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日曜数学者 辻 順平 @tsujimotter
ウェブサイト http://tsujimotter.info/
折り紙と正多角形と三次方程式
日曜数学者 ってなに？
2
日曜数学者
休日に思いおもいの方法で
数学探究をする人のこと 今日はまさに日曜数学！
3
辻の日曜数学活動
本業のプログラミングを活かしたやり方で、数学的対象を再表現する
その成果を面白おかしく語りまくる
3Dプリンタでゼータ関数を造形（触れるゼータ関数）
高度な概念をブラウザゲーム化（基本領域ゲーム）
4
2015 年の実績（全１２件）
プログラマのための数学勉強会（第１回～第３回） 日曜数学会（第１回，第２回）
第８回ニコニコ学会β シンポジウム ノラヤサイエンスバー vol.2（仙台） 5
tsujimotter のノートブック 辻が興味を持った
数学的なトピックについて
熱く語って語りまくるブログ
http://tsujimotter.hatenablog.com
6
今回紹介するデモアプリは
すべて以下のページに置いてあります。
tsujimotter のポートフォリオ
http://tsujimotter.info
7
今日お話ししたいのは
折り紙と三次方程式
8
折り紙との出会い
9
雪の結晶に夢中
正六角形でつくる雪の結晶 10
11
月日は流れて・・・ tsujimotter 大学生の頃
12
作図おもろい 13
作図でできること ざっくりと
14
垂線
頂点
垂線
頂点
1 1
cos が「四則演算」と「ルート」で表現できる（作図可能数）
⇔ 対応する正多角形も作図できる
15
1 1
�1 +p5
4cos
✓2⇡
5
◆=
16
�1
6+
3
q72 (1 + 3
p�3)
6+
3
q72 (1� 3
p�3)
6cos
✓2⇡
7
◆=
正七角形は作図不能！ 正五角形は作図可能
定木＆コンパスの場合
17
5 7
垂線
頂点
「四則演算」と「ルート」だけで表現できる ⇔ 作図可能
正十七角形の場合
� 1
16+
1
16
p17 +
1
16
q2(17�
p17) +
1
8
r
17 + 3p17�
q2(17�
p17)� 2
q2(17 +
p17)cos
✓2⇡
17
◆=
18
やってみた
19
作図支援ソフトウェア Heptadecagon
『正十七角形を正確に描く、ただそれだけのために作られたソフトウェア』
実演動画： https://www.youtube.com/watch?v=wyjn441NVPE 20
折り紙の話に戻りましょう
21
正七角形は作図不能！ 正五角形は作図可能
定木＆コンパスの場合
5 7
22
どちらも折ることが可能！！
折り紙の場合
5 7
23
折り紙で折れる図形
定木＆コンパスで 作図できる図形
正七角形
正三角形，正五角形，
正十七角形，etc.
24
ダウンロードはこちらから http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/07/07/234101 25
正七角形が折れる仕組み
STEP 1: 折り紙公理
STEP 2: 放物線の接線が折れる
STEP 3: 三次方程式が解ける
26
折り紙公理 折り紙によって可能な７つの基本操作
27
１ ２ ３
４ ５ ６ ７
与えられるもの
得られるもの
28
１ ２ ３
４ ５ ６ ７
与えられるもの
得られるもの
定木とコンパスによっても作図可能
29
１ ２ ３
４ ５ ６ ７
与えられるもの
得られるもの
定木とコンパスによって作図不能
30
正七角形が折れる仕組み STEP 1: 折り紙公理
STEP 2: 放物線の接線が折れる
STEP 3: 三次方程式が解ける
31
「放物線の接線」が折れる
ん、どうやって？
折り紙では
32
折り紙で「放物線の接線」が折れる 点を直線に折り合わせるとき，放物線の接線が得られる
折り重ねる
放物線接線
デモアプリ： http://tsujimotter.info/origami/
33
正七角形が折れる仕組み STEP 1: 折り紙公理
STEP 2: 放物線が折れる
STEP 3: 三次方程式が解ける
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二次方程式の解の公式 二次方程式 の解 は，次の公式で表せる
ax
2 + bx+ c = 0
x =�b±
pb
2 � 4ac
2a
ax
2 + bx+ c = 0
作図可能数を係数に持つ二次方程式を解くことができる
四則演算とルートによって表される
三次方程式のまえに・・・
35
三次方程式が解ける いったいどうやって？
折り紙では
36
こうやって解く
７ 37
「折り紙で三次方程式が解けること」
を証明しよう
38
高校数学の範囲で出来ます！
座標を設定する
39
| 点 P と 点 A の距離 | ＝ | 点 P と 直線 LA の距離 |
q(x- b)2 + (y- a)2 = (y- (-a))
∵距離の定義から
∵がんばって変形
4ay = (x- b)240
| 点 P と 点 B の距離 | ＝ | 点 P と 直線 LB の距離 |
∵距離の定義から
q(x- (-d))2 + (y- (-c))2 = (x- d)
∵がんばって変形
-4dx = (y+ c)241
-4dx = (y+ c)2
4ay = (x- b)2
共通接線を持つ条件を使う
42
4ay = (x- b)2
x = b+ 2at
∵ よりy 0 = t
y = at2∵放物線の式に代入
4ay
0 = 2(x- b)
∵ で微分4ay = (x- b)2
s = -at2 - bt
∵ に代入y = tx+ s
43
-4dx = (y+ c)2
∵ で微分4ay = (x- b)2
-4d = 2(y+ c)y 0
∵放物線の式に代入
x = -d/t
2
∵ よりy 0 = t
y = -c- 2d/t∵ に代入y = tx+ s
-s- c-d
t= 0
44
s = -at2 - bt
-s- c-d
t= 0
at2 + bt- c-d
t= 0
∵ を消去s = -at2 - bt
∵両辺に をかけるs = -at2 - bt
at3 + bt2 - ct- d = 0 完成！ 45
折り紙と三次方程式 ２つの直線上に，２点を同時に折り重ねるとき，
その折り目によって得られる直線の「傾き」が三次方程式の解となる
折り重ねる
傾きが三次方程式の解
デモアプリあり
デモアプリ： http://tsujimotter.info/origami/cubic.html
46
(b, a)
(-d, -c)
a = 1, b = 1, c = 2, d = 1 とおくと・・・
47
✓ =2⇡
7
cos ✓
t = 2 cos
✓2⇡
7
◆
t3 + t2 - 2t- 1 = 0
の解になるわけ
が
48
✓ =2⇡
7
cos ✓
1+ cos ✓+ cos 2✓+ cos 3✓+ cos 4✓+ cos 5✓+ cos 6✓ = 0正七角形の対称性より
cos ✓ = cos 6✓cos 2✓ = cos 5✓cos 3✓ = cos 4✓
1+ 2 cos ✓+ 2 cos 2✓+ 2 cos 3✓ = 0
より∵
1+ 2 cos ✓+ 2(2 cos2 ✓- 1) + 2(4 cos3 ✓- 3 cos ✓) = 0
∵２倍角，３倍角の定理より
∵ とおくt = 2 cos ✓
t3 + t2 - 2t- 1 = 0
∵がんばって計算する
(2 cos ✓)3 + (2 cos ✓)2 - 2(2 cos ✓)- 1 = 0
49
二次方程式の解となる数 三次方程式の解となる数
2 cos
✓2⇡
7
◆
結論 正七角形は折り紙によって折ることが出来る
cos
✓2⇡
5
◆=
折り紙で折れる数 作図できる数
✓ =2⇡
7
cos ✓
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第８の公理：「 n 重折り」
51
図：３重折りの例 西村保三「2重折り紙による2の5乗根の作図」日本折紙学会 (2012年8月) より引用
『 のとき，一般の n 次方程式を (n - 2) 重折りで解くことができる（リルの方法 1867年）』らしい n � 3
知らないことを知るのは楽しい
数学的知識は 新しいものの見方を提供してくれる
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参考文献 • ロベルト・ゲレトシュレーガー 著「折紙の数学」森北出版（2002年）定価：2,800円
• 大野栄一 著「定木とコンパスで挑む数学」講談社 BLUE
BACKS（1993年）定価：780 円
• tsujimotter のノートブック,
http://tsujimotter.hatenablog.com
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