1(1) 2 1 (2)f f

−= − ⇔ = −1(3) 2 3 ( 2)f f

vii) ( )−=

− − − − −− + + = ⇔ − + + = ⇔ − + + = ⇔11 (2)

1 1 1 1 1( 2 ( 2)) 2 ( 2 ( 2)) (2) 2 ( 2) 1f

f f x f f f x f f x

− − −+ = ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ = −1 1 1( 2) 3 ( 2) ( 2) 2 2 4f x f x f x x

(*)H f είναι γνησίως μονότονη άρα είναι 1-1

Απόδειξη

Έστω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

Έστω ∈1 2,

fx x D με ≠

1 2x x ,διακρίνουμε περιπτώσεις

< ⇒ <1 2 1 2

( ) ( )x x f x f x

> ⇒ >1 2 1 2

( ) ( )x x f x f x

Άρα σε κάθε περίπτωση ισχύει ≠1 2

( ) ( )f x f x άρα f 1-1 .

Ανάλογα η απόδειξη αν η f είναι γνησίως φθίνουσα.



Ε11)(Μεζεδάκι) Για τις συναρτήσεις f,g με πεδίο ορισμού το ℝ ορίζεται η συνάρτηση fog και

ισχύει (fog)(x)=x για κάθε x∈ℝ .

Να λύσετε την εξίσωση 13 13

2 4(3 5) (3 1)x x

g g− −

− = +

Λύση

Αρχικά θα δείξουμε ότι η g είναι 1-1.

Για κάθε 1 2,x x ∈ℝ με

1 2( ) ( )g x g x= θα είναι:

( ) ( )1 2 1 2( ( )) ( ( )) ( ) ( )f g x f g x f g x f g xο ο= ⇔ = οπότε λόγω της υπόθεσης είναι

1 2x x= .Άρα η g είναι 1-1.

Έχουμε

−

− − − − − −−

− − = >

− = + ⇔ − = + ⇔ − − = ⇔

− − = ⇔ ⇔ − − = ⇔ = = − <

13

4

13 13 13 13 13 131 1

2 4 2 4 2 4

213 13 3 0

24 4

(3 5) (3 1) 3 5 3 1 3 3 6 0

3 3 6 0 6 0 3 2 0

x

x x x x x xg

x x a

g g

α α α α απορριπτεται

Άρα −

= ⇔ =13

43 3 17x

x .

Ε12)Έστω μια συνάρτηση →ℝ ℝf: για την οποία υποθέτουμε ότι f(f(x))+x=0 για κάθε ∈ℝx .Να

αποδειχτεί ότι:

i) η f είναι συνάρτηση 1-1

ii)αν η f έχει σύνολο τιμών το ℝ , τότε -1f (x)= -f(x)

iii)η f δεν είναι γνησίως μονότονη.

iv)Bonus ερώτημα

Να δείξετε ότι η f είναι περιττή και ότι ισχύει f(0)=0.

Λύση

Για κάθε ∈ℝx έχουμε f(f(x))=-x (1)

i)Αν ∈ℝ1 2

x ,x με =1 2

f(x ) (x )f τότε είναι =1 2

f(f(x )) ( (x ))f f (2)

και λόγω της (1) η σχέση (2) γίνεται: = − ⇔ =1 2 1 2

-x x x x .Επομένως η f είναι συνάρτηση 1-1 , οπότε η f

είναι αντιστρέψιμη.

ii)Έστω ότι η f έχει σύνολο τιμών το ℝ .Τότε η f-1 έχει πεδίο ορισμού το ℝ .Αν στην

σχέση ⇔f(f(x))+x=0 f(f(x))=-x (3) που ισχύει για κάθε ∈ℝx θέσουμε όπου x το -1f (x) έχουμε:

⇔ ⇔ −-1 -1 -1 -1f(f(f (x)))=-f (x) f(x)=-f (x) f(x)=f (x) για κάθε ∈ℝx .

iii)Υποθέτουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

Τότε για κάθε ∈ℝ1 2

x ,x με 1 2

x <x θα ισχύει: 1 2

f(x )< f(x ) ,οπότε 1 2

f(f(x ))<f(f(x )) ή 1 2

-x <-x ή 1 2

x >x (

άτοπο). Άρα η f δεν είναι γνησίως αύξουσα.

Όμοια δουλεύουμε αν υποθέσουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.

iv) Ισχύει για κάθε ∈ℝx ( ) ( )

= ⇒ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒− = − ⇒ − = −3 3

( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )y f x f y f f x f y x f f y f x y f x f x f x (4)

Από την (4) ισχύει για = 0x : − = − ⇔ − = ⇔ =(0) ( 0) 2 (0) 0 (0) 0f f f f .

Όχι ,άλλες ασκήσεις!!!!



Ε13) (άσκηση Μπριάμ)

Α. Έστω μια συνάρτηση →:f R R η οποία είναι περιττή και γνησίως αύξουσα.

Να αποδείξετε ότι

i) =(0) 0f

ii) ⋅ >( ) 0x f x για κάθε ≠ 0x

Β. Δίνεται η γνησίως αύξουσα(*) στο πεδίο ορισμού της συνάρτηση = + +2( ) ln( 1)f x x x

i)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f .

ii)Να δείξετε ότι η f είναι περιττή.

iii) Να δείξετε ότι ( )+ + >2 2ln 1 0x

x x για κάθε ≠ 0x

* iv)Bonus ερώτημα. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R .

Λύση

Α.i)Η f περιττή άρα για κάθε ∈x R ισχύει − = −( ) ( )f x f x .

Για = = − ⇔ = ⇔ =0 : (0) (0) 2 (0) 0 (0) 0x f f f f

A.ii) Διακρίνουμε περιπτώσεις για το x

Αν > ⇔ > ⇔ >0 ( ) (0) ( ) 0f

x f x f f xγνησιως αυξουσα

άρα >( ) 0xf x .

Αν < ⇔ < ⇔ <0 ( ) (0) ( ) 0f

x f x f f xγνησιως αυξουσα

άρα >( ) 0xf x .

Β.i)Πρέπει + + >2 1 0x x .Θα δείξουμε ότι + + >2 1 0x x για κάθε ∈x R .

Για κάθε ∈x R έχουμε : + > =2 21x x x

Αλλά, ≥ −x x οπότε ισχύει + > − ⇔ + + >2 21 1 0x x x x , ∈x R (1)

Άρα, =f

D R .

Β.ii) Για κάθε ∈x R πρέπει να δείξουμε − = −( ) ( )f x f x ή − + =( ) ( ) 0f x f x

Πραγματικά

( )− + = − + − + + + + = − + + + + + =2 2 2 2( ) ( ) ln( 1) ln( 1) ln( 1) ln( 1)f x f x x x x x x x x x

( ) − + + + + = + − = + − = =

22 2 2 2 2 2ln ( 1)( 1) ln 1 ln 1 ln1 0x x x x x x x x .

Β.iii) Έχουμε: ( ) ( )+ + = + + =2 2 2 2ln 1 ln 1 ( )x

x x x x x xf x

Η f ικανοποίει όλες τις προϋποθέσεις τους ερωτήματος (A ii) αρά ισχύει: ( )+ + >2 2ln 1 0x

x x .

Β.iv)Έστω ∈1 2,x x R με <

1 2x x αρκεί ,να δείξουμε ότι η διαφορά ∆ = − <

1 2( ) ( ) 0f x f x .

+ + − = + + − + + = + +

2

1 12 2

1 2 1 1 2 22

2 2

1( ) ( ) ln( 1) ln( 1) ln

1

x xf x f x x x x x

x x αρκεί να δείξουμε ότι

+ + >+ +< ⇔ + + < + + ⇔ + + − − + < ⇔

+ +

22 2

2 1 01 1 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 22

2 2

11 1 1 1 1 0

1

x xx xx x x x x x x x

x x

( )( )( )

+ − + + + +− + + − + < ⇔ − + < ⇔

+ + +

2 2 2 2

1 2 1 22 2

1 2 1 2 1 22 2

1 2

1 1 1 11 1 0 0

1 1

x x x xx x x x x x

x x

( ) ( )( )

( )( )

+ − + + − +− + < ⇔ − + < ⇔

+ + + + + +

2 22 2 2 2

1 2 1 2

1 2 1 22 2 2 2

1 2 1 2

1 1 1 10 0

1 1 1 1

x x x xx x x x

x x x x



( )( )( )

( )− +−

− + < ⇔ − + < ⇔+ + + + + +

2 21 2 1 21 2

1 2 1 22 2 2 2

1 2 1 2

0 01 1 1 1

x x x xx xx x x x

x x x x

( )( )

( ) + + + + ++ − + < ⇔ − < ⇔ + + ++ + +

2 2

1 2 1 21 21 2 1 2

2 22 21 21 2

1 11 0 0

1 11 1

x x x xx xx x x x

x xx x

( ) + + + + + − < + + +

2 2

1 1 2 2

1 22 2

1 2

1 10

1 1

x x x xx x

x x (2)

Αλλά, < ⇔ − <1 2 1 2

0x x x x και από το ερώτημα Β.i) και την σχέση (1) ισχύει

+ + > + + >2 2

1 2 21 0 , 1 0x x x x

Οπότε η (2) ισχύει για ∈x R .Άρα, f είναι γνησίως αύξουσα στο R .

Ε14) (Μελλοντικό μεζεδάκι) Θεωρούμε δεδομένο ότι η συνάρτηση ln

f(x)=x

x είναι γνησίως

φθίνουσα στο διάστημα ) +∞ ,e .Να αποδείξετε ότι >14 1313 14 .

Λύση

Οι αριθμοί 13,14 ανήκουν στο διάστημα ) +∞ ,e , όπου από υπόθεση η f γνησίως φθίνουσα

Επειδή 13 <14 ισχύει:

( )= +∞

> ⇔ > ⇔ > ⇔ > ⇔ >( ) ln 0,

14 13 14 13ln13 ln14(13) (14) 14 ln13 13ln14 ln13 ln14 13 14

13 14

g x x

f fγνησιως αυξουσα στο

Ε15) Δίνεται συνάρτηση ( )f: 0,→ +∞ℝ που είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ και η συνάρτηση

( )g: 0,→ +∞ℝ που είναι γνησίως αύξουσα στοℝ .

Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=g(x)(1+f(x)) (1) έχει το πολύ μια λύση.

Λύση

Η (1) παίρνει την μορφή:

f(x)=g(x)(1+f(x)) f(x)=g(x)+f(x)g(x) f(x)-g(x)=f(x)g(x)⇔ ⇔

Επειδή f(x)g(x)>0 , για κάθε x∈ℝ ,έχουμε:

Γιατί τόσα πολλά

ερωτήματα ;;;;

Στους θεματοδότες

τα παράπονα!!!



f(x)-g(x) g(x)f(x) 1 1 1 1f(x)-g(x)=f(x)g(x) =1 - =1 - =1 - -1=0

f(x)g(x) f(x)g(x) f(x)g(x) f(x) g(x) f(x) g(x)⇔ ⇔ ⇔ ⇔

Θεωρούμε την συνάρτηση 1 1

( ) - -1 ,xf(x) g(x)

h x = ∈ℝ και θα δείξουμε ότι η εξίσωση ( ) 0h x = έχει το πολύ

μια λύση στο ℝ .

Για κάθε 1 2,x x ∈ℝ με

1 2x x< λόγω της μονοτονίας των f και g ,έχουμε:

( )1 2 1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

1 1 1 1

f(x )>f(x )>0 f(x ) f(x ) f(x ) f(x )

0<g(x ) g(x ) 1 1 1 1

g(x ) g(x ) g(x ) g(x )

+

< − > −

⇒ ⇒ ⇒ < > >

1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1 1 1 1 11 1 ( ) ( )

g(x ) f(x ) g(x ) f(x ) g(x ) f(x ) g(x ) f(x )h x h x− > − ⇔ − − > − − ⇔ >

Κατά συνέπεια η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα αρα και 1-1 στο ℝ , οπότε η εξίσωση ( ) 0h x =

έχει το πολύ μια λύση στο ℝ .

Ε16) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό η λάθος.

1)Αν μια συνάρτηση f είναι περιττή τότε η -1f είναι 1-1. Σ Λ

2)Αν f αντιστρέψιμη συνάρτηση τότε για κάθε ∈,f

Dα β με ≠α β ισχύει ≠( ) ( )f fα β . Σ Λ

3)Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της τότε = ⇔ =-1f ( ) f( ) f( )x x x x . Σ Λ

4) Αν μια αντιστρέψιμη συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της τότε και η -1f είναι

γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της . Σ Λ

5)Οι γραφικές παραστάσεις μιας συνάρτησης f και της αντιστροφής της -1f είναι συμμετρικές ως προς

την διχοτόμο του δευτέρου και του τέταρτου τεταρτημόριου του ορθοκανονικου συστήματος

συντεταγμένων στo οποίο έχουν σχεδιαστεί. Σ Λ

6)Αν μια συνάρτηση f δεν είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της τότε η f δεν είναι υποχρεωτικά

μη αντιστρέψιμη. Σ Λ

7) Αν f μια αντιστρέψιμη συνάρτηση τότε ισχύει: ∈ ⇔ ∈-1A(α,β) Cf A'(β,α) Cf ( )β ,αf f

D f D∈ ∈ Σ Λ

8)H γραφική παράσταση μιας συνάρτησης →:f R R διέρχεται από τα σημεία Α(-2,3) και Β(2,1).Η

συνάρτηση f δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. Σ Λ

Ε17)Δίνεται η συνάρτηση f: →ℝ ℝ με τύπο + −

=1 1

f(x)2

x

x

e για κάθε ∈x R

i)Να αποδείξετε ότι

= −

1f(x)

2 2

x xe

e για κάθε ∈x R

ii)Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R

iii) Να βρείτε τα σημεία τομής των −1,Cf Cf με τον άξονα x’x.

iv)Να λύσετε την ανίσωση − <xf(e 2) 0

v)Να αποδείξετε ότι + − ≥ −2 2x 1e 1 ( 1)2xe για κάθε ∈x R .

Λύση

i) + +−

= = − = − = − = −

1 11 1 1 1 1f(x)

2 22 2 2 2 2 2 2

x xx x x x

x x x x x x x

e e ee e ee e

ii) Έστω ∈1 2,x x R με <

1 2x x τότε:

< ⇔ <

1 2 1 2

2 2 2 2

x x x xe e e e

e e

> ⇔ − < −

1 2 1 21 1 1 1

2 2 2 2

x x x x

Προσθέτουμε κατά μέλη και λαμβάνουμε



− < − ⇔ <

1 1 2 2

1 2

1 1f(x ) f(x )

2 2 2 2

x x x xe e

e e άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.

iii)Για να βρούμε τα σημεία τομής της Cf με τον άξονα x’x, λύνουμε την =f(x) 0 .

Έχουμε μια προφανή ρίζα το -1 .Πράγματι − +

− − −

− − −= = = =

1 1 0

1 1 1

1 1 1 1f(-1) 0

2 2 2

e e.Λόγω όμως της μονοτονίας

της f η ρίζα αυτή είναι μοναδική. Άρα η Cf τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο Α(-1,0).

Για να βρούμε τα σημεία τομής της −1Cf με τον άξονα x’x λύνουμε την + −

= ⇔ = ⇔ = = = −0 1

-1 -1

0

1f (x) 0 ( (x)) (0) x (0) 1

2

ef f f f e

Λόγω όμως της μονοτονίας της −1f η ρίζα αυτή είναι μοναδική. Άρα η −1Cf τέμνει τον άξονα x’x στο

σημείο Β(e-1,0).

iv) − < ⇔ − < ⇔ − < ⇔ < ⇔ <x x x xf(e 2) 0 f(e 2) f(-1) e 2 -1 e 1 0f

xγνησιως αυξουσα

v)Έχουμε: +

+ −− ≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ≥ ⇔ ≥

2

2 2

2

x 1x 1 2 2e 1

e 1 ( 1)2 ( 1) ( ) (0) 02

fx

xe e f x f x

γνησιως αυξουσα

που ισχύει για κάθε ∈x R

(*)Υπενθυμίζουμε ότι αν μια συνάρτηση Α →:f R είναι γνησίως μονότονη τότε ισχύει ότι είναι

αντιστρέψιμη και η -1f έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την f. Θέλει απόδειξη για να χρησιμοποιηθεί.

Δοκιμάστε να το αποδείξετε αλλιώς θα βρείτε την απόδειξη στην άσκηση Α25 στην σελ 18.

Στο ερώτημα (v) χρησιμοποιήθηκε η συνεπαγωγή > ⇒ >1 2 1 2

( ) ( )f

f x f x x xγνησιως αυξουσα

(1) η οποία παρότι δεν

αναφέρεται ρητά στο σχολικό ισχύει και αποδεικνύεται από την παραπάνω πρόταση ως εξής: −

− −> ⇒ > ⇒ >1

1 1

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ( )) ( ( ))

f f

f x f x f f x f f x x xγνησιως αυξουσα αρα γνησιως αυξουσα

Εναλλακτική απόδειξη της (1) μπορεί να γίνει και με άτοπο.. Καλό είναι να γνωρίζετε τόσο την πρόταση

όσο και την απόδειξη. Στις ασκήσεις θα χρησιμοποιούμε χωρίς απόδειξη τις ισοδυναμίες:

> ⇔ > ∈1 2 1 2 1 2

( ) ( ) , ,f

f x f x x x x x Dfγνησιως αυξουσα

> ⇔ < ∈1 2 1 2 1 2

( ) ( ) , ,f

f x f x x x x x Dfγνησιως ϕθινουσα

Ε18)Έστω →ℝ ℝf: μια γνησίως μονότονη συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται

από τα σημεία Α(0,0),Β(α2+1974,α2+2015),α σταθερός πραγματικός αριθμός.

Α. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Β. Να βρείτε τις τιμές του ∈x R η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τον x’x.

Γ.Αν g είναι μια συνάρτηση για την οποία ισχύει η σχέση

= + +( ) ( ( )) 1g x f f x x ,για κάθε ∈ℝx


i)Η g είναι γνησίως αύξουσα.

ii)Η γραφική παράσταση της g τέμνει την ευθεία y=1 σε ακριβώς ένα σημείο.

iii) >( ) 1g x αν και μόνο αν > 0x .

Λύση

A.Η f είναι γνησίως μονότονη συνάρτηση και ισχύει < +

< +

2

2

(0) ( 1974)

0 1974

f f α

α.Αρά η f είναι γνησίως

αύξουσα.

B. > ⇔ > ⇔ >( ) 0 ( ) (0) 0f

f x f x f xγνησιως αυξουσα

άρα η Cf είναι πάνω από τον x’x όταν ( )∈ +∞0,x .

Γ.i)Έστω ∈1 2,x x R με <

1 2x x (1)τότε:

< ⇒ < ⇒ <1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ( )) ( ( ))f f

x x f x f x f f x f f xγνησιως αυξουσα γνησιως αυξουσα

(2)



Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) ,(2)

+ < + ⇔ + + < + + ⇔ <1 1 2 2 1 1 2 2 1 2

( ( )) ( ( )) ( ( )) 1 ( ( )) 1 ( ) ( )f f x x f f x x f f x x f f x x g x g x

Άρα, η g είναι γνησίως αύξουσα.

ii)Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση =( ) 1g x (3) έχει μοναδική λύση

Ισχύει = + + = + =(0) ( (0)) 0 1 (0) 1 1g f f f

Συνεπώς ,το 0 είναι μια λύση της (3),είναι και μοναδική διότι η η g είναι γνησίως αύξουσα.

iii) > ⇔ > ⇔ >( ) 1 ( ) (0) 0g

g x g x g xγνησιως αυξουσα

.

Ε19)(Δείτε και αυτό..)

I .Η διαφορά δυο περιττών συναρτήσεων είναι περιττή συνάρτηση.

Απόδειξη

Έστω f,g περιττές συναρτήσεις ορισμένες στο συμμετρικό σύνολο Α .Τότε για κάθε ∈x A :

( ) ( )− = − − − = − − − = − − = − −( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h x f x g x f x g x f x g x h x

Ανάλογα προκύπτει ότι :

II.Η διαφορά δυο αρτίων συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση.

Με την χρήση των δυο παραπάνω προτάσεων να αποδείξετε ότι κάθε συνάρτηση f ορισμένη στο

συμμετρικό Α μπορεί να γραφεί κατά μοναδικό τρόπο (μονοσήμαντα) σαν άθροισμα μιας άρτιας

και μιας περιττής συνάρτησης.

Απόδειξη

Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο Α

Τότε:+ − − −

= +( ) ( ) ( ) ( )

( )2 2

f x f x f x f xf x

Θεωρώ τις συναρτήσεις + −

=( ) ( )

( )2

f x f xh x και

− −=

( ) ( )( )

2

f x f xg x ορισμένες στο Α

Εύκολα, αποδεικνύεται ότι η h είναι άρτια και η g είναι περιττή.

Έστω ότι η f γράφεται σαν άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής με δυο διαφορετικούς τρόπους

δηλαδή υπάρχουν συναρτήσεις 1 1 2 2, , ,h g h g όπου

1 2,h h άρτιες και

1 2,g g περιττές έτσι ώστε:

= + = +1 1 2 2

( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )f x h x g x f x h x g x τότε + = + ⇔ − = −1 1 2 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h x g x h x g x h x h x g x g x

άτοπο, από τις προτάσεις Ι,ΙΙ προκύπτει ότι στο πρώτο μέλος έχουμε άρτια συνάρτηση και στο δεύτερο

περιττή. Η μόνη συνάρτηση που είναι άρτια και περιττή είναι η =( ) 0f x ,οπότε, προκύπτει

= =1 2 2 1

,h h g g .Άρα η f γράφεται σαν άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής κατά μοναδικό τρόπο.

Ε20)Μια συνάρτηση →ℝ ℝf: ικανοποιεί την συνθήκη − ≥1974 2 19742f(x ) f (x ) 1 (1) για κάθε ∈ℝx

i) Να βρείτε το f(0) .

ii)Να βρείτε το f(1) .

iii)H f αντιστρέφεται ;

Λύση

i) Για = 0x η (1) παίρνει την μορφή:

( )− ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − + + ≤ ⇔ − ≤22 2 22f(0) f (0) 1 2f(0) f (0) 1 0 2f(0) f (0) 1 0 f(0) 1 0 (2)

αλλά για κάθε ∈ℝx ισχύει: ( )− ≥2

f(0) 1 0 (3).Από (2) ,(3) προκύπτει:

( )− = ⇔ − = ⇔ =2

f(0) 1 0 f(0) 1 0 f(0) 1 (4)

ii) Για = 1x η (1) παίρνει την μορφή:

( )− ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − + + ≤ ⇔ − ≤22 2 22f(1) f (1) 1 2f(1) f (1) 1 0 2f(1) f (1) 1 0 f(1) 1 0 (5)

αλλά για κάθε ∈ℝx ισχύει: ( )− ≥2

f(1) 1 0 (6).Από (5) ,(6) προκύπτει:

( )− = ⇔ − = ⇔ =2

f(1) 1 0 f(1) 1 0 f(1) 1 (7)

iii)Ισχύει =f(1) f(0) άρα η f δεν είναι 1-1 οπότε δεν αντιστρέφεται.



Ε21) ( Εξετάσεις 2002)

Έστω οι συναρτήσεις →ℝ ℝf,g: ώστε η fog να είναι 1-1.

i)Να αποδείξετε ότι η g είναι 1-1.

ii)Αν για κάθε > 0x ισχύει g(f(lnx)+1)=g(x+2) να αποδείξετε ότι +f(x)=e 1x

Λύση

i)Έστω ∈ℝ1 2,x x όπου

−

= ⇒ = ⇒ =1 1

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ( )) ( ( ))

fog

g x g x f g x f g x x x άρα g είναι 1-1.

ii) −

⇒ ⇔1 1

g(f(lnx)+1)=g(x+2) f(lnx)+1=x+2 f(lnx)=x+1g

(1)

Ισχύει για κάθε > 0x άρα ισχύει και για xe οπότε η (1) γίνεται: ⇒f(lne )=e +1 f(x)=e +1x x x

Ε22) ☺☺☺☺ ☺☺☺☺ δίνεται η συνάρτηση →ℝ ℝf: για την οποία ισχύει:

f(f(x))=x+666 για κάθε ∈x R

i)Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

ii)Να λύσετε την εξίσωση

f(1-x)-f(lnx)=0

iii)Να δείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση -1f και ότι -1f (x)=f(x)-666 , ∈x R

iv)Να δείξετε ότι -1f (x)<f(x) για κάθε ∈x R .Αν η f είναι γνησίως αύξουσα τότε να δείξετε ότι

f(x)> x και f(x)< x+666 για κάθε ∈x R

Λύση

i)Έστω ∈1 2,x x R με = ⇒ = ⇔ + = + ⇔ =

1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ( )) ( ( )) 666 666f x f x f f x f f x x x x x

Άρα η f είναι 1-1 .

Είναι = ∈ = ∈( ) { / ( ) }f R y R y f x x Rκαι οπότε

= ⇒ = ⇔ = + ⇔ = −( ) ( ) ( ( )) ( ) 666 ( ) 666y f x f y f f x f y x x f y

Δηλαδή η εξίσωση = ( )y f x , ∈x R έχει λύση για οποιαδήποτε τιμή του y, άρα το σύνολο τιμών της f

είναι το R.

ii) −

⇔ ⇔ ⇔1 1

f(1-x)-f(lnx)=0 f(1-x)=f(lnx) 1-x=lnx 1-x-lnx=0f

(1)

Για να λύσουμε την (1) αναζητούμε προφανή ρίζα. Παρατηρούμε ότι το x=1 είναι ρίζα της (1)

1-1-ln1=0 .Θα εξασφαλίσουμε ότι είναι και η μοναδική θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=1-x-lnx και την

εξετάζουμε ως προ της μονοτονία.

Έστω ∈1 2,x x R με <

1 2x x (2) οπότε <

1 2ln lnx x (3)

Προσθέτουμε κατά μέλη τις (2) ,(3) : + < + ⇔ + + < + + ⇔ <1 1 2 2 1 1 2 2 1 2

ln ln 1 ln 1 ln ( ) ( )x x x x x x x x g x g x

Άρα, η g είναι γνησίως αύξουσα στο R οπότε η ρίζα x=1 είναι μοναδική.

iii)H f ως 1-1 αντιστρέφεται .Από tο ερώτημα (i) προκύπτει -1f (x)=f(x)-666 , ∈x R .

iv)

- Για κάθε ∈x R ,η προς απόδειξη σχέση παίρνει την μορφή:

⇔ ⇔-1f (x)=f(x)-666

-1f (x)<f(x) f(x)-666<f(x) -666<0 που ισχύει

- Θα δείξουμε ότι f(x)> x για κάθε ∈x R με την εις άτοπον απαγωγή .

Έστω ότι υπάρχει ∈0

x R τέτοιο ώστε ≤ ⇔ ≤0 0

f(x ) x f(f(x )) f(x )f

o o


(4)

Ισχύει ⇔ ⇔-1 -1

0 0 0 0 0 0f (x )<f(x ) f(f (x ))<f(f(x )) x <f(f(x ))

f γνησιως αυξουσα

(5)

Από (4),(5) : ≤ ⇔0 0 0 0

x <f(f(x )) f(x ) x < f(x )o

άτοπο .Άρα f(x)> x για κάθε ∈x R .

- Για κάθε ∈x R : ⇔ ⇔ +f(x)> x f(f(x))> f(x) 666> f(x)x .



Ε23)Έστω οι συναρτήσεις →f,g:R R με τύπους −f(x)=2 +2 ,g(x)=2συν3

x x x

i)Να αποδείξετε ότι: ≥ ≥f(x) 2 g(x) για κάθε ∈ℝx

ii)Να λύσετε την εξίσωση −2 +2 =2συν3

x x x

Λύση

i) −≥ ⇒ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⋅ ⇔ ⋅ ≥ ⇔2 21f(x) 2 2 +2 2 2 + 2 2 +1 2 2 2 +1-2 2 0

2

x x x x x x x

x

( ) ( )⋅ ≥ ⇔ − ≥2 2

22 -2 2 +1 0 2 1 0x x x ισχύει για ∈ℝx

συν συν≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥2 g(x) 2 2 13 3

x x ισχύει για ∈ℝx

ii) − ⇔2 +2 =2συν ( )=g(x)3

x x xf x (1) αλλά ≥ ≥f(x) 2 g(x) (2) για κάθε ∈ℝx . Οπότε οι (1) ,(2) ισχύουν

ταυτόχρονα μόνο όταν f(x)=2=g(x) .Λύνω μια από τις δυο.

Έστω κπ κ⇔ ⇔ ⇔ = ∈ℕ2=g(x) 2=2συν 1=συν 6 ,3 3

x xx από τις άπειρες λύσεις για κ=0 προκύπτει x=0

ικανοποιεί και την f(x)=2 .

Ε24)Έστω οι συναρτήσεις →ℝ ℝf,g: για τις οποίες ισχύει:

+ =( ) ( ) ( )f xe f x g x για κάθε ∈ℝx

Η g είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ , τότε:

i)Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της g είναι «πάνω» από την γραφική παράσταση της f

για κάθε ∈ℝx

ii)Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ

iii)Να λύσετε την ανίσωση + < +2( ( 2 )) ( ( 2))f f x x f f x

Λύση

i) Ισχύει + = ⇔ − = >( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0f x f xe f x g x g x f x e για κάθε ∈ℝx άρα η γραφική παράσταση της g είναι

«πάνω» από την γραφική παράσταση στης f για κάθε ∈ℝx .

ii)Έστω ∈ℝ1 2,x x με < ⇒ > ⇔ + > +

ց

1 2( ) ( )

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )

gf x f xx x g x g x e f x e f x (1)

Η συνάρτηση ϕ →ℝ ℝ: με τύπο ϕ = +( ) xx e x είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .Από την σχέση (1)

παίρνουμε ϕ ϕ+ > + ⇔ >1 2( ) ( )

1 2 1 2( ) ( ) ( ( )) ( ( ))f x f xe f x e f x f x f x άρα >

1 2( ) ( )f x f x .

iii) Ισοδύναμα παίρνουμε:

2 2 2 2( ( 2 )) ( ( 2)) ( 2 ) ( 2) 2 2 2 0f f

f f x x f f x f x x f x x x x x x+ < + ⇔ + > + ⇔ + < + ⇔ + − <ց ց

⇔ − < <2 1x

Ε24β) Ζητήθηκε από τον Τοτό να αποδείξει ότι η συνάρτηση

( ) 20 21,xf x e x x= + + ∈ℝ είναι 1-1.

Ο Τοτός έγραψε:

Για κάθε 1 2,x x ∈ℝ με:

1 2 1 2

1 2 1 2

( )1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

20 2020 20 20 21 20 21 ( ) ( )x x x x

x x x x

x x x xe x e x e x e x f x f x

e e e e

+ ≠ ≠ ⇔ ⇒ + ≠ + ⇔ + + ≠ + + ⇒ ≠

≠ ≠ άρα η f

είναι 1-1.

Ο καθηγητής του είπε ότι η απόδειξη του είναι λάθος. Ποιο είναι το λάθος;

Απάντηση

Δεν μπορούμε να προσθέσουμε κατά μέλη σχέσεις με διάφορο ( ≠ )

Δείτε το αντιπαράδειγμα: ( )2 5

5 53 5

+ ≠⇒ ≠

≠ που δεν προφανώς δεν ισχύει.



Ε25)Πάλι το 1974;;;

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο

− − +1974 7f(x)=e 6

1974x x , και ℝ ℝf( )=

Α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

B.Να λύσετε :

i)την εξίσωση -1f (x)=1974

ii)την ανίσωση -1f (lnx)<1974

Γ.i)Να εξετάσετε την συνάρτηση − − + −

7g(x)=e 1 1

1974x x ως προς την μονοτονία.

ii)Να λύσετε την εξίσωση -1f (x)=x+1974

iii)Να λύσετε την ανίσωση ≤-1f (x) x+1974

Λύση

Α. Εξετάζουμε την μονοτονία της f .Έστω ∈1 2,x x R με <

1 2x x (1)τότε:

− −+

− −

>

⇒ − + > − + ⇒ >− + > − +

1 2

1 2

1974 1974( )

1974 1974

1 2 1 2

1 2

e e7 7

e 6 e 6 ( ) ( )7 71974 19746 6

1974 1974

x x

x xx x f x f xx x

Άρα f γνησίως φθίνουσα οπότε f 1-1 συνεπώς αντιστρέφεται.

Β.i) −

−⇔ ⇔ ⇔ − + =1 1

-1 -1 1974 1974 7f (x)=1974 f(f (x))=f(1974) x=f(1974) x=e 1974 6 0

1974

f

ii) Η f-1 είναι γνησίως φθίνουσα

⇔ ⇔ ⇔-1f

-1 -1f (lnx)<1974 f(f (lnx))>f(1974) lnx>0 x>1γνησιως ϕθινουσα

Γ.i)Κατασκευαστικά προκύπτει ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα.

ii) ⇔ ⇔ ⇔-1 -1f (x)=x+1974 f(f (x))=f(x+1974) x=f(x+1974)

( )− + −

− −

− + + ⇔ − − + ⇔

− − ⇔ − + − =

1974 ( 1974) 7 7x=e 1974 6 x=e 7 6

1974 1974

7 7x=e 1 e 1 1 0 (1)

1974 1974

x x

x x

x x

x x

H (1) έχει μια προφανή ρίζα το 0 ,πράγματι

− − − + − = ⇔ − = ⇔ =

0 07e 1 0 1 0 e 1 0 0 0

1974

Η (1) ισοδύναμα γράφεται − − + − = ⇔ =

7e 1 1 0 ( ) 0

1974x x g x

H g είναι γνησίως φθίνουσα ( ερώτημα Γ(i)) συνεπώς x = 0 είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης.

Γ.iii) Ισχύει

≤ ⇔ ≥ ⇔

≥ ⇔ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥

-1 -1f (x) x+1974 f(f (x)) f(x+1974)

x f(x+1974) ... 0 ( ) (0) ( ) 0

f

g

g x g g x x

γνησιως ϕθινουσα

γνησιως ϕθινουσα



Ε26)Δίνεται η συνάρτηση →ℝ ℝ* *f: με την ιδιότητα ≠f(1) 0 και ⋅ ⋅f(x y)=f(x) f(y) για κάθε ∈ℝ*x,y .

Η γραφική παράσταση της συνάρτηση f τέμνει την ευθεία =y x το πολύ σε ένα σημείο. Να

δείξετε ότι :

i)αν η εξίσωση =( ) 1f x έχει μοναδική ρίζα τότε η f είναι 1-1

ii)η συνάρτηση = ∈ℝ*( )( ) ,

f xg x x

x είναι αντιστρέψιμη.

Λύση

i)Για = = 1x y η σχέση ≠

⋅ ⋅ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔f(1) 0

2 2f(1 1)=f(1) f(1) f(1)=f (1) f(1)-f (1)=0 f(1)(1-f(1))=0 f(1)=1

≠

⇔ ⇔ ⇔f(x) 01 1 1 1

f(1)=1 f(x )=1 f(x)f( )=1 f( )=f(x)x x x

Άρα: ⋅ = ⇔ =1 1 1 f(x) f(x)

f( )=f(x )=f(x)f( )=f(x) f( )( ) ( ) ( )

x x

y y y f y f y y f y (1)

Θεωρούμε : ⇔ ⇔(1)

1 11 2

2 2

f(x ) xf(x )=f(x ) =1 f( )=1

f(x ) x (2)

Η εξίσωση f(x)=1 έχει μοναδική ρίζα και εφόσον f(1)=1 η (2) μας δίνει: = ⇔ =11 2

2

x1 x x

xάρα f 1-1.

ii)Αρκεί η g να είναι 1-1.Ετσω ≠1 2, 0x x με

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

1 2 1 1 1 11 2

1 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

f x f x f x x x xg x g x f

x x f x x x x (2)

Εφόσον η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία =y x το πολύ σε ένα σημείο και f(1)=1 θα

πρέπει να ισχύει = ⇔ =11 2

2

1x

x xx

άρα η g είναι 1-1 κατά συνέπεια αντιστρέφεται.

Ε27)α)Αν μια συνάρτηση :f Α → ℝ είναι γνησίως μονότονη τότε να δείξετε ότι είναι αντιστρέψιμη

και η -1f έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την f.

β) i)Αν για την γνησίως μονότονη συνάρτηση f ισχύει:

(1) 3( ) 2 ( ) 5 0f x f x x+ − = ,για κάθε x∈ℝ

Να βρείτε την -1f και το είδος της μονοτονίας της.

ii)Να βρείτε τα σημεία τομής των 1 ,Cf Cf− .

Λύση

α) Για κάθε1 2,x x ∈Α με

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x< ⇒ < ή

1 2( ) ( )f x f x>

δηλαδή 1 2 1 2

( ) ( )x x f x f x≠ ⇒ ≠ άρα η f είναι 1-1 οπότε είναι αντιστρέψιμη.

Έστω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα θα δείξουμε ότι και η f-1 είναι γνησίως αύξουσα ,δηλαδή για κάθε

1 2, ( )y y f∈ Α με

1 2y y< ισχύει 1 1

1 2( ) ( )f y f y− −< ως αύξουσα.

Θα δουλέψουμε με απαγωγή σε άτοπο.

Έστω ότι ισχύει 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ( )) ( ( ))

f

f y f y f f y f f y y y− − − −≥ ⇒ ≥ ⇔ ≥ր

άτοπο.

Άρα η f-1 είναι γνησίως αύξουσα.

β)i)Έστω 1 2,x x ∈ℝ με

1 2( ) ( )f x f x= τότε ισχύουν : 1 2

3 3

1 2

2 ( ) 2 ( ) (1)

( ) ( ) (2)

f x f x

f x f x

=

=

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) ,(2) : 3 3

1 1 2 2 1 2 1 2( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 5 5f x f x f x f x x x x x+ = + ⇒ = ⇔ = άρα η f είναι 1-1 κατά συνέπεια αντιστρέφεται.

Ισχύει 1( ) ( )y f x f y x−= ⇔ = . Θέτουμε στην αρχική σχέση ( )y f x=



33 2

2 5 05

y yy y x x

++ − = ⇔ = οπότε

31 2( ) ,

5

x xf x x− +

= ∈ℝ

ii)Από το ερώτημα α) οι f,f-1 έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας άρα και η f-1ειναι γνησίως αύξουσα. Λογω της

μονοτονίας όλα τα κοινά σημεία των -1 ffC ,C βρίσκονται πάνω στην ευθεία y x=

οπότε οι εξισώσεις 1( ) ( )f x f x− = , 1( )f x x− = , ( )f x x= είναι ισοδύναμες.

Λύνουμε την δεύτερη: 3 2

... 0, 3 , 35

x xx x x x

+= ⇔ ⇔ = = = −

Τα σημεία είναι :Α(0,0),Β( 3 ,( )

3

3 +2 3

5),Γ( 3− ,

( )3

3 -2 3

5

−)

Συμπληρωματικό μεζεδάκι θεωρίας στην προηγούμενη άσκηση

Έστω ότι μια συνάρτηση Α →:f R είναι γνησίως αύξουσα ( οπότε αντιστρέφεται)).Τότε, τα κοινά

σημεία των Cf και −1Cf (αν υπάρχουν) ανήκουν στην ευθεία =y x .

Απόδειξη

Έστω ότι 0 0

( , )M x y είναι ένα κοινό σημείο των Cf και −1Cf .

Τότε:

∈Α∩0

( )x f A και −= 1

0 0( ) ( )f x f x (1)

Θα αποδείξουμε ότι : =0 0

( )f x x .Πραγματικά, έστω ότι

− −> ⇒ > ⇒ > ⇒ >(1)

1 1

0 0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )

f

f x x f x x f f x f x x f xγνησιως αυξουσα

άτοπο

Όμοια αν <0 0

( )f x x .Άρα =0 0

( )f x x κατά συνέπεια το σημείο 0 0

( , )M x y ανήκει στην ευθεία =y x .

Η παραπάνω πρόταση δεν ισχύει αν η f είναι γνησίως φθίνουσα.

Ε28)(θέμα 2006)Δίνεται η συνάρτηση f: →ℝ ℝ με τύπο 2f(x) ( 2) 2x= − + με 2x ≥

i) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.

ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει η συνάρτηση -1f της f και να βρείτε τον τύπο της .

iii) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και -1f με την

ευθεία y x= .

iv)Να βρείτε την σχετική θέση των Cf και 1Cf− .Αν το χωρίο που σχηματίζει η Cf με την ευθεία

y x= έχει εμβαδόν 1

6, να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που σχηματίζει η Cf με την -1Cf .

Λύση

i)Έστω 1 2, 2x x ≥ τέτοιο ώστε

1 2( ) ( )f x f x= ⇒

1,2 02 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2( 2) 2 ( 2) 2 ( 2) ( 2) 2 2

x

x x x x x x x x≥

− + = − + ⇒ − = − ⇒ − = − ⇔ = άρα η f είναι 1-1.

ii) Εφόσον η f είναι 1-1 τότε αντιστρέφεται 2 0 2

2 2y=f(x) ( 2) 2 2 ( 2) 2 2 2 2, 2y y

y x y x y x x y y− ≥ ⇔ ≥

⇔ = − + ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − + ≥

Άρα 1( ) 2 2, 2f x x x− = − + ≥

iii) Tα κοινά σημεία της Cf με την ευθεία y x= προκύπτουν από την λύση της εξίσωσης

2f(x) ( 2) 2 ... 2 3x x x x ή x= ⇔ − + = ⇔ ⇔ = = άρα (2,2), (3,3)A B .Από θεωρία είναι γνωστό ότι οι

γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και -1f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y x= και ότι

οι εξισώσεις -1f(x) ,f (x)x x= = είναι ισοδύναμες άρα αρκεί να λύσουμε την μια από τις δυο.



iv)Στο διάστημα ( )2,3 ισχύει -1f(x) f (x)< .Στο διάστημα ( )3,+∞ ισχύει -1f(x) f (x)> Το ζητούμενο εμβαδό

είναι το διπλάσιο δηλ, 1

3από το δοσμένο (δείτε το σχήμα)

Ε29)Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ): 0, 0,f +∞ → +∞ με την ιδιότητα:

(1) ⋅ = +( ) ( ) ( )f f fα β α β για κάθε , 0α β >


i) (1) 0f = ii) 1

( ) ( )f x fx

= − για κάθε 0x >

iii) Αν η εξίσωση ( ) 0f x = έχει μοναδική ρίζα το 1,δηλαδη (1) 0f = τότε η f είναι αντιστρέψιμη και

ισχύει: 1 1 1( ) ( ) ( )f x y f x f y− − −+ = για κάθε , 0x y > .

Λύση

i)Για α=β=1 η (1) γίνεται: (1 1) (1) (1) (1) 2 (1) (1) 0f f f f f f⋅ = + ⇔ = ⇔ =

ii)Για xα = και 1

xβ = η (1) γίνεται:

1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) (1) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )f x f x f f f x f f x f f x f

x x x x x⋅ = + ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = −

iii) Έστω 1 2, 0x x > με

(1)1

1 2 1 2 1

2 2

1( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0

ii xf x f x f x f x f x f f

x x= ⇔ − = ⇔ + = ⇔ =

Από υπόθεση η εξίσωση 1

2

( ) 0x

fx

= έχει μοναδική λύση το 1.Αρα 11 2

2

1x

x xx

= ⇔ = άρα η f είναι 1-1,

συνεπώς αντιστρέφεται.

3

y=x 2f(x) ( 2) 2, 2x x= − + ≥

1( ) 2 2, 2f x x x− = − + ≥

1

6



Για κάθε , 0x y > ισχύει:

1( ) ( )x f a f x a−= ⇔ = (2)

1( ) ( )y f f xβ β−= ⇔ = (3)

Με αφετηρία το πρώτο μέλος της προς απόδειξη σχέσης έχουμε:

1 1 1 1 1( ) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ) ( )f x y f f a f f f a a f x f yβ β β− − − − −+ = + = = =

Ε30) (Μιαν εταίραν παραλλαγή της προηγούμενης άσκησης....)

Έστω συνάρτηση *:f →ℝ ℝ με την ιδιότητα:

( ) ( )x

f x f y fy

− =

για κάθε *,x y ∈ℝ (1)

Είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον οριζόντιο άξονα σε ακριβώς ένα σημείο.

i) Να αποδειχτεί ότι ορίζεται η 1f − .

ii)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( 3) ( 1) ( 1)f x f x f x f x+ + = + + +

iii)Αν επιπλέον η γραφική παράσταση της f βρίσκεται «πάνω» από τον οριζόντιο άξονα χ’χ όταν

1x > , να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( )0,+∞ .

Λύση

i)Θα δείξουμε ότι η f δεν είναι 1-1. H (1) ισχύει για κάθε ∈x R

Για 1 2, 0x x ≠ με 1

1 2 1 2

2

( ) ( ) ( ) ( ) 0 0x

f x f x f x f x fx

= ⇔ − = ⇔ =

(2)

Από υπόθεση γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον οριζόντιο άξονα σε ακριβώς ένα

σημείο δηλαδή η εξίσωση ( ) 0f x = έχει ακριβώς μια λύση.

Η (2) για 1

(1) (1) (1) 01

f f f f

− = ⇔ =

άρα 1x = είναι ρίζα της (2) και επειδή η (2) έχει μοναδική ρίζα

προκύπτει: 11 2

2

1x

x xx

= ⇔ = .Η f είναι 1-1 συνεπώς αντιστρέφεται.

ii) 2 2 2 2( ) ( 3) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( 3)f x f x f x f x f x f x f x f x+ + = + + + ⇔ − + = + − + ⇔ 1 1

2 2 2 2

1 1( ) ( ) .... 1

1 3 1 3

fx x x xf f x

x x x x

−+ +⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔ =

+ + + +,δεκτή.

iii) Από υπόθεση η γραφική παράσταση της f βρίσκεται «πάνω» από τον οριζόντιο άξονα χ’χ όταν

1x > ,δηλαδή ( ) 0f x > όταν 1x > .

Έστω 1 2, 0x x > με

1 2x x< .Θα αποδείξουμε ότι

1 2( ) ( )f x f x<

Είναι 22 1

1

( ) ( ) ( ) 0x

f x f x fx

− = > διότι 21 2

1

1x

x xx

< ⇔ >

Άρα, 2 1 1 2

( ) ( ) 0 ( ) ( )f x f x f x f x− > ⇔ < , οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, )+∞ .

Ε31) ☺☺☺☺ Έστω συνάρτηση →:f R R με την ιδιότητα:

(1) ( )− ≥226 ( ) 9 ( ) 1f x f x για κάθε ∈x R

Η f αντιστρέφεται;

: ( ) ( ) ( )− ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ − ≤2 2 22 26 (1 ) 9 (1) 1 9 (1) 6 (1 ) 1 0 3 (1) 1 0f f f f f άρα =

1(1)

3f

Για = 0x : ( ) ( ) ( )− ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ − ≤2 2 22 26 (0 ) 9 (0) 1 9 (0) 6 (0 ) 1 0 3 (0) 1 0f f f f f άρα =

1(0)

3f

Έτσι, = =1

(1) (0)3

f f η f δεν είναι 1-1 οπότε δεν αντιστρέφεται.



Ε32) Έστω η συνάρτηση → − : , 1,1f α β για την οποία ισχύει η σχέση

+

=+

2 1( ( ))

2

xf f x

xγια κάθε ∈ ,x α β

i)Να δείξετε ότι = − =1, 1α β

ii) − + =( 1) (1) 0f f

Λύση

i)Το πεδίο ορισμού της f fο είναι :

= ∈ ∈ = ∈ ∈ { / ( ) } { , / ( ) , }fof f f

D x D f x D x f xα β α β ≤ ≤

⇔ ≤ ≤ ( )

x

f x

α βα β

Από υπόθεση = ,fof

D α β θα πρέπει η απαίτηση ∈ ( ) ,f x α β να ισχύει. Όμως ∈− ( ) 1,1f x οπότε

πρέπει − ⊆ 1,1 ,α β Άρα ≤ −1α και ≥ 1β (1)

Επειδή, έχουμε − ≤ ≤1 ( ) 1f x για κάθε ∈ ,x α β προκύπτει ότι − ≤ ≤1 ( ) 1f α και επειδή − ⊆ 1,1 ,α β

θα είναι − ≤ ≤1 ( ( )) 1f f α άρα +

− ≤ ≤ ⇔ ⇔ − ≤ ≤+

2 11 1 .... 1 1

2

αα

α

Ομοίως, προκύπτει − ≤ ≤1 1β

Από την (1) λαμβάνουμε ότι = − =1, 1α β

ii)Για κάθε ∈− 1,1x έχουμε +

=+

2 1( ( ))

2

xf f x

x

Για x όπου ( )f x προκύπτει

+

=+

2 ( ) 1( ( ( )))

( ) 2

f xf f f x

f x

Επίσης +

=+

2 1( ( ( ))) ( )

2

xf f f x f

x

Άρα για κάθε ∈ − 1,1x έχουμε++

=+ +

2 ( ) 12 1( )

2 ( ) 2

f xxf

x f x

Για = −1x λαμβάνουμε:

− +− = ⇔ ⇔ − = − = −

− +

2 ( 1) 1( 1) .... ( 1) 1 ( 1) 1

( 1) 2

ff f ή f

f

Για = 1x λαμβάνουμε:

+= ⇔ ⇔ = = −

+

2 (1) 1(1) .... (1) 1 (1) 1

(1) 2

ff f ή f

f

Αν − =( 1) (1)f f τότε − + ⋅ +

− = ⇔ = ⇔ − =− + +

2( 1) 1 2 1 1( ( 1)) ( (1)) 1 1

1 2 1 2f f f f άτοπο άρα τελικά − + =( 1) (1) 0f f

Μια εύληπτη εργασία από τον A.Κυριακόπουλο που διασαφηνίζει λεπτά σημεία της έννοιας της

συνάρτησης στο σύνδεσμο :

https://app.box.com/s/qaqc2j170f4yw7tg0w8unrhzlkwsr6t5



Ε33)Α. Δίνεται η συνάρτηση = + +3( ) 5 1g x x x να την εξετάσετε ως προς την μονοτονία.

B.Έστω →ℝ ℝ:f μια συνάρτηση για την οποία ισχύει

+ − + =3( ) 5 ( ) 1 0xf x f x e για κάθε ∈ℝx

i)Με την βοήθεια του ερωτήματος (Α) να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

ii)Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της f.

iii)Να βρείτε την συνάρτηση h για την οποία ισχύει :

− = + −( (ln ) 1974) ( ln 1975)f h x f x x για κάθε > 0x

iv)Να λύσετε την εξίσωση:

+ = +(1974 ) (1976 ) (1975 ) (1977 )x x x xf f f f

Λύση

Α. Έστω ∈ℝ1 2,x x με <

1 2x x τότε

+ <⇒ + < + + ⇔ + < + + ⇔ <

<

3 3 ( )3 3 3 31 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2

1 2

5 5 1 5 5 1 ( ) ( )5 5

x xx x x x x x x x g x g x

x x

Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.

Β.i) Ισχύει για κάθε ∈x R

+ − + = ⇔ + + = ⇔ =3 3( ) 5 ( ) 1 0 ( ) 5 ( ) 1 ( ( ))x x xf x f x e f x f x e g f x e

Έστω ∈1 2,x x R με < ⇔ < ⇔ < ⇔ <1 2

1 2 1 2 1 2( ( )) ( ( )) ( ) ( )

gx xx x e e g f x g f x f x f x


άρα η f είναι

γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.

iii) Ισχύει:

+ > ∈

+ − + = ⇔ + = − ⇔

−+ = − ⇔ =

+

2

3 3

( ) 5 0,2

2

( ) 5 ( ) 1 0 ( ) 5 ( ) 1

1( )( ( ) 5) 1 ( )

( ) 5

x x

f x x R xx

f x f x e f x f x e

ef x f x e f x

f x

για καθε

Έχουμε:

−= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =

+2

1( ) 0 0 1 0 1 0

( ) 5

xx xe

f x e e xf x

.

Για το πρόσημο της f ισχύει:

> ⇔ ⇔ >( ) 0 ..... 0f x x

< ⇔ ⇔ <( ) 0 ..... 0f x x

iv) Για κάθε > 0x ισχύει:

−

− = + − ⇔ − = + − ⇔1 1

( (ln ) 1974) ( ln 1975) (ln ) 1974 ln 1975f

f h x f x x h x x xγνησιως µονοονη αρα και

= + −(ln ) ln 1h x x x

(1)



Θέτουμε = ⇔ =ln tx t x e η (1) παίρνει την μορφή:

= + −( ) 1th t e t άρα η ζητούμενη συνάρτηση είναι = + −( ) 1xh x e x , ∈x R .

v) Έχουμε προφανή ρίζα το 0.

Για x > 0 ισχύει:

+

< ⇔ <⇒ + < +

< ⇔ <

( )1974 1975 (1974 ) (1975 )(1974 ) (1976 ) (1975 ) (1977 )

1976 1977 (1976 ) (1977 )

fx x x x

x x x x

fx x x x

f ff f f f

f f



Για x < 0 ισχύει

+

> ⇔ >⇒ + > +

> ⇔ >

( )1974 1975 (1974 ) (1975 )(1974 ) (1976 ) (1975 ) (1977 )

1976 1977 (1976 ) (1977 )

fx x x x

x x x x

fx x x x

f ff f f f

f f



Άρα το 0 είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης.

Ε34)Α.Δίνεται η συνάρτηση

− + < − +

= − ≥ − −

2

2

1, 4 6( ) 5

2 , 2 123

x xf x

x x

α α αα

α α

Όπου α σταθερός ακέραιος αριθμός.

i)Να βρείτε τις τιμές του α.

ii)Αν α=3, να ορίσετε την αντίστροφη −1f της συνάρτησης f.

Λύση

i)Για να ικανοποιείται ο ορισμός της συνάρτησης για την f θα πρέπει για κάθε x∈ℝ να υπάρχει

μοναδικό ∈y R τέτοιο ώστε = ( )y f x .Θα πρέπει δηλαδή τα σύνολα

( ) )−∞ − + − − +∞2 2, 4 6 , 2 12,α α α α να είναι ξένα μεταξύ τους, άρα θα πρέπει να ισχύει:

− + ≤ − − ⇔ ⇔ − ≤ ≤2 24 6 2 12 ... 6 3α α α α α

Αλλά α ακέραιος αριθμός οπότε = − − −6, 5, 4,...,2,3α

ii)Για = 3α η συνάρτηση παίρνει την μορφή:

− + < − ⋅ +

= ⋅− ≥ ⋅ − −

2

2

3 1, 3 4 3 6( ) 5 3

2 , 2 3 3 123

x xf x

x x ή

− <=

− ≥

2, 3( )

2 5, 3

x xf x

x x

● Ο πρώτος κλάδος έχει τύπο = −1( ) 2f x x ,πεδίο ορισμού ( )= −∞

1( ) ,3A x και σύνολο τιμών

( )= −∞1

( ) ,1f A .Είναι προφανές ότι είναι 1-1 και έχει αντίστροφη − = +1

1( ) 2f x x με ( )∈ −∞,1x .



● Ο δεύτερος κλάδος έχει τύπο = −2( ) 2 5f x x ,πεδίο ορισμού )= +∞2

( ) 3,A x και σύνολο τιμών

)= +∞2( ) 1,f A .Είναι προφανές ότι είναι 1-1 και έχει αντίστροφη − +

=1

2

5( )

2

xf x με )∈ +∞1,x .

Επειδή, ο κάθε κλάδος είναι 1-1 και τα επιμέρους σύνολα τιμών ( )= −∞1

( ) ,1f A , )= +∞2( ) 1,f A είναι

ξένα μεταξύ τους η συνάρτηση έχει αντίστροφη με κλάδους τις αντίστροφες των κλάδων της, δηλαδή:

−

+ <

= +≥

1

2, 1

( ) 5, 1

2

x x

f x xx

Ε35)Δίνονται οι συναρτήσεις :f →ℝ ℝ και :g →ℝ ℝ , με τύπους:

2( ) 2 4 1f x x x= + + και 2( ) 2 4 1g x x x= − + +

Να δειχθεί ότι:

i) ( ) ( )f x g x= − και ( ) ( ) 1f x g x⋅ = για κάθε x∈ℝ .

ii)Αν 0x ≥ , τότε ( ) 0f x > και αν 0x ≤ , τότε ( ) 0g x > .

iii)Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτηση f είναι «πάνω» από τον x΄x για κάθε x∈ℝ .

Λύση

i) Για κάθε x∈ℝ : 2 2( ) 2( ) 4( ) 1 2 4 1 ( )g x x x x x f x− = − − + − + = + + =

Για κάθε x∈ℝ : ( )( ) ( ) ( )2

22 2 2( ) ( ) 2 4 1 2 4 1 4 1 2 1f x g x x x x x x x= + + − + + = + − =

ii) ● Όταν 0x ≥ είναι 2 0x ≥ ακόμα ισχύει 24 1 0x + > για κάθε x∈ℝ οπότε με πρόσθεση κατά μέλη:

22 4 1 0 ( ) 0x x f x+ + > ⇒ >

● Όταν 0x ≤ είναι 2 0x− ≥ ακόμα ισχύει 24 1 0x + > για κάθε x∈ℝ οπότε με πρόσθεση κατά μέλη:

22 4 1 0 ( ) 0x x g x− + + > ⇒ >

iii)Από το ερώτημα (i) ( ) ( ) 1f x g x = άρα ( ) ( ) 0f x g x > για κάθε x∈ℝ

Άρα οι τιμές ( ), ( )f x g x είναι ομόσημες.Από το ερώτημα (ii):

● Για 0x ≤ ισχύει ( ) 0g x > οπότε και ( ) 0f x > .

● Για 0x ≥ ισχύει ( ) 0f x > οπότε και ( ) 0f x > .

Άρα, για κάθε x∈ℝ ισχύει ( ) 0f x > οπότε η γραφική παράσταση της συνάρτηση f είναι «πάνω» από

τον x΄x για κάθε x∈ℝ .

Αν έχουμε μια συνάρτηση με κλάδους ∈

= ∈

1 1

2 2

( ),( )

( ),

f x x Af x

f x x A

Αυτή είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της = ∪1 2

A A A αν ο κάθε κλάδος της είναι 1-1 και τα επιμέρους

σύνολα τιμών των κλάδων της είναι ξένα μεταξύ τους, δηλαδή αν ( ) ( )1 2f A f A∩ = ∅

Τότε, η αντίστροφη της ορίζεται ως η συνάρτηση με κλάδους τις αντίστροφες των κλάδων της,

δηλαδή −

−

−

∈=

∈

11 1 1

1

2 2

( ), ( )( )

( ), ( )

f x x f Af x

f x x f A



Ε36) Μια συνάρτηση :f →ℝ ℝ έχει την ιδιότητα :

( ( )) (2 )f x f x y f x y+ + = + για κάθε ,x y ∈ℝ (1)

i)Να αποδείξετε ότι (0) 0f = .

ii)Να αποδείξετε ότι ( ( ))f f x x= για κάθε x∈ℝ

iii)Η f είναι αντιστρέψιμη.

iv)Να αποδείξετε ότι η f έχει σύνολο τιμών το ℝ .

v)Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.

Λύση

i) Η (1) ισχύει για κάθε ,x y ∈ℝ ,άρα, θα ισχύει και για (0)x f= και (0)y f= −

( (0) ( (0) (0))) (2 (0)) (0) ( (0) (0)) (2 (0)) (0)

(2 (0)) (2 (0)) (0) (0) 0

f f f f f f f f f f f f f f

f f f f f f

+ − = + ⇔ + = + ⇔

⇔ = + ⇔ =

ii) Η (1) ισχύει για κάθε ,x y ∈ℝ ,άρα, θα ισχύει και για 0x = και y x=

(0 (0 )) (2 0) (0 ( )) (0)

( ( )) (0) ( ( )) (3)

f f x f x f f x f x

f f x f x f f x x

+ + = ⋅ + ⇔ + = + ⇔

= + ⇔ =

iii)Έστω ∈1 2,x x R με

( )

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ( )) ( ( ))f x f x f f x f f x x x

ιι

= ⇒ = ⇒ = άρα η f είναι 1-1 οπότε αντιστρέφεται

iv)Για τυχαίο 1

y ∈ℝ θεωρούμε το 1 1

( )x f y= .Τότε

( )

1 1 1 1( ) ( ( )) ( )f x f f y f x y

ιι

= ⇒ =

Δηλαδή, η εξίσωση ( )f x y= έχει λύση για κάθε y ∈ℝ οπότε ( )f =ℝ ℝ

v)θέτουμε στην (1) όπου 0y =

1 1

( ( 0)) (2 ) 0 ( ( )) (2 ) ( ) 2 ( )f

f x f x f x f x f x f x x f x x f x x−

+ + = + ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =

Που ικανοποιεί την αρχική σχέση.



Μίνι κριτήριο αξιολόγησης

Θέμα 1o

A.Να σημειώσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος.

1)Οι συναρτήσεις f,g με τύπους = =2x

f(x) x,g(x)x

είναι ίσες. Σ Λ

2)Υπάρχει συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(2,1) ,Β(2,-1974) Σ Λ

3)Η γραφική παράσταση κάθε συνάρτησης τέμνει τον άξονα y' y το πολύ σε ένα σημείο. Σ Λ

4)Η συνάρτηση )= +∞2f(x) x / 0, είναι 1-1. Σ Λ

5)Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης = − + + −2f(x) x 1 x x 2 είναι μονοσύνολο. Σ Λ

B.i)Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων = +xf(x) e 1 , = −f(x) ln(x 1)

ii)Να ορίσετε( πεδίο ορισμού, τύπου) τις συναρτήσεις fog,gof .Είναι =fog gof ;

Θέμα 2o

A)Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης

≤ ≤

= − < < − − ≤ ≤ −

x,0 x 3

f(x) 1, 1 x 0

x 2, 3 x 1

B) Η γραφική παράσταση μιας γνησίας μονότονη συνάρτησης →ℝ ℝf : διέρχεται από τα σημεία

Α(5,9),Β(2,3)

α. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

β. Να λύσετε την εξίσωση −+ + =1 2f(3 f (x 2x)) 9

Γ)Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )214 2 2 2 9

1

+= + α − β −β − − α β∈

−ℝ

xf x ln x ( ) x x ln , ,

x

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.

ii)Αν 1

02

=

f

,να βρείτε τις τιμές των α,β.

iii) Αν ( ) 9= +g x f(x) x ln να δείξετε ότι για κάθε

( )1 2 1 1∈ −x , x ,

ισχύει:

( ) ( ) 1 2

1 21 21

++ =

+

x xg x g x g

x x

Θέμα 3o

Α) Έστω οι συναρτήσεις →ℝ ℝf ,g : με f γνησίως αύξουσα για κάθε ∈ℝx .Αν ισχύει

+ ≥ ≥ +f(g(x) 1974) f(x) f(g(x) 1974) .

Να βρείτε τον τύπο της g.

Β)Δίνονται οι συναρτήσεις: −

=+

x

x

e 1f(x)

e 1,

+ = −

1 xg(x) ln

1 x


i)H g είναι 1-1

ii) =(gof)(x) x, για κάθε ∈ℝx

iii) − =1g f

Θέμα 4o

Έστω συνάρτηση →ℝ ℝf,g : τέτοια, ώστε :

≠f(x) 0 για κάθε ∈ℝx και + =f(x y) f(x)f(y) για κάθε ∈ℝx, y

Να αποδείξετε ότι:

i) =f(0) 1

ii) − =f(x)f( x) 1 για κάθε ∈x R

iii)Αν η εξίσωση =f(x) 1 έχει μοναδική ρίζα το 0,τοτε η f είναι 1-1.



ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΟΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΓΝΩΡΙΖΕΤΕ ΑΠΟ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΩΝ ΔΥΟ ΠΡΩΤΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Πολλοί

τύποι….



ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ℕ = {0, 1, 2,3,…} Φυσικοί αριθμοί .

ℤ = {0, 1± , 2± …} Ακέραιοι Αριθμοί .

ℚ = {µν

: μ, ν ∈ℤ , 0,ν ≠ ΜΚΔ (μ,ν} = 1} Ρητοί αριθμοί .

= ∪Αℝ ℚ , όπου Α είναι οι άρρητοι αριθμοί.

� Ισχύει ⊂ ⊂ ⊂ℕ ℤ ℚ ℝ

� Σε όποιο από τα παραπάνω σύνολα υπάρχει ο εκθέτης * δεν περιλαμβάνεται το μηδέν.

� Π.χ { }* ... 2, 1,1, 2...= − −ℤ

ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1. 222 2)( β+αβ+α=β+α

2. 222 2)( β+αβ−α=β−α

3. ))((22 β−αβ+α=β−α

4. αβ−β+α=β+α 2)( 222

5. 32233 33)( β+αβ+βα+α=β+α

6. 32233 33)( β−αβ+βα−α=β−α

7. ))(( 2233 β+αβ−αβ+α=β+α

8. ))(( 2233 β+αβ+αβ−α=β−α

9. βγ+αγ+αβ+γ+β+α=γ+β+α 222)( 2222

10. βγαγαβγβαγβα 222)( 2222 −+−++=+−

11. βγ+αγ−αβ−γ+β+α=γ−β−α 222)( 2222

12. )...)(( 1221 −ν−ν−ν−ννν β+αβ++βα+αβ−α=β−α

13. )...)(( 1221 −ν−ν−ν−ννν β+αβ−+βα−αβ+α=β+α αν ν περιττός

14. )...)(( 1221 −−−− −++−+=+ νννννν βαββααβαβα αν ν άρτιος

16. 2( )( ) ( )x x x x aα β α β β+ + = + + +

17. 2 2 2 2 2 2( )( ) ( ) ( )x y x y y xα β α β α β+ + = + + −

18. Ταυτότητα του Euler:

[ ]222333 )()()()(2

13 γ−β+γ−α+β−αγ+β+α=αβγ−γ+β+α

Αν α + β + γ = 0 ή α = β = γ τότε ισχύει: αβγ=γ+β+α 3333

Αντίστροφα: αν ισχύει: αβγ=γ+β+α 3333 τότε α = β = γ ή α + β + γ = 0

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ

• Ορισμός: ,

,

αα

α

= −

αν

αν

0

0

<α

≥α



Για τις απόλυτες τιμές ισχύουν:

1. 0≥α

2. α≥α και α−≥α (δηλ. }),max{ α−α≥α

3. 22α=α

4. Αν θ 0≥ τότε θ=⇔θ= xx ή x = -θ.

5. Αν θ < 0 τότε η εξίσωση θ=x είναι αδύνατη.

6. α=⇔α= xx ή x = -α

7. Αν θ > 0 τότε θ≤≤θ−⇔θ≤ xx

8. Αν θ < 0 τότε η ανίσωση θ≤x είναι αδύνατη .

9. Αν θ > 0 τότε θ≥⇔θ≥ xx ή θ−≤x

10. Αν θ < 0 τότε η ανίσωση θ≥x ισχύει: x∀ ∈ℝ

11. βα=αβ

12. β

α=

βα

• Τριγωνική Ανισότητα για τα απόλυτα.

β+α≤β+α≤β−α

Ακολουθούν δυο ειδικές περιπτώσεις της τριγωνομετρικής ανισότητας:

Αν αβ > 0 δηλαδή αν οι α, β είναι ομόσημοι ισχύει:

β+α=β+α<β−α

Αν αβ < 0 δηλαδή αν οι α, β είναι ετερόσημοι ισχύει:

β+α<β+α=β−α

Αν , α β ∈ℝ ισχύει:

0 0 0α β α και β+ = ⇔ = =

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες αναλογιών με τους περιορισμούς που αναγράφονται

δίπλα σε καθεμιά.

1. βγ=αδ⇔δγ

=βα

,όπου 0≠βδ

2. δβ

=γα

⇔δγ

=βα

, όπου 0≠βγδ

3. α γ α β γ δβ δ β δ

± ±= ⇔ = , όπου 0≠βδ

4. δ+βγ+α

=δγ

=βα

⇔δγ

=βα

,όπου 0)( ≠δ+ββδ

ΡΙΖΕΣ

• Ορισμός: Αν α 0≥ τότε η ν α είναι η μη αρνητική ρίζα της εξίσωσης α=νx . Δηλαδή αν

x = α=⇔α νν x . (Προφανώς )0x ≥



• ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ:

1. ννν αβ=βα 2. νν

ν

βα

=β

α

3. µνµ ν α=α 4. ν µνρ µρ α=α

5. α=α2 6. ( ) αα =2

7. α=α νν )( 8. ααν ν =2 2

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΡΗΤΟ ΕΚΘΕΤΗ

Αν ,0≥α μ Z∈ και *N∈ν τότε ορίζουμε: ν µν

µ

α=α

Η ΕΞΙΣΩΣΗ α=νx

Διακρίνουμε τις παρακάτω τέσσερις περιπτώσεις:

● 0≥α και ν άρτιος (δηλ. ν = 2 k , k ∈ℤ ). Τότε: x xν να α= ⇔ = ±

● α < 0 και ν άρτιος (δηλ. ν = 2k, k ∈ℤ . Τότε: α=νx αδύνατη

● 0≥α και ν περιττός (δηλ. ν = 2k+1, k ∈ℤ )Τότε: νν α=⇔α= xx

● α < 0 και ν περιττός (δηλ. ν = 2k+1, k ∈ℤ )Τότε: νν α−−=⇔α= xx

Όπου 0≥α=α− .

Η ΕΞΙΣΩΣΗ ,0xx 2 =γ+β+α α 0≠

Διακρίνουσα τριωνύμου: Δ = β2- 4αγ

• Αν Δ >0 τότε η εξίσωση έχει δυο άνισες ρίζες: 1,2 2x

βα

− ± ∆= και

)xx)(xx(xx 212 −−α=γ+β+α

• Αν Δ = 0 τότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα: αβ−

=2

x 0 και

2

02 )xx(xx −α=γ+β+α

• Αν Δ < 0 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη και το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται.

ΑΘΡΟΙΣΜΑ –ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

Αν με S συμβολίσουμε το άθροισμα x1 + x2 και με P το γινόμενο x1 x2, τότε έχουμε τους

τύπους:

S

βα

= − ,

Pγα

=

που είναι γνωστοί ως τύποι Vieta.

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, με την βοήθεια των τύπων του Vieta, μετασχηματίζεται ως

εξής:

2 0x Sx P− + =

Η τελευταία μορφή της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0 μας δίνει τη δυνατότητα να την

κατασκευάσουμε, όταν γνωρίζουμε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών



ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

� Αν Δ > 0 και x1 < x2 είναι οι ρίζες της 0xx 2 =γ+β+α τότε:

∞− x1 x2 ∞+

� Αν α > 0 γ+β+α xx 2 + 0 - 0 +

∞− x1 x2 ∞+

� Αν α < 0 γ+β+α xx 2 - 0 + 0 -

� Αν Δ = 0 και 0x είναι η ρίζα της 0xx 2 =γ+β+α τότε:

∞− x0 ∞+

� Αν α > 0 γ+β+α xx 2 + 0 +

∞− x0 ∞+

� Αν α < 0 γ+β+α xx 2 - 0 -

� Αν Δ < 0 τότε:

� Αν α > 0 , 0xx 2 >γ+β+α x∀ ∈ℝ

� Αν α< 0 , 0xx 2 <γ+β+α x∀ ∈ℝ

Για να προσδιορίσουμε το πρόσημο του γινομένου ),x()....x(B)x(A)x(P Φ= όπου

)x(),...,x(),x( ΦΒΑ είναι πολυώνυμα 1ου ή 2ου βαθμού, βρίσκουμε το πρόσημο του κάθε

παράγοντα χωριστά και στη συνέχεια με τη βοήθεια ενός συγκεντρωτικού πίνακα

προσδιορίζουμε το πρόσημο του γινομένου.

� Οι κλασματικές ανισώσεις της μορφής 0)x(

)x( <>Β

Α έχουν τις ίδιες λύσεις με την

0)x()x( <>ΒΑ

Γωνία

ω

0ο ή 0

rad

30ο ή

6

πrad

45ο ή

4

πrad

60ο ή 3

π

rad

90ο ή

2

πrad

180ο ή

π rad

270ο ή

3

2

πrad

360ο ή

2π

rad

ημω 0

2

1

2

2

2

3

1 0 -1 0

συνω 1

2

3

2

2 2

1

0 -1 0 1

εφω 0

3

3

1 3 δεν

ορίζεται

0 δεν

ορίζεται

0

σφω δεν

ορίζεται 3 1

3

3

0 δεν

ορίζεται

0 δεν

ορίζε

ται

Τριώνυµο



ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

1ο 2ο 3ο 4ο ηµω + + - - συνω + - - + εφω + - + - σφω + - + -

Αν μια γωνία είναι μο και α rad ,

τότε 180µµµµ

====ππππαααα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

● 2 2ηµ α συν α 1+ = ● εφα σφα 1⋅ =

● =ηµα

εϕασυνα

●2

2

11+ =εϕ α

συ να

ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΓΩΓΗΣ ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ

χ -α π-α π+α α

π−

2 α

π+

2 α

π−

2

3 α

π+

2

3

ημχ -ημα ημα -ημα συνα συνα -συνα -συνα

συνχ συνα -συνα -συνα ημα -ημα -ημα ημα

εφχ -εφα -εφα εφα σφα -σφα σφα -σφα

σφχ -σφα -σφα σφα εφα -εφα εφα -εφα

Για να θυμόμαστε εύκολα τον παραπάνω πίνακα, αρκεί να γνωρίζουμε ότι:

1. Ο τριγωνομετρικός αριθμός παραμένει ο ίδιος αν η γωνία χ είναι της μορφής απ ± και

αλλάζει από ημ σε συν,από εφ σε σφ και αντίστροφα όταν η γωνία χ είναι της μορφής

απ

±2

ή απ

±2

3.

2. Το πρόσημο εξαρτάται από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας

χ (θεωρούμε ότι 0<α<π

).Είναι « + » αν ο τριγωνομετρικός αριθμός του χ είναι θετικός και « - »

ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

●

x 2κπ θ, κ

ηµx ηµθ ή

x 2κπ π θ, κ

= + ∈

= ⇔ = + − ∈

ℤ

ℤ

●

x 2κπ θ, κ

συνx συνθ ή

x 2κπ θ, κ

= + ∈

= ⇔ = − ∈

ℤ

ℤ

● εφx εφθ x κπ θ, κ= ⇔ = + ∈ℤ ●σφx σφθ x κπ θ, κ= ⇔ = + ∈ℤ

●ηµx 0 x κπ, κ= ⇔ = ∈ℤ ●π

συνx 0 x κπ , κ2

= ⇔ = + ∈ℤ





ΠΡΟΟΔΟΙ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

Μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος , αν κάθε όρος της προκύπτει από τον

προηγούμενο

του με πρόσθεση του ίδιου πάντα αριθμού.

(αν) αριθμητική πρόοδος ⇔ αν+1 – αν = ω , για κάθε ν∈N ∗ Ο νιοστός όρος μιας αριθμητικής προόδου (αν) με πρώτο όρο α1 και διαφορά ω δίνεται

από τον τύπο:

αν = α1 + (ν-1)ω , ν∈N∗

Οι αριθμοί α ,β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν : β

=2

γα + .

Ο β λέγεται αριθμητικός μέσος των α και γ.

Το άθροισμα των πρώτων ν όρων αριθμητικής προόδου (αν) με διαφορά ω είναι:

Sν = 2

ν (α1 + αν) ή Sν = 1(2 ( 1) )

2

vα ν ω+ −

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

Μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος αν κάθε όρος της προκύπτει από τον

προηγούμενο

του με πολλαπλασιασμό με τον ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό.

(αν) γεωμετρική πρόοδος ⇔ λαα

ν

ν =+1, για κάθε ν∈N ∗

Ο νιοστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου (αν) με πρώτο όρο α1 και λόγο λ δίνεται από τον

τύπο:

αν = α1 λν-1 , ν∈N ∗

Οι μη μηδενικοί αριθμοί α ,β,γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και

μόνο αν :

β2 = αγ . Ο β = αγ λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ.

Το άθροισμα των πρώτων ν όρων γεωμετρικής προόδου (αν) με λόγο λ≠ 1 είναι: Sν =

α1 1

1

−−

λλν

.



ΕΚΘΕΤΙΚΗ – ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Δυνάμεις με άρρητο εκθέτη

-Αν α 0≠ και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουμε : α 0 = 1 και α –ν = να

11=

a

-Αν α > 0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουμε : ν µνµ

α=a

-Οι ιδιότητες των δυνάμεων με ρητό εκθέτη ισχύουν και για δυνάμεις με εκθέτη

πραγματικό αριθμό. Ειδικά αν α ,β θετικοί πραγματικοί αριθμοί και x ,y πραγματικοί

αριθμοί τότε

••••α x·α y = α x+y •••• (αβ)x = α x·α y •••• (α x) y = α x· y

•••• x

xxa

ββα

=

•••• α x : α y = α x- y

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Έστω α ένας θετικός αριθμός. Αν σε κάθε x∈ ℝ αντιστοιχίσουμε τη δύναμη α x, τότε

ορίζεται μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το ℝ και f (x) = α x.

Aν α = 1, τότε είναι f (x) = 1 για κάθε x∈ ℝ .

Για α>0, τότε η συνάρτηση f (x) = α x, x∈ ℝ ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α .

Οι βασικές ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης f (x) == α x, x∈R με 0 <α ≠ 1 είναι οι εξής :

•••• Έχει πεδίο ορισμού το R .

•••• Έχει πεδίο τιμών το f (A) = (0,+∞ ).

Δηλαδή για κάθε x∈R ισχύει α x >0.

•••• Αν α >1, τότε είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

Δηλαδή για κάθε x1,x2∈R ισχύει :

αν x1 < x2 ⇔ 1xa < 2xa

•••• Αν 0<α<1, τότε είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ .

Δηλαδή για κάθε x1,x2∈R ισχύει :

αν x1 < x2 ⇔ 1xa > 2xa

•••• Ισχύει η ισοδυναμία 1xa = 2xa ⇔ x1 = x2

(Η εκθετική είναι συνάρτηση ‘1-1΄)

•••• Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα y΄y

στο σημείο Α(0,1) και έχει ασύμπτωτη τον άξονα x΄x .

Αν 0 < α ≠ 1, τότε οι γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων y = α x και y = α –x έχουν άξονα συμμετρίας

τον άξονα y΄y( Σχ.3).

y α x

A (0,1) x

α > 1

α x y

A (0,1)

x

0 < α < 1

y α x

A (0,1) x

α > 1



ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ

Θεωρούμε την εκθετική συνάρτηση f (x) = α x, x∈R με 0 <α ≠ 1 και τον θετικό αριθμό θ.

Επειδή η f είναι συνάρτηση “1-1” και η f έχει πεδίο τιμών το διάστημα (0,+∞ ), η εξίσωση α x = θ έχει μοναδική ρίζα στο R. Τη μοναδική αυτή ρίζα τη συμβολίζουμε με logαθ και την

ονομάζουμε λογάριθμο του θ ως προς βάση το α . Επομένως αν 0 <α ≠ 1 και θ>0, τότε

ισχύει η ισοδυναμία :

αx =θ ⇔ x = logαθ

Πρέπει να θυμάμαι:

•••• Αν 0 <α ≠ 1 και θ>0, τότε για κάθε x∈R ισχύουν : xa xa =)(log και θθα =loga

•••• Επειδή α0 =1 και α1 =1 ισχύουν : logα1= 0 και logαα = 1

•••• Αν α = 10, τότε ο log 10 θ συμβολίζεται απλά με logθ και λέγεται δεκαδικός

λογάριθμος. Επομένως logθ = x ⇔ 10x = θ.

•••• Αν α = e, τότε ο logeθ συμβολίζεται απλά με lnθ και λέγεται φυσικός ή νεπέριος

λογάριθμος του θ. Κατά συνέπεια lnθ = x⇔ ex = θ.

Ιδιότητες λογαρίθμων

Αν 0 <α ≠ 1 τότε για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς θ1,θ2,θ και για κάθε κ R∈ ισχύουν

•••• 2121 loglog)(log θθθθ aaa +=⋅ •••• 212

1 logloglog θθθθ

aaa −=

•••• θκθ κaa log)(log = •••• θ

νθν

aa log1

log = ,ν ∗Ν∈

ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Αν 0 < α 1≠ ,τότε για κάθε x >0 ορίζεται ο πραγματικός αριθμός logαx. Επομένως αν σε

κάθε θετικό πραγματικό αριθμό x αντιστοιχίσουμε τον πραγματικό αριθμό y = logαx

ορίζεται μια νέα συνάρτηση f που έχει πεδίο ορισμού το διάστημα (0,+∞ ), πεδίο τιμών

το R και για κάθε x > 0 είναι

f (x) = logαx. Η συνάρτηση αυτή λέγεται λογαριθμική συνάρτηση με βάση το α .

Ιδιότητες

•••• 2121 loglog xxxx aa =⇔=

•••• Αν α >1, είναι γνησίως αύξουσα, που σημαίνει ότι ⇔< 21 xx 21 loglog xx aa <

Ειδικά :

⇔< 21 xx 21 loglog xx <

⇔< 21 xx 21 lnln xx <

0log >x ⇔ x >1 και 0log <x ⇔ 0 <x <1

lnx >0⇔ x >1 και 0ln <x ⇔ 0 <x <1

•••• Aν 0<α<1, είναι γνησίως φθίνουσα, που σημαίνει ότι ⇔< 21 xx 21 loglog xx aa >

•••• Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = logαx ,x >0 και 0 < α 1≠ δίνεται στα

παρακάτω σχήματα .

y

loga x , α >1

A (1,0) x

y

loga x ,

0< α < 1

Α(1,0) x



Επειδή logαx = y ⇔ x = α y, οι γραφικές παραστάσεις της εκθετικής και της

λογαριθμικής συνάρτησης είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο της πρώτης και

τρίτης γωνίας των ορθογωνίων αξόνων.

ΕΥΘΕΙΑ - ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

• Εξίσωση γραμμής C ονομάζεται μια εξίσωση της μορφής f(x, y) = 0 (με δύο

μεταβλητές x, y) όταν για κάθε σημείο ( )0 0M x , y ισχύει η ισοδυναμία

( ) ( )0 0 0 0M x , y C f x , y 0∈ ⇔ = .

• Γωνία ω που σχηματίζει μια ευθεία ε με τον άξονα x’x:

� Ισχύει πάντα 0 ≤ ω≤ π

� Επίσης 0 // x x′ω = ⇔ ε

� λ = εφω = συντελεστής διεύθυνσης της ε (εφόσον //ε y y′ )

• Αν ( ) ( )1 1 2 2A x , y , B x , y είναι δύο σημεία της ε με 1 2x x≠ , τότε 2 1

2 1

y y

x x

−λ =

−

• Αν οι ευθείες 1 2,ε ε έχουν συντελεστές διεύθυνσης 1 2,λ λ αντίστοιχα, τότε

1 2 1 2 1 2 1 2// και 1ε ε ⇔ λ = λ ε ⊥ ε ⇔ λ λ = −

• Αν μια ευθεία ε διέρχεται από το σημείο ( )0 0A x , y και

� έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε έχει εξίσωση ( )0 0y y x x− = λ −

� είναι κατακόρυφη ( // y y′ε ), τότε έχει εξίσωση 0x x= .

• Αν για μια ευθεία ε έχουμε //ε y y′ , τότε η ε έχει εξίσωση της μορφής y x= λ +β (λ

είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ε και β η τεταγμένη του κοινού σημείου της με τον

άξονα y’y). Αν // y y′ε , τότε η ε έχει εξίσωση της μορφής 0x x= ( 0x είναι η κοινή

τετμημένη όλων των σημείων της ε).

• Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας: Ax By 0 0+ + Γ = µε Α ≠ ή B 0≠

• Η ευθεία με εξίσωση Ax By 0+ + Γ = είναι:

� παράλληλη στο διάνυσμα ( ),δ = Β −Α�

� κάθετη στο διάνυσμα ( ),η = Α Β�

• Απόσταση σημείου ( )0 0M x , y από ευθεία ε: Ax By 0+ + Γ = :

( ) 0 0

2 2

x Byd M,

Α + +Γε =

Α +Β

• Εμβαδόν τριγώνου με κορυφές τα σημεία Α, Β, Γ: ( ) ( )1det ,

2ΑΒΓ = ΑΒ ΑΓ

� �

y α x y = x

loga x

x

α > 1

α x y y = x

x

loga x

0 < α < 1



Εξίσωση κύκλου ακτίνας ρ:

� ( ) ( )22 20 0x x y y− + − = ρ (κέντρο Κ ( )0 0x , y )

� 2 2 2x y+ = ρ (κέντρο Ο(0,0))

� Μοναδιαίος κύκλος 2 2C : x y 1+ = (κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=1)

• Εξίσωση εφαπτομένης κύκλου 2 2 2C : x y+ = ρ (κέντρου Ο(0,0)) στο σημείο του

( )1 1A x , y : 21 1xx yy+ = ρ

• Η εξίσωση 2 2x y Ax By 0+ + + + Γ = παριστάνει κύκλο, αν και μόνο αν 2 2A B 4 0+ − Γ >

Στην περίπτωση αυτή το κέντρο είναι A B

K ,2 2

− −

και ακτίνα 2 2 4

2

Α +Β − Γρ = .

Ορισμός παραβολής C, με εστία Ε και διευθετούσα δ: ( ) ( )M C ME d M,∈ ⇔ = δ

• Εξίσωση παραβολής C:

� με διευθετούσα δ:p

x2

= − και εστία 2pE ,0 : y 2px

2

=

� με διευθετούσα δ: p

y2

= − και εστία 2pE 0, : x 2py

2

=

• Εξίσωση εφαπτομένης παραβολής C στο σημείο της ( )1 1A x , y :

� Αν 2C : y 2px= , τότε ε: ( )1 1yy p x x= +

� Αν 2C : x 2py= , τότε ε: ( )1 1xx p y y= +

• Ανακλαστική ιδιότητα 1 2φ = φ

Ορισμός έλλειψης C με εστίες Ε’, Ε: ( ) ( ) ( )M C ME ME 2′ ′∈ ⇔ + = α > Ε Ε

• Α’Α μεγάλος άξονας

• Β’Β μικρός άξονας

• Α, Α’, Β, Β’ κορυφές της έλλειψης

• Μήκος μεγάλου άξονα: (Α’Α) = 2α

• Μήκος μικρού άξονα: (Β’Β) = 2β

• Εστιακή απόσταση: (Ε’Ε) = 2γ

• Ισχύει 2 2 2α = β + γ

• Εκκεντρότητα ε: 0 1γ

< ε = <α

• Εξίσωση έλλειψης με εστίες Ε’(-γ,0), Ε(γ,0):22

2 2

yx1+ =

α β

• Εξίσωση έλλειψης με εστίες Ε’(0,-γ), Ε(0,γ):22

2 2

yx1+ =

β α

• Εξίσωση εφαπτομένης έλλειψης 22

2 2

yxC : 1+ =

κ λ στο σημείο της ( )1 1M x , y :

112 2

yyxx1+ =

κ λ



Υπερβολή C με εστίες Ε’ και Ε: ( ) ( ) ( )M C ME ME 2 , 2 2′ ′∈ ⇔ − = α α < Ε Ε = γ

• Εξίσωση υπερβολής με εστίες Ε’(-γ,0) και Ε(γ,0): 22

2 2 2

2 2

yx1,− = β = γ −α

α β

� Κορυφές: Α(α,0), Α’(-α,0)

� Ασύμπτωτες: 1 2: y x, : y xβ β

ε = ε = −α α

� Εκκεντρότητα: 1γ

ε = >α

� Ορθογώνιο βάσης: Το ορθογώνιο ΚΛΜΝ με Κ(α, β), Λ(α, -β), Μ(-α, -β), Ν(-α,

β)

� Εξίσωση εφαπτομένης στο ( ) 111 1 2 2

yyxxP x , y : 1− =

α β

• Εξίσωση υπερβολής με εστίες Ε’(0,-γ) και Ε(0,γ): 2 2

2 2 2

2 2

y x1,− = β = γ −α

α β

� Κορυφές: Α(0,α), Α’(0,-α)

� Ασύμπτωτες: 1 2: y x, : y xα α

ε = ε = −β β

� Εκκεντρότητα: 1γ

ε = >α

� Ορθογώνιο βάσης: Το ορθογώνιο ΚΛΜΝ με Κ(β, α), Λ(-β, α), Μ(-β, -α), Ν(β,

-α)

� Εξίσωση εφαπτομένης στο ( ) 1 11 1 2 2

yy xxP x , y : 1− =

α β

Education

Συναρτήσεις καλοκαιρινή προετοιμασία μαθηματικά θετικών σπουδών,οικονομίας και πληροφορικής Γ Λυκείου