@tsujimotter

•  “ ”

• 

• 

２３

５７

1113

1+i 1-i

2+i 2-i

3+2i 3-2iイメージ

質問タイム

質問タイム

お約束

以降，　は素数を表す記号とするp

p = 2 or 1+ 4n () p = X

2 + Y

2

p = 2 or p ⌘ 1 (mod 4)

ほんとに成り立つのか

13 = 22 + 32

17 = 12 + 42

29 = 22 + 52

37 = 12 + 62

41 = 42 + 52

53 = 22 + 72

57 = グロタンディーク素数

5 = 12 + 22

大きな素数でも

2017 = 92 + 442

20160709 = 27852 + 35222

p = 3 or 1+ 3n () p = X

2 + 3Y

2

p = 3 or p ⌘ 1 (mod 3)

p = 7 or 1, 2, 4+ 7n () p = X

2 + 7Y

2

p = 7 or p ⌘ 1, 2, 4 (mod 7)

まとめると

p = 7 or 1, 2, 4+ 7n () p = X

2 + 7Y

2

p = 2 or 1+ 4n () p = X

2 + Y

2

p = 3 or 1+ 3n () p = X

2 + 3Y

2

p = 7 or p ⌘ 1, 2, 4 (mod 7)

p = 3 or p ⌘ 1 (mod 3)

p = 2 or p ⌘ 1 (mod 4)

Primesoftheformx2+ny2

http://tsujimotter.info/works/primes-of-the-form/

見方をかえる

p = X2 + nY2

= (X+ Yp-n)(X- Y

p-n)

整数の世界で素数だったものが

√-n を加えた世界で分解してしまう

整数に √-1 を加えた世界

5 は完全分解する 7 は惰性する （2 は分岐する）

整数の世界

•  i を加えると別れてしまう

•  i があると空中分解する

•  i があっても惰性する

√-1 = i

整数の世界

整数に √-1 を加えた世界

整数の世界

整数に √-7 を加えた世界

Q(ζm)

K

Q

{ 1(mod m) }

(Z/mZ)×

Hmod m で

分解法則が決まる

ガロア群

体の塔 mod m の群の塔

p 2 H () p

定義：２次体と円分体

Q

Q

虚軸

実軸

円の５等分点

⇣5 = cos

✓2⇡

5

◆+ i sin

✓2⇡

5

◆

⇣25

⇣35

⇣45

⇣55 = 1（５乗すると１になる）

⇣5 = cos

✓2⇡

5

◆+ i sin

✓2⇡

5

◆

a + b√-7

a

拡大次数

1 の軸

√-7 の軸

b

a

a+b√-7

a+ bp-7

二次体と円分体の拡大次数[Q(√-1) : Q] のように書く

a + bζ+ cζ

2 + dζ3 + …

a,b,…

m

ガウス和虚軸

実軸

⇣5 = cos

✓2⇡

5

◆+ i sin

✓2⇡

5

◆

⇣25

⇣35

⇣45

p5 = ⇣5 - ⇣25 - ⇣35 + ⇣45

p-p

pp ⇣p

p-7 = ⇣7 + ⇣27 + ⇣47 - ⇣37 - ⇣57 - ⇣67

体の拡大の記法

Q

⇢⇢

K

Q(⇣m)書き換え

Q

K

Q(⇣m)

[Q(⇣m) : K]

[K : Q]

Q(ζ4) = Q(√-1)

Q

体の塔

Q(ζ7 )

Q(√-7)

Q

体の塔

今回扱う「体の塔」たち

Q(ζm)

K

Q

体の塔

{ 1(mod m) }

(Z/mZ)×

H

ガロア群

mod m の群の塔

p 2 H () p

mod m で

分解法則が決まる

a

α

β

b

K/Q

a

α

β

b

a

K/Q

α

β

b

グレー部分をかき混ぜる

白い部分は動かさない

自己同型写像とは（補足）

f(↵+ �) = f(↵) + f(�)

f(↵⇥ �) = f(↵)⇥ f(�)

×

例：二次体 Q(√-1) のガロア群

a+ bp-1

例：二次体 Q(√-1) のガロア群

√-1

-√-1

√-1

-√-1√-1 -√-1

√-1

-√-1

√-1

-√-1

この２つだけ

例：円分体 Q(ζ7) のガロア群

a+ b ⇣7 + c ⇣27 + d ⇣37 + e ⇣47 + f ⇣57 + g ⇣67

ζ7ζ73

例：円分体 Q(ζ7) のガロア群

ζ72

ζ75 ζ76ζ74 ζ7

ζ73ζ72

ζ75 ζ76ζ74

ほか，全６つ

ζ7ζ73

ζ72

ζ75 ζ76ζ74 ζ7

ζ73ζ72

ζ75 ζ76ζ74

ζ7ζ73

ζ72

ζ75 ζ76ζ74 ζ7

ζ73ζ72

ζ75 ζ76ζ74 ζ7

ζ73ζ72

ζ75 ζ76ζ74

ガロア群の「掛け算」

ζ7ζ73

ζ72

ζ75 ζ76ζ74 ζ7

ζ73ζ72

ζ75 ζ76ζ74 ζ7

ζ73ζ72

ζ75 ζ76ζ74

ζ7ζ73

ζ72

ζ75 ζ76ζ74 ζ7

ζ73ζ72

ζ75 ζ76ζ74 ζ7

ζ73ζ72

ζ75 ζ76ζ74

(Z/7Z)⇥ = {1, 2, 3, 4, 5, 6 (mod 7)}

(Z/mZ)⇥Q(⇣m)

“m ”

部分群

部分集合をとる

この集合も群をなす（「結合則」「単位元」「逆元」）

Q(ζ7)

Q

ガロア群

(Z/7Z)×

{ 1 (mod 7)}

mod 7 の群の塔体の拡大の塔

{ 1, 2, 4 (mod 7)}

Q(ζ7)

Q

固定する数

{ 1, 2, 4 (mod 7)}

(Z/7Z)×

{ 1 (mod 7)}

mod 7 の群の塔体の拡大の塔

Q(ζ7)

Q

{ 1, 2, 4 (mod 7)}

(Z/7Z)×

{ 1 (mod 7)}

mod 7 の群の塔体の拡大の塔

Q(√-7)

{ 1, 2, 4 (mod 7)} が固定する Q(√-7) の部分体が存在する（この場合 Q(√-7)）

固定する数

Q(ζ7)

Q

{ 1, 2, 4 (mod 7)}

(Z/7Z)×

{ 1 (mod 7)}

mod 7 の群の塔体の拡大の塔

Q(√-7)

「拡大次数」と「群の割り算」が一致する

{ 1, 2, 4 (mod 7)} が固定する Q(√-7) の部分体が存在する（この場合 Q(√-7)）

固定する数

Q(ζ7)

Q

{ 1, 2, 4 (mod 7)}

(Z/7Z)×

{ 1 (mod 7)}

mod 7 の群の塔体の拡大の塔

Q(√-7)

「体が拡大」すると「群は縮小」する

固定する数

Q(ζm)

K

Q

{ 1(mod m) }

(Z/mZ)×

Hmod m で

分解法則が決まる

p 2 H () p

ガロア群

体の塔 mod m の群の塔

Q(ζ7)

Q(√-7)

Q

{ 1(mod 7) }

(Z/7Z)x

{1, 2, 4(mod 7)}

p 2 H () p

ガロア群

体の塔 mod 7 の群の塔

「Q(√-7) における素数の分解法則」

まとめると

p = 7 or 1, 2, 4+ 7n () p = X

2 + 7Y

2

p = 2 or 1+ 4n () p = X

2 + Y

2

p = 3 or 1+ 3n () p = X

2 + 3Y

2

p = 7 or p ⌘ 1, 2, 4 (mod 7)

p = 3 or p ⌘ 1 (mod 3)

p = 2 or p ⌘ 1 (mod 4)

p

p D

D

ここから始まる感動のストーリーを先取り

体の塔

pOL = Pe1

1 Pe2

2 · · ·Pegg

pOKK で素数だったものが・・・

素数じゃなくなる

（分解される）

L

K

※ L/K がガロア拡大のとき e1 = e2 = … = eg = e

拡大 L/K における分解法則

体の塔

pOL = Pe1

1 Pe2

2 · · ·Pegg

pOK

L

K

一般に，素数の分解は一意ではない※注意

L

KpOK

(P1P2 · · ·Pg)e

D:

I:P1P2 · · ·Pg

P1P2 · · ·Pg

さらに細かくみる

e

f

g

[L:K]

[L : K] = e f g

ガロア群

「分岐・不分岐・完全分解」の定義

ó

ó

ó

ópOK

(P1P2 · · ·Pg)e

P1P2 · · ·Pg

P1P2 · · ·Pg

分岐

惰性

分解

L

K

e

f

g

[L:K]

L

KpOK

D

P1P2 · · ·Pg

P1P2 · · ·Pg

f

g

[L:K]

[L : K] = g

[L : K] = f g

“何も動かさない写像”

D

∵ 同型定理

体の塔

体の塔

[Q(⇣4)/Q]

pf ⌘ 1 (mod 4) f

31 ⌘ 3 (mod 4),

32 = 9 ⌘ 1 (mod 4), f = 2

pf ⌘ 1 (mod 4) f f = 1

(A) p ⌘ 3 (mod 4)

(B) p ⌘ 1 (mod 4)

-! "p mod 4"同型定理

(mod4)

(mod4)

gf �= [Q(⇣4)/Q]

�f�

[Q(⇣4)/Q]

Q(p-7)/Q

　　　　の場合を先に考えるQ(⇣7)/Q

Q(⇣7)/Q

g(=[Q(ζ7):Q]/f)f

さっきわかった

次はこっち

Q(⇣7)/Q

Q(p-7)/Q

= -p-7

√-7 を

-√-7 へ移す

写像= (⇣37 + ⇣67 + ⇣57)- (⇣27 + ⇣17 + ⇣47)

(A) p ⌘ 3 (mod 7)

p-7 = (⇣7 + ⇣27 + ⇣47)- (⇣37 + ⇣57 + ⇣67)

gf

Q(p-7)/Q

Q(ζm)

K

Q

{ 1(mod m) }

(Z/mZ)x

Hmod m で

分解法則が決まる

p 2 H () p

ガロア群

体の塔 mod m の群の塔

p

p D

D

ここから始まる感動のストーリーを先取り

pOK

(P1P2 · · ·Pg)e

Q上の類体論のこころ

アーベル拡大

（クロネッカー・ウェーバー →）

「素イデアル分解法則」

が H によってかける

（mで割ったあまり）

（←同型定理）

K

Q (Z/mZ)×

H = {ほげ，ほげ}

類体とは

abel

まとめ

p = 7 or 1, 2, 4+ 7n () p = X

2 + 7Y

2

p = 2 or 1+ 4n () p = X

2 + Y

2

p = 3 or 1+ 3n () p = X

2 + 3Y

2

p = 7 or p ⌘ 1, 2, 4 (mod 7)

p = 3 or p ⌘ 1 (mod 3)

p = 2 or p ⌘ 1 (mod 4)

• 

•  POD

• 

• 

• 

•  D.Cox PrimesoftheForm:x2+ny2(2ndedition)

• 

• 

• 

•  https://www.math.kyoto-u.ac.jp/insei/proceeding/2010/ito.pdf

•  http://www1.tmtv.ne.jp/~koyama/papers/Japanese/prime.pdf

•  @alg_d http://alg-d.com/math/hrizm8.pdf

p = 13

()

+2 3

+2 37

11

1 4+

4 4

4 4

1+4n 3+4n

(Z/4Z)⇥ = { 1+ 4Z, 3+ 4Z }

p 2 3+ 4Z = { 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, · · · }

p 2 1+ 4Z = { 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, · · · }となるような素数 p

素数のクラス分け

となるような素数 p

クラス分けの集合

フェルマーゲーム

わたし（3(mod 4) 担当）

みなさん（1(mod 4) 担当）

1(mod 4) 型の素数と 3(mod 4) 型の素数を交互に言い合うゲーム